（理论物理专业论文）失谐场中原子的干涉与衍射研究.pdf

东北师范大学硕士学位论文 摘要 微腔量子电动力学( c a v i 锣q u a n _ t u me l e c 仃0 d y l l a m i c s ) 建立以来，有关的基本理论和 各种方案被广泛应用和研究。与此相关的主要有原子在光场作用下的干涉和衍射行为， 原子冷却、俘获与凝聚，原子光学晶格，以及在此基础上的宏观量子干涉和原子激光。 以之作为基本理论的学科有量子光学( 注重量子化电磁场对原子行为的作用以及原子对 场的影响) ，原子光学( 注重原子表现出的光的特性研究) 。近年发展并成为热点的量子信 息学也广泛运用了微腔量子电动力学的方案进行量子纠缠态制备，量子门的构造和量子 计算过程的实现，例如俘获离子阱系统和一些线性光学体系。 从动力学的描述看，光场与原予的作用导致的原子动力学效应基本可以分为两种情 况：共振场和非共振场的情况。共振场与原子的作用被普遍用于原子与腔场模式之间的 关联的研究，例如r a b i 振荡，原子布居翻转，二者的纠缠以及在此基础上以场为媒介 ，一实现的多原子纠缠，一般整个动力学演化过程中场的分布是破坏性的，同时多原子间很 难做到纯态描述。非共振场( 或称大失谐场) 与原子的作用体现了对场是一种非破坏性演 化，当然同时原子内部能级之间可以分离变量，原子的外部自由度，即质心运动与腔场 具有动量交换，理论和实验都已经证实会出现原子反射、折射、干涉等现象。 本论文主要研究量子化失谐场与单原子作用的动力学特性及干涉和衍射效应。文章 介绍了光场与原子作用的基本理论及主要的应用，给出失谐场与原子作用的有效动力学 研究结果。通过详尽推导，给出了在动量空间表示的原子干涉的分布函数；在改变耦合 强度，场的波长，频率失谐，并采取不同的原子纵向速度时，原子体现不同的衍射特点。 关键词：微腔量子电动力学；共振；失谐场；干涉；衍射 东北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c e 恤南u l l d i n go fc a v 时q u 锄t i l me l e c t r o d ) r i l a i n i c s ，t i l er e l c v a n tt l l e 嘶e s 锄d v 撕o l l ss c h 锄e sh a v eb e e i lw i d e l ya p p l i e d 觚dd e 印l ys t i l d i e d t h er c l a t e dr e s e a r c h e si n c l u d e i n t e r f e r e n c e 觚dd i f h c t i o no fa t o i n s ，c o o l i l l go fa 幻m s ，的p p i i l ga n dc o n d e 璐撕。玛o p t i c a l l a ：t t i c e so fa t o i i 塔，锄dm e 皿i a | c r o s c o p i c a l l yq u 锄t u mi i 】l t e r f 打e n c ea n da t o i n i c1 硒e lt h e i n t i m a t e 丘e l d si i l c l u d l eq u a n t i 如o p t i c sa n da 1 - 0 m i co p t i c s ，w h e r et h ef o n n e rc o r l c e n 仃a t e so n n l ei m p a c to fo p t i c a l 丘e l do na 幻m sa n dv i c ev e r s e ，t 1 1 e1 a ：t t e ro nt l l eo p l t i c 1 设ec k l r a c t e r i s t i c s o fa t o i 璐a 叫t i o 蹦l y ，m es c h e m e si i lc - q e d 盯ew i d e l ya p p l i e dt 0q 1 姗_ t i 蛐幽加a t i o n ，t l l e n e w l yd e v e l o p e d 丘e l 也t 0r e a l i z en l ep r e p a r a t i o no fe n t a n g l e ds t a t e s ，t h ec o n s 旬m c t i o no f q 啪m 哑1g a t e s 肌dt l l es p e c i f i cq u a m u mc o m i ) u 1 缸gp r o c e s s e s i f 趾e x 锄p l et 0b e 百v e 玛i t s h o u l d b et l l en 御e di o n ss y s t e m f r o m 协ev i e wo fd y n a r n i c s ，出ed y n a m i c a le 仃e c t sd e d u c e db yt l l ei i l t e r 昌l c t i o no fo p t i c a l 丘e l da n do n ea t o mc a nb ed i v i d e di i lt o “v d 田0 u p s t h e ya r em er e s o l l a n te 行e c t sa n d l e n o n - r e s o i 描n to n e s t h ei 1 1 t e ：r a c t i o no fo n er e s o r m n tf i e l di sg e n e r 2 l 1 1 yu s e dt 0s t u i l vt h e c o h e r e n c ea 1 1 dt 1 1 ee n t a l l 酿锄e n tb e 细e 髓t 1 1 ef i e l da n da t o m ，s u c ha sr a ：b iv i b m t i o n ，m e n u 】n b e r 咖1 s f e ro fa t 0 i n i cs t a t e s i ti sc o m m o nt l l a tm ed i s t r i b u t i o no fo p t i c a l 丘e l d sh 嬲t ob e d e s 仃o y e d a n da l s ot l l ec o h e r c n c eo fm u l t i p l ea t 0 i i l sw o u l dn o tb ep r e s e n t e d 舔ap u r e q 啪t u i ns t a t e a st 1 1 e r ei so n en o n - r e s o 】【1 a n tf i e l dt oa a e c tt h ea t o i 玑m ec a s ew i l lb ed i 丘e r e n t t h eh a i n i l t o i l i 吼c 觚b es 印删e da c c o r d m gt oe a c hi 1 1 n e rs t a r t e ，m e a n w b i l et h e 瑾1 0 t i o no f c e n t e ro fm 硒sw i l lb ei l l v o l v e d t h ed y i 瑚：n i c a le f i e c t sa r es u c ha st h em o m e n t u me x c h a n g e b e 铆e e nt h ef i e l d 锄d l i sa t o m ，i i l s t e a do f l ee n e r g ye x c h a i l g ei 1 1t l l ec 嬲eo fr e s o n 锄c e o f c o l l r s e ，廿l ee f i e c t so nf i e l d sa r en o n d e i n o l i s h e d nh 雏b e e np r o v e i lb o t hi i lt l l e o r y 觚di n e x p e 血n e n t a ls t u d yt h a tt h ep h e n o m e l l ao fr e n e c t i o n ，d e n e c t i o na n di 1 1 t e r f e r e n c ew o u l db e 廿1 e c e r t a m 够 t h ed 瑚n i c a le f r e c t so fo n eq u a n t i m ln o n r e s o m m t6 e l do n 觚a t o ma r e 删v z e di i l 锄s p a p f o c u s 证g0 nt h ei n t e r f 打e n c ea n dd i 伍佻t i o n f i r s t l y ，t 1 1 e 如i l d a m e n t 越t l l e o 拶a 工l dt h e l a l _ ma ：p p l i c a t i o n sa r ei i m 的d u c e d t h eq u 铷1 t i f i e dr e s u l t so fm ee f r e c t i v ed v n a i n i c so fm e n o n r e s o n 锄t 血e r 盈l c t i o na r ep r e s e n t e d t h ei i l t e e r c l n c ed i s t r i b u t i o n l g + l 爹 图1 - 1 能级图表以及以= l 2 一以= 3 2 的跃迁的克莱伯一戈登系数 我们用传统的线线垂直结构来解释s i s y p h u s 冷却，由于它比较简单，同时它也是研究 更高维度结构的出发点。一维结构模型由两束相对传播的激光组成，他们有相同的频率 缈和相同的振幅岛，以及相互垂直的线性极化矢量巳和e ，。通过一个合适的相位和时间 的转换，整个电矢量场可以写作： e ( z ，f ) = 毛( 巳p 七一抬一七) p 一埘+ c c ( 1 1 ) 式中七为波矢。 f l 书眇乙 l 崂 - t 、 、 、 、 、 o -如矿抽o _抽矿h 图1 - 2 ( a ) l i n 上h n 光场结构，两束极化矢量方向相互垂直的行波形成的 干涉产生两个能级，在间距为名4 内，两个能级有着循环变化但互相 5 东北师范大学硕士学位论文 对立的极化矢量。( b ) 塞曼子能级的光移位是依赖于位置而变化的( 这里 是在l 2 3 2 的原子跃迁情形下) ，因为事实是能级的耦合随着极化 矢量而变化( 克莱伯一戈登系数) 。 i e 一 i g 、一：。 t t 、 t 、 、 、 、 、 、 。 、 、 a -h口+ha -虹矿h 图1 3 在光泵浦和光移位之间完美的空间相关性，导致原子在这样一 个l i n 上l i n 光场结构中运动时，不断的损失原子的动能：原子在一直 的攀爬势垒，但绝不能自由的下落。 极化矢量在沿着z 轴经过五4 的范围内时，从旋偏振仃一变化到直线型，然后回到相 反的选偏振方向矿，在位置z = o ，名2 ，名处，光的极化矢量是完全的旋形的万一，在位 置z = 五4 ，3 兄4 极化偏振矢量是矿。在激光场中周期性的极化梯度在周期性的光移位 中表现出来，也就是原子次能级的交流斯塔克移位，形成了光学晶格的结构。两个基本 并密切联系的过程是s i s y p h u s 冷却的基本因素，即光学泵浦和光移位。s i s y p h u s 冷却由光 学泵浦和光移位的联合作用而引起的。我们考虑一个原子最初位于势能曲线n 中的 z = o 位置处，原子移动沿着+ 晓方向，假设原子以在光学泵浦时间r 1 内移动力4 的距 离的速度运动，原子会攀爬一个势能斜坡，到达一个光偏振主要为矿的地方，这时候经 历这样一个光学泵浦过程：首先原子吸收一个圆偏振光子矿使原子沿着z 方向的角动量 量子数m 增加一个单位，原子会通过量子跃迁从基态i g ，一1 2 ) 到达激发态i 岛1 2 ) ，一旦处 于激发态，原子由于自发辐射从势能曲线矿的顶部下落至势能曲线玑的谷底，从这里 开始，这样一个相似的顺序重复的发生，原子因此几乎一直的在攀爬势能斜坡，因此原 子的动能减小，实际上，原子的动能首先被转化为势能，伴随着光学泵浦的过程，最终 能量耗散在自发散射中，这个机制的重要特征是非绝热的。 当原子移动速度在一定适当的范围内时，基态次能级之间的原子的光学泵浦减小了 原子的动能。在这种情况下，当原子接近于光势阱的顶部时，量子跃迁和光学泵浦更趋 向于发生。由于当量子跃迁和自发的发射，原子会从一个光势阱顶部转移到另一个势阱 的底部，随后发出的光子比吸收的光子有更大的能量，因此原子的动能会因此而减小， 6 东北师范大学硕士学位论文 原子因而被冷却。经过几次这样的冷却循环，原子被停留于光学势阱内，也就是光学晶 格的位置。 1 2 2 斯塔克效应和偶极子力 光场与粒子之间的相互作用的还有一个主要效应是产生了一个周期性的偶极力，这 个偶极力是由动力学的斯塔克效应引起的。光学晶格的一个最重要特性是它们往往成为 激光冷却的理想结构。换言之，装填到光学晶格内的原子将在晶格的势阱中冷却下来。 根据交流斯塔克效应，利用激光驻波场中原子感应的偶极力能将中性冷原子囚禁在波长 尺度的范围内，当激光频率相对于原子共振频率是红失谐时，原子将被俘获在驻波场的 波腹处，反之，当激光的频率为蓝失谐时，原子将被囚禁在波节处。 斯塔克效应是s t a 血在1 9 1 3 年观测到，如果把原子置于外电场中，原子或分子在外 电场作用下能级和光谱发生分裂的现象，这种效应称为s t a r k 效应。原子或分子存在固 有电偶极矩，在外电场作用下引起附加能量，造成能级分裂，裂距与电场强度成正比， 称为一级斯塔克效应；不存在固有电偶极矩的原子或分子受电场作用，产生感生电矩， 在电场中引起能级分裂，与电场强度平方成正比，称为二级斯塔克效应，一般二级效应 比一级效应小得多。斯塔克分裂的谱线是偏振的。 我们考虑一个经典模型：原子的近自由电子近似，我们说明作用在原子上的力有一 部分来自一个势能，我们会发现这个偶极势能正比例与光场的强度。我们设电子的在原 子结构里的位置矢量为名，它的共振频率为鳓，我们用灭来表示原子质心的位置矢量， 同时假设原子处于激光产生的驻波场内： 豆( 尹，f ) = 磊( 尹) r e 【e x p f ( 甜一咖】 ( 1 2 1 ) 我们假设极化矢量是随着空间位置的变化而变化的，那么原子与场之间的电偶极 子相互作用可以表示为 = 一吼乏e ( r ，f ) ( 1 2 2 ) 吼为电子的电量，通过解电子的动力学方程，我们得到稳定态下电偶极子的动量值 d = g 。乏 ( 1 2 3 ) d = r e l 岛( 尺弦e x p f ( 耐一咖i ( 1 2 4 ) 其中极化矢量 一2 1 铲一去百勃 ( 1 2 5 ) 在这里研，是电子的质量，= 缈一是共振失谐的大小，r 是经典的辐射宽度，作用 在原子上的力，7 可以通过计算一v 胄= 上乩r z 4 v r 互在一个周期内的平均值。 户7 = 导口7 昂( 辰) v i | 昂( 天) ( 1 2 6 ) 是极化矢量口( 口= + f 西) ， 由式( 1 7 ) 表明这个这个力起源于势u ( r ) 东北师范大学硕士学位论文 u ( 辰) = 一导口锑霹( 天) ( 1 2 7 ) q 这就是动力学斯塔克效应的经典预言，当激光频率相对原子共振频率是红失谐 ( o ) 时，势的最大值存在与强度最大的点的地方。 本文主要研究在一维激光驻波场中冷原子的动力学行为，因此着重介绍一维的光学 驻波腔场。通常，一维激光驻波场由两束相向传播的偏振方向相互平行线偏振激光束干 涉而成。在两光束相遇区域干涉光强随空间周期性变化，且对原子产生正比于强度梯度 的偶极囚禁力。我们通过一些基本的光场量子化的方法，给出这个量子腔场的普遍性描 述。 东北师范大学硕士学位论文 第二章光场量子化和相干场 随着光学的发展，很多现象，比如量子拍，真空电磁起伏等问题，他们不能由麦克 斯韦方程直接给出清晰的描述。这实际上是光的波粒二相性决定的。使用量子化光场的 方法可以给出关于这些现象的可靠的解释。这一章主要介绍光场量子化方法和相干场的 一些性质，为以后章节的研究做铺垫。 2 1 光场的量子化 我们先从被熟知的麦克斯韦方程开始。这些方程给出了电场e 和磁场h 的相互关系， 连同位移矢量d 和磁感应矢量b ，可以解释经典电磁波的几乎所用现象。在i n l ( s 单位制 下，真空状态下的麦克斯韦方程组为： v h ：挈 ( 2 1 1 ) v e ；一挚( 2 1 2 ) v b = o ( 2 1 3 ) v d = o ( 2 1 4 ) b = h( 2 1 5 ) d = 岛e ( 2 1 6 ) 其中 利用( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 i 6 ) 可以给出光场的波动方程 、v 2 e 专害= 。 这个方程的导出用到了关系式v e ) = v e ) 一v 2 e ( 2 1 7 ) 2 1 1 利用谐振腔本征模量子化光场 考虑一个长度为工的谐振腔，光场在其中形成稳定的空间周期结构。假设，光场的 偏振方向为工利用谐振腔的本证模可以将光场展开 e ( z ，f ) = 4 9 0 ) s i n 沁z ) ( 2 1 8 ) 其中彳，是本征模的振幅七，= 石肛，户1 ，2 ，3 ，参量： 4 _ ( 害 _ 一 亿， 1 ，是腔的本征模的本征频率y = 三s ，是腔的体积，m ，是一个常数，具有质量的量 纲，这个量的引用是为了将一个量子化的光波和谐振子相互比较。于光场相互对应的磁 9 东北师范大学硕士学位论文 髟= 手“等卜力 亿。， 光场的经典哈密顿可以表达为： y = 昙i ，d 如+ 鳓砖) ( 2 1 1 1 ) 积分遍及整个谐振腔的体积，利用( 2 1 8 ) 和( 2 1 1 0 ) 。( 2 1 1 1 ) 可以变形为： y = 昙白- ，哆g ；+ 聊，谚) ( 2 1 1 2 ) 亍旃啊+ 朝 亿3 ， 这里的乃= 办，是谐振腔的第j 个模式的正则动量，从( 2 1 1 3 ) 可以看出实际上是 个质量为的谐振子的哈密顿，这样我们就可以将已经熟知的谐振子量子量化的方法应 用到光场上了。 下面要处理的问题是将正则坐标p ，正则动量g _ ，算符化。他们的对易关系如下： 【g ，p 】= 访嘞， ( 2 1 1 4 ) p ，g 】= p _ ，p ，】- o ( 2 1 1 5 ) 利用一个正则变化( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 得到了两个新的算符，利用这两个算符可以使以 后的理论推到更加方便 a ，p 一如一= 了夏翥与秀亏于，巧g + 勿，) ( 2 1 1 6 ) 口；p 加i ，= 了匿翥秀亏尹b _ ，_ 9 ，一驴，) ( 2 1 1 7 ) 利用这两个心算行，哈罾顿( 2 1 1 3 ) 变为： 嘲手_ ( 咖+ 丢) 算符口和口+ 满足对易关系： 巳，砖 = 0 乃，口厂 = t ，t = o 以后我们会称呼口和口+ 为消灭簋符和产牛簋符 ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) 这个名字的由来会在以后推到中给 出。利用产生算符和消灭算符，电场强度和磁场强度可以表示为： 最( 列) = 彳，g ，p 也f + 口歹p 吖) s i n k z j 日，( z ，f ) = 一f 岛c 彳，g 尸q 吖一口岁p 加，7 ) c 。s 晚z j 1 0 ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) 东北师范大学硕士学位论文 4 = 斟 仁心3 ， 2 1 2 利用平面波量子化光场 到目前为止，我们已经利用一维谐振腔的本征模将光场和磁场量子化了。下面关注 的问题是如何在自由空间中，将光场和磁场量子化。与上面的讨论相似。光场和磁场可 以可以用平面波展开： e ( z ，f ) = 舌4 p 一帆件k 7 + c c( 2 1 2 4 ) h ( 印) = 嗡七e 吨m r + c c ( 2 1 2 5 ) 鳓七 4 = 2 仁心6 ， 磊是极化方向的单位矢量，吼是标量振幅，求和遍及所用的k = 慨，七，也) 的离散取 值。波矢k 的取值之所以是离散的是因为采用了周期边界条件。满足这些取值的平面波 集合是完备的。 哎= 孕妒孕舡孕 ( 2 i 地7 ) 其中为整数( ，- 2 ，1 ，o ，1 ，2 ，) 。这样的一组数，可以确定一个 模式的电磁波。从麦克斯韦方程还可以得到下面的关系式： k 磊= 0( 2 1 2 8 ) 这意味这这些平面波都是横波。也就说明每一个k 都会对应着两个偏振态。下面将 这个离散状态下的求和变成积分。这需要下面的变化： 莩一2 3 胁 9 ) 一般情况下，我们关心的是频率在v 到v + 咖的模数。把相空间下眩，j i ，乞) 变成极坐 标忙s i n p c o s 咖七s i n 9 s i l l 办露c o s p ) ；相空间中的单位空间可以表示为： d 3 七= 七2 破s i l l 锹彩爹= 告咖s i n 锹鲫 ( 2 1 3 0 ) 在，到 ，+ 咖区间中，体积l 3 中的总模数为： 拼= 2 匕) 3 等f 抬s 瑚岳石却= 茄西 q 3 - ， 定义 d ( v 伽= 嬖咖 这个量描述了在v 到1 ，+ 西区间中，体积l 3 中的总模数，我们称呼它为模密度。如 同前面讨论的一样，我们将口和口算符化为口和口+ ，这样就会得到用平面波表示的量子 东北师范大学硕士学位论文 化的光场和磁场： e ( z ，f ) = 誊4 鲰p 一帆+ k 7 + c c 毗) = 去等警旷靠r + c c ( 2 1 3 2 ) ( 2 1 3 3 ) 2 2f o c k 态或粒子数态 这部分主要讨论单模光场( 其频率为v ) ，其对应的产生和消灭算符为口+ 和口。我们 定义哈密顿的本证态为l 刀) 。这个本证态所对应的本征值为e 。即： y i ，z ) = 壳p 口+ 丢) | 甩) = e l 玎) c 2 2 ， 用消灭算符口作用到上面的方程的两侧，同时，利用对易关系l 口，矿i = 1 ，经过一些 简单的变化就可以得到： 叫，z ) = 慨一7 i v 刈，z ) ( 2 2 2 ) 这意味着，态矢 ) 2 毒i 刀) ( 2 2 3 ) 同样也是一个能量的本证态，他所对应的本证能量为： b 一1 = e 一壳v 常数是一个归一化常数，它可以通过下面的关系式来确定： 如一1 i 行一1 ) = 1 如果重复上面的多次就会看到哈密度的本证能量在以7 l v 递减， 式： ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 知道我们得到关系 肠i o ) = 岛一壳l o ) ( 2 2 6 ) 这里的疡是基态能量。那么岛一7 1 1 ，就是一个比基态能量还小的能量，对一个间谐振 子而言，是不能有能量比基态还低的。这样就这能给出下面的假设： 口l o ) = o ( 2 2 7 ) 态矢i o ) 被称之为真空态。利用上面所得到的规律可一得知它的本征值： y 1 0 ) = 去壳叫0 ) = 晶l o ) ( 2 2 8 ) 它的本征值不为零，这是很多有趣的现象的原因。 岛= 壳1 ， ( 2 2 9 ) 这样我们就得到了哈密顿量的所有本证值为： b = ) 力v 亿2 加， 同样我们也可以得到下面的关系式： 东北师范大学硕士学位论文 口+ 口i 刀) = 甩i ，2 ) ( 2 2 1 1 ) 可见i 玎) 同样是算符粒子数算符的本证态 刀= 口+ 口 ( 2 2 1 2 ) 在式子( 1 2 3 ) 中的归一化系数为 ( 俨咖- 1 ) 2 寺( 水+ 口2 奇( 巾) 2 爵。1 ( 2 2 1 3 ) 忽略掉归一化系数的相位，就会得到下面的关系式 口i 玎) = 力h 一1 ) ( 2 2 1 4 ) 沿着同样的推到步骤可以得到下面的关于产生算符的关系式： 口+ l 咒) = 打玎”1 ) ( 2 2 1 5 ) 利用上面的关系式就可以得到粒子数本证态和真空态之间的关系。这更见充分的体 现了产生算符的意义。 = 铬j o ) ( 2 2 1 6 ) 利用“产生了n 个光子 可以清晰的解释哈密顿的各个本征值的等间距差异。态矢l o ) 被称之为f o c k 态或者粒子数态。粒子态是完备的，任何一个态矢都可以用粒子数态展 开。 i 以) ( 以i = 1 ( 2 2 1 7 ) 玎 i 计= c 打i n ) ( 2 2 1 8 ) 2 3 相干态 下面我们研究消灭算符的本征态，这个本征态就是我们所说的相干态，相干态的光 子数分布接近高泵浦的激光的粒子数分布。理论上我们可以利用相干态来近似的描述量 子化的激光场。 消灭算符的本征方程为： 口| = 叫西 ( 2 3 1 ) 这个本征态可以用粒子数态展开 i 西：e 刊2 2 至箱玎) ( 2 3 2 ) 因为l 刀) ：f g + 广厶历 1 0 ) ，上式可以变形为： i 西= p 一川2 p + l 刀) ( 2 3 3 ) 利用e x p ( - 口口】o ) = i o ) ，上式可以进一步导出为： 东北师范大学硕士学位论文 i 口) = d ) l 玎) 其中 d ( 口) = e - 叫2 2 e + e 一口4 利用b a l ( e r h a u s d o r f f 公式，经过一些简单的计算，可以得到 d b ) - e + 一口口 它的另一个形式为： d ( 口) = p i 卅2 2 p 一e + d 是一个幺正算符，满足下列关系： d + 丘) = d ( - 口) = d ) r 1 当它作用到一个算符上时，就像一个位移算符： d - 1 缸( 口) = 口+ 口 d - 1 ( 口k 十d ( 口) = 口+ + 口 这可以利用下面的关系式给予证明。 e 一倒b p 倒= b 一口l 4 ，b 】一等盼，曰l 彳】一。 经过一下简单的代换，就会得到下面的关系。 p 一彻+ 口p + = 口+ 口 下面我们来研究一下相干态的一写有用的性质， ( 口矿刮= 肝 在相干态中找到n 个光子的几率为： 形刊删玎) ：学= 学 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 相干态的平均粒子数可以这样表达 ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 这是一个很有用的关系式，我们给予更详细的介绍：在图4 中我们给出了不同的参 数j 刮2 对应的粒子数分布的情况： n 图2 1 ：不同的相干态对应的粒子数分布，主要参数己在图中标出。 】4 东北师范大学硕士学位论文 可以看出不同的相干态的粒子数分布不同，在l 叫2 = o 1 时，粒子数分布只要集中在 。到2 之间，随着l 叫2 的增大，发现大的粒子数态开始增加，到i 叫2 = 1 0 出现了类似高斯 线性的光子数分布，峰值出现在9 和1 0 相干态的另一个重要的性质是其共轭量的测不准关系最小，即是： 卸卸：要 ( 2 3 1 5 ) 另外，相干态是完备的： 仁广a ，p _ 1 叫2 d 2 口= 葡酬m + 州一卅2 d i 叫2 知曲一一矽d 秒 oo j 1 砖( 口p 2 口= 万l ，z ) ( 以i 寺j 1 西( 口脚= 1 ( 2 3 1 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 第三章原子束偏转的有效动力学 有效的方法和技术在物理学不同的领域的研究是常用的，b c s 理论中推导电子一光 子一电子有效相互作用的f 硒m i c h 变换同样可以推广到量子光学和原子光学各种有效哈 密顿量的推导上。 实际上，f r 6 l l l i c h 变换可以被理解为有效哈密顿量的二阶微扰近似方法，最初f 而m i c h 应用这种方法消除电子一光子一电子相互作用系统中的光子态，实现了只包含电子一电 子有效相互作用的动力学。同样的量子光学中二能级原子双光子过程也可以通过消除基 态和激发态间的中间态的影响来导出，这种变换也可以应用到大失谐的j c 模型上。 3 1 f 一变换的推广 给定一有微扰系统的哈密顿量日= 风+ 五日。，微扰为喝，名称为微扰参数，用它来标 定微扰的阶，在计算的最后令其为1 应用卜变换的首要问题是选择一个适当的幺正变换。我们令变换 u = p 一船 ( 3 1 1 ) 这里s 是一个反厄米算符，它由所讨论的微扰系统所决定，我们知道幺正变换是不 改变系统的动力学，也就是说： 易= p 郴协船 ( 3 1 2 ) 与h 描述了相同的物理过程。我们注意到算符s 是与日，相同的一阶微扰量。这是因 为当兄= 0 时，u ( 五) = l ，物理上讲这意味着日，小到可以忽略。 运用g l a u b e r 公式，可以把吼写作 = 凰+ 善名”( 一1 广1 盟 s n 【观】 ( 3 1 3 ) 在二阶近似下我们不考虑三阶项。与最基本的f 一变换相同，为了满足两个条件， 我们可以要求 日，+ 【凰s 】- o ( 3 1 4 ) 在式子( 3 1 - 3 ) 中我们已经用到了这一点。 式( 3 1 4 ) 决定算符s 的形式，简明起见，假定风能级为非简并。令l 以) 为风的本征 函数，相应的本征值为e ，在完全系 k ) ) 下取( 3 1 4 ) 的矩阵形式 ( 朋l q l 刀) + ( 已一e ) ( 肌蚓，z ) = o 或 = ( m = 等 1 6 东北师范大学硕士学位论文 或 s ：等粤；m ) ( 圳 ( 3 1 5 ) 急e 一，已。 、。 由( 3 1 3 ) 和( 3 1 5 ) 可得二阶有效哈密顿量： 日7 兰日o + 圭【日，s 】= ；e i ，z ) ( ”i + 圭警+ 办c ( 3 6 ) 很显然，f 一变换应用于对角项( 耳) 。= 0 的系统中，也就是说，在变换前我们必 须保证( 日，) 。= o 。换句话说，风包含了所有动力学对角因素，所有非对角因素都包含 在研中，当然这必须在一定的本征态系中讨论才有意义。 观察日7 兰凰+ 去【日，s 】可以看出变换前的凰和变换之后的意义是不同的。在变换前 巩为零阶哈密顿量，而在变换后则为一阶哈密顿量。我们需要指出的是卜变换与二阶 微扰论是一致的。 3 2 原子束偏转的有效动力学 在大失谐的单模电磁场中，原子在与电场强度成正比的有效势作用下发生偏转， 例如在单模电磁场中，我们研究沿z 方向传播的原子束进入x 方向不均匀，y 方向均 匀的量子化电磁场的场原子相互作用系统，相应的量子光学现象有偏转和原子束的聚 焦，主要是由如下的典型有效哈密顿量所决定的。 b = ( x ) 口口 ( 3 2 1 ) 这里，( 石) = 瞩2 ( 石) ，它依赖于非均匀电磁场强度e = 岛( 口+ 口t ) ；口为极化强度。 如式( 3 2 1 ) 所表达的哈密顿量是利用绝热消除的方法得到的。 为了加深对这个有效哈密顿量的理解和对推广的f r 6 h h c h 变换的应用广泛性的了解， 我们重新推导并由此给出卜变换的适用条件。由j c 模型，二能级原子和单模光场相 互作用系统的最原始的哈密顿量可以写作： h = h o + h f 其中 凰= 壳纰1 0 ( p i + 壳伽口 珥= 姆( 工) ( i g ) ( p i 口+ 口l 力( g i ) ( 3 2 2 ) g ( 石) 为与坐标有关的偶极耦合常数，i 力和i g ) 分别为原子的激发态和基态，并有 g ( x ) 2 斋。s i i l h = 岛。s i i l 缸 f r 6 t l l i c h 变换u = e 一船中s 的矩阵元表示为： = 器 ( 3 2 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 这里l 口) ，i ) = l e ，刀) 三i p ) p i 疗) 和l g ，刀) 三i g ) p l 玎) 是风的本征函数，相应的本征值为 如= 7 1 + 砌和= 砌彩。把他们代入式( 3 2 3 ) 中并与式( 3 1 5 ) 联立，可得 s = 器( 帅) ( p i 口+ ) ( 3 2 4 ) 最后，有效哈密顿量可以表达成下面的形式： 日= 风+ 薹( 咿1 等瞪：坚四 ( 3 2 5 ) 在大失谐，弱耦合的情况下，我们可以只取到n = 2 项，则有效哈密顿量表示为 日= 吲以小锄饥壳等( i g ) ( 咖t 口- 训p ) ( 引 ( 3 2 6 ) 所得结果与应用绝热消除方法所得的结果是相同的。但与前者比较，丹d 厅船j i ，变换 有更为明晰的表达。 在这种二阶过程中，波函数 = 中基态分量农o ) 和激发态九o ) 分量是独立演化的，决定它们演化特点的哈密顿量分别为： 吃：壳吃+ 壳缈口t 口一壳巫生甜 日。：7 l 缈矿口+ 壳巫生口t 口 ( 3 2 7 ) 令g ) = 堙g ) 2 b 一线) 忽略常数项和自由演化部分，有效哈密顿量式( 3 2 1 ) 可以 得到。 为得出哈密顿量式( 3 2 1 ) 的适用条件，考虑高阶修正的影响，计算可得 【s ，】- 等( m i 口口t 一蚓g 胁) 三阶修正项 抑阻】 _ _ 争器( 雠i 砌+ + 口口+ 荆( 9 1 ) ( 3 2 8 ) 与壳红，口相比满足条件： 卦 ( 3 2 9 ) 时，个三阶项可以忽略。也就是说，式( 3 2 9 ) 即为有效哈密顿量( 3 2 1 0 ) 成立的条件， 它可以进一步写作： 东北师范大学硕士学位论文 第四章原子波干涉和原子光学问题 通过一空间不均匀的量子化电磁场时，非共振原子束将发生偏转。对光场来说，不 同的f o c k 态会把原子偏转到不同方向上和聚焦到不同的空间点，场分布中f o c k 态的几 率越大，它对原子波偏转和聚焦就越强，近来已有一些实验方法可以通过量子非破坏测 量来研究场和控制场了。这些方法的原理是基于与场作用后原子的测量可以提供关于场 的一些信息。本节就是通过驻波场的原子的干涉反映了场的分布的特点。当然也有其他 方法可以确定场的光子分布。 4 1 动力学系统和有效哈密顿量 如图4 所示，z 方向传播的原子波进入一单模量子化电磁场，由于场在x 方向是不 均匀的，因此它将散射原子。简单起见设场在y 方向是均匀的。我们已经指出一个冷原 子的动能p 2 ( 2 m ) 与原子能级壳屹相比不可忽视，所以说原子在腔场中运动时自由演化 起到一定的作用。 z ， 图4 1 不同的f 0 c k 态使原子束以不同角度偏转并聚焦原子束在不同的点 既然如此，那么应用旋波近似时系统整体的哈密顿量为： 日鼻= 壳吧l 才( p i + 7 i 锄t 口+ 姆s m 缸( i g ) ( p i 矿+ 口i o 信i ) + 暑 ( 4 1 1 ) 这里i p ) ，i g ) ，皱，口t ，口，缈与前述意义相同，g s i i l h 为耦合系数，p 2 ( 2 m ) 为 粒子的动能项，m 为原子的质量。 为了应用瞅换，首先将哈密顿量划分成为对角和非对角两部分 h r = h ：+ h ： 其中： 硪= 7 l 吃懈m 伽口+ 缶 丑夕= 蛔s i i l h ( i g ) ( p l 口+ 口l 力( g i ) ( 4 1 2 ) 1 9 东北师范大学硕士学位论文 采户甘幺正变换 u 矗= e 一， ( 4 1 3 ) 反厄米算符s 胄的矩阵元 路= 器 ) l ，l 历为哈密顿量彤的本征态，相应的本征值为吃和易。很容易看出 i 西，l 所= l 岛p ，甩) 三i 刁o l p ) o i 咒) ；l g ，p ，挖) 兰l g ) o i p ) i 玎) ( 4 1 5 ) = 7 i 纪+ 砌国+ 勺 = 砌缈+ 勺 ( 4 1 6 ) 这里。= 茜， k ) ) 为光子数态， i p ) ) 为质心动量本征态。 ( 研) 呷，聊，_ 砖( 绷妒i ( 1 p ) ( g l 口+ i g ) ( p i 矿) s i l l 缸i 卵 = 堙城尹( p i s i i l 舡i p ，) = 哗 ( p l p 妇i p ，) 一( p i e 一妇l p ，) ) = 哗 吒p ，+ 触一乞，p ，一，址) ( 研) 卯，唧= 一( 钟) 卵卯， ，唧= 州 一堙城扩。 2 f 乞一触 名一从 ( p 一壳尼) 2 一p 2 2 m+ 壳缈一壳纰量学+ 壳国一壳纰 。= 坠 袅 釜丧 l 壳缈一壳纰壳国一壳纰j 一矗= 1 + 彘 2 0 ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 乐北帅范大罕坝士罕位论文 1 + 矗 i = 1 一盏 。， 近似成立。 算符的矩阵元 已兰热 1 + 盏卜址一 一最卜 ， 则算符s 矗可写作 2 点，豪尝高 - + 乞棚 - 一老 。址) a 唧，c 卿”i 卿c 唧l ， = 。乏，畿，+ 觚一乞驴触) q 唧) ( 即i + i 聊，) ( 唧i ) + 互，翥尝 老- ( 懈一。 ( 1 唧) ( 聊，l + l 卵，) ( 唧i ) = 等q 唰州( p i 口t ) + 意每扣尹诎嘞枷) 删印川印删 ( 4 1 1 2 ) 由于圭( 名。，+ 肚+ 瞑一舣) = 扫l c 。s 虹l p ， ，将之代入( 4 1 1 2 ) ，s 月整理为： 拈簧q 唰喇( p m ；意等删( 留川印删口+ ) 在这里由于对态f p ) 和i p 壳后) 近似存在乞f p ) 兰乞f p 壳对，所以可以近似认为： 醚p 兰醚， 令：= 彩一心，悯= 学，啪) - 学 则反厄米算符可以清晰表达为： s 胄= v ( 工) 一饵( x ) ( g 卜 v ( 工) + 饵( z ) i g ) ( p p 应用瞅换，新的哈密顿量的表达为： 日= p 一萨日且e 弘 在大失谐情形下，由于一阶项为零，三阶以上各项较之二阶很小， 量可以取到二阶近似，与前面相同，我们可以写出哈密顿量 日刍兰掰+ 缸日f ，s 詹 所以有效哈密顿 ( 4 1 1 4 ) 且通过计算 群= 姆s i i l m “x ) 一瞬( 工) i g ) ( g | 口t 口一姆s i n 研v ( x ) + 饵( x ) i p ) ( 刮口口t s 胄研= 堙s i n b y ( 工) 一啤( 工) j 砂( pj 韶一堙s i l l h v ( 曲+ f 哆( 功 k ) ( g | 口t 口 彬，s 月 2 1 = 学洲g i 口t 口一懈 ( 4 1 1 5 ) 代入式( 4 1 1 4 ) 码兰w + 三 钟，s 1 = 7 i 吧俐+ 耐口+ 嘉+ 学q g ) ( g l 口t 口一m = 群i e ) ( e i + i g ) ( g l( 4 1 1 6 ) 很容易看出，波函数矽= 乏暑 的基态分量唿( 力和激发态分量统( 力是独立演化的。分别 由哈密顿量： 彤幽纪锄甜卅杀一等竽 = 耐口+ 嘉+ 竿口t 口 ( 4 7 ) 决定。 假定将原子制备在激发态，则决定系统的动力学的哈密顿量为： 彰：壳吃+ 壳伽t 口+ 一堕堑堕础t“ 2 m = 壳吧+ 嘉+ 卜一等卜+ 等c 碰缸一等 朋， 我们令磊= 去，彩一彘2 风，g = 2 尼 式子( 4 1 1 8 ) 简化为： 彰= 壳吃+ 盖+ 砜口t 口+ 7 l 彘船十c o s 2 缸一等 略去常数项，哈密顿量可以写作 彰= 飒口t 口+ 7 i 彘口口c 。s 2 舡+ 盖 ( 4 1 1 9 ) 4 2 固定动量态的演化情况 假定原子态沙( o ) 已制备，且场的f o c k 态分布为，也就是说 i 肛肼) = i 甩) ( 4 2 1 ) 月= = 0 我们可以制备原子初态为质心动量态，那么系统初态就可以写作 东北师范大学硕士学位论文 i 甲o = o ) ) 舶= i ) 圆i 珂) ( 4 2 2 ) 从哈密顿量( 4 1 1 9 ) ，我们可以看出原子受到一周期势g c o s 孵的作用，我们可以令 任意时刻的波函数表达为如下结构 f 甲o ) ) 凡= p 一镌主主q ( 玎，r ) f _ o + ，壳孑) 9 f 挖) ( 4 2 3 ) 下面的首要任务是求解系数g ( 万，f ) 对于s c h 萏d i n g e r 方程 1 彰陬) ) 凡5 坊昙) k ( 4 2 4 ) 我们将波函数l 甲( ，) ) 凡代入，。可以得到左侧表达式： 嘉m ) 巾= f 磊重薹晰) 氅竽计壳弓) 。卟： 口i 甲( f ) ) 凡= p 1