（应用数学专业论文）两类椭圆偏微分方程解的存在性问题(1).pdf

摘要 摘要 这篇硕士论文主要运用了变分方法的基本方法，如极小极大原理，山路引理等 研究了两类椭圆偏微分方程解的存在性问题 绪论中我们回顾本文所讨论问题的背景 在第一章中，介绍s o b o l e v 空间的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明 在第二章中，考虑类不定的拟线性椭圆方程问题 c 只， 焉i 鞭x ) u 咄+ k ? 茹裂p 2 r ， 其中南r ，且p 2 ，a r d 1 , 2 ( r ) 是c 铲( r ) 在范数i i t , 1 1 2 = 丘i u ，1 2 d x 的闭 包主要考虑当a ( x ) 在r 上是变号时，且a ( z ) 和y ( z ) 满足下面条件： ( a i ) 口( z ) c 限) ； ( a 2 ) 1 i ma ( x ) = - 1 ； ( a 3 ) 0 y ) 【l ( r ) 】7 ( l ( r ) 的对偶空间) 且y ( z ) 不恒为零，方程( 只) 有个非平凡解 在第三章中。考虑一类p - l a p l a c i a n 椭圆方程 ( b ) z q z 砌 的解存在性问题，其中p u = d i v ( i v u l p 一2 v u ) 是p - l a p l a c i a n 算子，1 p ，p g 惫，o 0 ，b 0 ，q cr 是一个光滑边界的区域 ( b ) 在第四章中，考虑一类加权的p - l a p l a c i a n 椭圆方程 j - d i v c i x l 唧l v u p 2 v u ) - i - i x l a i u i m - 2 让= h 口 - 2 u ，z q it = 0 ，z 勰 的解的存在性问题，其中1 p p 0 ，。r ，u d 1 , 2 ( r ) ， 的非平凡解的存在性问题其中七r ，且p 2 ，a r d 1 , 2 ( r ) 是c 铲( r ) 在范 数i l u l l 2 = 厶i 1 2 出的闭包主要考虑当a ( x ) 在r 上是变号时，且o ( z ) 和v ( x ) 满足下面条件- ( a 1 ) a c x ) c ( r ) ； ( a 2 ) 1 i ma ( x ) = - 1 ； ( a 3 ) 0 v ( x ) 陋( r ) 】( l ( r ) 的对偶空间) 且y ) 不恒为零 以及一类p - l a p l a c e 椭圆方程： ( 马) - a p u + i z l 口i u i p 一2 u = l x l 6 l u l q 一2 t z q u 0 ，t w 1 伊( q ) ， t = 0 ，z a q 的解存在性问题，其中a p u = d i v ( v u p 一2 v u ) 是p - l a p l a c i a n 算子，1 p n ，p g 4 ，a ( 0 ，a 1 ) ，且满足( a 1 ) 一( a s ) 时方程( 只) 有一正 解 第三章，我们研究的是方程( 岛) ，采用极小值序列来找到方程( 马) 有径向解和 非径向解序列得到的结论是； 定理3 1 1 若a 0 ，b 0 ，1 p n 且 阳 批焉一焉， 则方程( 恳) 有一个径向解 定理3 1 2 若1 p n ， p 口 惫+ 惫，p b - a + 芈) ( q - p ) ( n - 1 ) ， 则方程( 马) 有无穷多个径向解 定理3 1 。3 若8 0 ，b 0 ，l p n 且p q 鹊， 加一口0 + 芈) c 帅心- 1 ) 朋 p b ， 则对每个咒，当q = s ( 0 ，r ) ，r 足够大时，方程( 恳) 有个径向解和非径向解 第四章，我们研究的是方程( 尼) ，采用极小值序列来找到方程( b ) 有径向解和 非径向解序列得到的结论是， 定理4 1 1 若o 0 ，b 0 ，1 p n 且 p g 矿， 中文文摘 p ( p 一口) + p ( g 一仇) ( o + 1 ) ( q m ) n ， 则方程( b ) 有一个径向解 定理4 1 2 若口0 ，b 0 ，1 p n 且 p 口 p ， p ( z 一口) + p ( g m ) ( 口+ 1 ) ( q m ) n ，a q a y ( z ) t 上+ k ( u 2 ) t 正+ 口( z ) l u i p 一2 u ， z r ， 0 ，z r ，t d 1 , 2 ( r ) ， w h e r e 七r ，a n dp 2 ， a r l e td 1 , 2 ( r ) b et h ec l o s es p a c eo fc 铲( r ) w i t ht h e n o r m 2 = 厶2 如w e m a i nc o n s i d e rt h a ta ( x ) c h a n g e ss i g no nr ，n ( 。) a n d y ( z ) s a t i s f i e st h ef o l l o w sc o n d i t i o n ： ( a 1 ) o ( z ) c ( r ) ； ( a 2 ) 鼙ma ( x ) = - 1 ； ( a 3 ) 0 v ( x ) 【l ( r ) 】( i ti st h ec o n j u g a t es p a c eo f 俨( r ) ) a n dv ( x ) n o te q u a lt oz e r oc o n s t a n t l y , w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rt h e e q u a t i o n ( 尸1 ) i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rac l a s so fp - l a p l a c i a n e l l i p t i ce q u a t i o n ( 马) i x l 6 i 乱i 口一2 u z q z a q i nh e r e 辞u = d i v ( w u l p 一2 v u ) i st h ep - l a p l a c i a uo p e r a t o r ，a n d1 p n ，p q = 一 钍 u ，-_jr、-i-l 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 p - l a p l a c i a ne l l i p t i ce q u a t i o n ( b )卜击u ( i 。i 唧i v 俨i 2 v u ) + 【u = 0 ，z 讹 i z l 口l u l m - 2 r = i z i 口i u l g 一2 u ，z q i nh e r ea p u = d i , c l v u l p 一2 v u ) i st h ep - l a p l a c i a no p e r a t o r ，a n d1 p ，p q 矿= 业- - p ( a + 1 ) ，qcr n i s ad o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y i nc h a p t e rf i v e ，w es u m m a r i z e st h em a i nc o n c l u s i o n so ft h i st h e s i s k e yw o r d s ：c r i t i c a lp o i n t s ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s ；m o u n t a i np a s s ；i n d e f i n i t e q u a s i l i n e a re q u a t i o n s ；p - l a p l a c i a u ；m u l t i p l es o l u t i o n s i v 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 记号与约定 d i va 向量a 的散度 8 u p ( a ) ，i n f ( a ) ，a 的上确界和下确界 b r ( 0 ) ；以零点为圆心，以r 为半径的球 0 b r ( 0 ) 球b r ( 0 ) 的边界 qcr 是个带有光滑边界的有界区域 伊m ) = 心：q _ r i 俨u 在q 上连续，硌，即k 次连续可微的函数空间 日1 ( r ) = w 1 , 2 ( 一) g 台( q ) - c 七( q ) 中所有支集包含在q 内的函数让的全体 护( q ) 。p 次可积函数类，1 p o o l ( q ) ，本性有界函数类 七( q ) 。q 中所有k 次弱可微函数的全体 w k , p ( f 2 ) = u w 七( q ) i 伊t 口( q ) ，i 口i 七， 蝣巾( q ) c 矿( q ) 在如( q ) 中的闭包 r 实数域上的维欧氏空间 ( ，) ，内积 jt 存在 d ，空集 o oi 无穷 v lt ，的梯度 a l l a p l a c e 算子 p t p - l a p l a c i a n 算子 _ t ，1 收敛于t ， j 弱收敛于t ， i i 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权 声明尸叫 本人( 姓名) 鱼茎梅，学号2 0 0 6 0 6 7 0专业应用数学所呈交的论文 ( 论文题卧一匾耋煎圆偏微筮方程解的存在性问题 ) 是本人在导师指导下，独 立进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除论文中已特别标明引用和致谢 的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果对本 论文的研究工作做出贡献的个人或集体，均已在论文中作了明确说明并表示谢意， 由此产生的一切法律结果均由本人承担 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 福建师范大 学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅和借阅；本人授权福 建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文，并按国家有关规定。向有关部门或机构( 如国家图书馆、 中国科学技术信息研究所等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) ( 保密的学位论文在解密后亦遵守本声明) 学位论文作者签名：彳砀鬈私 签字日期：川年多月日 指导教师 签字日期 目录 绪论 在数学、物理学、生物学、医学、控制论等诸许多科学领域中出现各种各样的 非线性问题都可以归结为求微分方程的解，在解决这些非线性问题时，逐渐形成了 现代分析中的个很重要的分支一非线性泛函分析，主要包含如不动点方法、拓扑 度方法、变分方法等内容在实际问题中不断涌现出大量的非线性微分问题，经过 许多数学家们的不懈努力工作逐渐形成了一个解决这种问题的数学分支一变分法 所谓变分方法就是把求方程的解归结为求相应的泛函在一定条件下的极值问题 或临界点问题古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点1 9 世纪以前， 一直是将这种特殊形式的临界点问题化为微分方程去求解的d i r i c h l e t 原理( 1 4 1 ) 被认为是从反面考察变分问题与方程关系的最早的例子之一，它同本世纪初意大利 数学家t o n e l l i 引进的关于泛函下半连续性的概念，延续到今天都是研究泛函极值 问题的基本手段【3 7 】 现代变分方法始于g b i r k h o f f 的有限维的极小极大思想【1 5 】对于无穷维的情 形，1 9 7 3 年a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 在【1 】中引入了山路引理，此后又引入了山 路引理的推广鞍点定理和环绕定理 2 5 】极小极大方法是变分学中的一个重要的方 法应用极小极大方法研究椭圆偏微分方程的解的存在性时，可以用山路引理讨论 非平凡解的存在性山路引理在解的存在性方面起了重要的作用，是一个非常有用 的定理，在研究微分方程解的过程中需要一个非常重要的条件一一( p s ) 条件，这 个紧性条件是上述定理必须具备的基本条件 根据s o b o l e v 嵌入定理，当q 是r 中的有界区域时，嵌入映射w 孑一( q ) q l a ( q ) 在1 g 矿= 焉笔的情况下是紧的，这里矿称为h a r d y - s o b o l e v 临界指 标，这时( p s ) c 条件是容易满足，但是。当g p 时，而且当q 是无界区域时， 往往也没有紧性条件，这就给问题的研究带来了困难近年来，越来越多的学者对 带临界指数项或者无界区域上的椭圆偏微分方程感兴趣为此l i o n sp l 引进了 集中紧性原理， ( 【2 0 】，【2 1 ，【2 2 1 ) ，它是研究带临界指数的拟线性椭圆方程边值问题 的重要工具，它克服了缺乏紧性条件带来的困难 本文是运用变分方法来求两类椭圆微分方程解的存在性问题 首先，本文应用集中紧性原则以及极大极小方法来研究方程( 只) ，得到了入在 一定的范围内方程都存在一个非平凡解接着用极小值序列探索了方程( 恳) 以及 ( b ) 存在径向解和非径向解，且方程( 易) 相对应的能量泛函j 满足( p s ) 。条件， 1 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 用山路引理以及环绕定理来讨论方程( 尼) 多解的情况 本文共分为六个部分 绪论，介绍上述两类椭圆问题的研究背景 第一章，介绍s o b o l e v 空间的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明 第二章，运用集中紧性原理以及山路引理讨论了方程( p 1 ) ，并得到一个非平凡 解的存在性 第三章，运用极小值序列以及山路引理和环绕定理讨论了方程( 恳) 解的存在 情况 第四章，运用极小值序列讨论了方程( b ) 解的存在情况 第五章，归纳了本文的主要结论 2 第1 章预备知识 第1 章预备知识 首先，我们先给出一些记号 整篇文章中，除特别说明外，f 表示在q 上的积分正rc 或者a 都表示正常 数，对于1 q + 0 0 ， ( r ) 的范数为i u l ；= 矗l u l q d x ， l l 驴表示工户( r ) 中 的范数 在第二章中，定义e = 【t ：r _ r l u 是可测的，l 2 ，u i _ 2 ，f 忌铲i 1 2 d r , + o o ) 是完备的卵( r ) 空间在e 上的范数为 则陋，”1 1 ) 是巴拿赫空间 1 l u l l 2 = i u 譬+ i u l ；+ 七 “l ；， 第三章中，定义胛p ( r ) 为1 ，p ( r ) = 缸汐( r ) ：v u 驴( r ) ) 的 径向对称函数i 噬乎为昵护( r ) = ( t w 1 沪( r ) ：丘h d l u p ) 的径向对称函数； 讲p ( r ) 为d 1 ，p ( r j v ) = u l 鸪( r ) ：v u p ( r ) ) 的径向对称函数 j 表示弱收敛，_ 表示强收敛 接着，将介绍s o b o l e v 空间的一些定义，引理 定义1 0 1 设e 是b a n a c h 空间，f 是e 上的一个泛函，称t e 是j 的一个 临界点，如果j 7 ( u ) = 0 ，这里，( t ) 是j 在u 处的f r d c h e t 导数 定义1 o 2 设c r ，e 是一个b a n a c h 空间，且i c 1 ( e ，冗) 我们说，满足 ( p s ) 。条件，若对于e 中任意满足j ( 让n ) 一c 且0j 7 ( 缸n ) 0 e 一1 - - + 0 的序列 u n ) 都 有一收敛子列若对于任意的c r ，( p s ) c 条件都满足，我们就说j 满足( p s ) 条 件 引理1 0 1 ( s o b o l e v 嵌入定理，西p 玩定理j 剐下面的嵌入映射都是连续的。 日1 ( r ) c 口( r ) ，2 p 0 0 ，n = 1 ，2 ， 日1 ( r ) c 驴( r ) ， 2 p 冬2 ，n 3 ， d 1 ，2 ( r n ) cl 2 ( r n ) ， n 3 3 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 引理1 0 2 ( r e l l i c h 嵌入定理，吐p e 定理j 驯若lql o o ，则下面的嵌入映 射是紧的。 硪( q ) c 酽( q ) ， 1 p 0 ，使得，( u ) 口，i l u l i = p j ( i i ) 存在e e 易( o ) ，使得z ( e ) 0 令r 是e 中连接0 和e 的道路的集合，即 r = 7 c ( 【o ，1 】，e ) ：，y ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = e ) 再记 c _ 7 i n r t fm 酬a x 晰( 砒 则c a ，且若，满足( p s ) 条件，那么c 是i 的临界值 最后，我们给出偏微分方程理论中的一些不等式 h s l d e r 不等式t 设qc r 是一个可测集，p 1 ，口 1 ，且；1 + i 1 = 1 若 ，口( q ) ，9 口( q ) ，则，9 l 1 ( q ) ，且 上i ，( z ) 9 ( z ) i 如( 上l ，( z ) l ，如) 珈( 上i 夕( z ) i 口出) m c a f f a r e l l i - k o h n - n i r e n b e r g 不等式。 ( h 一功i 让i p 如) 枷a i b l x l _ 2 0 i v u l 2d , x - ，r j r n 其中n 3 ，一o 。 ， r 7 有一列特征值0 ，q 一= 2 r l8 ( 。) 是l 1 ( r ) 中的一列函数列，耽0 且f p n d x = 天 0 ，则 存在子列满足下列三个条件之一： ( 1 ) v a n i s h i n g ：对所有r 0 ，l i m k 。s u p y r 厂肌 ( x ) d z = o j ( 2 ) d i c h o t o m y ：存在0 0 且 足jcr + ， r 0 使得厶+ 如如页一 引理2 2 3 当p 4 ，k 0 ，且满足( a 1 ) 一( 如) 时，则对所有c 0 ，泛函厶满 足( p s ) c 条件 证明t 设 u n ) ce 是厶的( p s ) c 序列由引理2 2 1 知 u n ) 有界，不失一 般性，我们假设 i l u 1 1 2 = ( i 让：1 1 2 + l 曙+ 七牡：i 嵋1 2 ) 出c 。 考虑l 1 ( r ) 上的函数列 肌= l 1 2 + i 乱n l p + 七记l 1 2 ， 则f p n d x = 天 0 下证( 1 ) v a n i s h i n g 不成立 假设成立，则在d 1 ，2 ( r ) 上，t ，ij0 由( a 3 ) 条件得 y ( z ) 畦如一。 又 三i u ：1 2 d z + 七u ：l 缸：1 1 2 d z 一；1 口( z ) l 口n i p d z c ， 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 蚓2 d , x - i - 4 k f 2 1 1 2 如一口( 刮叫p d x = 。( 1 ) 又在工1 ( q ) 上，q 有界的，_ o ，则l - i z i 邱o ( z ) l i p 出i + 咕1 正王i r oa ( x ) l = n i p 出i = d ( 1 ) ，其中凰 0 满足a ( z ) 0 ，有i u r 2 u 0 又 kf , , 2 l v l 2 如 0 ，所以f1 嵋1 2 如= o ( 1 ) ，七，“：l u ：1 1 2 如= d ( 1 ) ，i l p d , x = d ( 1 ) ， fa c z ) l u 1 a = = d ( 1 ) ，所以l i p 一0 ，那么0 缸n 0 _ o ( 矛盾) 若满足( 2 ) d i c h o t o m y , 则存在0 页，满足凰 壳 争， 忍 r + 1 _ + 且 一“z 刊1 2 + l i v + k u 刊2 训2 q 札， ( i u ：1 1 2 + i 让n l p + 尼u ：l 乱：1 1 2 ) 出 x 一口一e 矛盾若( 铷) 不是有界的，我们可以通过得到同样的结果，得出( 2 ) d i c h o t o m y 情况不成立我们巳排除( 1 ) ，( 2 ) 成立的可能性，则由引理2 2 2 知必有( 3 ) 成立， 即存在t 鲰) cr ，对任意s 0 ，存在r 0 使得 ( i u ：1 1 2 + i i p + 后让：i 让：1 2 ) d 。页一e ， j y n - l - b r 特别地有 ( i 心1 2 - i - i u n i p + 七醒i u ：1 2 ) 如 e ( 2 2 1 ) ji 霉一孙l r 与( 2 ) 证明类似又由( 3 2 1 ) 式知 鲰) 必是有界的否则由( 3 2 i ) 式可得在d 1 ，2 ( r ) 上，j0 ，使得 o ( 1 ) = ( ( t 正n ) ，u n ) 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 = j 1 2 如+ 4 尼i u ：1 1 2 出一口( 刮i p 如+ 。( 1 ) + p c s ) = l u 1 2 如- t - 4 k u ：i 1 2 d x 一a ( z ) i l p 出- i - o ( 1 ) - - i - p ( s ) ， j j i z - y , , l rj i z - l i ，i i _ r 因此 i t 厶1 2 d x + 4 k u ：i 乱：1 1 2 d x 一a c z ) l v 吼l d z = d ( 1 ) 4 - p ) ， j i 王一l ，t l i r j i z - u , d _ 有界，由( 3 , 2 1 ) 式得 ( 1 u 1 2 - i - 后i 1 2 + i t n i p ) 如 r 又 t n 有界，对某些u e 得到j 牡，则在d 1 ，2 ( r ) 上有ju ，那么在 三1 ( q ) 上有_ 牡由( 3 , 2 2 ) 式得，在l 1 ( r ) 上有 一u ( 2 , 2 3 ) 因此ifa ( x ) l u 1 p d x l cfi u n i p 如，由( 3 , 2 3 ) 式有 口( 删i p 如一a ( 刮u i p 如 ( 2 2 4 ) 叉 = 吒一t ，i ) 如一入y ( z ) 一) 如+ 2 南i u n l 2 u ：i ( u u n ) 7 如 + 2 后i u 汗让n ( 1 1 , - - $ t t ) 如一。( z ) i i p - 2 t i n ( 缸一) 如 =d ( 1 ) 又厂u ：( t 一) 7 d x = d ( 1 ) ，由( 3 2 3 ) 式和( 3 , 2 4 ) 式得 一牡n ) 帕i 出= a y ( z ) u n 似一) 出一2 惫i 乱n 1 2 心：l ( u 一) 如 一2 七l 心于( u 一牡n ) 出+ 口( 圳u n i p - 2 ( u - - u n ) 出+ 。( 1 ) =d ( 1 ) 再由f 3 2 3 1 式得l i 一u l i _ 0 1 0 第2 章一类拟线性不定的椭圆方程正解的存在性 2 3 定理2 1 2 的证明 本小节利用引理2 2 1 ，定理2 2 3 证明在一定条件下，方程( p 1 ) 存在一正解 引理2 3 1 嘲设e 为巴拿赫空间，是g 1 函数且满足( p s ) 。条件假设。 ( 1 ) i ( o ) = 0 j ( 2 ) 存在口 0 ，6 0 ，使得l l u l i = 6 ，有，( u ) 口 o j ( 3 ) 存在e 0 且i l e l i 6 ，使得i ( e ) 0 ，定义 c ：= i n fs u p t ( t c t ) ) o t ， t e f 0 t 0 所以对p 足够小，l l u l i = p ，有厶( u ) o ( p ) 0 成立事实上 0 u 0 2 = i 乱璧+ i 偿+ k u u 层全( 1 1 1 , , 1 1 1 2 - i - l 训；) 令l l l u = 6 0 又 l t , l p d x l u l p l - 。2 i 让1 2 如c i 乱1 2 如c i u 1 2 d z c l l l u l l i = g 6 0 ， j l z l o ，x o q + ) 时，f a ( x ) l t u l d x 厶) 口 ) 肛让i p 如c t p 于是有 酬萼儿，j 2 如+ t 4 k 讹i 们i 如一詈巾m i p 如a t 2 + b t 4 _ 钟 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 当t 足够大，p 4 时 厶( u ) a t 2 + b t 4 一c t p a v c x ) t + 七( t 上2 ) u + o ( z ) i t 正l p 一2 t 正， z r ， 0 ，z r ， t d 1 ，2 ( r ) ， 正解的存在性问题其中k r ，且p 2 ，a r d 1 , 2 ( r ) 是钾( r ) 在范数 1 2 = 丘i u 1 2 d x 的闭包 1 2 第3 章一类p - l a p l a c i a n 椭圆方程解的存在性 第3 章一类p - l a p l a c i a n 椭圆方程解的存在性 3 1引言 这一章我们主要考虑一类p - l a p l a c i a n 椭圆方程解的存在性问题： i 一p u + 以钆= l x l 6 以u z q ) u 0 ，让w 1 护( q ) ， 【u = 0 ， z 讹， 其中p u = d i v c i v u l p 2 v u ) 是p - l a p l a c i a n 算子， 1 p n ，p 口 鸽，a 0 ，b 0 ，qc f 是个光滑边界的区域 对于p = 2 的情况，方程( p 2 ) 已经被广泛地研究过了，例如，当p = 2 时， p s i n t z o f f 【2 9 】证明了方程( 易) 在q = r 存在径向解；在q = b ( o ，1 ) 时，存在径 向解和非径向解 近几年，人们越来越关注下面这个p - l a p l a c i a u 椭圆方程方程 ：三。i + 9 z ) | t 上i | 一2 乱= ，? 钍 二三：二 c 2 1 1 ， 例如，j s u ，z - q w a n g 和m w i u e n ( 3 3 ，【3 4 】) 研究当t = s ，q = r ，9 ( z ) = v ( i x l ) 且( x ，) = q ( i x l ) l l 卜2 t 的问题他们主要研究径向对称函数w 1 p ( r ) 的 嵌入问题 个感兴趣的问题是，在一定条件下，方程( 马) 是否同样具有在当p = 2 时， p s i n t z o f f 【2 9 】所研究的结果 在叙述结论之前，首先我们定义孵巾( 一) 为 1 p ( r ) = u 汐( r ) ：v t 汐( r ) ) 的径向对称函数空间 定义昵善( r ) 为 孵护( r ) = 让1 p ( r ) ：上i z i a i 让i ， ) 1 3 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 的径向对称函数空间 定义讲p ( r ) 为 d l 巾( r ) = u l 番( r ) ：v u z p ( r ) ) 的径向对称函数空间 我们的主要结果如下。 定理3 1 1 若口0 ，6 0 ，1 p n 且 p 孝= 焉一禹， 则方程( 恳) 有一个径向解 注记：在【3 0 】中。 s i r a k o v 证明了当p = 2 ，2 口 口书= 厕2 n 一瓣4 b ，方程 ( b ) 有一解 在【2 9 中，p _ s i n t z o f f 和m w i u e m 证明了当 p = 2 ，口2 ，2 b n ( 1 + 昙) ( 一1 ) ( 口一2 ) 时，方程( 局) 存在个解 定理3 1 1 把【2 9 】的结果推广到p - l a p l a e i a n 算子的更一般方程上 定理3 1 2 若口0 ，b 0 ，1 p 且p 口 惫， 惫+ 惫一口( p + 半) ( q - p 心叫， 则方程( p 2 ) 有无穷多个径向解 定理3 1 3 若口0 ，b 0 ，i p 且p g 惫， 加一。( p + 掣) ( q - p m 叫，a q p b , 则对每一个冗，当q = b ( o ，冗) ，r 足够大时，方, 1 1 ( i 2 ) 有一个径向解和非径向解 1 4 第3 , t 一类p - l a p l a c i a n 椭圆方程解的存在性 3 2 一些引理 在本文中，除非有特别标注，不然所有积分都理解为是对整个r 上的而且 经常用同一个字母来表示不同的常数 引理3 2 1 若1 p 0 ，使得，对每一个心峨窖( r ) ，缸 学+ 掣m 删如( 卜l o l 训铲( p 卵) 毒 昙( m 矿宁一一) = p 互( 川2 ) - 1 2 u d 打u 产宁一- 1 + m p ( 。字+ 一1 ) ，宁1 ， 且 则有 那么 就有 则 。南( 1 一) ，p 一上 熟矿舄1 ) r d 宁7 一1 i u ( ) l p a n a n 舢m p 一2 搴严宁r z 佃m 川l 搴i - 1 矿孚据 fl 仳i p 一1 l 等l 譬如 氟( 卜h 卵) _ ( 、； l v u l p ) h 机训p 如( 卜h 卵) 孚( 卜卵) 5 ， 学+ 掣i 山( 弘h 衅) 1 5 ( 加衅) 古 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 引理3 2 2 若1 p n ，p ，- 鹃，则对任一个u w 1 p ( r ) ，有 小i r g z c ( f l v 卵) 掣( 儿i p ) 学 证明由g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式直接 接下来的不等式把厂2 彰中的结论推广到更一般的p - l a p l a c i a n 算子上的 引理3 2 3 若l p ，p 口 考笔+ 在b _ ? v , p ，c ，使得对每一个钍研p ( ) ，则有 c a 南( 1 一) ，且存 fl z | c i 印出( 扣u l p ) 一枷一赢) 证明；利用引理3 2 1 和引理3 2 2 ，有 弘l c | 卵如小i 料) 舜( 川) 夺( ) 嚆互 ( 卜h 卵) 铲舜( 小，) 专 。f i v , 4 ，) 知中 = ( f l 卵川p ( 们衅) 3 3 径向解 m 旷销q - ( 口一币酷郦 ( 卜衅) 一抄p - 南) 在这一节里，我们将证明定理3 1 1 先考虑下面的极小值问题z m = 嘶，6 舢) _ u 蒜r ) 八v 让j p + 川u l p ) 如 u 雌冒( r ) ，。 。 ，m 6 i u i 。出= 1 1 6 第3 章一类i d - l a p l a c i a n 椭圆方程解的存在性 足理3 3 1 署a u ，6 之u ，1 p “且 p 川= 惫+ 惫， p b - a l p + 掣) ( q - p 心叫 则i n c a ，6 ，p ，口) 是可以达到的 证明：取( ) c 职1 口, p ( r ) 是m = m ( a ，b ，p ，q ) 的极小值序列： i 计ii r 出= 1 ， 门v 计仆i in i p ) d x _ m 不妨取 铭n 自身为子列且假设j 笛i n 哪善( 珏f ) 因此由下半弱连续性质可 知 凡v 卵仆j 口i 卵) 出组 i z l 6 l u i q 如1 定义c 为口= 巧p n + 巧p c ，那么c 6 且由引理3 2 3 可得 丘i 。i 计i i 仳n i 窖如扩c i 外i j f p 如傀b c ，川o 又由( ) 在眈窖( r ) 上有界利用引理3 2 1 可得 计i u n i 口如= 丘瞄i z i 胁i i 口- p i 卅i i 札n i p 如 ( 圹吨呻) ( 学婶c 卜l d i 卵如 c 口( 字一抄删户 。 所以，对每一个t 0 ，使得对每个n 有， 厶 i 拼ik i 口如独 1 7 福建师范大学何慧梅硕士学位论文 利用p 呛l l i c h 定理和引理3 2 1 可得， 1 i x l 6 i 甜i 出厶 川u 胛如独 fh 6 i 让n i q 如= 1 和m = m ( a ，b ，p ，q ) 在u 上是可以达到的 定理3 1 1 的证明t 由定理3 3 1 ，价是可以达到的那么利用拉格朗日乘数法 则，对称临界值理论( 【3 6 】) ，和极大值理论，就得到下面方程的一个解u 因此t = 入南u 是方程( 马) 的一个径向解，其中a 满足入= ：m 3 4 无穷多径向解 在这一节中，我们主要是运用变分法来研究方程( 马) 存在一个正径向解在 叙述结论之前，我们定义在w 1 p ( r ) 上的范数为 i i l l w p o r n ) ：= i i w l l p + ；乱l p ， 则( w 1 - p ( r ) ，| f 1 i ) 是巴拿赫空间 接下来我们将定义y = u ：r riu 是可测的，fh 6 口 co ，在y 上范 数满足l i u i | y ：= l x l - u i 。且用孵，p ( r ) 和k 分别表示w 1 巾( r ) 和y 所对应 的径向对称函数空间 由于文章是采用变分法来考虑这些问题的，我们将给出方程( 恳) 所对应的泛函t m ) ：= ( 了i v u l p + 字 i 一粤i 口 d x 参看【3 2 】，我们有下面的引理 引理3 4 1 若1 p n 且 阳 o i ( i i ) j 0 且i l 0 巧使得i ( v ) 0 ，使得 u i i ；占j r ( 缸) 0 假设l 0 ( 琵) 任取一个