（计算数学专业论文）广义变分不等式的对偶问题研究.pdf

j i i iii ii i i iif l li ii iu f 17 6 8 3 3 8 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i nag e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sd u a lf r a m eb y e x t e n t i n gt h ed u a lp r o b l e mo ft h em i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sc o n s i d e r e di n 2 】 t ot h eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，w h i c hh a v eb e e ns h o w nt ob cam o r e g e n e r a lf o r mo ft h em i x e dv a r i a t i o n a li n e q u l i t i e si n 1 】i na d d i t i o n ，i ti sw o r t h t om e n t i o nt h a tt h ec o n d i t i o ni n 【2 】2t h a tt h em a p p i n gfh a v et ob ei n c t i v ec a n b er e p l a c e db yaw e a k e ro n e s p e c i a l l y , w h e nt h es p a c ew ed i s c u s si sar e f l e x i v e b a n a c hs p a c e ，t h ec o n d i t i o nm e n t i o n e dp r e v i o u s l yc a l lb ed r o p p e d i ns e c t i o n3 ， w ee x t e n tav e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sd u a lp r o b l e mi n t oag e n e r a lo n e k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；d u a l ；v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；f e n c h e l c o n j u g a t ef u n c t i o n 2 目录 摘要1 a b s t r a c t 2 目录3 第一章综述4 第二章广义变分不等式的对偶7 第一节g v i 的对偶7 第二节自反赋范空间上的d g v i 1 2 第三章广义向量变分不等式的对偶1 5 第一节广义向量变分不等式1 5 第二节广义向量变分不等式的对偶1 6 参考文献1 8 致谢一2 1 3 第一章综述 1 1 变分不等式问题与对偶 变分不等式问题，通常简称为变分不等式或变分不等方程，是当前非线性分 析的重要组成部分它在力学，控制论，运筹学，数理经济，优化理论，非线性规 划，交通( 见文 2 5 2 6 ) 等理论和应用学科都有广泛的应用 变分不等式问题可以追溯到二十世纪六十年代，它作为偏微分方程的一种工 具出现在s t a m p a c c h i a 与h a r t m a n 对偏微分方程的研究中 1 5 7 】，其定义( 见文 【7 ) 如下： 定义1 1 给定舻中的子集c 和一个映射f ：c _ 酽，变分不等式问题是 指：求z c ，使得 ( f ( z ) ，y x ) 0 ，vy c ， 成立，其中( ，) 表示舻中的内积该问题简称变分不等式，记为v i p ( f , 例 在不引起混淆的情况下，我们也用v i p 表示上述变分不等式 随着研究的深入，变分不等式得到了许多学者的推广不同领域学者有不同 的侧重点，使得变分不等式的推广形式多种多样例如，l i o n s ，b r o w d e r 等人将变 分不等式由最初的有限维空间推广到无穷维空间( 文 7 】) ，也有学者将p 中的函 数f 由点值映射推广至集值映射( 文 5 】) ，还有学者将变分不等式中的不等关系推 广成向量空间的序关系( 文 6 ) ，而在v i p 中引进非线性项的混合变分不等式( 文 【1 4 ) 也是一种重要的推广形式 定义1 2 混合变分不等式m v i ( f , 厂，c ) ? 求z c r n ，使得 ( f ( z ) ，y z ) f ( x ) 一，0 ) ，v y 形， 成立，其中f ：舻一页= ru + 。】下文用m v 表示混合变分不等式 当选取混合变分不等式中的函数，为c 上的指示函数时，m v i 与v i p 一 样所谓的指示函数定义如下： 6 c z ，= ：。，三茎量：墨三； 当c = 舻时，m v i 就是文献 9 所讨论变分不等式文献 4 称上述形式的 m v i 为e v i 在不引起歧义的情况下，本文将这两者都称为m v i 2 0 0 3 年，s o l o d o v 在h i l b e r t 空间h 上，给出一个广义的变分不等式( 文 1 ) ， 记为g v i ，其定义如下： 定义1 3 给定两个映射f ，g ：h _ h 以及函数f ：h _ 瓦，广义变分不等 式是指：求z h ，使得 成立 ( f ( z ) ，y 一夕( z ) ) ，0 ( z ) ) 一f o ) ，v y h 由于舻是特殊的日空间，因此，当上述g v i 中的g 足恒同映射时，钟下 的g v i 与前面提到的m v i 一样，也即是说，文 1 中的广义变分不等式是文【2 】 里混合变分不等式的推广形式 与变分不等式联系密切的一类问题是最优化问题( 见文 1 6 】 1 8 】) 变分不等式 可以通过一个称为间隙函数( 文【4 ) 的函数与最优化问题产生联系 定义1 4 函数( z ) 称为v i p ( f , a 的间隙函数，若满足下列两条性质： ( 1 ) ( z ) 0 ，v z c j ( 2 ) ( z o ) = 0 当且仅当x 0 是w p 限例的解 1 9 7 2 年，a u s l c n d e r 在文 2 1 给出一个v i p 的间隙函数 定义1 5 ( z ) = 蝉( f ( z ) ，z 一) ，比c t u 该间隙函数就是一个极大值函数，而且该函数的最大解就是v i p 的解( 见文 4 】) 通过问隙函数，变分不等式的求解问题可以借助求解优化问题的方法或工具来解 决( 文 1 7 ) ，而在求解优化问题的众多工具中，对偶理论尤为实用对偶理论研究 的是优化问题与对偶问题的关系( 见文 8 ) ，包括两者目标函数的关系和两者最优 值之间的关系等最常见的对偶是上个世纪六十年代，f c n c h e l 基于共轭函数和问 题的参数扰动提出的f e n c h e l 共轭对偶( 见文 2 0 ) ，而后，r o c k a f c l l a r 发展并完善 了共轭对偶理论( 见文 2 2 】) 鉴于最优化问题与变分不等式的关系，有些学者开始研究变分不等式的对偶 问题1 9 7 2 年，m o s c o 在局部凸拓扑向量空间x 中，利用f e n c h c l 共轭函数，定 义了x 的对偶空间x + 上的变分不等式 2 ，并称其为m v i 的对偶，记为d m v i ， 同时给出一条联系这两个变分不等式各自的解的定理( 见文 2 】) 定理1 1 ( 1 ) x o x 是m w 的解，当且仅当，z ；= - f ( x o ) 是d m v i 的 解；俐m w 和d m v i 有解，当且仅当存在x o x ，使得厂( z o ) + 厂( z ；) = ( x 0 ，x o ) 成立，这里，x 0 = - f ( z o ) 美中不足的是，在定义d m v i 的时候，m o s c o 需要m v i 中f 是一个单射 如果f 不是单射，就只能在集值变分不等式的框架下讨论变分不等式的对偶 5 m o s c o 所定义的对偶与优化问题中的f c n c h e l 对偶联系不明显，但文献f 1 0 1 证明了m o s c o 所定义的对偶与原变分不等式的关系事实上就是f e n c h e l 对偶关系 的一种，因此，变分不等式的对偶具有强大的理论基础，对求解变分不等式具有一 定的意义文献 2 4 给出了对偶变分不等式求解方面的一些应用 向量变分不等式文献( 6 1 主要是针对变分不等式中的不等号进行推广通过定 义某个b a n a c h 空间里面的序来代替实数空间冗中的大小概念，向量变分不等式 比变分不等式更为一般 本文第二章定义了广义变分不等式的对偶问题，得到了一个比文献 2 更一般 的变分不等式对偶框架在这个对偶框架中，文献 2 中f 是单射的条件可以用 一个更一般的条件代替特别的，当我们讨论的空间是自反的b a n a c h 空间时， f 是单射的条件可以去掉第三章则将第二章所用的方法应用到向量变分不等式 中，得到了一个更为一般的向量变分不等式对偶框架，同时，也证明了与第二章相 对应的定理 6 第二章广义变分不等式的对偶 2 1g v i 的对偶 本章考虑局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 与其对偶空间x + ，且x 与x 4 是成对的空间 定义2 1i s 设x 与y 局部凸的h a u s d o r f f 拓扑向量空间，令( ，) 是定义 于xxy 上的线性形式，即对于每一个y k ( ，y ) 是定义在x 上的线性泛函， 对每一z x ，( z ，) 是定义于y 上的线性泛函对( ，) ，称x 与y 是成对的空 间，若x 上定义的线性连续泛函的全体与集合 ( ，y ) ：y y ) 相同，y 上定义 的线性连续泛函的全体与集合 ( z ，) ：z x ) 相同 每一对成对空间中的一个是局部凸的向量拓扑空间，而另一空间便称为是这 一空间的拓扑对偶 以下我们给出一些符号说明和基本概念的定义 映射f 的定义域和值域分别用d o m a i n ( f ) 和r a n g e ( f ) 表示函数f ：x 一 再= r u 卜- - 0 0 。嬲 称，是闭的，若c l ，= f 设，是一个增广实值函数，其f e n c h e l 共轭函数( 见文 8 ) 广：x + 一五定义 如下： 厂+ ( z ) ：= s u p ( x ，。+ ) 一，( z ) ) ，v z + x + 由上面f e n c h e l 共轭函数的定义，马上有下面的y o u n g - f e n c h e l 不等式成立 f ( x ) ( z ，z ) 一，+ ( z + ) ，v z + x ，z x f e n c h e l 共轭理论中有一条定理 8 ( f c n c h e l - m o r e a u - r o c k a f e l l a r 定理) ： 定理2 1 设f ：x _ 瓦是增广实值函数，则f + + = c l ( c o n v ( f ) ) 从上面定理，可以得到下面推论( 见文 8 ) ： 推论2 1f = f ”当且仅当f 是真凸的且是下半连续的 文 2 1 给出的m v i 是在成对的局部凸的向量拓扑空间x 和x + 下讨论的 设f ：x _ 瓦是下半连续的真凸函数，f 是x 到x + 的一个单射，记c f = d o m a i n ( f ) ，m o s c o 考察的是这样的m v i ：求z ，使得 ( f 扛) ，y z ) f ( x ) 一f ( y ) vy x ( 2 3 ) 当x = r n 且c _ = j 妒时，上述的m 就是第一章提到的m v i m o s c o 构造了一个从x + 到x 的映射户，户( ) = 一f 一1 ( 一) ，记= 一r a n g e ( 一f ) ， 则f ：_ x ，然后定义混合变分不等式的对偶d m v i ( 贝, 文 2 ) ：求z + ( p ( x + ) ，y + 一z + ) 厂( z + ) 一厂+ ( 可+ ) vy x 4 ( 2 4 ) 现在，我们也在x 中讨论 1 】的g v i 给定映射g ：q _ x ，其中q x ，且qn 仍x 下的g v i 就是求 x qn ，使得 ( f ( z ) ，y 一9 ( z ) ) 厂( 夕( z ) ) 一厂( 可) ，v y x ( 2 5 ) 8 其中f 和，的定义与m v i 中的一致当x = h 且c o = h ，c f = 日时，上述 g v i 就是第一章提到的g v i 以下开始定义g v i 的对偶假设t 满足条件： c i ：t 是一个x 到x 的单射，且d o m a i n ( f ) cd o m a i n ( t ) 定义两个函数 1 从x + 到x 的映射f ，f ( ) = - g ( t - 1 ( ) ) ，并记c 声= d o m a i n ( f ) ； 2 从x + 到x + 的映射雪，多( - ) = - f ( t _ 1 ( ) ) ，并记c o = d o m a i n ( 7 ) ， 其中，t 1 表示t 的逆映射 注意到 d o m a i n ( g ) nr a n g e ( t _ 1 ) = ( d o m a i n ( g ) nd o m a i n ( t ) ) 2 ( d o m a i n ( g ) nd o m a i n ( f ) ) d ； d o m a i n ( f ) nr a n g e ( t _ 1 ) = d o m a i n ( f ) nd o m a i n ( t ) = d o m a i n ( f ) 0 ； 故以上复合函数f ( ) = - g ( t - 1 ( ) ) 和雪( ) = - f ( t - 1 ( ) ) 有意义，且 d o m a i n ( f ) = t ( z ) x + i z d o m a i n ( g ) nd o m a i n ( t ) ； d o m a i n ( 多) = t ( z ) x + i z d o m a i n ( f ) ； d o m a i n ( f ) nd o m a i n ( ；) 谚 现在我们定义g v i 的对偶d g v i 如下： 定义2 2p g 删求矿ng ，使得下面情况成立 ( f ( x 。) ，y 8 0 ( x + ) ) f + ( 雪( z ) ) 一，+ ( 秒) vy x + ( 2 6 ) 从d g v i 定义中看出，一个g v i 的对偶问题不止一个，根据t 的不同可以定义不 同的d g v i ，因此，我们称上面定义的d g v i 为t 类型d g v i ，记为d g v i ( t ) 下面定理给出了g v i 的解与d g v i 的解之间的关系 定理2 2 门归x 是g v i 的解，当且仅当，矿= t ( x ) 是d g v f f t ) 的解； ( z ) a v i 和d g v i ( t ) 有解，当且仅当，存在z x ，使得 ，( 9 ( z ) ) + ，+ ( 鸯( z + ) ) = ( 夕( z ) ，0 ( x + ) )( 2 7 ) 成立，其中，矿= t ( z ) ， 证明( 1 ) 必要性如果z 是g v i 的解，则 ( f ( z ) ，y 一夕( z ) ) ，( 夕( z ) ) 一厂( 可) ，v y x 9 即 ( 一f ( z ) ，9 ( z ) ) 一，( 夕( z ) ) ( 一f ( z ) ，y ) 一，( y ) ，x 得 ( 一f ( z ) ，夕( z ) ) 一，( 9 ( z ) ) = s u p ( - f ( x ) ，y ) 一，( 可) ) y e 2 ( = ，+ ( 一f ( z ) ) 即 ( - f ( x ) ，g ( z ) ) = ，+ ( 一f ( z ) ) + 厂( 夕( z ) ) 由y o u n g - f c n c h e l 不等式，有 ，( 夕( z ) ) ( y + ，9 ( z ) ) 一，4 ( 可+ ) ，v y 。x + 移项整理，得 ，4 ( y ) ( y + ，夕( z ) ) 一，( 9 ( z ) ) ，v y + x + 上式两边加上( - f ( x ) ，夕( z ) ) ，以及利用( 2 8 ) ，可得 厂( 可+ ) + ( 一f ( z ) ，9 ( z ) ) ( y + ，9 ( z ) ) + ( - f ( x ) ，9 ( z ) ) 一厂0 ( z ) ) 一i ( y + ，夕( z ) ) + 厂。( 一f ( z ) ) ，v y + x 即 ( 一夕( z ) ，y + 一( 一f ( z ) ) ) 厂+ ( 一f ( z ) ) + ，+ ( 剪+ ) ，v y 4 x 因为矿i i - t ( z ) ，所以下面式子成立， 户( 矿) = 户( 丁( z ) ) 寻一g ( t 一1 ( t ( z ) ) ) = 一9 ( z ) ， 雪( 矿) = 多( t ) ) = 一f ( t _ 1 ( 丁( z ) ) ) = 一f ( z ) ， 从而 ( f ( x + ) ，y 一o ( x ) ) 厂+ ( z + ) ) 一厂+ ( 可+ ) ， vy + x + ，+ 也即，矿是d g v i 的解 充分性如果x + 是d g v i 的解，则 ( f ( z + ) ，y 一o ( x + ) ) f ( 鸯( z + ) ) 一厂+ ( + ) ，v y x 4 即 ( 一户( z + ) ，多( z ) ) 一，+ ( 多( z + ) ) ( 一户( z + ) ，口) 一，+ ( 妙+ ) ，v y + x 1 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 司以得到 ( 一p ( x 。) ，鸯( z + ) ) 一，+ ( 雪( z 8 ) ) = s u p 0 故此时了( z ) j ( 秒) ，否则( j ( x ) 一，( ) ，x y ) = 0 与严格单调性矛盾 综上，j 为单射证毕 由引理( 2 3 ) ，我们知道在自反空间下，正规对偶映象j 满足c 1 ，因此，j 作 为定义d g v i 的一个默认的t 通过上一节注1 和注2 的讨论，我们可以说：在 自反空间下，g v i 与d g v i 提供了一个更为一般的变分不等式对偶框架，这个框 架统一了f 是单射以及f 不是单射这两种条件下变分不等式对偶的定义情况 事实上对偶映象是h i l b e r t 上恒同映射在自反空间下的推广下面给出一些 h i l b e r t 空间下g v i 与d g v i 的例子 例1h i l b e r t 空间日的对偶空间为其自身，所以恒同映射，就是一个自身到 对偶空间的单射我们来看看，类型d g w 与g w 的特点 d g w 内容如下：找到一个”h 使得 得 ( - g ( u ) ，v + f ( 仳) ) ，+ ( 一f ( u ) ) 一，。( u ) ， v v h 由定理2 j 可知，上述的d g v i ( i ) 与g v i 有相同的解 例2 令g = i ，这时，j 类型d g v l 变成，类型d m v i ：找到一个u h 使 ( - - u ，u + f ( “) ) f + ( 一f ( u ) ) 一厂4 ( u ) ， v v h 由定理2 i ，上述问题与m w 有相同的解 1 3 此时， g 是一个日到其对偶的单射，g 一1 = i g ，g 类型d g v i 可以写成z 找 到一个钆h 使得 ( 一g ( u 一口) ，口+ f ( u 一口) ) f 4 ( 一f ( 乱一口) ) 一厂+ ( u ) ， v v h 例5 当g = i 时，g 类型d g v i 变成g 类型d e v i ：找到一个u h 使得 ( q 一乱，v 十f ( u g ) ) 厂+ ( - f ( u g ) ) 一厂+ ( u ) ， v v h 1 4 第三章广义向量变分不等式与其对偶 3 1 广义向量变分不等式 本节我们将上一章的g v i 推广到向量变分不等式中 设y ，z 是两个实b a n a c h 空间z 中的非空子集p 称为是锥，若对任何z p ， 对任意的t 0 ，有t z p 在z 上定义一个闭凸锥p 上的序：比，y z ，x y 兮 y z p ，并将这个序记为( z ，p ) 当p 的内点非空，即i n t p 仍，定义z 中的 弱序： 比，y z ，x y 兮y x i n t p 对于两个集合j e 7 l ，b 2cz ，我们用b 1 b 2 表示 6 1 b 2 ，v b l b t ，b 2 b 2 ； 用b 1 菇岛表示 6 1 b 2 ，v b l b 1 ，b 2 b 2 称点z b l 为弱最大值，若z b 1 ，并用w u e ( b 1 ) 表示b 1 中的所有弱最 大值集合， 称点z b 1 为弱最小值，若一z w u e ( 一b 1 ) 三( z ) 表示所有y 到z 的连续线性算子的集合对于y vz l ( rz ) ，( z ，y ) 表示算子f 作用在y 上的值 设a ：y l ( y z ) ，f ：y _ z ，文【6 】考虑向量变分不等式v v i 定义3 1 向量变分不等式y y j ：求y oey ，使得下式成立 ( a ( y o ) ，y y o ) f ( y o ) 一厂( 可) ，y y r 通过引入一个函数g ：y _ y ，本节提出一个广义的向量变分不等式g v v i ， 其定义如下： 定义3 2 广义向量变分不等式g v v i 求y o 使得下式成立 ( a ( y o ) ，y g ( y o ) ) f ( g ( y o ) ) 一厂( 秒) ，v y y ： 注意到，当夕为恒同映射时，g v v i 便是v v i 我们再来看看厂的向量共轭函数 6 的定义 定义3 3 厂的向量共轭函数厂+ 定义如下： f + ( z ) = w u e ( i ，y ) 一f ( y ) iy y ) 1 5 3 2 广义向量变分不等式的对偶 假设映射a 足y 到l ( z ) 是一个单射令a o 表示l ( z ) 到y 的一个映 射，满足 a o ( 2 ) = 一a 一1 ( 一f ) ，vl d o m a i n ( a ) = 一r a n g e ( - a ) 定义3 4y w 的对偶d v v i 求1 d o m a i n ( a o ) 使得- f k 成立 ( 1 一l o ，a + q o ) ) 厂+ ( 1 0 ) 一厂+ ( f ) ，vl l ( y ，z ) 与d m v i 的定义所需的条件相似， 6 】中的d v v i 定义也需要映射a 是单 射。下面，我们通过比v v i 更一般的g v v i ，提出向量变分不等式的对偶d g v v i ， 其中a 是单射这一要求将被弱化 假设y 与三( kz ) 之间存在一个单射t ，且满足d o m a i n ( t ) 2d o m a i n ( a ) 注意，这里并不要求a 是单射 设a o 是厶( y z ) 到y 的映射，满足 印( 1 ) = - 9 ( t _ 1 ( f ) ) ，ve d o m a i n ( a o ) ， 其中，d o m a i n ( a o ) = t ( 耖) 己( y ，z ) b d o m a i n ( g ) nd o m a i n ( a ) 设g o 是l ( y ，z ) 到l ( kz ) 的映射，满足 g o ( z ) = - a ( t _ 1 ( f ) ) ，vz d o m a i n ( g o ) ， 其中，d o m a i n ( g o ) = ( t ( 可) l ( kz ) l y d o m a i n ( a ) 显然有d o m a i n ( a o ) nd o m a i n ( g o ) d d g v v i 的定义如下： 定义3 5 求l d o m a i n ( a o ) nd o m a i n ( g o ) 使得下式成立 ( 1 一g o q o ) ，a o ( f o ) ) ，+ ( 夕o ( f o ) ) 一，+ ( f ) ， vz l ( k z ) 由于上述的d g v v i 与t 有关，通常用d g v v i ( t ) 来表示在找到单射t 后 g v v i 的对偶 上述定义的g v v i 和d g v v i ( t ) 在z 取实数空问r 的时候变成b a n a c h 上 的g v i 和d g v i ( t ) 相应地，我们在文 6 】给出一条描述g v v i 与d g v v i 两个向量变分不等式 各自解的关系的定理 定理3 1 若，：y z 是一个连续函数且广( f ) d ，vz l ( kz ) ，以及 i n t p 仍，p u p = z ，则g v v i 有解珈的充要条件是，l o = t ( 珈) 为d v v i ( t ) 的解并且下面关系成立 ( g o q o ) ，g ( y o ) ) f ( g ( y o ) ) + t 厂+ ( 矿( f o ) ) 1 6 证明必要性珈是g v v i 的解，则有 ( a ( u o ) ，y g ( u o ) ) y 0 0 0 ) ) 一，( 鲈) ，v y y 一( a ( 珈) ，9 ( y o ) ) 一i ( 9 ( y o ) ) 一( a ( 珈) ，y ) 一厂( 可) ，v y y 由厂的定义，有 一( a ( 珈) ，9 ( y o ) ) 一i ( g ( y o ) ) 厂+ ( 一a ( 珈) )( 3 1 1 ) 一( a ( 珈) ，g ( y o ) ) 一y ( g ( y o ) ) 一，4 ( z ) ，+ ( 一a ( 踟) ) 一，+ ( f ) ， vz l ( kz ) ( 3 1 2 ) v u ，v z ，若u v 不成立，则 一i t i n t p ，由于i n t p p ，故v u p ，也 即u u 因此，如果l o = t ( 珈) 不是d g v v i ( t ) 的解，那么存在一个z l ( z ) ， 使得 ( z 一夕o ( z o ) ，a o ( f o ) ) ，。( 9 0 ( z o ) ) 一，+ ( f ) 由映射g o 和a o 的定义，可得 g o ( f o ) = g o ( t ( 珈) ) = 一a ( y o ) ，( 3 1 3 ) a o ( 1 0 ) = 一g ( y o ) ，( 3 1 4 ) 故 ( f + a ( y o ) ，一g ( u o ) ) ，+ ( 一a ( 珈) ) 一，+ ( 2 ) 由( 3 1 1 ) 且上式右端足一个集合，故有 ( 2 + a ( y o ) ，一9 ( 珈) ) 一( a ( 珈) ，a ( y o ) ) 一i ( g ( y o ) ) 一，+ ( f ) 也即 ( 2 ，一g ( y o ) ) - j ( g ( y o ) ) 一，+ ( z ) ， 厂+ ( 2 ) ( z ，g ( y o ) ) 一厂( 夕( 珈) ) ， 这与广的定义矛盾，故l o 是d g v v i ( t ) 的解再由( 3 1 0 ) ，( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 得 ( 夕o ( f o ) ，g ( y o ) ) y ( a ( y o ) ) + ，。( 9 0 ( 2 0 ) ) 充分性设l o 是d g v v i 的解，由于t 是单射且l o = t ( 珈) ，故( 3 1 3 ) 和 ( 3 1 4 ) 成立且y = t q o ) 再由已知 ( 夕o ( z o ) ，9 ( y o ) ) f ( g ( y o ) ) + ，4 ( 夕o ( f o ) ) ， 可得 ( 夕o ( f o ) ，g ( y o ) ) 一i ( g ( y o ) ) ，+ ( 矿( f o ) ) 17 1 8 参考文献 1 】m v s o l o d o v ，m e r i tf u n c t i o n sa n de r r o rb o u n d sf o rg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l - i t i e s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 8 7 ( 2 0 0 3 ) ，4 0 5 - 4 1 4 2 】u m o s c o ，d u a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，j m a t h a n a l a p p l ，4 0 ( 1 9 7 2 ) ，2 0 2 2 0 6 3 】c s l a l i t h aa n dg b h a t i a ，d u a l i t yi ne - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ，j m a t h a n a l a p p l ，3 5 6 ( 2 0 0 9 ) ，1 6 8 - 1 7 8 4 】g y c h e n ，c j g o ha n dx q y a n g ，o ng a pf u n c t i o n sa n dd u a l i t yo fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yp r o b l e m s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 1 4 ( 1 9 9 7 ) ，6 5 8 - 6 7 3 【5 】张石生，变分不等式与相补问题理论及应用，上海科学技术出版社，1 9 9 1 ，3 4 - 3 5 【6 】x q y a n g ，v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n di t sd u a l i t y , n o n l i n e a ra n a l y s i st h e o r y m e t h o d sa p p l i c a t i o n ，v 0 1 2 1 ( 1 9 9 3 ) ，8 6 9 8 7 7 7 】f f a c c h i n e ia n dj s p a n g ，f i n i t e - d i m e n s i o n a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dc o r n p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s ，s p r i n g e r ，n e wy o r k ，2 0 0 3 i s 】j f b o n n a n s ，a s h a p i r o ，p e r t u r b a t i o na n a l y s i so fo p t i m i z a t i o np r o b l e m ， s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，2 0 0 0 9 】g a l d u n c i n ，c o m p o s i t i o nd u a l 锣m e t h o d sf o rm i x e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，a p p l m a t h a n do p t i ，5 2 ( 2 0 0 5 ) ，3 1 1 3 4 8 【1 0 】p d a n i e l e ，d u a l i t yt h e o r yf o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，c o m m u n i c a t i o n si na p p l i e d a n a l y s i s ，n o 2 ( 1 9 9 7 ) ，2 5 7 - 2 6 7 1 l 】m f u k u s h i m aa n dt i t o h ，ad u a la p p r o a c ht oa s y m m e t r i ct r a f f i ce q u i l i b r i u mp r o b - 1 e r o s ，m a t h j a p o n i c a ，3 2 ( 1 9 8 7 ) ，7 0 1 - 7 2 1 1 2 】j z h a n g ，c w a na n dn x i u ，t h ed u a lg a pf u n c t i o nf o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ， a p p l m a t h a n do p t i ，4 8 ，n o 2 ( 2 0 0 3 ) ，1 2 9 - 1 4 8 【13 】t t a n i n o ，c o n j u g a t ed u a l i t yi nv e c t o ro p t i m i z a t i o n ，j m a t h a n a l a p p l ，1 6 7 ， n o 1 ( 1 9 9 2 ) ，8 4 - 9 7 【1 4 】g a l d u n c i n ，o ng a b a y sa l g o r i t h m sf o rm i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a p p l m a t h a n d o p t i ，3 5 ，n o 1 ( 1 9 9 7 ) ，2 1 4 4 1 5 1g s t a m p a c c h i a ，f o r m e sb i l i n e a i r e sc o e r c i t i v e ss t l rl e se n s e m b l e sc o n v e x e s ，c r a c a d s c i p a r i s ，2 5 8 ( 1 9 6 4 ) ，4 4 1 3 4 4 1 6 【1 6 】j m p e n g ，e q u i v a l e n c eo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m st ou n c o n s t r a i n e d0 p 珏 m i z a t i o n ，m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，7 8 ( 1 9 9 7 ) ，3 4 7 - 3 5 5 17 】j h w u ，m f l o r i a na n dp m a r c o t t e ，ag e n e r a ld e s c e n tf r a m e w o r kf o rt h em o n o - t o n ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，6 1 ( 1 9 9 2 ) ，2 8 1 3 0 0 1 8 】l r h u a n ga n dk f n g ，e q u i v a l e n to p t i m i z a t i o nf o r m u l a t i o n sa n de r r o rb o u n d s f o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i 锣p r o b l e m ，j o p t i t h e o a p p l ，1 2 5 ( 2 0 0 5 ) ，2 9 9 3 1 4 1 9 】m f u k u s h i m a ，m e r i tf u n c t i o n sf o rv a r i a t i o n a li n e q u