（概率论与数理统计专业论文）威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 可靠性评估和可靠性验证问题在可靠性工程中占有重要的地位。其中可靠性评估是 已知产品的寿命分布和一组数据，如何去估计产品的可靠性的问题，而可靠性验证是已 知产品的寿命分布，要求产品的某个可靠性指标达到预定的值，如何确定试验时间的问 题。 本文利用b a y e s 方法讨论w e i b u l l 型产品的可靠性验证问题。给出了产品寿命服从 w e i b u l l 分布，形状参数未知、尺度参数已知，形状参数已知、尺度参数未知和形状参 数、尺度参数均未知，并假定产品的可靠性指标达到某个给定的值的情况下，无失效数 据的可靠性验证试验方案。方案不仅考虑使用方的利益，而且通过无条件概率保证了生 产方的利益。并用相同的分析方法给出了平方损失下参数的b a y e s 估计。 关键词：无失效数据；可靠性；威布尔分布；贝叶斯估计 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 r e l i a b i l i t y t e s tf o rw e i b u l lz e r of a i l ur ed a t a a b s t r a c t t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ea n dt h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s ta r ei m p o r t a n ti nt h e r e l i a b i l i t ye n g i n e e r i n g t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ei st h ep r o b l e mh o w t oe a t i m a t et h ep r o d u c t s r e l i a b i l i t yb a s e do nt h ek n o w nd i s t r i b u t i o na n dd a t aa n dt h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o ni st h e p r o b l e mh o wl o n gt h et e s ti sb a s e do nt h ek n o w nd i s t r i b u t i o na n ds o m er e l i a b i l i t yi n d e x m e e t i n gt h ee x p e c t a t i o n i nt h e p a p e r , b a y e s i a nm e t h o di s u s e dt o s t u d yt h ep r o b l e mo ft h er e l i a b i l i t y d e m o n s t r a t i o nt e s tf o rw e i b u l ld i s t r i b u t i o n u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h es h a p ep a r a m e t e ri s a n k n o w l l ，w h i l es c a l ep a r a m e t e ri sk n o w n ；s h a p ep a r a m e t e ri sk n o w na n dt h es c a l ep a r a m e t e r i su n k n o w n ；b o t hs h a p ep a r a m e t e ra n ds c a l ep a r a m e t e ra r eu n k n o w n ，a s s u m i n gt h ec e r t a i n r e l i a b i l i t yi n d e xb e i n gaf i x e df i g u r e ，t h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s t i n gp r o c e d u r ef o rt h e z e r of a i l u r ed a t ao fw e i b u l ld i s t r i b u t i o ni sg i v e n t h ep r o c e d u r en o to n l yt h i n k so v e rt h e e m p l o y e r s i n t e r e s t sb u ta l s og u a r a n t e e s t h ep r o d u c e r s b ym e a n so ft h eu n c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y a n dw i t ht h es a m em e t h o d ，t h eb a y e s i a ne s t i m a t o rf o rt h ep a r a m e t e ri sp r e s e n t e d u n d e rt h ec o n d i t i o no fs q u a r er o s s k e yw o r d s ：z e r o f a i l u r ed a t a ；r e l i a b i l i t y ；w e i b u l ld i s t r i b u t i o n ；b a y e se s t i m a t i o n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：盛鱼笪：竺全垒垒竺皇鳖至! 旦叠：堕竺兰茎暨 作者签名：丝垒蛰日期：! 翌年三l 月二堑日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：丛垒堕：竺皇竺垒查丝墼壑! 巨竺丑盘! 兰暨沾驭魂 作者签名： 导师签名： 日期：塑星年j 三月兰日 日期：坦应 年生月二二l 日 大连理工大学硕士学位论文 第- 章绪论 在可靠性试验中，我们获得的数据一般是定数或定时截尾数据。对于长寿命的试验 样品，由于受到实际试验条件的限制，有时在定数截尾试验中，要让试验进行到第，个 样品失效，其试验时间太长。而在定时截尾试验中，又常遇到在停止试验之前没有样品 失效的情况，即无失效数据。随着科技的发展，产品质量不断提高，在可靠性寿命试验 中无失效数据的出现越来越多，尤其高可靠度，小样本问题更容易产生无失效数据。如 何对这类数据进行统计分析，越来越有理论和应用价值。 对于建立在失效数据分析基础上的可靠性理论来说，在无失效情况下如何对产品进 行可靠性分析，无疑是一个难题。近几十年来，无失效数据的分析处理受到国内外的极 大关注。1 9 5 7 年，b a r t h o l o m e w 1 l 提出用总试验时间为其平均寿命的估计值，这一估计 偏小。它相当于在某一停止时刻恰好发生一个样品失效的平均寿命估计，如今也很少被 采用。1 9 8 5 年，我国参照i e c t c 5 6 办公室第9 2 号文件的第4 部分( 点估计和区间估计) 制定了国家标准g b 5 0 8 0 4 - 8 5 2 1 。该标准指出：在指数分布场合，如果到测定点没有观 察到失效数据，则用总试验时间的三倍作为平均寿命估计。这是一个经验公式，至今尚 未得到充分的理论证明。早期的无失效数据问题的研究主要都限于指数分布，m a r t z 和 w a l l e rt 3 】在1 9 7 9 年用b a y e s 方法给出了指数分布场合无失效数据的可靠性评估和验证 问题。我国的一些统计学家对无失效数据问题也分别用经典方法( 4 - g 、b a y e s 方法【9 _ 4 】等 获得了一批成果。 威布尔分布场合无失效数据的可靠性分析已有不少方法【6 】【”】【1 6 】。这些方法大多是对 形状参数和尺度参数在无失效数据下的参数估计，而对利用无失效数据进行可靠性验证 试验这样一个有价值的课题只限于指数分布有合适的方法。本文分三种情况设计可靠性 验证方案，对威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证问题作以探讨。 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 第二章预备知识 2 1 贝叶斯统计简介 国际数理统计主要有两大学派：b a y e s 学派和经典学派。他们之间既有共同点，又 有不同点。经典统计学是基于总体信息( 即总体分布或总体所属分布族的信息) 和样本 信息( 即从总体抽取的样本的信息) 进行统计推断，而b a y e s 统计是基于总体信息、样 本信息和先验信息( 即在抽样之前有关统计问题的一些信息，主要来源于经验或历史资 料) 进行的统计推断，与经典统计的本质区别在于是否利用先验信息。 b a y e s 统计起源于英国学者托马斯贝叶斯( t h o m a sb a y e s ，1 7 0 2 1 7 6 1 ) 死后发表 的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。在此论文中，他提出著名的贝叶斯公式和一种 归纳推理方法。随后拉普拉斯( l a p l a c e ，p c ，1 7 4 9 - 1 8 1 7 ) 不仅重新发现了贝叶斯定理， 阐述的远比贝叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医学统计以及法学问题。之 后虽有一些研究和应用，但由于其理论尚不完整，应用中出现一些问题，致使贝叶斯方 法长期未被接受。直到二战后，瓦尔德( w a l d ，a ，1 9 0 2 1 9 5 0 ) 提出统计决策函数论后， 又引起很多人对贝叶斯研究方法的兴趣。因为在这个理论中，贝叶斯解被认为是一种最 优决策函数。在s a v a g e ，l j ( 1 9 5 4 ) 、j e f f r e y s ，h ( 1 9 5 0 ) 、l i n d l e y ，o v ( 1 9 6 1 ) 、 b o x ，o e p & t i a o ，g c ( 1 9 7 3 ) 、b e r g e r ，j 0 ( 1 9 8 5 ) 等贝叶斯学者的努力下，对贝叶斯方法 在观点、方法和理论上不断的完善。1 9 8 4 年史密斯教授曾预言：“到本世纪末，b a y e s 理论加上计算机的图示，将成为现代统计实践中最受欢迎的形式”。不论这一预言是否 偏颇，但如今贝叶斯统计日趋成熟，有关贝叶斯统计方面的研究与著作，如文献d t i 1 8 l 也 越来越多，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的统计学派，打破了经典统计学一统天下 的局面。b a y e s 统计在经济、计算机科学和可靠性等方面都有广泛的应用。 2 1 1 b a y e s 学派的观点 b a y e s 学派最基本的观点是：总体分布中的未知参数臼是一随机变量，用一个概率 分布去描述对目的未知状况，这个概率分布是在抽样前就有的关于秒先验信息的概率陈 述，被称为先验分布( p r i o r d i s t r i b u t i o n ) 。为什么采用概率的形式呢? 因为任一未 知量都有不确定性，在表述不确定性时，概率和概率分布是最好的语言。例如产品的不 合格率伊是未知量，但每天都有一些变化，把它看作一个随机变量是合理的，用一概率 分布去描述它也是恰当的。贝叶斯统计就是基于所具有的知识用概率( 或概率分布) 来 度量对一个不确定事件的真实度。 人连理工大学硕士学位论文 b a y e s 统计存在的主要问题是先验分布问题。例如如何在具体的问题中定出“合适 的 先验分布? 先验分布是一个纯主观的随意性的东西，那还有什么科学意义? 到目前 为止b a y e s 统计未能提出一个放之四海皆准的确定先验分布的方法，且看来在今后也难 以做到这一点。因而，这确实是b a y e s 统计的一个重大弱点。但在承认这一点的同时应 清晰的看到，b a y e s 学派赞成主观概率，并不等于说可以用主观随意的方式去选取先验 分布，而是要求研究者对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这一方面 的专家。事实上，对如何确定先验分布，b a y e s 学者做了不少的探讨，并且在实用范围 内，对一些常见的分布都已得到了较好的回答。 2 1 2 贝叶斯估计 ( 1 ) 贝叶斯学派的具体想法 依赖于参数目的密度函数在经典统计中记为p g ；口) 或岛( x ) 。它表示在参数空间 o = 汐) 中不同的臼对应不同的分布。可在贝叶斯统计中记为p ( xi o ) ，它表示在随机变量 口给定某个值时，总体指标x 的条件分布。 据参数秒的先验信息确定先验分布j r ( a ) 。 依贝叶斯观点看，样本的产生要分为两步：首先设想从先验分布万( 臼) 产生一个 口，这一步是“老天爷”做的，人们是看不到的，故用“设想”二字。第二步是从总体 分步p ( x 妙) 产生一个样本x = ( 五，x n ) ，这个样本是具体的，人们能看得到，此样本x 发生的概率是与如下联合密度函数成正比。 p ( xl ) = 兀p ( 薯io ) 这个联合密度函数是 信i 综合了总体信息和样本信息，常称为似然函数，记为l ( o ) 。频率学派和贝叶斯学派都 承认似然函数。二派认为：在有了样本观察值x = ( x l ，一，x 。) 后，总体和样本中所含目的 信息都被包含在似然函数l ( o ) 之中，可在使用似然函数作统计推断时，两派之间还是 有差异的。 由于秒7 是设想出来的，它仍然是未知的。它是按先验分布x ( o ) 而产生的，要把 先验信息进行综合，不能只考虑曰7 ，而应对目的一切可能加以考虑。故要用万( 臼) 参与进 一步综合。这样一来，样本和参数目的联合分布7 2 ( z ，口) = p ( x 目彷p ) 把三种可用的信 息都综合进去了。 我们的任务是要对未知参数臼作出统计推断。在没有样本信息时，人们只能依 据先验分布对乡作出推断。在有样本观察值x = ( 一，矗) 之后，我们应该依据h ( x ，9 ) 对 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 夕作出推断。为此我们需要把h ( x ，0 ) 作如下分解： j i z g ，矽) = 万p l 石k g ) 其中川 ) 是x 的边缘密度函数。 聊( z ) = l h ( x ，o ) a o = i p ( xlo ) j r ( o ) d o 55 它与口无关，或者说r e ( x ) 中不含目的任何信息。因此能用来对臼作出推断的仅是条 件分布刀( 目ix ) 。它的计算公式是。 硼= 等 p ( xl 万( 口) 一一 i p ( xlo ) ，r ( o ) c l o e ( 2 1 ) 这就是贝叶斯公式的密度函数形式。在样本x 给定下，目的条件分布被称为目的后 验分布。它是集中了总体、样本和先验等三种信息中有关口的一切信息，而又是排除一 切与0 无关的信息之后所得到的结果。故基于后验分布万( 臼j 石) 对口进行统计推断是更为 有效，也是最合理的。 显然，后验分布巧( 侈lr ) 是用总体信息和样本信息对先验分布万( 侈) 作调整的结果， 它集中了总体、样本和先验等三种信息中有关0 的一切信息，可用如下图示表示： 先验信息。样本信息j 后验信息 我们可看到在给定样本分布p ( x10 ) 和先验分布万( 臼) 后，可运用贝叶斯公式( 2 1 ) 计算0 的后验分布。其中m ( x ) 与参数0 无关，仅起到一个正则化因子的作用。若把m ( x ) 省略，则贝叶斯公式的等价形式为： z c ( o l x ) o cp ( x i o ) z c ( o ) ( 2 2 ) 其中符号“o c ”表示两边相差一个不依赖于参数的常数因子，并且把公式( 2 2 ) 式的右端称为后验分布万( plx ) 的核。只要知道分布的核，利用分布密度的性质，就可 确定相应的常数因子m ( x ) ，特别是当看出万( 乡ix ) 的核是常用分布的核时，不用计算繁 杂的积分，就可很快恢复所缺的常数因子，从而简化计算。 例如：若p ( x ) o ce x p 一每 ，则可立即判断x ( o ，1 ) ，其密度函数 l么j p ：去p 大连理工大学硕十学位论文 表2 1 常用分布的核 分布类型 核 二项分布b ( n ，0 ) 0 。( 1 一秒) ”。 泊松分布p ( 五) p 一2 i l r i , 态, # n ( ，仃2 ) 唧 一譬) 伽玛分布g a ( a ，五)z 。一i e 一知 贝塔分布b e ( a ，6 ) x a - i ( 1 一x ) 扣1 ( 2 ) 贝叶斯估计( 点估计) 设秒是总体分布p ( x0 ) 中的参数，从总体随机抽取一样本x = ( 而，x 2 9 o ，矗) ，根据 0 的先验信息取一先验分布x ( o ) ，用贝叶斯公式算得后验分布万( 日lx ) 。 定义2 1 使后验分布x ( oiz ) 达到最大值的称为0 的最大后验估计；后验分布 x ( ox ) 的中位数乱称为目的后验中位数估计；后验分布的期望值晚称为0 的后验期望 估计，这三个估计都称为0 的贝叶斯估计，记为莎。可依据实际情况选用其中的一估计。 设乡是0 的一个贝叶斯估计，评定b a y e s 估计舀的精度常用后验均方差( 或其平方 根) ，具体定义如下： 定义2 2 设参数目的后验分布为万( 9ix ) ，贝叶斯估计为痧，则( 否一9 ) 2 的后验期 望 。 m s e ( o ix ) = 易，( 护一伊) 2 l 称为莎的后验均方差，而其平方根 m 距( 占lx ) 】i 称为否的后验标准差。当参为0 的后验期 望0 = e ( oi 石) 时，则 m s e ( o elx ) = e o l ，( 艮- o ) 2 = v a r ( ox ) 1 称为后验方差，其平方根 v a r ( oix 2 称为后验标准差。而且 m s e ( ox ) = 岛，( 谷一目) 2 = x ( 乡一允) + ( 反一秒) 】2 = v a r ( ox ) + ( 晚一莎) 2 可见，当莎= 反时，后验均方差达到最小。本文就在后验均方差达到最小的准则下， 取后验均值作为参数的贝叶斯估计值。 定义2 3 设f = x ( o ) ：刀( 臼) 是缃先验分御) ，若行动a 。满足 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 s u pip ( x ，x ，) 一i ，口)lnfp(x x e f 。“ 则称a 。关于万( 口) 是s 一后验稳健的。其中a 为行动空间，而p ( r r ，x ，a ) 是相应于 先验分布万( p ) 与观测值x 对于行动a 的后验期望损失，即： p ( 1 t ，x ，口) = j 。1 4 0 ，口) 万( 目ix ) d o 实际上，在估计问题上稳健性的主要来源是看先验分布尾部的扁平程度。 2 2先验分布 先验分布是进行贝叶斯统计推断的关键，在应用贝叶斯方法分析问题时，参数先验 的选择总是一个有争议的问题。先验分布通常取决于分布( 似然函数) 的具体形式及样本 历史数据关于参数的信息，具体准则见 1 9 1 。确定方法主要有： ( 1 ) 无信息先验分布 所谓参数0 的无信息先验分布是指除参数秒的取值范围和口在总体分布中的地位外 再也没有关于0 的任何信息的分布。在此情况下，一般使用贝叶斯假设：把0 的取值范 围上的“均匀分布”看作是口的先验分布。一般说来，无信息先验不是唯一的，但它们 对贝叶斯统计推断的结果影响很小，很少对结果产生重大影响。所以，任何无信息先验 分布都可采用。这也是近几十年来，贝叶斯学派研究中最成功的部分。 ( 2 ) 共轭先验分布 定义2 4 设0 是总体分布中的参数，7 ( 秒) 是目先验分布密度，若有抽样信息算得 的后验分布密度刀px ) 与万( 口) 是同一类型的，则称石p ) 是目的共轭先验分布。 例如甩次独立实验中，事件a 发生的次数k 的分布是二项分布 p ( x ：klo ) ：f ：1 乡( 1 一矽) 一一l k 其中0 是每次试验中a 发生的概率。若取贝塔分布b e ( a ，6 ) 作为先验分布x ( o ) ，则由公 式( 2 2 ) 式得后验分布密度： 万( 9lx ) o c 万( 口) p ( xp ) o c0 4 + 一1 ( 1 一目r 6 一。一1 易见，后验分布万( 秒lz ) 也是贝塔分布。因此，贝塔分布是二项分布的共轭分布。 在实际中，常用的共轭先验分布如表2 2 所示： 大连理工大学硕七学位论文 表2 2 常用共轭先验分布 总体分布 参数 共轭先验分布 二项分布成功概率 贝塔分布b p ( 口，b ) 泊松分布 均值 伽玛分布g a ( 口，兄) 指数分布均值的倒数 伽玛分布g a ( 口，咒) 正态分布( 方差已知)均值 正态分布n ( ，仃2 ) 正态分布( 均值已知)方差 逆伽玛分布i g a ，五) ( 3 ) 多层先验分布 当所给的先验分布中超参数( 即先验分布中所含的未知参数) 难于确定时，可对超 参数再给出一个先验，这时第二个先验就被称为超先验。由先验和超先验决定的一个新 先验就成为多层先验。 使用多层先验确定先验分布主要目的是避免犯“冒进 错误，减少不确定性。一般 的确定步骤： 第一步：选取参数目的先验分布乃( 秒i 旯) ，其中旯是超参数。 第二步：对超参数名再给定一分布万，( 五) ，则可得多层先验分布的形式： 万( 护) = 【万。( 口i 旯) 乃( 旯) 以 注意：在理论上并没有限制多层先验只限于二步，可以是三步或者更多步。但实 际应用中二步是最常用的，而且对第二步先验用主观概率或用历史数据给出是有困难 的。因为超参数常是不可观察的，甚至连间接观察都是难于进行的，因此用无信息先验 分布为第二步的先验是一种好的策略。因为相对来说，第一步的先验比较重要，即使第 二步的先验决定错了，而导致错误结果的危险性更小一些。 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 第三章威布尔分布的可靠性验证试验 3 1 威布尔分布 威布尔分布是在1 9 3 9 年由瑞典人威布尔为了描述材料疲劳强度而提出的。在应用 概率统计和可靠性分析中，威布尔分布是最为广泛使用的模型。许多类型的产品，在涉 及寿命问题时都广泛提倡用威布尔分布( 如 2 0 1 ) 。k e c e c i o g l u 乜门给出了该模型的一系 列实际应用，如电子管、继电器、电容器等的失效时间，受疲劳应力的固体失效，汽车 前悬横梁失效等的寿命分布。 两参数威布尔分布分布函数为： f ( t ) ：1 一e x p 一 ( f 0 ，刁，撇 o ) ( 3 。1 ) 【刁j 其中m 为形状参数，7 7 为尺度参数。 相应的可靠度函数 r ( ，) ：l f ( ，) ：e x p 一 ( 3 2 ) 【 7 7j 失效率函数 ，( ：盟：里州 r ( t )r l 3 2 可靠性验证试验 在生产商和使用方签定订购合同时，都有对产品的可靠性指标的要求。譬如在一定 的置信水平下，产品的可靠度要符合一定的要求，同时双方要协商一种验证试验方案。 如果该试验通过，双方可断言该产品的可靠性指标符合合同中的规定。为减少试验时 间和费用，常采用无失效试验，即已知产品的可靠寿命分布，假如要求产品的某个可 靠性指标达到某个给定值，那么产品无失效的试验时间应多长? 即可靠性验证问题。 可靠性验证试验综合考虑生产商和用户的利益，以及实验费用等诸多因素，在可靠 性工程中具有重大的实际应用价值。m a r t z & w a l l e t 以失效率作为考核指标，用b a y e s 方法讨论了指数寿命型的可靠性验证问题。下面介绍m a r t z 等人的方法。 大迮理工大学硕士学位论文 数学模型设产品的寿命分布为指数分布，其失效率为五。设想( 还没有实现) 从 这批产品中随机抽取n 个样品进行定时截尾试验，若截尾时间为f ，记x 为在总试验时 间n t 内的失效个数，若要求在无失效发生的情况下，有如下命题成立 p ( 五2x 1 0 巧i x = o ) o 7 0 那么总试验时间n t 应为多长? 此处把未知参数元看作一个随机变量。 先验分布的确定在指数分布场合下，2 个样品在( 0 ，f ) 内都没有失效的概率为 p ( x = 0i 兄) = e ”m ，m a r t z 等人在口3 中选用如下的g a m m a 分布作为兄的先验分布 以2 志矿k 而2 胁0( 3 3 ) 其中a 0 为形状参数，b 0 为尺度参数，记此分布为r ( a ，b ) ，它与上述似然函数结合， 可得旯的后验分布为r ( a ，b + n t ) ，即万( 力ix = 0 ) = f ( a ，b + n t ) 。 如何确定先验分布中的两个超参数呢? m a r t z 等人建议，由过去经验和工程知识可 以给出失效率兄的上限沈和下限三，使得 p ( 2 u l ) = ( 1 一g ) 2 ( 3 4 ) 其中只可取为0 9 5 ，0 9 0 或0 8 0 ，且l l u l ，这样上三和睨分别是见的先验分布的 ( 1 一? 0 ) 2 分位数和( 1 + p o ) 2 分位数，利用( 3 4 ) 中两个方程可以解出口和b ，m a r t z 等 人用两张图和一张表( 1 3 1 中的图1 ，图2 和表1 ) 能很方便地求出口和6 ，而不需复杂计 算。 总试验时间的确定在先验分布确定以后，结合似然函数，可得后验分布。如今要 确定n t ，使对给定的见，有 尸( 力 lx = 0 ) ， ( 3 5 ) 其中允称为临界失效率，l 一，称为后验风险率。由后验分布可得 p ( 允aix = 。) = r 玉垒一e 1 6 f ) 。d 允= ! 警= r 其中i ( a ，石) 是不完全g a m m a 函数：，陋，x 】= f y ”1 p 砂。故可对给定的口和，利用不完全 g a m m a 函数表，方程口，甜， - r r ( a ) = 0 解得从，然后由等式所= ( b + n t ) 3 h 可算得 n t = ( ，- b 3 q ) 2 1 。 在前面的例子中，若取 = 2 o 1 0 6 h ，= o 7 0 ，昂= 0 9 0 ，l l = 8 5 x 1 0 一h ， u l = 4 8 x1 0 - 6 ，首先确定先验分布l - ( a ，b ) 中两个超参数a = 1 0 ，b = 0 6 0 x1 0 - 6 ( 厅) ，然后 用后验分布r ( a ，6 + n t ) 定出“，= 1 2 0 3 9 7 3 ，最后得出n t = 1 9 8 7 ( h ) 。这表明，在指数分布 威布尔分布场合无火效数据的可靠性验证试验 场合，若占有形如( 3 4 ) 式的先验信息，只要在总试验时间达到1 9 8 7 小时尚无一只失 效，那就可以为该产品的失效率不超过2 1 0 西d , 时的可能性不小于o 7 0 。假如把从 o 7 0 提高到0 9 0 ，类似可算得总试验时间n t = 5 5 1 2 9 5 小时。 接收概率在上述验证试验方案中仅考虑到使用方的利益，生产方可能会感到缺少 保护，在获得后验分布过程中容易算得如下的无条件概率 e ( x = 0 ) = b ( b + 以f ) 】4 其中事件“x = 0 ”表示在总试验时间n t 内没有发生一次失效，故概率p ( x = 0 ) 表示接 收( 即达到( 3 5 ) 式要求) 的无条件概率。若此无条件概率过小，生产方难以接收， 此时可重新选择，使得相应的e ( x = 0 ) 达到生产方可以接收的水平。譬如在上面的例 子中，在r = o 9 0 时，算得n t = 5 5 1 2 9 5 小时，此时p ( x = 0 ) = 0 5 2 1 ，这个无条件概率过 小，若改变r = 0 7 0 ，类似可算得p ( x = 0 ) = 0 9 9 7 ，这个无条件概率生产方可以接收。 何基报和茆诗松以平均寿命作为考核指标，讨论了对数正态寿命型的可靠性验证问 题。本文将利用b a y e s 方法，以可靠度作为考核指标，讨论威布尔寿命型的可靠性验证试 验问题。 设某种产品寿命服从威布尔分布，其分布函数见式( 3 1 ) 。随机的从中抽取，2 个产 品进行定时截尾实验，截尾时间为f ，失效数为k ，对于给定的厂，r ，可靠性验证问题 指标为 p ( r ( f ) r ok = o ) ， ( 3 6 ) 其中“k = 0 表示无产品失效，0 ， 1 表示置信水平，r 为可靠性验证指标。问题 是如何确定无失效试验的时间? 即确定截尾时间，使得( 3 6 ) 式成立。 在工程和生物医学许多研究中，由于种种条件的限制，象试验时间、费用等，不可 能获得完全样本。特别是随着科学技术的迅猛发展，产品的可靠度得到很大的提高，不 可能将试验做到所有的元件都失效。在此情况下，我们只能采用截尾的方式得到一组不 完全样本。截尾就是指被观测体中只有一部分的寿命确切知道，而剩余部分的寿命只知 其超过某一特定值。定时截尾( 即刀个独立同型产品从，= 0 开始进行寿命实验，试验在 固定的时刻终止) 是基本类型之一。在k 次定时截尾试验中，截尾时间分别为 f ，f _ 1 ，2 ，k ( t l f 2 t ) ，相应试验样品数为甩，( f 1 ，2 ，k ) ，到试验结束时所有 样品均无失效，称( f ，珥) 为无失效数据。 本文分三种情况设计可靠性验证方案： 1 m 未矢口，7 7 已矢口； 大连理- t 人学硕十学位论文 2 m 已知，r 未知； 3 m 、7 7 均未知。 3 2 1 m 未知，r 已知的可靠性验证试验 ( 1 ) 数学模型 设产品的寿命r 服从威布尔分布，其分布函数为( 3 1 ) 式，其中优未知，r 已知。 设想从这批产品中随机抽取n 个样品做定时截尾试验。若截尾时间为f ，记x 为在总的 试验时间n t 内的失效个数，总要求在无失效发生的情况下，有( 3 6 ) 式成立，而 r u ，= e x p 一号 ( 3 6 ) 式又等价于 p ( m ，l lix = 0 ) r ( 3 7 ) 其中肌。：l n ( - - r i _ nr o ) ，且o 优1 l ，o r 1 。那么总的试验时间应为多长? 即截尾时 i n t 间如何确定。 若寿命分布服从 即) = 1 - e x p 其中聊未知，r 已知。 由威布尔分布与极值分布的关系，令y = l n t ，则，= e y , - o o y + 卜m ) = 等e x p 一乳一 刀，7 = 一me x p ，则一土e 删) 2 一e x p t ，则一一7j 】，( y ) 2 号e x p 删一手删) 砂 ：一re x p 一! e 删) d ( 一! p 删) = 1 一e ) 币 一土e 椰) 一 0 a 刀撕 故p 分别是兄、m 的增函数。在无失效情况下，显然p 非常小，故元、m 也非常小。当 f 不太大时，m t 、2 m t 也较小，在零点用泰勒展开近似e 1 ，即e 删l + m t 。所以 p 1 一e x p - 2 ( 1 + m t ) l e 一丑( p 一加) 1 一e 一2 ( 1 2 r o t ) 于是，当x b ( n ，p ) 时，有 ? ( 。j f = 七) = ( ：】( 1 一p 一2 ( 1 2 m f ) ) 。( 口一2 ( 1 2 m f ) ) ”一t 又当抽样量n 较大，而以( 1 一e - , t ( 1 一砌f ”不太大时，根据p o i s s o n 定理2 2 1 ，二项分布可 用p o i s s o n 分布逼近，p o i s s o n 分布参数采用门( 1 一p “( 1 2 m t ) ) ，因而 p ( x 叫：殴尘掣e x p 胁_ e - 2 ( 1 一刎) 7 纠 1 、 “ ：巫竺掣丝进e x p ( 一一z 砌，) 尼! 一 其中a = e x p ( 一刀+ r e 以) 。在无失效情况下k = 0 ，所以似然函数为 z ( oi 聊) = ae x p ( 一f e “2 m t ) 由b a y e s 定理，m 的后验密度为 g ( 脚ix ：o ) ：手塑吐兰垫生 ( 3 9 ) 【ae x p ( 一f e “2 m t ) d m ( 3 ) 截尾时间f 的确定 今要确定f ，使得给定的m 。和，有p ( m 码ix = 0 ) ，由后验分布得 大连理工大学硕士学位论文 p c ，卵所一l x = 。，= - ；一= ， c 3 - 。， 所以 卜e x p ( - n e - 五2 m f ) d r n = ，i a e x p ( - n e - x 2 m t ) d m e x p ( 一r e 一2 旯肌i f ) 一1 = re x p ( 一r e 一丑z t ) 一， 令 c = e x p ( 一f e “m ) 则n t 较大时( 0 c 1 ) ，上式化为c 啊- r c + r - 1 = 0 。考虑应用上0 m l 1 是一种常见情 形，设 f ( c ) = c 刖一r c + r 一1( 0 铂 1 ，0 ， 1 ，0 c 0 。又 厂”( c ) = m 1 ( m l 一1 ) c 叩2 0 ，c ( 0 ，1 ) 所以f ( c ) t i 当，又因为f ( 0 ) = ，一l 0 ，f ( 1 ) = 0 ，所以f ( c ) 在区间( 0 ，1 ) 有唯一解c 。 即e x p ( 一f e 。2 t ) = ， 所以 一e 4 i n c o n t = 若取m 、= 0 0 3 ，= 0 8 ，五= 1 ，则n t = 2 2 2 3 1 4 3 5 5 p ，这表明在极值分布场合，m 的 先验信息为u ( o ，1 ) ，只要在总试验时间内达到2 2 2 3 1 4 3 5 5 e 小时，尚无一只失效，那就 认为形状参数m 不超过0 0 3 的可能性不小于0 8 。假如把0 8 提高到0 9 ，类似可算得总 的试验时间n t = 3 1 3 0 2 5 8 5 xe 小时。 在上面我们得到的验证试验方案仅考虑到使用方的利益，生产方可能会感到缺少保 护，在获得后验分布过程中容易算得如下无条件概率 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 舭删= 然= jaexp沏p。砌r)am=彳百exp(-ne-a2t)-1 ( 3 其中 a = e x p ( 一姐+ n e 。) 事件“x = 0 ”表示在总试验时间n t 内没有发生一次失效，故概率p ( x = o ) 表示接受 ( 3 7 ) 式的无条件概率，若此无条件概率过小，生产方难以接受，此时可重新选择，使 得相应的p ( x = o ) 达到生产方可以接受的水平，这时f 值就是试验的截尾时间。 ( 4 ) 可靠性验证试验方案的步骤： 确定m 的后验分布密度； 对于给定的m 及，用( 3 1 0 ) 式解出f ； 计算无失效概率p ( x = o ) ，利用中解出的f 值及式( 3 1 1 ) 。若此概率小，达 不到生产方可接受的范围，则在使用方允许的范围内调整，再重复步骤，直到解出 的，值使p ( x = 0 ) 的值达到生产方可接受范围止； 由确定的t 即为该验证试验的截尾时间。 于是，若产品的寿命丁服从威布尔分布，分布函数为( 3 1 ) 式，其中m 未知，刀已 知。可靠性验证试验可如下进行：随即抽取玎个样品同时独立地进行定时截尾试验，截 尾时间为f 。如果在此规定的时间内样品无一失效，则可断定( 3 6 ) 式成立。 ( 5 ) 形状参数的b a y e s 估计 现在我们顺便来讨论以上问题的反问题，即在定时截尾试验下对m 作出b a y e s 估 计。 定理3 。l 对寿命分布服从( 3 8 ) 式的产品进行z 次定时截尾试验，结果所有产品 无一失效。获得无失效率数据为( _ ，) ，汪1 , 2 ，n = 2 e 。n j ，若m 的先验分布 u ( o ，1 ) ，则平方损失下m 的b a y e s 估计为 聊叫州- 0 ) = 篱 证明与前述似然函数相同的确定方法，可得似然函数为 三( oi 小) = 兀4 e x p ( - n , t , e x m ) = a e x p ( 一n m ) 其中 大连理工大学硕士学位论文 4 = e x p ( - n _ f + r i l e 4 ) ，a = e x p ( - n + n e 以) ，胛= 吩， 若m 的先验分布为u ( o ，1 ) ，由b a y e s 定理，m 的后验密度为 g ( 川lx = 。) = 币a 面e x p ( 面- n m 丽) o m l 所以平方损失下m 的b a y e s 估计为 t h = 露( mx = o ) = 【m g ( mix = o ) d m 【m a e x p ( 一n m ) d m n e 一 ，+ p 一 ，一1 f 彳e x p ( 一n m ) d m n e 一n 3 2 2 m 已知，r l 未知的可靠性验证试验 ( 1 ) 数学模型 设产品的寿命服从威布尔分布，其分布函数为( 3 1 ) 式，其中m 己知，r l 未知。设 想从这批产品中随即抽取，2 个样品做定时截尾试验。若截尾时为t ，记x 为总试验时间 n t 内失效样品的个数，问题是如何利用上述信息确定可靠度达到一定水平时的截尾时间 ( 2 ) 先验分布为g a m m a 分布的情形 兄的后验分布 取n 个样品做定时截尾试验，截尾时间为，则失效数x 服从二项分布， 即x b ( n ，p ) ， p = p ( t r ) = f ( f ) = 1 一e x p - 五e ”7 无失效情形下，m 非常小。若f 不太大时，m t 0 ，由麦克劳林展开式知 e 胛l + m t 从而 p = 卜e x p - a e 删) 1 一e x p - 2 ( 1 + ，卯f ) ) 2 l e x p ( - 2 t ) 其中t = 1 + m t 尸( x = 七) = ( 妻) 【1 e x p ( 一五7 1 ) r e x p ( 一兄丁) r i 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 在无失效情形下，失效概率大的可能性很小，小的可能性很大，此时，当样本容量甩很 大时，由p o i s s o n 定理可获得p ( x = k ) 的近似值， 即有 p ( x ：七) n i - e 可x p ( - 2 t ) l * e - n 1 啦p ( 一例 尼! 无失效数据情形k = 0 ，似然函数为 l ( ol 允) = e - n e x p ( n e 讲) ( 3 1 2 ) 取允的共轭先验分布g 口( 口，6 ) ，其中0 0( 3 1 3 ) 由( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) ，根据贝叶斯公式，允的后验密度为 g l ( 五j x = o ) = a e x p n e 埘矿p 川 = a e x p h e 一 7 1 6 五汐1 兄 0 ( 3 1 4 ) 其中 1 忙再磊z 丽而 定理3 2 形如( j 1 4 ) 式的后验分布密度是旯的减函数。， 证明对( 3 1 4 ) 式求关于旯的导数，得 粤= 么( 口一1 ) ) ：a - 2e x p n e - a t _ 6 五) + 彳刀_ e x p n e - a t - 圳( _ 以7 一6 ) = a z 一2 e x p p 掰一6 五】 口一i 一2 ( t h e 一盯+ 6 ) 】 显然，当o 0 由b a y e s 公式，兄的后验密度为 9 2 ( 兄l x = 0 ) = a e x p ( n e 一1 7 ) p a = a e x p ( n e 一盯一五) 旯 0 ， ( 3 1 6 ) 其中 彳：j l 一 r 。e x p ( 盯盯- z ) d z 定理3 4 形如( 3 1 6 ) 式的后验分布密度是旯的减函数。 威布尔分布场合无失效数据的可靠性验证试验 证明对( 3 1