（概率论与数理统计专业论文）marotto定理在离散hindmarshrose模型中的应用.pdf

中文摘要 摘要：本文首先讨论离散h i n d m a r s h r o s e 模型( 简称h r 模型) 的不动点个数及 稳定性其次，分析h r 模型存在m a r o t t o 意义下混沌的充分条件，再次，应用最 大l y a p u n o v 指数、分岔图进行数值模拟，验证定性分析结果最后，对本文所做 的工作进行总结 全文共包括三章 第一章，介绍与本文有关的非线性动力系统方面的知识，包括：中心流形定理、 l a p u n o v 指数、h o p f 分岔、混沌，并介绍对非线性动力系统约化降维的方法最后 介绍四个重要的神经元模型 第二章，通过分析离散后的h r 模型，讨论h r 模型不动点的存在性，给出了 一组m a r o t t o 意义下存在混沌的充分条件，并给出相对应的数值模拟结果 第三章，对全文进行总结 关键词：h r 模型；不动点；分岔；m a r o t t o 意义下的混沌 分类号：0 1 7 5 1 2 ：0 1 7 5 1 4 a bs t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i st h e s i s ，am a p b a s e dh i n d m a r s h - r o s em o d e l ( h rm o d e l ，f o rs h o r t ) i so b t a i n e db yu s i n ge u l e rd i s c r e t ef o r m a t a tf i r s t ，t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o na n ds t a b i l i t y o ft h ef i x e dp o i n t sa r ei n v e s t i g a t e db yt a k i n gi n t oa c c o u n tt h ed i s c r e t eh rm o d e l s e c o n d ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a th rm o d e le x i s t sc h a o si nt h es e n s eo fm a r o t t o s d e f i n i t i o ni so b t a i n e d a n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i n c l u d i n gm a x i m u ml y a p u n o v e x p o n e n t s ，b i f u r c a t i o nd i a g r a m sa r eu s e dt oi d e n t i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s f i n a l l y , w e e n do u rt h e s i sw i t hs u m m a r y t h el a y o u to ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，ab r i e fr e v i e wi si n t r o d u c e dc o n c e r n i n gn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m t h e o r y , s u c ha sc e n t e rm a n i f o l d st h e o r e m ，l y a p u n o ve x p o n e n t s ，h o p fb i f u r c a t i o n ，c h a o s ， t h er e d u c t i o no fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ，a n df o u rc l a s s i cn e u r a lm o d e l s i nc h a p t e r 2 ，t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o na n ds t a b i l i t yo ff i x e dp o i n to fh rm o d e la l e i n v e s t i g a t e db yu s i n gt h eq u m i t a t i v et h e o r y a n db i f u r c a t i o nt h e o r y as u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a th rm o d e le x i s t sc h a o si nt h es e n s eo fm a r o r o sd e f i n i t i o ni so b t a i n e d i nc h a p e r 3 ，w eb r i e f l yc o n c l u d et h et h e s i s k e y w o r d s ：h rm o d e l ；f i x e dp o i n t ；b i f u r c a t i o n ；m a r o t t o sd e f i n i t i o no f c h a o s c l a s s n o ：0 1 7 5 1 2 ：0 1 7 5 1 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 躲崧财期：y 州7 日 3 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：张兄超导师签名：嘻锣钧 签字日期：沙了年f 瑚jf1 7 1签字日期：炒于年肛月阿日 致谢 本论文的工作是在我的导师曹鸿钧副教授的悉心指导下完成的他严肃的治 学精神，精益求精的工作作风，深深的感染和激励着我从课题的选择到论文的最 终完成，曹老师都始终给予我细心的指导和不断的鼓励两年多来曹老师不仅在学 业上给我以精心的指导，同时还在生活上给我以无微不至的照顾，在此谨向曹老 师致以诚挚的谢意和崇高的敬意 同时感谢关心我们成长的学校和学院领导们，感谢给我以传到授业解惑和在 生活学习上帮助过我的所有老师们尤其要感谢师母蒋尧珍老师，两年来，她在生 活和学习上也给了我极大的关心和帮助 感谢同门的师妹和已经毕业的师姐，共同的学习、探讨与合作使我收获颇多 感谢所有一路走来、互相勉励的同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予我的 关心和帮助 最后，感谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见 和建议，并期待您的批评和指导 1 引言及背景知识 动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 是随时间的改变而发展的系统它的主要研究目 标是研究随着时间的长期发展，系统的状态是如何改变和演化的动力系统的主要 研究内容包括系统的结构稳定性，解的稳定性，分岔、混沌等理论而混沌( c h a o s ) 在动力系统研究中是比较重要的一部分，它是一种貌似无规则的运动，即在确定 性的非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) 而对于确定性系统，它的短期行为是完全确定的，只是由于对初始条件依赖的敏 感性，使得即使再确定的非线性动力系统中，它在长期内的运动也是不可预测的 这正是由混沌内在固有的随机性引起的，因此这种现象只发生在非线性系统中 1 1 非线性动力系统 所谓系统( s y s t e m ) ，就是指由一些相互联系( 或相互作用) 的客体组成的集合系 统的性质或特征是用一些所谓的状态变量( s t a t ev a r i a b l e s ) 所表征的但这类状态变 量是随时间而变化的，也就是系统是处于非平衡状态的，此时的系统就称之为动 力系统状态变量的规律既可以表示为连续形式的微分方程或微分积分方程，也可 以用关于状态变量的离散方程表示过去对动力系统的研究一般多限于线性系统， 然而实际的自然现象或社会现象毕竟是很复杂的，其动力学规律往往需要用非线 性方程表示随着2 0 世纪6 0 年代计算机科学技术的迅速发展，人们可以容易地求 得一般非线性方程的数值解，这才使人们对非线性系统有了较深刻的了解，而且 使非线性动力学在自然科学和社会科学许多领域中得到广泛的应用 1 1 1中心流形定理 考虑自治系统【1 】： x = ( x ) ，x r ”，( 1 1 ) 我们知道在系统( 1 1 ) 的双曲不动点附近，非线性流的拓扑结构可以用线性化流描 述但是对于非双曲不动点，在不动点附近的流的结构可能是很复杂的中心流形 定理提供了这样一种降低所研究系统的维数的研究方法，因此它在研究非双曲不 动点的稳定性和分岔问题中有重要的作用 i 向量场的中心流形定理： 6 其中 考虑向量场 x = 出+ ( x ，y ) ，( 工，y ) r c r s( 1 2 ) y = b x + g ( x ，y ) ， 厂( 0 ，o ) = 0 ， g ( o ，0 ) = 0 ， w ( o ，o ) = 0 ， d g ( o ，o ) = 0 ， 么是一个特征值的实部为零的c x c 矩阵，b 是一个特征值的实部为负数的s x s 矩 阵，厂和g 都是c 函数( 厂2 ) 定义1 1 一个不变流形称为向量场( 1 2 ) 的中心流形，假若对于充分小的万，不变流 形可以表示为如下的式子 w c ( 0 ) = ( x ，j ，) r r 5iy = j j l ( x ) ，l 工i a x + f ( x ，j ，) ， ( x ，y ) r 。r ( 1 5 ) y b x + g ( x ，y ) ， 或 吒+ i 专戤+ ( 吒，以) ， ( 吒，儿) r 。r 5 ( 1 6 ) 只+ l 专b y + g ( 毛，y n ) ， 其中 f ( o ，o ) = 0 ，w ( o ，o ) = l ， g ( o ，0 ) = 0 ，o g ( o ，0 ) = l ， 厂和g 在原点某领域内是c 7 的彳是一个特征值实部为l 的c c 矩阵，b 是一个特 征值实部为1 的s x s 矩阵显然( 工，y ) = ( 0 ，0 ) 是映射( 1 5 ) 的一个不动点，其线性 7 化的映射是不能判定它的稳定性的因而有以下几个定理 定义1 2 映射( 1 5 ) 存在一个c 7 的中心流形，且可以被局部的表示为如下形式 矿( o ) = ( x ，y ) r 。xr 3l y = ( z ) ，lx i 万， ( o ) = 0 ，d h ( o ) = o ) ， 对于充分小的万映射( 1 6 ) 限制到中心流行上得到 u = a u + f ( u ，j j l ) ) ，( 1 7 ) 对充分小的u r 定理1 3 ( 中- f i , 流形定理) ( i ) 假定向量场( 1 7 ) 的零解是稳定的( 渐近稳定的) ，则 映射( 1 6 ) 的零解也是稳定的( 渐近稳定的) ；( i i ) 假定向量场( 1 7 ) 的零解是稳定的， ( x n ) y ”) 是映射( 1 6 ) 的解，则对于充分小的( 而，) ，映射( 1 7 ) 存在一个解u 。，使得 岛h ( u i 第乙。， 8 ， l 儿一。) i 堆”， 其中k ，是正常数，且 0 ； ( c ) v x s ，及厂的任意周期点y ，有 憋s u p l l l ( 曲一f ( y ) 0 o ； 3 s ocs 为不可数集合，协，y s o ，有 趣i i l f 扩( 功一广0 = o 1 2 2 l y a p u n o v 指数 混沌系统由相空间中的不规则轨道奇怪吸引子来描述奇怪吸引子的一个明 显特征就是吸引子邻近点的指数离析因为相空间中的点表示整个物理系统，所以 邻近点的指数离析意味着初始状态完全确定的系统，在长时间情况下会不可避免 地发生变化这种行为就是系统对初始条件具有敏感依赖性的反映，而引入的 l y a p u n o v 指数恰可定量表示奇怪吸引子的这种运动性态 l y a p u n o v 指数 4 0 可表示一个系统相邻轨道平均指数发散率( 分离率) 的性质， 如果它取正值，则由其表征的系统将呈现混沌运动下面我们主要讨论用微分方程 组计算最大l y a p u n o v 指数的方法 1 9 7 6 年，b e n e t t i n 等人指出了计算微分方程组最大l y a p u n o v 指数丑的方法， 这在生命科学、社会科学、思维科学中都有很大的应用前景其方法如下： 在给定由微分方程组所确定的相空间中，选取两个很靠近的初始点和z 0 ，其 间距离为d o = i z 0 一x o i ，且d 。值要很小在一个小的时间间隔r 里去积分这个微分 方程，利用变化z 可得 1 0 y 而l 三嬲， 蚴 【= r ( z o ) 7 、7 这两点的距离为d l = i z i 一五i 然后选取一个新的点毛，它的位置在五和咒的连线 上，并使得蟊= l z ，一五1 对五和z 。再做一次变换t ，可得恐= r 7 ( 而) = 丁2 7 ( 而) 及 耽= r 7 ( z 。) ，并有如= l 乞一屯i 这个过程重复进行，则a 可由下面方程来计算， 和l i m l l i l ( ( 1 1 3 ) 这里即是积分的次数，故n 必须很大( 例如1 0 5 ) 只要f 不太大，计算结果就与f 的 大小无关了 利用计算机可以实现这种算法，从而可以对系统运动是否是混沌做出判断( 如 图1 2 所示) 甄 图1 2 最大l y a p u n o v 指数的演化替换过程 1 3 神经元网络系统 自从h o d g k i n 和h u x l e y 提出描述巨鱿轴突势能行为的数学模型 ( h o d g k i n - h u x l e y 模型) 以来，科学家们就开始从数学的角度，利用不同的研究方法， 如：非线性动力系统的分俞理论，几何奇异摄动理论，混沌理论等对神经元网络 进行研究 2 6 3 2 神经元网络系统的研究主要集中在三个方面： ( a ) 单个神经元的内在性质； ( b ) 神经元之间耦合( c o u p l i n g ) 拘突触性质； ( c ) 耦合结构的性质( 即神经元之间如何通信) 对神经元网络系统的研究已成为国际上比较具有挑战性的前沿课题数学在 神经元科学中的主要任务就是发展和分析神经元及其网络的数学模型，并通过对 数学模型的研究，能够解释试验数据，测试假设和推理，建议新试验， 预测和提 出新的神经元信号模式 在下面的四节中，我们将简单介绍几个在神经元网络系统中比较重要的神经元 网络模型，并简要介绍一下本文所研究的神经元模型( 即h r 模型) 的发展根源和研 究现状 1 3 1 h o d g k i n h u x l e y 模型 h o d g k i n h u x l e y 模型 1 4 】( 简称h h 模型) 是复杂神经元网络系统中十分重要 的一个模型，它是h o d g k i n 和h u x l e y 在1 9 5 2 年通过先进的实验仪器测算巨鱿突 触上的神经元细胞的电量变化时发现并建立成数学模型的h h 模型能够反应神经 元在受到外界刺激后，细胞膜上势能的变化情况 h o d g k i n h u x l e y 模型具体形式： c v = i g 置以4 ( y 一) 一g 口m 3 h ( v e 胁) 一g ( 矿一盈) ， 刀= a ( v ) ( 1 - n ) 一孱( 功刀， ( 1 1 4 ) 聊= ( y ) ( 1 一所) 一成( y ) m ， h = ( 矿) ( 1 一 ) 一厩( v ) h ， 其中， ( 咖。0 1 丽1 0 - v ，尼( y ) = 0 1 2 5 ( 杀) ， ( 伊。1 面2 葶5 - v 河，成( 阻4 e x p ( 昔) ， 。0 m 7 面- - 7 ) ，p a r ) 2 面毒河 h o d g k i n 和h u x l e y 研究表明，巨鱿突触的神经元细胞内主要有三种电流：一 种是可以通过四个激活通道的带有持久电流的k + 离子所形成的电流k ，一种是可 以通过三个激活通道的带有暂时电流的n a + 离子所形成的电流k ，另一种是大部 分由c 一携带的以欧姆测定的电流，模型中参数的取定可以参照h o d g k i n 和 h u x l e y 的原文献 2 2 1 1 3 2 f i t z h u g h - n a g u m o 模型 f i t z h u g h 和n a g u m o 通过模仿拥有立方曲线的h o d g k i n - h u x l e y - t y p e 模型在 1 9 6 2 年建立了f i t z h u g h - n a g u m o 模型，其具体形式如下： 1 2 y = y ( 口一y ) ( y 1 ) 一w + j ， ( 1 1 5 ) w = b v 一眺 在此模型中，y 表示的是神经元细胞膜上的电压，而恢复变量w 表示的是细胞膜 表面的活动电量参数，是系统接受外界刺激的电流在讨论中我们为了可以简化 分析，一般令i = 0 模型中a ，b ，c 均为常数，其中b 0 ，c 0 b ，c 是用来描述恢复 变量w 运动行为的参数，而参数a 是用于描述立方抛物线v ( a 一矿) ( 矿一1 ) 形状的 在过去的几十年里h h 模型和f i t z h u g h - n a g u m o 模型被许多学者从不同的角 度用不同的方法进行分析和研究，同时也得到了许多研究结果 1 3 3b v p 模型 b v p 模型是f i t z h u g h - n a g u m o 模型 1 7 】的简称，它的具体形式为： 王2 y 一 x 3 + x + ( 1 1 6 ) y = p ( a x by ) ， 在b v p 模型中口，b ，p 均为常数，其中要求0 p 1 ，0 b 1 为系统受 外界的刺激强度，变量x 表示的是神经元细胞膜上的电量，y 表示的是神经元细胞 膜上的电压所以通过研究b v p 模型，我们可以分析神经元在受到外界刺激后细胞 膜上电压及电量的变化情况b v p 模型是一个典型的心脏动力学模型，因此b v p 模 型被广泛应用于生物研究 1 8 ，1 9 ，2 1 1 1 3 4h i n d m a r s h r o s e 模型 h i n d m a r s h r o s e 模型【5 的具体形式为： 膏= a x 2 一x 3 一y z 夕= ( a + 口) 工2 一y ， 三= ( b x + c z ) ( 1 1 7 ) 其中石表示膜势能( m e m b r a n ep o t e n t i a l ) ，y 和z 分别代表经过细胞膜的快电流和 慢电流，a ，口，c ，b ，0 0 时，系统( 2 4 ) 有一个不动点； ( 2 ) 当= 0 时，系统( 2 4 ) 有两个不动点； ( 3 ) 当 o5 者y _ 0 1 0 8 时，系统( 2 4 ) 仅有一个不动点五( 群，y ： ) ； ( 2 ) 当y = o 或者y = _ 0 1 0 8 时，系统( 2 4 ) 有两个不动点五( 矸，y o ) 和置( 霹，以) ； ( 3 ) 当一o 1 0 8 y 2 时，o 是源( s o u r c e ) 韭立变通盘堂亟堂焦监童越基王睦魁曲hb 拦型曲定芏e 盘捱 ( 2 ) 0 a ( 2 时，o 是稳定结点( s t a b l e n o d c ) i ( 3 ) 4 = 2 时， ，= i “8 时，o 是非双曲不动点 对结论( 3 ) ，此时系统( 25 ) 为： j j 2 - - x3 一j2 + j y ( 2 6 ) l ，= 29 x2 + 58 x y 系统( 2 6 ) 的图像如图2 2 所示，曲线逐渐趋向于原点，此时不动点o 是稳定的， 因此4 = 2 是一个分稀点，如图23 所示，由于不动点的失稳( 由稳定变为不稳定) ， 产生一个周期解，并且此周期解是稳定的，即产生一个稳定的极限环当参数口跨 越临界值2 ，系统由稳定的平衡态变为不稳定的平衡态，从而产生一个稳定的极限 环，经历了一个h o p f 分箭 1 5 1 0 5 0 薯- 05 d _ 5 之暑2 1- 08o6 _ 04_ 02 0 x ( t ) 幽2 2a = 2 时的x ( t 】一yc t ) 图像 y _ - _ - 厂。邙 k 。 孓 ) 厂。孓一 j ， ，一一一、 彳荔忒。 犍汐交 【a ) o a t 2( 1 3 ) a = 2 ( c ) p 2 图2 3a 在不同范围时，系统( 2 5 ) 的不动点d 的稳定性 2 3 3 扩张不动点 对系统( 2 5 ) ，e u l e r 离散后得到一个新的离散系统： hx + 6 - x 3 + ( a - ，3 ) x 2 + ( 2 a - 3 h 叫】， ( 2 7 ) iy 专j ，+ 万【( 口+ a ) x 2 + 2 ( a + a ) x y 】 此处的万为步长, ：( i n t e g r a ls t e ps i z e ) ，且很小，认为0 万 1 系统( 2 7 ) 与原连续系统 具有相同的不动点0 ，下面证明该点是一个s n a p - b a c kr e p e l l e r 系统( 2 7 ) 的雅可比 矩阵巧( x ) 为： 洲= r 搿+ 撕2 ( a - + 3 龇) x + + ( 2 1 ) a 捌+ l - j 1 - 8 ， l2 烈口+ 口) + 1 ) 令p ( x ) = 一t r a c e ( d f ( x ) ) = 3 9 x 2 2 万( 口一3 ) x 一2 ( 口万一2 万+ 1 ) ， g ( 曲= i o f ( x ) i = 3 8 ( 8 1 ) x 2 + 2 研( 口+ 3 ) 万+ 口一3 】x + 1 + 2 万( 口一2 ) + 万2 ( 2 口+ 3 ) ， 在0 点，p ( x ) 与q ( x ) 的值分别为： 风= 2 ( 口万一2 万+ 1 ) 和q o = 1 + 2 8 ( a 一2 ) + j 2 ( 2 a + 3 ) ， 因此风2 4 q o = 4 8 2 ( 口2 4 a + l - 2 a ) d f ( x ) 的特征方程 1 2 e d f ( x ) i = 兄2 + p ( x ) a + q ( x ) = 0 ， ( 2 8 ) 在0 点处， ( 2 8 ) 为a 2 + 岛力+ 吼= 0 性质l 若下面的任一条件满足，则不动点0 是稳定的，即所对应的特征值的模小 于1 ： ( 1 ) - 1 q o o ，0 p o 1 + 吼或一1 - q o p o o ； ( 2 ) 0 q o 0 ，0 p o 1 + g o 或一1 一吼 p o o ； ( 3 ) 0 q o l ，p 0 2 - 4 q o o ，ra ( 8 - 1 ) o ，因此该式 存在两个非零实根，记为z 和，得到一个区间= t ，t 】，令0 = 瑚驭位， ) ， 0 = 曲& ，) ，从而得到一个新的区间：【z ，】，就是所求的e ( d ) ， ，= 0 吃 性质2 存在原点0 的邻域i o + = e ( d ) ，根据定义l - 3 ，在e ( d ) 内不动点0 是扩张 不动点 2 1 2 3 4 s n a p b a c kr e p e l l e r 及混沌 根据定义1 4 ，我们需要讨论在o 的临域e ( d ) 内存在一个点b ( x ，y ) o ( 0 ，0 ) ， 在映射厂下经过m 次迭代回到原点o ，并且i d f 。( b ) i 0 ，1 后肘下面以二次 迭代为例， z + 研一x 3 + ( 口一3 ) x 2 + ( 2 口一3 ) x 一少】= x ， 少+ 研( 口+ 口) 石2 + 2 ( 订+ a ) x y 】：y ，( 2 1 4 ) 和 x + 研一x 3 + 0 3 ) 彳2 + ( 2 a 一3 ) x y 】= 0 ， 】，+ 研( 口+ 口) x 2 + 2 ( 口+ 口) x 一】，】：0 ( 2 1 5 ) 假设( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 都有非零解，得到一个二次映射2 ，经过两次迭代之后把点b 映射到原点0 由( 2 1 4 ) 的第二个式子得到】，：8 ( a + a 了) ( x _ 2 + 一2 x ) ，代入第一个式子得到 故万一1 ) x 2 + 胡 万( 3 + 功+ 口一3 l r + 铲( 2 口+ 3 ) + 2 ( 口一2 ) 万+ l = o ( 2 1 6 ) 设j l z ( 万) = 万2 ( 2 口+ 3 ) + 2 ( 口一2 ) 8 + 1 ，0 6 1 当2 一而 口 2 + i ；互石时， j i l ( 的判别式a 0 恒成立，又因为8 ( 8 一1 ) 0 ，( 2 1 6 ) 式一定存 在两个非零实根，记墨为其中的一个，代入( 2 1 4 ) 得到： 贴) = 以万一l 矿+ ( 3 一力铲+ ( 2 口一3 + 功彤+ ( 3 2 功铲+ 2 ( 2 a + a 一2 ) 万+ 1 k + - 8 2 x i + 研( a + c t ) x i + 2 ( c t + a + 1 ) i x ! - x x = 0 l ( 2 1 7 ) l 一万 该式至少存在一个实根下面证明该式在e ( d ) 内有一个实根，从而证明0 是一个 s n a p b a c kr e p e l l e r ( 2 1 7 ) 中的常数项部分兰竺量兰塑尘些型 号堑兰竺坐毗的符号可能会 l d 变化，也就是说! 生笪地生鱼譬毫里竺型五的值会随着万的变化从正变化到 负，确保( 2 1 7 ) 在b ，( d ) 内有一个非零实根 事实上，由于8 ( 8 - 1 ) 0 ，g ( 埘) 专+ o o ，g ( + o o ) 专- o o ，记： 认国= 帮+ 讯口+ 功五+ 2 ( 口+ 口+ 1 ) 一1 = 0 ，解得x ：6 2 - 2 ( a + a + 1 ) 8 + l ，而由以上假 8 ( a + 口) 设可知五不能为零，所以由万2 2 ( a + 口+ 1 ) 万+ 1 = 0 可以得到： 4 = ( 口+ 口+ 1 ) 一( 口+ 口+ 1 ) 2 - 1 ，嘎= ( 口+ 口+ 1 ) + ( 口+ 口+ 1 ) 2 一l ， 定可以适当选取口，使得0 磊 - o 9 ，所以当0 万 4 时，可保证- 6 2 + d ( a + a o _ x i j + 2 ( c t + a + l 一) - i 五非零成立1 一d 对于i 巧2 ( b ) i = i 巧( 厂( b ) ) i | 巧( 曰) | ，显然i 巧( 厂( b ) ) l o ，i d f ( b ) l * o 最后，根 据定义1 3 和定义1 4 ，我们可以得到下面的结论： 性质3 如果0 0 的情况下，该不动点始终都是一个源点 取万= o 1 ，带入( 2 9 ) 得到：0 2 7 x 2 0 1 0 2 x + o 0 6 8 = 0 ，解得两个实根- 0 8 2 5 1 和0 3 4 7 3 把万= o 1 带入(