（理论物理专业论文）若干高维可积和不可积系统的严格解.pdf

若干高维可积和不可积系统的严格解 摘要 随着科学技术的不断发展，人们越来越认识到自然界中的一些非线 性现象的重要性。相对于线性现象，非线性现象的性质更为复杂和难以 捉摸，人们对此一度畏之如虎。直到最近几十年来，构成非线性科学的 三大分支，孤立子、混沌和分形理论得到了迅速发展，才使人们对非线 性科学有了更为清楚的认识，并且已经设立了专门的科技期刊来介绍它 们的最新研究进展。作为非线性科学中一个非常重要的组成部分，孤立 子理论在上世纪六十年代真正形成并成为一个非常活跃和富有吸引力的 研究领域。尽管孤立予理论尚处于年轻时期，但是它在数学、生物、大 气海洋学及物理学的许多领域都有非常重要的应用。越来越多的数学家 和理论物理学家从事孤立子理论的研究，已经取得了许多非常重要和有 意义的研究成果。作为一门还很年轻的学科，孤立子理论有着良好的发 展前景。 由于孤立子理论的研究对象主要是低维或者高维的非线性偏微分方 程，所以如何求解这些非线性偏微分方程就成为一个相当困难的问题。 因为对线性系统有效的求解方法一般不适用于非线性偏微分系统，因此 人们不得不寻求其它独特的方法来求解非线性偏微分方程。这些方法 包轷反散射方法、对称约化方法、b 目e k l u n d 变换、h i r o t a 双线性法、非 线性化方法、p a i n l e v 6 截断展开法、齐次平衡法以及达布变换法等。然 而，这些方法都只是对某些或者某类非线性偏微分方程适用，并不具有 普遍性。正是由于非线性系统本身的复杂性，使得发现或者提出一个对 所有非线性偏微分系统都适用的方法是不现实的，也是不可能的。 我们知道分离变量法是研究线性系统的强有力的工具之一。近十多 年来，几种不同形式的分离变量法在各自的适用领域都得到了迅速发 展。比如，由曹策问教授提出的对非线性系统的l a x 对进行非线性化， 或者称之为对称约束法( 程艺、李翊神、曾云波等) 以及形式分离变量 法( 楼森岳、陈黎丽等) ；另外一种方法是基于一般条件对称的泛函分离变 量法( rzz h d a n o v 、屈长征、张顺利等) 以及最近得到蓬勃发展的由楼森 岳、陆继宗、唐晓艳等建立的多线性分离变量法。利用多线性分离变量 e 海交通大学博十学位论文 法可以得到许多2 + 1 维非线性系统的包含两个变量分离函数的严格解 的一个普适公式。从这个普适公式出发，可以得到非常丰富的局域激发 模式。 达布变换法是另外一个构造孤子方程解的有力工具，国内外的许多 学者在从事达布变换法的研究并且取得了一系列有意义的研究成果。一 般来说，达布变换有两种不同的形式，有着不同的适用范围。一种是初 等达布变换，对l a x 对包含谱参数的非线性系统适用。另外一种称为二 元达布变换，一般适用于l a x 对不含谱参数的非线性偏微分方程。在本 文中，我们所研究的非线性系统都不显含谱参数，因此必须引进二元达 布变换来研究系统的具体性质。而构造二元达布变换的一个关键点就是 如何确定闭的1 形式。这个闭的1 形式之所以难以建立在于我们找不到 一般的构造方法来寻求一个普适的形式对所有的非线性系统都有效，成 功与否在很大程度上依赖于作者的技巧性和经验性。 近十多年来，楼森岳教授和他的研究小组在对一大类非线性系统的 分离变量法方面作了大量的研究工作，取得了丰富的研究成果。他们研 究了很多高维可积非线性模型以及不可积模型，给出了用一个简洁的普 适公式来表示严格解的统一表达式。这些模型包括色散长波方程，非对 称的n i z h n i k - n o v i k o v - v e s e l o v 系统，s i n e g o r d o n 模型，d s 方程以及不 可积k d v 模型等。既然多线性分离变量法可以得到包含两个变量分离函 数的严格解，并且得到了非常丰富的局域激发模式，那么，一个自然的 问题就是，如果我们是否可以采用其它传统的求解方法来得到类似于多 线性分离变量法的结果呢? 本学位论文的前半部分内容很好地回答了这 个问题。 本学位论文主要解决了下述几个由多线性分离变量解引出的更为深 入的几个重要问题： j 一般说来，多线性分离变量解的求得一般要借助于一个先验假 设。由此我们解决的第一个问题是如何用孤子理论中传统的求解方法来 系统地得到多线性分离变量解而不需要先验的假设? 2 多线性分离变量解通常只包含两个变量分离函数而线性分离变量 法容许任意多个变量分离解的线性叠加。因此，如何将多线性分离变量 解推广至可以包含任意多个的变量分离函数成为一个非常重要和有意义 的问题。 中文摘要 3 多线性分离变量解的丰富性来自于任意函数的进入，但这种方法 通常仅适用于可积模型。而实际物理模型大多是不可积模型。一个自然 的问题就是我们如何寻找不可积系统的包含任意函数的分离变量解呢? 由于达布变换方法仅适用于可积模型，并且传统的达布变换无法得 到包含任意函数的严格解。而多线性分离变量法得到的严格解的任意性 和丰富性来自于任意函数的进入，因此如何在不可积系统的严格解的表 达式中找到类似的丰富性和任意性是一件非常困难的事。幸运的是， 在本论文中，我们成功地将形变映射理论进行推广得到了不可积模型 的包含任意函数的严格解。一个西4 模型和s i n e g o r d o n 或双s i n e g o r d o n 模型间的形变映射关系在文献 j m 砒p h y s 3 0 ( 1 9 8 9 ) 1 6 1 4 中是已知 的。在此基础上，我们进一步发展了形变映射方法，建立了两个或多 个西4 场和s i n e g o r d o n 或双s i n e g o r d o n 场之间的形变映射关系。从这些 形变映射关系出发，我们构造了高维s i n e - g o r d o n 和双s i n e - g o r d o n 模型 的用j a c o b i 椭圆函数表示的严格解。得到了不可积s i n e g o r d o n 或者双 s i n e g o r d o n 模型的一些近似周期波解、周期波s o l i t o f f 解、周期波坷1 1 k 解、周期波。周期波解、周期波一拟周期波解等等。我们对所谓的拟周期 解从几个特殊的方向上和平面上分析其特有的性质，给出了具体详尽的 理论分析和阐述。 本学位论文的创新点： ( 1 ) 发展和结合达布变换方法和多线性分离变量法来构造一些2 + 1 维非线性可积系统的包含任意个变量分离函数的严格解。传统意义的达 布变换无法得到包含任意函数的严格解，而多线性分离变量法只能得到 两个变量分离函数的严格解。我们结合这两种方法求得了非线性系统的 包含任意多个变量分离函数的严格解。 ( 2 ) 研究了一些2 + 1 维非线性可积系统新的孤子解的新相互作用过 程及其性质。 ( 3 ) 从两个方面推广了形变映射理论：( a ) 建立了多个咖4 场和 s i n e g o r d o n 以及双s i n e g o r d o n 场之间的形变映射关系；) 建立了变系 数的西4 场和s i n e g o r d o n 以及双s i n e g o r d o n 场之间的形变映射关系，从 而得到了这些不可积模型的包含任意函数的严格解。 ( 4 ) 构造了不可积系统的丰富的局域解和周期解，如多s o l i t o 行解及 其周期波推广，周期形变的蛇形孤波解以及变模的拟周期解等。 关键词：达布变换法；分离变量法；形变映射关系；s i n e g o r d o n 方程： 双s i n e - g o r d o n 方程；周期波解；拟周期波解。 1 1 1 e x a c ts o l u t i o n sf o rs o m eh i g hd i m e n s i o n a li n t e g r a b l ea n d n o n i n t e g r a b l es y s t e m s a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , p e o p l eh a v ep a i dm o l ea t t e n t i o nt o n o n l i n e a rs c i e n c es i n c ei tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l eb o t hi ns c i e n c ea d v a n c e m e n ta n do u rl i f e s o l i t o n s ，c h a o sa n df r a c t a l sc o n s i s to ft h em a i np a r to fn o n l i n e a rs c i e n c e a m o n gt h e s e ， t h et h e o r yo f s o l i t o n si sa t t r a c t i v ea n de x c i t i n gs i n c ei tc a m ei n t ob e i n gi n1 9 6 0 s a l t h o u g h s o l i t o nt h e o r yi ss t i l ly o u n g ，i ti sr e l a t e dt om a n ya r e a so fm a t h e m a t i c s ，b i o l o g ya n de v e n m o r ea p p l i c a t i o n st oa l m o s to fa l lb r a n c h e so fp a y s i c s ，s u c ha sn o n l i n e a ro p t i c s ，s o l i ds t a t e p h y s i c s ，h y d r o d y n a m i c s ，t h et h e o r yo fr e l a t i v i t ya n dp l a s m ap a y s i t s ，e t c n o wm o l ea n d m o r em a t h e m a t i c i a n sa n dt h e o r e t i c a lp h y s i c i s t sa r ed e v o t e dt h e i ri n t e r e s t st os o l i t o nt h e o r y a n dh a v eo b t a i n e dm a n yi m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gr e s u l t sa n ds o l i t o nt h e o r ys h o u l dh a v ea p r o m i s i n g f u t u r e i ng e n e r a l ，s i n c et h eo h j e c t $ s t u d i e di ns o l i t o nt h e o r ya r en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( p d e s ) i nl o w o rh i g hd i m e n s i o n s ，i ti sm u c hm o r ed i f f i c u l tt os o l v et h en o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h a nl i n e a ro n e sa n ds o m em e t h o d ss u i t a b l ef o rl i n e a re q u a t i o n s d on o tw o r kf o rt h ep d e s i no r d e rt os o l v et h i st o u g hp r o b l e m p e o p l eh a v ei n v e n t e da n d i n t r o d u c e do t h e rv a l u a b l em e t h o d sf o rn o n l i n e a rs y s t e m s ，f o re x a m p l e ，t h ei n v e r s es c a t t e r - i n gt r a n s f o r m ，s y m m e t r yr e d u c t i o n ，b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，h i r o t ab i l i n e a rf o r m ，n o n l i n e a r i z a t i o no fl a xp a i t , p a i n l e v 6t r u n c a t i o nm e t h o d ，h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，v a r i a b l e s e p a r a t i o na p p r o a c ha n dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n c t c e a c ht e c h n i q u eh a si t sa p p l i c a b l e f i e l d sa n di ti si m p o s s i b l et os e e kau n i v e r s a lm e t h o df o ra 1 1t l l en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o n eo f t h ee t f i c i e n tm e t h o d si st h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nw h i c hd o e sw o r kt oc o n s t r u c tt h es o h t o ns o l u t i o n so f m a n ys o l i t o ne q u a t i o n s m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dt h ed a r - b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o ra b u n d a n ts o l i t o ne q u a t i o n sa n dg i v e no u tl o t so fi n t e r e s t i n ga n d i m p o r t a n tr e s u l t s i ng e n e r a l ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nh a st w od i f f e r e n tt y p e so ff o r m s o n e i st h ee l e m e n t a r yd a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n ，t h eo t h e ri st h eb i n a r yd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n t h e s et w ot y p e so f d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sa r eu n l i k eb e c a u s et h ec o n s t r u c t i o nm e t h o d sa r e 英文摘要 d i f f e r e n ta n de a c hh a si t so w na p p l i c a b l ef i e l d i no r d e rt og i v et h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n f o rt h el a xp a i ro f p d e sw i t h o u ts p e c t r a lp a r a m e t e r , w es h o u l di n t r o d u c et h eb i n a r yd a r b o u x t r a n s f o r m a t i o nt h a nt h ee l e m e n t a r yd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n t h ek e y s t e pt oc o n s t r u c tt h e b i n a r yd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o ni sh o wt os u p p o s et h ec l o s e dl f o r mw h i c hp l a y sa l li m p o r - 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i n t e g r a b l e ，h o wt os e e kt h ee x a c ts o l u t i o n se x p r e s s e db ys o m ea r b i t r a r y f u n c t i o n si sa ni m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gq u e s t i o n w i t ht h eh e l po fd a r b o u xt r a n s f o r m a f i o a n dv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n so fi n i t i a l p r o b l e ma n dl a xp a i ro ft h ep d e s ，w eh a v eo b t a i n e ds o m en e wt y p e so fs o l i t o ns o l u t i o n s o ft h ed i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n ，t h ea s y m m e t r i cn i z h u i k - n o v i k o v - v e s e l o ve q u a t i o n ， t h en i z l m i k - n o v i k o v - v e s e l o ve q u a t i o na n db e c a u s eo f t h ee n t r a n c eo f t h ea r b i t r a r yv a r i a b l e s e p a r a t e df u n c t i o n s w ec a nc o n s t r u c tm a n yn 州t y p e so fe x a c ts o l u t i o n sa n dt h em u l t i p l e l o c a l i z e de x c i t a t i o n sb yp r o p e rs e l e c t i o n so f t h ea r b i t r a r yf u n c t i o n s w b a ts h o u l db ep o i n t e do n ti st h a td a r b o u xt r a n s f o r m a t i o ne p p m a c hi sv a l i do n l yf o r i n t e g r a b l es y s t e m sw i t he x i s t i n gl a xp a i r t h ea r b i t r a r i n e s sa n da b u n d a n c eo f t h ee x a c ts o 1 u f i o n se x i s t i n gi nt h ei n t e g r a b l em o d e l si sb e c a u s eo f t h ee n t r a n c eo f t h el o w e rd i m e n s i o n a l a r b i t r a r yf u n c t i o n si nt h es o l u t i o ne x p r e s s i o no b t a i n e df r o mt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n d v 一 海交通大学博十学位论文 t h em u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h t of i n ds i m i l a rr i c h n e s so f t h ee x a c ts o l u t i o n s o f s o m en o n i n t e g r a b l em o d e l si sm u c hm o r ed i f f i c u l t i ti sf o r t u n a t e ，i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h a t w eh a v ee x t e n d e dt h em a p p i n ga n dd e f o r m a t i o nt h e o r yt oc o n s t r u c tm o r ee x a c ts o l u t i o n s w i t ha r b i t r a r yf u n c t i o n s t h em a p p i n gr e l a t i o nb e t w e e no n e f i e l da n dh i g hd i m e n s i o n a l s i n e g o r d o no rd o u b l es i n e g o r d o ns y s t e mi sk n o w ni nl i t e r a t u r es u c ha sj m a t h p h ) r s 3 0 ( 1 9 8 9 ) 1 6 1 4 h e r e ，w eh a v ed e v e l o p e dt h em a p p i n gr e l a t i o n sb e t w e e no n eo rm o r ec o n s t r a i n e d f i e l d sa n dh i i g hd i m e n s i o n a ls i n e g o r d o no rd o u b l es i n e - g o r d o ne q u a t i o n f r o m t h em a p p i n gr e l a t i o n s ，w ec a no b m i nm a n yn e wk i n d so ft h ep e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ，t h e q u a s i p e r i o d i cw a v es o l u t i o n sa n dp e r i o d i c - k i n ks o l u t i o n so f h i g hd i m e n s i o n a ls i n e g o r d o n a n dd o u b l es i n e g o r d o ns y s t e m s t h ep r o p e r t i e si ns p e c i a ld i r e c t i o n sa r ec o n s i d e r e dt os h o w w h yt h es o l u t i o n sa r ec a l l e dq u a s i - p e r i o d i cw a v e si nd e t a i l t h en o v e l t i e sa n dn e wr e s u l t s ： ( 1 ) d e v e l o pa n dg e n e r a l i z et h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n dv a r i a b l es e p a r a t i o n 印一 p r e a c ht oc o n s t r u c tt h en e we x a c ts o l u t i o n so fs o m e2 + 1 - d i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m s ， ( 2 ) l o t so f n e wl o c a l i z e de x c i t m i o n sa r eo b t a i n e da n df u l l ys t u d i e d ( 3 ) f r o mt w os i d e s ，t h ed e f o r m a t i o na n dm a p p i n gt h e o r yh a sb e e ne x t e n d e d ： ( 3 a ) e s t a b l i s ht h em a p p i n gr e l a t i o n sb e t w e e nt h em u l t i 一毋4f i e l da n dt h es i n e g o r d o n o rd o u b l es i n e g o r d o ns y s t e m s ； ( 3 b ) e s t a b l i s ht h em a p p i n gr e l a t i o n sb e t w e e nt h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t 扩f i e l da n dt h e s i n e g o r d o no rd o u b l es i n e g o r d o ns y s t e m st oo b t a i nt h ee x a c ts o l u t i o n sw i t ha r b i t r a r yf u n c t i o n sf o rt h e s en o n i n t e g r a b l em o d e l s ( 4 ) c o n s t r u c tt h en e wl o c a l i z e dp e r i o d i ce x c i t a t i o n sf o rn o n i n t e g r a b l es y s t e m ss u c ha s m u l t i - s o l i t o f f w a v e sa n dp e r i o d i c s o l i t o f f w a v e s p e r i o d i c s n a k e ”s o l i t a r yw a v e sa n dq u a s i - p e r i o d i cw a v e sw i t hv a r i a b l em o d u l u s k e yw o r d s ：d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；v a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ；m a p p i n gr e l a t i o n s ；s i n e - g o r d o ne q u a t i o n ；d o u b l es i n e g o r d o ne q u a t i o n ；p e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ；q u a s i p e r i o d i cw a v es o l u t i o n s v i 上海交通大学学位论文答辩决议书 页码，1 1 l i 申请者i 胡恒春| | 所在学科( 专业) 8 理论物理 m 论文题目 若干高维可积和不可积系统严格解镕 m 答辩日期 2 0 0 5 - 0 6 1 4 | l 答辩地点 l 浩然大厦2 2 0 2 房间 l i i答辩委员会成员 i 担任职务j姓名职称 所在工作单位i 备注l签名i l 主席l张卫圈1教授 上海理工大学l 主席舭赫j l 委员i黄冒翔 教授华东师范大学物理系l答辩委员 噎砒i 舔| i 委员 马红孺教授e 海交通大学物理系答辩委员l噙一列 l 委员 高固柱教授东华大学理学院i答辩委员易p 删1 i 委员李志斌教授 华东师范大学计算机系 答辩委员 乃专试i i 委员楼森岳教授 上海交通大学物理系答辩委员| | 谴黑拢l l 委员 范恩责 教授 复旦大学数学所 答辩委员| l 蕴坚幺芬l 评语和决议： 非线性方程的严格求解是理论物理中一个十分重要且困难的问题。胡恒春同 学在其博士学位论文中将传统的达布变换法和最新发展的分离变量法结合起来， 解决了口j 2 一】维1 ：线性可棚系统的一些较普遍类型解的严格求解问题，并且详 细研究了这些严格解之问的相互作用性质和演化过程。此外，该博士学位论文中 还讨论了单个或者多个变系数的k e i n g o r d o n 场与高维不可积韵s i n e g o r d o n 和双s i n e - g o r d o i l 模型之间的彤变映射关系，构造了高维不可积系统的用含有常数 模和任意函数模的j a c o b i 椭到两数表示的丰富的孤波解，周期波解以及拟周期 解。从一些特殊的方向和平面二研究了它们的性质，给出了详尽的阐释与说明。 该论文在理论上、方法e 及内容上都有创新，而且所求解的具体问题都具有很高 的难度，已在国内外重要杂志t 发表了8 篇与博士学位论文相关的论文。论文有剖 造性，是一篇合格的博士论文。该论文推导无误，论证严谨，分析严密，结论可 靠，反映了作者已经具备了曝实的专业基础，系统地掌握了达布变换法和分离变 量法的相关知识，有很强的独立科学研究能力。胡恒春同学在答辩过程中陈述清 晰，表达流畅，能迅速准确地阐答答辩委员提出的问题。答辩委员会一致通过胡 恒春同学的博士学位论文答辩并建议授予胡恒春同学博士学位。 表决结果： 一级通过 答辩委员会主席名2 ；z 嗡i 艘名) t 心年6月厂目 上海交通大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容补，本论文不包含任何他个人或集体 己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的卜人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本文完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 上海交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解上海交通大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留荠向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章绪论 1 1 孤立子理论的发展简史 11 1 孤立波的发现及孤立子理论的简单发展史 孤立波首先是1 8 3 4 年英国工程师r u s s e l l 在一次偶然的机会里，观察运河中的 水波运动过程中发现的【1 】。他在1 8 4 4 年写给第1 4 届英国科学促进会的报告中详细 阐述了他1 0 年前观察到的这种奇特的水波现象【2 】。直到6 0 年后的1 8 9 5 年，荷兰著 名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev a l e s 研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅 的假定下。建立了单向运动的浅水波运动方程，这就是著名的k d v 方程 3 ，4 。他们 从k d v 方程出发得到了与r u s s e l l 描述一致的，具有形状不变的脉冲状孤立波解， 从而在理论上证实了孤立波的存在。 既然在水波运动中发现了孤立波现象并且给予了理论上的证明，那么个自然 的问题就是这种奇特的现象是不是只存在于浅水波运动中，而在其它的物理领域会 不会出现呢? 这个问题一直没有得到很好的回答。直到上个世纪的五十年代著名 物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 通过计算机实验研究了非线性弹簧上的质点的运动， 使人们重新认识到非线性问题中能量的分布不同于线性问题中的能量分布 5 。后 来，t o d a 研究了类似的非线性振动得到了孤立波解，使得f p u 问题得到了正确的 解答，从而激发了人们对孤立波研究的兴趣。 随后，p e t t i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时，对s i n e g o r d o n 方程作数值 解，结果也表明碰撞后的两个孤立波也保持原有的形状和速度【6 。1 9 6 5 年，美国著 名物理学家、美国科学院院士k r u s k a l 和物理学家z a b u s k y 用数值模拟方法详细分析 了等离子体中孤立波的碰撞，进一步证实了这类孤立波相互作用后不改变波形的论 断，由此，他们命名这种孤立波为孤立子s o l i t o n 【7 】。 随着科学的进一步发展，孤立子理论在世界范围内掀起了研究热潮，在许多的 物理学分支和其它学科里都已经发现了孤立子的存在。如粒子物理，统计物理，天 体物理，凝聚态物理，等离子体物理，生物物理，材料物理，数学物理，大气海洋 物理，高分子物理等方面【8 h 1 2 】，尤其是全光式孤子通信更成为通信领域里受人瞩 目的焦点。 现在孤立子理论作为非线性科学孤立子、混沌和分形一中的一个重要分支， 已经引起人们越来越浓厚的研究兴趣，在各个方面都得到了迅猛的发展。 坶变通大学博士学位论文 1 1 2 孤立子理论中的一些研究手段 由于孤立子理论研究的都是非线性系统，在线性系统中行之有效的解的叠加性 原理不再适用。因此，人们就需要考虑其它方法来研究非线性问题。在大半个世纪 的发展进程中，很多数学家和物理学家提出和发展了很多求解非线性问题的方法， 下面将对此作个简单的说明。 最早由g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a 将一维s c h r 6 d i n g a r 方程的反散射 问题和求解k d v 方程的c a u c h y 初值问题相联系而提出的反散射方法 1 3 1 。此 后，l a x 、z a k h a r o v 和s h a b a t 推广了这种方法，并将其应用高阶k d v 方程和非线性 s c h r s d i n g e r 方程等 1 4 】。1 9 7 4 年，a b l o w i t z 、k a u p 、n e w e l l $ ns e g u r 利用软件包来求 解大批的非线性偏微分方程的解 1 5 。其它的一些方法如h i r o t a 双线性方法 1 6 】、 对称约化法 1 8 、p a i n l e v $ 分析【1 9 】、齐次平衡法、b i i c l d u n d 变换、摄动法、几何方 法、分离变量法以及达布变换法等等 2 0 ，2 1 。国内的许多专家在很多方面都作出了 非常重要的工作，如谷超豪院士、胡和生院士、曹策问教授、李翊神教授、楼森岳 教授、刘青平教授、胡星标研究员、程艺教授、黄国翔教授、周子翔教授、耿献国 教授、范恩贵教授等等。 1 1 3 分离变量法的发晨历程 在线性物理中有两大普遍适用的方法，傅立叶变换法和分离变量法。由于在线 性物理和非线性物理中研究的对象不同，所采用的方法也无法完全套用。直到上个 世纪六十年代，傅立叶变换法才被非常成功的推广到非线性科学中的一些可积模型 中，这就是著名的反散射方法