（概率论与数理统计专业论文）美式下跌失效实物障碍期权定价方法.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明i 本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：鱼埠 日期：2 1 垒生 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留威向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名；盟导师签名：憋日期。 丛玺f ： j 山东大学硕士学位论文 摘要 本论文在第一章中首先介绍了期权、看涨期权，看跌期权美式期权和欧式斯权的 概念，然后在此基础上引入了障碍期权的概念障碍期权由其定义决定了它价格要比一 般的标准期权价格要低得多，但是它在商品和金融产品投资中能起到很好的避险效果 另外，障碍期权在项目投资策略中可以满足投资者的个性化需求，即根据自己的投资习 惯选择性地在一定情况下放弃等待投资某项目的权利，转而投资于别的项目我们还在 第一章中阐述了障碍期权定价理论的发展，简单介绍了当前的一些障碍期权的数值定价 方法以及数值方法的缺陷和运用数值方法进行分析的原因 在第二章着重介绍了在红利不等于零的情况下，投资项目中的产品价格被假定为满 足几何布朗运动的模型，并介绍了障碍投资期权的定价模型 在第三章则详细介绍了实物障碍期权定价的三种方法；未定权益的方法，差分不等 式的方法和倒向随机微分方程的方法k a r a t z a s 基于b 1 8 c k s c b o l e s 定价模型基础介绍 了红利等于零情况下对金融障碍期权的定价方法，我们以此作为出发点考虑项目投资策 略的情况，面在障碍实物期权的模型中有对红利不等于零的要求在红利不等于零的情 况下。证明b l a c k - s c h o l e s 定价模型的解的存在唯性更为复杂，而这一步是用非数值方 法进行障碍期权定价的基础另外，我们还引入了倒向随机微分方程这种新方法来对实 物障碍期权进行定价 在第四章通过具体数值和图形分析了不同参数对障碍期权价格的影响，包括对不同 ，l 值、不同j 值和不同口值进行了数值分析，然后从经济学角度进行了分析 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h e 毓c h 印t 凹，t h ep a p e rf i r s ti n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no fo p t i o n c a l lo p t i o n ， a m e r i c a no p t i o n ，e u r o p eo p t i o na n dt h e ni n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fb a r r i e ro p t i o n r h ep r i c eo fb a r r i e ro p t i o ni sm u c hm o r ec h e a p e rt h a nt h en o r m a lo p t i o n ，b u ti tc a ns t i l l t a k eg o o de f f e c ti nt h ei n v e s t m e n to fc o m m o d i t ya n df i n a n c i a lp r o d u c t i na d d i t i o n ，t h e b a r r i e ro p t i o nc a ns a t i s f yt h ep e r s o n a ln e c i s s a r yo fi n v e s t m e n t o r ，g i v eo f ft h er i g h t so f i n v e s t i n gs o m ei t e m sb yt h ei n v e s t m e n tc u s t o m s w ee l a b o r a t et h ed e v e l o p m e n to ft h e t h e o r yo fp r i c i n gm e t h o d so fb a r r i ro p t i o n rs i m p l yi n t r o d u c es o m en u m e r i c a lm e t h o d so f b a r r i e ro p t i o n w et h e ni n t r o d u c et h ed e f e c to ft h en u m e r i c a lm e t h o d sa n dt h er e a s o n t h a tp e o p l es e l e c tt h em e t h o d s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ep a p e ri n t r o d u c et h em o d e lo fg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n t h a tt h ep r o d u c to fi n v e s t i n gi t e m ss a t i s i i e dw h e nt h eb o n u sr a t ei sn o tz e r o i na d d i t i o n ， t h i sc h a p t e ri n t r o d u c et h ep r i c i n gm o d e lo fb a r r i e ri n v e s t m e n to p t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ep a p e ri n t r o d u c et h r e ep r i c i n gm e t h o d so fb a r r i e ro p t i o n ： c o n t i g e n tc l a i m sm e t h o d ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ym e t h o da n db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n - t i a le q u a t i o nm e t h o d k a r a t z a si n t r o d u c e dt h ep r i c i n gm e t h o do ff i n a n t i a lb a r r i e ro p t i o n o nb l a c k - s c h o l e bm o d e lw h e nt h eb o n u sr a t ei sz e r o w ec o n s i d e rt h ei n v e s t i n gt r a g i t y 丘o mt h i sp o i n ta n di td e m a n d st h a tt h eb o n u sr a t ei sn o tz e r o w h e nt h eb o n u sr a t ei s n o tz e r o i ti sm u c hm o r ed i f f i c u l tt op r o v et h eu n i q u e n e s sa n de 3 d s t e n c eo fb 1 础- s c h o l e s p r i c i n gm o d e l ，a n dt h i ss t e pi st h eb a s eo fn o n n u m e r i c a lm e t h o d s i na d d i t i o n ，w ei n - t r o d u c et h eb s d em e t h o dt op r i c et h er e a lb a r r i e ro p t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，t h ep a p e ra n a l y z et h ei n f l u e n c e so fd i f f e r e n tp a r a m e t e r st o b a r r i e ro p t i o np r i c eb yc o n c r e t en u m e r i c a lv a l u ea n df i g u e ，i n c l u d i n gd i f f e r e n thv a l u e ， d i f e r e n t6v a l u ea n dd i f f e r e n t 口v a l u e ，t h e na n a l y z eo nt h ee c o n o m i c a la s p e c t 2 第一章前言 1 1 概念 期权是这榉一种权利。其持有人在规定的时间内有权利但不负有义务按约定的价格 买或卖某项财产或物品其中，如果是其持有人有按约定的价格买的权利，则称为买方 期权。也称看涨期权如果是其持有人有按约定的价格卖的权利，则称为卖方期权，也 称为看跌期权 按权利有效行使的时间不同，通常把权利分为两种基本类型：殴式期权和美式期权 殴式期权持有者只能在期权到期日这一天行使权利，美式期权持有者可在期权到期日这 天行使权利，也可在期权到期日之前的任何一个营业日行使其权利 障碍期权是指事先规定一种期权生效或失效的标准( 障碍) ，期权是否起作用不仅仅 取决于标的物的市场价值与约定价格的对比情况，还取决于是否达到了生效或失效的标 准，从而其价格要比同类型的标准期权价格要低 如果规定一旦达到了标准，期权就开始有效，则称为有效障碍期权有效障碍期权 可分为4 种，包括：上涨有效看涨期权，上涨有效看跌期权下跌有效看涨期权，下跌 有效看跌期权 如果规定一旦达到了标准，期权就失效，则称为失效障碍期权失效障碍期权也可 分为4 种。包括：上涨失效看涨期权上涨失效看跌期权下跌失效看涨期权，下跌失 效看跌期权 张志强在【9 】中对障碍期权作了比较详细的介绍 1 2障碍期权在金融方面的应用 在风险对冲方面，障碍期权可以达到预期的避险效果例如。一个食品加工企业明 年要买进1 0 0 吨小麦，假定小麦现价2 0 0 0 元吨该企业希望能够避免明年小麦价格 上涨带来的风险并且在小麦价格低于1 8 0 0 元吨的时候愿意提前购买如果利用期权避 险，它可以买个数量为1 0 0 吨，执行价格为2 0 0 0 元吨的小麦的美式看涨期权当小 麦市场价格超过2 0 0 0 元吨，该企业可以按2 0 0 0 元吨的价格购买小麦；当小麦市场 价格低予2 0 0 0 元吨，该企业可以按市场价格购买小麦该食品加工厂也可以用更低的 价格买一个2 0 0 0 元吨的小麦的美式下跌失效看涨期权( 其失效标准为1 8 0 0 元吨) 来达到预期的效果当小麦市场价格下降到1 8 0 0 元吨时，该企业所持有的期权虽然失 效，但是此时该企业用1 8 0 0 元吨的价格购入小麦达到预期的效果类似地，在持有股 票多头时，为回避股票价格下跌带来的风险，可以同时持有美式看跌期权的多头在股 3 。 山东大学硕士学位论文 票价格下跌时，所持有看跌期权的收益可以对冲掉股票遭受的损失，代价是所花费的期 权费用这样可以通过用更低的代价持有美式上涨失效看跌期权来达到同样的效果 在投资决策中的应用方面，障碍实物期权有时候比标准实物期权更符合实际投资决 策情况，更反映投资者的个性化需求，因此在市场中也比较流行实物期权就是一种等 待机会，这种等待机会是假设可以无限期等待的，但实际上等待机会是有条件的由于 投资者有很多可以投资的项目，投资者可以将相应的资源投资于其它的项目当某项目 的价值低于某一标准后，该项目的等待机会从此终结了，以后即使该项目价值又重新超 过标准，投资者也不能投资于该项目了这种等待机会就是美式下跌失效看涨期权j 1 3 障碍期权定价理论的发展 障碍期权的收益是非线性，非连续的的，导致应用数值方法来定价时产生困难应 用数值方法的原因是： 1 、对于超过个障碍的未定权益，几乎没有希望找到该期权价格的分析解； 2 、如果我们取消对标的资产价格可以用几何布朗运动来描述的假设的话，即使在一个 障碍的简单情况下，我们也很难找到期权价格的分析解 应用数值方法，是通过估计方法收敛到期权的价格，并不断提高收敛的精确性为提高 收敛的精确性，提出了很多方法，大概可以分为三类： 1 、使用传统的方法将时间离散化，构造个树，并且要求边界点和障碍点一致；r i t c h k e n ( 1 9 9 5 ) 在【1 】1 中，c h e u ka n dv o r s t ( 1 9 9 6 ) 在【2 1 中给出了具体例子 2 、资产价格空间和时间同时被离散化，也要求边界点和障碍点一致； 3 、直接将资产价格空间离散化。构建一个随机树r o g e r sa n ds t a p l e t o n ( 1 9 9 8 ) 在【3 】 中，l e i s e n ( 1 9 9 8 ) 在【4 】中给出了具体例子 k a r a t z a s 在b l a c k - s c h o l e s 定价模型的基础上，用变分不等式的方法给出了红利6 等于 零的情况下的定价方法在红利6 等于零的情况下，b l a c k - s c h o l e s 微分方程为： z ”0 ) - l - r x g 扛) 一r g ( x ) = 0 ，b 0 的情况下，寻找对应的b l a c k - s c h o l e s 微分方程的解( ，( ，p ) ，并 证明解的存在唯性以及证明该解满足差分不等式的要求更为复杂，我们在本论文中简 单介绍了k a r a t z a s 的证明方法，以便和本论文的证明方法加以比较然后，本文运用三 种方法：未定权益方法。变分不等式方法和倒向随机微分方程方法在红利率6 0 时， 对实物障碍期权定价，并在第四章进行了数值分析，使得论文结论更有实际意义 5 第二章模型 2 1投资项目中产品的价格模型 投资项目中的某一产品，其价格满足一下价格过程 d 最= a p t d t + 仃只d i 砺【2 1 ) 其中q ，圹均为常数，口表示该产品的预期收益率，盯为波动率 w ；是一维布朗运动，y ( 只) 为生产该产品的某一项目的价值，贴现率为p q 5 = p o ，则6 可表示为该项目的红利率 在风险中性的情况下，p = r 此时a = r 一6 于是： 其中： d p t = ( r 一5 ) p t d t + a p , d w o ( t ) ( 2 2 ) w o ( 一毗) + z 仁岩) d s = 呻) + ( 等竽) t ( 2 3 ) 蜀为风险中性概率鞅测度，b e m to k s e n d a l 在【7 】中指出根据g i r s a n o v 变换满足 堡d p = 蚓一z 孚州s ) _ 躲了o t - - r 灿】 一28 印【一上了计【s j 一互工【f 胭1 = e 印【一( 孚) m 一互l1 了o t - - r ) 2 t l 岛则为昂下的期望 2 2美式下跌失效看涨期权模型( 实物障碍期权) ( 2 4 ) fd 只= ( r 一6 ) 只出+ a p t d w , ip 0 = p 某投资者拥有投资于该产品的某一项目的下跌失效实物障碍期权，其中障碍价格为 h 。占 0 ； 6 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = 2 = = = = = = = = = 2 = = = j = = = = = = ：= ：= ：= ：= = = = ：= ：= = y = j 尹b e - r d s = ；为项目在初始时刻的价值； 如果6 0 ，则y ( 一； 项目应立即投资。期权价格f = y ( p ) 一c 一 h 必须满足v c h ) c ，即项目价值在低于成本c 的某一价格才失效；于是 v ( h ) = c ，即，h c 5 ，这是障碍h 满足的一个限定条件 其投资期权价格为f ( p ) ，当p h 时，f = 0 ；项目成本为c ，c 为某一常数； 于是： 因为 所以 垒i n f t 2o ；只 危) ( 2 5 ) f = 8 婶r 局【( p o e 一”d 3 一c e 一”) 厶r r h 】 ， = 跏岛【( 只一件，e 一巾一r ) e 一”d ( s r ) 一c e 一”) 丘， j 一 = 。u p , e o ( e - 只+ 。e 一”d s c e 一”) 厶v r h 】 ( 2 6 ) ，u e o 防+ j 】= e o f 只】e ( r 一跏 ( 2 7 ) ， f = s u p r e o p ，( e 一”fe ( r - 6 s e ”5 d s c e 一”) ，r 】 j o d = s p r 局【( 孑一c ) e 一”) 丘r c 瓢 】 = ；s u p , z d ( p ，一删e 一” 】 ( 2 8 ) 7 第三章定价方法 3 1未定权益分析的方法求解 假定，价格最的随机变化必须能被经济中的现存资产分散掉，也就是资本市场必须 充分完全，使得可以找到一种资产或构造一个动态资产组合，其价格与只完全相乡邕我 们假设与完全相关的资产或资产组合的价格为咒，托满足， d x , = # x , d t + a x , d b , 一 ( 3 1 ) 构造以下无风险投资组合；在t 时刻，持有实砀期权f ( 只) ，卖空m 单位产品，则投资 、，、，7 、一、- 组合的价值为f ( 只) 一巩只，持有n 单位产品的空头需要在单位时间内支付舰b 该投资组合回报率为； d f ( 只) 一n , d p , 一6 p t n t d t f ( p t ) 一m 最 运用i t o 公式，可得： a z p , 2 f ，( p t ) d t + f ( p t ) ( a p t d t + a p t d b , ) - n t ( a p t d t + a p t d b t ) - 6 n t p t d t f ( 只) 一m 只 由于投资组合无风险，所以风险项系数应为0 ，于是有： 啦= ，( 只)( 3 2 ) 此时，其回报率应等于无风险利率r i 即： 巡器亳鬻业删 ( 3 3 ) f ( 最) 一f ，( 只) b 一 、7 对其整理可得。 ；o a p ? f ( p , ) d t + ( r 一6 ) 只，( 只) 出一r f ( 只) d t = o ；矿砰f ”( 最) + ( r 一6 ) b p ( 最) 一r f ( r ) = o t = 0 时，方程也成立 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ；口2 p 2 f ”( p ) + ( r 一6 ) p ，( p ) 一r f ( p ) = 0 ( 3 6 ) 、父八广。1 m 8 山东大学硕士学位论文 p = h 时。f ( p ) = o ，即；f ( 哟= 0 令投资临界点为p ，它具有以下经济意义 当p p 时，不需等待应立即投资此时，( p ) = ：一g ； 当p 矿时，应等待更好时机才投资此时， ：一c p = p 时，由于此时应该立即投资。项目价值y 应大于投资成本c 此时 y ( p ) g 。即譬c ，可知p + 之c 6 另外，从投资角度考虑应该在项目价值低于成本后，投资期权才应该失效此时 v ( h ) c ，即鲁 c ，可知h c 6 由边界条件可知。 f c p ) _ 附) 一d = 譬一p f ( p ) = y ( p ) 2 ； 由鬻黯黝u 1 裂- 笳的瓮其中屈，岛为方程 盯2 矿+ 净 o ， 所以 1 风 南 联立方程组。我们有 9 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 山东大学硕士学位论文 f a 肛+ b 舻= o 却+ 岛+ 口矿如= 譬一c ia 岛芦帕一1 + b 岛p 胆一1 = 整理得 fb a 肛呐 a o 啦一胪一虎p + 如) = 譬一c ia ( p l p m 一1 一岛胪一危p + 融一1 ) = 于是有7 ，) ( 尻p 嗍一1 一卢2 毋一如p 如一1 ) ( 睾一c ) 一；o 慨一 庸岛p 如) = 0 ( 3 1 1 ) 奎、二r 、二一一， 、! 竺三绝毋一侥胪l 柏札肛1 ) ( ；一c ) ；( 庐一护柏舻) 2 否1 护- 1 曼芝秒 乙一、 。 。 其中 h ( u ) = ( 屈t 卢一岛一& h e 一向) 一c 5 ) 一u ( u 口l 一如一h e 一扇) = t p 一岛阻( 尻一1 ) 一c 5 3 1 l + h e t 一岛阻( 1 一岛) + e 醌】 = u t 3 - 一岛+ 1 ( 岛一1 ) 一c d 风t 芦一岛+ 胪- 一角( 1 一岛) 让+ 觑一角c 五国( 3 1 2 ) ) = ( 展一仍+ 1 ) ( 历一岛) ( 风一1 ) 牡历一岛一e 6 ( 尻一岛) ( 尻一屁一1 ) 尻- 一如一2 = 舻一岛- 2 ( 风一岛+ 1 ) ( n 一岛) ( 岛一1 ) “一c 6 ( 历一侥一1 ) 历】( 3 1 3 ) 下面我们分析日( t ) = 0 ，t h 解的存在唯性 、莳翁螽泛ho i 、v引理t 。对任意 t 印、 ( 让) 0( 3 1 4 ) 证明 ( u ) = ( 角一岛+ 1 ) ( 历一1 ) 确一侥一譬历( 风一岛) u 历响一 历一如( 岛一1 ) 首先由 一( 风一岛) + 岛一1 = 岛一1 1 0 山东大学硕士学位论文 即 ( 角一恳+ 1 ) ( 展一1 ) 一历( 展一肫) = 尾一1 又由于 u 0 于是( 尻一岛+ 1 ) ( 历一i ) 一学历( 风一岛) 岛一1 0 慨一岛+ 1 ) 溉一) 一历帆一岛) 1 所以 ( ；严一加【( 尻一岛+ 1 ) ( 风一1 ) 一譬岛( 尻一岛) 】 岛一1( ；) 风一芦2 【( 尻一岛+ 1 ) ( 风一1 ) 一警岛( 尻一岛) 】 岛一1 即对任何h f , h 协) 0 。 证毕 这样有 定理1 ：h ( u ) = 0 ，t 2h 解存在且唯一 证明： 令 ，日”( t ) = 0 ， 、7 一一 那么 c j x 3 ：( 岛一岛一1 ) t 一一面刁再丽 于是 7 一、1 当0 。缸 群时，h ”( t ) 0 当舞攀面耥 0 考察日( t ) 在几个点的值 日( ) = 舻响+ 1 油一1 ) 一啪肛一扇+ 肛一岛( 1 一皮) 危+ 驴一岛c 晒 = 肛响+ 1 洒一岛) + 驴响e 6 ( 岛一风) 山东大学硕士学位论艾 = 舻一如一例) ( 角一岛) ( 尻一庞+ 1 ) ( 历一i ) 0 嚣黼i c 6 ( 3 1 5 ) ( 历一岛+ 1 ) ( 风一) 、 因此。根据 缸 c 6 面c 6 鬲5 1 ( , 8 币1 - i , 8 万, z 两- 1 ) ，- r ( u ) 凇 日( ) 0 u 芒黼肌， = 0 有唯= 鳆挹，弋，、 时智( t ) o 我们可以进步得出t 对于任何t ，l ，g ( t ) = 0 有唯一的根 堪霆：一2 ：变在导是= ：，、， 通过方程组胡求酉 肚万繇 r ：一a h 风一融 、将a 和b 代入f ) ，我们可以给出它的表示式 。 、_ 、一 f 螨= a 设+ b 提 ：刃童己h a 善l 丽( 严一肛喝妒) ， p p ( 3 1 6 ) p 风一 一扇p 如v 一，“、p 、y l 1 0 ， 其中p 是( 展p 叩1 一岛 虎一愚p 岛一1 ) ( 譬一c ) 一 ( p 城一 口t 一岛p 嘞) = 0 的唯一根 最后我们给出f ( p ) 的完整表达式： 刊= 州 p p h p p 0 p h k a r a t z a s 从b l a c k - s c h o l e s 微分方程出发，推导出满足以下变分不等式( 与 b l a c k ，- s c 。h o l e s 微分方程对应) 的解就是对应上涨失效看跌期权( 不含红利) 的价格 i 譬舻矿( z ) + r 珂( 动一r g ( x ) = 0 ， b z h l 譬珂( z ) + 吲( 。) 一r g ( x ) ( z g ) + ，b z h f 夕( z ) = ( 。一+ ，0 5 z b l 夕( 动= 0 ，h z 0 0 山东大学硕士学位论文 其中x 是股票价格，q 是约定价格，b 是临界价格，h 是障碍价格0 b 口， 0 ( z ) ，b ) 是一个递减的函数 并且k a r a t z a s 构造出以下g l ( z ) 满足以上变分不等式的要求。 f 口一z ，0 s 6 = z ( 警) 端，6 z h 【0 ，h 茹o 。 其中b 是以下方程的唯一解； l + 口( ：) = + ( ；) 卢 p = 1 + 磐 在这里，我们考虑以下变分不等式： l 譬矿，+ ( r d ) 7 p ) 一r f = 0 ，h p p i 譬p 2 ，”( p ) + ( r 一p ，o ) 一r f ( p ) ；一a h p p 1 ，( p ) = ；一a p p + i，=0，0 0 ，p 0 n s ( 3 2 4 ) 即 。 ，骋e ”m ) ，( m 厂e “明驯w o ( 蛇叫( 3 ，2 5 ) p m h ，c ，( 矗) 一口f e - t p t f ( p t ) d w e ( t ) ，p 0 们( 3 2 6 ) j 0 两边取期望，有： ，( p ) e 0 陋1 。“叫，( ) l 一岛p 上 8 一“r ，( 只) 4 w o ( ) 1 ( z 2 7 ) 由咒s 呶尹 八岛【。e 粕( 硝( 剐铡舻岛吃”e “砰叫 = 舻p 2 8 i 一甜一一h 出 j o 舻芦一 2 菇再i h ，有，( 只) 争一c 、撰撰v o 琶t 鬈a 繇赣h 朱舢 对于 f 扣n ，我们有 只￥尹k ， 于是 e - r t 【；只2 f ”( 只) + ( r 一6 ) p t f ( p t ) 一r ，( 只) 】= 0 另外 d ，( ) = 孚一e 这样，我们可以得出 从而 ，= e o e 一7 9 帆f c p , ： 龟) 】 ， = e o e g t p ，( 只p ) 几r ， “ 】 = 岛 e 一- ( 字一e ) 丘9 ) 】 ( 3 3 1 ) ，0 ) = f 0 ) = 证毕 即，( p ) 就是障碍投资期权的解 ；s 蚺局【僻一e 6 ) e 一丘嘲) 1 1 ；岛 ( 一西) e 叶厶r ， 吨 l ，i 侈s j 。节。、 最崾要檄t 呈和造掣典坌残秒 在面1 我们已痉证萌芳程丐谬i i 并一面，裔2 r ，= o ，h p p 有以下 解t ，= 矛岛眇t 一肛喝p ) ，l i l p p 1 6 ” 山东大学硕士学位论文 其中p 是( a p 峨一一伤驴1 一岛p 柏一1 ) ( 譬一回一；( p 峨一触唧岛) = 0 的唯一根 现在我们作如下构造： 令 i ；一a p p 劬= 尹高辜赫( 矽一彬柏妒) ， p p l0，0ph 其中矿仍然是慨p m 一岛胪- 岛p 喝一1 ) ( 譬一c ) 一 ( p 风一触一岛p 喝) = 0 的唯一根 进而有 引理2 ： 证明： 由 于是 这样 证毕 从而我们有 定理3 。 证明， 首先由 拿埠西 南r j 9 1 r 南7 - 一岛西 _ - - - c 6 而一m 。 辫r - 6 西 c a p z ( 3 3 2 ) 譬矿斤+ p j ) 硝一哺 o ， p p ( 3 3 3 ) 尻 c 铲虎 嚣 。- ( 西) m 一岛【( r 一6 ) 尻一r 】 驴1 一如【( r d ) 阮一r 】 ( c r 一岛p r ( 尻一1 ) 一j + 风一如f c r ( 1 一岛) + c 苫岛1 0 h ( o r ) c r 即 、- p + 0 胱只狨未。函：心八八 于是 “ 霎p 2 疗+ ( r 一6 ) p f i p t f l ( p ) = ( r 一6 ) ：一r ( p 否一c ) = - p + o r ；一c ， p p 1 8 ( 3 3 4 ) 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= ：= ：= = = = ：= = ：= = = = = = = ：= ： 证明z 我们首先回忆函数h c u ) 一( a p 柏一岛肛一历p 岛一1 ) ( 等一c ) 一 成一肛一历矿岛) 具有的性质，对于任何h “ 矿，日( u ) 0 ，其中p 是日( 让) ：0 的根 盖是对稚何h 一 u 一 p * , gu 、) = 一u & - l h ，( u 0 慨庐一岛肛一岛庐一1 ) ( ；一一；( 彳一胪一如邂) o ， 缸 矿 令 咖= 去南肛p 矿 这里矿仍然是日( t ) = 0 的根 于是 = 址型芑蓦蒿笋业幽扎岣吖 那，、一 妒) ，h p p + 即 矗南 ；嵋 p p 于是l 、一。 型生翼幺。， 证毕 。 定理5 ： ，f 0 ) 有界 证明， 首先 叫一一批熙 山东大学硕士学位论文 于是 f0 ， ， p p ，i ，= 0 酽毒篙丽忱慨一1 ) 矿- 2 一胪嘞以夙一1 ) 妒1 ，l 害务【，、1厂乏p p x = 州渊】南 则 耋鬻鹦杂。 此时 爿) 爿( k ) 2 万矗蠹万愉肛一驴一如岛 纠) ， 胁) 冬万j 为而愉一屈) 胆4 当p i p 0 此时 爿 爿二) = ； 令m = 懈 刀煮b 而( 尻一岛) 肛， ) 那么对于任意h p 0 有爿( p ) m ，即月c p ) 有界 证毕 定理6 。 满足以上差分不等式 证明； ( 力显然满足 譬矿，i ，o ) + ( r 一6 ) 叫( 力一r o ) ：o ，_ f l p 矿 ( p ) = ；一c ，p p ) = 0 ，0 p h 根据定理3 ，定理4 和定理5 ，我们有 百o * 2 p 2 疗( p ) + ( r 一硝( 力一r p ) o ，p p 2 0 一 山东大学硕士学位论文 咖；- c , h p p * 另外 fj , p p 爿= 两( 历矿- 1 肛呐岛妒一) ， p p 【o ，0 0 从而 ( 力满足差分不等式的要求 证毕 3 3 用倒向随机微分方程( 即b s d e ) 方法来求解 下面构造个带反射壁的倒向随机微分方程( e pr b s d e ) ： 一d e = - r y d s + d k , 一互d b ， s 0 ( 3 3 5 ) d 乓2 孑一g r 【0 ，o o ，丁i ss t o p p i n gt i m e ( 3 3 0 ) k t 只- q8o(337) 在r b s d e 中，咒为连续增过程，并且 甄= o ，上瞰一( 孑一e ) 】d 疋= o ， o ( 3 3 8 ) 彭实戈教授在f l o 中证明了在f o ，j 区闯上倒向随机微分方程的解的存在唯性。 范玉莲在i s 中附录一定理1 1 证明我们构造的带反射倒向随机微分方程存在唯一解 ( ，：，k ) 4 令住= i , v t 20 ，忍 岛【厂咖一厂帆 z , d b o 1 - e - r e 一 d k oe - r s z , d b oe - r ( r 机) r 】 岛【一 川n 】 j 0 ，o 局【8 1 ( 7 慨) 幺f ) i 】 = 局【e 一”k 丑， 谯l + e 一唯 r ，龟) 】 = e o e ”v , z o 譬一c 又由于 z “q 【k 一( 譬一e ) 】d 托= 。 于是可以推出 从而 d = 0 ，p 怕( 0 ，9 a ) 岛【广协。一胂玩】= o d o k ：岛 r “礓e - p s d k 一厂一e - , o s z , d b , + e - “5 , 咖。k = 岛 一 + “) 1 0 n n j oj o = e o e 一”匕 ，p n ) 】 之吵划呔j l 综上所述， 从而 ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) k = f ( p ) ( 3 4 4 ) 即；该r b s d e 的t = 0 时刻的解就是障碍实物期权价格，其最优执行时刻为t 印2 i n f t 0 ，k = 孑一e ) ( 3 4 5 ) 这样对实物障碍期权价格的求解可转化为对带反射倒向随机微分方程( r b s d e ) 的求 解 哆i ! 墨蓬亨，i s 中已经证明对上述r b s d e 的求解可转化为对以下p d e 的求解； i 譬p 2 f ”o ) + ( r 一p ，( p ) 一r f ( p ) 一0 ，h p ；一qh p 矿 i ，( 力= ；一q p p ， 【，=0，0ph 根据前面的描述，该p d e 有唯一的解妇。，( 尸) ) 第四章数值分析 我们已经得到了问题的一定程度的显示解，因此可以通过图形分析我们所得到的结 果，并显示出投资决策对各参数的依赖性为了便于数值计算和画图，我们取投资花费 c = 1 ，在现实市场中。各参数在不同的市场环境下变化比较大，一般取 r = o 0 4 ，h 一0 0 1 ，口= 0 2 ，占= o 0 2 4 1对不同h 值进行的数值分析 对h = 0 、h = 0 0 1 、h = 0 0 2 和h = 0 0 3 进行分析 令6 = 0 0 4 ，c = 1 ，r = 0 0 8 ，口= 0 2 此时可以求出。 秒= 孚一互1 盯一o 尻2 ；( 一t ，+ 1 ) = 4 5 岛2 ；( 一t ，一1 ) = 一5 5 于是 日( t ) = ( 尻一1 ) t p 一虎+ 1 一c 6 # 1 u 口，一如+ 驴t 一如( 1 一岛) t l + h o , 一虎( ? 瞩 = 3 5 u l l o 1 8 u m + 6 5 h 1 0 , , 一o 2 2 h t m =0 山东大学硕士学位论文 h = 0 时。代入日( t ) = 0 ，可得。 3 5 “l l 一0 1 8 t 1 0 = 0 求出临界值： p l = o = 0 0 5 1 4 2 9 y 0 ) i 皇o = 1 2 8 5 7 当h = 0 0 1 时，代入- ( ) = 0 ，可得： 3 5 u n o 1 8 u l o + 6 5 1 0 2 0 u 一2 2 1 0 2 2 = 0 求出i l 缶界值。 p i 观o l = o 0 5 1 4 2 9 y ) l = o 0 1 = 1 2 8 5 7 当h = 0 0 2 时，代入h ( u ) = 0 ，可得： 3 5 u 1 1 0 1 8 u l o + 6 6 5 6 1 0 一一2 2 5 2 8 1 0 2 2 ：0 求出i | 占界值： p i = 0 0 2 = 0 0 5 1 4 2 6 v ( p ) i 乩= 1 2 8 5 6 当h = 0 0 3 时，代入日( t ) = 0 ，可得： 3 5 u l l o 1 8 u l o + 3 8 3 8 1 8 5 1 0 一“一1 2 9 9 1 0 0 事1 0 一船= 0 当 山东大学硕士学位论文 求出临界值t p j = o m = 0 0 5 1 2 7 6 y ) l 忙。鹏= 1 2 8 1 9 由以上可知th 越大，投资者越急于投资这是因为随着h 的增大，失效的可能性也越 大，从而投资期权的价值也在减小 4 1对不同6 值进行的数值分析 令 c = 1 ，r = 0 0 8 ，口= 0 2 ，h = 0 0 1 6 = o 0 3 时，代入日( t ) = 0 ，可得t 3 2 5 u l i 一0 1 2 7 5 u l o + 6 7 5 1 0 一加一1 7 2 5 1 0 一船= 0 求出临界值； 矿1 5 观= 0 0 3 9 2 3 2 6 当 山东大学硬士学位论文 y ( p ) i 扫o = 1 3 0 7 7 当6 = o 0 4 时，代入h ) = 0 ，可得。 3 5 u n o 1 8 钍l o + 6 5 牛1 0 一t 一2 2 幸1 0 一船= 0 求出临界值： p i 括o 毗= o 0 5 1 4 2 9 y 铲) i 扭。小= 1 2 8 5 7 当j = 0 0 5 时，代入日( 札) = 0 ，可得； 3 7 5 u 1 1 0 2 3 7 5 u i o + 6 2 5 1 0 2 0