（计算数学专业论文）多重非线性抛物方程（组）的整体解、非整体解及临界指标问题.pdf

摘要 本论文主要讨论多重非线性抛物方程( 组) 解的整体存在和不存在性、临界 指标，以及相关的关于奇性解的渐近性分析，例如b l o w u p 速率估计、q u e n c h i n g 速率估计等问题所讨论的模型可能同时包含非线性扩散、非线性对流、非线性 反应和非线性边界流等多重非线性这些问题的临界指标以及奇性解的渐近性 质，是由多重非线性之间的相互作用所决定的我们将通过多种方法研究每个模 型中多重非线性机制相互作用的规律我们特别对多个典型问题引进包含所有这 些非线性指标的特征代数方程组，以简洁而本质地刻画所有非线性指标之间的这 种相互作用，并讨论临界指标与爆破速率等解的性质之间的本质联系 本文取得的主要结果可概括如下： 1 在第二章，我们首先研究单个方程问题( i ) ( “”) t _ a u + u ，嘉= u m ，u ( 。，0 ) = u 0 ( z ) ，得到解整体存在和有限时间爆破的充要条件，并且给出爆破速率估计 进而考虑一般形式的单个方程( 】i ) 啦= 圣) + ， u ) 且附加n e u m a n n 边 界条件甓= 9 ( u ) 的初边值问题，得到辑整体存在和有限时刻爆破的充分条 件 2 在第三章我们研究通过反应项和边界流项双重耦合的拟线性抛物方程组( i i i ) ( u “) t = a u + u m u m ( 扩) = z x v + u q l v 岛且附加n e u m a n n 边界条件是= 。? m ， 舞= u v , a 2 的初边值问题对于0 m n 1 的情形，得到方程组解整体 存在和有限时刻爆破的充要条件；而当m ，n l 时或者当0 m 1 ，n 1 时，得到解整体存在和有限时刻爆破的充分条件 3 第四章是这本论文的主要部分我们对于几个典型多重非线性抛物方程组引 入特征代数方程组概念，用以统一面简洁地刻划这些非线性抛物方程组的临 界指标等关键特征我们所讨论的典型多重非线性抛物方程组问题包括： ( i v ) 多重非线性方程组“t = ( u m ) 。地= ( 矿) 。附加n e u m a n n 边界条件 一( ”) z ( 0 t j = u o ( o ，t ) v ”( 0 t ) ，一( o n ) 。( o ，t ) = 印( o ，t ) u 8 ( 0 ) 的初边值问题； ( v ) 带有吸收项的半线性方程组t 严u n l “、仇= p n 2 a 函附加n e u m a n n 边界条件舞= u m 矿舞= l t q v b 2 的初边值问题； ( v i ) 带吸收项的拟线性方程组u t = e 一o 】e o w 蛐= 矿”一u 2 e 即附加 n e u m a n n 边界条件舞= e p ”。”，舞= e q u + b 2 v 的初边值问题； ( v i i ) 非线性扩散方程组u t - a u “1 + u p l m ，仇= 口m 2 + “p 2 u 口2 附加d i r i c h l e t 边值的初边值问题 4 在第五章我们研究有限时刻q u e n c h i n g 问题： ( v i i i ) 方程u t = v ( n ( u ) v u ) 附加n e u m a n n 边界条件舞= 9 ( u ) 的初边值问 题，求出u 的q u e n c h i n g 速率等渐近性质 ( i x ) 通过负边界流“。( o ，t ) = ( o ，t ) = 0 ，“。( 1 ，t ) = 一 一( 1 ，t ) ，( 1 ，t ) ： 一u - - q ( 1 ，t ) 耦合的热传导方程组的初边值问题，得到u ，”同时或不同时q u e n c h i n g 的条件，以及q u e n c h i n g 速率的估计 关键词：非线性抛物方程( 组) ，多重非线性，非线性边界流，非线性扩散，非线性 反应，非线性吸收，整体存在，爆破，临界指标，渐近行为，爆破速率，q u e n c h i n g ， q u e n c h i n g 速率， a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hm u l t i n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) w ea r e i n t e r e s t e di nt h eg l o b a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c e a sw e l la st h ec r i t i c a le x p o n e n t s o fs o l u t ! o n s w ea l s og i v et h ea s y m p t o t i ca n a l y s i ss u c ha sb l o w - u po rq u e n c h i n gr a t e e s t i m a t e sf o rn o n - g l o b a ls o l u t i o n s i ti so b s e r v e dt h a tt h e r em a yb em u l t i - n o n l i n e a r i t i e s s u c h n o n l i n e a rd i f f u s i o n ，n o n l i n e a rc o n v e c t i o n ，n o n l i 2 2 e a rr e a c t i o n ( o ra b s o r p t i o n ) a n dn o n l i n e a rb o u n d a r yf l u xi n c o m p l i c a t e dp a r a b o l i cs y s t e m s w ew i l li n t r o d u c e s o m el i n e a ra l g e b r a i cs y s t e m sc o n t a i n i n ga l lt h en o n l i n e a re x p o n e n t si nt h es y s t e m st o d e s c r i b et h ei n t e r a c t i o n sa m o n ga l lt h en o n l i n e a r i t i e sw ef i n dt h a tt h e r ee x i s te s s e n t i a l r e l a t i o n s h i p sa m o n g t h ec r i t i c a le x p o n e n t s p 0 ，p ca n dt h eb l o w u pr a t e so fs o l u t i o n s i t i sf o u n dt h a tp 0 = p ch o l d sf o ri n i t i a l - b o u n d a r y b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hb o u n d e d d o r a a l n s t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 i nc h a p t e r2 w ef i r s ts t u d ys i n g l ee q u a t i o np r o b l e m ( i ) ( 伊) 产m + ，鬻= u “，u ( z ，0 ) = u 0 ( z ) w eg e tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a a 7c o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a l e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c e ，a n dg i v et h eb l o w - u pr a t ee s t i m a t et ot h es o l u t i o 瑚 f o rt h em o r e g e n e r a ls i n g l ee q u a t i o no ft h ef o r m ( i i ) 毗= ( 圣( 杠) ) + ，( u ) w i t h n e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n 舞= g ( u ) a n d p o s i t i v ei n i t i a lv a l u e ，w ee s t a b l i s h s u m c i e n tc o n d t i o n sf o rt h eg l o b a le x i s t e n c eo rn o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s 2 i nc h a p t e r3 ，w ew i l ld e a lw i t has y s t e mo fq u a s i h n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t h m u l t i - c o u p l e dn o n l i n e a r i t i e s ( i i i ) ( u m ) t ：u + u 0 1 妒t ，( 俨) = ”十u 瓤”风w i t h b o u n d a r yf l u x 嚣= 岫印船，崭= “q 2 ”如a n di n i t i a ld a t au ( z 0 ) = ( 。) ，钉( z ，0 ) = 询扛) w eo b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a le x j s t e n c e a n dn o n e x i s t e n c ef o rt h ec a s e0 m n 1 a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e c a s em ，n 1a n dt h ee a s eo f0 m 1 3 c h a p t e r4i st h em a i np a r to ft h i st h e s i s w ei n t r o d u c et h es oc a l l e dc h a r a c t e r i s t i c a l g e b r a i cs y s t e m st od e s c r i b et h ec r i t i c a le x p o n e n t sf o r p a r a b o l i cs y s t e m sw i t h m u l t i - n o n l i n e a r i t i e s w ec a ng e ts i m p l ed e s c r i p t i o n sf o rt h eb l o w u pc r i t e r i aa n d a s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h eb l o w i n gu ps o l u t i o n sb yu s i n gt h ec r i t i c a le x p o n e n t s t h e t y p i c a lp r o b l e m sc o n s i d e r e dh e r ea r ea sf o l l o w s ： ( i v ) 毗= ( u ”) ”，v t = ( v n ) 。zw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s 一( u “) z ( o ，t ) = u o ( o ，t ) 9 ( o t ) ，一( w 7 “2 ) 。( o t ) = u q ( o 、t ) ( 0 t ) a n di n i t i a ld a t a “( z 0 ) = “o ( z ) ， v ( x ，0 ) = u o ( # ) ； ( v ) u 产a u g 1 u ，v t = 一a 2 v 岛w i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s 舞= u 。2 们p ，蓦= u 口 卢2 a n di n i t i a ld a t a “( z o ) = u o ( 。) ，”( z ，o ) = o ( z ) ； ( v i ) u t = a e ”一a l e 。1 ”，仇= a e “”一a 2 e p l ”w i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s 磊= e p ”+ 8 2 。舞= e g “+ 岛。a n di n i t i a ld a t a 钍( z ，o ) = 札o ( 。) ，v ( x ，o ) = o ( z ) ； ( v i i ) 毗= “m 1 + 扩1 m ，吨= u m 2 + u p 2 q 2w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s a n di n i t i a ld a t au ( x 0 ) = “o ( ) ，u ( z ，0 ) = v o ( x ) 4 i nc h a p t e r5 w es t u d yq u e n c h i n gp r o b l e m s ： ( v i i i ) 啦= v ( a ( u ) v u ) w i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n 舞= g ( “) a n di n i t i a l v a l u e w eg e tt h eq u e n c h i n gr a t ea n da s y m p t o t i cp r o p e r t yo f “ ( i x ) h e a ts y s t e mc o u p l e d v i a n e g a t i v e b o u n d a r y f l u x “。( 1 ，t ) = 一 一p ( 1 ，t ) ，u ( 1 ，t ) = 一乜一q ( 1 ，t ) a n d u t ( 0 ，t ) = ( 0 ，t ) = 0 w ee s t a b l i s hs i m u l t a n e o u s o r n o n - s i m u l t a n e o u s q u e n c h i n gc o n d i t i o n s ，a n dq u e n c h i n gr a t ee s t i m a t e sf o rua n d k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) ，m u l t i - n o n l i n e a r i t i e s ，n o n 1 i n e a rb o u n d a r yf l u x ，n o n l i n e a rd i f f u s i o n ，n o n l i n e a rr e a c t i o n ，n o n l i n e a ra b s o r p t i o n ， g l o b a le x i s t e n c e ，b l o w - u p ，c r i t i c a le x p o n e n t s ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，b l o w - u pr a t e ， q u e n c h i n g ，q u e n c h i n gr a t e 1 绪论 这一章我们首先介绍本文所研究问题的实际背景、目前的发展现状以 及本文的主要内容而后简单叙述本文所凭借的主要理论工具一最大值原 理和比较法则 1 1 引言 一、问题的实际背景及发展现状 非线性科学是当代科学重要而活跃的研究领域我们知道，只要是涉及自然 界中的任何质变现象的讨论，或者需要在大范围( 空间或时间) 考虑问题时，就 往往要与非线性模型，特别是非线性偏微分方程( 组) 打交道；正是为了解决复 杂的非线性问题，各种现代数学工具各显其能然而，人们发现，对非线性问题 的研究不存在一劳永逸的统一工具和方法；非线性问题的极端复杂性，直接反映 了自然现象的极端复杂性以下是非线性发展方程的两个典型实例：( 1 ) 对非 线性双曲方程( 组) 来说，非线性可使其解在有限时间产生间断，不管初值如何 光滑为容纳此种奇性( 强间断) ，必须引进这样的弱解：把广义导数看成测度 函数类扩大后，又将破坏解的唯一性；于是需要附加熵条件，以筛选出唯一的物 理解( 2 ) 对非线性抛物方程组来说，非线性可以来宜反应项、对流项、扩散项 ( 高阶项) 、边界项( 非线性丑u x ) ，以及经由它们所形成的各种不同的耦合关系 所有这些各不相同的非线性都有可能导致解的奇性的产生：解在有限时刻内的 b l o w u p 、e x t i n c t i o n 、q u e n c h i n g ( 导数b l o w u p ) 等，分别对应于( 固体燃料) 爆 炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等现象上述四种非线性间的相互作用。加之各分 量之间的非线性耦合作用( 竞争、互惠、交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的 规律性极其复杂( 通常还和空间维数及区域的几何性质有关系) 本论文的目的， 就是研究当抛物系统中具有两种以上非线性时，多重非线性机制之间相互作用对 解的奇性的影响例如：通过非线性反应项和边界流项双重耦合的非线性扩散抛 物组，一般至少要引进1 0 个刻划非线性的参数此时的f u j i t a 临界指标，以及 查垄垄三盔兰堇主兰堡堡茎：查重! ! 垡矍垫塑查堡墨鳖壁堡堡：韭墅签堑墨堕墨堂堡囹墨 对b l o w u p 条件，b l o w - u p 速率估计，b l o w - u p 集等的刻画，都需要包含所有这 些非线性参数，因而极其复杂为此，需要多种数学技巧的结合，需要现代分析 与古典分析工具的结合，甚至还需要相当的物理洞察力特别是由于方程组的退 化性所带来的本质困难，迫使必须引进新概念、新思想和新工具，才有可能取得 新的突破 以非线性扩散方程u 。= b u ”士u p 为例，“代表扩散项，雨q - u p 代表反 应项( 负号表示吸收项) ，当m = 1 时是热传导方程，而0 m 1 时代表快扩散方程可以考虑初值问题，也可以考虑附加 d i r i c h l e t 型边值，n e u m a n n 型边值等的初一边值问题，特别地，非线性n e u m a n n 边值( 例如鬻= 士) 所表示的是向内或向外的非线性边界流 关于方程组问题的讨论正日益受到人们的关注方程组中的多个未知函数可 以通过各种方式耦合：可以通过高阶项耦合( 形成交叉扩散问题) ，也可以通过低 阶项或非线性边界流项耦合甚至在一个方程组中还可以同时具有两种以上的耦 合关系本文所讨论的方程组主要是通过低阶项( 反应顼或吸收项) 或( 和) 非线 性边界流项耦合的情形 自1 9 6 6 年f u j i t a 对半线性抛物方程( 1 ) 毗s u + 妒的研究取得关于临界 指标的开创性成果以来，包括a 1 3 r i e d m a n ，h l e v i n e ，f w e i s s l e r ，y g i g a ，v a g a l a k t i o n o v 在内的一批著名数学家进入这一研究领域方程( 1 ) 的f u j i t a 临界指 数标为p 。= l + 2 ( n 为空间维数) 和p o = l ：当p p o 时初值问题的解整体存 在；p o 1 ) 在文献【6 1 中，l 6 p e s g o m e z 等考虑 了m = a u 且附加n e u m a n n 条件舞= 9 ( “) 的初边值问题，他们得到解整体存在 和有限时刻爆破的充要条件在文献f 4 4 中，h u 和y i n 研究了饥= “且附加 n e u m a n n 条件寨= 矿的初边值问题的爆破速率估计，爆破速率为口一t ) 一币砩 ( p 1 ) 在文献 6 8j 中，r o d r i g u e z b e r n a l 和t a j d i n e 研究了具有吸收项的半线性 方程u 产u 一，( “) 附加n e u m a n n 边界条件舞；9 ( u ) 的初边值问题，他们得到 2 第1 章绪论 解整体存在和有限时刻爆破的条件 在文献【9 2 】，【9 3 】，【9 4 】中，郑斯宁研究了u t = “+ u n 伊，饥= + u 口。庐且 具有d i r i c h l e t 条件u = u = 0 的初边值问题，得到解整体存在、整体有界和有限 对刻爆破的条件，并在一定的假设条件下得到“，”的爆破速率分别为( t 一) - 。， ( t t ) _ ，这里? 是爆破时间，而。，卢是以下线性矩阵方程组的解 ( p i1 。g 二。) ( ；) = ( j ) 王明新在文献【7 8 】改进了上述问题中关于爆破速率的研究，去掉了【9 2 中的某些 条件也得到同样的爆破速率结果 对m = a u ，毗= a v 附加n e u m a n n 边界条件舞= u q l v p l ，是= u p 2 的初 边值问题，d e n g 在文献( 2 3 】中对q l = p 2 = o 的情形做了研究，得到解整体存在 和有限时刻爆破的充要条件，后来王明新在文献【7 9 中得到解的爆破速率估计， “， 的爆破速率分别为( t t ) 一 ，( t t ) 一，这里a ，p 如上 对于拟线性方程( u ”) 产。，k t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) 附加边界条件u 。( o ，t ) = 0 ， u 。( 1 ，t ) = o ( 1 ，t ) 的初边值问题，f i l o 在文献【3 5 中做了研究，得到解整体存 在和有限时刻爆破的充要条件，并且在更强的条件下得到爆破速率估计后来， d e n g 和x u 在文献 2 6 中将 3 5 】文中留下的问题都得到解决王明新等在文献 【7 6 中研究了u t = a u “，饥= a v “( m ，n 1 ) 附加n e u m a n n 边界条件舞= 铲扩， 嘉= u q v b 的初边值问题，得到解整体存在和有限时刻爆破的充要条件，又在文 献【8 3 l 中研究了( u 8 ) t = a u ，( v n ) t = 口( m ，n 1 或m 1 ，0 r 1 ) 附加 n e u m a n n 边界条件爱= u o 矿，赛= “。伊的初边值问题，对于球形区域得到解整 体存在和有限时刻爆破的充要条件，但对一般区域只得到充分条件 纵观前面这些工作，我们发觉时至今日有关研究工作尚存在一些局限性，例 如：( i ) 对同时包含非线性扩散、非线性对流、非线性反应和非线性边界流等多 重非线性的复杂抛物方程( 组) 考虑较少( i i ) 对带吸收项的方程组情形涉及较 少所以我们对同时包含非线性扩散、非线性对流、非线性反应和非线性边界流 等多重非线性的复杂抛物方程( 组) 加以考虑，考虑这些非线性项对解的性态的 影响，讨论线性抛物方程( 组) 中多重非线性机制之间的相互作用，研究解的奇 性产生和发展的规律，解决诸如解的整体存在和不存在性、临界指标、奇性解的 渐近性分析( 例如b l o w u p 速率估计以及q u e n c h i n g 速率估计) 等因为这些问题 同时包含非线性扩散、非线性对流、非线性反应和非线性边界流等多重非线性， 从而这些问题的临界指标以及奇性编的渐近性质，是由多重非线性之间的相互作 用所决定的我们希望能够刻画所有这些非线性指标之闯的相互作用，揭示临界 3 大连理工大学博士学位论文：多重非线性抛物方程组的整体解、非整体解及临界指标问题 指标p o ，p 。与爆破速率和它们之间所存在的明确的对应关系 1 2 本文内容介绍 在第一章，我们对所研究问题的理论基础及所凭借的工具一最大值原理和比 较法则不加证明地作了介绍，并且给出了便于在以后的章节可以直接运用的关于 比较定理的几种具体形式 在第二章中，我们首先研究具有多重非线性关系的单个方程问题( i ) ( u ”) e = “+ “，嘉= m ，u ( 。，o ) = 如( 。) ，得到解整体存在和有限时爆破的充要条件， 并且给出了爆破速率估计，然后进一步推广到更一般形式的单个方程( i i ) 锄= ( 圣( “) ) + ，( u ) 的附加n e u m a n n 边界条件磊o u = g ( u ) 的初边值问题，得到解整体 存在和有限时刻爆破的充分条件 在第三章我们研究通过非线性反应项和边界流项双重耦合的拟线性抛物方 程组( i i i ) ( “m ) c = u + 俨t u p l ，( ”“) t = u + u q l 护- 且附加n e u m a n n 边界条件 蒙= u a ：”m 舞= u 。”如的初边值问题解的整体存在和有限时刻爆破问题对于 0 m ，n 1 的情形，我们得到方程组解整体存在和有限时刻爆破的充要条件； 而当m ，n 1 时或者当0 0 ( 0 ，而c = c ( 。，t ) 是一个定义于q t 的有界函 数，则c 厂( z 、t ) 0 于磊而且若【厂( z ，o ) 不恒等于零，则c 厂( z ，t ) 0 于q t 对于方程组的情形我们也引入一个正性引理( 1 6 4 第4 8 0 页引理5 1 ) ： 引理i 2 ：若函数b 1 2 ，6 2 l ，儡和h ：一= 1 ，2 j 在它们的定义域中都是非负的，则如 下方程组存在唯一正解 ( 阢) t 一工f 巩一c 。= 吼， 掣：6 n 叽+ 6 馥巩+ k ， 口 巩( o ，0 ) = 阢o ( z ) ，z n 6 ( o t ) q t , i = 1 ，2 ，( ，t ) r r 第1 章绪论 1 3 2 上下解方法 下面我们引入一些基本概念和解决问题常用的方法 考虑抛物方程的初边值问题 t = 皿) + ，( u ) ，0 ，t ) q r 警刊毗( 州) 西， 让( z 0 ) = u o ( z ) ， n 这里皿( “) 0 对所有有定义的私都成立若有函数西( z ，t ) 满足 砚霍( - ) + ，( 面) ，( z ，t ) q t 蒙航( 叫) 嘞， 面( z ，0 ) u o ( z ) ，卫n ， ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 则称面( z ，t ) 为( 1 3 1 ) 一( 1 3 3 ) 的上解根据最大值原理和比较法则，我们容易得 到在孬 o ，t ) 上有西( 。，t ) u ( z ，t ) 类似地，若有函数坠( z ，t ) 满足 ! “皿( 蓟+ ，( 坠) ，扛、t ) q t 翻o u 一 0 对所有有定义的啦都成立，b i u i = 哦鲁+ b l u i ，其中系数a i ，b i 满足a 。b 。20 ，a 。+ b i 0 ， ( z ，t ，u 1 ，u m ) ，g l ( u 1 ) ，u 。) 关于u j ，i 递增， i ，j = l ，2 ，m 类似地我们也可以定义上下解：将( 1 3 4 卜( 1 3 6 ) 中的“= ”号都 变为“”时，称为上解，而将( 1 3 4 ) 一( 1 3 6 ) 中的“= ”号都变为“”时， 7 大连理工大学博士学位论文：多重非线性抛物方程组的整体解、非整体解及临界指标问题 称为下解通常我们记上解为( 西，面。) ，下解为( 鱼，丝。) 根据比较法则，我 们容易得到在孬【0 ，t ) 上有砺( z ，) u 。( z ，t ) 而( z ，t ) s 蛳( z ，t ) ，i = 1 ，2 ，m 关于上下解的有序性的理论及证明，见文献冷1 中第三章第四节以及第五章 第二节的有关内容 能量方法也是研究抛物方程( 组) 的一种常用的基本方法在第二章第二节 我们通过构造能量函数得出了方程解的某些性质 在抛物方程( 组) 的研究中，解的最大模估计具有基本的重要性d eg i o r g i 迭代则是对解的最大模进行估计的重要技术我们在第二章第二节运用d eg i o r g i 迭代得到所需要的最大模估计 构造合适的自相似解常常可以作为研究抛物方程( 组) 解的渐近行为的有效 工具在第四章第一节我们就利用了自相似解的手法得到了关于解的渐近性态的 精确分析， 8 2 多重非线性抛物方程的整体解和非整体解 在本章开始，我们研究了如下问题：( “) 产a u + u “，舞= “。，u ( z ，o ) = u o ( 。) ， 得到解整体存在和有限时爆破的充要条件，并且给出爆破速率估计然后进一步推 广到一般形式的单个方程撕= ( 西( u ) ) + ，( u ) 且附加一般形式的n e t t m a n n 边界条 件舞= g ( u ) 的初边值问题，得到解整体存在和有限时刻爆破的充分条件 2 1 一个多重非线性抛物方程问题 在这一节中，我们考虑 = a u + u 。，z n ，t 0 = 珏母，茁占n ，t 0 ， = u o ( x ) ，z n ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 这里m ，o ，卢 0 ，ncr i v ( 1 ) 且具有光滑边界a n ，a 卸表示在a q 上的外法 向导数，u 0 ( 。) 是一个满足相容性条件的正函数这是一个由非线性扩散，非线 性反应和非线性边界流构成的多重非线性模型，这些非线性项分别由( u m ) 。，u o 和钍口来描述我们将研究这个模型的解整体存在和有限时刻爆破与弛妒这些 指标之间的关系，且对于爆破的情形进行爆破速率估计 众所周知，( 2 1 i ) - ( 2 1 3 ) 在研究热传导和粘性物质流的传播过程中具有广 泛的应用( 2 1 1 ) 当0 o ， 挲：扩，z a n ， 0 o r ( z ，0 ) = w o ( z ) ， z n ( 2 1 。4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 ，1 6 ) 由文献 1 7 ，【3 4 ， 3 5 ，【4 4 ， 2 6 】，【4 9 ， 5 4 ，【5 5 】， 8 4 】f 7 5 1 ， 8 6 的结果知：( 1 ) 当m = 1 时，( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 的解当卢s1 时整体存在而当卢 i 时解在有限时刻爆破，爆 破速率为( t t ) 一i 渤( 2 ) 当0 m a x ( 1 ，皿尹) 时的爆破速率为( t t ) 一i 南 值得提及的是，文献【6 5 】研究了这样的多重非线性模型： u t = ( “) 。+ 扩，扛，t ) r + x ( 0 ，t ) ， 一( 8 ) 。( 0 ，t ) = 让o ( o ，t ) ，t ( 0 ，t ) ， u ( z ，0 )= u o ( z ) ， o r 十， 这里n 1 他们也得到解整体存在和爆破的充要条件以及爆破速率估计，但我 们的模型和他们的有很大的区别：首先我们考虑的是有界区域，其次我们考虑了 m l ( 相当于n 0 2 1 1 整体存在和有限时刻爆破的条件 首先，我们给出( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解整体存在和有限时刻爆破的充要条件 定理2 1 ：( 21 1 ) 一( 2 1 ，3 ) 的解当且仅当o z m ，卢m i n ( m ，塑盟2 ) 时整体存在 下面我们分四个引理来完成定理的证明 引理2 1 1 ：当a m 时，( 2 l 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解一定在有限时刻爆破 证明： 令u = 瓣1，t o ，6 c ) ，其中k = 志，b = d 一，c = 訾r a i n ( 1 ，铲) 易验证 ( 珊= 南f 杀 = 矿，( z ，t ) q ( 0 ，b c ) 并且器= 0 妒于a n ，型= 6 su o ( 。) 于瓦因此些是( 2 1 1 ) _ ( 2 1 3 ) 的一个下 解，但型在t ：b c 时爆破，从而说明( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解在某一t 冬6 c 时刻必 1 0 然爆破口 引理2 1 2 ：若0 m ，或者m 1 ，p 2 铲，则( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解 在有限时刻爆破 证明：观察到对同样的m ，卢和同样的初值， ( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 的解总是( 2 1 1 ) 一 ( 2 1 3 ) 的下解由文献【8 4 】和【7 5 】的研究结果知，( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 的解当0 m 或者m 1 ，卢 塑笋时有限时刻爆破，因而( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解也有限时 刻爆破口 引理2 1 3 ：若0 m 0 ，( z ) 0 于n ，且舞 0 r a i n z e 0 f 1 1 嚣 = c 5 0 常数k ，m 和l 取为 m = m a x ( 2 i u 0 ij o 。，2 ) ， 工= m “( z m 矗锱) ， k ：也缝2 坚丝竺! ! 塑垫 m e 5 第2 章多重非线性抛物方程的整体解和非整体解 显然，西| | “o l l o 。而 ( 五”) t = p 。( m + 1 2 m ) 啦! 写1 e 屯m 炒1 ”) ”l = 概( m + ( 2 m ) 口l - i c i l e - l 口洲叫们) 一1 m + ( 2 m ) 口g - l c 圳“( - + ；( m - 1 ) ( 刈( 硼e 掣) ) 因为对任何的y 0 有一y e y 一e ，从而 一埘( ) e 皇工专业e l e 且业_ e - 1 故( 面) k m