（应用数学专业论文）nuat+b样条基的显式表示及其性质.pdf

摘要 n u a tb 样条曲线是基于空间s 舯n 1 ，t ，t 扣3 ，c o s t ，s i nt 生成的样条曲线，它具 有与b 样条曲线几乎一摸一样的性质，而且它能精确表示圆弧，椭圆弧，螺旋线等被广 泛应用的曲线本文分简单节点与多重节点两种情况分别讨论了m ，a t b 样条基的显式表 示以及其面积的计算问题。作为简单节点的特例，本文还讨论了均匀节点下的n u a t b 样条基到幂基的转换矩阵，并给出求得该矩阵的算法。 对于简单节点序列情形，本文首先构造了一截断函数，利用截断函数行列式得到了 三角样条函数空间中具有有限支柱函数空间的一组基，从而确定n u a tb 样条基与该行列 式只相差一个常数。通过研究截断函数行列式的性质，我们将其化简得到类范德蒙行列 式形式，而后通过对类范德蒙行列式的性质的研究最终确定了系数，从而将n u a tb 样 条基精确显式表示出来，同时利用类范德蒙行列式的计算公式得到了类范德蒙行列式面 积的一个简单的计算方法。 特别地，利用简单节点的结果本文得到了均匀节点序列下的n r u a tb 样条基的显式 表达式及面积，并用此显式表达式给出来了其到幂基的转换矩阵。通过对此时的类范德 蒙行列式的进一步研究，得到了求解该幂基转换矩阵的一个快速算法。 对于多重节点序列情形，同样利用一个截断函数构造了类似的截断函数行列式，采 用类似于简单节点的方法可以将其化简到广义类范德蒙行列式。通过研究广义类范德蒙 行列式的性质确定类范德蒙行列式与截断函数行列式之间的系数，也得到了关于截断函 数矩阵的面积表达式 关键词：截断函数有限支柱函数空间类范德蒙行列式差分定义拟差分定 义幂基转换矩阵节点序列函数广义范德蒙行列式显式表示 i a b s t r a c t n u a t b - s p l i n e c u r v e b a s e d o n s p a c e s p a n l t ，t k - 3 , c o s t ，s i n t h a s e x a c t l y t h e s a m ep r o p e r t i e sa sb - s p l i n ec u r v e ，a n di ta l s oc a n r e p r e s e n tc i r c u l a ra r c , c y c l o i d ，h e l i x e t c w h i c hh a v e b e e nf r e q u e n t l yu s e di nm a n yc a d c a ms y s t e m s i nt h i sp a p e r , w e d i s c u s st h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fn u a t b - s p l i n eb a s i sa n dc o m p u t a t i o no fi t sa r e ab o t h o i ls i m p l ek n o ts e q u e n c ea n d m u l t i p l ek n o ts e q u e n c er e s p e c t i v e l y i nt h ec a s eo fs i m p l ek n o ts e q u e n c e ，b y u s i n gaf i r s t l yc o n s t r u c t e dt r u n c a t e df u n c - t i o n ，w ef i n do u tab a s i so fas p a c eo f f i n i t e - s u p p o r ts p l i n ef u n c t i o n s i nt h et e r mo fd e t e r - m i n a n t t h e r e f o r e ，t h er e l e v a n tn u a t b - s p l i n eb a s i sc o db ee x p l i c i t l yp r e s e n t e de x c e p t ac o e f f i c i e n t a f t e ri n v e s t i g a t i n gt h e p r o p e r t y o fd e t e r m i n a n t ，n u a t b - s p l i n eb a s i sc a n b ee x p r e s s e di nam u c hm o r eb e a u t i f u lf o r m - v a n d e r m o n d e 1 i k e d e t e r m i n a n t f i n a l l y , t h r o u g ht h ep r o p e r t i e so fv a n d e r m o n d e - l i k ed e t e r m i n a n t , w ec a nd e t e r m i n et h ec o e f f i c i e n ta n do b t a i nt h ea c c u r a t ee x p l i c i te x p r e s s i o no fn u a t b - s p l i n eb a s i s i na d d i t i o n , w ea l s od i s c o v e ra ne a s ya l g o r i t h mf o r t h e c o m p u t a t i o no fi t sa r e a a p p l y i n gt h ea c q u i r e dr e s u l t so fs i m p l ek n o ts e q u e n c et os p e c i a lc a s eo fu n i f o r m s e q u e n c e , w eg e tt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fu a t b - s p l i n eb a s i s a n dw ea l s oo b t a i nt h e t r a n s i t i o nm a t r i xi n t op o w e r - b a s i su s i n gt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fu n i f o r mc a s e a f t e r d e l v i n gi n t ot h ef u r t h e rp r o p e r t yo fv a n d e r m o n d e l i k ed e t e r m i n a n t , w eg a v ea ne f f i c i e n t a l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h e t r a n s i t i o nm a t r i x w h e n g i v e n ac o m p l e xk n o ts e q u e n c e ，f i r s tw ea l s oc o n s t r u c t ad e t e r m i n a n to ft r u n c a t e df u n c t i o nf i r s t d u et oi t sc o n t i n u i t y , w ea s s e r ti ta l s oc o n s i s tab a s i so fas p a c eo f f i n i t e - s u p p o r ts p l i n ef u n c t i o n s u s i n gs i m i l a ra n a l y s i sa ss i m p l ek n o ts e q u e n c e ，t h ed e t e r m i n a n tc a nb es i m p l i f i e di n t oa l le a s yf o r m - s o - c a l l e d g e n e r a l i z e dv a n d e r r n o n d e - l i k e d e t e r m i n a n t w ei n v e s t i g a t e dt h ed e t e r m i n a n t , t o o ，w h i c he v e n t u a l l yh e l p su sd e t e r - m i n et h ec o e f f i c i e n t a n dw ea l s oo b t a i na l le x p l i c i te x p r e s s i o no fi t sa r e a k e yw o r d s ：t r u n c a t e df u n c t i o n ，f i n i t e - s u p p o r tf u n t i o n , v a n d e r m o n d e 。l i k ed e t e r m i n a n t , d i f f e r e n c ed e f i n i t i o n ，d i f f e r e n c e - l i k ed e f f i n i t i o n , t r a n s i t i o nm a t r i x , f u n c t i o no nk n o ts e q u e n c e , g e n e r a l i z e dv a n d e r m o n d e l i k e d e t e r m i n a n t , e x p l i c i te x p r e s - s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，。除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝鎏盘鲎或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解迸江盘茎 有关保留，使用学位论文的规定 特授权逝姿盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阋和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：2 心j 第1 章绪论 1 1c a g d 发展概述 意大利文艺复兴时期，造船工程师首先应用了包括二次曲线在内的绘图技术，在此 之前，轮船都是依靠手工方法制造出来的，而不涉及任何数学方法。设计技术在2 0 世 纪得到进一步的发展，尤其是在应用了曲线规时达到了顶峰( 曲线规就是弯曲成想要 形状的木制板条) 。2 0 世纪初，人类发明了飞机l i m i n g 采用二次曲线机的设计方法 适应大规模的生产。在2 0 世纪5 0 年代晚期，出现了木块和铁块制造出三维形状的硬 件设备，现在被称为计算机辅助制造( c a m ) 。这些形状体可以用来制作模具和铸造汽 车的外壳，实际应用过程中很快就发现这种生产方法的瓶颈是严重缺少相应的软件。 为了利用计算0 t $ 4 造出一个形状体，就有必要对形状体进行计算机描述。1 9 6 3 年，美国 波音( b o e i n g ) 飞机公司的福格森( f e r g u s o n ) 1 】首次在飞机设计中使用( 1 ，t ，护，t 3 ) 为基 函数的三次参数曲线在此之前，曲线的描述一直是采用显式的函数y = ! ，( o ) 或隐方程 f ( z ，y ) = 0 的形式福格森采用的自由曲线曲面参数形式的表示方法具有几何不变性、易 于坐标变换等优点。从此曲线曲面的参数形式成为形状数学描述的标准形式。 计算机辅助几何设计( c a g d ) 一词是首先是由b a m h i l l 和r i e s e n f e l d1 2 】在1 9 7 4 年 美国召开的第一届c a g d 国际会议上提出的此后c a g d 开始以一门独立学科出现，经 过四十余年的蓬勃发展，它的研究领域逐渐拓宽细化，主要包括在计算机图象系统的环境 下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合其中曲面表示和造型已经形成了以非均匀有 理b 样条( n u r b s ) 参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值、拟 合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系其方法体系也日益拓宽，成为了涵盖代数几 何、微分几何、函数逼近论、计算数学和数控技术的边缘学科，为c a d 的发展奠定了坚 实的理论基础【3 1 在这四十余年的发展历程中其经历以下几个重要的发展阶段 b 4 z i e rf 4 1 在1 9 6 2 年提出了用控制网格定义曲线曲面的b 6 z i e r 方法随后，f o r r e s t ， g o r d o n 和r i e s e n f e l d 等人1 5 , 6 ，7 】对b 4 z i e r 方法做了进一步研究，找出了b 6 z i e r 曲线曲 面与控制顶点，b e m s t e i n 基的表示关系这种曲线曲面具有一系列优良性质，如几何与 仿射不变性、凸包性、保凸性、对称性、端点插值性等：且具有各种简单易用的计算方 法，如d ec a s t e l i a l l 求值、离散、升阶、插值、包络生成算法等，很好地解决了整体形 状控制问题【8 】虽然b 6 z i e r 方法可以通过控制顶点方便修改，且可以预测修改的结果， 但是b 垂z i e r 曲线曲面缺乏局部调整性和拼接问题 1 2 第1 章绪论 1 9 7 2 年，d eb o o r 和c o x 【9 ，1 0 】分别独立地给出了b 样条函数的标准算法之后，美国 通用( g e ) 汽车公司的g o r d o n 和r i e s e n f e l d 【n l 把b e r n s t e i n 基换成b 样条基，从而将向 量值形式的b e r n s t e i n 逼近改成了向量值形式的b 样条逼近，构造了均匀节点b 样条曲线 b 样条方法在表示与设计自由曲线曲面形状时显式了比b 6 z i e r 方法更强大的威力，它不但 拥有b 6 z i e r 曲线的几何特性，而且具有形状局部可调及连续阶数可调等b 6 z i e r 曲线所没 有的特性而后，1 9 8 0 年b o e h m 【1 2 1 和c o h e n 【1 3 1 等人给出了b 样条曲线的节点插入技术， p r a u t z s c h 【1 4 】等人又发展了b 样条曲线的升阶技术，b 样条技术日渐成熟然而随着制造 业的发展，一些二次曲线弧被广泛采用，例如圆弧、椭圆弧等而这些是b 样条曲线无法表 示的同时b 6 z i e r 和b 样条两种设计手段并存的局面给工业界带来很多不便，这时候工业 界急待技术的另一次突破 1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 【1 5 1 在他的博士论文中首先提出了有理b 样条( n u r b s ) 方法此后，p i e g l 和t i l l e r 等【1 6 ，1 7 , 1 8 , 1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】人对有理b 样条 方法进行了更深入的研究由于他们的出色工作，n u r b s 方法日渐成熟n u r b s 的主要 优点在于它既有b 样条曲线的局部可调及连续阶可控的优点，又皆有理b 垂z i e r 表示二次 曲线的特性，从而能用统一的数学形式表示规则曲面和自南曲面正因为这些突出的优点， n u r b s 逐渐成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 1 年 颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法作为定义工业产品几何 形状的唯一定义；国际著名的c a d 软件公司也把造型系统首先建立在n u b i 玛的数学模 型上【3 1 2 混合曲线的产生与发展 但n u r b s 也不是完美无缺的，它有如下一些固有缺陷： 有理因子没有明确的几何意义，选取不直观； 不能精确表示螺旋线、摆线等工程上很有用的超越曲线： 一般来说，一条k 次有理多项式曲线的导数是2 尼次的有理曲线，也就是说曲线求导 后次数会成倍数增加这会导致数值计算的不稳定； 虽然n u r b s 可以精确表示圆弧，但是其参数并不是它的弧长参数 以上的缺陷本质上是因为n u r b s 是建立在有理多项式空间上的，因此人们寻求在新的函 数空间中构造参数曲线早在1 9 6 4 年，s c h o e n b e r gf 2 4 】已在空间 = s p a n 1 ，s i n t ，c o s t ，s i n m t ，c o s m t 中构造了三角b 样条；1 9 7 9 年，l y c h e 和 w i n t h e r 【2 5 1 又研究了三角b 样条的递推关系类似于，沈莞蔷1 2 6 1 在空间= s p a n 1 ，s i n h t ，c o s h t ，s i n h m t ，c o s h m t 中构造了拟b e r n s t e i n 基并讨论其曲线的构造 浙江大学硕士学位论文 3 和性质但是，z k ，c 厂m 不包含线性函数t ，因此它们不能精确表示直线，这显然不利于实际应 用 1 9 9 6 年，张纪文f 2 7 ，2 8 ，2 9 1 在提出了一种基于空间r 3 = s p a n 1 ，t ，s i n t ，c o s t 的三次 c 曲线，并构造了该空间上构造c b z i e r 曲线和c - b 样条曲线他证明三次c 曲线具有跟 三次多项式曲线完全一摸一样的性质，包括端点栩切插值、凸包性、仿射不变性、变差 缩减性同时c 曲线中的参数具有明显的几何意义，这是n u r b s 无法实现的而后2 0 0 2 年 m a i n a r 【3 0 1 等证明了c b 样条基是组正规b 基，也就是具有最优保形性 从以上可以看到，人们在新的空问去构造参数曲线时，都要在新的空间巾去寻找一组 类似于b z i e r 基的一组基这是因为由类b z i e r 基具有最优保形性，也就是由其构造的参 数曲线最相似于其控制多边形1 9 9 4 年，c a m i c e r 【3 1 1 等进一步指出这类基是正规b 基，并 且给出了一个正规b 基的判断准则而后，由于其判断准则的不易操作性，m a i n a r 等 3 2 1 提 出了在特殊空间中用端点导数判断是否正规b 基的方法这种判断方法实际也是一种求解 特定空间正规b 基的方法，事实上上面所提到的三次c b z i e r 基c _ b 样条基也是通过求 解其微分方程得到的后来m a i n a r 等 3 3 ，3 4 , 3 5 1 还证明了利用混合空间中的正规b 基所构 造的曲线，可以通过对控制多边形进行割角细分得到，即割角算法因此唯一的问题是如何 得到特定空间的正规b 基，因为对于高阶情形解方程是困难的 对于r 3 的高阶情形, 2 0 0 2 年汪圉昭等1 3 6 1 通过。种巧妙的积分方法构造了l = s p a n 1 ，t ，t 2 ，t n - 2 , s i n t ，c o s ) 上的c b z i e r 基，它完全满足m a i n a i 等 3 2 1 提出的判断 准则，因此它是上的正规b 基并且证明了它具有与多项式空间b 垂z i e r 基完全一摸一样的性 质，且当参数趋于0 时c 曲线趋于n 次b 垂z i e r 曲线和b z i e r 曲线一样c b 6 z i e r 曲线也没 有局部可调性此后，吕勇刚等 3 7 1 用同样的积分方法得到了上的均匀节点下的c b 样条 基( u a tb 样条基) 2 0 0 4 年汪国昭等 3 8 1 给出了非均匀节点下r n 上的c - b 样条基( n u a t b 样条基) 的构造，并讨论了细分算法以此为工具，2 0 0 6 年汪国昭等f 3 9 】将c - b z i e r 基到均 匀节点下的c b 样条基的转换矩阵分解为若干个随机全正矩阵的乘积，从而利用c b z i e r 是正规b 基这一结论证明了了均匀节点一fc b 样条基是一组正规b 基这样u a t 和 m7 a tb 样条基就可以用来进行自由曲线曲面的构造了 然而，n u a tb 样条基的构造是一种积分递推形式，虽然这在理论推导上会带来很多 便利，但我们不知道它的具体形式如何同时m ，a tb 样条基的定义中需要计算其面积，这 导致了在计算中增加了相当大的复杂度，同时增加了很多的重复运算降低了效率本文将 构造出n u a tb 样条基的一个显式表达式，同时也得到了关于它面积的一个相对方便的 表达式 4 第1 章绪论 1 3 预备知识 1 3 1 代数三角样条空间 设一节点序列丁= ( 如) j t - o o 其中0 “l t i 接下来我们就可以来定义代数三角样条函数： 定义1 1 ： u ( ) 鼠，若t ( ；) 在t i 处忙一1 一凡) 阶连续, r i j j t 在序列t 中的重数，则 称让( ) 为七阶代数三角样条函数 记所有的后阶代数三角样条函数为q 七f 纠，显然q 七吲是一线性空间称q 七团中非负，组 成单位分解，具有最小支集的一组基为k 阶非均匀三角代数b 样条基( n u a tb 样条基) 1 3 2 n u a tb 样条基的积分定义及其性质 汪国昭等 3 8 1 给出了非均匀节点下上的c b 样条基( n u a tb 样条基) 的构造，如下：首 先在节点序列t 上定义簇初始函数： m ，2 ( 亡) s i n ( t t o s i n ( t , + 1 一如) ，屯 t 也+ 1 ， s i n ( t i + 2 一t ) s i n ( t i + 2 一t “1 ) t 件l o , t ( t i ，t i + 蠹) 且t i 牡 t i 性质1 5 ( 单位分解) ； t m ，七( ) 兰1 ，k 3 ， 1 3 3 范德蒙行列式计算及函数差商性质 定义1 6 ：我们称形如 的行 算公式1 3 】： = i i ( q t 押a i + m ) o m n k 关于函数，( z ) 在节点( t o ，t l ，“) 的七阶差分定义为： 定义1 8 ：首先( t o ，t 1 ) = f y ( t 1 ) - f ( t o ) ( t l - t o ) ，假设七一l 阶差分已定义，则如，t i + l ， t t i + k t n ) 处的k 阶差分定义为： y ( t t ，t i + l ，t i + k ) = p t ，i + l ，t i + 知】厂 = l ( t f + 1 ，屯+ 1 ，t i + l , ) 一，( 岛，t i + 1 ，t i + 蠡一1 ) j ( 屯+ 七一t i ) 函数，扛) 在节点序列屯，如+ 1 ，t i + 七( 屯 t i + k ) 的差分有如下性质： l帮 晰 l糕 |一黻虾 一! ；： _ d 。 d 行 有 d 4 。 4 1“料撕 黼 1“觜 l如砖脆 新 协 1如磅 l 式 德 质ll 列 ：汜 陛 6第1 章绪论 性质1 9 ： f ( t i ，t i + t ，t i + 七) = 1 t i + 1 毋。1 绪t 嚣 f ( t i ) ，( 2 州) ，( m ) = ，( 如钾) 山也i 卅) ，u ( ) = j = o t i 砖- 1 t 1 l t i + l t i + k o 仙 仙 线礞 1 1 1 啦 u 气 一 七n 枷 第2 章非均匀简单节点序列n u a tb 样条基的显 式表示及其性质 近些年，由于b 样条函数在几何设计上的缺陷，人们提出了一些在新的空间下的样条 曲线和曲面其中，张纪文f 2 7 ，2 8 ，2 9 隈出了一种由r 3 = s p a n l ，t ，s i n t ，c o s t 生成的c 曲 线2 0 0 2 年，陈秦玉等 3 6 1 得到了n = s p a n 1 ，t ，t 2 ，t n - 2 ，s i n t ，c o s t 上的c b 6 z i e r 基 2 0 0 4 年，汪国昭等1 3 8 1 同样采用一种积分定义的方法构造出了一般节点下基于r 。的c - b 样 条基( n u a tb 样条基) 但其基函数定义方法是一种递归积分定义，没有个显式表达 式并且定义中含有关于n u a tb 样条基面积一项，这极大地增加了计算的复杂性本章将 通过构造简单节点序列上的一簇截断函数，利用n u a tb 样条基性质将其用截断函数显式 表示出来，并且得到了其面积的一个表达式及计算方法 2 1q 七团中一族截断函数的构造及其性质 令 阳o s g + 学) 脚，= 喜c o s ( 半丌) 手 嘶) = o o s ( z + 学) t 3 ( n 那么当扎3 时， 僻舞薄嚣剖 嘶，= o o sg + 学) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 8 第2 章非均匀简单节点序列m ，a t b 样条基的显式表示及其性质 由式2 4 可以看出，当n 为奇数时，鳜( z ) 为c 0 6 z 幂级数展开式中从第z ”1 项开始的余 项；当n 为偶数肘，鲰( z ) 为s i n a f 幂级数展开式中从第扩一1 项开始的余项 鲰 ) 有如下一些性质： 性质2 1 ： ( 1 ) 弧0 ) ，l 芝2 ，在。处直到，l 一2 阶导数为嘶 ( 2 ) 拷( z ) = 鲰o ( z ) ，n z ，歹0 ( 3 ) 如( z ) + 鲰一2 ( z ) = 高，扎3 ； 9 h 0 ) + 夕t l 一2 ( z ) = o ，佗2 ； 有了鲰( z ) 我们就可以来构造类似于多项式空间中扛) ，1 的截断函数 ，= ，罴 类似于( z ) 1 的记号，我们记 g n ( z ) = 肌( z ) + = c o s ( z ) + 一厶一3 ( z ) + g ( z ) 的图象如图2 1 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 图2 1 ：分别为当n = 5 ，6 时，儡p ) 的图象 由性质2 1 可以看出g n ( z ) 与( z ) ，1 一样在。点n 一2 阶连续 接下来我们用g n 0 ) 在丁定义一簇截断函数 定义2 2 ： e ，七( t ) = g 七( 如一) ，i = 0 ，士1 ， 显然可以看出( r ，七( t ) ) 兰cq 七【t l ，且是线性无关的我们还将看到它们也构成q 七 t i m - - 组基，因为m ，七( t ) 可以表示为它们有限个线性组合 浙江大学硕士学位论文 9 2 2q 七 卅中具有有限支集函数空间的维数 定义2 3 ： 如果如，如p 且屯 岛，定义q 阳中以鲰，岛1 为支集的函数类为c 七i t , ，】，即 c 七i t i ，t i l = 【牡( ) q 七i ? ll u ( t ) = o ，t 譬陬，巧】) 则c 七陬；巧】为一线性空间，而且是有限维的在给出它的维数之前，我们先来证明一个 引理 引理2 4 ： 若当k l ，t ，1 ( t ，一1 t i - t - k，h ( t ) = o ； 另一方面，当t t i , h ( t ) s p a n s i n t ，c o s t ，1 ，t ，t 七一3 = 钠佗 只，l ( t ) ，f i a t ) ，e ，七( t ) ) ，根 据日( ) 的构造，好( ) 在t i 的歹阶( os 歹七一1 ) 左导数为o ，则 h ( t ) 三0 ，t t i 因此日( 亡) 的支集为【缸，t + 七】 可以看出式子2 9 是相当复杂的，但利用性质2 1 的( 2 ) 和( 3 ) ，我们可以将其化为以下形 性质2 5 ： m ，k ( t ) = 屈，七 1 c o s ( t i + 1 一t i ) 0 s i n ( 件1 一t i ) 11 0 t i + l - t i 0 ( t t + l t i ) 七一3 e ，膏( )f + l 膏( t ) 对于某4 - $ r a 证明： 由性质2 1 中的( 2 ) 式子2 9 可化为： 札，七( 幻= q 砧( 一1 ) + 叶扣1 c o s ( t t + 七一t i ) s i n ( t i + 七一t i ) l t i + t ；t i ( t 件k t i ) 椭 坼七，七( ) 最，1 ( 岛) e + l ，l ( 以) 只+ ，1 ( i ) 只，2 ( 如) e + 1 ，2 ( t i ) 只+ 七，2 ( 如) 最，3 他) 晟+ l 3 ( 如) e + 南，3 瓴) e ，k ( t i ) r + 1 ，七( 如) r + 后，七( 毛) 只，k ( t )e + l ( z ) 只+ 七，七( ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 对以上行列式2 1 1 作如下处理： 从第后行开始，依次向上操作，第歹时加以第g 一2 ) 行u 3 ) 由性质2 1 中的( 3 ) ，行列式2 1 1 变 1 4第2 章非均匀简单节点序列m7 a tb 样条基的显式表示及其性质 为： m ，七( ) ：戗，七( 一1 ) 掣 1 0 1 0 o e ，k ( t ) s ( 南+ 1 一t i ) s i n ( 如+ l 一如) 1 t i + l t i 。 垒垃! = 垒生二! ( k - 3 p e + l ，七( ) 行列式2 1 2 每一行提出相同的系数即可得到2 1 0 式 c o s ( t i + h t i ) s i n ( t i + 量一t i ) l t i + 七一厶 l 血! = ! ! ! ! 二! ( k - 3 p e + 七 ( t ) 事实上，行列式2 1 0 通过适当的行列式变换可化为更加漂亮的形式： 性质2 6 ： m ，k ( t ) = 展 其中屈七如性质2 5 c o s t i s i n t i l 如 ( t i ) 七一3 冠 ( ) c o s t i + t s i n t i + l l t i + l ( t i + 1 ) 扣3 e + 1 ，七( ) c o s t i + k s i n t i + 七 l t i + k ( 如+ 七) b 3 晟+ 七，七( t ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 作后_ ；次操作席歹次时，将第仇+ 3 行m 歹一1 ，分别乘以c l ，卜m + 1 ( 三) c 勘卜m 倍 加到第歹+ 3 伉由于 卜n 薹广弋”艇吲+ 后 浙江大学硕士学位论文 1 5 则式2 1 0 可化为： 批，k ( t ) = 展， l 0 1 缸 ( 以) b 3 只，七( t ) c o s ( t i + 一t i ) c o s ( t i + 七一t i ) s i n ( t , + 1 一t i ) s i n ( t + 七一t i ) 1 t i + l ( t i + 1 ) 扣3 只+ 1 ，七( t ) 再将上述行列式2 1 4 第二行乘以一t a n 如加到第一杌得到 m 刖= 面f l i , k c o s t ic o s t i + l 0 ( 一3 r ，k ( ) t i + k ( “七) 扣3 e + 七七( t ) c o s t i + k s i n ( t + 1 一t i ) s i n ( t i + k t i ) 1 如+ l ( t 州) b 3 r + 1 ，七( t ) 再将行列式2 1 5 的第一行乘p x s i n 岛加到第二行，即得 胍，k ( t ) = 屈，七 c o s t i s i n t i 1 t i ( 一3 只七( t ) c o s t i + l s i n t i + 1 1 芒l + l ( 如+ 1 ) 知一 f + 1 ，七( t ) 2 4 类范德蒙行列式的性质 t i + t c ( t i + k ) 柚 r + 詹，七( ) c o s t i + k s i nt i + t , 1 t i + k ( t m ) 扣3 r 托七( t ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 行列式2 1 3 呈现了非常好的形式，与范德蒙行列式非常想像，我们称它为类范德蒙行歹1 1 1 6 第2 章非均匀简单节点序列7 a t b 样条基的显式表示及其性质 定义2 7 ：令( a ( t ) ) t = ( c o s t ，s i n t ，1 t 一，矿一3 ) ， 我们称形如 a 。( ) a 。( ) a 。( 屯) l 的行列式为类范德蒙行列式 i a o口l n 苫 i 则对于某特殊范德蒙行列式有如下一计算公式： 性质2 8 ： 1a s + l ( t 如) 凡+ 。( h ) a s + 1 ( t “) l = c o s s i n 1 ( t i 。) 柚 ( ) 卜2 c o s t i l s i n t i l 1 毛。 ( t i l ) 柚 ( 8 - 2 = ( 一1 ) m + 叶1s i n ( t 。一t t 。) i i ( 如一屯) o m n 墨o0 o 口o n ，卢萑t m ，n 证明： 只要将行列式按前两行展开，再结合性质1 7 即得 关于类范德蒙行列式还有如下一些性质： 性质2 9 ： a ( 州) a k ( t m ) l ： g i + l , n ( t ) 9 i 眠n ( ) i c o s t i f f m 岛 l t i ( g ，。( t ) 其中仇，n ( ) = 鲰( 屯一t ) 肌( ) 如式2 3 , 定y k ，七2 ，1 7 l 七 c o s 芒“ s i n t i 1 t i 。 ( 川 ( t i ) 卜2 三o ( 2 1 6 ) 墙 n = 、 如缸1 “一 坍竺1 譬兰 h d 力 r + k ( 缸坛1“一一 嘶吣1 7 “ 以 一 如 弦 浙江大学硕士学位论文1 7 证明： 对礼用数学归纳法 当礼= 1 时 9 ，n ( t ) = c o s ( t i t ) = c o s t c o s t i + s i n t s i n t i 则将第一行和第二行分别乘以一c o s t 倍和一s i n t 倍加到第忌+ l 彳亍，行列式2 1 6 为0 几= 2 时， 。 姨，。( t ) = s i n ( t 一t ) = e o s t s i n t i s i n t c o s t i 则将第一行和第二行分别乘r x s i n t 倍和一c o s t 倍加到第尼+ 1 行，行列式2 1 6 也为0 现假设对于行列式2 1 6 都为0 ， 当佗+ 1 后时，利用假设， a ( 反)屯( 岛+ 1 ) a 七( 如牲) 9 t n + 1 ( 亡)9 i + 1 ，。+ l ( ) 9 i + 七，n + l ( ) a k ( t i )a 。( 件1 ) a k ( i 诎) 姨，。+ 1 ( ) y i + 1 ，。+ l ( ) 根据性质2 1 中的( 3 ) ，行列式2 1 6 - 1 化为 一2 ) ! c o s t i s i n t i l 如 ( t i ) 扛3 ( t i 一) n 一2 c o s t i + l s i n t i + i 1 t i + l 职+ 七 ，l + lp ) ( t i + 1 ) 七一3 ( t 州一t ) n 一2 + a k ( t i )a 。( t t + 1 ) a k ( h + 七) y i ，n l ( 舌) 臻+ 1 ，。一l ( 力研+ 七，。一i ( ) c o s t i + k s i n + 詹 1 i + 七 ( 如+ 七) ( t i + 七一t ) 铲2 ( 2 1 7 ) 接下来对行列式2 1 7 作如下操作： 将第m + 3 c 。m n 一3 ，行分别乘以( n ：2 ) c 一，驴l m 俨_ 2 一倍加到第七+ 行，由于 c 岛一。n 一2 = c 如，”一2 + r 董n = o ( n m 2 ) c 一1 ，”一2 一m z n 一2 一m c 如，m 1 8第2 章非均匀简单节点序列n u a t b 样条基的显式表示及其性质 则行列式2 1 7 可化为： 则 ( 佗一2 ) ! c o s t ic o s t i + l s i n t i s i n t i + 1 ll 如t i + l ( 盏) 七一3 ( 州) 七一3 ( t d “一2 ( t i + 1 ) n 一2 c o s i + 七 s i n t a + k 1 岛+ 七 ( t i + k ) 七一3 ( t i + k ) 舻2 通过性质2 9 的证明过程还可以看出当佗= k + 1 时， a k ( t i )a 。( 岛+ 1 ) a 女( t i + 七) 夕；，后+ 1 ( t )仇+ 1 ，七+ 1 ( 亡) g i + 七，七+ 1 ( 亡) 性质2 1 0 ：令 凰，d t ) = c o s t i s i n 如 l 厶 c o s t i + l s i n t i + l 1 t i + l o 1 = 一 ( k 一2 ) ! c o s t i + k s i n t i + l , l t i + k ( 如) 七一3 ( i + 1 ) 七一3 ( 屯+ 七) 七一3 只，詹( ) 只+ l ，七( t ) 只+ 七，七( t ) ( 鼠，七( 圳= a i ，h 峨七一l ( ) + “i 皿+ 1 ，七一l ( t ) c o s t ic o s t i + l s i n t is i n t i + l 1l t if + l c o s t i + k s i n i + 忌 l t i + k ( 如) 七一3 ( t i + 1 ) 七一( t i + k ) 七一3 ( 一2 ( t i + 1 ) ( t i + k ) 七一2 ( 2 1 8 ) 浙江大学硕士学位论文 1 9 其中， a i 。七一12 b i + l 1 证明： ( 甄，七( ) ) = 一 c o s t i s i n t i 1 如 瓴) 扣3 c o s t i + 1 s i n t i + l 1 t i + l ( t i + i ) 七一3 c o s t i + k s i n 屯+ 七 l 如+ 七 ( 件七) 七一3 只，七一1 ( ) e + 1 ，七一l ( ) e 十七 一l ( t ) 由定理2 2 的证明及性质1 3 知，( 皿 ( ) ) 7 c 南i t i ，t i + 小由定理2 1 ，c 七一i t , ，t i + 南l 的维数 是2 ，而皿七一l ( t ) ，凰+ l ，七一1 ( t