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超可积系统的双非线性化 虞静 中国科学技术大学数学系 摘要 本文主要研究超a k n s 系统，超d i r a u c 系统和超c k d v 系统的l a x 对及共轭l a x 对的 双非线性化在对经典的a k n s 系统，d i r 孔系统和c k d v 系统的l a x 对及共轭l a x 对的双 非线性化过程进行系统的总结之后，本文得到如下主要结论：对于超a k n s 系统和超d i r a c 系统，我们分别提出了一个显式对称约束，并考虑在此显式对称约束下，超a k n s 系统和超 d i r a c 系统的空间部分和时间部分分别被约化为有限维l i o u v i l l e 可积超h a m i l t o n 系统特别 地，对于超c k d v 系统，我们提出了一个比较新颖的对称约束( 偶位势的约束是显式的，奇 位势的约束是隐式的) ，并且也考虑了在这个新颖的对称约束下，超c k d v 系统的空间部分和 时间部分被约化为有限维超系统，进一步发现该有限维超系统是超h 锄i l t o n 系统，并且在 l i o u v i l l e 意义下是完全可积的 2 b i n a u r yn o n l i n e a r i z a t i o no ft h es u p e ri n t e g r a b l es y s t e m s y uj i n g u i l i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o 盱o fc l l i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea p p l yb i n a f yn o n l i n e a _ r i z a t i o nt ot h el a xp a i r sa n dt h ea d j o i n tl a xp a i r sf o r t h es u p e ra k n ss y s t e m ，t h es u p e rd i r a cs y s t e ma n dt h e8 u p e rc k d vs y s t e m a r e rs u m m 盯珏 i n gt h em e t h o do fb i n a 珂n o n l i n e a r i z a t i o no ft h el a xp a i r sa n dt h ea d j o i n tl a xp a i r sf o rc l a s s i c 2 l l a k n ss y s t e m ，d i r a u cs y s t e ma n dc k d vs y s t e m ，w ec o m et ot h ef 0 1 l o w i n gc o n c l u s i o n a sf o rt h e s u p e ra k n ss y s t e ma n dt h es u p e rd i r a cs y s t e m ，飘伦r e s p e c t i v e l yp r o p o s ea ne x p l i c i t l ys y m m e t 巧 c o n s t r 越n t u n d e rt h ee x p l i c i tc o l l s t r a j n t ，t h es p a c i a lp 盯ta n dt h et e m p o r a lp a r t so ft w os y s t e i 璐 盯en o n h n e 舭i z e di n t o 栅of i n i t e - d i l e n s i o n a l 眦e g r a b l es u p e rh 锄j l t o n i a ns y s t e i n si nt h el i o u v i l l e s e n s e ，r e s p e c t i v e l y s p e c i a u y ，a sf o rt h es u p e rc k d vs y s t e m ，w ec o 璐i d e ran o v e ls y m m e t r yc o n s t r a l i n t ( t h ec o r l s t r a i n ti se x p l i c i tf o re v e np o t e n t i a l s ，b u ti si m p l i c i tf o ro d dp o t e n t i a l s ) u n d e rt h e n o v e lc o n s t r a i n t ，t h es p a u c i a lp 越a n dt h et e m p o r a l lp 甜t so ft h es u p e rc k d vs y s t e ma r en o n l i n e a u r i z e di n t ot 、丘n i t e - d i m e n s i o n a ls u p e rs y s t e 塔f _ u r t h e r i n o r e ，w e n dt h a tt h es u p e rs y s t e m sa l r e h 眦i l t o n i a ，n ，a n dc o m p l e t e l yi n t e p 譬a b l ei nt h e “o u v i l l es e n s e 。 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：盔蕴 细客年6 月，弓日 “多 2 0 0 8 年4 月中国科学技术大学博士学位论文 目录 第3 页 1 前言 l前言 在1 8 3 4 年，英国著名科学家s c o t t r u s s e l l 在一次偶然的机会中发现了孤立波现象，于 是在1 8 4 4 年，他在英国科学促进协会第1 4 届会议报告这份材料上发表“论波动”一 文但r u s s e n 当时未能成功地证明并使物理学家信服它的论断其后在1 8 9 5 年，荷兰著名 数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波的运动，他们对孤立波现象作了较为完 整的分析，并从k o r t e w e 乎d ev r i e s ( k d v ) 方程出发求出了与r 脚s e l l 描述一致的，即具有形 状不变的脉冲状的孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存在但这种波是否稳定? 两 个孤立波碰撞后是否变形? 这一系列问题长期没能得到解答，甚至有人怀疑这种波“不稳 定”，因而研究它没有什么物理意义于是，关于孤立波的研究被搁浅了直到上世纪5 0 年 代，由于著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l 锄的工作f 1 j ，才出现了新的局面他们将6 4 个质 点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦初始时，这些谐振子的所有能量都集中在一个 质点上，即其他6 3 个质点的初始能量为零经过相当长时间以后，几乎全部能量又回到了 原来的初始分步这就是著名的f p u 问题当时，由于只在频率空间来考虑，未能发现孤 立波解，所以该问题未能得到正确的解释，但却激起了人们对孤立波研究的兴趣在1 9 6 5 年，美国著名物理学家、美国科学院院士k r u s 和物理学家z a b u s k y 用数值模拟方法进一 步证实了这类孤立波相互作用后不改变波形的论断f 2 1 并将这种波命名为“孤立子”这以 后的二十多年，孤立子理论的研究工作更加蓬勃发展，在世界范围内掀起了研究的热潮 这方面最重要的进步是经典反散射方法的提出 3 】。孤立子理论的产生和发展的确是与近代 物理密切相关，它既包含了有关的数学理论，也包含了物理理论孤立子理论的研究主要涵 盖了以下几个方面： ( 1 ) 求解方法 4 【1 7 ； ( 2 ) h a m i l t o n 结构f 1 8 】- 【3 3 】； ( 3 ) 代数构造【3 4 】等等 所有这些方法，对研究孤立子方程的孤立子解，解的性态，方程的可积性等方面起到了 不可磨灭的作用另外，孤立子方程还有多种推广： ( 1 ) 超对称推广【3 5 】- 【4 5 ； ( 2 ) q 变形推广【4 6 】【5 5 】； ( 3 ) 非交换推广 5 6 】 5 7 】； ( 4 ) 矩阵推广【5 8 】【5 9 】等等 可积系统l a x 对非线性化方法，给出一个从孤立子方 x 2 0 0 8 年4 月中国科学技术大学博士学位论文 目录 第4 页 1 前言 有谱问题，可以将其约束成有限维h a m i l t o n 系统，并且可以证明该系统在l i o u v i l l e 意义下 是完全可积的这方法在近二十年来已经得到深入发展和广泛应用这方面的主要结果可 以做如下概括： ( 1 ) 各种( 1 + 1 ) 维系统的非线性化例如：在文献【2 4 中，作者考虑了在z a k h a r o v s h a b a t 特征值问题( z s ) 的无反射位势与特征函数的一个关系式所决定的约束条件下，a k n s 族的 l a x 对被非线性化为一个l i o u 、，i 1 1 e 完全可积的h a m i l t o n 系统；在文献 2 5 中，两位作者考虑 了与c k d v 方程族相关的谱问题在两种不同约束( c n e u m a l l l n 约束和b a r g m a n n 约束) 下， 分别被非线性化为完全可积c n e u m a n n 系统和完全可积b 盯g m a n n 系统另外，b o u s s i n e s q 方程族的非线性化 2 2 】，k d v 方程的非线性化【2 6 ，耦合的h 雏r yd y m 方程的非线性化 2 7 】 等等均被研究过 ( 2 ) 把非线性化方法推广到( 2 + 1 ) 维孤子系统例如2 十1 维系统的对称约束( c k p 族的 对称约束) 在文献【6 0 ，6 1 ，6 2 】中已经被研究过，这也引起了以拟微分算子为基础的c k p 族 的广泛研究 ( 3 ) 双非线性化在1 9 9 4 年，马文秀教授在文献【2 8 中提出l a x 对及共轭l a x 对的非线 性化方法该方法的改进之处在于引进了原有l a x 对的共轭l a x 对，将l a x 对及共轭l a x 对结合起来考虑，这样就构成了偶数维谱问题，找到位势与特征函数和共轭特征函数之间 的对称约束之后，将约束代入l 觚对及共轭l a x 对，得到有限维系统，进一步可以证明该 有限维系统是h 锄i l t o n 系统，并且满足l i o u v i l l e 可积的条件这个方法在十几年来也迅速 得到发展例如广义摄动a k n s 系统的双非线性化【3 0 】，w 甜a t i k o n n o - i c h i k a w a 系统的双非 线性化【3 1 】，离散矩阵谱问题的双非线性化【3 2 】等等 我们通常称曹策问教授提出的l a x 对非线性化方法为单非线性化方法，而称马文秀教 授提出的l a x 对非线性化方法为双非线性化方法无论是单非线性化方法，还是双非线性化 方法，关键都是要找到位势与特征函数( 或位势与特征函数和共轭特征函数) 之间的对称约 束，而找约束的根本在于找到谱参数关于位势的变分导数而l a x 对非线性化方法的好处 在于可将高维方程分解为较低维方程，将无穷维系统非线性化为有限维系统一般来说，对 于一个2 + l 维的可积系统，经过对称约束以后可以分解成两个1 + 1 维的系统，进一步地，对 于任意一个l + 1 维的可积系统，经过对称约束以后可以分解成两个相容的常微分方程组， 从而可以通过解低维方程来得到高维方程的解 受到理论物理研究，特别是粒子物理和弦论研究的推动，一些超对称可积系统或超可 积系统已经被广泛研究【3 5 】例如超对称a k n s 系统 6 3 ，超a k n s 系统 3 5 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，超对 称k p 系统( 3 6 ，6 7 】等等类似于c k p 族，超对称k p 族的对称约束( 约束的超对称k p 族) 在文献 4 0 ，6 8 中已经给出此外，超对称a k n s 系统的l a x 表示及h 锄i l t o n 结构【4 0 ，6 9 ， 超对称k p 族的g h o s t 对称，约化和d a r b o u x - b a d d u n d 解【6 8 】，约束超对称k p 的h a m i l t o n 结构 7 0 等等均被研究过但是，到目前为止，我们没有见到关于超孤子系统( 超可积系统) 的非线性化的结果从没有一篇文献研究过超孤子系统( 或超对称孤子系统) 的非线性化 受到l 十1 维系统的非线性化与k p 族的对称约束之间关系的启发，约束超对称k p 的出现 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文 目录 第6 页 1 前言 方程族的构造，并给出了它的h 锄i l t o n 结构接着对于c k d v 系统，考虑一个显式对称约 束，并考虑在此约束下，非线性化的c k d v 系统是l i o u v i l l e 完全可积的h a m i l t o n 系统 我们知道a k n s 系统的超延伸就是超a k n s 系统，它的超h a m i l t o n 结构在文献 6 6 】中 给出a k n s 系统既能进行单非线性化，又能进行双非线性化，那么对于超a k n s 系统， 能否对其进行非线性化呢? 因为超a k n s 系统的谱问题是奇数维的，所以只能考虑双非线 性化在本文第三章中试图解决这个问题，于是在3 1 节中，导出了超a k n s 方程族并给出 它的超h a m i l t o n 结构接着在3 2 节中给出了一个引理，该引理对一般超系统寻找谱参数 关于位势的变分导数都适用利用引理就可以找到超a k n s 谱问题中谱参数关于位势的变 分导数，接着考虑位势与特征函数和共轭特征函数之间的一个显式对称约束，在此显式约 束下，超a k n s 系统被非线性化为有限维l i o u v i n e 可积的超h a m i l t o n 系统 对于d i r a c 系统的超延伸( 超d i r a c 系统) 能否进行双非线性化? 在第四章中试图解决这 一问题首先在4 1 节中导出了超d i r a c 方程族，并利用超迹恒等式给出了它的超h a m i l t o n 结构其次在4 2 节中，对于超d i r a u c 系统，找到了一个b a r g m a n n 对称约束最后在4 3 节中，考虑在此b a r g m a n n 约束下，非线性化的超d i r a c 系统是有限维l i o u v i u e 可积的超 h 锄i l t o n 系统 那么对于c k d v 系统的超延伸( 超c k d v 系统) 能否进行双非线性化呢? 于是在第五章， 首次提出了超c k d v 方程族，并对该方程族进行了双非线性化首先在5 1 节中，考虑了超 c k d v 方程族，并利用超迹恒等式，将超e k d v 方程族写成超h 锄i l t o n 形式接着在5 2 节 中，对所导出的超c k d v 方程族，考虑了一个比较新颖的对称约束，该对称约束对于偶位势 来说是显式的，而对于奇位势来说，该对称约束却是隐式的，通过引进两个新的变量，将超 c k d v 系统约束成带有费米变量的有限维系统，进一步可证实，该超系统在l i o u v i l l e 意义下 也是有限维可积超h 锄i l t o n 系统 2 0 0 8 年4 月中国科学技术大学博士学位论文第7 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 2经典可积系统的双非线性化 本章的目的为扼要总结a k n s 系统的双非线性化和d i r a u c 系统的双非线性化，并给出 由此得到的有限维系统随后，我们研究c k d v 系统，首次给出其双非线性化这是为后面 研究这三个系统的超延伸做准备我们知道a k n s 系统的双非线性化，d i r a u c 系统的双非线 性化分别在文献 2 8 和【7 5 中讨论过，故本章前两节将对它们简单回顾一下在第三节， 研究c k d v 系统的l a x 对及共轭l a x 对的双非线性化，分三个步骤：首先，也是很重要的一 方面就是要找到位势与特征函数和共轭特征函数之间的一个对称约束其次，考虑在该约 束下，相应的l a x 对及共轭l a x 对被非线性化为一族有限维系统最后，说明得到的有限 维系统在l i o u v i l l e 意义下是完全可积h 锄i l t o n 系统 2 1a k n s 系统的双非线性化 本节主要回顾a k n s 系统的l a x 对及共轭l a x 对的双非线性化首先，根据a k n s 系 统的谱问题，导出它的孤子方程族，并写出它的h 锄i l t o n 结构其次，找到位势与特征函 数和共轭特征函数之间的一个显式对称约束，将约束代入谱问题及共轭谱问题，就可以得 到空间和时间两组有限维系统最后，证明所得到的有限维系统是h 删l t o n 系统，并且在 l i o u v i l l e 意义下是完全可积的考虑a k n s 谱问题 咖z = 矿咖，u = u c u ，入，= ( ：二) ，= ( 耋) ，u = ( ：) ， c 2 1 ， 及它的共轭谱问题 妒z = 矿+ 矽，u + = 一u 丁= ( 二 一h 一入l妒= ， 汜2 ， 其中入为谱参数，u = ( u ，t u ) 丁为位势，记号“t ”表示对矩阵取转置，称咖为特征函数， 妒为共轭特征函数 在文献【7 1 ，7 8 ，7 9 】中，已经给出了a k n s 方程族的构造一般步骤为：令 则伴随表示方程 y = ( 三二) = 薹( 兰三 k = u ，y 】= c 厂y y 以 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文第8 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 变为 上式也可以写成下面的递推形式 o t ，z = u q 一加良，i 0 ， 6 t ，正= 一2 6 i + 1 2 u n t ，i 0 ， q ，z = 2 q + 1 十2 u 7 吼，i 0 ， ：cf q f 匆 u q 一加6 i ) ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中递推算子 c = 等一；嚣，硼) ， 一己7 a 一1 口 一丢a + a 一1 硼， 这里a = a a z ，a a 一1 = a 一1 a = 1 若取初始值n o = 一l ，6 0 = c 0 = o ，并假设吼j ：o = 6 lj “：o = 岛 u ：o = 0 0 1 ) ，即取所有的 积分常数为零，这样，递推关系式( 2 6 ) 唯一地给出一系列( o i ，6 t ，岛) ，其为关于u ，u 的多项式函数。例如 n 1 = 0 ，6 1 = u ，c 1 = ， n 22 石u 埘，d 22 一百，c 22 石址k ， _ _ 口3 = 知z 一酬山= 拓一，c s = 耘一 此外，由等式( 0 2 + 6 c ) z = j r 陬y 2 】= o 及( 口2 + 6 c ) i u ：o = 1 ，有口2 + 6 c = 1 接着考虑谱问题( 2 1 ) 的伴随谱问题 t 。= y ( n ) ，几o ， ( 2 7 ) 其中 y ) = c 入”y ，+ = 砉( 三三；) a n - i ， y ) = ( y ) + = r 叱卜- i ， t = u 、qu i ， 记号“+ ”表示取入的非负次幂则( 2 1 ) 和( 2 7 ) 的相容性条件以h = z 就给出了零曲 率方程 仉。一吃n + 以y m = o ， n o ( 2 8 ) m ， 一 ， 0 0 一 ， 0 、 、，k - 扩 q 玩 = ，一毗 2 0 0 8 年4 月中国科学技术大学博士学位论文第1 0 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 代入迹恒等式( 2 1 4 ) 中，得 嘉一2 n d z = c 入一1 吴a 1 ，( i ) ， 比较a - n - 2 的系数，得 熹一2 n n + z 如= c 7 一n 一1 ，( 三二：) ， 为了确定待定常数7 的值，故在上式中令礼= o ，解得，y = o 将7 = o 代入上式，所以有 ) = 訾，岛= 南吣z 如 从而a k n s 方程族( 2 9 ) 进一步可写成下面的h a m i l t o n 形式 = 一j ) = j 案一。， 埘 其中h 锄i l t o n 函数鼠= ，嘉口n + 2 出 类似于文献【8 0 ，8 1 】中方法，直接计算可得 k ，一k 竺+ y ( m ) ，y ( 凡】= ( y ( m ) 7 【】一( y 伽) 7 【k 采】+ 【y ( m ) ，y 】= o ， 上式说明( 2 1 5 ) 中流的可换性因此方程族( 2 1 5 ) 中每个系统均有无穷多个对称 k n ) 导。- o 此外，可直接证明：当u t 。= ，即阢。一以n + 陬y ( n ) 】_ o ，佗o 时，下式成立 k 。= m ) ，明， n o ( 2 1 6 ) 详细过程可参考文献 2 8 接着要对a k n s 系统的l a x 对及共轭l a x 对进行双非线性化为寻找位势与特征函数 和共轭特征函数之间的对称约束，首先要找出谱参数关于位势的变分导数，下面的引理给 出了求变分导数的一般公式 引理2 1 p 刀设u ( u ，a ) 是一个依赖于u ，u z ，u 鼢及谱参数a 的s 阶方阵假设 妒= ( 1 ，2 ，九) t ，妒= ( t 1 ，2 ，。) t 满足谱问题九= u ( u ，入) ，及共轭谱问题掣，正圭 一u t ( u ，入) 妒则谱参数入关于位势“的变分导数为 瓮= 蔫， 皿 一= = ? ：一 、ij 6 ur o 。t r ( 矿罂1 出 、7 j o o 、 口，、7 其中矿= 咖妒t = ( 咖岛，z ) 。 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文第1 l 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 由引理2 1 ，通过直接计算不难得到 = 丢弦) ，e = 仁溉卅刨2 仁埘 当考虑零边界条件h m 一= l i m o o 妒= o 时，则可证得下面的一个简单性质 c = a 瓮， ( 2 1 9 ) 厶_ = ，、_ ，l z 1 hj t o u 、 其中c 为( 2 6 ) 式中给出的递推算子，变分导数瓮由( 2 1 8 ) 给出这个性质在非线性化过 程中是至关重要的对于一般的谱问题，这个性质在文献 8 3 】中讨论过 取个不同的谱参数 ，j = 1 ，2 ，) ，及其对应的n 个特征函数 奶) 和共轭特征 函数 奶) ，得下面的有限维系统 和 1 j 幻 砂u 掣，勿 因为阢。一诏n + 以y ( n ) 】= o 等价于( 一矿r ) t 。一( 一( y ( n ) ) 丁) 。+ 【- u t ，一( y ( n ) ) t 】= o ，所以不难 发现：系统( 2 2 0 ) 及( 2 2 1 ) 的相容性条件仍给出a k n s 系统中第n 个流方程u t 。= 对a k n s 流，令 案：薹马鲁， 其中 易= ( 妒1 j 妒巧一巧妒勿) d 2 这恰给出了一个显式对称约束 i u = ， 【叫= ， 2 q 一 互 ， l 2 = 一 = 1 了， 、l )惦 札虹l ，l b m k 旷 u 一 | i = z 、l，、， 2 m 一， 一 k 印 l i l | i ， 了、l ， 巧 巧 )妙 u 巧一 谚啦j 曲 一 ， 广 地 哪 矿 一 | i = 伽 伽 、i、l， 巧 勿 u 乃 西 啦 够 ，il_l_j、-i-ii_， 、，、， 2 3 2 2 2 2 ， 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文第1 5 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 或写成向量形式 圣1 ，t 。= ( 一a n + 盈a n 一) 圣1 + 6 t a n 一圣2 ， i = 1t = 1 t ln 圣2 ，t t l = 磊a n 一圣1 + ( a n 一砒a n 一) 圣2 ， 忙1 n# k ( 2 3 7 ) 皿1 ，h = ( a 几一彘a 几一) 田1 一磊a n 一雪2 ， t = 1 i = 1 n n 丑2 ，t 。= 一玩a n 2 皿1 + ( 一a n + a t a 凡一) 皿2 ， 当( 皿l ，皿2 ，西1 ，西2 ) 满足约束l a x 对的空间部分( 2 2 4 ) 及性质l i m h 。o o 皿i = l i m o 。圣 = o ( i _ 1 ，2 ) 时，系统( 2 3 7 ) 也可进一步写成h a m i l t o n 形式 例如 = 等，= 一等， 2 删 ( 2 3 8 ) 吣。= ( 一a 礼+ a t a 州) 圣1 + 玩a 州圣2 t = 1 = 1 凡 1 = 一a n 垂1 + 【专( 一 ) a n i 圣1 + a 几一i 圣2 】 l = 1 “ a 晶+ 1 a 皿1 类似的，对于时间部分，有等式( 2 1 6 ) 成立【8 5 】，从而有约束后的等式玩。= 矿( 川，矿】成立 即f = r y 2 也是约束系统( 2 3 8 ) 的运动积分生成函数因此 f m + 1 晶+ 1 ) = 毫f m 十= 。，m ，n 。， ( 2 3 9 ) 其中p o i s s o n 括号定义为 ( 2 4 0 ) ( 2 3 9 ) 式说明多项式函数 r n 之1 是彼此对合的，当然， r ) n 1 的对合性也可直接通过计 算证实 此外，易见 氏= 咖l 惫妒1 七+ 2 七妒2 七， 1 ，( 2 4 1 ) 也是约束系统( 2 2 8 ) 和( 2 3 8 ) 的运动积分我们知道：有限维h a m i l t o n 系统( 2 2 8 ) 和( 2 3 8 ) 都含有2 n 个自由度( 1 j ，妒2 j ，1 j 冬) ，下面将证明它们有2 n 个独立的运动积分为此， 可取运动积分为 ，瓜，凡，f ( 2 4 2 ) 堕堕 一 堕撕堕 口触 。：l = 讣盯 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文 第18页坠 2 经典可积系统的双非线性化令o = o l 入，6 = 6 i 入，c = q a 一，则上式等价于 i 0t 0 i0 。 ( 2 4 6 ) 取初始值60=一1，并假定oiiu：o=bilu：o=qiu：o=o，il(或等价认为所有的积分常数取 为零)，则(at6i，q)可以用一系列关于u的微分多项式表达例如，有 21 2一r c1 2 一g 6 12 o ， l1 1 1 0 22 一互q ， c2 2 互7 z ，6 22 一互g 互r 。， n 3 = 三r z z 一三9 2 r 一三r 3 ，c 3 ：= 丢g z 。一三9 3 一三g r 2 ，6 。= 主c q r z 一鼋r ，n 32 五r z z 一互g 。r 一互r 。，c 3 2五啦。一互96一互gr2，6 3 2 互( q r z 一缸r ) 由( y 2 ) 茁= 盼y 2 】，可以看出( 打y 2 ) 。= ( c 2 + 0 2 6 2 ) z = o 这样由( 打y 2 ) i u ：o ：一1 ，有 c 2 + n 2 6 2 ：一1 成立进一步有 ，几一l 6 n = 专( 也6 州一n 鳓一 一色一 ) ， n 2 。i = 1 l a x 对 如= u ，t 。= y ( n ) 矽，y ( n ) = ( a 几y ) + ，佗之o ， ( 2 4 7 ) 的相容性条件生成d i r a u c 方程族 2 _ - ( 兰，) 一。， 4 8 ， 其中“+”表示取入的非负次幂方程族(248)中第一个非平凡流，即t2流方程为e 毫0 叠2( 2 4 9 ) 和akns方程族中耦合的非线性schr甜inger方程比较，这个方程中含有三次方的项93，73 接下来想利用迹恒等式(214)，来构造出dirauc系统(248)的hamilton结构为此，可 算出 州y筹)=一2b，州y筹)=2c，州y筹)=2n， ( 2 5 0 ) | 。i q 正 八i 八| = k “ ， 吣幻 蚴慨吣均凇她 q 冲 q 融啦竺= o n 如 q 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文第2 1 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 现考虑d i r a u c 系统的l a x 对及其共轭l a x 对的双非线性化注意到递推关系式( 2 5 2 ) 及 性质( 2 5 7 ) 保证了 其中a = d i o g ( 入1 ，a ) 由( 2 4 6 ) ，进一步有 k = a 一1 ( 2 面n 一2 f 磊) = 一 ，n l ，( 2 6 3 ) 其中5 1 o 用户表示在对称约束( 2 6 1 ) 下的p ( u ) 此时伴随表示方程吃号 痧，明仍成立 将对称约束( 2 6 1 ) 代入系统( 2 5 8 ) 及( 2 5 9 ) 中，则有 和 训吣，、例忍一 江6 4 ， = 一矿r c 五，( ：) ，歹= 1 ，2 ， 。一。纠 j = 1 ，2 ， 歹= 1 ，2 ， ( 2 6 5 ) 非线性化l a x 对及共轭l a x 对的空间部分( 系统( 2 6 4 ) ) 是一个仅含空间变量z 的有限维系 统，但对于一个固定的n ( n 2 ) ，非线性化l a x 对及共轭l 觚对的时间部分( 系统( 2 6 5 ) ) 是 一个仅含时间变量如的有限维系统接下来，将证明系统( 2 6 4 ) 是l i o u v i l l e 可积h a i n i n 系统( 参考文献【8 6 ) ，考虑到( 2 6 4 ) ，进一步可证明( 2 6 5 ) 也是l i o u v i l l e 可积h a m i l t o n 系统 系统( 2 6 4 ) 可记为向量形式 圣1 ，= ( 一 + ) 圣l + ( a 一 一 ) 圣2 ， + ) 西2 ， ( 2 6 6 ) + ) 电2 ， + ) 皿2 ， 它显然可写成下面的h 锄i l t o n 形式 钆z = 舞，虬z = 一鬻o _ 1 2 ， ( 2 6 7 ) 262l 一 n 、l， 2 1 皿 皿 函 厶 圣 e i 一 一 n n a a 1 2 i i i i e i e i 一 一 小 铲 2 i e i 峨吼一虬 k 蚝 2 ( 2 3 5 ) 注21 j 多项式函数r ，几0 包含4 个独立变量； 2 因为y 3 = ( n 2 + 6 c ) y ，所以不必由生成函数击t 7 y n 出发找约束系统偿2 剀的新的运 动积分 现考虑约束l a x 对及共轭l a x 对的时间部分( 2 2 5 ) ，具体写为 妒1j 2 j ( ：) 氏2 几 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文 第2 7 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 其中m 。，递推算子c = ( 一a + f _ 1 徊 扩1 r a + r 1 ，这里a ：a 如，阳一1 ：a 一1 a ：1 a + q 当6 0 = c 0 = o 时， 口吣= o ，不妨取初始值n o = 一用数学归纳法可知，所有的 n m 6 m ，c m ( m o ) 都是关于u 及u 对z 的各阶导数的多项式函数，并且有口m l u ：o = 6 m l u ：o = c m i u ：o = o ( m o ) 成立，即取所有的积分常数为零，则所有的o m ，6 m ，( m o ) 均可由递 推关系式( 2 8 6 ) 唯一给出前几项分别为 0 1 = 0 ，6 1 = 一r c 1 = 1 ， 口3 = 如一2 q r ，6 3 。一r z + g z 7 + 2 q 一口2 ，一2 r 2 ，c 3 = + q 2 + 2 7 接着考虑谱问题( 2 8 2 ) 的伴随谱问题 妒。= y ( n ) ( t 正，入) ，( 2 8 7 ) 其中 沙b 邓m n = 熹三卜+ 二三一， m = o c m一口m u 一考c n + l 符号“+ ”表示取入的非负次幂，n 称之为修正项则零曲率方程 阢。一昭n + 【以矿】= o ， n o ，( 2 8 8 ) 就给出了等谱( 入k = o ) 的c k d v 方程族 = = j ( = 。) = ，c “一。， 亿8 9 ， 其噼算子j = ( 二静递推算子2 瑚愀进一步可拥迹恒等枷4 脯 c k d v 方程族( 2 8 9 ) 写成h a i n i l t o n 形式 = 。= j ( = 。) = j 案一。， 泣删 其中h a m i l t o n 函数矾= 并如 呈兰 一 2 经典可积系统的双非线性化 当n = 2 时，得到第一个非线性方程 2 ( ：) _ 0 三) _ ( 芝：筹：) 亿叫 当n = 3 时，就得到了c k d v 方程 2 t 3 _ j = 匕芝二冀，偿 它的l a x 对为u 及 俨k 羔。) ， 其中 ，= 一三a 3 一r 入+ 三啦2 + 兰g + 三9 3 + g r + r 扔 2 = 一7 a 2 + ( 7 - z g r ) 入一7 z + q z r + 2 9 r 卫一9 2 7 _ 一2 7 2 ， k 3 = a 2 + 口入+ + q 2 + 2 r 接着将考虑c k d v 方程族( 2 9 0 ) 的l a x 对及共轭l 觚对在一个显式对称约束下的双非 线性化取个不同的谱参数 ，歹= l ，2 ，及其对应的n 个特征函数 勿 和共轭 特征函数 吻) ，则谱问题( 2 8 2 ) 及共轭谱问题( 2 8 3 ) 变为 f 西u ，z = ( 一 + ；口) 西巧一r 勿， 1 歹s ， 巧p2 - + 专一；口) 多巧， l 歹， ( 2 9 4 ) l 妒l 歹，七= ( 一如) 矽1 j 一砂巧， 1 歹， r 。叫 【妒巧，七= 7 妒1 j + ( 一；+ q ) 妒巧， 1s 歹s 利用引理2 1 ，不难得到谱参数关于位势u 的变分导数 鲁= = 毒：誉蚓) 一例， 皿 其中马= 晨( 1 j ，1 j 一巧，勿) 如当考虑零边界条件um j 正卜呻o o 矽= 1 i m 。o o 妒= o 时，就可 以得到一个简单性质； c 等= 鲁， ( 2 9 6 ) o u。o 乱 、一。7 2 0 0 8 年4 月 中国科学技术大学博士学位论文第2 9 页 目录 2 经典可积系统的双非线性化 其中递推算子c 和变分导数鲁分别由( 2 8 6 ) 和( 2 9 5 ) 给出 为了对c k d v 方程族( 2 9 0 ) 的l a x 对及共轭l a x 对进行非线性化，通常的方法是考虑 下面的对称约束 訾= 薹马鲁一1 在( 2 9 7 ) 中令岛= 1 ，则得到下面的对称约束 即 二：) = ( 三) = 尝= 薹马鲁= ( 歌删1 羔二二主一2 ) ， ，q = ， 1r ：一 ( 一 ) ( 2 9 7 ) ( 2 9 8 ) 采用记号： 圣t = ( 也1 ，眈) 丁，皿t = ( 如1 ，以) t ( i = 1 ，2 ) ， 表示欧氏空间r 中 的标准内积 将对称约束( 2 9 8 ) 代入系统( 2