（计算数学专业论文）多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散—波动方程.pdf

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o r d e rd e r i v a t i v e s w ec a ns o l v et h i sp r o b l e mb yu s i n gt h e c a p u t of r a c ：t i o n a ld e r i v a t i v e t h et e c h n i q u ec a na l s ob ea p p l i e dt od e a lw i t hg e n 。 e r a lf r a c t i o n a le q u a t i o n s i nc h a p e r3 ，w es o l v et h ef r a c t i o n a ld i f f u s i o n w a v ee q u a t i o n u s i n gt h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l et og e tt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n s d a f f a r d a r - g e j j ia n dj a f a r i 2 8 】h a v es o l v e dt h ea n a l y t i c a ls o u l t i o no ff r a c t i o n a ld i f f u s i o n w a v e e q u a t i o nu n d e rt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h en e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o nu s i n gt h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e ，m o r e o v e r ，t h es o u r c et e r mt h e y c o n s i d e r e di so n l yd e p e n d e n to nt e r m p o r a lv a r i a b l e i nt h i sp a p e r ，t h es o u r c et e r m o fn o n h o m o g e n e o u sf r a c t i o n a ld i f f u s i o n - w a v ee q u a t i o ni sd e p e n d e n to nb o t ht e m 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 p o r a lv a r i a b l ea n ds p a t i a lv a r i a b l e w eg e ta l lt h es o l u t i o n so ff r a c t i o n a ld i f f u s i o n w a v ee q u a t i o nu n d e rh o m o g e n e o u s n o n h o m o g e n e o u sm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ff r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o ni sc o n s i d e r e d w ec o n n e c tt h ec o l l o c a t i o nm e t h o di nc h a p e r2w i t ht h em e t h o do fs e p a r a t i o no f v a r i a b l ei nc h a p t e r3 ，t h e nw eg e tt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e di ne v e r yc h a p t e r ，w h i c hv e r i f yt h e e f f i c i e n c yo ft h ea b o v em e t h o d s k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lc o m p u t a t i o n ；t h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e ；t h e c o l l o c a t i o nm e t h o d 3 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 4 l 童 j r置 分数微积分的出现已有3 0 0 多年的历史几乎古典微积分的概念刚被提出， 分数微积分就受到众多学者的青睐。分数微积分最早有系统化的研究是由l i o u v i t l e ( 1 8 3 2 ) ，r i e m a n n ( 1 8 5 3 ) 和h o l m g r e n ( 1 8 6 4 ) 在1 9 世纪初期和中叶完成的，但 g u n w a l d 和k r u g 最先统一了l i o u v i l l e 和r i e m a n n 分数微积分定义。 2 0 世纪分 数微积分的理论与应用有了显著的发展 近几十年，分数阶导数的应用领域越来越广，包含的部分科学和工程应用领域 有：各种材料的记忆、力学和电特性描述，岩石的流变性质描述，地震分析，粘弹 性阻尼器，电力分形网络，分数阶正弦振荡器，机器人，电子电路，电解化学，分 数电容理论，电极一电解质接口描述，海水渗透问题【1 , 2 ，3 】，分形理论特别是 描述自相似和多空结构的动态过程【4 】，分数阶p i d 控制器设计【5 】，粘弹 性系统和柔软构造物体的振动控制【6 】，分数阶生物神经元和概率论等 因此，本文就讨论有关分数阶微分方程的一些问题首先，讨论多阶的分数阶 常微分方程。关于分数阶常微分方程的精确解的存在性和唯一性，已经有许多作者 【7 , 8 】讨论过。最近二十几年，分数阶常微分方程的数值解也有许多作者讨论过 【9 ，1 0l ，例如p o d l u b r y 1 9 9 9 1 【l l 】提出了一些有效的数值方法，解分数阶常 微分方程沈、刘【1 2l 提出一种有效数值方法解分数阶b a g l e y t o r v i k 方程 林、刘【1 3 】提出了一种线性多步法解分数阶常微分方程。杨、刘【1 4 】用分数 阶预估一校正方法求解分数阶r e l e x a t i o n o s c i l l a t i o n 方程。d i e t h e m l m 等【1 5 】 用分数阶a d a m s 方法解分数阶常微分方程。b l a n k 在【1 6 】中提出了配置样条 方法r a w a s h d e h 在【1 7 】中应用配置方法求分数阶积分微分方程的数值解。本 文，我们也足用配置方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解，但与文献【1 6 、 1 7 】的根本区别在于，我们讨论的是c a p u t o 分数阶定义，而不是【1 6 、1 7l 中 讨论的r i e m m a n l i o u v i l l e 分数阶定义。讨论c a p u t o 分数阶定义的好处在于，我 们推导的数值方法可应用于含有整数阶的常微分方程。 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 其次，讨论分数阶扩散一波动方程。分数阶扩散一波动方程【1 8l 在实际中 有很强的物理背景，例如：【1 9 、2 0 、2 1 、2 2 、2 3 】这类方程的传统解法是 【11 】中提出的l a p l a c e 变换方法、m e l l i n 变换方法和f o u r i e r 变换方法。现在有 许多作者又提出了分数阶扩散一波动方程的其它解法【2 4 ，2 5 ，2 6 】，其中a g r a w a l 【1 8 】用有限正弦方法解定义在有限空问上具有齐次第一边界条件的分数阶扩散 一波动方程。a 1 一k h a l e 和m o n m a n i 【2 7 】提出利用a d o m i a n 分解方法解分数 阶扩散一波动方程。d a f t a r d a r g e j j i 和j a f a r i 【2 8 】利用分离变量方法求解了 此类方程在第一类和第二类边值条件下的基本解，而且文献【2 8 】考虑的自由项 只与时间变量t 有关，在自由项与时问和空间变量都有关的情况下，求分数阶扩散 一波动方程的各类齐次、非齐次边界条件下的解析解，就遇到一些困难。下面，我 们提出一些技巧来解决这些问题。本文，我们也是运用分离变量方法求解分数阶扩 散一波动方程。但是，我们将考虑非齐次分数阶扩散一波动力程在各类齐次边界条 件和非齐次边界条件下的解。利用分离变量方法求解方程，不可避免要涉及到斯图 模一刘维尔型方程的特征值和特征函数。因此，我们也讨论了这个问题。 本文，大体由下面几部分组成：第一章，先给出有关分数阶导数的一些预备知 识。第二章，考虑多阶的分数阶常微分方程介绍了多项式样条空间，推导配置多 项式样条方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解，并给出数值例子证实了配置方 法的有效性。第三章，考虑分数阶扩散一波动方程。先给出了斯图模一刘维尔型方 程在不同类型边值条件下的特征值和特征函数，运用分离变量方法导出分数阶扩散 一波动方程在各类齐次边值条件下的解析解，接着考虑分数阶扩散一波动方程在非 齐次的边值条件下的解析解，最后给出了两个例子来说明所用方法是正确的。第四 章，考虑时间分数阶扩散方程。利用第三章的分离变量方法将分数阶偏微分方程的 变量分离，简化成分数阶常微分方程，再应用第二章中配置方法求分数阶常微分方 程的数值解，进忻得到分数阶扩散方程的数值解，最后，数值例子给出了有力的证 明。 第四章是用分离变量方法和配置方法求得分数阶扩散方程的数值解。关于分数 阶扩散方程的数值解解法也有许多作者讨论过【2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 】事实上， 我们已经知道许多解分数阶常微分方程的数值方法，例如【1 1 、1 2 、1 3 、1 4 、 5 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 6 1 5 】，可以利用这些数值方法同分离变量方法相结合的办法不仅可得出分数阶扩 散方程的数值解，也可得出分数阶波动方程的数值解。 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 第一章预备知识 这一章，我们主要介绍两种分数阶定义：r i e m a n n l i o u v i l l e 定义和c a p u t o 定 义。在本文中，所用的分数阶定义都是c a p u t o 定义。 定义1 ： ( r i e m a n n l i o u v i l l e 定义的分数阶导数) 【1 1 】： 。m 忙 蓁雳后揣】，o _ m - 叫l 脉m ，1 ， 特别有： 啪= 禹， c 为任意常数。 定义2 ： ( c a p u t o 定义的分数阶导数) 【1 1 】： 特别有： ( 1 2 ) 晰= 焘f 崭o 一1 ， ( 1 4 ) d ? c = 0 ，( 1 5 ) 7 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散波动方程 第二章利用配置方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解 考虑下列分数阶常微分方程 s l ( t ) d t l1 ( ) + s 2 ( t ) d f 2 y ( t ) + + 岛( ) d ? 9 y ( t ) + 8 q + l ( t ) y ( t ) = ，( t ) ，( 2 1 ) 和初值条件 夕( j ( o ) = 玑( 2 2 ) 这里0stst ，o t i r + ，o r l 0 ，0 o t is1 ，i = 1 ，2 ，q 及f o q + i ，22 l ，口一1 ，协r ，歹= 0 ，d 由于0 口1 1 ，所以这里d = 0 ，( ) ，岛( ) ( z 一1 ，q ) 都是定义在 0 ，t 】上 的已知函数，且对于任意t 【0 ，丁】，8 1 ( t ) 0 2 1多项式样条空间 对区域【o ，t 】进行n 等分 甲 如= n h ，n = 0 ，j ，1 一，n ，h2 寿( 2 3 ) 令 z n = t o ，t l ，t n ；0 = t o t l t n = t ) ( 2 4 ) 再令= 【t 。，t n + 1 】，n = 0 ，1 ，一1 假设有整数m 1 和d 0 ，我们令s 。m ( a + ) d ( 孙) 表示在节点( 2 3 ) 和( 2 4 ) 上定义的分段多项式函数组成的样条空间 s 等：d ( 孙) = 扎( ) ：扎( ) i t e a n = u n ( ) 7 r m + d ，佗= 0 ，n 1 ) ， 还要求u 寥( 。+ 1 ) = 扎罂1 ( t n + 1 ) ，j = 0 ，1 ，d ，这里丌。+ d 代表次方不超过m + d 的 多项式函数。 下面，我f f j 弓l 进符号叫毖这里o o t 1 ，i = 1 ，m ，j = 0 ，1 ，n ，r = 0 ，1 ，m + d 8 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 蟛蛙 斧甚 蟛址 睁翘纠广吨| ， 1 2 2配置方法的推导 在每个小区间( y n = l t 。，t n + l 】，( 佗= 0 ，1 ，n 一1 ) ，我f r i l l 进m 个剖分点： t n , 1 t n , 2 t 。m ，t n , i = t 。+ c i h ( i = 1 ，2 ，m ，礼= 0 ，1 ，n 一1 ) ， 这里c 1 ，c 2 ，c m 是不依赖礼和，并且满足：0 c l c 2 c 。s1 。 令x ( n ) = u ，这里x 。= _ k ，i ：t n , i = t 。+ c i h ，i = 1 ，m ) c 盯。 方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 在区域【0 ，t 】_ k f f o 精确解将由札e 职d ( z | v ) 近似，对乱的 要求是：当t x ( n ) 时，u ( t ) 要满足方程 s 1 ( ) d ? 1 u ( t ) + s 2 ( t ) d t 2 u ( t ) + + s q ( t ) d 4 u ( t ) + 8 q + l ( t ) u ( t ) = ，( t ) ， ( 2 5 ) 钆( j ) ( o ) = y j ，歹= 0 ，d ( 2 6 ) 在每一个区域o n 上，u ( ) s 盟d ( z ) ，因此，设 d m 扎( t ) = 扎。( 如+ r h ) = n 妒7 - 7 + 7 m ， ( 2 7 ) r = 0 r 一- - - 1 这里t = t 。+ r h g r n ，7 - e 0 ，1 1 注意到数值解钆( ) 中的。铲) ，o 由初值条件来确定。y j t t r f 更_ j j 起见，我们 引进一系列向最 9 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 护， 咖，广 o ( 叶1 ) = m 1 0 ( n ) + m 2 b ( ， 这里m 1 是( d + 1 ) ( d + 1 ) 矩阵，尬是( d + 1 ) m 矩阵，它们分别是： 。毗，：h 【l 歹 r j ， r 歹，歹= o ，d ，r = 0 ，l ，d c ，鼻，= ( d r ) ，歹= 。，以r = l ，2 ，m 另外，在o o = 【t o ，t 1 】上，可得出向量o ( o ) 与初值条件的关系为： o ( o ) ： y ( o ) 等( o ) 等y ( d ( o ) ( 2 8 ) 1 0 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 引理2 1如果r 和南是整数，r k ，尼一1 o l 0 ，那么，我们就有： 证明： k 一1 生- 鱼2( 口一z ) k - az 一“丌( r p ) f 耘咖= 一( 、i l + 生! f 翌二2 瓦黑舟两幽i ( n 一叼) 口+ 1 一k + + ( a - - z ) 7 1 一o z r ! f j = 丁一 n ( 七一c t + p ) p = o 七 ( 口一z ) 七一a + 1 z 一七一1 兀( r p ) p = o 1 兀( 七一a + p ) p = o + 广( a - x ) r - a r ! ) + 矗丝 兀( k - a + p )兀( 七一o + p ) p = op = o 一赢1c ( 矿) d ( a 一卵) 扯。 一生等掣( n z ) 虹。z ” 一矿柄后( 7 7 r ) 1 d ( a 一7 7 ) 扛0 + 1 一三生二三兰掣( a z ) 。一。z 7 一七一丢三黼( o z ) 一q + 1 z 7 一一1 + 西j 可西杀【_ 丽片( 矿) d ( a 一叩) 扛。+ 2 一丛2 兰攀( 口一z ) 一。z 一一爰三昌糊( 乜一z ) 一q + 1 2 7 一1 11 - q ) ( 七- a + 1 ) ( r o ( n z ) k a z 7 一氏 一( 瓦石 可( o z ) “q 一1 z + 拦幕鲁群高 兀( r p )a z ) k - 。q - 1 z ”一一11 - i ( r p ) 型) _ 一+ 丁上l 兀( k - c l + p ) ( 七 n ”一d r ! r良 1 - i ( k - a + p ) p = o + + ( a - x ) r - a - l x r ! + 耋 型) 兀( k - - a + p )兀( k - a + p ) p = op = o 定理2 2 若u ( t ) 满足( 2 7 ) ，那么 d t u ( t 。+ c i h )= 去f n 到d n ) n ” 证明：( i ) 当0sk 一1 口 k ，k = 1 d 尹u ( t ) =南后器诞 w t i ，i ( n ，- + j d , 。6 驴j ，0 口1 志n 互- 1 启+ 1 篙诞+ 南疋爵吠 1 1 m 一 。伽 垒堕盟坌燮丝坌查堡塑坌塾堕芷墼二鎏塾立堡 1 2 令t = t 。+ r h ，则乱( ) = 钆。( k + 7 - ) ，于是 这里 d 尹u ( t ) i i ( r ) = 南善驴鼎 + 南它打 而差警阿嗽 褊妻片嚣咖 + 褊石韶咖 i i ( r ) + 1 2 ( r ) 柄妻片嚣溉 1 2 ( r ) = 1 h o r ( k n 、 将( 2 。7 ) 代人i i ( r ) 和，2 ( 7 ) ，得 ，1 ( 7 - ) = 1 2 ( r ) l h o f ( k - a ) 1 h o r ( 意q ) i u 一( n h ) ( t n + r l h ) d 叩 v 一。i ”一n i i 蓦詹d 霎咖 刍n - 1 盯墨a 下o r ) ( r 而) ( k ) - 杀- k b一(j)(rld+r)(k)咖 莉b董苎n9，詹雨黔咖j= 0r = 0 。、。7 + 赢b 甚量拶，露d 篇禺咖j7 = 0r = 1 、。7 赤j r o r 壁丢鬻竺咖 丽丽f 石芦w r 一以卵 南曼盯尚咖 + 丽b 量桫石器咖+ 高桫片老筹备咖 r 2 1 ( 2 9 ) 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 利用引理2 1 ，有 i i ( r ) ，2 ( 丁) = 1 h o r ( k q 1 ( n j + r 一1 ) “一a 兀( r p ) k 一1 p = o 七一q 知 ( n j + 1 一1 ) 一o + 1 兀( r p ) + f 上l 兀( 一a + p ) p = o 等掌幽j_等掌型】+r(n-j+r)r-c。r!ikl jr 盘一1r j r 一知 兀 ( 七一o + p ) 兀( 七一a + p ) 兀( 七一a + p ) p = op = op = o + ( n 一歹+ r 一1 ) ( 矗+ 1 一a ) 兀1 ( d + r p = o 1 n ( 一o + p ) p = o +一(n-j41-1)d+r-1-a(d+r)!+鱼二等睾妄z竺型+垒弓彗拿二=堕!坐) 兀( k - c t + p )丌( k - c l + p )n( k - o + p ) p = op = o r = o h o r ( k 0 1 ) d fn 妒) z 二一一 r = r ! r 7 一o r k 丌( k 一口+ p ) p - o 令7 _ = c i ，并且k = 1 从而有 i i ( c i ) + 。r ( k 0 1 1 古皇兰 照筹 而p古 与群兀而 i = 0r = 1 芦= 1 一而1 三( 仡一歹+ q r + d 一丽1 三( n 一歹+ 白一 矗n - 1 d 叫黔- j a ) a 9 +矗叫黔 + i = 0r = 0 1 2 ( c i ) 由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，所以有 d ? u ( t ) l t ：t 。+ 。；h d + r 丌j ) _ 兰扩。 m f 移 j ：_ ， r = 1 ) 型! ! ! 兰：二! d + r 一 兀( k 口+ p ) p = o r - v _ ：2 _ 垃1 1a ( j ) p n j 。 而基m1w ( n r + d - j , 。) 6 妒而i r + d 。彬 j = or = 1 嘉塞带专亟盎n + 去曼篙1 j f 忐6 妒， 嘉d 埘：。) n 妒) + 1 m 叫3 ；：6 妒) i i ( c i ) + 1 2 ( c i ) 嘉 妻d 伽铲n 9 ) +嘉 伽黔1 一n p + i = or = o w ( r + n - j d , 。6 纽 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 1 3 0 r n d 1 1 “触 卜 桫 m 一 “舢 一 。兀一 口一u 、， l # 、型 出m 匠 ，l m 一 “舢 上胪 警 。兀一 m 。触 茎堕笪坌塑盟羔堡竖塑塑豳坌墼堕筻墼：这塑查堡 1 4 ( i i ) 当q = k = 1 时， 由( 2 7 ) ，知 驿扎( 啦， ：可d k u ( t ) c l k u ( t n 1 + 。1 一h ) ：d k u n ( t n ，+ r h 一) d r k一忑f i t = t n + l h = 两1 d k u ( t 丽+ 广t h ) 蔓 1 m = o n 1 - i ( r p ) r 7 一七+ r = k p = 0 r 。- - 一l 再令7 - = c i ，将( 2 1 3 ) 代入( 2 1 2 ) ，于是 咖| f _ 聃啪= 古互d 氨( ) 证毕。 根据定理 絮掣 壹d 1 “l 厶厶 j = or = 0 d = 击 r = k nd = 去伽0 j = or = 0 ，、七一1 妒兀( d + r p ) r a + r p = o ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) + 矗薹6 妒旦k - 1 ( d + r p ) c 妒忌 训g 叠。够 2 2 ，方程( 2 5 ) 在t = t 嘶时的展开式为 叫嚣- - j ：o t l ) n 9 + + 号参弘f 壹d 叫( r t - - 五口。) 。9 ) + j = or = o + + 等乒【妻d j = or - = o d w v ( n - j , 。2 彬】 w 、! n ，- j , a q ) 以9 ) + 妻登 j = or = l毗u ( h n - - j d , 。a 彬】 n 妒巧+ 8 q + 1 ( 如，；) 量妒州：f ( t d r = 1 ， 吣h 叫 m 吲 上护 + n r 0 驴 仇嘲。触 上胪 r d ， 谤 q 吐“ m 沙 叫 m 一 托：亘 m 嘲 n 伽 咖 、l ， 礼l+ 口 s + 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 上式两边同乘热，整理，便有 o l 、“ 1 2 t ， 墨叫辨+ 豢碧胛一墨警分秒+ + 州s q ( t , o 舻h1 咄量m 叫擘寥6 5 “ + 谢护黑刈妒) = _ 三d ( 0 , a 1 ) a 妒) + 型，h a l - 0 2 三d 叫黟a 2 ) a 妒) + + 榴护。0 。三d 叫n + 端箸护三dc i n 蚋 + 焉巾蛳) 一( n 三- - 1 三d 吒( n ，- j , a i ) n 驴) + 套墨叫嚣老0 1 w ) 一粼护。0 2 ( n - i 三d 叫i , r _ j p 2 ) t $ 驴) + 萎墨吒( n 州- j , a 2 ) r ) 一糕护“。( n 三- 1 三d 吒( n ，- j , a q ) a 9 ) + 笔墨吒( - j , o q ) b 驴) 写成矩阵和向量的形式，为： y ( ”) 6 ( ”) = u ( ”) n ) + f ( ， ( 2 1 4 ) 这里y ( 竹) 是m m 矩阵，u ( ”) 是m ( d + 1 ) 矩阵，f ( ”) 是m 维向量， n = 0 ，n 一1 当1 i m 时 ( y ) 妒= w w 妒( o , + o d o + 署等h a l - a 2 w w 驴( 0 , + a 2 d ) + + 制h n l 芬+ d ，1s rsm ( u ( n ) 妒= 一伽黟劬一署等 。1 一q 2 叫嚣一一谢h 。1 ，0 rsd ( f ( ”) i = 煮8 b，(如，t)1( n t ) ，、”l ，o ， 焉巾嘶) 一( 二n - 1 三d 叫寸( n - j , a i ) “9 ) + n 磊- - 1 r n 训驴( - - + j d , o o v h 9 ) 一裂胛一( n 善- 1 三d 叫争抽2 ) 。9 ) + 笔墨伽暴叠吲彬) ) 一揣脚飞( n 二- - 1 三d 叫争加q ) n 9 ) + n 暑- - 1 三r n 吒( n - 3 o q ) b 9 ) ， 。n = 0 引理2 3 当h 充分小时，矩阵y ( ”) 是可逆矩阵。这是由于，当h = 0 时， y ( n ) 的行列式是范德蒙行列式 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 定理2 4 用样条函数札职d ( z ) 来近似( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的精确解时， ( 2 7 ) 式中的n ( ，6 ( ”) 是由( 2 8 ) 和( 2 1 4 ) 两个递推公式得到的：在【0 ，t 1 ) 中， n ( o ) 是有由初值条件给定的，通过( 2 1 4 ) 式6 ( o ) = 【y ( o 】_ 1 ( u ( o ) o ( o + f ( o ) ， 得到6 ( 叭，在【t n ，t n + 1 ) ，( n 1 ) 内，o ( ”) 由( 2 8 ) 得到， 6 ( ”) 是由( 2 1 4 ) 式 6 ( 住) = 【y ( ”】一1 ( u ( ”) o ( “+ f ( “) 得到。 2 3数值例子 在这一节中，我们给出一些例子，证明我们方法的有效性。 设札端( 纨) ( m = 3 ) ，c l = ，c 2 = ；和c 3 = ； 例1 ：d r ( t ) + d o 5 y ( t ) + y ( t ) = t s i nt ，0s t 1 0 ， 初值条件y ( o ) = 0 根据【1 1 】，可知 精确解足：可( ) = 店g 3 ( t 一丁) 7 s i n7 - d 丁 其中：g 3 ( ) _ 量譬船磐影一v t ) ， 础( 可) = 塞鼎制岛，( 忌= o ，1 ，2 ，) 1 6 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 表2 1 ：步长h 分别取0 2 和0 1 ，t = l ，2 ，1 0 时数值解和精确解的误差。 时间h = 0 2 的误差h = 0 1 的误差 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 2 1 0 5 3 9 8 1 7 8 1 0 0 5 9 e 0 0 64 11 2 7 2 0 4 8 9 5 0 1 9 5 3 8 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 2 1 2 7 6 4 7 3 9 9 9 0 2 3 e 一0 0 52 3 2 4 5 81 14 6 2 4 0 2 3 4 8 0 0 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 06 5 5 6 510 9 2 5 2 9 2 9 6 9 e 一0 0 69 3 5 7 9 2 9 2 2 9 7 3 6 3 2 8 8 0 0 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 4 3 5 1 5 11 0 0 1 5 8 6 9 e 一0 0 4 1 0 9 7 3 2 1 5 1 0 3 1 4 9 4 1 e - 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 02 4 1 5 1 8 0 2 0 6 2 9 8 8 2 8 e 一0 0 42 4 0 5 6 4 3 4 6 3 1 3 4 7 6 6 e - 0 0 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 19 2 3 9 4 2 5 6 5 91 8 0 e 一0 0 4 1 0 7 8 8 4 4 0 7 0 4 3 4 5 7 0 e - 0 0 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 03 9 4 9 8 7 8 7 3 7 3 3 0 4 3 7 e 一0 0 43 8 8 2 5 7 2 0 5 4 8 6 2 9 7 6 i 0 0 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 6 8 0 8 4 716 7 9 6 8 7 5 e 一0 0 48 0 6 8 0 8 4 7 1 6 7 9 6 8 7 5 e 一0 0 4 9 0 0 0 0 0 0 0 0 04 3 2 4 9l3 0 2 4 9 0 2 3 4 4 e 一0 0 44 4 0 3 5 9115 6 0 0 5 8 5 9 e - 0 0 4 10 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 8 6 1 2 8 6 1 6 3 3 3 0 1 e 一0 0 47 9 2 5 6 2 9 615 7 8 3 6 91r 0 0 4 从表2 1 可以看出数值解和精确解的误差非常小。因此，我们可以证实，配置 方法是求解多阶的分数阶常微分方程的数值解的一种计算有效的数值方法 例2 ：d f y ( t ) + d 秒( ) + y ( t ) = t s i nt ，0sts1 0 ，0 o psl ， 初值条件：v ( o ) = 0 图2 2 2 5 给出了具有不同的分数阶导数o ，和的多阶的分数阶常微分方程 数值解的形态。从例2 可以看出，多阶的分数阶常微分方程数值解的形态依赖于分 数阶导数理，和p 。因此，我们可以断言，配置方法可以利用于模拟多阶的分数阶 常微分方程的数值解 1 7 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 图2 2 ：当p = 0 2 ，口= 0 1 时 方程数值解的变化情况 图2 4 ：当p = l ，q = 0 5 时 方程数值解的变化情况 图2 3 ：当p = 0 9 ，a = 0 1 时 方程数值解的变化情况 图2 5 ：当= 1 ，口= 0 9 时 方程数值解的变化情况 1 8 多阶的分数阶常微分方程和分数阶扩散一波动方程 第三章利用分离变量方法求解一维分数阶扩散一波动方程 的混合边值问题 解： 本章考虑下面一维非齐次分数阶扩散一波动方程在各类混合边界条件下的解析 边界条件： 初始条件： 。尹札( z ，) = 尼望：茜萎 生+ ，( z ，) ，。 o ， ( 3 2 ) ( a 2 u ( 州) + 脘掣m 圹删扮o ， ( 3 3 ) u ( x ，0 ) = 妒( z ) ，0 z l ，0 o ls2 ，( 3 4 ) u t ( x ，0 ) = 砂( z ) ，0 x 2 ，1 “2 ( 3 5 ) 这里k 是非零常数，并假设g l ( ) ，9 2 ( t ) ，妒( z ) ，矽( z ) ，f ( x ，t ) 都是充分光滑的函 数，o l ；+ 所o ( i = l ，2 ) ，并且当夕2 1 ( ) + o i ( t ) 恒不等于零时，即边界条件是非齐 次的，要求0