（运筹学与控制论专业论文）极值波高极值水位联合设计参数的推算.pdf

极值波高极值水位联合设计参数的推算 学位论文完成日期： 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： 2 0 0 4 9 而亏苁 e x t r e m e w a v e h e i g h ta n d e x t r e m ew a t e r l e v e lj o i n t d e s i g n i n gp a r a m e t e rd e r i v a t i o n b yq iy i n g u n d e r s u p e r v i s i o no fp r o f w a n gl i p i n g i nc a n d i d a c yf o rt h em a s t e rd e g r e ei no p e r a t i o n a lr e s e a r c h a n dc y b e r n e t i c s o c e a nu n i v e r s i t yo fc h i n a m a y , 2 0 1 0 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 连；如邀直墓丝盂塞挂剔直明的：奎拦豆窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位做作者签名备- 4 - ) - ，、签字嗍：加。年土月l 岁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，并同意以下 事项： 1 、学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。 2 、学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权清华大学“中 国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社用于出版和编入c n k i 中国知识资源总库， 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者躲击莹 签字同期：加o 年上月哆日 导师签字： 王翻两 签字日期：五咖年j 月少日 极值波高极值水位联合设计参数的推算 摘要 本文结合19 9 9 2 0 0 9 年共11 年的海洋灾害公报，对近11 年风暴潮致灾损 失以及发生频率做了详细的介绍，实际数据显示，风暴潮灾害对海岸工程设施( 如 防波堤、护岸、塘坝) 造成的损毁也是非常严重，严重威胁我国沿海人民群众的 生命财产安全，迫切需要我们更加提高风暴潮灾害防御预测方面的准确度。 因为波高和水位对海洋工程最为直观和重要，本文主要考虑极值波高与极值 水位对海洋工程设计参数的影响，针对当前海洋工程设计标准多采用单因素方法 进行风险预测分析，如：百年一遇波高，五十年一遇水位，而极值波高和极值水 位往往是相伴同时产生的，尤其是在受风暴潮过程的影响下；同时传统的海洋资 料风险分析方法需要人为选择分布曲线，这也给风险分析带来一定主观性的干 扰。 鉴于传统方法的主观性以及未考虑各海洋要素之间对海岸工程设施的联合 作用，本文基于最大熵原则，建立了二维联合最大熵下的极值模型，并将新模型 应用到极值波高极值水位联合设计参数的推算当中，结果表明新模型对海洋工程 设计参数的推算具有很好的适应性。 关键词：最大熵原则；联合熵；积分型变分原理；经典极值理论 e x t r e m ew a v e - h e i g h ta n de x t r e m ew a t e r - l e v e l j o i n td e s i g n i n gp a r a m e t e rd e r i v a t i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h r o u g h1 9 9 9 2 0 0 9 ，a l lt o t a l1 1y e a r so c e a nd i s a s t e rb u l l e t i n s ，m a d ea d e t a i l e dd e s c r i p t i o nt ot h eh a z a r dl o s s e sa n df r e q u e n c ya b o u tn e a r l y1 1y e a r ss t o r m s u r g e s t h r o u g ht h er e a l - m e a s u r e dd a t a t h ed a m a g eo fo c e a nu t i l i t yc a u s i n gb ys t o r m s u r g e si sv e r ys e r i o u s ，d i r et r e a t i n gt h el i v e sa n dp r o p e r t yo fc o a s t a lp e o p l ea n d m a k i n gh u g ed a m a g et os e a c o a s tu t i l i t y , t h e n ，i m p r o v i n ga c c u r a c yo fs t o r ms u r g e s d i s a s t e rd e f e n s ef o r e c a s ti si n t e g r a n t f o rw a v eh e i g h ta n dw a t e rl e v e la r em o r ei n t u i t i v ea n di m p o r t a n tt oo c e a nu t i l i t y , i n t h i sp a p e r , c o n s i d e r i n gt h ee f f e c te x t r e m ew a v eh e i g h ta n de x t r e m ew a t e rl e v e lb r i n g o no c e a nu t i l i t yd e s i g np a r a m e t e r s ，r e c e n t l y , s i n g l ef a c t o ra n a l y s i sm e a n sa r eu s e d c o n t i n u a l l yi n o c e a nu t i l i t yd e s i g n i n gc r i t e r i o nr i s kp r e d i c t i v ea n a l y t i c s ，s u c ha s ： a - h u n d r e d - y e a rr e t u r np e r i o dw a v eh e i g h t ，f i f t yy e a r sr e t u r np e r i o dw a t e rl e v e l ， e s p e c i a l l yu n d e rt h ee f f e c to fs t o r ms u r g e s ，w a v eh e i g h ta n dw a t e rl e v e la l w a y sa r i s e a tt h es a m et i m e ；m e a nw h i l e ，t r a d i t i o n a lo c e a nd a t ar i s ka n a l y s i sm e t h o d sn e e d a r t i f i c i a ls e l e c t i o nd i s t r i b u t i o no l i v e ，t h i sb r i n g ss o m es u b j e c t i v i t yo b s t r u c t i o nt or i s k a n a l y s i s f o rt r a d i t i o n a lm e t h o d s s u b j e c t i v i t ya n dd o n tc o n s i d e rt h ec o m b i n e da c t i o no c e a n e s s e n t i a lf a c t o r b r i n gt o o c e a n u t i l i t y , s e t t i n gu pt w o - d i m e n s i o n a lj o i n te n t r o p y m o d e lb yd e r i v i n ge x t r e m ew a v eh e i g h ta n dw a t e rl e v e lj o i n td i s t r i b u t i o nf u n c t i o n u n d e rt h et w o - d i m e n s i o n a lj o i n tm a x i m u me n t r o p yp r i n c i p l e ，a n da p p l y i n gt h en e w m o d e li ne x t r e m ew a v eh e i g h ta n de x t r e m ew a t e rl e v e lj o i n tn e wm o d e lh a st h em e r i t o fm i n i m u mi n t e r f e r e n c ea n dc o n s i d e r st h er e l e v a n c eo fw a v eh e i g h ta n dw a t e rl e v e l w h i c ht r a d i t i o n a lm o d e l sd o e s n t h a v e ，i ti sm o r ea d a p t a b i l i t yi no c e a nu t i l i t y d e s i g n i n gp a r a m e t e r k e y w o r d s ：p r i n c i p l eo fm a x i m u me n t r o p y ；j o i n te n t r o p y ；i n t e g r a lv a r i a t i o n p r i n c i p l e ；c l a s s i ce x t r e m ev a l u et h e o r y 一 目录 第一章引言。l 1 1 问题的提出与国内外研究综述1 1 2 国内外研究综述4 1 3 本文研究的内容及所做工作。7 第二章经典极值理论9 2 1 极值分布类型9 2 1 1f i s h o r - t i p p e t 极值类型定理1 0 2 2 广义极值分布1 1 2 3 本章小结。1 2 第三章信息熵及最大熵原则的推广。1 3 3 1 信息熵1 3 3 1 1 “熵 及信息熵的由来1 3 3 1 2 一维随机变量的信息熵1 4 3 1 3 联合信息熵和条件信息熵1 5 3 1 4 信息熵的基本性质。1 5 3 2 最大熵原理1 6 3 3 本章小结1 7 第四章二维最大熵原则下的联合分布函数的推导1 9 4 1 模型的建立1 9 4 2 参数估计。2 2 4 3 应用2 6 4 4 本章小结3 0 第五章总结与展望3 l 5 1 总结31 5 2 展望3l 参考文献3 3 致谢3 7 个人简历及学术成果3 9 极值波高极值水位联合设计参数的推算 1 1问题的提出 第一章引言弟一早ji石 随着人口、资源、环境问题的日益尖锐，全球沿海国家纷纷把开发利用海洋 资源与大力发展生态经济提升到发展战略的高度，战略性新兴产业呈现出广阔发 展前景，海洋经济和绿色经济发展十分迅速。特别是我国正处于大力调整经济结 构，转变经济增长方式的关键时期，大力发展海洋经济已经成为经济发展新的动 力。据初步核算，2 0 0 9 年全国海洋生产总值3 l9 6 4 亿元，比上年增长8 6 ，略 低于同期国民经济增长速度。海洋生产总值占国内生产总值的9 5 3 ，占沿海地 区生产总值的1 5 5 。其中，海洋产业增加值1 87 4 2 亿元，海洋相关产业增加值 1 32 2 2 亿元。海洋第一产业增加值l8 7 9 亿元，海洋第二产业增加值1 50 6 2 亿元， 海洋第三产业增加值l50 2 3 亿元。海洋经济三次产业结构5 9 ：4 7 1 ：4 7 0 。2 0 0 9 年全国涉海就业人员32 7 0 万人，其中新增就业5 2 万人【。 但是海洋经济在迅速发展的同时，海洋灾害也在时刻威胁着海岸工程的安全 和海洋经济的健康发展。据国家海洋局调查分析，2 0 0 9 年我国累计发生1 3 2 次 风暴潮、海浪和赤潮过程，其中3 3 次造成灾害，各类海洋灾害( 含海冰、浒苔 等灾害) 造成直接经济损失1 0 0 2 3 亿元，死亡( 含失踪) 9 5 人1 2 1 。图1 1 给出 了1 9 8 9 年- 2 0 0 9 年2 1 年间海洋灾害造成的直接经济损失及人员伤亡情况，由图 1 1 可以看出，海洋灾害带来的直接经济损失和人员伤亡呈现明显的无规律趋势， 这给海洋防灾带来了一定的难度。 由图i - 2 我们可以看出，在过去的1 0 年间，致灾风暴潮发生的频数呈现逐 年升高的趋势，尤其是2 0 0 6 年2 0 0 9 年这四年，致灾风暴潮发生的次数居高不下， 仅2 0 0 9 年一年期间，致灾风暴潮就发生了3 3 次，达到近十年的最高纪录。但是 结合图l - l 可以我们还能看出，2 0 0 6 2 0 0 9 年间，虽然风暴潮发生的次数逐年上 升，但是这几年的直接经济损失和人员伤亡数相比却呈现逐渐下降的趋势，这与 近年来国家海洋局推进海洋灾害应急管理体制建设，不断完善新的海洋设计参数 推算模型，加强海洋灾害监测预警等是密不可分的【2 1 。 极值波高极值水位联合设计参数的推算 _ 直接经济损失( 亿元) _ 死亡( 含失踪) 人数 l- 【一i l。m l l l ，一l 、j 。l。置j ，一l1i + ii ，ii。il - i j 器宝景裂霉基长蓦瓮誊霉8g 窨：ggo t t 3 骘go e og 西疥oooooooooo 一一一一一hh一一hhnnn nn一一n 图1 11 9 8 9 2 0 0 9 年海洋灾害直接经济损失( 亿元) 和死亡( 含失踪) 人数 图i - 21 9 9 9 2 0 0 9 年风暴潮灾害年发生频数 尽管国家海洋局加强了海洋灾害监测预警体系建设，并完善海洋灾害应急预 案，有效地减少了人员的伤亡并降低了财产损失，但是对于海洋及内陆已经建设 好的固有的工程，受到的损毁还是相当的严重。以海岸工程为例：0 9 年致灾风 暴潮造成了部分省市近2 6 7 8 1 公里的海岸工程设施损毁，不仅频受风暴潮袭击 的福建、广州、浙江，江苏等省市海岸工程遭受了严重损毁，如：广东省海岸工 2 o m 技 坶 8 6 4 刭 极值波高极值水位联合设计参数的推算 程损毁1 3 6 9 7 公里；江苏省海岸工程损毁4 0 公里；福建省海岸工程损坏2 7 1 2 3 公里：浙江省防波堤损坏1 3 8 2 公里；甚至连风暴潮很少光顾的天津、山东、河 北等省市的海岸工程也因0 9 年风暴潮的影响遭到了严重的破坏，如：天津海岸 工程损毁1 6 4 公里；河北海岸工程损毁2 3 5 公里；山东省海岸工程损毁5 4 公 田【2 】 - - t - o 风暴潮破坏力如此巨大，对居民特别是沿海城市居民的生产生活造成了极大 的影响，迫切需要我们更加提高风暴潮灾害防御预测方面的准确度，提高海岸工 程抵御多年一遇设计参数值的精确度也就显得至关重要【3 ，4 1 。 尽管近几十年来我国海洋灾害防御分析方面有着极大的发展，但也存在着诸 多问题，我国海洋灾害研究大多数仍处于对灾害现象的研究，预测模式尚未达到 应用阶段。现场研究多数以描述性居多，有些灾害( 如台风等) 在观测的频率与 范围上不够，各学科结合不够，对趋势和过程研究还需进一步加强。具体表现在 抗灾能力不强，对于海洋灾害的风险预测能力较差，海岸海洋设抵御多年一遇风 险的设计值较低等。这些问题的产生除了有历史原因，如：建国时间不长，海洋 资料缺乏等以外，还有研究和预测方法的局限性等【4 1 。 海洋资料分析中的研究要素众多，如：波高、水位、风速、周期等，通过上 述风暴潮对沿海城市海洋工程的破坏，可以看出尤以波高和水位对海洋工程和海 洋风险最为直观和重要。然而传统的海洋资料风险分析对象往往只是对单一的海 洋要素，如：百年一遇极值水位，五十年一遇极值波高，或有时各取最大值作为 假定它们同时出现条件下的极端情况的上限，这种设计方法是一种确定性的设计 方法，而且波高和水位在单独重现期极值条件下的组合同时出现的事件是一个小 概率事件，因此这两个因素带来的后果也是小概率事件，这种方法没有考虑到波 高、水位联合出现的概率，往往不能准确的而只是经验的估计环境条件设计标准。 事实上，极值波高和极值水位往往是相伴同时产生的，尤其是在受风暴潮过程的 影响下；同时传统的海洋资料风险分析方法需要人为选择分布曲线，这也给风险 分析带来了一定主观性的干扰【4 1 。从以上的分析中可以看出，波高和水位的二维 联合重现期研究作为一种提高抵御海洋风险能力的工具，具有重要的作用，而在 二维联合重现期的研究中，关键的问题是如何建立最为符合事实情况的二维联合 分布函数和联合密度函数1 5 j 。 3 极值波高极值水位联合设计参数的推算 因此，本文研究最小干扰下的波高和水位的二维联合分布函数以及联合重现 期就显得至关重要，并且在海洋工程中联合概率的重要性己得到越来越多的认 同，美国石油协会( a p i ) 、挪威船级社( d n v ) 等都在其规范中推荐使用联合 概率的方法确定石油平台的设计水平【4 j 。最大熵原则由于其在约束条件下对未知 量保持最大熵，因而非常适合描述非线性随机变量。本文通过对二维联合最大熵 原则下的极值波高、水位联合分布函数的推导，建立了二维联合最大熵下的极值 模型，并将其应用到极值波高和极值水位的联合重现期计算中，新模型有着传统 模型所不具备的最小干扰优点，并且考虑了波高和水位的相关性。 1 2 国内外研究综述 海浪波高分布函数最早是由l o n g u e t h i g g i n s ( 1 9 5 2 ) 在波面位移为正态过程 和窄谱假定下导出的，后又在此假定下提出多种推导方法，得到的大部分结果都 是一致的，即波高为r a y l e i g h 分布。徐德伦等( 1 9 8 9 ) 通过引入h i l b e r t 变换进 一步简化得到了海浪振幅的r a y l e i g h 分布，从而得到了波高的概率密度函数： 删铆剥一树) ，) p = 1 8 ，x o = o r 冗| 4 ，x o = x 1 ，x o = t w 在式( 1 1 ) 中取= , d 4 得到以x 为参量的概率密度函数： 厂c x ，= 詈专e x p 一号( 未) 2 上述波高r a y l e i g h 分布函数以及由它导出的各种统计特征波高之间的关系， 经大量验证，在一般情况下大体符合深水海浪的实际情况，因此至今仍在广泛应 用中。然而r a y l e i g h 分布函数是在线性理论和窄谱的假定条件下产生的，虽然 是目前为止唯一的由理论导出的波高分布函数，但是该分布无法描述海浪波高的 非线性效应对于统计分布的影响，导致观测的分布与理论分布具有相当大的偏 差。为克服线性模型在波高描述中的局限，l o n g u e t h i g g i n s 于1 9 6 3 提出一种非 极值波高极值水位联合设计参数的推算 线性海浪模型： g - = n i | + a q 考t 专j + a l t j t n 其中各项都是e i n s t e i n 求和规则下的和，即右侧各乘积均就重复的下标由l 至 求和，口，嘞，均为系数。该非线性模型反映了海浪的非线性效应，也更能准确 地反映海浪波面位移的随机性，因而在应用中也越来越多。 海洋水位的研究也由最开始的极端潮位研究逐渐转变到天文潮与风暴增水 等的组合研究。过去，世界各国主要采用简单易行的最高潮位统计法进行极端水 位研究。我国在设计中曾采用历年最高、最低潮位作为极端高、低水位。现在， 我国海港水文规范中规定，采用历史最高潮位频率法，使用g u m b e l 分布模 型推求5 0 年一遇的高、低水位作为极端水位；而日本等国采用历史最高潮位法 进行极端水位的设计1 4 1 。实际上，极端水位受制于多种因素的影响，如天文潮、 风暴潮、风向等，这种单一因素的设计方法，忽略了多种致灾因素的联合作用，n 往往导致极端设计值较为保守，给海洋建筑等带来一定的风险。 近年来，国内外多采用天文潮与风暴潮增水的组合方法对极端水位进行研 究，但是目前仍多是把两者作为不相关的独立事件进行考虑，无论是风暴增水和 平均高潮位的组合计算法还是最大增水与天文潮的组合概率法都是缺乏根据的。 该类组合方法是把风暴潮增水作为形成最高水位的主要因素，并将其从极端水位 中抽取出来，也就是从验潮曲线中减去天文潮预报曲线，从而得到风暴增水曲线， 即： 增水极值= 实测值天文预报值 由于风暴潮的发生较少，每次风暴潮特征值的极值随机抽样显然是彼此独立 的，因此形成了以下组合方法： h p = h 七龃口 式中h 可取为历年天文潮平均值、热带风暴影响期间的平均潮位值、累年天文 潮最高值或大潮期平均值；a h 。取作不同极值模型计算得到的重现期增水极值 1 5 l 。 近年也有学者将灰色马尔科夫预报模型应用在极值水位预报当中。灰色马尔 s 极值波高极值水位联合设计参数的推算 科夫预报模型同时具备灰色系统应用几个数据即可建模预报的优势，以及马尔科 夫链可以预报波动加大值的特点，预报精度高。 在上世纪8 0 年代以后，通过联合概率的设计推求极端水位的方法逐渐取得 了海洋工程界的共识，但仍存在如下问题：首先是单因素模式的选择问题，工程 规定的极值水位模型很难适用于全部地区；其次是联合分布函数的选择问题，不 同环境组合下的联合概率模型也不尽相同。第一个问题已经基本解决，方法是根 据地区差异和具体工程，对实测资料进行多种理论分布的拟合、比较，从中选出 最佳的理论分布模式：徐德伦、王莉萍等【6 , 7 l 应用最大熵分布模型也在一定程度 上避免了人为选择分布模型带来的主观干扰。其主要方法有： f ，力= f ( 功f ( 力 式中f ( x ，力为联合分布函数，f ( 功，f ( 少) 分别为年最大风暴增水和天文潮极值 的分布函数，该方法是建立在风暴增水和天文潮独立的前提下，具有一定的局限 性。 海洋科学中的联合分布研究也一直没有停止，由于波长和空间波高直接测量 的困难，大部分的联合分布研究都是关于波高和周期的。l i n d g r e n ( 1 9 8 2 ) 导出 了一个波长和周期的联合分布函数( l i n d g r e n 定义的波高和波长与通常的定义不 同) ：l o n g u e t - h i g g i n s ( 1 9 7 5 ) 在正态随机过程的假定下导出一种海浪波高和周 期的联合分布函数，但是该联合分布函数有两个缺陷：周期的均值是对称的和周 期为0 时函数值不为0 ；为解决以上的缺陷问题，l o n g u e t h i g g i n s ( 1 9 8 3 ) 通过数 学处理引入归一化因子得到了一种关于周期不对称的波高和周期的联合分布函 数，与观测数据符合较好，但边缘分布却非严格的r a y l e i g h 分布；孙孚( 1 9 8 8 ) 和赵锰等( 19 91 ) 则分别根据海浪线性模型、波动的射线理论和h i l b e r t 变换导 出了相同的波高和周期的联合分布函数，并且由此得到的波高分布为r a y l e i g h 分布【9 l o “熵”及最大熵原理提出后，由于其优良的性质，在预测与决策、概率分布、 可靠性分析、时间序列分割、图像分割、模式识别、证券投资甚至地震分级、早 涝演变等方面均得到了广泛的应用，并取得了较好的效果，在遗传算法中也有较 多的应用，这些都充分体现了“熵”及最大熵作为一项基本法则的巨大作用，而 6 极值波高极值水位联合设计参数的推算 应用中又以水文学中的应用最为广泛【i o 】。 “熵 及最大熵在水文学中的应用，基本是以求解使得“熵 达到最大值的 概率密度函数和分布函数的参数估计为主【i l 】。1 9 7 2 年，j o s o n u g a 首次将最大 熵原理应用到了水文中，推导了基于有限数据的小偏差的正态分布。1 9 7 6 年， 他还依据条件熵针对降雨径流过程应用最大熵原理推导出径流对降雨的条件分 布【1 2 】。1 9 7 9 年，p w j o w i r 对于极值i 型分布基于最1 9 7 6 年，他还依据条件熵 针对降雨径流过程应用最大熵原理推导出径流对降雨的条件分布【l2 1 。最大熵原 理提出了一种进行参数估计的熵算法，并以年最大洪水序列进行了解释和验证 【”】。八十年代中期，v p s i n g h 和k s i n 曲先后以最大熵原理推导了两参数g a m m a 分布、p e a r s o n i i i 型分布、三参数对数正态分布、对数p e a r s o n i i i 型分布，并加 以参数估计，特别指出最大熵原理和极大似然法之间存在一种特殊的联系。1 9 8 6 年，n s o g a w a 和m a r a k i 等以最大熵原理推导了多元分布，并将其应用到年降 水和年最大降水的分析中；v p s i n g h 和p f k r s m n o v i s 推导了用于洪水分析的多 元概率分布【m l 。 近年来最大熵原理在海洋水文方面的应用又有所增加，应用面也越来越广。 徐德伦、张立振提出了新的约束条件，得到了不同于以往的新的最大熵概率分布， 该分布具有四个待定参数并且分别位于幂次、指数和系数等位置，能够很好地拟 合已有数据1 1 5 l ；王莉萍等将最大熵原理和复合极值理论结合得到了一种新型的 复合泊松最大熵极值模型，并将其应用于台风影响下青岛地区的极值波高重现 期计算中，取得了很好的效果【1 6 , 1 7 , 1 8 1 。 总之，基于最大熵原理进行波高和水位频率推导，人为造成的偏差最小，所 得的结果也最为客观。基于最大熵原理得到的概率密度函数，其中的参数仅由约 束条件限制，而这些约束条件往往又是符合已知公理或者事实的，因此在一定程 度上可以说基于最大熵原理推导的概率密度函数是无参数的。同时，对于传统的 概率分布函数，也可基于最大熵原理进行参数估计，在上面的介绍及应用中已经 表明：最大熵原理和极大似然法相当，但是计算更为简单快捷；同时优于矩法、 概率权矩估计、最小二乘法等传统的参数估计方法1 1 9 2 0 。 1 3 本文研究的主要内容及完成的工作 7 极值波高极值水位联合设计参数的推算 本文采用理论研究为主，实证分析为辅的研究方法，结合图表展示对理论结 果进行说明。本文研究的重点在于二维联合最大熵概率密度函数的推算，并在第 四章对理论进行了建模分析，参数估计以及模型的应用，本文工作主要集中在以 下几个方面。 1 对海洋工程极值波高、极值水位的计算方法进行总结回顾。 2 归纳现有的经典极值分布模型。 3 介绍“熵 的起源、定义、性质、最大熵原理。 4 通过对约束条件的限制，基于数学泛函和变分原理给出了在最大熵原则 下二维联合最大熵概率密度函数的推导过程，利用混合矩对所求得的函 数进行参数求解。 5 选取青岛某海岛2 6 年的实测数据，研究了二维联合最大熵函数在实践中 的应用。将经典极值理论及二维联合最大熵函数应用于黄海某海岛岛波 高和水位的联合重现期的计算中；通过计算、分析、比较，得出传统的 极值模型和新模型在多年一遇重现期设计上的不同，并以图表的形式展 示了出来。 8 极值波高极值水位联合设计参数的推算 一第二章经典极值理论 多年一遇的设计风速、设计波高、设计水位等海洋要素设计参数是海洋工程 设计的主要依据，它们的取值大小，可直接影响到建筑物的投资、安全度、和实 用运营状况。极值是指某一时间间隔内可能出现的最大值，三十分钟至数小时称 为短期，其海洋环境条件可认为是不变的，一年以上或多年称为长期。无论短期 或长期极值统计，都必须明确确定极值的观测数量和时间期限【2 1 2 2 2 3 ，2 4 1 。 2 1 极值分布类型 在这里我们以海洋波高为例，设随机变量波高x ，其每天的观测值 五，x 2 ，是x 的独立同分布的简单随机样本，其服从同一分布f ( 功，我们可 以知道对于自然数以而言，令五。，x 曲分别表示年最大波高及年最小波高，则： 五。= m a x x , ，x 2 ，吒) 瓦。= r a i n x , ，毛，) 五。，k 为随机变量，所以波高年最大波高五。的分布函数为： p r ( j ，m 。力= p r ( 五x ，x 2s x ，矗功 因为而，毛，乇独立且同分布，所以 p r ( 爿，懈5 功= p r ( x , x ，x 2 x ，s 功 = p r ( x , x ) p r ( x , 力p r ( x x ) 同样， = f ”( x ) ( 2 1 ) p “j 。x ) = 1 一p r ( 叉k 曲 = 1 一p r ( x l x ，x 2 x ，毛功 = 1 一p r ( x i x ) p “屯x ) p r ( x 功 9 极值波高极值水位联合设计参数的推算 = 1 - i p r ( 五瑚 1 一p r ( x 2 瑚【l v r ( 毛功】 = l - 【l 一，( 瑚” ( 2 2 ) 如果已知分布函数f ( 功，则可以根据( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式，精确地求出波高年最大 值及波高年最小值的分布函数，但是在实际情况中，f ( 功往往是未知的，因此 很难直接用于统计分析当中。所以，要研究波高年最大值墨一，波高年最小值 x m 的极值分布，有着重要的理论及实际意义2 3 2 5 2 6 1 。 2 1 1f i s h e r - t i p p e t 极值类型定理 设五，。k 是独立同分布的随机变量序列，如果存在常数列 a n 田和 吃 ， 使得： l i m p “兰二d 工) ：日( x ) x r ”。 成立，其中h ( x ) 是非退化的分布函数，那么h ( x ) 必属于下列三种类型之一： i 型分布：蜀( 曲= e x p ( 一e x p ( 一三竺) ) 一o o x 0 ，w e i b u l l 分布对应善 0 和 吃 ，使得： l i m p r ( 兰二d d ：日( x ) x r ”- 。 成立，其中h ( x ) 是非退化的分布函数，那么( 功必属于下列分布： h ( x ；a ，盯，孝) = e x p 弋l + 孝掣) ) 一i 省) ，1 + 孝( 三二! 与 o o -仃 其中，善r ，盯 0 。特别的，当= 0 ，盯= 1 时，称为标准广义g e v 分布，其 分布函数与密度函数分别为： 娥墨孝) = e x p 厅( x ；0 = ( 1 + 孝功一1 + ”善e x p - ( 1 + 善：x ) - w ) 其中，l + 善x 0 。 2 3 本章小结 本章对经典极值理论进行了简要的论述，经典极值理论在海岸工程上有极其 广泛的应用，意义显著。但是将经典极值模型应用到实际时，需要人为的选择极 值类型，显然增加了人为因素的干扰。同时，经典极值理论没有扎实的理论基础， 是人为的经验模型。针对经典极值理论在应用中的不足，下文应用最大熵原理推 算了二维联合概率密度函数。 极值波高极值水位联合设计参数的推算 3 1 信息熵 第三章信息熵及最大熵原则的推广 3 1 1 “熵”及信息熵的由来 1 8 6 5 年德国物理学家鲁道尔夫克劳修斯( r u d o l fc l a u d i u s ，1 8 2 2 1 8 8 8 ) 为了 定量的分析热力学第二定律用了1 5 年的时间提出了“熵”的概念，根据他的定 义，熵是不可用能的量度，具体地说就是：在没有外界作用的情况下，一个系统 的熵越大，不可用能就越大。克劳修斯从系统宏观的角度给出了熵的定义。1 8 7 2 年，波尔兹曼引用统计方法，在概率论的基础上解释了熵的微观本质：所谓熵， 就是系统宏观态下大量微观粒子的位置和速度的分布概率函数，是描述系统中大 量微观粒子的无序性的宏观参数。从这个意义上讲，熵是系统内部粒子混乱程度 的量度，系统的熵越大，其微观状态数越多，分子运动越混乱。我们称波尔兹曼 定义的熵为统计熵。统计熵的提出为信息熵的发展打下了坚实的基础【引】。 信息是信息论当中一个重要的概念，对于信息接受者来说，“信息是能够减 少或消除不确定性的一种客观存在和能动过程”。不确定性是一切客观事物的属 性，当接受者未接收到某事物的信息之前，对事物的认识是不确定的，一旦收到 信息，就了解了该事物，可以说对它的认识上的不确定性减少或消除了【3 l l 。 关于信息的度量，1 9 4 8 年，美国数学家克劳特香农( s h a n n o n ) 在b e l ls y s t e m t e c h n i c a lj o u r n a l 上发表了通信的数学原理( am a t h e m a t i c a lt h e o r yo f c o m m u n i c a t i o n ) 一文，以概率与数理统计为工具，提出度量信息量的数学公式 信息熵。在他看来信息的基本作用就是消除人们对于事物的不确定性，所以， 信息可以用被消除的不确定性的多少来表示，而不确定性在概率论中是用随机事 件或随机变量来描述的，因此信息可以以概率分布函数来定义。“熵”便引入到 信息论当中，提出了“信息熵”的概念，信息熵是香农从随机性和概率测度的角 度提出的，指的是一个随机事件不确定性程度的量度。变量的不确定性越大，信 息熵也就越大，就越接近于它的真实状态，熵极大时处于平衡态。也就是说一个 系统越是有序，信息熵也就越小，熵等于零时，事件是确定的【3 2 1 。 信息熵是从平均意义上描述信源的总体特征，它表示信源输出的平均信息量 1 3 极值波高极值水位联合设计参数的推算 。 和信源的平均不确定性。信息熵越大，说明信源发出的平均信息量越大，而信息 量大表明信源发出的信息的概率小，即信源的不确定性大。统计熵反映的是系统 所具有的可能微观状态数目，是系统不确定性或无序度的度量。可见，统计熵与 信息熵在性质上是相同的，信息熵是熵的自然推广。它向人们表明：熵不仅可以 不与热力学过程相联系，而且也不必与微观分子运动相联系，它可以成为系统状 态不确定性程度的量度。这个状态可以说是热力学的，也可以不是热力学的：可 以使微观的，也可以使宏观的。它可以描述任何一种物质运动的不确定性程度， 于是，我们便可以用它去研究系统内部某种分布的差异，如海洋中盐分浓度的分 布，大气中温度和水汽含量的分布及人的财产、环境资源、昆虫密度的分布等到。 由此产生一些了己熵为基础的新学科，如浓度场熵、温度场熵、经济熵以及气象 学熵等【3 3 】。 本文研究的是熵在水文、气象中的应用，水文、气象系统中所应用的熵不同 于热力学和统计学中的熵，是信息论中所定义的额“信息熵”。下文如无特别提 出，提到的熵都是信息熵。 3 1 2 一维随机变量信息熵 离散信息熵：考虑离散型随机变量x ，可以离散的取值五，x 2 ，对应的概率 分别为a ，仍，则离散型随机变i x 的信息熵定义为： 挑) 2 莩p ，l o g l a = 一军加g b 可以这样说，只要知道概率分布( 一组概率值) ，就可以求出这个分布对应 的信息熵值，它表示在一次抽样时变量出现什么值( 即结果) 的不确定程度。 连续信息熵：对于一维连续型随机变量x ，若它的概率密度函数为f ( x ) ，假设x 在( 口，6 ) 上取值，则连续型随机变量x 的信息熵为： 日( x ) = - if ( x ) l o gf ( x ) d x 从上面熵的表达式我们可以看到，熵实际上是随机变量x 的分布的泛函数。 它并不依赖于概率x 的实际取值，而仅仅依赖于其概率分布。 1 4 极值波高极值水位联合设计参数的推算 关于熵的单位，规定若对数l o g 所用的底是2 ，熵的单位用比特表示；同样 的，以p 为底的单位为奈特；1 0 为底的单位为哈特，本文中我们选取对数底为e 。 3 1 3 联合信息熵和条件信息熵 定义1 ：设x 和】，分别是取值于a = 五，吒，) 和b = 乃，弘，虬) 的离散型随 机变量，若户( x = 而，】，= 乃) = p ( 薯，乃) ，则x 和y 的二维联合离散熵定义为： h ( x ，r ) = - z p ( 毛，y j ) l n p ( x ，乃) ， 与一维情形相同，我们可以将二维联合离散熵推广到二维联合连续熵的情形。 定义2 ：连续型随机变量x 和】，联合密度函数定义为f ( x ，力，假设x ，y 分 别在( 口，6 ) ，( c ，力上取值，贝, 1 1 - - 维联合连续熵为： h ( x ，即= 一j = f 厂( x ，y ) l n f ( x , y ) a x a y 定义3 ：随机向量叉