（运筹学与控制论专业论文）细胞比生长速率的参数辨识与优化.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文以甘油为底物、微生物歧化生产l ，3 丙二醇( 1 ，3 。p d ) 的含间歇发酵的批式流 加过程为背景，根据发酵过程的物理特征和动态行为，建立了描述该过程的非线性脉冲 动力系统及其以函数为控制变量的脉冲控制模型，论述了系统的主要性质并构造优化算 法求得控制模型的最优解。这些成果，不仅可推动此类非线性脉冲动力系统、最优脉冲 控制理论及基底理论的发展与研究，还可以为实现1 ，3 一丙二酵的产业化生产提供理论指 导，因此该项研究具有重要的理论参考价值和现实意义。本课题受到国家自然科学基金 资助项目“非线性分段光滑动力系统的优化理论与方法”( 编号为1 0 4 7 1 0 1 4 ) 和国家 “十五”科技攻关计划项目“发酵工程生产1 ，3 一丙二醇”( 编号为2 0 0 l b a 7 0 8 8 0 1 0 4 ) 的 资助。 本文所研究的内容与取得的主要结果可概括如下 1 、论述了非线性脉冲微分系统及其最优控制问题，针对批式流加生产l ，3 p d 的发酵 过程，引入描述其物理过程的非线性脉冲动力系统及其辩识模型，并论证了辩识系 统解的存在唯一性和解对初值及参数的连续依赖性。 2 、以多种细胞比生长速率( ) 的经验公式构成有限维函数空间的基函数，根据最佳 逼近原理，在有限维空间中寻找的最优表达，依实验数据建立了辨识芦的脉冲控 制模型，论述了该模型解的存在性，并结合实验和优化算法求出了辩识模型的最优 解。 3 、概述了均匀设计法和优化算法的基本原理，结合本论文所研究的实际问题，阐述了 均匀设计法在寻求全局最优解方面的优越性和传统h o o k e j e e v e s 优化算法的不足， 并予以改进，数值结果表明，改进后的算法具有更高效的收敛特性且能有效解决局 部最优问题，辩识后的模型亦较好的描述了实验的物理进程。 关键词：非线性脉冲动力系统；参数辨识；最佳逼近；均匀设计法； 改进的h o o k e j e e v e s 优化算法 细胞比生长速率的参数辩识与优化 p a r a m e t e ri d e n t i 6 c a t i o na n do p t i m i z a t i o n o fs p e c i n cg r o w t hr a t eo fc e l l s a b s t r a c t t h i sd i s s e 咖t i o n ，b a s e d0 nt h ep r o c e s so fb a t c ha r i df c d b a t c hc u l t u r eo fg l y c e r o l b i o c o n v e r s i o nt o1 ，3 一p r o p a i l e d i o la 1 1 dc o n s i d 谢n gi t sc h a r a c t e r i s t i ca n dd y l l a m i cc o n d u c t ， e s t a b l i s h e san o n l j n e a rj m p u l s i v es y s 妇a n dt h eo p t j m 8 lc o n lm o d e i t h em a i nf e a t u r eo f t h i sd y n a m i cs y s t e m 姐do ft h eo p t i m a lc o n 订0 1m o d e la r ed i s c u g s e d t h i ss t u d y ，c a nn o to n l y p r o m o t et 1 1 er e s e a r c ha n dp r o 酽e s s0 fn o n l i n e a ri m p m s i v es y s t e mt h i sk i l l d ，t 1 1 et 1 1 e o r yo f o p t i m a li r r l p u l s i v ec o n 缸d l 趴do p t i m a la l g o r i t l l mr e l a t e d ，b u ta l s op r o v i d em eb a s i ct h e o r e t i c a l r e f e r e n c ef o rp r o d u c i n g1 ，3 _ p r o p a i l e d i 0 1 t h e r e f o r e ，t 1 1 i sr e s e a r c hh a sj m p 0 姗tt 1 1 e o r e t i c a j m e a l l i n ga l l dp r a c d c a lv a l u e t h i ss m d yi ss u p p o n e db ym en a t i o n a ln a t i 】r es c i e n c e f o t l i l d a t i o no fc h i n a ( g r a n tn o 1 0 4 7 1 0 1 4 ) a n dn l et e n t l l5y e a r s p r o j e c t so fs c i e n c ea n d t e c h n 0 i o g ya 蛐i s 订a t i o no f c h i r i a ( 雕i n tn o ，2 0 0 1 b a 7 0 8 8 0 1 0 4 ) t h ec o m e n ta n dm a i nr e s u l t so f 血i sd i s s e r t a t i o nc a nb es u m m a r i z e da sf b l i o w s p r e s e n tt l l en o i l l i n e a ri m p u l s i v ed i f f b r e m i a ig y s t e ma n di t so p t i m a ic o n 舡d l p r o b l e m ，a 1 1 dt l l en o i l l i i l e a ri m p l l l s i wd y l l a n l i cs y s t e mt 0d e s c 曲ei t s c k 吡i c t e r i s t i cb 鹳e do nt l l ep m c e s so fb a t c ha i l df e d b a t c hc l l l t u r eo fg l y c e r o l b i o c o n v e r s i o nt o1 ，3 p r o p a l l e d i 0 1i se s t a b l i s h e d t h ee x i s t e ms i n g u l 撕t yo ft 1 1 e s o i 砸o no f n o n l i n e a ri m p u l s i v es y s t e ma n di t sc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo nt l l e i | 1 i t i a lv a l u ea n dt h ep 棚锄e t e ra r ea l lp r 0 、，e d 2 t a k e s o m ec l a s s i c a lf o r m u l a “o 璐o f 脚a st h eb a s i c 劬c t i o n so f t h ef i n i t e 劬c t i o ns p a c e ，a n ds e a r c h 血eo p t i m a ls o l u t i o no f i nt h ef i n i t es p a c eb a s e do n t h eo p t i m a l 印p f o x i m a t i o np 血1 c i p l e t h eo p t i m a lc 咖lm o d e lt oi d e 嘶每i s e s t a b l i s h e d t h ee x i s t e n c eo f t l l es o l u t i o no f t h i sc o n 扛d lm o d e li sd i s c u s s e d a n d m eo p t i m a ls o l u t i o ni so b t a i n e db yt h ei m p r o v c dh o o k e j e e v e sa l g o r i 咖n 3 皿eb a s i cp r i n c j p 】eo f u n i 硒孤d e s i 印a n do p t i m a la j g o n 功j sd i s c u s s e dh e r e ， 趾dt h es u p e r i o d t yo f u n i f o n nd e s i g ni ns e a r c k n gt h eg l o b a lo p t i i l l a ls o l m i o na i l d 血es c 眦时o f t h ec l a s s i c a lh o o k e j e e v e sa l g o 珊衄a r ed i s c u s s e d b yu s i n gt h e 大连理工大学硕七学位论文 i m p r o v e dh o o k e _ j e e v e sa k o r i t 1 m ，t h en u m 嘶c a lr e s u j t s0 f ap r a c t i c a jp r o b l e m s h o wt l l eb e 他rc o n v e r g e n c eo f t h ei m p m v e da i g o r i t m a i lt h ec l a s s i c a l ，柚dt l l e i d e n t i 矗e ds v s t e mc a l ld e s e 曲et h e p h y s i c a lp r o c e s st h a i 】m ep r e v i o u ss y s t e m k e ) w o r d s ：n o n l i n e a ri m p u l s i v es y s t e m ；p a r a m e t e ri d e n d n c a t i o n ；u i f o r m d e s i g ； l m p r o v e dh o o k e - j e e v e so p t i m a ia l g o r i t h m 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：型朗盟 日期； 劲ff 上- 细胞比生艮速率的参数辩识与优化 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”，同 意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：趟麴翻 导师签名： 型年月埘 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 本章介绍了最优控制及系统辨识的基本理论与方法，函数空间基底研究与发展现状，微生 物发酵生产1 ，3 一丙二醇( i ，3 p d ) 的特点及研究现状等，同时列出了本文的主要工作。 1 1 最优控制与系统辨识简述 控制系统最优化问题一般可分为静态最优化( 参数最优化) 问题和动态最优化( 最优控制) 中各变量不随时间变化，而只表示对象在稳定工况下各参数之间的关系，其特性用代数方程来 动态最优化问题是指系统从一个工况变化到另一个工况的变化过程中，应满足最优要求。 在动态系统中，所有的参数都是时间的函数，其特性可用微分方程或差分方程来描述。动态最 优控制要求找出控制作用的一个或一族函数而不是一个或一组数值，使性能指标在满足约束条 件下为最优值。这样，目标函数不再是般函数，而是函数的函数，即泛函。因此，在数学上 这属于泛函求极值的问题。本文所研究的即是此类最优控制问题。 所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定动态系统确定一种控制规律，使该系统 能在规定的性能指标( 目标函数) 下具有最优值。也就是说，最优控制就是要寻求容许的控制 作用( 规律) ，使动态系统( 受控对象) 从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规 定的性能指标( 目标函数) 达到最小( 大) 值。其一般描述由以下几部分组成。 以常微分方程( 或方程组) 及初始条件描述的受控对象，满足的动态特征，即动力系统为： f x ( f ) = ，0 ，矗) “j f 0 ，f ， 一： ( 1 1 ) 其中x 胄”为状态变量，是描述受控对象动态行为的仃个独立变量：尺”为控制变量，是影 响受控对象行为的m 个变量，一般有“叱c 只“，叱是r ”中非空开集或闭集；f 是时间变量， ，= f o ，f ，】，o 与f r 分别表示系统运行的初始时刻与终止时刻；，( ，石，) 是描述受控 细胞比生长速率的参数辩识与优化 对象的动态特征的胛维矢值函数，即：厂：，月”砜寸r “。通常行与m 为正数，且脚 。设 瓯c 彤为初始状态形成的集合，为非空有界开或闭子集。 对于动态系统( 1 1 ) 总假设，：x 一肜，& 及”r 1 使系统( 1 1 ) 存在唯 解，记为x ( r ) = x ( ，知，“) 。巩o s ，令 s ( ) = 工( ，“) 尺“f x ( f ，甜) 为系统( 1 1 ) 以为初值，对应控制变量“u 的解 2 、目标集与状态约束集 把系统( 1 1 ) 的状态x ( ) 从初值品，经控制变量”的作用，使其轨道 芏( ) m ( ，) 匕r “，；j 。称子集m ( 幻为系统( 1 1 ) 的状态约束集。另外，还要求状态x ( ，) 的 终端时刻0 气引导到终端状态x ( ，) ，一般终端状态x ( ，) 受约束限制，如r “中的某一点。， 或r “中的某个曲面，或r 。中的某个区域等，即使终端状态z ( f ，) 属于某个集合蚧c 彤，则称 曲c 为系统( 1 1 ) 的目标集。 例如目标集定义为 嘶= x r “g r ( r r ，x ) = 0 ，g ，e 尺9 ，p s 盯 。 ( 1 2 ) 3 、允许控制集 控制变量 ( f ) ，f j 的允许控制集为 ，= ”( r ) r ”l “：，_ r ”为分段连续的m 维矢值函数，且把系统( 1 1 ) 的状态_ 】c ( r ) 从h 出发在f ，时刻引导到目标集，即x ( f ，) s ( 1 f 3 ) 4 、性能指标 表征系统( 1 1 ) 的品质优劣的性能指标是依赖控制变量“( ，) u ，的泛函，又称性能指标函 或代价泛函，记为，( “( ) ) ( 一。，+ m ) 。一般，( 斫) ) 包括终端时刻，及终端状态x ( 项，以及整 个过程的积分项，即 ，( 甜( ) ) 。爱( f r ，x ( o ) ) + r ( f ，z ) ，甜( ，) ) 矗 ( 1 4 ) 上式右边两项分别成为终端状态费用、运行费用，世：r + x 掣寸r ，三：，彤x u ，斗r 为已知， x ( f ) = x ( f ，”) s ( ) ，称x ( f ) ，f ，为系统( 1 1 ) 的轨道。 5 、最优控制问题表述 考虑动力系统( 1 1 ) ，垤。s ，求允许控制“( f ) u ，使系统( 1 1 ) 在控制变量+ ( ，) 的 作用下，从初态氐& 出发，到终端时刻，到达& ，即z ( ，) 品，且使性能指标， ( ) ) 达到 极小( 或极大) ，即 大连理上大学硕士学位论文 ( “( ) ) s ，( “( ) ) ，v 甜( ) u ， ( 1 5 ) 这样，一个最优控制问题可以表示为 m 1 “m ( ) )( 1 6 ) 一，“( f ) u 7 称“( ，) ，f ，为最优控制，系统( 1 1 ) 对应甜( ，) 的解为z ( ，) = x ( r ，“) ，称x ( r ，“) 为 最优轨线。称，( “( ) ) 为最优性能指标，记为，= ，( ”( ) ) 。把( 七+ ( f ) ，“+ ( ，) ) 称为最优控制问题( 1 1 ) 到( 1 6 ) 的最优解。 6 、最优控制问题的分类 依性能指标对控制问题可作如下分类： 若性能指标( 1 4 ) 中的( ，) = o ，工( ，- ，) = 1 ，即j ( “( ) ) = f ，一f 0 ，则称该问题为快速最优控 制，或称时间最优控制问题，即，( ”( ) ) 表示系统从初始状态s 转移到目标集昂过度的时 间为f ，一f 0 。当& 只含一个固定点时，称为固定端点问题：当品= 彤时，即对终端状态工( ，) 无 任何约束时，则称为自由端点问题；当 ，给定时，则称为固定终端时刻问题，否则称为终端时 刻自由问题；当三( ，) = o ，而k ( ，- ) o 时，则称性能指标j ( “( ) ) 为末值指标。并称为终端控 制问题；当k ( ，) = o ，而( ，) o ，则称j ( “( ) ) 为过程性能指标，或积分型指标；而当丘( ，) o ， ( ，- ) o 时，则称，( ( ，) ) 为混合型指标。因此，性能指标( 1 4 ) 包含了工程设计评价系统品 质优劣的常用指标。 可见，最优控制属于系统综合与设计范畴。最优控制的任务是：给定一个被控系统或被控 过程( 包括有关的约束条件和边界条件) 以及性能指标，如何设计相应的控制系统，使得在满足约 束条件和边界条件的同时，其性能指标达到极小( 或极大) 。 1 1 3 系统辨识简介 任何系统的分析、设计、综合和控制以及对未来行为的预测，都是在已知系统的数学模型 的基础上进行的。因此，建立描述系统动态性能的数学模型，就成了自动控制的理论基础和工 程实践的重要组成部分。系统辨识就是从对系统进行观察和测量所获得的信息中提取( 建立) 系统数学模型的一种理论和方法。 、系统辨识的主要内容与步骤 所谓系统辨识，就是利用被辨识系统输入输出实验数据或正常运行数据，来确定该系统的 数学建模结构和估计参数的理论和方法。 下边对系统辨识的内容和步骤作简单介绍。 系统辨识的内容主要包括：实验设计、模型结构辨识、模型参数设计、模型检验四个步骤。 3 细胞比生长速率的参数辩识与优化 系统辨识一般要经历如下步骤。 1 明确辨识目的 明确模型应用的最终目的是很重要的，因为它将决定模型的类型、精度要求及采用什么样 的辨识方法等。建立数学模型的目的大致有控制、仿真、估计物理参数等几个方面。 2 掌握验前知识 对一个给定的被辨识系统进行辨识之前，要通过一些手段，对它取得一般了解，粗略地掌 握对象的一些先验知识，如系统的非线性程度、时变或非时变、时间常数、过度过程时间、截 止频率、纯延迟、静态放大系数及噪声特性和操作条件等。这些验前知识对实验设计和模型结 构设定等将起指导性作用。 3 实验设计 实验设计包括选择和决定： 1 ) 输入信号( 幅度，频率带等) ；2 ) 采样时间； 3 ) 辨识时间( 数据长度) ；4 ) 辨识方案：开环或闭环辨识；离线辨识或在线辨识。 目的是使采集到的数据序列尽可能多的包含系统特性的内在信息。 4 数据预处理 辨识实验采集到的输入、输出数据通常都会有直流成分或低频成分，用任何辨识方法都无 法消除他们对辨识精度的影响。此外，数据中的高频成分对辨识也是不利的。因此对输入输出 数据一般都要进行零均值化和剔除高频成分的预处理，以提高辨识的精度。 5 模型结构辨识 模型结构辨识包括模型验前结构的假定和模型结构参数的确定这两部分内容。模型结构假 定，就是根据辨识目的，利用已有的知识( 定律、定理、原理等) 对具体问题进行具体分析， 包括机理分析、实验研究和近似技巧确定一个验前假定模型，再用模型鉴别方法选出可用的模 型来。为此，首先要明确所要建立的模型是静态的还是动态的，是连续的还是离散的，是线性 的还是非线性的，是参数模型还是非参数模型，等等。然而模型的验前结构并不一定是最终的 模型形式，它必须通过模型检验才箍确认。模型结构辨识的第二部分内容就是在假定模型结构 的前提下，利用辨识方法确定模型结构参数。 模型结构辨识是决定模型质量的关键一步，也是辨识过程中一项困难的工作。目前，对 于模型结构辨识，基本上还处于定性分析同时辅以定量研究的阶段。 6 模型参数估计( 参数辨识) 当模型结构确定之后，就要对模型中的未知参数进行估计。这就是在一族模型中，找出一 个能满意地( 在某种准则意义下) 描述观测数据的具有特定参数的模型。参数估计阶段主要是 定量化的研究阶段，在这个阶段，最重要的是确定合适的参数估计方法，包括应采用怎样的准 大连理工大学硕： 学位论文 则从模型族中选择出能最优的描述被辨识系统的模型。在此基础上，采用相应的数学方法，借 助于数值计算工具，估计出所需模型的参数值。在这一阶段，最优化的各种方法获得了广泛的 应用。 二、参数辨识的方法 参数辨识是系统辨识的一个重要环节，其目的是寻求系统的一组最优参数，使系统更好地 描述实际过程。可以说，对系统进行辨识是研究系统各种性质的前奏，因此，参数辨识的意义 重大。 辨识方法包括非参数模型辨识方法和参数模型辨识方法。参数模型辨识方法必须确定一种 模型结构，通过极小化模型与过程之闯的误差准则函数来确定模型的参数，即参数辨识。 这类辨识方法通常有以下三种： 第一种为最小二乘法：利用最小二乘法原理，通过极小化广义误差函数的平方和函数来确 定模型的参数。最小二乘法( l s ) 是种经典的数据处理方法，但由于最小二乘法估计是非一致 的、有偏差的，因而为了克服它的不足，形成了一些以最小二乘法为基础的辨识方法：广义最小 二乘法( g l s ) 、辅助变量法( i v a ) 和增广矩阵法( e m ) ，以及将般的最小二乘法与其它方法相结 合的方法，有相关分析法一最小二乘两步法( c 0 r l s ) 和随机逼近乘法。 第二种为梯度校正法：利用最速下降法原理，沿着误差准则函数关于模型参数负梯度方向， 逐步修改模型的参数估计值，直至误差准则函数达到最小值。 第三种为极大似然法：根据极大似然原理，通过极大化似然函数来确定模型的参数。极大 似然法( m l ) 对特殊的噪声模型有很好的性能，具有很好的理论保证：但计算耗费大，可能得到的 是损失函数的局部极小值。 传统的系统辨识方法 1 _ 4 1 虽然已经发展的比较成熟和完善，但也存在着一定的不足和局限： ( 1 ) 基于最小二乘法的系统辨识一般要求输入信号已知且必须具有较丰富的变化，这一条 件在许多普通闭环控制系统是可以满足的，而在某些动态预测系统和过程控制系统中，系统的 输入往往无法精确获得或不允许随意改变，因此这些传统的方法不便直接应用： ( 2 ) 传统的系统辨识方法对于线性系统的辨识具有很好的辨识效果，但对于非线性系统往 往不能得到满意的辨识结果； ( 3 ) 传统的辨识方法普遍存在着不能同时确定系统的结构与参数以及往往得不到全局最优 解的缺点基于神经网络的系统辨识神经网络技术f l 。】是2 0 世纪末迅速发展起来的一门高技 术，由于神经网络具有良好的非线性映射能力、自学习适应能力和并行信息处理能力。 本文研究的一类非线性脉冲动力系统是从微生物批式流加发酵中抽象出来的。由于现有的 描述微生物发酵动态行为的数学模型都不能很好地描述微生物批式流加发酵过程，故对所建立 的批式流加生产1 ，3 丙二醇的非线性脉冲系统及其参数辨识模型的研究，不仅可推动脉冲微 5 一 细胞比生长速率的参数辩识与优化 分方程与算法的研究，还可为实现1 ，3 一丙二醇产业化生产提供理论指导，因此，该项研究具 有重要的理论意义和实用价值。 1 2 函数空间基底研究与发展现状 在应用或工程中人们经常用函数来定量化地描述所考察的实际对象，而用方程( 很多情形 是偏微分方程) 来描述各对象之间的关系。应用数学或工程数学的一个非常重要的任务就是如 何用合适的函数来描述实际的对象和如何解这些方程。 用函数描述实际对象首先需要一个函数空间。我们最熟悉的是多项式函数空间，它是用一 令简单的函数茁及自身的乘积作线性组合得到的。三角多项式函数空间也是用一个简单的波 函数矿及自身的乘积或者说参数的拉伸e ”作线性组合得到的。人们经常使用这两个函数空间， 不仅因为他们的函数形式十分简单，具有本质上只用一个简单函数来生成函数空间的特点( 这 个特点是十分重要的，因为它有计算机容易实现的优点) ，更重要的是这两个函数空间都可以 逼近( 譬如利用伯恩斯坦逼近、泰勒级数或傅立叶级数) 几乎所有的函数，也就是说它有非常 强的函数表现能力。 当一个函数空间取定阱后，如何选取这个空间的一组基也是十分重要的问题。比如多项式 函数空间可以有一般的单项式基底t 矿 ，也可以选取正交多项式基底如切比契夫多项式。单项 式有表示简单的优点，而正交多项式有计算稳定的优点。在计算机辅助几何设计中，人们更多 的采用伯恩斯坦函数基，因为它有较好的形状再现性质。这些古典的函数空间也有一些缺点， 一般认为上述两个函数空间都刚性太强，一个地方的小的扰动会在远处产生非常大的影响。所 以在上世纪六、七十年代样条函数开始逐渐流行起来，并且被应用界广泛地接受。简单地说， 样条函数就是分段或分片多项式。它既有多项式表示简单而且可以逼近几乎所有函数的优点， 又改正了多项式刚性太强的缺点。一般地说，我们可以在样条函数空间找到b 样条基，它是 局部支撑的，从而它是样条函数空间中的一个较好的函数基。在偏微分方程数值解中的有限元 法就是把偏微分方程的解用分片的多项式逼近，或者说在样条空间中寻找近似解。事实上，有 跟元法是样条函数基在馈微分方程数值解中的一个最好的应用。 可惜的是样条函数基也有一些缺点，特别针对多元( 多于四个变元) 散乱数据问题，关于 散乱数据的三角剖分就是一个非常复杂的拓扑问题，如果还要求这个三角剖分上的样条函数基 有高阶连续性，那么其构造是非常困难的。这正是人们很难看到的用有限元解高于四个变量的 高阶偏微分方程问题的根本原因。国际上最近非常流行的还有小波基，它是样条函数的一个发 展，样条小波是小波基的一个重要的组成部分。小波基一般来说也只适用于网格数据的情形， 而很难处理多元散乱数据问题。 大连理工大学硕士学位论文 在社会高速发展的时代，我们会经常碰到高维的问题。譬如股票走势模拟就可能是一个几 百个变元的问题。如果这个问题还是散乱数据的，对上面所蜕的函数空间及函数基来说都会感 觉到是一个非常困难的问题。 对于多元情形函数空间及其基底的选取是目前研究的热点和难点。 为了计算机储存和运算方便，首先希望可以由一个比较简单的函数烈，) 经过一些比较简单 的运算就能得到函数空间的基。近年来国际上比较认可的处理多元问题的函数基有两种： 楔形基( r i d g eb a s i sf h n c t i o n ) f 矽( c 7 z + d ) ， 径向基( r a d i a l b 觞i s 如r l c t i o n ) ( 1 x c 1 1 ) ， 这里多( r ) 是某一个一元函数。 这两种基有一个共同的特点：就是用事实上的一元函数来描述多元函数。用它们在计算机 里表现多元函数就有明显的储存及运算简单的优点。楔形基利用一个一元函数痧( ) 作用在 c 7 z + d 上。可见这个函数空间是一些类似于平面波的线性组合，所以较多的应用于发展型方程、 动力系统的求解上。径向基则利用一个一元函数作用在欧几里得距离上，然后作平移，从而比 较适用于物理上各向同性问题。我们可以证明4 2 l ： 定理1 2 1 如果( ) 不是多项式，那么楔形基 妒( c 7 x + d ) ) 可以逼近几乎所有的函数。如果妒( ) 不 是偶次多项式，那么径向基 ( d l l x c l ) ) 可以逼近几乎所有的函数。如果痧( 忪| | ) 的傅立叶变 换几乎处处不为零，那么径向基f 矧j x c j j ) j 可以逼近几乎所有的函数。 目前对楔形基的研究还比较少，而较多的集中于径向基的讨论1 ，特别是形如 庐( 0 x c 1 1 ) ) 的径向基函数空间，也就是排除基函数的拉伸与压缩而只作平移。所谓的径向基函数的研究就 是要研究形如矽( ”一c 1 1 ) 的函数张成的函数空间及其性质和如何利用这个函数空间来解决般 对象的函数描述问题。 径向基函数在不同领域有不同的来源。k r i g e 在1 9 5 1 年把矿藏的沉积看成是一个各向同性 的稳定的随机函数的实现，从而导出了广泛应用于矿藏分析的k “西n g 方法。简单地说：假设 厂( x ) 是随机函数f ( 石) 的实现。如果这个随机函数的数学期望是零：e f ( x ) = 0 ，而它的自相关 函数是只与距离有关的：e f ( x ) f ( j ，) = j j 石一y 忆采用线性模型 ，+ ) = 乃( x ) 尸( ) 来找最小方差无偏估计，即寻找丑，( x ) 使得e ( f ( 石) 一f ( x ) ) 2 最小。在线性模型的随机函数类中， 通过解线性方程组 ( 口( j f 盖，一靠i f ) ) ( 五，) = ( 盯( j 石一石，j ) ) 找到了f ( x ) 的最小方差无偏估计 7 一 细胞比生长速率的参数辩识与优化 f ( z ) = 芝：名，( z ，) = 芝：声，盯( f f 工一f ) 如果随机变量，( x ，) 的实现是厂( x ) ，那么，( x ) 的实现是 ，+ ( z ) = ：五，l 厂( 工，) = ：，盯( | | x x ，l f ) 这也是一个径向基函数的线性组合。这是因为我们假设随机函数的自相关函数是各向同性 且只与距离有关，与样条函数一样是一个在物理上各向同性的问题。心i g i n g 方法的解是一个 最小方差线性无偏估计，其英语是b e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t i o n ，此首字母为b l u e ，所以人 们也称之为“兰色估计”，以区别于白噪声。也就是说，对这个问题，我们不是象对白噪声一 样完全无知，而是可以从己知的信息出发寻找一个晟有可能发生的解。 许多实际问题进行数学抽象后会成为一个各向同性的闯题，这样的问题往往会导出径向函 数的表示，所以我们把上面提到的径向函数s 及盯统一记为m ( z ) = ( | i z l | ) 。 确切地说径向基函数就是这样的函数空闯：给定一个一元函数：足专露，在定义域z 上，所有形如m “一c ) = ( | | x c i ) 及其线性组合张成的函数空间称为由函数导出的径向基函 数空间。在一定的条件下，人们只要取扛， 两两不同，f 中。一万，) 是线性无关的，从而形成径 向基函数空间中某子空间的一组基。上面定理1 2 1 说明了当 x 几乎充满r “时， 9 ( x x ，) 及 其线性组合可以逼近几乎任何函数。 针对不同的问题，学者们提出了很多常用的径向基函数，如k r i g i i 培方法的g a u s s 分布函 数：( r ) = e 1 2 、马尔可夫分布函数；庐( r ) = e 1 。“及其他概率分布函数：h a r d y 的m u i t i q u a d r i c 函数：( ，) = ( c 2 + r 2 ) 4 及逆m u l t i - q u a 捌c 函数( r ) = ( c 2 + ，2 ) 一4 ( 为正实数) 等。其中文献 5 1 】， 【5 2 】提出了紧支柱正定径向基函数，对任何给定的连续性条件及任何给定维数的自变量空间， 可以找到一个截断多项式，使得由其产生的径向函数在给定的维数空间正定且满足给定的连续 性条件，且文【5 2 发展了文【5 1 】中的结果，找到了最小次数的这种截断多项式。这类函数适用 于处理大规模计算，因为由此导出的线性方程组是一个稀疏矩阵。 径向基函数已经成为多变量逼近强有力的工具，径向基函数的研究是从径向基函数插值开 始的，所以这方面的工作也就最多。b u l 】m 籼，d y n ，l i 曲t ，p o w e l l ，s c h a b a c k 参考文献4 4 4 8 】等 分别撰写的综述性文章及g o i b e r g 铡收集的参考文献目录中的文章均对此类问题作了比较深入 的研究和应用。f r a r 血【5 0 l 曾做了大量的各种散乱数据插值方法的实例比较，得到的结论是径向 基函数插值的结果使人满意。杜慧静等阻1 提出的基于径向基函数的微分求积区域分裂法是以径 向基函数( r b f s ) 作为微分求积法( d q m ) 的基函数，并结合区域分裂法( d d m ) 提出的， 结合了上述三种方法的优点，对解决不规则区域上的闭题有很高的实用价值。 大连理工大学硕士学位论文 本文以一组已知的经验公式为基函数，形成有限维连续函数空间，来逼近无限维函数空间， 既不同于古典多项式函数空间和样条函数空间，也不属于目前较为流行的小波函数空间及前边 所述的楔形基或径向基函数空间，对此类函数空闯及其基底的研究目前还很有限，因此本论文 的研究将是对函数逼近理论及基底理论的有益探索，具有重要的理论意义。 1 3 微生物发酵法生产1 ，3 一丙二醇的研究现状 微生物细胞的发酵可分为连续发酵、间歇发酵和半间歇半连续发酵。 连续发酵是一边不断向反应器供给反应物，一边连续排出反应物连续操作中反应条件 即系统的状态处于恒定态，反应器内同一部位的如温度、压力和浓度等操作参数均不随时间发 生变化适合大批量生产，产品质量稳定，生产效率较高。 间歇发酵，亦称为分批发酵，是将反应物及催化剂( 底物和酶或者培养基) 一次投入反应器， 在适当的操作条件下反应一定时间后，把反应液全部排出进行处理适合多品种、小批量、反 应速率较慢的生物反应。间歇发酵操作简单，可以得到较高底物浓度，但生产强度较低，实际 生产中很少直接采用，一般是作为连续和批式流加培养的基础。 半间歇半连续发酵，或称为半间歇发酵，是介于间歇发酵和连续发酵之间的一种操作方式。 反应过程中，始终进行连续性或间断性的加料，产物一次性或间断性排出。因此，半连续操作 既有间歇操作的非稳态的分批特性，也有连续操作的连续加料与出料的有关特性。由于加料和 排料得到控制，因此半间歇半连续发酵主要优点如下： ( 1 ) 底物和副产物的浓度得到控制，酶或细胞的反应环境可处于稳定的最优条件。 ( 2 ) 可对反应过程灵活调控，获得较高的细胞浓度、产物浓度和生成速率。 ( 3 ) 半间歇半连续发酵可用于连续发酵不适合的情况，而过程特性又优于间歇发酵。 半间歇半连续发酵需要非稳态的参数控制，其难度较大，对参数检测和控制要求较高。 9 0 年代初，1 ，3 一丙二醇的高效大批量生产成为一个研究热点，这主要是因为1 ，3 一丙二醇 作为一种重要的化工原料，它可广泛应用于合成聚合材料的单体以及溶剂、抗冻剂等。但当时 全世界1 ，3 p d 的需求量很少，产量很低，1 9 9 1 的产量仅为1 0 0 t ，其价格也较高，市场占有率 远不及乙二醇、l ，2 一丙二醇、1 ，4 一丁二醇。近几年的研究表明【5 1 ，以i ，3 一丙二醇为单体与 对苯二甲酸合成的聚对苯二甲酸丙二醇酯( p t t ) 是种优良的聚酯材料，性能明显优于p e t 和 p b t ，克服了p e t 的刚性和p b t 的柔性，特别是它有优异的回弹性( 拉伸2 0 时弹性恢复可达 1 0 0 ) 、易染性( 能在无载体的情况下常压沸染) 、抗污性、耐磨性、低吸水性以及良好的色牢 度( 抗紫外、臭氧、氮氧化合物) ，兼具涤纶、锦纶甚至氨纶的优点 p t 于的研发生产受到世界合成纤维行业越来越多的关注。1 9 9 5 年i ，3 一丙二醇的市场发生了 变化，几家世界著名的大化学工业公司相继投入规模化生产并加紧了应用研究和开发。荷兰壳 9 一 细胞比生长速率的参数辩识与优化 牌公司首先实现了p t t 商品化，并开发了化学法生产l ，3 丙二醇的新工艺路线，年产量4 0 0 0 t ， 而后，德国d e g u s s a 公司也设计完成了年产l o ，o o o t 的装置。1 9 9 8 美国杜邦公司从d e g u s s a 公司获得了化学法生产技术，但杜邦公司并不把化学法作为生产l ，3 一丙二醇的主要方向，而倾 向于用经济可行的生物转化法进行生产，与世界第二大工业酶生产商g e n e n c o r 国际有限公司 申请了以可发酵碳源为底物用基因工程菌直接生产l ，3 一丙二醇的专利，著且已经取得了一定 的进展。 l ，3 一丙二醇的生产方法主要有化学合成法及微生物发酵法两种，目前工业生产中应用的是 化学合成法，但无论哪一种化学合成法都需要在高温、高压及催化剂存在的情况下进行。因此， 成本较高，操作条件恶劣，也就限制了l ，3 一丙二醇的发展。微生物发酵法生产1 ，3 一丙二醇目 前尚处于实验室研究阶段。但它是以生物技术为特征的“绿色工业”向传统石油化工提出的强 有力的挑战，因而具有重要的现实意义。与化学合成法相比，微生物发酵法具有利用可再生资 源、选择性高、分离纯化简单、无环境污染、成本低等优点。因此，近年来国际上特别注重微 生物法生产化工原料或产品。1 ，3 一丙二醇的生产及p t t 的应用已引起世界众多石化公司的高度 重视。而我国应用微生物发酵法生产1 ，3 一丙二醇的研究仅处于实验室阶段，没有生产厂家。因 此要实现微生物法向工业化的过渡，需要实现系统的可控性，以尽可能高的生产强度、甘油转 化率进行工业化生产，降低生产成本。 研究表明，连续发酵过程具有对p h 滞后以及对底物初始浓度大幅度变化导致振荡等特性。 德国国家生物技术中心( g b f ) 己在这方面工作中取得了很大进展，实验中出现了复杂的非线性 现象，如多稳态和持续振荡，1 9 9 6 年曾安平和d e c k e r 教授提出了过量动力学模型n 】，修改后 的模型定性地描述了实验中的多态现象【l ，但不能解释其中的振荡现象。为进一步揭示微生物 连续培养过程的非线性现象，如多态、振荡和混沌，孙丽华等2 1 在已有的微生物连续发酵法 生产l ，3 一丙二醇的模型中引入时滞，发现此系统存在h o p f 分支，根据分析和计算，得到了h o p f 分支的分叉值及其随操作参数的变化规律，并利用时滞微分方程的数值解法绘制了周期解和相 图。其结果表明该模型能定性地描述实验中出现的振荡现象。 修志龙教授在g b f 访问期间与z e n g 等人进行合作，参与了微生物法生产1 ，3 一丙二醇的研 究工作，回国后，修志龙教授继续从事这一方面的研究，并取得大量的研究成果。2 0 0 3 年，修 志龙教授与清华大学联合申请了“十五”科技攻关计划项目“发酵工程生产1 ，3 丙二醇”，对 发酵法生产l ，3 一丙二醇的反映机理进行了一系列研究m 。“，包括连续发酵的多稳态分析、数 值模拟、过程优化及堵养基初始浓度对产物最终浓度及生产强度的影响等。 t h i n g s t a d 和l a n g e l a n g ( 1 9 7 4 ) ，b u s h ( 1 9 7 5 ) 考虑了单种微生物的时滞模型，讨论了解的局 部稳定性并观测到了解的振荡。f r e ed i l l a n 和w a l t m a n 等( 1 9 8 9 ) 考虑了带有时滞的两种微生物的 大连理工大学硕十学位论文 竞争模型，讨论了对滞可以使模型产生h o p f 分支，从而可以以周期解的形式共存。在这些模 型中，微分方程大都以下面形式出现： 车：，( 。) ，i f 鲰 讲 通常x = ( 薯，恐，矗) 7 表示蛋白质、m r n a 或小分子的浓度，：r ”斗r 为非线性函数，有时 包含输入项o ，表示营养的供给，由于基因转录、翻译需要时间，在上面的方程中有时会 引入离散时滞或连续时滞。下面的形式为离散时滞： = = ，( 一( r f 1 ) ，矗( f f m ) ) ，1 i 兰心。 “ 其中，r 。表示离散时滞，用以上形式的微分方程描述生化反应过程，特别是对新陈代谢过 程得到了很多好的结果，也倍受各国学者关注”。对不同的生化过程，只需构造方程中不同的 函数f ，即可衍生出各种模型来描述实际过程。针对不同的过程，逐段线性微分方程和偏微分 方程也有许多应用 微生物发酵法是基因调节系统中的一类问题，基因调节系统的建模与数值模拟中，所用数 学方法非常广泛，包括图论、b a y e s i a n 网络、b 0 0 1 e a n 网络、常( 偏) 微分方程理论等。s m o l e n 【9 l ， s n o u s s i ，m c a d a m s 与a r k i n ，t h o m a s 与k a u f m a n 删，c a r r i e r 与k e a s l i n g 芦甜，g 。r y a n i n 等 人研究了基因网络中转录作用控制系统、原核遗传环、自身催化基因表示系统、细胞作用与调 控、真核细胞中的细胞周期控制等的数学模型，数值模拟、多态性与稳定性等。描述微