（理论物理专业论文）有机半导体中的zener隧穿.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 1 9 3 4 年，z e ! n e r 首次从理论上预言了半导体中的能带电子在外加线性势场的 影响下，会发生电子的带间隧穿现象。这种隧穿被人们后来称之为z e n e r 隧穿。 z e n e r 隧穿在半导体科学，超导科学，光电科学，以及电子学等领域得到了广泛 应用。以z e n e r 隧穿为原理，人们研制出被用作稳压二极管的z e n e rd i o d e s ；以 及在超导领域中重要的器件j o s e p h s o nj u n c t i o n s ；在光子晶体中加速光晶格中 的原子等等。几十年来，有关z e n e r 隧穿的相关研究层出不穷，吸引着更多的研 究者投身到与其相关的工作中。 然而迄今为止，人们似乎对于无机半导体中的z e n e r 隧穿的研究兴趣远大于 其在有机半导体中的应用。很少有人在有机半导体中给出一个清晰完整的z e i l 盯 隧穿机制的图像。在一维有机共轭聚合物中，人们普遍认为其g a p 的产生根源于 一维系统中所特有的二聚化现象。不同于无机半导体较稳定的能带结构，由于存 在了强的电子一晶格耦合作用，有机半导体的能带结构在外加强电场下会发生复 杂的变化。在这样的情况下，有机半导体中的z e n e r 隧穿是个什么样的图像呢? 有什么不同于传统无机半导体中的隧穿机制呢? 本文正是基于这些疑问，以最简 单的一维有机半导体材料聚乙炔为研究对象，采用数值计算的方法，考察其在低 温强电场情况下的电子态的情况，并最终清楚地得到了聚乙炔中的栅隧穿图 象。本文也将有机半导体中的z e n e r 隧穿与无机半导体中的z e n e r 隧穿情况进行 了比较，使我们更进一步拓宽了对于7 _ 翩f l e r 隧穿的认识。 第一章系统介绍了到目前为止，人们对于无机半导体中的7 _ 脚l f f r 隧穿的研究 成果。其中涉及到大量z e n e r 隧穿的各种实验以及相关应用。并介绍了理论上研 究传统z e n e r 隧穿人们使用的方法，主要是半经典的方法以及量子微扰的方法。 我们期待将这些方法应用在以后的有关有机半导体z e n e r 隧穿的解析理论推导工 作中。尤其是在概念上拓展了z o n e r 隧穿的物理外延，认为不必一定是传统晶体 中的电子系统，即使是光子晶体中，声子系统中，含有h a l d a n eg a p 的自旋系统 中，只要是含有周期结构的系统，在外加线形势场情况下，有粒子( 光子、声子、 磁量子) 的带间转移发生的情况，这些都被称为z e n e r 隧穿。因此我们可以期待 山东大学硕士学位论文 在各种新的系统中研究各种有趣的z e n e r 隧穿图象。 第二章，我们过渡到有机半导体中的z e n e r 隧穿相关研究介绍，这方面的工 作相对来说较少。主要是介绍了k a z u m im a k i 早先提出的一维c h a r g ed e n s i t y w a v ec o n d e n s a t e s 中电场诱导产生孤子对的理论研究以及a b k a i s e r 在有机共 轭聚合物的低温导电机制的研究。这两个理论工作为我们的研究提供了可靠的参 照与有益的提示。我们很自然的预测到，在有机z e n e r 隧穿中，电子一晶格的耦 合将起到重要作用，并预计能观察到相应的局域能级以及局域态伴随着z e n e r 隧 穿出现。另外介绍了在目前热门的单壁碳纳米管与单层石墨带中的z e n e r 隧穿的 工作，这启发我们进行在新型材料中对于传统物理图像的研究。在本章的最后我 们介绍了在一维有机格点中有关b l o c h 振荡、z e n e r 隧穿的最近工作。 第三章，我们采用传统的s s h 半经典模型处理聚乙炔电子系统，求解在外 加强电场情况下的系统状态，利用电子一晶格耦合方程，采用自洽迭代方法计算 每个强电场情况下的系统稳定状态。我们用电子在能带中基态占据、单激发态占 据、双激发态占据来分别表示未发生z e n e r 隧穿，发生一个电子z e n e r 隧穿与发 生两个电子z e r l e r 隧穿的情形。通过比较每个电场下这些不同占据态的能量大小 来确定究竟是否有电子隧穿更稳定，隧穿几个电子更稳定。在有z e r l e r 隧穿发生 的情况下，我们详细的计算其能带结构，晶格位形，电子密度分布等重要物理指 标，以期得到全面系统的认识。我们发现当电场到达一个临界值时，聚乙炔中单 电子激发占据方式的能量更低，即此时发生第一个电子的z e n e r 隧穿，同时整条 链上突然产生电荷极化与晶格的畸变，在能带中观察到局域能级。我们相应计算 了刚性晶格的z e n e r 隧穿，对两者进行了比较。发现有机半导体中带隙中出现的 局域能级对隧穿有一定的辅助作用，有机半导体比传统的刚性半导体更容易发生 z e n e r 隧穿。当有一个电子发生隧穿之后，继续加大电场，则会继续有电荷在链 的两端积累。我们也讨论了电子一晶格耦合强度对z e n e r 隧穿发生的影响。我们 的模型中没有考虑电子一电子相互作用，因此无法讨论这种电荷不断积累所带来 的影响，另外我们的模型只是适合于描述整数电荷的隧穿过程，而无法描述分数 电荷的隧穿，这些仍然是我们在未来的工作中需要继续改进的地方。 关键词：有机半导体、z e n e r 隧穿、激子、正负极化子 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t z e n e rf i r s t l yp r e d i c t e dt h ee l e c t r o ni n t e r b a n d st r a n s i t i o ni np e r i o d i cp o t e n t i a lf i e l d t h i st r a n s i t i o nw a sc a l l e dz e n e r t u n n e l i n g z e n e rt u n n e l i n gw a sw i d e l ya p p l i e di nt h e s e m i c o n d u c t o r s c i e n c e ，s u p e r c o n d u c t i n gs c i e n c e ，p h o t o - e l e c t r o n s c i e n c ea n d e l e c t r o n i c s b a s e d0 1 1t h ep r i n c i p l eo fz e n e rt u n n e l i n g ，p e o p l ed e v e l o p e dn e w e l e c t r o n i cd e v i c e sz e n e rd i o d e s ，j o s e p h s o nj u n c t i o n s ，a n da c c e l e r a t e da t o m si np h o t o c r y s t a l s a sac h a r m i n ga n du s e f u lp h y s i c sp h e n o m e n o n , z e n e rt u n n e l i n ga t t r a c t e d p e o p l et os t u d y i tf o rl o n g b u ti ts e e m st h a t ，p e o p l ef o c u s e do nz e n e rt u n n e l i n gi ni n o r g a n i cs e m i c o n d u c t o r s m o r et h a nt h a ti no r g a n i cs e r n i c o n d u c t o r s f e wp e o p l et r i e dt og i v eac l e a rp i c t u r eo f z e n e rt u n n e l i n gi no r g a n i cm a t e r i a l s i no n ed i m e n s i o n a lc o n j u g a t e dp o l y m e r , p e o p l e b e l i e v et h a tt h eg a po r i g i n a t e df r o mp e i e r l si n s t a b i l i t y d i f f e r e n tf r o mi n o r g a n i c s e m i c o n d u c t o r s ，t h e r e i sa s t r o n g e l e c t r o n - l a t t i c ei n t e r a c t i o ni n o r g a n i c s e m i c o n d u c t o r s ，w h i c hm a k e si t se n e r g yb a n d se v o l u t i o nc a u s e db ye x t e r n a ll i n e r e l e c t r i cf i e l dv e r yc o m p l i c a t e d a tt h i sc a s e ，w h a ti st h ep i c t u r eo fz e n e rt u n n e l i n gi n o r g a n i cs e m i c o n d u c t o r 7 w h a ti st h ed i f f e r e n c eb e t w e e ni ti no r g a n i ca n di n o r g a n i c s e m i c o n d u c t o r s ? s t i m u l a t e db yt h e s eq u e s t i o n s ，w eh a dt h em o s tc o m m o nm a t e r i a l p o l y a c e t y l e n ea st h eo b j e c t ，t oc a l c u l a t ei t se l e c t r o ns t a t e se v o l u t i o nc a u s e db yt h e u n i f o r me l e c t r i cf i e l d w ef i n a l l yg o tac l e a rp i c t u r eo fz l 朗肼t u n n e l i n gi no r g a n i c s e m i c o n d u c t o r s ，a n dc o m p a r e di t 丽t 1 1t h ec a s ei ni n o r g a n i cs e n f i c o n d u c t o r s i nc h a p t e ro n e ，w es y s t e m a t i c a l l yi n t r o d u c e dt h er e s e a r c ha b o u tz e n e rt u n n e l i n g i ti n v o l v e dm a n ye x p e r i m e n t sa n da p p l i c a t i o n si nt h ep a s td e c a d e s t h et h e o r e t i c a l r e s e a r c h e sw e r ea l s oi n t r o d u c e dh e r e ，w h i c hc o n t a i n e ds e m i - c l a s s i c a lm e t h o da n d q u a n t u mp e r t u r b a t i o nm e t h o d w eh o p et ou s et h e s em e t h o d st or e s e a r c hz e n e r t u n n e l i n gi no r g a n i cs e m i c o n d u c t o r si nt h ef u t u r e w eh a v ead e e p e rk n o w l e d g et h 她 b e s i d e st h et u n n e l i n go f b a n de l e c t r o n s ，a n yp e r i o d i cs y s t e m s ，s u c ha sp h o t oc r y s t a l ， p h o n o ns y s t e m , s p i ns y s t e mw h i c hh a sah a l d a n eg a p ，i ft h e yw e r ee x p o s e di nal i n e r e x t e r n a lf i e l d ，t h eb a n dq u a s ip a r t i c l e sm a yt r a n s i tt h r o u g ht h eg a pi n t oa n o t h e rb a n d w ec a l lt h e s ep h e n o m e n o nz e n e r t u n n e l i n g s ow ec a ns t u d yz e n e rt u n n e l i n gi ns o m e n e ws y s t e m sa n dt h ec o n c e p to fz c n c r t u n n e l i n gi sb r o a d e n e d i nc h a p t e rt w o ，w eb e g a nt oi n t r o d u c es o m ek n o w l e d g eo fz e n e rt u n n e l i n gi n i i i 山东大学硕士学位论文 o r g a n i cs e m i c o n d u c t o r s ，a n dw ef o u n dt h er e l a t e dr e s e a r c h e sa r ev e r yf e w k a z u m i m a k if i r s t l yp r o p o s e dam o d e lt h a tt h ec r e a t i o no fs o l i t o np a i r sc a u s e db ye l e c t r i cf i e l d p l a y e da ni m p o r t a n tr o l e i nt h et r a n s p o r t p r o p e r t i e s o fc h a r g e d e n s i t y - w a v e c o n d e n s a t e sa tl o wt e m p e r a t u r e s a b k a i s e r s y s t e m a t i c a l l y r e s e a r c h e dt h e c o n d u c t i n gp r o p e r t i e so fc o n j u g a t e dp o l y m e r s a tl o wt e m p e r a t u r e s a l lt h e i r a c h i e v e m e n tg a v em eb e n e f i c i a l i n s p i r a t i o n w ec o u l de a s i l yp r e d i c tt h a t ，t h e e l e c t r o n - l a t t i c e c o u p l i n gp l a y s ac r u c i a l p a r t i nz e n e rt u n n e l i n gi n o r g a n i c s e m i c o n d u c t o r s w eg u e s st h a ta c c o m p a n i e db yz e n e rt u n n e l i n g ，w ec a no b s e r v e l o c a t e de l e c t r o ns t a t e s w ea l s oi n t r o d u c e ds t u d i e sa b o u tz e n e rt u n n e l i n gi nt h es i n g l e w a l lc a r b o nn a n o t u b e s ( s w n t ) a n dg r a p h e m en a n o r i b b o n s ( g n r ) a tl a s to ft h i s c h a p t e r , w ei n t r o d u c e dt h el a t e s tr e s e a r c ha b o u tb l o c ho s c i l l a t i o na n dz e n e rt u n n e l i n g i no n ed i m e n s i o n a lo r g a n i cl a t t i c e i nc h a p t e rt h r e e ，w ea d o p t e dt h es s hm o d e lt od e a lw i t ht h ee l e c t m ns y s t e mo f p o l y a c e t y l e n e , a n dg o tt h ee l e c t r o n - l a t t i c ee q u a t i o nu n d e rs t r o n ge l e c t r i cf i e l d w e c a l c u l a t e dt h er e s u l t ss e l fc o n s i s t e n t u n d e rac e r t a i ne x t e r n a le l e c t r i cf i e l d ，w e c o m p a r e dt h ee n e r g yo fd i f f e r e n to c c u p i e ds t a t e s ，a n dt h eo n e h a st h el o w e s te n e r g yi s t h es t a b l es t a t e t h r o u g ht h i sw a y , w ec a nj u d g ew h e t h e rz e n e rt u n n e l i n go c c u r so r n o t w h i l ez e n e rt u n n e l i n go c c u r r e d ，w ec a l c u l a t e di t sb a n ds t r u c t u r e ，e l e c t r o nd e n s i t y a n dt h el a t t i c ec o n f i g u r a t i o n w h e nt h es t r e n g t ho fe l e c t r i cf i e l dr e a c h e sac r i t i c a l p o i n t , c h a r g ep o l a r i z a t i o na n dl a t t i c ed i s t o r t i o nc a nb eo b s e r v e ds u d d e n l y w ea l s o c a l c u l a t e dt h ez e n e rt u n n e l i n gi nr i g i dl a t t i c e ，a n dc o m p a r e dt h et w oz c n e rt a n n e l i n g s t h el o c a ls t a t ei no r g a n i cs e m i c o n d u c t o r sc o u l ds u p p o r tz o n e rt u n n e l i n g g oo n s t r e n g t h e n i n gt h ee l e c t r i cf i e l d , m o r ee l e c t r o n st u n n e l e d t h ee f f e c to fe l e c t r o n - l a t t i c e c o u p l i n gc o n s t a n ti sa l s oc a l c u l a t e d w ed i dn o tt a k et h ee l e c t r o n - e l e c t r o nc o u p l i n g i n t oc o u n t ，s ow ed i dn o tk n o wt h ee f f e c to ft h ec o l l e c t i o no fs p a c ec h a r g e so nt h et w o e n d so fc h a i n s o u rm o d e lc o u l dn o td e a lw i t ht h ec a s et h a tf r a c t i o nn u m b e ro f e l e c t r o nt u n n e l i n ge i t h e r a l lt h e s ed e f e c t sn e e du st oi m p r o v eo u rm o d e la g a i na n d a g a i n k e yw o r d s ：o r g a n i cs e m i c o n d u c t o r s ，z e n e rt u n n e l i n g , e x c i t o n , p o s i t i v e n e g a t i v e p o l a r o n i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：毯逡五 日期： 型! z 垒f 星咎旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：丞蕉蕉导师签名：堕覃兰垒日期：型! 缍三日姿旦 山东大学硕士学位论文 第一章z e n e r 隧穿简述 自从z e n e r 提出了介电击穿的物理图像后。关于均匀周期性格点中的电子在强电场环 境下的动力学研究激发了人们很大的兴趣几十年来，有关的理论与实验工作层出不穷特 别是当人们能够成功合成超品格后。关于z e n e r 隧穿的研究掀起了新的高潮。伴随着相关研 究的发展，利用z e n e r 隧穿实现新的应用的例子也不断出现。本章将首先简要介绍在传统的 非有机机材料中( 包括隧穿二极管，a s g a 合成的超晶格等) 有关z e n e r 隧穿的相关研究成 果同时我们拓展了z e l l e r 隧穿的物理外延，介绍了在光晶格等系统中的z 隧穿概念 在第二节中我们简要介绍了在处理具有周期性结构电子系统时人们常用的理论方法，这些方 法可以在我们今后的工作中灵活运用到相关的理论工作中 1 1 形形色色的z e n e r 隧穿 1 1 1z e n e rd i o d e s z e n e rd i o d e s 是一种利用z e n e r 隧穿原理制成的二极管，也被称作稳压 二极管。 1 - s j l 9 7 6 年7 月，l e o e s a k i 首次报道发现了隧穿二极管【1 1 ，是一种 直到临界反向击穿电压前都具有很高电阻的半导体器件在这临界击穿点上， 反向电阻降低到一个很少的数值，在这个低阻区中电流增加而电压则保持恒 定。 图1 1 ：z e n e rd i o d e s 原理示意图 吏 乏 山东大学硕士学位论文 图1 2 ：z e n e rd i o d e s 在不同温度下的伏安特性 1 1 2j o s e p h s o nj u n c t i o n s 在超导领域中，j o s e p h s o nj u n c t i o n 是一种得到广泛应用于研究的隧道 结，利用z e n e r 隧穿的原理以及超导材料的含有能隙的特性，人们设计出了 由超导金属层内夹很薄的绝缘层而构成的新隧道结，即j o s e p h s o n j u n c t i o n s 6 0 们。19 8 7 年，k m u l l e n 和e b e n j a c o b 研究了z e n e r 隧穿在 j o s e p h s o nj u n c t i o n s 中的影响【9 1 。他们在b c s 理论框架下，研究了超小型 j o s e p h s o nj u n c t i o n s 结中，在有对电子发生z e n e r 隧穿发生情况下( 即有少量 波包在由较低能带“漏”到较高能带的情况) 的j o s e p h s o nj u n c t i o n s 的性能。根 据超导带隙与c h a r g i n ge n e r g y 之间的比值关系不同，可以观察到对电子的隧 穿与振荡两种不同的运动状态。a i z m a l k o ve ta l 于2 0 0 4 年实验上观测到了 超导隧道结中肉眼可辨的l a n d a u z e n e r 隧穿现象【i o 】。 1 1 3s u p p e rl a t t i c e u 一一 自从z e n e r 隧穿的概念提出以来，人们试图从实验上观测z e n e r 隧穿现象。 但是实际情况中因为材料本身的性质，人们很难观测到有关z e n e r 隧穿的相关现 象。直到超晶格材料有效合成后，人们在超晶格材料中真正观测到z e n e r 隧穿的 现象【1 1 小】。因为超晶格所具有的特殊的复式周期结构，使得电子能带被分离成 2 山东大学硕士学位论文 很多细小的微带。而在这些微带内，当存在外加强电场情况下，电子在b l o c h 振 荡过程中更容易被加速到带的边缘，使得振荡电子更加容易“漏”到更高能带中。 同时，超晶格在外加电场作用下，其电子能级在坐标空间会形成劈裂，形成一种 类似阶梯状的能带结构，也就是所谓的w a n n i e r - s t a r kl a d d e r s 1 5 ，1 6 1 。 图1 3 超晶格中双微带结构电子在外加电场情况下的运动情形 1 1 4 光子晶体中的z e n e r 隧穿 1 9 9 1 年，y a b l o n o v i c h 制作了第一块光子晶体【明。光子晶体是一种新型的光 学材料，在光学尺度上具有周期性结构，具有独特的光子带隙特性，能有效地控 制光子的传输状态。电磁波在光子晶体中传播，由于布拉格反射而受到调制，电 磁波能量形成能带结构，频率处于带隙内的光子不能进入光子晶体f 1 8 之0 1 。 m h c rg h u l i n y a ne ta l 在光学超晶格中观察到光波的z e n e r 隧穿。他设计的结 构有两条光学微带和一个能隙，并通过调节材料折射率的梯度模拟出一个光学 s t a r kl a d d e r s 2 q 。 2 0 0 6 年德国科学家h e n r i k et r o m p e t e r 与他的合作者首次在实验上直接观察 到z e n e r 隧穿的现象【2 2 1 。在一个被特定光线照射的光波导阵列中，直接观察该结 构中的光线的传播，检测到了波导中光子能带之间的光子z e n e r 隧穿现象。 3 竺薹奎兰至圭耋堡堡圣 囝1 4r a ) h e n r i k e 在实验中使用的有机光渡导阵列结构示意圈 ( ”光波导阵列结构光子能带示意图 1 1 5 隧穿场效应管 根据z 锄e r 隧穿的原理，人们也制造出隧穿场效应管。通过门电压调节器什 的能带结构与隧穿势帛高度与长度，从而可以控制电子的z e n e r 隧穿所形成隧穿 电流。】 圈15 隧穿场效应管器件示意图以及隧穿原理示意圈 1 1 6 本节小节 一般的，在周期性晶格巾，电子由于外加匀强电场的原因，致使电子发生了 鐾彗 山东大学硕士学位论文 能带间转移的现象，我们称之为z e n e r 隧穿。实际上，在所有的周期性势场结构 中，当存在一维外界势场情况下，都有可以发生粒子的带间隧穿情况。我们可以 把这些隧穿都称作z e n e r 隧穿。它可以出现在电介质被击穿的情况下，或者是 z e n e rd i o d e s 中，也可以是超冷原子在被加速的光晶格系统中，也可以是在 j o s e p h s o nj u n c t i o n s 中的对电子带间转移，也可以出现在超晶格系统或者有机聚 合物中形成一种隧穿导电机制，还可以是声子在声子所形成的能带中的带间隧穿 甚至是磁量子在含有自旋g a p 的磁系统【2 4 - 2 6 】中的带间隧穿等等。所有的这些都使 得z e l l e r 隧穿经过几十年的发展，依旧使人们对它的研究兴趣不减。 1 2 非有机z e n e r 隧穿的理论研究方法介绍 z e n e r 隧穿最早是由z e n e r 于1 9 3 4 年在理论上首先预测的【2 7 1 。他用半经典 的方法描述了半导体的介电击穿理论。随着z e l l e l - 隧穿的研究的不断深入，半经 典方法掩盖了较多的量子现象。人们又发展了量子微扰方法对z e n e r 隧穿进行研 究，并得到了许多新的图像，尤其是在超晶格系统中量子微扰方法得到了很好的 应用。本节介绍了目前为止在研究z , e n e r 隧穿时常用的理论方法。 1 2 1 半经典方法 在1 9 3 4 年，z e n e l 计算了在外加电场情况下的b l o c h 电子的带间隧穿几率， 第一次提出了强电场情况下的介电击穿现象 2 7 1 。z o n e r 使用了一种半经典的方法 来描述这种现象。他认为在匀强电场情况下，实空间的各个能带( 电子占据能带 与空能带) 均会一致的发生沿电场反方向发生倾斜。因此能带和能带之间有可能 发生电子转移。如图1 6 中，b ，c 两点在实空间上被分离开一个很小的距离，但 是电子在两处的能量相等。电子有可能由被占据的价带能级通过隧穿中间的势垒 部分转移到未被占据的空带中。 5 山东大学硕士学位论文 图1 6z e l 他r 指出的强电场情况下能带结构，虚线部分代表g a p 在周期性势场中，b l o e h 能带电子的波函数可以写成 ) = 萨o ) ( 1 1 ) 在能带内，为了使波函数是有限的数值，k 必须是实数，第一条能带内 一三k ! 。 2 2 在有匀强电场存在情况下，实空间电子波函数( 波包) 可以以无电场情况下 的b l o c h 函数展开。z e n e r 首先计算了以无电场下最低能带b l o c h 态展开的情况， 这样就屏蔽了电子向更高能带跃迁的可能。 | 2 o ，f ) = ig ( 七，f 肌( x ) d k ( 1 2 ) 一；，口 他推导出关于g 的方程， 扣| 2 - 一竿瓤1 2 ( 1 3 ) 积分后 i g | 2 ：g ( k 一_ 2 r e e _ ff ) ( 1 4 ) g 是积分时产生的常数，i g1 2 是时间空间的周期函数， 周期是( 2 刀 a ) ( 2 r e e f h ) = h e f a 因此可以得到电子在实空间内的速度为 昙p 彤d r = 9 1 2 d k ( 1 5 ) 咋是k 态电子的速度。上式表明，电子在坐标空间中的速度也是一个周期 6 山东大学硕士掌位论文 函数。电子因为电场作用被加速，然后被晶格反射，速度在电场的作用下减小到 零。然后继续被加速，这就是我们熟知的b l o c h 振荡的理论解释。 z e n e r 计算了单位时间内电子由最低能带向更能带转移的几率。当将甲o ，f ) 看作一个波包时，每次波包被格点反射时，都会有部分波包衍射到另区域。p 表示每次反射电子逃逸到更高能带的几率，y 表示单位时间内电子可以逃逸到更 高能带的几率， y = v p( 1 6 ) z e n e r 接下来推导出p 的形式。 描述匀强电场下周期性晶格电子系统的定态薛定谔方程： 彘导川小( e e f x ) i u ( 酬= 。 ( 1 7 ) f 是系统所处的匀强电场，v ( x ) 是一个周期性势场。在晶格准连续近似下， 可以马上得到该方程的一个解 y ( e ，功= e i 胎u ( 曲( 1 8 ) k 是( e - e f x ) 的函数。在给定e 的情况下，k 有可能会是复数，并且波 函数| | f ，( e ，x ) 是指数形式变化。如图l 中的禁带区域b c 。而在该区域两边波函数 等于无电场项的能带b l o c h 波函数。计算b ，c 间的转移几率p p = j 少( ) y ( 毛) 1 2 ( 1 9 ) 将k 写成复数形势， k = f ( 石) + i t ( x ) c f 口( z ) 由 因此，i 杪( t ) 沙( 毛) l = p ； 。 ( 1 1 0 ) 在能带禁区的b l o c h 波矢是个复数形式。而虚部正好就是决定隧穿几率大小 的关键量。通过在复平面的积分，可以计算出隧穿几率的公式： p 2 e x p 高肛】 ( 1 1 1 ) 当时的隧穿算穿几率定义为在一个b l o c h 周期后，该能带电子减少的数目 7 山东大学硕士学位论文 与b l o c h 周期开始时刻该能带内电子数目的比值。按照上述积分方法计算后得到 的隧穿几率为夕除以b l o c h 震荡周期弘老高。因为第一条能带与第二条能 带问的相互作用远强于它和其他能带间的相互作用，所以从第一条能带向第二条 能带的跃迁占主要部分。z , e t i a 在近自由电子近似情况下计算了上述积分得到了 穿过第一个g a p 的跃迁几率 7 ：掣e 卅吾等， 7 2 亨e x p ( 一万产) 其中= 易( ) 一巨( ) 是第一个g a p 的大小 巨( | j ) 一巨( 忌) = + 垒二兰三立蔓+ ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 隧穿几率化为含有效质量m 的形式 7 = 掣e 醑案， 强 这就是z e n e r 最早得出的带间隧穿几率公式。f r a n z 在没有使用近自由电子 假设的情况下也得到了这个公式【2 8 1 。在任何两个相互交叉的能带中这个公式都 看作是可以成立的，它是一种半经典情况下的普适的公式。由此，z e n e r 利用这 种半经典的方式首次给出了周期性晶格中电场引发节电击穿的完整的物理图像。 1 2 2 量子微扰方法 s g l u t s c h 利用k a l l ef u n c t i o n z 9 3 1 】为基函数，发展了利用量子微扰方法研究 无机半导体中的z e l l e r 隧穿的理论 3 2 】。一个质量为m ，电荷为吒的电子在一维周 期性晶格势场中运动，u t z ) = u ( z + a ) ，当存在外电场f 情况下，单电子的 h a m i l t o n i a n 可以写为 日：一旦芸+ u ( 力+ 如2md z 2 、7 ( 1 1 5 ) 1 9 4 0 ，h o u s t o n 推导出了该问题的一个含时薛定谔方程的近似解，他的波函 数用随时间变化的波矢确定的b 1 0 c h 波函数【3 3 1 。因为在七空间中，七所具有望的 口 山东大学硕士学位论文 周期，能带中的电子会形成一个以r ：丢凳为周期的振荡，这就是b l o c h 振荡。 i e l a l 在1 9 5 0 年到1 9 6 0 年间，在晶格、动量空间中，有大量关于h a m i l t o n i a n ( 1 5 ) 的近 似解求法的工作 3 1 - 3 9 】。这期间，k a n ef u n c t i o n 给出了电子空间能量本征值的梯子 形状的解，日j = 弓。o + e f a l ，也就是所谓的w a n n i e r - s t a r kl a d d e r s 。人们用k a n e f u n c t i o n 和h o u s t o nf u n c t i o n 为基函数，分别使用量子微扰理论计算了h a m i l t o n i a n 的解，得出的结果几乎一样。在超晶格系统内与加速光晶格中原子的大量实验中， 人们发现用早期的半经典理论得出的结果与实验严重不符。实验中数据中显示出 的共振无法用传统的半经典方法描述。这种共振z e n e r 隧穿与w a n n i e r - s t a r k l a d d e r s 之间的相互作用紧密联系而量子微扰方法则可以很好的揭示这种共振 z e n e r 隧穿现象【3 2 1 。下面简单介绍这两种方法在研究强电场下系统中z e n e r 隧穿 的使用。 下面先简要介绍b l o e h ，k a n e , a n dh o u s t o nf u n c t i o n s 的形式与它们之间的关系。 当f = 0 时，h a m i l t o n i a n ( 1 ) 的本征波函数可以写成b l o c h 波函数： 1 t ( z ) 2 了云赶巧，t q ) ( l 1 6 ) ”肛( z ) = u j k ( z + 口) _ ，是能带指标，后( 至，+ 刍是b l o c h 波矢，且u 妒u ( - z ) 口口 b l o e h 函数满足关系式， = f 嘲j ( z ) 纺：。( z ) = 啊万( 七一k ) ( 1 1 7 ) b l o c h 函数在求解w a t m i e r - s t a r kh a m i l t o n i a n 方程时可以用作基函数。 北) = x ，髓d k 一( 慨( z ) ( 1 1 8 ) 为了计算在各b l o c h 函数上的投影函数纺( 后) ，可以使用以外加电场项e f z 为微 扰的矩阵元。 ! 娥以) e f z v = j 噶，丢受 “) + 捌( h 。) 乞舡) ( 1 1 9 ) 9 山东大学硕士学位论文 舯删= 三p 如，掣吃 n 2 。， k o n h 详细讨论了z ( j | ) 的取值m 1 ，在此不再赘述。如果是单带情况下，可以取 兵值为0 ，表不电场引起的扰动小会形成任伺帝问电荷转移。 经过上述变化后，本征方程可以写为以下形式： 【弓( 后) + i e f d 徼 石，( 尼) + 扩；乙( 七) 万( 足) = e 万( 七) ( 1 2 1 ) 边界条件为万( 七) = 瓦( 七+ 堡)。 口 在忽略带间相互作用时，可以求得其本征能量与本征波函数 岛= 等p 丽+ 砒， ( 1 2 2 ) 万( 七) = e x p 嘉，0 出 岛一亏。) 】) ( 1 2 3 ) 其中，亏( 尼) = 弓( 忌) + 才乃( 尼) ( 1 2 4 ) 最后得到的电子波函数为 ( z ) = 丢! 出万( 七沙弦( z ) ( 1 2 5 ) o ) 即k a n ef u n c t i o n 的一般形势。他具有正交性 - 6 6 b l o e hf u n c t i o n 可以用k a n ef u n c t i o n 展开如下 c 加军 即l 嘞c 垆丢军历，c 毛概c z ， n 2 6 ， 不考虑带间隧穿时，即乙u ) 忽略时，含时m e 胁c t i o n 形式如下 ( z ，f ) = p 夥肭( z ) ( 1 2 7 ) 所以，含时b l o c hf u n c t i o n s 形式如下： 沙坞( z ，f ) = e x p 去出可七( f ) 】) 吵帅) o ) ( 1 2 8 ) 1 0 山东大学硕士学位论文 并且庀( f ) = k o - e f t h 这个形式与h o u s t o nf u n c t i o n s 的形式一样，这就是k a n ef u n c t i o n s 与 h o u s t o nf u n c t i o n s 之间的关系。 然后是怎样利用k a n ef u n c t i o n 为基函数，使用含时量子微扰理论计算隧穿 几率。一般第一条能带内的电子经过扰动后会有一定几率转移到更高的能带中。 这里一般假设，一条能带内的电子只会转移到相邻的高能带，即第二条能带中， 向更高能带内的转移因为几率很小而可以忽略不计。 在k a n ef u n c t i o n s