（应用数学专业论文）一类5维3lie代数的导子代数.pdf

摘要 n 一李代数是李代数的推广，它是乘法运算为n 元运算的一种多元李代数我 们知道几一李代数在物理及几何上都有它的背景，因此研究n 一李代数的结构及应 用是非常有必要的本文主要研究汤域上一类5 维3 一李代数的结构特征及其导 子代数的结构特征分别研究了当d i m a l = l ，及导代数的维数等于2 时忍域上具 有非零中心的5 维3 一李代数的结构特点及导子李代数的结构且分别给出了导子 的具体表示形式 论文共分4 部分，第一部分介绍了n 一李代数的背景及发展状况第二部分给 出了本文要用到的基本慨念和基本结论第三部分研究了汤域上5 维3 一李代数 的结构及导子代数的结构特征第四部分对文章结论进行了归纳 关键词n 一李代数，导子，导子代数 a b s t r a c t a b s t r a c t t h en - l i ea l g e b r ai sag c n e r a l i z t i o no fl i ea l g e b r a ，w h i c hi sa na l g e b r a i cs y s - t e r nw i t ha n 佗一a wl i n e a ro p e r a t i o n t h en - l i ea l g e b r ah a si t sb a c kg r o u n di n m e c h a n i c sa n dm a n i f o l d s s oi ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h es t r u c t u r ea n da p p l i c a t i o n s o ft h e m t h ep a p e rm a i n l yc o n c e r n ss t r u c t u r eo fac l a s so f5d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r a sa n dt h e i rd e r i v a t i o na l g e b r a s t h es t r u c t u r eo f5 - d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r a s o v e r 易w i t h1a n d2 - d i m e n s i o n a ld e r i v e da l g e b r a sa r es t u d i e dr e s p e c t l e l y w ea l s o g i v et h ec o n c r e t ec x ”p r c s s i o no fc a s hd e r i x a t i o n s t h ep a p e rc o n s i s t so f f o u rs e c t i o n s t h eb a c kg r o u n da n dd e v e l o p m e n to fn l i e a l g e b r a sa r ei n t r o d u c e di nth es e c t i o n1 i nt h es e c t i o n2w eg i v es o m ed e f i n i t i o n s a n dr e s u l t so fn - l i ea l g e b r a sw h i c ha r eu s e di nt h ep a p e r i nt h es e c t i o n3w e s t u d yt h ed e r i v a t i o na l g e b r a so f5d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r a so v e rz 2w i t h1a n d2 - d i m e n s i o n a ld e r i v e da l g e b r a s w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ep a p e ri nt h es e c t i o n k e y w o r d s n - l i ea l g e b r a ，d e r i v a t i o n ，d e r i v a t i o na l g e b r a i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了致谢。 作者虢监址吼掣年月旦日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版允许论文被查阅和借阅。学校可以公布论文 的全部或部分内容可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密眇。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 作者签名：一一旋避 导师签名： 日期：冱年钲月- 9 日期：叶年胄上日 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为f 类匐鱼臭燃d 巳) 的学位 论文，是我个人在导师自端：蒲指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 袱：日期：珥咀月上日 作者签名：垄鳖墨生 导师签名： 日期：圣竺睁月j 三一日 日期：么孚吐月l 日 第一章引言 近几年来，人们对n 一李代数的研究有了很大的兴趣这是由于人们发现n 一 李代数在动力学及数学的多个领域都有其应用( 可参看文献( 1 ，2 ，3 】) 目前为止， 人们根据对标准j a c o b i 恒等式的不同理解以及具有的不同性质，对n 李代数的概 念已经提出了两种不同的定义形式且对不同的定义形式，有其不同的应用领域 1 9 8 5 年，v t f i l i p p o v 在文献 4 】中提出了礼一李代数的概念，定义了n 一 元多重运算【x 1 ，z 。1 ，满足反对称性及广义的j a c o b i 恒等式： n p l ，z 。】，y 2 ，弧1 = 芝：k - ，【x i ，沈，】，z 。1 ， ( j 1 ) i = l 在这篇文章中，v t f i l i p p o v 给出了第一个扎一李代数的基本例子以及一些类似于 李代数中的结构性概念，如半单性，幂零性等，还对复数域上( n + 1 ) 维i t 一李代数 进行了分类 s h 3 i k a s y m o v 在文章1 5 1 中介绍并研究了k 一可解性，七一幂零性 ( 0 k 佗) ，c a r t a n 子代数，k i l l i n g 型以及f i l i p p o v 凡一李代数的表示他还证明 了m 李代数中类似李代数中的e n g e l 定理s h 、i k a s y m o v 给出的孔- 李代数中的 结构性概念与李代数中的相关慨念有一定的区别，反映出伽李代数的多元运算 另一种对i a c o b i 恒等式自然的推广具有形式： ( 一1 ) 。矗浼 川 i x 小 。】，协1 一，协一】_ 0 ， ( j 2 ) l 如：j l 矗1 这里的和取决于( i l ，i 。) 和( 歹l ，j - ) 的所有满足 ，f 。 ud l 一，矗一z ) = 1 ，2 ，2 i t 一1 ， 的多元有序列这些在1 9 9 0 1 9 9 2 提出的理论在文献 6 】中发表作者受f i l i p p o v 在1 9 8 5 年的工作的启发，注意到几为偶数时，( j 1 ) 一扎一李代数也是( j 2 ) 一n 一 李代数 至于它们在物理和几何上的背景，我们只介绍f i l i p p o vn 一李代数( 简称为n 一 李代数) 一个n 一元李代数结构是一个n p o i s s o n 结构，作为一个在光滑流行上 的光滑函数代数的多元导子的实现函数行列式 力， 【 ，厶】_ d a l l 筹i l u 山j 是在a = c ( 彤) 的具有这佯结构的一个最简单的例子 1 9 7 3 年，y n a m b u 推 广了h a m i l t o n i a n 动力系统【1 】，提出了n a m b u 动力系统，将空间的二元运算一 p o i s s o n 括号积推广为三元运算一称为n a m b u 括号积然而，y n a m b u 没有提 到相对于扎一j a c o b i 等式( j 1 ) 中的n 一元括积后来l c n ot a k h t a j a n 在文章【2 】中 的开始部分提出了这个问题他系统地发展了n p o i s s o n 流形( 型( j 1 ) ) 的概念并称 之为n a m b u p o i s s o n 流形，其在n a m b u 动力系统中与p o i s s o n 流形在h a m i l t o n i a n 动力系统中具有同样的角色1 9 9 3 年l c n ot a k h t a j a n 提出了n a m b u 括号积的基 本恒等式一推广的j a c o b i 恒等式作为动力系统的一个相容性条件 2 】其像空间的 线性n a m b u 结构与n 一李代数的结构一一对应所以7 卜李代数的研究对动力系 统的研究有重要的意义 我们简单介绍论文的结构。论文在第二部分介绍本文要用到的一些基本溉念和 结论第三部分研究了易域上5 维3 一李代数的导子代数的结构并给出其具体的 表达式第四部分对论文的结论进行归纳总结 第二章预备知识 在本章中主要给出本文要用到的一些基本概念和基本结论，内容主要参看文献 4 9 】 定义2 1 佗一李代数是域f 上的具有n 一元运算 ，】的线性空间，且满足 下列恒等式： 陋l ，z 。】= ( 一1 ) 7 p ) i x 仃( 1 ) ，z ，( 。) 】，( 2 1 ) 这里盯岛，丁( 盯) 分别等于0 或1 ，当盯是偶排列或奇排列时 若c h f = 2 ，则对任意z a ，有z = 一z ，故( 2 1 ) 应写成为 ( 2 2 ) 陋l ，x i ，岛，x 。】= 0 ，( 2 3 ) 这里i j ，x i = x j 关于n 一李代数的例子很多，例如假设a 是交换的结合代数，d 1 ，队是 a 上的n 个可交换的导子定义a 上的n 元运算：任取z 1 - 一，z 。a ， 这里 h e t z l n 、 l j x n n x i j = ( x j ) d i ，1 1 j n 直接计算可验证a 按上述运算构成一个n 一李代数且当d i m a = 。时，a 是无 限维的礼一李代数 设a 是一个佗一李代数，对任意t a ，f = 1 ，7 , ，线性变换 r ( x 2 ，z 。) ：a 叫a ，( z 1 ) r ( x 2 ，z 。) = 3 7 1 。，z 。】， 称为由元素z ，z 。一。a 所决定的a 的右乘算子 & ，州 z ；芰 驻p陋 。 = 弧妇 一zn h 定义2 2 n 一李代数a 的导子d 是a 到自身的线性变换，满足条件：对任 意z l ，x n a 由等式( 2 2 ) ，右乘算子及其线性组合是导子称其为内导子a 的所有导子生成g l ( a ) 的子代数称为a 的导子代数，记为d e r a ，记l ( a ) 为所有右乘算子生成的子代数 即内导子李代数 由m 李代数的定义易证内导子李代数是导子代数的理想 从等式( 2 2 ) 和( 2 4 ) 知， r ( a l ，a n - 1 ) ，r ( b l ，b , 。- i ) 】= r ( a l ，a n - 1 ) r ( 6 l ，b n - 1 ) 一r ( b l ，b n 一1 ) r ( a l ，a n - 1 ) n 一1 = r ( ，( 口t ) r ( 6 1 7 一，b n - 1 ) ，。一，) f = 1 ( 2 5 ) 对a 的子空间4 l ，a 。，记陋- ，a 。】为所有元素【a l ，a 。】生成的子 空间，这里a t a l ，i = 1 ，n 定义2 3 佗一李代数a 若满足 ha ，a - 0 称a 为a b e l 的伽李代数 引理2 1 旧设a 是历上的5 维3 一李代数，它的一组基是q ，e 5 则 ( o ) 当d i ma 1 = 0 时，三是a b e l 的 ( 6 ) 当d i ma 1 = 1 时，设a 1 = f e l ，则在同构下有如下两类： ( b 1 ) e 2 ，e 3 ，e 4 】_ e 1 ( 6 2 ) e 1 ，e 2 ，e 3 】_ e 1 ( c ) 当d i ma 1 = 2 时，设a 1 = f e l + f e 2 ，则具有非零中心的5 维3 一李代数 只有如下3 类： c c l ， f e e 2 。，, e e 3 3 ，e e 。4 ：- - - - e e 2 l ，c c 3 ， f e e 。l ，lee。3，,ee。4】：-一ee2。+e。，cc6，ee。2，ee。3，,ee54】：-ee21 j 土2 n zdzz 。 = d n zz 第三章导子代数 在本章中主要研究磊上具有1 维导代数和具有非零中心的导代数维数等于2 的5 维3 一李代数的导子代数的结构，通过由引理2 1 给出的磊上5 维3 一李代 数的具体分类及乘法表，具体的计算出每种情形下的3 - 李代数的导子及导子代数 的表示形式 假设a 是易上的5 维3 一李代数，且e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 为a 的一组基，其乘法 表如引理2 1 所示最f 表示为5 阶矩阵单位，即第i 行j 列元素为1 其它位置元 素为零的5 阶矩阵对a 的任意导子d ，即v d d e r a ，令 5 ( e i ) d = 勺， ( 3 1 ) j = l 则d 在基e l ，c 2 ，c 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵形式为d = ；：1 a i j e , j ，或 ，n 1 f i a 2 肚l 吼a a la 5 锄a 2 舢2 a2133引a24 a251232a 3 3a 3 4 a35a42a 4 3 a45a52 a 5 3a s aa 5 5 i l 口“ i 这里a i j 邑 我们知道当a 是a b d 情形时，a 的导子代数是5 - 维线性空间上的一般线性 李代数 下面首先研究导代数的维数是1 时的易上的5 维3 - 李代数的导子代数 为方便下面的计算，设右乘算子r ( e x ，色，白，氏，e 5 ) 记为r ( i ， 歹，七) ，这里，乏f 表示省略巳r ( i ，j ，k ) 在基下c 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 的作用如下： 5 ( e t ) r ( i ，j ，后) = 钆e 则r ( i ，j ，k ) 在基e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵形式为 5 r ( i j ，良) = 岛t ， f t = 1 这里a l 易 首先引出下面引理 引理3 1 【7 】设a 是历上的5 维3 一李代数，d i ma 1 = 1 ，则 ( 1 ) 若a 是情形( 扫1 ) ，l ( a ) 是a b e l 李代数， l ( a ) = z 2 r ( 1 ，2 ，5 ) + z 2 r ( 1 ，3 ，5 ) + z 2 r ( 1 ，4 ，5 ) ，r ( 1 ，i ，5 ) = e i t ，i = 2 ，3 ，4 ( 2 ) 若a 是情形( b 2 ) ，l ( a ) 是可解非幂零的李代数，且 l ( a ) = h 4 易r ( 1 ，4 ，5 ) ， 这里 h = z 2 n ( 2 ，4 ，5 ) + 易n ( 3 ，i ，5 ) ，n ( i ，4 ，5 ) = e i l ，i = 1 ，2 ，3 引理3 2 f 7 1 设d i ma 1 = 2 ，且a 具有非零中心，则l ( a ) 是非幂零的可解李 代数且 ( 1 ) 若a 是情形( c 1 ) ，则 l ( a ) = h + z 2 r ( 1 ，2 ，5 ) ，h = z 2 r ( 1 ，3 ，5 ) + 五r ( 1 ，4 ，5 ) + 易r ( 2 ，3 ，5 ) + 磊r ( 2 ，4 ，5 ) ， r ( 1 ，i ，5 ) = e i l ，n ( 2 ，i 5 ) = e i 2 ，i = 3 ，4 ；n ( 1 ，2 ，5 ) = e 1 2 + e 2 1 ( 2 ) 若a 是情形( c 3 ) ，则 l ( a ) = h 阜磊r ( 1 ，2 ，5 ) ， h = 易r ( 1 ，3 ，5 ) + 历r ( t ，4 ，5 ) + 邑r ( 2 ，3 ，5 ) + 易r ( 2 ，4 ，5 ) ， r ( 1 ，2 ，5 ) = e 1 2 + 易l + e 2 2 ，r ( 1 ，3 ，5 ) = 屁l + 岛2 ， n ( 1 ，4 ，5 ) = e 4 1 + e 4 2 ，n ( 2 ，3 ，5 ) = b 2 ，r ( 2 ，4 ，5 ) = 及2 ( 3 ) 若4 是情形( c 6 ) ，则 l ( a ) = 片阜磊r ( 1 ，2 ，5 ) ， h = z 2 n ( t ，2 ，3 ) + 易n ( 1 ，2 ，4 ) + z 2 r ( 1 ，3 ，5 ) 十z 2 r ( 1 ，4 ，5 ) ， r ( 1 2 ，3 ) = 邑2 ，r ( 1 ，2 ，4 ) = 蜀2 ， n ( 1 ，2 ，5 ) = e 2 1 + 尾2 ，r ( 1 ，3 ，5 ) = b l ，r ( 1 ，4 ，5 ) = 且1 下面我们确定导子代数的情形首先讨论导代数维数是l 的情形 f 式为 则 定理3 1 设a 是磊上的5 维3 一李代数，d i m a l = 1 ，则 ( 1 ) 若a 是情形( 6 1 ) ，则对任意导子d ，在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形 。=(口22+窭；+q“毒0i毒0i葶0萎0|j、，。巧f 4 d e r 4 = 三( a ) + 易( + e 1 1 ) + 汤岛+ 易岛l + 邑岛5 ，( 3 2 ) j = 22 s f 冬4 ，2 j s 5 i j 其中 式为 则 其中 l ( a ) = 磊e 2 1 + 磊e 3 1 + 易e 4 1 ( 2 ) 若a 是情形( 6 2 ) ，则对任意导子d ，在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形 。=an 000 0 ，f ) ” jl 。f i 5 d e r a = l ( a ) + 磊岛+ i , j = 42 s l s 3 2 j s ，f j 磊+ 磊( e 2 , + 如) ，( 3 3 ) 3 三( a ) = z 2 e 1 l + z 2 e 2 1 + 磊岛1 = 易e 1 = 1 证明首先讨论情形( b 1 ) 设d 是a 上的任意一个导子，在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的作用如( 3 1 ) 所示首先讨论导子d 作用在每个方括号运算上的约束由引理 2 1 直接计算有下列等式 ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) d = 【( e 1 ) d ，e 2 ，e 3 + e 1 ( e 2 ) d ，e 3 + 【e l ，e 2 ，( e a ) d 】 = a 1 4 e 4 ，e 2 ，e 3 】= a 1 4 e l20 ， 7 所以，a 1 4 = 0 由等式 得0 1 3 = 0 得乜1 2 = 0 得 得a 5 4 = 0 得a 5 3 = 0 得a 5 2 = 0 ( 【e l ，e 2 ，e 4 ) d = ( e 1 ) d ，e 2 ，e 4 】+ c 1 ，( e 2 ) d ，c 4 】+ c 1 ，e 2 ，( e 4 ) d 】 = a 1 3 e 3 ，c 2 ，c 4 = a 1 3 e l = 0 ， ( e l ，e 3 e 4 ) d = ( e 1 ) d ，e 3 ，e 4 】+ 【e l ，( e a ) d ，e 4 + c 1 ，c 3 ：( e 4 ) d 】 = 陋1 2 e 2 ，e 3 ，e 4 】= 1 2 1 2 c 1 = 0 ， ( 【c 3 ，e 4 ) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，e 4 】+ 【e 2 ，( e 3 ) d ，e 4 】+ c 2 ，e 3 ，( e 4 ) d 】 = a 2 2 e 2 ，c 3 ，e 4 】+ 【e 2 ，a 3 3 e 3 ，e 4 】+ 【e 2 ，e 3 ，a 4 4 e 4 = a l l e l + a 1 2 e 2 + a 1 3 e 3 + a 1 4 e 4 + a 1 5 e 5 a 1 22a 1 3 = a 1 42a 1 520 ：a 2 2 + a 3 3 + a 4 42a 1 1 ( c 2 ，e 3 ，e 5 ) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e a ) d ，c 5 + e 2 ，e 3 ，( e s ) d = c 2 ，e 3 ，a 5 4 e 4 】- a 5 4 e l = 0 ， ( c 2 ，e 4 ，e 5 】) d = ( e 2 ) d ，e 4 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e 4 ) d ，e 5 】+ e 2 ，e 4 ，( e s ) d 】 = e 2 ，e 4 ，a 5 3 9 3 】- a 5 3 c 1 = 0 ， ( e 3 ，c 4 ，e 5 】) d = 【( e a ) d ，e 4 ，e 5 】+ 【e 3 ，( e 4 ) d ，c 5 】+ e 3 ，c 4 ，( e s ) d 】 = e 3 ，c 4 ，a 5 2 c 2 】- a 5 2 c 1 = 0 ， & 勺u 口 。触 i i d 旬 = q“ 0+q 弘 n +n兹 0 = 概括起来总约束有 a 1 22a 1 3 。a 1 42a 1 520 ；a 2 2 + a 3 3 + a 4 42a l i ；a 5 22 ( ：5 32a 5 420 。= ( 幻2 + 霎+ 8 4 4 亳0 i 葶0 葶0 薹0 ) ， 再由引理3 1 得到 4 d e r a = ( a ) + z 2 ( e z + e 1 1 ) + j = 2 2 f 4 2 s j 5 f 匀 z 2 e i j + z 2 e s l + z 2 e 哂 所以( 3 2 ) 成立 下面考虑情形( b 2 ) 设d 是a 上的任意一个导子，在基e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的作 用如( 3 1 ) 所示首先讨论导子d 作用在每个方括号运算上的约束由引理2 1 直 接计算有下列等式由等式 可知 由 得m 3 = 0 ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) d = f ( e 1 ) d ? e 2 ，e 3 】+ e l ，( e 2 ) d ，e 3 】+ e 1 ，e 2 ( e 3 ) d 】 = 【a 1 1 6 1 ，6 2 ，6 3 】+ ( e l a 2 2 e 2 ，6 3 】+ 【6 1 , e 2 ，a 3 3 6 3 】 5 = n l l e l + n 2 2 e l + 。3 3 e l = ( e 1 ) d = 口l j 勺 j = l = a l l e l + a 1 2 e 2 + a 1 3 e 3 + a 1 4 e 4 + a l s e 5 a 1 22a 1 32a 1 42a 1 520 ：a 2 25a 3 3 ( e l ，e 2 ，e 4 1 ) d = 【( e 1 ) d ，6 2 ，6 4 】+ 【e l ，( e 2 ) d ，e 4 】+ 【e l ，e 2 ，( e 4 ) d 】 = 【6 1 ，e 2 ，a 4 3 e 3 】= a 4 3 e 1 = 0 ， ( 【e l ，e 2 ，e s ) d = ( e 1 ) d ，6 2 ，e 5 】+ e l ，( e 2 ) d ，e 5 】+ 【e l ，e 2 ，( e 5 ) d 】 9 - 得a 5 3 = 0 得n 4 2 = 0 得a 5 2 = 0 得a 4 1 = 0 = 【e l ，e 2 ，a 5 3 e 3 】= a 5 3 e 1 = 0 ， ( e l ，e 3 ，e 4 ) d = 【( e 1 ) d ，e 3 ，c 4 】+ e l ，( e 3 ) d ，e 4 + c 1 ，c 3 ，( e 4 ) d 】 = e l ，e 3 ，a 4 2 e 2 】- a 4 2 e l = 0 ， ( e l ，e 3 ，e s ) d = 【( e 1 ) d ，c 3 ，e 5 】+ 【e l ，( e 3 ) d ，e 5 】+ 【e l ，e 3 ，( e 5 ) d 】 = c 1 ，e 3 ，a 5 2 e 2 】- a 5 2 e l = 0 ， ( e 2 ，c 3 ，e 4 】) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，e 4 】+ e 2 ，( e 3 ) d ，e 4 】+ 【c 2 ，c 3 ，( e 4 ) d 】 = e 2 ，e 3 ，a 4 1 e l 】= a 4 1 e l = 0 ， ( e 2 ，e 3 ，e s ) d = ( e 2 ) d ，c 3 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e 3 ) d ，e 5 】+ 【c 2 ，e 3 ，( e 5 ) d 】 得a 5 1 = 0 概括起来总约束有 则 所以 = e 2 ，e 3 ，a s l e l 】= a s l e l = 0 ， a 1 22a 1 32a 1 42a 1 52a 4 12a 4 22a 4 32a 5 12a 5 22a 5 320 ：a 2 22a 3 3 35 d = n n 最1 + n 巧岛+岛+ n 2 2 ( 岛2 + e 3 3 ) ， 扛1 i d = 42 i 3 ，2 j s 5 ，t j 5 z 2 e _ f i + 易岛十 i , j = 4 2 i 3 1 阻 z 2 e i j + z o ( e 2 2 + e 吕3 、 、l，j， 5 5 ，a 5o助堇酗蛳 t 4 l lo科肼泓肼 3 2 o锄吻o o 0|蚣0 0 吼眈0 0 ，。一 = d 。 = arpd 3 已知l ( a ) = z 2 e l i + 磊e 2 l + z 2 e 3 , = 易最1 ，所以 i = 1 证毕 定理3 2 设a 是磊上的5 维3 一李代数，d i ma 1 = 2 ，则 ( c 1 ) 对a 的任意导子d ，在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形式为 。= ia 2 2 + a 3 3 + 口4 4 毒a , i 2 孝0 葶0 兰0 圣j ，q 巧f z 2 0 e j j + e l l 、+ z 2 e m + z 2 e 髓七z 2 e 4 3 + z 2 e 嫣+ z 2 e 弱 ( c 3 ) 对a 的任意导子d ，在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形式为 。= a l l a 1 2 逶0 0 0 卜 d e r a = l ( a ) + z 2 ( 局1 + e 2 2 ) + 乙( e b + e “) + z 2 e 强+ z 2 e 3 sj 广z 2 e 豁+ z 2 e 辐+ z 2 e 嗡。 ( c 6 ) 对a 的任意导子d 在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示形式为 。=(萎a1；1钆3十蚕0+吼1；o o o q 巧f d e r a = l ( a ) + 历( e 1 1 + 易2 + e 5 5 ) + z 2 ( e 2 2 + e 3 3 ) + z 2 e z 4 + 磊e 3 5 + 历局3 + z 2 ( 岛2 + e 4 4 ) + 易且5 + 邑e 5 1 1 1 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 幻邑 + 岛邑 + 邑乙 身| | v l + 易乙 。渊 +a己 = a盯d 。芦 + 、l ， 4 ，jl、 己 = ared 证明首先证明情形( c 1 ) 设d 是任意一个导子，在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩 阵表示如( 3 1 ) 所示由引理2 1 ，首先讨论导子d 对每个方括号运算的约束由 可知 再由 ( e l ，c 2 ，e a ) d = ( e 1 ) o ，e 2 ，e 3 】+ 【e l ，( e 2 ) d ，e 3 】+ e l ，e 2 ，( e a ) d 】 = a 1 4 e 4 ，e 2 ，e 3 】+ e l ，a 2 4 e 4 ，e 3 】= a 1 4 e l + c 2 4 e 2 = 0 ， a 1 42a 2 420 ( e l ，e 2 ，e i ) d = ( e 1 ) d ，e 2 ，e 4 】+ e l ，( e 2 ) d ，e 4 】+ 【e l ，e 2 ，( e 4 ) d 】 = a 1 3 c 3 ，e 2 ，c 4 + 【e l ，a 2 3 e 3 ，e 4 】= a 1 3 e l + a 2 3 e 2 = 0 ， 得到a 1 3 = a 2 3 = 0 ( 【e l ，c 3 ，e 4 】) d = 【( e 1 ) d ，c 3 ，e 4 】+ e l ，( e a ) d ，e 4 】+ e 1 ，e 3 ，( e 4 ) d 】 = a l l e l ，c 3 ，e 4 】+ 【a 1 2 e 2 ，9 3 ，c 4 】+ e l ，a 3 3 e 3 ，e 4 】+ e l ，e 3 ，a 4 4 e 4 】 5 = n 1 1 e 2 + a l e e l - - - a 3 3 e 2 + 0 4 4 e 2 = ( e 2 ) d = a 2 j e j j = 1 = a 2 1 e l + a 2 2 e 2 + a 2 3 c 3 + a 2 4 c 4 + a 2 5 e 5 得a 1 22a 2 1 ；a l l + a 3 3 + a 4 42a 2 2 ；a 2 32a 2 42a 2 5 = 0 得a 5 4 = 0 得a 5 3 = 0 ( e l ，e 3 ，e 5 】) d = ( e 1 ) v ，e 3 ，e 5 】+ 【e l ，( e a ) d ，e 5 】+ e l ，e 3 ，( e s ) d 】 = 【e l ，e 3 ，a 5 4 e 4 】= a 5 4 e 2 = 0 ， ( e l e 4 ，e 5 ) d = ( e 1 ) d ，e 4 ，e 5 + 【e l ，( e t ) d ，e 5 + 【e l ，e 4 ，( e d d = 【e l ，e 4 ，a 5 3 e 3 】_ a 5 3 e 2 = 0 ， ( e 2 ，c 3 ，e 4 ) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，c 4 】+ 【e 2 ，( e a ) d ，e 4 + 【c 2 ，c 3 ，( c 4 ) 驯 = 【a 2 1 e l ，e 3 ，e 4 】+ 【a 2 2 e 2 ，e 3 ，e 4 】+ e 2 ，a 3 3 e 3 ，e 4 】+ c 2 ，e 31a 4 4 c 4 】 1 2 得 得a 5 4 = 0 得a 5 3 = 0 5 = 口2 l e 2 + 口2 2 e 1 + 口3 3 e 1 + 口4 4 e 1 = ( e 1 ) d = 口1 j 勺 j = l = a l l e l 十a 1 2 e 2 + a 1 3 e 3 + a 1 4 6 4 + a 1 5 e 5 ， a 2 l 。a 1 2 ；a 2 2 + a 3 3 + a 4 42a 1 1 ；a 1 3 。a 1 42a 1 52 0 ( e 2 ，e 3 e 5 ) d = ( e 2 ) d ，e 3 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e 3 ) d ，e 5 】+ e 2 ，e 3 ，( e s ) d 】 = e 2 ，e 3 ，a 5 4 e 。】= a 5 4 e l20 ， 【( e 2 ，e 4 岛】) d = 【( e 2 ) d ，e 4 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e 4 ) d ，e 5 】+ 【e 2 ，e 4 ，( e s ) d 】 = 【e 2 ，e 4 ，a 5 3 e 3 】= a 5 3 e l = 0 ， ( 【e 3 ，e 4 ，e 5 】) d = 【( e 3 ) d ，e 47 e 5 】+ e 3 ，( e 4 ) d ，e 5 】+ e 3 ，e 4 ，( e s ) d e 3 ，e 4 ，a 5 2 e 2 】+ e 3 ，e 4 ，a 5 1 e l 】a 5 2 e l + a 5 1 e 22 0 ， 得a 5 l2a 5 2 = 0 概括起来总约束有 所以 因此 a 1 32a 1 42a 1 52a 2 32 口2 42a 2 52a s l2a 5 22a 5 32a 5 42 0 a 1 22 口2 1 ；a l l2a 2 2 + a 3 3 + a 4 4 。= a 2 2 + a 3 3 + n “毫a 1 2 0 0 卦0 、 4 d = a z ( e j j + e 1 1 ) + 蚴( e 1 2 + 易1 ) + 。巧岛j r - a 5 5 e 5 5 j = 2 3 1 i 4 ，1 j s5 i 歹 4 d e r a = 乙( e j + e 1 1 ) + 磊( e 1 2 + e 2 1 ) + 0 = 2 1 3 - 由引理3 2 知l ( a ) = 易e 4 1 + z ：e 3 1 + 么( e 1 2 + e 2 x ) + 易局2 + z 2 岛2 ，证得 4 d e 7 a = l ( a ) + 易( 易j + e 1 1 ) + z 2 e u + z ：e 3 5 + z ：e 4 3 + z 2 e a 5 + 易岛5 j = 2 下面讨论情形( c 3 ) ，设d 是任意一个导子，在基e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 下的矩阵表示 如( 3 1 ) 所示由定理2 1 ，首先讨论导子d 对每个方括号运算的约束由乘法表直 接计算得到下列等式由等式 可知 再由 ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) d = ( e 1 ) d ，e 2 ，e 3 】+ e l ，( e 2 ) d ，e 3 】+ e l ，e 2 ，( e 3 ) d 】 = 【a 1 4 e 4 ，e 2 ，e 3 】+ 【e l ，q 2 4 e 4 ，c 3 】= a 1 4 ( e l + e 2 ) + a 2 4 e 2 = 0 ， a 1 42a 2 4 = 0 ( e 1 ，e 2 ，e 4 ) d = 【( e 1 ) d ，e 2 ，e 4 】+ 【e l ，( e 2 ) d ，e 4 】+ 【e l ，e 2 ，( e 4 ) d 】 = a 1 3 e 3 ，e 2 ，e 4 + e l ，a 2 3 e 3 ，e 4 】 得到a 2 3 = a 1 3 = 0 得到 得a 5 4 = 0 = a l a ( e l + e 2 ) + a 2 3 e 2 = 0 ， ( 【e l ，e 3 ，e 4 ) d = 【( e i ) d ，e 3 ，e 4 】+ 【e l ，( e 3 ) d ，e 4 】+ 【e l ，e 3 ，( e 4 ) d 】 = 【a l l e l ，e 3 ，e 4 】+ a 1 2 e 2 ，e 3 ，e 4 】+ e l ，a 3 3 e 3 ，e 4 】+ e l ，e 3 ，a 4 4 e 4 】 5 = 。l l e 2 + n 1 2 ( e l + e 2 ) + n 3 3 e 2 + a 4 4 e 2 = ( e 2 ) d = n 2 j 勺 j = l = a 2 1 e 1 + a 2 2 e 2 + a 2 3 e 3 + a 2 4 e 4 + a 2 5 e 5 ， a 1 22a 2 1 ；a l l + a 1 2 + a 3 3 + a 4 42a 2 2 ；a 2 32a 2 426 2 520 ( e l ，e 3 ，e 5 】) d = ( e a ) d ，e 3 ，e , 5 】+ 【e l ，( e 3 ) d ，e 5 】+ 【e l ，e 3 ，( e s ) d = 【e l ，e 3 ，a 5 4 e 4 】= a 5 4 e 2 = 0 ， ( e 1 ，e 4 ，e 5 】) d = ( e 1 ) d ，e 4 ，e 5 + e l ，( e 4 ) d ，e 5 】+ 【e l ，e 4 ，( e s ) d 】 = e l ，e 4 ，a 5 3 c 3 ) = a 5 3 e 220 ， 1 4 - 得a 5 3 = 0 得 ( e 2 ，e 3 ，e 4 】) d = 【( e 2 ) d ，e 3 ，e 4 】+ e 2 ，( e 3 ) d ，e 4 】+ 【e 2 ，e 3 ，( e 4 ) d 】 = a 2 1 e l ，e 3 ，e 4 】+ 【a 2 2 e 2 ，e 3 ，e 4 】+ 【e 2 ，a 3 3 e 3 ，e 4 】+ e 2 ，e 3 ，a 4 4 e 4 = a 2 1 e 2 + a 2 2 ( e l + e 2 ) + a 3 3 ( e l + e 2 ) + a 4 4 ( e l + e 2 ) 5 = ( e l + e 2 ) d = 。1 ，e j + j = t = ( c f l l + a 2 1 ) e l + ( a 1 2 + 0 2 2 ) e 2 + ( a 1 3 + a 2 3 ) e 3 + ( a 1 4 + a 2 4 ) e 4 + ( a 1 5 + a 2 5 ) e 5 ， 得5 4 = 0 得a 5 3 = 0 a 2 2 + ( - 3 3 + a 4 42a l l + a 2 t ；a 2 1 + a 2 2 + a 3 3 + a 1 42a 1 2 + a 2 2 ； a 1 32a 2 3 ；a 1 42a 2 4 ；a 1 55a 2 5 ( e 2 ，e 3 ，e 5 】) d = 【( e 2 ) d ，e 3 ，e 5 】+ e 2 ，( e 3 ) d ，e 5 】+ 【e 2 ，e 3 ，( e 5 ) d 】 = 【e 2 ，e 3 ，a 5 4 e 4 】= a 5 4 ( e 2 + e 1 ) = 0 ， ( e 2 ，e 4 e 5 】) d = 【( e 2 ) d ，e 4 ，e 5 】+ 【e 2 ，( e 4 ) d ，e 5 】+ 【e 2 ，e 4 ，( e s ) d 】 = 【e 2 ，e 4 ，a 5 3 e 3 】= a 5 3 ( e l + e 2 ) = 0 ， ( e 3 ，e 4 ，e 5 】) d = 【( e 3 ) d ，e 4 ，e 5 】+ 【c 3 ，( e 4 ) d ，e 5 】+ 【e 3 ，e 4 ，( e s ) d 】 得a 5 1 = a 5 2 = 0 概括起来总约束有 = c 3 ，e 4 ，a 5 1 e l 】+ e 3 ，e 4 ，a 5 2 e 2 】 = a 5 1 e 2 + a 5 2 ( e l + e 2 ) ，= 0 a 1 32a 1 42a 1 52a 2 32 ( 2 42a 2 52a 5 12a 5 22 口5 32a 5 450 a 1 22 ( ：2 1 ，a 3 32a 4 4 ，1 l + a 1 22a