（应用数学专业论文）中立型动力系统的稳定性研究.pdf

摘要 摘要 本论文集中研究中立型系统及切换中立型系统的主要动力学性质，并对其中一 些热点子领域中的相关问题进行深入地讨论，得到比较完善而重要的结果 介绍中立型系统及切换中立型系统的研究背景和研究现状，提供论文中常用的 基本概念，基础知识和重要引理它们是后续章节讨论的前提 研究含有分布时滞的中立型系统( 包括单分布的中立型系统和多分布时滞的中 立型系统两种情形) 的渐近稳定性通过构造新的李雅谱诺夫泛函，结合矩阵分解的 技巧和自由矩阵的思想方法，得到保守性较低的时滞相关的稳定性结果数值实例 验证所得结果的有效性和优越性 研究含有非线性扰动的中立型时滞系统的渐近稳定性问题通过构造新的扩展 李雅谱诺夫泛函，结合自由矩阵的思想，并合理利用s c h u r ) l - i j i 理，得到保守性较低 的时滞依赖的稳定性结论 研究含有多时滞的中立型系统的有界输入有界输出稳定性问题利用等价描述 系统的方法，在构造李雅谱诺夫泛函过程中适当引入自由矩阵，结合矩阵分析技巧 设计使得系统有界输入有界输出稳定的控制器 讨论切换中立型系统的稳定性分析首先，提供构造新的分段李雅普诺夫泛 函，设计两种使得切换中立型系统稳定的切换规则其中，依赖于状态的切换规则是 通过求解李雅普诺夫梅兹勒矩阵不等式而设计的，而依赖于时间的切换规则是利 用平均驻留时间的方法，并结合线性矩阵不等式求解而得到的依赖于状态的切换 规则降低了现有文献设计的切换规则所带来的保守性类似地，设计使得切换中立 型扰动系统渐近稳定的切换规则然后，分别利用单李雅谱诺夫泛函和多李雅谱诺 夫泛函方法，讨论不同情形下的中立型切换控制系统的稳定性，并设计控制器其 次，利用驻留时间方法讨论包含稳定和不稳定子系统的切换中立型系统，设计使得 系统指数稳定的依赖于时间的切换规则 研究不确定性切换中立型控制系统的有界输入有界输出稳定性其中的不确定 性结构为分式不确定性结构，它包括范数有界不确定性首先结合中立型系统和切 换系统的内在性质，得到一般线性切换中立型系统的常数变易公式然后，结合得到 的常数变易公式和自由矩阵的思想，利用驻留时间的方法，得到以线性矩阵不等式 表示的稳定性条件最后，数值仿真验证所得结果的优越性 对全文进行总结，并指出今后的研究方向 i 摘要 关键词：中立型系统，切换中立型系统，时滞相关稳定性，单李雅谱诺夫泛函，多李 雅谱诺夫泛函，( 平均) 驻留时间，依赖于状态的切换规则，依赖于时间的切换规则 a b s l l r a c t a b s t r a c t a d d r e s s e di n t h i sd i s s e r t a t i o ni st h ek e yd y n a m i c so fn e u t r a ls y s t e m sa n ds w i t c h e d n e u t r a ls y s t e m s s e v e r a lr e l e v a n tp r o b l e m sa t t r a c t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o ni nt h i sf i e l d a r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n das e r i e so fw e l l e s t a b l i s h e d ，s y s t e m a t i c a l ，a n di m p o r t a n tr e - s u i t si so b t a i n e d t h eb a c k g r o u n d sa n dr e s e a r c hs t a t u so fn e u t r a ls y s t e m sa n ds w i t c h e dn e u t r a ls y s t e r n sa r ei n t r o d u c e d i ta l s op r o v i d e st h er e a d e r sw i t hs o m ep r e l i m i n a r i e sa n di m p o r t a n t d e f i n i t i o n sa n dl e m m a st h a ta r ef r e q u e n t l yu s e di nt h er e m a i n i n g c h a p t e r s t h er o b u s ts t a b i l i t yf o ru n c e r t a i nl i n e a rn e u t r a ls y s t e m sw i t hd i s c r e t ea n dd i s t r i b u t e d d e l a y s ( t h es i n g l et i m ed e l a ya n dm u l t i p l et i m ed e l a ya r ei n c l u d e d ) i ss t u d i e d t h eu n c e r - t a i n t i e su n d e rc o n s i d e r a t i o na r en o r mb o u n d e d ，a n dp o s s i b l yt i m ev a r y i n g s o m en o v e l d e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i aa r ed e r i v e da n df o r m u l a t e di nt h ef o r mo fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i s ) b yan e wc l a s so fl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l sw h i c hi sc o n s t r u c t e db a s e do nt h ed e s c r i p t o rm o d e lo ft h es y s t e ma n dt h em e t h o do fd e c o m p o s i t i o n t h e n e wc r i t e r i aa r el e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h ee x i s t i n go n e s t h ee x a m p l e sa r es u p p l i e d t oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sc h a p t e n t h e a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fn e u t r a ls y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n si ss t u d i e d s o m en o v e ld e l a y - d e p e n d e n ta s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yc r i t e r i aa r ef o r m u l a t e di nt e r m so fl i n - e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) t h er e s u l t i n gd e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i aa r el e s s c o n s e r v a t i v et h a nt h ep r e v i o u so n e so w i n gt ot h ei n t r o d u c t i o no ff r e e w e i g h t i n gm a t r i c e s a n dt h es c h u r sl e m m a , b a s e do nac l a s so fn o v e la u g m e n tl y a p u n o vf u n c t i o n a l s t h ed e l a y - d e p e n d e n tb o u n di n p u tb o u n do u t p u t ( b i b o ) s t a b i l i z a t i o no fn e u t r a ls y s - - t e r n sw i t hm u l t i p l ed e l a y si si n v e s t i g a t e d u s i n gt h em e t h o do ft h ed e s c r i p t o rm o d e l t r a n s f o r m a t i o n ，i n t r o d u c i n gt h ef r e e w e i g h t i n gm a t r i c e si nt h en e wc l a s so fl y a p u n o v k r a s o v i s k i if u n c t i o n a l s ，a n dc o m b i n i n gw i t ht h em a t r i xa n a l y s i st e c h n i q u e ，t h ec o n t r o l l e r w h i c hm a k et h es y s t e m s ( b i b o ) s t a b l ei sd e s i g n e d t h es t a b i l i t ya n a l y s i sf o rt h es w i t c h e dn e u t r a ls y s t e m si sc o n s i d e r e d f i r s t ，w e p r e s e n tn e wc l a s s e so fp i e c e w i s el y a p u n o vf u n c t i o n a l sa n dm u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n - a l s ，b a s e do nw h i c h ，t w on e ws w i s h i n gr u l e sa r ei n t r o d u c e dt os t a b i l i z et h en e u t r a ls y s t e m s o n es w i t c h i n gr u l ei sd e s i g n e df r o mt h es o l u t i o no ft h es o - c a l l e dl y a p u n o v m e t z l e r m a b s t r a c t l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s t h eo t h e ri sb a s e do nt h ed e t e r m i n a t i o no fa v e r a g ed w e l lt i m e c o m p u t e df r o man e wc l a s so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) t h es t a t e d e p e n d e n t s w i t c h i n gr o l ei sl e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h ee x i s t i n gr e s u l t s s i m i l a r l y , w ea l s oa n a l y z et h e s t a b i l i t yo fs w i t c h e dn e u t r a l s y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n s s e c o n d ，i nd i f f e r e n t c a s e ，u s i n gs i n g u l a rl y a p u n o vf u n c t i o n a la n dm u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n a lr e s p e c t i v e l y , t h es t a b i l i z a t i o nf o rl i n e a ru n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t hd e l a yi ns w i t c h e dc o n t r o li n - p u ti si n v e s t i g a t e d ，a n dt h ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e d t h i r d ，b a s e do nm u l t i p l el y a p u n o v f u n c t i o n a la p p r o a c ha n dd w e l l t i m et e c h n i q u e ，t h es t a b i l i t yo ft h es w i t c h e dn e u t r a ls y s t e r n sw h i c hb o t hc o n t a i nt h es t a b l es u b s y s t e m sa n du n s t a b l es u b s y s t e m si sc o n s i d e r e d t h es w i t c h i n gr u l ew h i c hm a k et h es w i t c h e ds y s t e m se x p o n e n t i a ls t a b l ei sd e s i g n e d i ti s s h o w nt h a tb ys u i t a b l yc o n t r o l l i n gt h es w i t c h i n gb e t w e e nt h es t a b l ea n du n s t a b l em o d e s ， t h er o b u s ts t a b i l i z a t i o no ft h es w i t c h e du n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sc a nb ea c h i e v e d t h e p r o b l e mo fd e l a y - d e p e n d e n tb o u n d e di n p u tb o u n d e do u t p u t ( b m o ) s t a b i l i t yf o r ac l a s so fs w i t c h e du n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m si ss t u d i e d t h eu n c e r t a i n t yi sa s s u m e dt o b eo fs t r u c t u r e dl i n e a rf r a c t i o n a lf r o m w h i c hi n c l u d e st h en o r mb o u n d e du n c e r t a i n t ya sa s p e c i a lc a s e f i r s t ，b yi n t r o d u c i n gt h eg e n e r a lv a r i a t i o n o f - c o n s t a n t sf o r m u l ao fn e u t r a l s y s t e m sw i t hp e r t u r b a t i o n ，t h eb i b os t a b i l i t yp r o p e r t yo fg e n e r a ll i n e a rs w i t c h e dn e u t r a l s y s t e m sw i t hp e r t u r b a t i o ni se s t a b l i s h e d n e x t ，b a s e do nt h ed w e l lt i m ea p p r o a c h ，a n d c o m b i n e dw i t ht h ei n t r o d u c e df r e e w e i g h t i n gm a t r i c e s ，t h eb i b os t a b i l i t yc r i t e r i aa r eo b - t a i n e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) f i n a l l y , t h es i m u l a t i o ne x a m p l e sa l e g i v e nt od e m o n s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s sa n dt h ep o t e n t i a lo ft h ep r o p o s e dt e c h n i q u e si nt h i s c h a p t e r w es u m m a r i z et h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，a n dp o i n to u tt h ef u t u r e w o r k st h a th a v eb e e nt h ea u t h o r sc o n c e r n s k e y w o r d s ：n e u t r a ls y s t e m s ，s w i t c h e dn e u t r a ls y s t e m s ，d e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t y , s i n - g u l a rl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n a l ，( a v e r a g e ) d w e l lt i m e ，s t a t e d e p e n d e n ts w i t c h i n gr u l e ，t i m e - d e p e n d e n ts w i t c h i n gr u l e 主要符号对照表 n r r + 0 伊 形 c m 竹 r m n i a t a h a0 ao p ( a ) d i a g ( d l ，如) 主要符号对照表 自然数集 实数集 正实数集 空集 复n 维列向量空间 实n 维列向量空间 m 礼复矩阵集 mxn 实矩阵集 具有适当维数的单位矩阵 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 是对称非负定矩阵 矩阵a 是对称正定矩阵 方阵a 的谱半径，若a 为非负矩阵，即为p e r r o n 根 以d 1 ，厶为对角元的对角矩阵 v i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 论文使用授权 j 年f 只i 日 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盗廛拯导师签名：多描基 日期： 7 年夕月万日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 切换中立型系统的研究背景和研究现状 在自然科学与工程技术的研究中，时滞微分系统有着广泛的应用，它涉及到许 多学科中的众多领域，如人口理论、经济问题、自动控制理论、物理学、化学、生 物学、医学等而中立型系统是一类应用极为广泛的时滞微分系统近几十年来，中 立型系统的动力学性质已经得到了众多学者的关注 相对于一般的时滞泛函微分方程，中立型泛函微分方程的发展相对滞后这 主要是由于中立型泛函微分方程中差分算子d 较难处理，使这类方程解的性质更 加复杂1 9 7 7 年，m a c r u z 和j k h a l e 在文献 2 3 】中提出了中立型泛函微分方程， 得出了与时滞泛函微分方程平行的基本理论时至今日，已有大量关于其稳定性 的理论结果 1 l 一1 8 ，3 4 ，4 0 ，4 o 6 潍，7 3 ，8 7 ，1 0 3 ，1 0 5 ，1 0 9 ，1 1 2 ，1 1 7 ，1 1 4 - 1 2 1 ，1 5 2 - 1 5 6 ，1 6 5 这些中立型时 滞系统的稳定性结果主要集中在频域方面或时域方面，利用李雅谱诺夫方法、特 征方程法和状态方法等工具分析而得到的通过频域分析得到的稳定性结论对 于稍复杂的系统有较强的局限性由于克服了频域分析不能处理时变和参数摄 动的不足，时域分析方法目前越来越成为时滞系统尤其是不确定系统( 包括系统 矩阵的参数不确定性以及时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器综合的主 要方法近年很多不确定时滞系统稳定性的结论都是通过用时域分析方法得到 的 1 1 1 9 ，3 4 ，9 7 ，1 0 5 ，1 阱1 0 9 ，1 1 2 ，i 1 5 ，1 2 1 , 1 5 6 1 从已有的文献8 2 2 ，强3 1 ，4 8 ，5 1 - 5 9 ，7 ”2 ，8 8 ，9 3 ，1 0 6 - 1 0 8 ，1 1 6 - 1 1 9 ，1 辨1 5 7 ，1 6 3 ，i x ，1 7 3 来看，线 性矩阵不等式方法已成为研究中立型时滞系统稳定性的主要方法通过构造恰当 的李雅谱诺夫泛函，并对其沿系统的状态依时间求导数，结合不等式分析技巧，进 行放缩处理，可以得到使系统时滞相关稳定的基于线性矩阵不等式的稳定性条件 由于针对不同的系统在构造李雅谱诺夫泛函上缺乏一定的准确性。以及不等式变 换技巧的不同，一定程度上使得到的结果具有一定的保守性目前许多学者对不同 形式的中立型系统都作了相关的研究 2 ，4 9 ，8 8 ，1 0 8 ，1 1 7 ，1 1 9 ，1 6 8 等文献讨论了 离散时滞和中立型时滞相同的中立型系统的稳定性，其中文献 2 】将中立型系统中 的导数项作为算子，构造恰当的李雅谱诺夫函数，并在求导过程中，适当地添项减 项，得到了判断稳定性的黎卡提方程条件文献【1 1 9 】不对原系统作任何处理直接 构造李雅谱诺夫y 函数得到了时滞无关的稳定性条件文献【1 1 7 通过引入自由矩阵 得到新算子，结合文献 4 0 ，1 5 7 中的不等式，得到了时滞相关稳定性的线性矩阵不 1 电子科技大学博士学位论文 等式条件，大大地提高了相关文献 8 8 ，1 0 8 ，1 6 8 的时滞上限文献【4 9 】利用拆分系数 矩阵的方法，结合矩阵分析的技巧，得到了系统时滞相关的渐近稳定性的线性矩阵 不等式条件，提高了文献【2 ，1 1 9 对应的时滞上限，降低了时滞依赖结果的保守性 文献 4 8 ，5 9 分别对中立型混合时滞系统作了研究，不同之处在于：文献【5 9 】并不对 已构造的泛函的导数进行放缩，而是利用牛顿一莱布尼兹公式，适当添加零项，得到 判定系统稳定的时滞相关标准而文献 4 8 1 却利用离散李雅谱诺夫泛函的方法，得 到了判定系统渐近稳定性的线性矩阵不等式条件相比之下，文献【5 9 】中方法在处 理同一问题时，比文献【4 8 】中的方法更好文献 1 3 6 1 通过构造新的李雅谱诺夫泛函， 巧妙的结合矩阵分解的方法与自由矩阵的思想，得到了时滞相关的稳定性结果，也 是目前同类时滞系统中对应时滞上限最好的结果文献 8 8 ，l1 2 ，1 5 4 ，1 6 8 分别对多 时滞中立型系统作过研究文献【11 2 利用李雅普诺夫方法并结合文献 1 0 3 中的不 等式得到了的时滞相关的统渐近稳定的线性矩阵不等式条件针对同样的系统，文 献 8 8 】通过变换系统并重新构造算子，构造李雅谱诺夫泛函，得到了判定稳定性的 黎卡提方程条件，文献 1 5 4 不对该系统做任何变换而直接构造李雅谱诺夫泛函，通 过添项减项，计算得到了判定稳定性的黎卡提方程条件，较文献【1 1 2 中的定理具有 更小的保守性，而文献 8 8 】所给方法无法应用于此文中的数值示例针对这类系统， 文献 1 6 8 】将原系统转化为等价的广义系统后再构造李雅谱诺夫泛函，不对导数进 行放大处理，而是利用牛顿一莱布尼茨公式和系统的特性，恰当的添加一些零项，得 到了时滞相关稳定性线性矩阵不等式条件，降低了时滞依赖稳定的保守性许多学 者还对时滞时变的中立型系统作了相关的研究，限定时变时滞的导数，根据系统造 李雅谱诺夫泛函，不同的方法对应于不同的不等式分析技巧的应用，得到的结论的 保守性也不尽相同1 9 3 ，1 7 3 1 对于带非线性扰动中立型系统，很多学者在处理扰动项 时，往往采用将非线性项线性化，不同的不等式分析技巧对应得到不同的判定系统 稳定性的标准1 1 7 ，5 3 ，5 6 ，7 2 ，1 1 3 1 1 6 ，1 6 5 1 由于系统时滞很小时时滞独立稳定性条件比时 滞相关稳定性条件的保守性更强，并且时滞独立稳定性条件对系数矩阵的要求很严 格，因此已有文献对时滞无关稳定性的研究相对较少一些，而研究时滞相关稳定性 的相对较多目前讨论中立型时滞系统的渐近稳定性主要运用的是李雅谱诺夫方 法但是针对不同的系统，构造李雅谱诺夫函没有固定的标准和方法，都是在构造之 初进行试凑的，并且在对其导数进行处理的过程中，大多数文献采用的不等式处理 技巧都很单一，这是造成结论具有较强保守性的重要原因之一因此，对李雅谱诺夫 泛函的导数进行适当地放缩处理，从而降低时滞相关稳定性结论的保守性的方式也 需要进一步的深入研究本文将利用时域分析方法讨论中立型时滞系统的时滞相关 2 第一章绪论 稳定性 切换系统，作为混杂系统中比较特殊的动力系统，已经受到了广泛的关 注【m1 6 2 0 , 2 7 ，2 8 ，3 8 ，4 3 ，6 9 8 1 ，8 2 ，8 5 ，9 0 9 5 - 1 0 0 1 2 9 ，1 3 3 - - 1 3 5 1 3 7 ，l 让1 4 2 ，1 4 4 ，1 4 5 ，1 4 7 ，1 6 1 ，1 7 h 对于切换 系统的研究可归结为三个基本问题1 8 9 1 ：任意切换下的稳定性分析，讨论受限切换 下的稳定性问题，以及设计使得系统稳定的切换信号对于给定子系统讨论任意 切换下的稳定性问题，其主要思想是利用公共李雅谱诺夫二次函数f 8 6 ，1 3 2 , 1 3 4 1 文 献【1 ，8 4 乖u 用李代数条件讨论了线性切换系统的公共李雅谱诺夫函数存在的充分 条件除了个别系统外【1 0 4 ，1 5 9 6 0 ，公共李雅谱诺夫函数是切换系统在任意切换下稳 定的充分条件而非必要条件很多切换系统在不存在共同李雅谱诺夫二次函数时， 系统依然可以在任意切换下是渐近稳定的【8 3 1 事实上，如果存在切换李雅谱诺夫函 数1 2 4 ，3 3 1 ，则系统在任意切换下是渐近稳定的因此公共李雅谱诺夫方法尽管至今仍 然广泛使用，但是具有很强的保守性另外，对于多个子系统的切换系统要找到共同 李雅谱诺夫函数是相当困难的，对于一般的高阶多个子系统的切换系统，要寻找公 共李雅谱诺夫存在充分必要条件还是公认的难点对于切换系统在受限切换下的 稳定性问题也有很多丰富的结果，其中多以李雅谱诺夫方法和驻留时间的方法讨 论【2 6 ，雕6 2 ，1 0 2 ，1 5 8 ，1 7 0 】并且以驻留时间方法研究的切换系统的稳定等价于系统的指 数稳定其中文献 1 7 0 中讨论了非线性切换常微分系统的稳定性，系统地分析了多 李雅谱诺夫函数方法的由来和切换系统的优点，提出了一般化的多李雅谱诺夫函数 方法，对于非线性切换时滞系统的稳定性研究是非常有益的构造合适的多李雅谱 诺夫函数往往比较困难，文献 1 2 3 提出的分段连续二次李雅谱诺夫函数方法，能降 低所得稳定性结果的保守性为了降低分段连续二次李雅谱诺夫函数方法的保守 性，文献 1 l l ，1 2 5 提出了多胞李雅谱诺夫函数方法，对于多胞李雅谱诺夫函数的均 方和自由度的选取也是一个公认的难点 对于切换中立型系统的研究才刚刚起步在已有文献 9 1 ，1 2 6 ，1 3 0 ，1 6 9 讨论切 换中立型过程中，要么假设中立型算子稳定，要么假设其系数矩阵具有稳定的凸组 合显然，这些假设条件对于讨论切换中立型系统的稳定性问题是具有一定的保守 性的因而，如何降低切换中立型系统切换规则的保守性就成为了本文的重点研究 对象 1 2 基础知识和主要引理 本节中我们简要介绍在本论文中常用定义，引理，以便引用和查阅 3 电子科技大学博士学位论文 1 2 1 线性矩阵不等式 近十年来，线性矩阵不等式在鲁棒控制理论不断发展的同时也取得了很大的发 展，并被广泛地应用于系统分析、设计和系统辨识等问题中随着内点法的提出， 和m 甜a b 软件中线性矩阵不等式工具箱的推出，线性矩阵不等式工具越来越受到人 们的注意和重视线性矩阵不等式工具已经成为了解决系统与控制等问题的行之有 效的手段 许多系统与控制问题中的非线性矩阵不等式问题，可以通过适当的处理将其转 换成一个线性矩阵不等式问题在这个转化过程中，我们常常要用到s c h u r 补引理 考虑一个矩阵s 形黼并将s 进行分块： s = ( 兰：龄 其中假定研1 舻m ( m 礼) 且研1 是非奇异的，则& 2 一岛1 跗& 2 称为是s 1 1 在s 中 的s c h l l r 补这正如以下s c h u 辞 、引理 弛m c h 蝌稠埘给定的对称矩阵s = ( s & 1 1 l 乏) ，其慨 舻m ( m 佗) ，则如下叙述互相等价： ( i ) s 0 ； ( i i ) & 1 0 ，& 2 一岛跗s 1 2 o ； ( i i i ) 2 0 ，& 1 一岛2 蹭岛 0 口 上述引理1 1 中所有不等式都是严格不等式，若为非严格的不等式，则有下列推 广了的s c h u r 补引理： 弛地儆蝌佃鹏定的对称矩阵s = ( 岛s l l 。芰：) ，其悯 舻m ( m 佗) ，则如下叙述互相等价： ( i ) s 0 ； ( i i ) 墨1 0 有 l i x o l i 6 ( e ，t o ) = 兮i l 砂( t ；t o ，x o ) l l 0 ，存在一个5 = 6 ( e ) 使得对于任意的t o 0 ， t t o 有 i i x o l i 6 ( e ) ，t o 0 哥i i 砂( 亡；t o ，x o ) l i e ( i i i ) 吸引的，如果对每个t o 0 ，都存在一个5 = 6 ( 亡o ) 使得当亡_ 有 i i x o l i 0 使得于任意的t o 0 ，当t _ o o 有 j i x o l i 6 ，t o 0 忪( 亡；t o ，x o ) l i 关于铷，t o 一致地趋近于零 ( v ) 渐近稳定的，如果系统的平衡点既是稳定的又是吸引的 ( v i ) 一致渐近稳定的，如果系统的平衡点既是一致稳定的又是一致吸引的 ( v i i ) 指数稳定的，如果存在实数7 ，q ，p 使得对于任意的亡，t o 0 ，i i x o l i 0 ，r 0 分别为中立型时滞、离散时滞和 分布时滞，妒( ) 为初始连续向量函数c 衍胁为常值矩阵，a ( t ) t i f x , b ( t ) 形加，d ( t ) 舻期为时变不确定性矩阵，且它们在一个紧集q 内，即对任意 的t 【0 ，o o ) 有： ( a ( t ) ，b ( t ) ，d ( t ) ) qc 彤3 n 系统( 2 1 ) 可等价的描述为如下系统： i 士( t ) = 可( t ) ， t 秒( 亡) = a ) z ) + b ) z 一丁) + c y ( t - h ) + d ( t ) f t ，t r z ( s ) d s 2 _ 2 为了得到关于离散时滞的相关信息，我们首先引用如下牛顿莱布尼茨公式 z ( t - - t 阳一仁下邛) d s = x 一巾) d s ，( 2 - 3 ) 第二章含有分布时滞的不确定中立型系统的稳定性 并且为了更进一步的提高离散时滞的上界，我们将b ( t ) 分解为b ( t ) = b 1 + b 2 ( t ) ， 其中b l 为常值矩阵因此，系统( 2 1 ) 就可进一步转化为如下含有离散时滞和分布时 滞的中立型等价描述系统： i 圣( 亡) = 可( 亡) ， 秒( 亡) = c y ( t 一九) + ( a ) + b 1 ) z ( t ) + b 2 ( 亡) z ( 亡一7 - ) ( 2 - 4 ) 【一日巾) d s + 即) 仁r ) d 8 结合上面的等价变换处理，我们可以得到如下使得系统( 2 1 ) 渐近稳定的时滞相 关的稳定性结果 定理2 1 如果存在对称正定矩阵s ，兄，q 1 ，q 2 ，只，和适当维数的自由矩 阵只( i = 2 ，1 3 ) 使得如下矩阵不等式成立，则系统( 2 1 ) 是渐近稳定的 西= 其中 矽1 l 咖1 2 爿c 2 2 宰 爿c 木木 宰木 木木 木木 木宰 1 4 矽1 5 1 6 咖2 4 也5 也6 3 4 九5 坛 4 4 多4 5 幽6 木 九5 5 6 宰宰 木木木 木永生 ( a ( t ) + b 1 ) t q l 0 b t 2 ( t ) q 1 c r q l - b t q l d r q l 一q 1 ( a ( t ) + 尻) tr 0 霹( 亡) r 兄 - b t r d t r 0 一丁一1 r