（应用数学专业论文）非线性系统的几种数学研究方法.pdf

学位论文独创性声明 i j ii ij lllli i ih illiii y 18 9 013 1 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名匿丝! 盔 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名匿丝! 起 指导教师签名： 签名日期： 2 - oli 年岁月易日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 孤立子理论是一门涉及多学科、多领域的前沿学科，它的研究手段和方法涉及微分方 程和动力系统、经典分析和泛函分析、l i e 群及l i e 代数、复分析、拓扑学、椭圆函数 等学科理论目前，在孤立子理论中，求解非线性微分方程有如下方法：反散射法、齐次平 衡法、j a c o b i 椭圆函数法、双线性方法、b a c k l u n d 变换法、d a r b o u x 变换法等等 本文主要内容是利用j a c o b i 椭圆函数法求解孤立子方程j a u l e n t - m i o d e k 方程组、利 用达布变换求解广义m k d v 方程组、双线性化方法分别求解孤立子方程 c a u d r e y d o d d g i b b o n k a e a d a ( c d g k ) 方程与( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程 第一章主要介绍了本文所涉及的发展历史、近期理论研究特点、三种数学计算方 法及本论文的选题和主要工作 第二章提出了推广的j a c o b i 椭圆函数展开法，它应用范围广泛，不仅能用来构造非 线性发展方程或耦合非线性发展方程组的周期波解，在某些情况下还可求出相应的孤立 波解及周期解以求解孤立子方程的j a u l e n t m i o d e k 方程组为例来详细演示推广的j a c o b i 椭圆函数展开法 第三章介绍了n 次达布变换方法构造方程精确解，本文构造了j a u l e n t m i o d e k 方程 组的n 次达布变换，并获得其精确孤子解 第四章研究h i r o t a 双线性方法，同时又深入探讨了将非线性偏微分方程转化为双 线性方程的常用变换方法：有理变换、双对数变换并分别以用有理变换求 c a u d r e y d o d d g i b b o n k a e a d a 方程、双对数变换求解( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程 精确解为例来具体说明 关键词：推广的j a c o bi 椭圆函数展开法：达布变换方法：hir o t a 双线性方法：孤子方程 s e v e r a lm a t h e m a t i cr e s e a r c hm e t h o d s o ft h en o n l i n e m s y s t e m a b s tr a c t t h es o l i t o nt h e o r yi sa 1 1f r o n t i e rd i s c i p l i n e ? ，五m 1 1 v i n gm u l t i p l ed i s c i p l i n e sa n df i e l d s i t s r e s e a r c hm e a n sa n dm e t h o d sc o n s t i t u t ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dp o w e rs y s t e m s ，t h ec l a s s i c a n a l y s i sa n df u n c t i o n a la n a l y s i s ，l i eg r o u pa n dl i e a l g e b r a , c o m p l e xa n a l y s i s ，t o p o l o g y ， e l l i p t i cf u n c t i o ne t cd i s c i p l i n et h e o r y a tp r e s e n t ，s o l v i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a s t h ef o l l o w i n gm e t h o d si nt h es o l i t o nt h e o r y ：a n t i s c a t t e r i n gm e t h o d ，t h eh o m o g e n e o u sb a l a n c e m e t h o d ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nm e t h o d ，b i l i n e a rm e t h o d ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nb a c l 【l u n d t r a i l s f o r mm e t h o de t c 1 1 1 ec o n t e n t so ft h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d eu s i n gj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nm e t h o ds o l v i n gt h e j a u l e n t - m i o d e ks o l i t o ne q u a t i o n , u s i n gd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d s o l v i n gt h e g e n e r a l i z e dm k d ve q u a t i o n s ，u s i n gb i l i n e a rm e t h o dr e s p e c t i v e l ys o l v i n gt h es o l i t o nc a u d r e y d o d d - c d g kg i b b o n - k a e a d ae q u a t i o na n dm e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s q b u r g e r s e q u a t i o n c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c e st h ei n v o l v e dd e v e l o p m e n th i s t o r y ，t h er e c e n tt h e o r e t i c a l r e s e a r c hc h a r a c t e r i s t i c s ，t h r e ek i n d so f m a t h e m a t i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o da n dt h i sp a p e r t o p i c s a n dm a i nw o r k c h a p t e r2p u t sf o r w a r dg e n e r a l i z e dj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d i th a st h e w i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n , n o to n l yc a nb eu s e dt os t r u c t en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n so r c o u p l i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n so fp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ，b u ta l s oi ns o m ec a s e sc a n g i v ec o r r e s p o n d i n gs o l i t a r yw a v es o l u t i o na n dt h ep e r i o d i cs o l u t i o n t os o l v et h es o l i t o n e q u a t i o nm i o d e ke q u a t i o n sj a u l e n t - f o re x a m p l et od e t a i l e dj a e o b ie l l i p t i cf u n c t i o n se x t e n d e d d e m o n s t r a t i o n e x p a n s i o nm e t h o d s t a t ed e t a i l l yg e n e r a l i z e dj a c o b i e l l i p t i c f u n c t i o n s e x p a n s i o nm e t h o dt a k i n gt h es o l v e so ft h es o l i t o ne q u a t i o nj a u l e n t m i o d e ke q u a t i o n s a sa n _- e x a m p l e ， ? ， c h a p t e r3i n t r o d u c e snt i m e sd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nm e t h o ds t r u c t i n gt h ee x a c ts o l u t i o n o ft h ee q u a t i o n sp a p e rc o n s t r u c t sj a u l e n t - m i o d e ke q u a t i o n sn t i m e so fc l o t ht r a n s f o r m a n dg a i n st h ea c c u r a t es o l i t o ns o l u t i o n _ ， +。 ： 一 c h a p t e r4r e s e a r c h s h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，a n dp r o b e sh a ot h ec o m m o n l yu s e d t r a n s f o r m a t i o nm e t h o do ft h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf r o m l i n e a re q u a t i o n si n t o b i l i n e a re q u a t i o n s ：r a t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n ，b i l o g a r i t h mt r a n s j f o r m a t i o n t a k e r e s p e c t i v e l y i i i 非线性系统的几种数学研究方法 s o l v i n gt h es o l i t o nc a u d r e y d o d d c d g kg i b b o n k a e a d ae q u a t i o na n dt h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s q b u r g e r se q u a t i o na se x a m p l e k e yw o r d s ：j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o no fp r o m o t i o nm e t h o d ；d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n m e t h o d ；h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ；s o l i t o ne q u a t i o n i v 辽宁师范大学硕士学位论文 目录， 摘要i a b s t r a c t i i i 1 弓i言1 1 1 孤子方程的发展历程及其研究特点1 1 2 几种数学研究方法3 1 3 本文选题及主要工作。4 2 推广的j a c o b i 椭圆函数展开法一6 2 1方法概述6 2 2 推广的j a c o b i 椭圆函数法求解j a u l e n t m i o d e k 方程组8 3n 次d a r b o u x 变换方法与多孤立波解1 9 3 1 构造广义m k d v 方程组的n 次d a r b o u x 变换1 9 3 2 广义m k d v 方程组的n 孤子解2 4 4h i r o t a 方法在非线性发展方程中的应用2 6 4 1 一种新的微分算子d 算子的性质2 6 4 2h i r o t a 方法在孤子方程中的应用2 7 4 2 1 运用有理变换法求解c a u d r e y d o d d g i b b o n k a e a d a ( c d g k ) 方程2 7 4 2 2 运用双对数变换法求解( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程3 0 结 论3 6 展望3 6 参考文献3 7 攻读硕士学位期间发表学术论文情况。3 9 致谢4 1 一v 一 辽宁师范大学硕士学位论文 1 引言 伴随着人们对科学的深入探索和研究，我们发现非线性现象广泛存在于自然界中，也 正是因为非线性关系的客观存在，自然和社会生活才显得复杂多变、丰富多彩，那么如何 揭示和利用它们的内在变化规律就成为十分重要的课题人们一般会建立一个合适的物 理模型，然后找到刻画这些模型的一系列方程从而以应用为目的，或以物理、力学等其他 学科为背景的非线性微分方程的研究工作日益重要 孤立子理论是一门涉及多学科、多领域的前沿学科，它的研究手段和方法在数学上 涉及微分方程和动力系统、经典分析和泛函分析、l i e 群及l i e 代数【2 2 1 、复分析、拓扑 学、椭圆函数等学科理论在经典场论、量子场论、流体力学、非线性光学、化学、通讯、 生命科学等离子体物理等众多学科都有重要应用例如，非线性s i n e g o r d o n 方程的解可用 来描述晶格位错的传播及超导j o s e p h s o n 结的阵列构成的传输线：非线性s c h r o d i n g e r 方程 描述光纤中的光学孤立子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结 果，光学孤子现已应用于通讯 ；d a v y d o n 蛋白质孤立子理论描述了蛋白质能量链的能量 传递等【1 5 1 1 2 3 1 目前，用来求解非线性微分方程有如下方法：反散射法、齐次平衡法 【2 】【1 3 】【1 8 1 1 2 4 、j a c o b i 椭圆函数法【2 0 2 、h i r o t a线性方法【1 0 - 12 】【1 4 1 、b a e k l u n d 变换法与d a r b o u x 变换法【1 】【7 - 9 】【1 6 1 1 9 1 等等 1 1 孤子方程的发展历程及其研究特点m 1 孤子( s o l i t o n ) 是最早在自然界观察到的，并且可以在实验室产生的非线性现象之一 从发现孤子到现在虽经历了1 0 0 多年，但它的重大发展和在众学科的应用开始于2 0 世纪 7 0 年代下面我们概要的叙述其发展历程 谈到孤子的历史，我们还得从1 9 世纪苏格兰一位造船工程师j o h ns c o t tr u s s e l l ( 1 8 0 8 1 8 8 2 ) 谈起1 8 3 4 年8 月的一天，当罗素骑马在河岸边行走时，他很敏感的发现船 头激起的水柱这一奇特自然现象，并于1 8 4 4 年在不列颠协会报告了这一奇特现象这次发 现的奇特景观促使罗素开始广泛的水波实验研究，他认为这类波应该是流体运动的一个 稳定解，并称它为孤波但他始终未能从理论上证实孤波的存在，结果导致罗素向皇家科学 院提交的报告引起当时物理学界的激烈争论 1 8 7 2 年，j b o u s s i n e s q 在研究长波运动时得到一个方程，它的解是双曲正割的平方， 此外，他还引入了一些重要概念，如守恒密度，非线性与色散之间的平衡等 1 9 世纪7 0 年代，l o r dr a y l e i g h 经过仔细研究并在1 8 7 6 年发表的著作中使用了”孤波 非线性系统的几种数学研究方法 ( t h es o l i t a r yw a v e ) 这一专业术语，同时并指出这是j o h ns c o t tr u s s e l l 先生描述的那个奇 特波的名字 1 9 世纪8 0 年代，几何学家b a c k l u n d 在研究负常曲率曲面时，得到s i n e g o r d o n 方程的 一个有趣性质，即从该方程的一个已知解，经过一个变换，可以求得另一个解这种变换后 来被称为b a c k l u n d 变换 1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 从流体力学的角度对孤波进行全 面分析并以此建立了浅水波方程( 后人称为k d v 方程) ，同时还得到这一方程的行波解 1 9 世纪摸到2 0 世纪初，关于孤波的研究工作似乎处在寂静时期，没有明显进展虽然 在非线性电磁学、固体物理、流体动力学等学科中相继提出了一些与孤波有关的问题， 但是有关孤波的原有知识，在解决新问题上已出现许多不足 1 9 5 5 年，由于e n r i c of e r m i ，j o h np a s t a 和s t a n u l a r n ( 以下简称f p u ) 发表了“s t u d i e s o f n o n l i n e a rp r o b l e m s 一文，再次引起了人们的兴趣f p u 在计算机上进行了数值计算，所 得结果出乎人们的意料，不是所有的振动模式都具有相同的平均能量，而是能量只在最低 的几个模式上转移f p u 实验结果的发表虽吸引了人们对非线性问题的关注，但是没有明 显的突破进展 19 6 2 年。j k p e r r i n g 和t h s k y o m e 在研究s i n e g o r d o n 方程时，用数值方法也得到了 孤波的碰撞 19 6 5 年，美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 利用计算机通过数值计算研究k d v 方程两波 相互作用的全过程，他们对作用前后的数据进行对比，发现孤波的形状和速度保持不变，并 具有弹性散射的性质同时k r u s k a l 和z a b u s k y 首次引入“孤子 这一术语，用它来描述具 有上述粒子性质的孤波 1 9 6 7 年，c s g a r d n e r ，j m g r e e n e ，m d k r u s k a l 和r m m i u r a ( 以下简称g g k m ) 提出了逆散射法，它解决了一大类演化孤子方程的求解问题 1 9 7 2 年，v e z a k h a r o v 和a b s h a b a t 找到了非线性薛定谔方程的l a x 对，首次求出该 方程的孤子解同年，m w a d a t i 求得m k d v 方程的精确解而m j a b l o w i t z ，d j k a u p ， a c n e w e l l 和h s e g u r ( 以下简称a k n s ) 方程) 在1 9 7 3 年用逆散射法求得s i n e g o r d o n 方程的精确解 自1 9 7 5 年至今的2 0 多年间，孤子理论研究蓬勃发展，含有”孤子”或”孤波一词的论文 数量几乎是直线上升。这不仅是由于孤子理论的发展已经具有了必备的数学工具，更重要 的是发现孤子有许多实际应用近期孤子具有以下发展特点：由一维到多维；由单一的孤 子演化方程到耦合演化方程组：由经典到量子：有单学科到多学科交叉：由理论研究到实 际应用 辽宁师范人学硕士学位论文 1 2 几种数学研究方法 1 、推广的j a c o b i 椭圆函数展开法了同推广的双曲函数展开方法一样，应用范围也十 分广泛，不仅能用来构造非线性发展方程或耦合非线性发展方程组的周期波解，在某些情 况下还可以求出相应的孤立波解及周期解本文推广的j a c o b i 椭圆函数展开法的主要思 想如下： 对于给定的非线性演化方程 f ( u ，v ，u 工，v x ，u ，v ，“埘，比，) = o ， g ( u ，v ，u ，匕，“，v ，“耐，) = 0 为了寻找如下行波解 ， u ( x ，f ) = 甜心) ，v ( x ，f ) = y 代) ，亏= 缸+ 九f ， 将上述行波解代入非线性演化方程，则该方程可约化为 e ( “，v ，甜，唯，“，唯，“鹳，飞，) = 0 ， g o ( 甜，1 ，“，飞，“专，飞，“鹳，v 鹋，) 三0 做如下变换 铭( 芎) = 口，f ( 亏) ， i = o v 代) = b , f ( 亏) ， i = o 其中q ，b t 是待定常数厂满足 厂7 ( 亏) = 其中厂，口，6 ，c 为实参数 把所作的变换和厂满足的方程代入行波解约化后的方程中，并通过整理计算得到 ，口，b ，c ，后，九，口，和b j 的代数方程组把该代数方程组的解代入所作的变换式中，我们便可 得到给定的非线性演化方程的解 2 、达布变换方法是构造非线性方程显示解一种有效的方法达布变换的基本思路是： 利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，用代数算法及微分运算来得出非线性方程的 新解和l a x 对相应的解特别地，如果从非线性方程的平凡解出发，同样可以得到非线性 方程的新解，此时可使计算更简便一些 非线性系统的几种数学研究方法 本文所作的达布变换为：对于带有时间变量t 及一维空间变量x 的孤子方程，也就是 通常意义下的”1 + 1 维”孤子方程，它等价于l l i ，= 脚，巾，= 脚的相容条件这里巾是x ，t 的 ，2 维向量函数，u ，y 是n n 矩阵，其元素中包含有谱参数及以x ，f 为自变量的m 维向量 函数及各阶导数为了使上述方程同时有解当且仅当巾必须满足相容性条件巾盯= 巾肼，进 而可得 一圪+ u ，v 】= 0 ，矿j = u y y u 这个方程在微分几何中称为零曲率方程 引入非奇异n 次达布变换丁 巾= 砷， 将l a x 对巾，= 脚，i i i ，= 脚分别变成巾j = w e , ，由，= 脚，那么有 u = ( z + 丁u ) 丁，v = ( z + 形) 丁。 而且容易证明 u 一圪+ u ，v 】= 丁( u t 一圪+ u ，y ) 丁 由于丁的非奇异性，故零曲率方程 阢一圪+ u ，v = 0 与u 一圪+ 【u ，v = 0 形式完全相同，从而它们对应孤子方程的解也有形同的形式以求解广义m k d v 方程组为 例来演示n 次达布变换法 3 、h i r o t a 双线性化方法【1 0 。1 2 】【1 4 】也是求解孤子方程方便可行的方法之一，其中运用有理变 换法求解c a u d r e y d o d d g i b b o n k a e a d a 方程【1 1 】，得到了该方程的单孤子解和双孤子解另 外，运用双对数变换求( 2 十1 ) 维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程族【3 】【1 7 1 的精确解 本文主要研究讨论了j a c o b i 椭圆函数法求解孤立子方程j a u l e n t - m i o d e k 方程组、利 用达布变换求解广义m k d v 方程组、双线性化方法的有理变换法与双对数变换法分别求 解孤立子方程c a u d r e y d o d d g i b b o n k a e a d a 与( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程 1 3 本文选题及主要工作 在非线性科学中，孤立子理论在自然科学的各领域扮演着重要的角色，它是一项涉及 多学科、多领域的研究课题，具有很大的发展潜力，因此许多对它的科研工作蓬勃发展这 极大的促进了一些传统数学理论的发展，同时为非线性微分方程求解提供了许多有意义 的方法，因此有必要进行深入探索研究 本文主要工作如下： 辽宁师范大学硕士学位论文 1 、利用推广的j a c o b i 椭圆函数方法，假设新的形式解，获得了j a u l e n t m i o d e k 方程组不同 取值情况下的精确解，其中包括孤子解、周期解 2 、构造了新的n 次d a r b o u x 变换，运用这个d a r b o u x 变换得到了m k d v 方程组新的单 孤子解、双孤子解 ， 3 、研究了h i r o t a 双线性方法的有理变换与双对数变换，分别求解孤立子方程c a u d r e y d o d d g i b b o n - k a e a d a 与( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程，进而取得了它们新的精确解 非线性系统的几种数学研究方法 2 推广的j a c o bi 椭圆函数展开法瞳吨们 2 1方法概述 一般情况下将齐次平衡方法应用于非线性发展方程也只能得到孤立波解1 9 9 6 年，p o r u b o v 等曾用椭圆函数构造非线性发展方程的精确解，但他们使用的是w e i e r s t r a s s 椭圆函数，求解过程相对繁琐，应用范围也较窄2 0 0 1 年，刘式适等人提出了j a c o b i 椭圆函 数展开法，运用该方法不仅可以获得每一类非线性发展方程的周期波解，而且在退化的情 况下，这些周期波解可约化为孤立波解首先我们先学习j a e o b i 椭圆函数的定义和性质闱 在微分方程理论中，将形如 y 2 = a o + a l y + a 2 y 2 + a 3 y 3 + a 4 y 4 的方程称为椭圆方程并且我们直接微分可验证y - - - , g n x ，y = c n x ，y = d n x 分别满足方 程 y 也= ( 1 一y 2 ) ( 1 一k 2 y 2 ) y 屹= ( 1 一y 2 ) ( 后屹+ k 2 y 2 ) y 屹= ( 1 一y 2 ) ( y 2 一t d 2 ) 厂7 = 4 1 一厂2 因此我们称y = 8 7 x ，y = c n x ，y = d n x 为j a c o b i 椭圆函数 j a c o b i 椭圆函数的性质 1 奇偶性s n ( - u ) = - s nu ，c n ( 一甜) = c nu ，d n ( - u ) = d nu 2 零点的值 s n0 = 0 ，c n 0 = l ，d n0 = 1 s n 2 u + c n 2 u = 1d n 2 u + k 2 s n 2 u = 1 3 恒等式 m c n 2 u + k 2 = d n 2 uc n 2 u + k 2 s n 2 u = d n 2 u 4 微商公式 d ( s n u ) = c 删d n “型= 一s ，z “d n “，d ( d n u ) = 一k 2 s 刀“c 疗“ d uc l ua u 5 椭圆函数的极限退化函数 当k 一0 时， s b u 专s i nu ，c n ujc o su ，d n u _ 1 当k 专1 时， s n uj t a n h d ，c b u 专s e c h u ，d n u - - 9 , s e c h u 因此根据j a c o b i 椭圆函数的定义和性质，易知j a c o b i 椭圆函数s ，z ( 芎，) ，c ，2 ( 亏，- ) 和 砌( 亏，r ) 均满足一阶常微分方程 辽宁师范大学硕十学位论文 尸( 亏) = 靠万雨石乒丽 其中系数( “，v ，九) 分别取作 ( ，2 ，- 1 一r 2 , 1 ) ，( 一，2 , 2 r 2 2 , 1 一r 2 ) 和( 一1 ，2 一r 2 , ，2 - 1 ) 事实上，如果定义 毗= 裂c n 捌) = 怒晡) = 裂心，) d 切( 、弓，厂js 咒【弓，) 婚) = 筹a n ( gr 如) = 筹s nr 姆) = 嬲c n r ，)i 二，j( 二，) 这些函数都满足方程( 2 1 ) ，相应系数( “，v ，九) 以及方程( 2 1 ) 的右端如下表所示 表2 1j a c o b i 椭圆函数及其相关椭圆方程【4 】 t a b l e2 1j a c o b il l i p t i cf u n c t i o na n di t sr e l a t e de l l i p t i ce q u a t i o n s ( 2 1 ) f ( 芎) p v 九 肛f 4 + 订2 + 九 s 即( 芎，r ) ，2 一( 1 + 厂2 ) l ( 1 一f 2 ) ( 1 一厂2 f 2 ) c 刀( 亏，) 一，22 r 2 11 一，2 ( 1 一f 2 ) ( 厂2 f 2 + 1 一r 2 ) 幽代，厂) 一12 一厂2，2 1( 1 一f 2 ) ( f 2 + 厂2 1 ) 铅( 亏，) 1 2 一，21 一尸2 ( 1 + f 2 ) ( f 2 + 1 一r 2 ) 西能，) 12 r 2 1一r 2 ( 1 一尸2 ) ( f 2 + r 2 ) ( f 2 + 尸2 1 ) 基于上述的讨论，那么对于给定的非线性演化方程 f ( u ，v ，u ，匕，u t9 v ，u 护屹，) = 0 ， g ( u ，1 ，u ，匕，甜，铭盯，叱，) = 0 为了寻找如下行波 u ( x ，f ) = 龆心) v ( x ，f ) = v 心) ，亏= k x + 九f ， 其中k ，九是给定的常数 将( 2 3 ) 代入( 2 2 ) ，则( 2 2 ) 可约化为 e ( “，v ，u g , k ，u ；以，u g g , 飞，) = 0 ， 一(甜，1，u，飞，u，飞，u鹊，飞，)=0(-o 【甜，1 ，飞，飞，鹊，飞，) 2 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 我们做如下变换 一 “( 芎) = e a ，f ( 亏) ， i = 0 m ，( 芎) = b , f ( 号) ， 嘞铲譬0 一? 非线性系统的几种数学研究方法 ( 2 5 ) 其中正整数聊，刀和实常数口，o = 1 , 2 ，3 万) ，匆( f = 1 , 2 ，3 聊) 是待定常数厂满足 厂7 ( 芎) = ( 2 6 ) 其中，a ，b ，c 为实参数 把( 2 5 ) 代入( 2 4 ) ，平衡方程线性最高阶导数项与最高阶线性项的幂次，则可以确定参数 m ，刀然后再将m ，n 表达式( 2 5 ) 以及( 2 6 ) 代入( 2 4 ) ，可得到关于厂( 芎) 的多项式，令其每一 项的系数为零，即可得到关于广，a ，b ，c ，k ，九，q 和包的代数方程组把该代数方程组的解 代入( 2 5 ) 及( 2 6 ) 的解中，我们便可得至l j ( 2 2 ) 的解 2 2 推广的j a c o bl 椭圆函数法求解d a u ie n t - mio d e k 方程组 下面我们考虑j a u l e n t m i o d e k 方程组f 4 】 v u t + 三甜甜，+ 匕= 0 2 + 一甜甜，+ 匕= o + 掣+ 圭扰匕= o 将行波变换( 2 3 ) 代n ( 2 7 ) 可得 0 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 平衡最高阶导数项钟肼和非线性项扰“，可得门= 1 ，m = 2 ，j j l j & ( 2 5 ) 可化简为如下形式： “裟二：1 2 叭 _ j ：囊羹b v 恁) = o + 6 l 厂代) + 包厂心) 4 。1 将( 2 9 ) 和( 2 5 ) 譬入( 2 7 ) ，并令厂代) 及厂。，+ 矿2 + 兰厂4 + ；厂6 的系数为零，磐到待毒。 常数，口，b o ，包，6 z ，尼，九，厂，口，6 ，c 的方程组 乏：+ j o 一8 一 掰 1 4 0 l i 加+甜“后 3 2 +甜九 o = ， v甜 后一2 + “后 + 孵 甜 3 后 l 一4 辽宁师范大学硕士学位论文 弛+ 互3 k a 。q + 地= o 兰k a ，2 + 2 坂= o 九包一丢口q j | 3 + 妇玩+ 三k 口。6 1 = 。 ( 2 ，。) 2 九包+ 勋。6 1 + 妻( q b l + 2 a 。b 2 ) = o 一二后3 a ，b + 2 k a ，b ，= 0 1i 一5 4 k 3 a l c = o 解方程组( 2 1 0 ) ，得到两组解 ( f ) 铲一篱确= t k , f z 荔队o ) ，例 6 0 1 4 槲一志k ( k 舡等( 6 0 ) 卢。 60=!础2一志舡百kx4互-94k ( k酗 o ) ，6 2 = 扣 ” + 3 、) 2 7 1 后+ 3 、”2 8 所以方程( 2 8 ) 的解为 蚓一鬻竽心队。) 心) 4 础2 一志k ( k 訾k3 心0 8 啊2 7 + 3 、1 2+ 。一7 。 ”7 非线性系统的几种数学研究方法 。- _ - 一 礁卜篱f 巫2 傩) ( 6 o ) 心) 4 弘志z 訾傩) + 扣砥) 根据( 2 6 ) 中r ，a ，b ，c 不同的取值，可以得到方程( 2 8 ) 多种情况的解 c a s e1 ，= l ，a = - ( 1 + p2 ) ，b = 2 2c = o ，厂= s 刀( 亏，1 t ) 当“专1 时，( 2 1 1 ) 约化为孤波解 娥) _ - 黼卸鼬芎 v 睁一( 1 + i l t 2 妒一志 当pj 0 时，( 2 1 1 ) 约化为周期解 ，等礁+ 知2 耐蛳) f 等鼬芎一3 3 4 2 2 鼬2 亏 后+ 7 。 f等si蚶一3几,2删2k3 4 峭 + 7 。 ( 2 1 1 ) c a s e2 ，= 1 一p 2 ，a = 2 p 2 - 1 ，b = 一2 t 2 , c = o ，f = c 挖( 芎，p ) 蚓= 一而2 ( 1 + k ) k 譬砥p ) v 陆( 2 p - 1 妒一志等州咖) 丢k 2 1 t2 c r t 2 “) 当p 专l 时，( 2 1 2 ) 约化为孤波解 娥卜鬻扣比 。 他) = i 1m2 - 1 ) n 志 等sec峥一3,2畔2k34 饼号 + 7 。 一l o 一 ) 一r 一驴 ， _ ，_ 毛 掰一十 、一 4一c 砾 m h等一 型圳扣 n 4 一t 渤 她 “ 一后 一， 2 篇沁 辽宁师范大学硕士学位论文 当“j0 时，( 2 1 2 ) 约化为周期解 蚓一糟等c o s 号 峭刁1 2 呲2 一志 等cos亏一312岬2k34 啭 + 77 c a s e3 r = p2 1 ，a = 2 一p 2b = - 2 ，c = o r 厂= 咖( 亏，肛) 当“j1 时，( 2 1 3 ) 约化为孤波解 券撕睁娥川 q - 3 嚣k3 s e c 弘三4 如渤2 亏 + 77 当“寸0 时，( 2 1 3 ) 约化为有理解 孵卜黼后 吣，= ( 2 - p 2 渺一志士急一 c a s e4 r = 1 一“2 ，a = 2 一“2 ，b = 2 ，c = o ，f = 甜( 亏，) 当“一1 时，( 2 1 4 ) 约化为孤波解 蚓一器+ i k c s c h 亏 v ( 亏) = 一l ( 2 - g = ) 后2 一面4 面l 2 f 景傩川+ 3 4 k 2 州卧) f 嚣3c s c 蚺三4 幽2 亏后+ 。 7 ( 2 1 4 ) p ：一3，、_r “ 竖m l 一忍 鹏 砌 一故 九一) 厩 篇卅 狮一砸 p 芎 生b 必 孵了 引 4一后 九一) 垴 蠕卅 狮一m p ) ：一3 、n 舻一十 。一心吣蒜 沈一筇 筹砷 堑锹扣 非线性系统的几种数学研究方法 - 一一。_ 一 娥) _ - 揣+ _ i k c o t v 咖一扛n 丽4 x 2 ，景c 哪三k 2 c o t 2 芎 c a s e5 ，= 一p2 ( 1 一p 2 ) ，a = 2 p 2 - 1 ，b = 2 ，c = 0 ，厂= 豳( 芎，“) 比) - - 器蝴 “) ( 2 1 5 ) 峭刁1 二p 2 州一志f 是娥川+ 署鼢2 鲫) 当1 t 一1 时，( 2 1 5 ) 约化为孤波解 蚓一揣+ i k c s c h 毛 他) 刁1 二p 2 州一志 f 景k3 c s c 三4 托幽2 芎+ 7 。 当p _ o 时，( 2 1 5 ) 约化为周期解 比产黼+ i k c s c 芎 v 陆百1w2 _ 1 ) n 丽4 x f 急c s c 芎+ 三k 2 c s c 2 号 c 撤6 r = 孚扣譬舢厂= 老器 蚓= 一而2 ( 1 + k ) x f 譬嵩 v 舻扣删一志z 等嵩+ 琵3 脚2 c 嵩，2 当p 一1 时，( 2 1 6 ) 约化为孤波解 一1 2 辽宁师范人学硕士学位论文 蚓一锗z 譬蒜 堠) = l ( k t 2 - 2 彬一志 z 塑塑墨 k + 3 1 s e c h 亏+ i - 专k 2 1 t 2 c 盖，2 c a s e7 ，：尘，口：墨，6 ：尘，c ：0 ，厂： 塑垡! 些2 4 7 2 7 2 7 。 ( “2 + 1 ) s ，2 ( 号，) d n ( 亏，p ) 】 ( 鼍) = 一2 ( 1 + k ) x f 坐鱼鱼盟一 、77 k ( k + 3 )2 ( p2 + 1 ) s 门( 亏，“) 砌( 亏，“) 】 当p 专1 时，( 2 1 7 ) 约化为孤波解 = 一揣z i k i t 而丽s e c 骊h 芎 心了1p 2 删一志 + 三k ：pz + 一2u2 1 6 、 s e c h 号 4 - ；娥“ 一 s e c h 亏 k + 3 ( 1 + p2 ) t a n h 亏s e e h 】 ( 1 + i r l2 ) t a n h 亏s e c h 亏】 ) 2 当“一0 时，( 2 1 6 ) 约化为周