（应用数学专业论文）一类含临界指数plaplace方程的非线性边值问题.pdf

摘要 本文考虑如下临界增长p - l a p l a c e 方程的非线性边值问题 j 一审t 正4 - l 札j p 一2 = o ( z ) j 仳l p 。一2 “， 霉q ， ti v t p 一2 爱+ 6 ( z ) l “1 4 2 牡= o ， z 勰， 的非平凡解的存在性 其中q 是舻中具有c 1 边界的有界区域，表示p - l a p l a c e 算子，1 矿 p + 一嚣，p g 0 ，为p q 上单位外法向量 本文根据没有( p s ) 条件的山路引理，找到序列知。 ，使之满足f ( t 。) 一 e ，( u 。) 一o ( m o o ) ，之后利用第二集中紧原理证i v 札。l 一2 l v 珏。l 的弱收敛 性，再证明当c 击( n ( 黝) ) 一号露时非平凡解的存在性最后验证引理的条件， 通过5 个引理得到问题( 1 ) 的非平凡解的存在性 关键词：临界指数；非线性边值；集中紧原理 硕士学位论文 m a s i er st h e 8 i s a b s t r a c t w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v a ls o l u t i o n st ot h en o l l l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ni n v o l v i n gs o b o l e ve x p o n e n t a sf o l o w s ： 一毋主l 心 p 2 o ) l “ 矿以 z q ， ( 1 ) il v 1 9 吨骞+ 6 0 ) 。2 “= 0 ， z 锄 w h e r eqi sab o u n d e dc 1d o m a i ni n 舻；pi sf o rp - l a p l a c eo p e r a t o r ；1 矿 礼，矿= 旦n - p ，p 口 o ；ri st h e u n i to u t e rn o r m a lo na q b yt h em o u n t a i n p a s st h e o r e mw i t h o u t ( p s ) c o n d i t i o n ，w ef i n das e q u e n c e u m w h i c hs a t i s i f i e sf ( t 。) _ ca n df 以m ) _ 0a sm - + o o w ev e r i f y v 珏m l p - 2 v 钍。ii s w e a k l yc o n v e r g e n c eb yt h ec o n c e n t r a t i o np r i n c i p a li io n l ya sc 去( n ( z o ) ) 一尹罐 a tl a s t ，w ev e r i f yt h i sc o n d i t i o n s ow es o l v eo u rp r o b l e mb yf i v el e m m a s k e yw o r d s ：c r i t i c a le x p o n e n t ；n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e ；c o n c e n t r a t i o n p r i n c i p a l ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 百审矽日期：聊年多月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：万中匆 日凯砷年；月7 日 导师签名： 日瓤谝7 年1 5 月7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数掘库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重途塞堡窒卮进亘；旦圭生i 旦= 生；旦三生筮鱼! 作者签名：百畅 。瓠研月7 日 导师签名 日期：泖7 年占月_ 7 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言及主要结果 本文讨论如下临界增长p - l a p l a c e 方程的非线性边值问题的非平凡解的存在性 一i v 舢u ，- 娑24 p - 意盂；型竺0 i 2 ：主曼 c t 【鲁| 6 ( 霉州”2 t = ， z 锄 、 其中q 是彤中具有c 1 边界的有界区域，p 表示p - l a p l a c e 算子，1 p 2 -i，+aug,uou 001p 翟p 一1 q ， 礼， 一 0 、 非平凡解的存在性文献 1 1 1 讨论了问题( 1 3 ) 在n e u m a n n 边界条件d r u = 0 下正 解的存在性，文献f l o j 则讨论了闻题( 1 ，3 ) 的非线性边值闯题非平凡解的存在性 受上述文献启发，本文讨论在临界项上带变系数的p - l a p l a c e 方程的非线性 边值问题由于在s o b o l e v 临界指数下嵌入定理失去紧性，因此不能直接利用变 分原理来讨论问题( 1 1 ) ，本文的大致思路如下：先根据没有( p s ) 条件的山路引 理找到序列u 。) 满足x ( u 。) 一e ，f ( u 。) 一o ( m o 。) ，利用第二集中紧原理证 f v “。p 一。f v 。l 的弱收敛性再证明当g o ，1 p 2 n ，矿= 嚣，p 口 ，g 。忙i n 口f 拒s ( u 。p ，1 ) i ( 妒( 。) ) ，其中 雪= 妒1 1 ：f ，g ( o ，1 】，e ) ，砂( o ) = 0 ，妒( 1 ) = t o ) ，t o 为充分大的常数，使对任意 t 之1 有，( t 粕) 墨o 下面分五个引理证明定理1 1 引理2 1 若p ，q ，n ( z ) ，b ( x ) 满足题设条件，则存在( “。) ce 使( ) 一 q ，7 ( “。) 一0 ，( m o 。) 于e 中 证明由嵌入定理及”怯与| j 彤- 一( n ) 的等价性，有 m ) = j l f n i v u l 9 十i 印一刍上础) 咿+ ；1 厶俐卵 割训乱，州n ) - 争矗( n ，万( 1 圣一等善 3 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 其中髓，j 毛都是大于零的常数由于1 0 另一方面，对“o e ，让o 0 ，t 0 ， 球岫= ；上m 川蚓l 等肛m 铲+ 詈厶m 如性一吾仲洲+ 釉懈，参| l 性一a l l l u 。i l 筘+ 吾蚝l | 雌。( 锄) 其中凰是大于零的常数，当t 一十o 。时，z ( t u o ) 一一o o ，故存在t o 0 使 j t o u o ij e p 且i ( t o u o ) 0 ，j 6 0 ，当 v h i o ，j 6 0 ，使2 1 , e ，并对某z o q s u f p ucb ( x o ，6 ) 时，有 fl y u 险( 2 幛岛叫( z m 劳 ( n ) 引理2 4 设 ce ，( “。) 一a ，( ) 一o ( m o 。) ，则 ) 中存在子 列( 仍记为( u 。 ) 及u e ，使得f v u 。1 9 吨l v 让。i l v “l - 2 i v “j 于e 中，从而珏 为，( ) 的临界点；当 g o 待定，及q 上单位分解( ) ：；1 ，使对每个口，d i a m ( s u p p 妒。) o ) ，且使式( a ) 成立，则 ( 上俐计铲纠妒 z ( 三碱) 譬】芳 ，n，n = = 洲尹耋l ( ( 妒锄参瓤l 蠢酬1 芳 9 硕士学位论炙 m a s t e r st i i e s i s 纠炉旷：昂_ c ) 1 謇z i v ( 扎m 加 = o 知) 乒( 2 一：昂一e ) 一1 【( 1 + e ) i v ( t t 。) j ，+ l u 。同 j nj n ( 2 一。岛一) 一1 ( 14 - e ) 口( z o ) 劳l v q 。尸 d n 其中是仅与，6 有关的常数，令m o o ，利用式( 2 1 2 ) 知 ( 锈e ) 多( 2 一；昌一e ) - i ( 1 + f ) 8 ( 士o ) 参竹c e 扣一：品一e ) ( 1 + e ) - 1 0 ( 如) 一争芦 在上式中取f 0 充分小，得g 乏击j s 多( a ( 。) ) 一尹，与已知条件矛盾因此 u 0 ，从而u 为问题( 1 1 ) 的非平凡薜 t 0 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s 第三节条件的验证 下面的主要问题是验i , t 条f l ： c 去带( d ( 剐) 一笋 记c + = i 蜷s u p f ( 饥) ，不难见c 0 c + 3 ，1 矿 o ) ，因此在原点的一个邻域b ( 0 ，d ) 内，a q 可表示成 = ( z ) = 互1 邮2 ；+ 彬i 2 ) 其中= ( z 1 一1 ) 2 ) 6 = b ( 0 ，6 ) n = o ) 不失一般性，我们假设0 q 且 设x 0 = 0 ，即o ( z ) 在原点达到最大值 ( z ) = e ( e 十南) 一学 k l = 厶i v 砜h 如= 岛i u e l 矿，k l ，与e 无关，且由 5 1 昂；皂 乜“ 1 1 硕士学位论文 m a s t e rst h e s i s 记 k 1 ( 。) ：厂| v 氓l 一， j n k 2 ( e ) ：厂坩。， j n 乜( ) 2j 乞埘，( e ) 2 j 毛n6 ( z ) 坩na n k 3 ( 。) ：厂。( z ) l 地i 矿 j n n 一1 当1 p 2 竹时，p 0 作变换一= e ( p - ：) p y ，寻e ( p - 1 ) p 蜘有 球，= 厶一，蒯j ( “一i v 蚓，如。；c 筹州”，协厶者笔篙裟每 事实上 类似于 6 】有 = c 并，厶7 厂”如。吾箸崭 l 警l m 加训旧= c n - - p ) p 厶一，掣第器 =志c筹，喜啦厶一，丽y,12+p(p-1)dy ! 如扣“叫，如。l ：。( 。胁) ，。o 厶删如f 孔e l n 1 o ( p 。1 胁) ，o t 2 因而，由于1 0 ，使i ( t o u e ) = f o = s u p i ( t u 。) ，要证( 3 2 ) ，只需证明f o o 因为 蜀七。( e ) 菩+ 乜( e ) 警一如( e ) 菩一盹( e ) 警 s u 晰l ( e ) 罟喇e ) 0 ( e 妇) ；要【燕】；+ 。( 廿) n i 如( e ) l 等。”7 其中9 2 = r a i n q 1 ，皆) ，由式( 3 3 ) 仅需证明 器w 1 似o ”孚善 慨e ， 硕士学注论文 m a s t e r st h e s i s 将( 3 3 ) ，( 3 5 ) 式代入( 3 6 ) 式中，显然成立，从而式( 3 1 ) 成立 综合引理2 1 ，2 2 ，2 4 ，2 5 可得定理( 1 1 ) ，证毕 1 5 硕士学位论文 a l 盏s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】g u e d d m ，v e r o n l ，q u a s i l i n e a xe l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b l e ve x p o n e n t s 。 n o n l i na n a l y , 1 3 ( 1 9 8 9 ) ；8 7 9 - 9 0 2 【2 1 g a r c i aa z o r e r o j ，p e r a la l o n s o i c o m r np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 2 ( 1 9 8 7 ) ；1 3 8 9 - 1 4 3 0 【3 ie g n e l lh s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t sa r c hr a - t i o n a lm e c ha n a l ，1 0 4 ( 1 9 8 8 ) ；5 7 - 7 7 【4 】l ig o n g d a o n o n t r i v i a ls o l u t i o n so fq u a s i l i n e a xe l l i p t i ce q u a t i o n si n 孵i n v o l v i n g l i m i t i n gn o n l i n e a r i t i e s a c t am a t hs c i ，7 ( 1 9 8 7 ) ；3 2 9 - 3 3 9 5 】t a l e n t i g ，b e s tc o n s t a n t si ns o b l o l e vi n e q u a h 饥a n n a l id im a t ，i i 0 ( i 9 7 6 ) ，3 5 3 3 7 2 f 6 】w a n g x u j i a ，n e u m a n np r o b l e mo fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a l s o b o l e ve x p o n e n t s ，j d i f f e q u a ，9 3 ( 1 9 9 1 ) ；2 3 8 - 3 1 0 【7 】l i o n s ，p lt h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e si ne a l c n l a so fv a r i a t i o n s ，r e v i s t a m a t i b e r ，1 ( 1 9 8 5 ) ，1 4 5 - 2 0 1 8 朱熹平临界增长拟线性椭圆型方程的非平凡解f j ，中国科学学报，s 0 9 s s ) ；2 2 s - 2 3 7 【9 】张翼一类带临界指数p - l a p l a c e 方程正解的存在性，杭州大学学报， i ( 1 9 9