（计算数学专业论文）ctsvd方法及数值微分.pdf

2 0 0 7 上海大学博士学位论文 摘要 本文将提出求解不适定问题一个新的方法一典则截断奇异值方法，它是经 典截断奇异值方法的一种改进方法，理论和数值结果都显示它很好的改进了经典 截断奇异值方法的缺陷，而且这种修正并不需要增加计算量由于获得一个算子 的奇异值一般需要较大的计算量，因此截断奇异值方法一直没有得到充分重视 但是在本文中我们将发现相对于其它正则化方法而言，对于真解光滑度较高的情 况，截断奇异值类方法能够得到更好收敛结果这表明对于奇异值类方法进行更 加深入的研究是十分必要的 有些实际问题中对应算子的奇异系是容易获得的，对于这类问题截断奇异值 类方法的优势将更加显著，数值微分就是一个这样的问题，我们将在本文中结合 典则截断奇异值方法对这一问题进行深入研究 数值微分是一个典型的不适定问题，在测量过程中的微小误差会造成数值结 果的巨大误差目前已有一些方法被用来解决这个问题本文将首先指出一种传 统方法的不足，并给出相应的改进策略我们将看到只是对于求解算子细微的变 化就带来了解收敛性态质的改善，这提醒我们对于不适定问题而言，合理的选择 求解的方式是十分重要的接下来我们将结合l 广义解典则截断奇异值方法探 讨一般的一维数值微分的求解问题我们从一个新的角度引入磨光方法，通过辅 助方程搭建起磨光方法和仁广义解正则化方法的桥梁从而简化了方法的理论 分析过程，也为一维数值微分问题构建了一般的理论框架 接下来我们进一步探讨两维函数的数值微分问题，我们将看到结合前面提出 的磨光方法的框架以及对算子l 的合理选择，前面对于一维函数获得的结果很容 易平行推广至两维乃至任意有限维空间而且对于规则区域算子的奇异系是很容 易获得的，这可以大大减少算法的计算量对于不规则区域而言，一方面我们可 以通过数值方法来求解奇异系，另一方面，由于方法的理论结果对于一般正则化 方法而言都是成立的，所以我们完全可以不去求奇异系而通过其它正则化方法来 实现磨光的策略这为一般的数值微分问题提供了一个新的一般框架而且我们 看到对于数值微分问题而言，我们可以通过l 广义解正则化理论建立起数值解 相应于真解在s o b o l e v 空间意义下光滑性的收敛结果，这为不适定问题理论的进一 步发展具有重要借鉴意义 c t s v d 方法及数值微分 关键词：不适定问题，数值微分，正则化方法，奇异值分解，c t s v d 方法， l 广义解，磨光方法，周期函数数值微分，两维函数数值微分，a b e l 变换 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 i i i a b s t r a c t an e wm e t h o d - - - c o n o n i c a lt r u n c a t i o ns i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( c t s v d ) m e t h o df o r s o l v i n gi l l p o s e dp r o b l e m sw i l lb ep r e s e n ti nt h i sp a p e r , w h i c hi sam o d i f i c a t i o nm e t h o do f c l a s s i c a l t s v dm e t h o d b o t ht h e o r i c a la n dn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tl i m i t a t i o n so ft s v dm e t h o dh a v e b e e no v e r c o m eb yn e wm e t h o da n dn oa d d i t i v ec o m p u t a t i o ni sn e e d e d i ng e n e r a l ，c a l c u l a t i n gt h e s i n g u l a rs y s t e mo f ao p e r a t o rt a k e sal o to ft i m e s ot h em e t h o d sw h i c hd e p e n do ns i n g u l a rs y s t e m a f ea l w a y sn o tb ev a l u e d b u ti nt h i sp a p e rw ew i l lf i n dt h a tab e t t e rr e s u l tw i l lb eo b t a i n e db y t s v d 1 i k em e t h o d sf o rt h eg e n u i n es o l u t i o nw i t hah i g hs m o o t hs c a l e s oaf u r t h e rr e s e a r c ht o t s v d l i k em e t h o di sn e c e s s a r y i np r a c t i c a l ，t h es i n g u l a rs y s t e m so fs o m eo p e r a t o r sc a nb eo b t a i n e de a s i l y f o rt h e s ep r o b l e m s ， t h ed o m i n a n to f t s v d 1 i k em e t h o dw i l lb em o r er e m a r k a b l ea n dn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nj u s ti s t h i sk i n do fp r o b l e m n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o ni sac l a s s i c a li l l ：p o s e dp r o b l e m t h es m a l le r r o r si nt h em e a s u r e m e n tm a yl e a dt oh u g ee r r o r si nt h en u m e r i c a lr e s u l t s t h i sp r o b l e mh a sb e e nt r e a t e db ys e v e r a lm e t h o d s i nt h i sp a p e r , w ew i l lp o i n to u tt h el i m i t a t i o n so fs o l v i n go p e r a t o ri ns o m ec l a s s i c a lm e t h o da n dc o r r e s p o n d i n gm o d i f i c a t i o nw i l lb ep r e s e n t t h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo fs o l u t i o n c h a n g e ds i g n i f i c a n to n l yb yap e t 哆c h a n g ef o rs o l v i n go p e r a t o r , w h i c hs h o w st h a ti ti si m p o r t a n t t oc h o o s ear e a s o n a b l ea p p r o a c hf o ri l l p o s e dp r o b l e m s n e x t ，w ew i l lg i v eaf u r t h e rd i s s c u s s i o nt o n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o ni no n ed i m e n s i o nc a s ew i t ht h el - g e n e r a l i z e dc t s v dm e h t o d w ew i l l i n - t r o d u c em o l l i f i c a t i o nm e t h o da tan e w a n g l e f i r s tw ei n t r o d u c et h ea u x i l i a r ye q u a t i o n ，w h i c hw i l l b u i l dab r i d g eb e t w e e nm o l l i f i c a t i o nm e t h o da n dl 广g e n a r a l i z e ds o l u t i o nr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d t h e o r i e so fl 广- g e n a r a l i z e ds o l u t i o nr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sh a v eb e e nw e l ld e v e l o p e d ，s ow ec a n o b t a i nt h et h e o r i c a lr e s u l t se a s i l ya n dw h i c hc o n s t r u c taf r a m e w o r kf o rs o l v i n gn u m e r i c a ld i f f e r - e n t i a t i o nf o ro n e d i m e n s i o n a lc a s e i nt h ef o l l o w i n g 。w ew i l ld e a lw i t ht h en u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o np r o b l e m sf o rt w o d i m e n s i o n a l c a s e w i t ht h em o l l i f i c a t i o ni d e aa n das o u n dc h o i c eo fo p e r a t o rl ，t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sw h i c h h a v eb e e no b t a i n e df o ro n e d i m e n s i o n a lc a s ec a l lb eg e n e r a l i z e dt ot w o d i m e n s i o n a lc a s ea n da r - b i t r a r yf i n i t e d i m e n s i o n a lc a s e s m o r e v e r , c o n s i d e r i n gt h es i n g u l a rs y s t e m so fs o l v i n go p e r a t o r sf o r r e g u l a rd o m a i nc a nb eo b t a i n e de a s i l y , s oo u rm e t h o dc a l lb er e a l i z e de a s i l ya n df a s t i nt e r mo f i r r e g u l a rd o m a i n ，o nt h eo n eh a n dw ec a l lo b t a i ns i n g u l a rs y s t e m sb yn u m e r i c a lm e t h o d ，o nt h e o t h e rh a n dd u et ot h et h e o r e t i c a lr e s u l t sw h i c hw eh a v eo b t a i n e da r ef i tf o rm o s t l yr e g u l a d z a t i o n m e t h o d s 。s ot h em o l l i f i c a t i o ni d e ac a nb er e a l i z e db yo t h e r sr e g u l a n z a t i o nm e t h o d sw h i c hd o n t n e e ds i n g u l a rs y s t e m i ng e n e r a l ，w ec a no b t a i nt h ec o n v e r g e n c er e s u l t sc o r r e s p o n d i n gt os m o o t h i vc t s v d 方法及数值微分 s c a l eo fa c c u r a t ef u n c t i o n si ns o b o l e vs p a c ef o rn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o np r o b l e m s ，w h i c hi so f p i t ha n dm o m e n tf o rd e v e l o p m e n to fi l l p o s e dp r o b l e mt h e o r y k e yw o r d s ：i l l - p o s e dp r o b l e m ，n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ，r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，s i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o n ，c t s v dm e t h o d ，l - - - - g e n e r a l i z e ds o l u t i o n ，m o l l i f i c a t i o nm e t h o d ，n u m e r i c a ld i f f e r - e n t i a t i o no fp e r i o d i cf u n c t i o n s ，n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o no ft w o d i m e n s i o n a lf u n c t i o n s a b e lt r a n s f o r m 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 筝名：蹇鹂日期：2 汐pt id i d 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名夕磁柱觇日期：夕p 了、) f p 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 前言 数学物理反问题是一个相对新兴的研究领域有别于传统的数学物理方程定 解问题( 通常成为正问题，它由给定的物理方程和相应的定解条件来求定解问题的 解) ，反问题研究由解的部分已知信息来求定解问题的某些未知量，如微分方程中 的系数、定解问题的区域或者某些定解条件用系统论的语言来讲，正问题对应 于给定系统已知输入条件下求输出结果的问题，这些输出结果当然包含了系统的 某些信息而反问题则是由输出结果的部分信息来反求系统的某些结构特征 与正问题相比，数学物理反问题的发展历史较短，这种现象的原因来源于反 问题大都有不适定的特点，该特点也是反问题研究的难点所在关于“适定”( w e l l p o s e d ) 和“不适定”( i 1 1 p o s e d ) 的概念是h a d a m a r d 为了描述数学物理问题与定解条 件的合理搭配，于2 0 世纪初引入的【2 3 】 设x 和均为度量空间( 分别称之为解空间与数据空间) ，算子a ：xhy 映x 到，反问题可写成如下算子方程形式： a x = y ，工x 。y 2 ( 0 0 1 ) 其中a 可为积分算子、微分算子或矩阵，可为线性或非线性映射 定义0 0 1 称问题( o 0 1 ) 为适定的，如果它同时满足下述三个条件： c l ：v yey ，都存在工x 满足方程( o 0 1 ) ( 解的存在性) ； c 2 ：设y l ，y 2 ，若x l ，x 2 分别是方程( o 0 1 ) 对应于y l y 2 的解，则工i x 2 ( 解的唯一性) - c 3 ：解工连续地依赖于数据) ，( 解的稳定性) 反之，若上述三个条件中，至少有一个不能满足，则称其为不适定的 上述的三个适定性条件无疑具有深刻的实际背景首先，对于实际问题而言， 我们自然期望其解是存在且唯一的更重要的是，实际获取的数据资料都是近似 的，即我们实际处理的是近似数据 ，广) ，而不是。精确”数据( a ，力，因为“精 确”的数据往往是未知的若原始数据的小的误差将导致近似解对于真解的严重 偏离，则计算所得的结果将毫无意义 反问题的不适定性是问题本身所固有的一种特性如果没有关于欲求解的附 加信息( 例如，单调性，光滑性或有界性，或原始数据的误差界等等) ，这一本质 性的困难是无法克服的【5 2 】我们的任务就是要依据所能提供的关于解的附加信 息，尽可能多、尽可能稳定的恢复原问题的部分信息 2 2 1 在很长时间内一直以为研究不适定问题是没有实际意义的，至多是一种学术 上的兴趣相应的数学物理反问题的研究也很少但随着科学技术的发展，实际 2 c t s v d 方法及数值微分 的应用领域渐渐提出了很多必须解决的不适定问题，逐渐扭转了这种偏见例如 地质勘探部门在重力异常探矿中提出的地下波场的解析延拓问题，无线电工程上 由有限频率区域上的频域信号确定时域信号的问题，雷达成像中由反射波信号确 定散射体几何形状的问题，中长期数值天气预报的问题等，都是典型的不适定问 题基于实际应用的推动，以2 0 世纪6 0 年代中期苏联科学院院士a n t i k h o n o v 提 出的处理不适定问题的正则化方法( r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ) 为标志，不适定问题和反 问题的研究进入了新的阶段我国著名计算数学先驱、已故中科院院士冯康教授 早在2 0 世纪8 0 年代初期就大力提倡开展反问题数值解法的研究，对我国数学物 理反问题的研究和应用产生了深远的影响 自上个世纪八十年代以来，随着算子谱分解理论在不适定问题研究过程的引 入，不适定问题的理论得到了长足发展目前线性不适定问题的理论已经被认为 基本完成，我们知道在求解不适定问题的正则化方法中精确解关于算子的光滑程 度y 对解的收敛性起着决定作用一般而言对于一个紧算子方程 a x = y 若，= a ? y 欠( ( a a ) ”) ，那么对于扰动右端广，满足i 旷一y l l 正由正则化方法得到的 解能够得到的最优收敛阶为： 一x * l l 。6 始 目前，评价一种正则化方法的一个基本标准，就是能否获得最优收敛阶目前已 经有很多方法在理论上得到了非常良好的结果，比如c g 方法 2 8 】以及本文将要讨 论的c t s v d 方法，他们对于任意光滑度y 都能获得最优收敛阶，对于后者而言系 数在y _ o o 时保持有界 上述结果在不适定问题的理论框架下已经不可能再有实质的提高，但是在实 际过程中这些有着更好理论结果的方法往往不能充分体现优势，这很大程度上是 由于对于一般算子a 而言大部分函数的光滑度y 都是很低的这样对于大多数函 数而言用各种正则化方法所得到的结果不会有明显差异这就提出了一个十分重 要的问题，函数的光滑性能不能通过某种途径改变? 或者对同一个问题不同的提 法是否会拥有不同的结果? 我们能不能通过某些手段建立起解的收敛阶和相对于 y 而言能更好区分函数性质的尺度之间的关系? 我们将结合c t s v d 方法数值微分 来探讨上述问题 c t s v d 方法是对传统t s v d 方法一种改进方法，t s v d 方法对于求解不适定问 题而言是一种十分有效的方法，但在方法中参数t 的选择对解有较大影响，如果 参数太大，解的精度会较差；但太小解又会出现不稳定现象本文的c t s v d 方法 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 3 很好的修正了这种缺点一直以来截断奇异值类方法在不适定问题的求解中都没 有得到重视，其中最主要的原因是因为一般而言要获得一个算子的奇异系需要很 大的计算量但是对于某些奇异值容易得到的算子而言，方法计算量的劣势就不 存在了数值微分就是一个这样的问题而且我们还将看到截断奇异值方法往往 能获得比其它方法更好的精度因此对于奇异值类方法进行更加深入的研究是十 分必要的 作为一个在实际过程中有着广泛应用的问题，能够很好的解决数值微分问题 本身就有着十分重要的意义求解数值微分问题，就是通过测量函数在一些离散点 的值，来求得函数的近似导数这个问题产生于很多数学模型以及实际问题中， 如地下水寻找问题，图形边界识别问题【1 5 】，a b e l 积分方程求解【1 9 】以及一些数 学物理反问题 2 4 1 数值微分是一个典型的不适定问题，这也是求解它的主要困 难所在到目前为止，已经有很多学者对数值微分问题进行了研究，也已经有很 多稳定的数值微分方法被提出在1 9 6 8 年r a m m 6 6 1 提出应用有限差分方法来获得 微分稳定的近似，近来，r a m m 和s m i m o v a 给出了上述方法的误差估计结果及一些 数值例子1 6 7 在差分方法中，步长将起到正则化参数的作用，因此步长的选取需 要和扰动水平是相关的，这在某种程度上限制了这种方法的应用作为一个典型 的不适定问题，数值微分问题当然可以通过对一般不适定问题均有效的正则化方 法来求解，目前正则化方法中数值微分问题经常被考虑为如下第一类积分方程的 求解问题实际上对于给定g ( 力h 1 1 0 ，l 】，求厂= o g = 等价于求解v o l t e l l r a 型积分 方程 ( 啪( 垆r ，( f ) d r _ g ( 沪g ( o ) ，j 【o ，l 】 本文将从分析这个算子开始，从文中分析我们将发现由于算子本身的缺陷，使得 无论采用何种正则化方法，对于多数函数而言都无法获得好的结果，而对上述算 子做一些细微的调整就会对问题的求解带来改善磨光方法一直是求解数值微分 十分有效的一类方法，应用磨光思想求解不适定问题早在1 9 7 5 年p a y n e 在文献1 6 2 中就已经进行过讨论，方法被称为。r e s t r i c t i o no fd a t am e t h o d ”而m u f i o 在其专著 【5 9 】中对于应用磨光方法求解不适定问题进行了深入的分析h a od n 在文献【3 4 】 中进一步讨论了磨光方法，在b a n a c h 空间意义下建立了磨光方法的一般框架但 在他们提出的理论框架下，磨光参数的选取一般是基于先验的，而基于后验准则 的方案在理论分析过程会遇到实质困难h a n k e 和s c h e r z e r 在【2 4 】提出一种求解数 值微分的方法。它是基于t i k h o n o v 正则化的，它也可以视为一种磨光方法而王彦 博，h o ny c 及程晋在文献【7 9 】中给出了上述方法的推广，建立了数值微分问题相 应于原函数在s o b o l e v 空间光滑性的收敛结果通过我们的分析，这样的结果不是 4 c t s v d 方法及数值微分 偶然的，结合l 广义解正则化理论我们将得到对于一般正则化方法而言上述的 理论结果都是成立的我们知道t i k h o n o v 正则化的缺点在于它具有饱和收敛阶 而且他们的理论分析比较烦琐，方法缺乏一定的灵活性我们将从一个新的角度 引入磨光思想，首先引入辅助方程 ii = 窖 通过上述方程我们将搭建起磨光方法与正则化方法的桥梁，借助正则化方法已经 获得的大量的结论，将大大简化方法的理论分析过程而且我们所得到的结果对于 大部分正则化方法而言都是适用的，整体思想也很容易获得到二维乃至任意有限 维空间的推广相对一维问题而言，目前关于二维数值微分问题的讨论是比较少 的，仅有的一些讨论也基本上局限于一阶偏微分的求解 1 0 1 1 8 h 8 7 1 g n a k a m u r a 。w a n g s z 及王彦博在【6 l 】中给出一种基于格林函数求解二阶偏微分的方法，但这种方 法需要比较强的条件对于我们的方法而言，由于引入了恰当的算子l 使得一维 问题的结果可以平行推广至两维，我们也将发现对于更高维任意有限阶导数得求 解都可以得到类似的结论，即对于数值微分问题而言，我们可以建立解的收敛阶 与精确函数在s o b o l e v 空间意义下光滑性相对应的结果 通过对数值微分问题深入研究，我们似乎看到了解决前面提出问题的曙光 当然这需要大量的工作才能完成，我们期待着 本文安排如下。第一章我们简单介绍一些本文需要用到的基本知识，在第二 章我们将引入c t s v d 方法给出相应的理论结果并和t s v d 方法做出比较第三章 开始我们讨论数值微分问题，第三章从分析一个目前被采用的求解算子的缺陷入 手，给出相应缺陷的改进策略最后以周期函数的数值微分作为收尾，我们看到对 于求解算子的细微调整会带来解的收敛性质的很大的改善，这是值得深思的在 第四章我们从一个新的角度引入了磨光思想，并结合它构建了一维数值微分问题 求解的一般框架接下来的一章我们进一步讨论了二维问题，第四章给出的磨光 思想仍然是这一部分的重要基石，通过恰当的选择l 我们成功解决了二维数值微 分问题的一些基本理论和计算问题最后一章我们简单给出了数值微分的一个应 用_ a b e l 变换的数值反演问题 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 5 第一章预备知识 这一章我们将对后面讨论将要用到的紧算子理论，正则化的一般理论，f o u r i e r 级数和s o b o l e v 空间的一些基本的知识做一个简要的介绍 1 1h i l b e r t 空间中紧算子的谱理论 紧算子的奇异值分解是很多正则化方法的理论基础，尤其对于本文将采用的 c t s v d 方法有着非常重要的作用因此在此我们对紧算子的谱理论做一个简明的 介绍，有关它更详细的阐述可以参见 1 7 1 1 1 0 1 1 1 0 9 1 定义1 1 1 设x 是一个赋范空间，a ：x _ x 是一个线性算子 ( 1 ) 如果m a 有有界逆，则称a 为a 的正则值 ( 2 ) 如果a 不是a 的正则值，则称l 为a 的谱点，以t r ( a ) 表示谱点可分为 ( a ) 对ae 矿( a ) ，方程( a t a ) x = 口有非零解，这时 称为a 的特征值，而对应的非零 解称为a 的特征向量 ( b ) 对l o - ( a ) ，方程( a t a ) x = p 只有零解，这时称l 属于a 的连续谱 我们知道对于一般线性算子如下结论成立 定理1 1 2 设a ：x - x 是一个线性算子，下面结论成立。 ( 1 ) 如果j x ，_ = 1 ，n 是对应于不同特征值的a c 的特征向量的有限集，则 i 札，l 是线性无关的如果x 是h i b e r t 空间且a 是自伴算子即a + = a ，则所有特 征值，l ，都是实数，相应的特征向量x 1 是两两正交的 ( 2 ) 如果x 是h i l b e r t 空间，a ：x _ x 是自伴算子，则 i a i i - s u pi ( a x ，工) i = r ( a ) l i x u = l 对于紧的线性算子，上述结论就变得更为具体主要结论为 定理1 1 3 设t ：x _ + x 是一个紧的自伴非零线性算子，则有下列结论： ( 1 ) 丁的谱只可能是特征值或者是0 t 的特征值都是实数 丁至少有一个至多有可 数个非零特征值，0 是其唯一可能的聚点 ( 2 ) 对每一个非零特征值，只存在有限个线性无关的特征向量，相应于不同特征值 特征向量是正交的 ( 3 ) 把全体特征值以i l a 2 1 l a 3 1 的方式排序，记乃：x n ( t a f t ) 为x 到 6 c t s v d 方法及数值微分 对应于a 的特征子空间上的正交投影如果只存在有限个特征值矗l ，a 2 。k 则 t = z l j p j ( 1 1 2 ) j - - i 如果存在无限个特征值的序列 l a 则 t = z a j p j ( 1 1 3 ) j f l 此时级数在模意义下收敛，且 l i t 一乃删= i a m + l i ( 1 1 4 ) j = l ( 4 ) 记日是丁的非0 特征值对应的特征向量张成的线性空间，则 x = h 0 ( 丁) ( 1 1 5 ) 把紧算自伴算子的谱理论推广到紧非自伴算子，就得到紧算子的奇异值分解的结 果 定义1 1 4 设x ，是h i l b e r t 空间，t ：x _ 是紧算子，伴随算子为t ：_ x 自 伴算子丁丁：x _ x 的非零特征值a j 的平方根o j = 石，j ，称为丁的奇异值 - ，c 可以是有限集或者j = n 定理1 1 5 ( 奇异值分解) 设t ：x _ 是线性紧算子，伴随算子为：t ：_ x 盯l 0 2 0 3 0 为丁的奇异值序列，则存在规范正交系i v f lcx 和 “lc 满足 t v j = o j u j 。t u j = o j v j v j j 系统l q ，v j ，u j j e j 称为丁的奇异系，而 v f l j e 和i “l 斥，分别构成( 丁) 上和灭两的完 全规范正交系y x 义，记翔= p x n c t ) ( p 是y x _ m 丁) 的正交投影) ，则工有奇异值分 解 n门 工= x o + 乞( 工v j ) v j t x2 乞o - j ( x ，v j ) u j ( 1 1 6 ) j e jj e j 另一方面，上述奇异值分解的结果也意味着 2 = j ) 1 2 + i i e x l l 2 1 i t 圳2 = 弓v j ) 2 i ( 1 1 7 ) j c jj e j 下述结果借助于奇异系描述了紧算子的值域 定理1 1 6 ( p i c a r d ) 设t ：x 是线性算子，r 的奇异系为( q 。v j ，u j ) 方程 t x2y 2 0 0 7 上海大学博士学位论文7 司解的冗分必要条件是 y m 丁) 上，若专k y 力| 2 o ，r ：_ x 为任意映射，满足瓜o ) = 0 那么 ( 抗 乜r ) f i ( 6 ) 命题1 2 3 设欠似) 非闭，l 如 为a t 正则化算子，满足凡( o ) = 0 ，口= 口( 正广) 为一参数 选取准则那么满足如下条件的仅和6 相关的函数f ：时r + 不存在 ( 1 ) j l i m o 闸= 0 ( 2 ) i i r , “6 a s ) y 6 - a + y s ，( d ，v y z ) ( a ) ，y 6 0 我们定义如下集合 叉如：= i x x i 工= 似。a ) ”w 。i l w l l j d l ( 1 2 3 ) 进而，定义 扎：= u x 即= 欠( 似a ) 7 ) ( 1 2 4 ) p 0 上述集合用以表示解的”光滑性条件”，对于紧算子我们有如下定理 定理1 2 4 设丁为非退化紧算子，其奇异系为 旷，；w ，u j 那么对于y 0 = k y 欠( ( r 丁) 7 ) 当且仅当 或者 茎警 o ，由( 1 2 3 ) 定义那么对于任意6 0 ， q ( 正) 56 始p 由 成立 命题1 2 6 设k 为紧算子且值域非闭，那么对于任何v , p 0 ，存在一个收敛于0 序列 i 以j 满足 f 2 ( 6 k ，) = 矿p 南 ( 1 2 7 ) 警 槲 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 9 由上面这些结果可以看出，如果欠( r ) 是非闭的，那么对于集合整体而言，任 何一个正则化方法的收敛速率不可能快于6 始p 由但对于某一个固定的 毒x v 收敛速率可以达到d ( 6 斋) 1 2 2t s v d 方法简介 接下来，我们对经典t s v d 方法做一个简单的介绍设x ，y 为实h i l b e n 空间， t ：x _ 为线性紧算子，考虑第一类算子方程 t x = y( 1 2 8 ) 在实际问题中一般以扰动右端广代替y ，满足， 1 旷- y l l 6( 1 2 9 ) 其中6 0 为已知误差水平相应的扰动方程为 t x = 少( 1 2 1 0 ) 设7 叶为算子t 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，且y d ( 丁) ，则方程( 1 2 8 ) 有唯一最小模最小 二乘解x f = t r y 设算子t 的奇异系为 q ，0 ，即 ，其中，o r l 以o r n 0 ， 我们定义算子为 ，：- i = l 击饥u i ) ，v f ( 1 2 1 1 ) 其中m 为正整数，则方程( 1 2 1 0 ) 的t s v d 解定义为 = ：广( 1 2 1 2 ) 我们有如下性质【9 3 】 1 ) o 一x * l l 去6 + i i r m y - x * 1 1 2 ) i i 尺册y x * 1 1 2 = 墨小+ ll ( ，) 1 2 我们记 e ( m ) = i i 吲一少0 我们有e 沏) 满足： ( 1 ) e ( m + 1 ) e ( m ) ( 2 ) l i m m - + 。( m ) = 0 在t s v d 正则化方法中i e 贝, j 参数m 一般由如下残差准则确定 e ( m 1 ) 砸e ( _ r ，1 ) 竹 ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) c t s v d 方法及数值微分 其中f 1 为一给定常数此时我们有如下定理 定理1 2 7 设，满足( 1 2 9 ) ，f 1 ，为方程( i 2 1 0 ) 的t s v d 解 1 ) 矿= t + y = ( r 丁) 7 z x v ，y 0 ，0 z v ( r ) 上，那么有 以及 这里 或者 s u pi i x 6 一x + l l ：d ( 6 器) ，6 _ 0 q ( 尹州j 蜘 ，一x + l l 瓦，( 1 l x + l l ，) 丽i 6 丽2 v c - , ，= 【( 1 - + 1 ) 击- r + ( 1 - 一1 ) 一d 旨】 1 3f o u r i e r 级数理论 对于周期为2 f 的函数( f ) ，它的傅立叶级数为 这里， 其部分和定义为： ，“警+ 荟s 罕蝴；n 爷 删一y c 。f 7 j - 一 蹦归竽+ 荟c o s 罕椰t n 罕， ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) ( 1 3 i ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 下面我们给出傅立叶级数的一些性质，有关详细讨论参见【6 】 定理1 3 1 任何可积函数的傅立叶系数趋向于0 上述结果有如下推广 定理1 3 2 设f , g 均为周期为z 的函数，且，可积g 有界变差，a 和口为实数，又 一f a b f ，则当川- + 时，关于口，b ，口一致的成立