高中数学等比数列课件新人教B版必修.ppt

2.3.1等比数列,一,二,三,四,一、等比数列的定义【问题思考】1.填空:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.定义表达式为_.,提示:是首项为-1,公比为2的等比数列;是首项为1,公比为的等比数列;若常数列的各项不为零,则它也是等比数列,所以是等比数列;中a的值不确定,当a=0时,这四个数不能构成等比数列.,一,二,三,四,深刻剖析1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0.2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数,那么此数列不是等比数列,这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列.4.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比虽然是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,这时此数列不是等比数列.,一,二,三,四,二、等比数列的通项公式【问题思考】1.填空:设等比数列an的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.其中,a1,q均不为0.2.在等比数列an中,你会用第m项am与公比q来表达an的通项公式吗?提示:设an的首项为a1,则am=a1qm-1,an=a1qn-1,一,二,三,四,一,二,三,四,三、等比中项【问题思考】,2.如果a,G,b三个数满足G2=ab,你能说a,G,b成等比数列吗?提示:不能.若ab0,则G是a,b的等比中项,a,G,b构成等比数列;若ab=0,则a,G,b不能构成等比数列.,一,二,三,四,答案:C,一,二,三,四,四、等比数列的主要性质【问题思考】1.填空:若数列an为等比数列,首项为a1,公比为q,则有如下结论:(1)两个等比数列的积仍为等比数列.(2)在等比数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则有aman=apaq;若m+n=2k(m,n,kN+),则(3)数列an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积.(4)在等比数列an中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为qk+1.,一,二,三,四,(5)当数列an是各项都为正数的等比数列时,数列lgan是公差为lgq的等差数列.(6)当m,n,p(m,n,pN+)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.,一,二,三,四,2.做一做:已知an为等比数列,且an0.若a5a7+2a6a8+a7a9=49,则a6+a8=.,答案:7,一,二,三,四,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)等比数列的公比可以为正数、负数或零.()(2)常数列是等差数列,同时也是公比为1的等比数列.()(3)若等比数列的首项a10,且公比|q|1,则该数列为递减数列.()(4)在等比数列an中,若aman=apaq,则一定有m+n=p+q成立.()(5)数列an的前n项和记为Sn,且Sn=2n-3,则数列an不是等比数列.()答案:(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等比数列的判定或证明,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟判定或证明一个数列是不是等比数列的方法,通项公式法:若数列的通项公式可写成an=cqn(c,q均为不等于0的常数,nN+),则数列an是等比数列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:不符合“同一”,故不是等比数列.不一定是等比数列,当an只有3项时,an是等比数列;当an的项数超过3项时,不一定符合“每一”.不一定.若常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列.当常数列各项不为0时,是等比数列.等比数列的定义用式子的形式表示出来就是:在数列an中,对任意nN+,有,则an是等比数列.答案:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等比数列的通项公式及应用【例2】在等比数列an中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.思路分析:先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组,求出a1和q,再表示其他量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,将本例2(1)中的条件“a4=2,a7=8”改为“a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列”结论又如何?解:设等比数列an的公比为q,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等比数列性质的应用【例3】等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.10C.8D.2+log35解析:由题意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,得a5a6=a4a7=9,而log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log395=log3310=10.答案:B反思感悟1.若an是等比数列,m,n,p,qN+,且m+n=p+q,则aman=apaq;2.若an是等比数列,m,n,kN+,且m+n=2k,则aman=,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:a1a2a3=5,a7a8a9=10,且an是各项均为正数的等比数列,答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,因忽视等比数列中项的符号而致误【典例】在等比数列an中,若a3a4a6a7=81,则a1a9的值为()A.3B.9C.3D.9错解an为等比数列,a3a7=a4a6=a1a9.(a1a9)2=81.a1a9=9.故选D.正解a3a7=a4a6=a1a9,(a1a9)2=81.a1a9=9.在等比数列an中,奇数项(或偶数项)的符号相同,a1,a9同号,a1a9=9,故选B.答案:B纠错心得对于等比数列来说从第二项起每一项都可以看作它的前一项和后一项的等比中项,由等比中项的概念可知,等比数列的奇数项符号一致,偶数项符号也一致,这一特征能帮助我们在处理等比数列相关问题中对结论进行检验取舍,因此要树立检验的意识.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.给出下列命题:若,则-a,b,-c成等比数列(abc0);若b2=ac,则a,b,c成等比数列;若an+1=anq(q为常数),则an是等比数列.其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:显然正确;中当abc=0时不成立;中当q=0时不成立.故选B.答案:B2.等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24解析:由题意得:(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项分别为-3,-6,-12,故第四项为-24.答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.若2a,b,2c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.0或2解析:由题意,得b2=4ac,令ax2+bx+c=0,=b2-4ac=0,故函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相切,故选B.答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.在数列an中,a1=1,an+1=3Sn(n1),则数