（计算数学专业论文）可微函数用bernoulli函数和eulerian函数表示的公式及其应用.pdf

盼砌z ； u 致谢 本文是在导师王兴华教授的悉心指导下完成的。王老师严谨的治学态度、 渊博的知识和正直的人格对作者本人和论文研究影响颇深，使作者终生收益匪 浅，并将成为作者为人治学的楷模。论文从选题、提纲拟定、资料收集到写作 过程，王老师都反复进行详尽的指导和改正。潜移默化，敬意铭心，在此谨向 王老师致以衷心的感谢。另外，还要特别感谢师兄马万博士后在论文完成过程 中给予的热心指导和大力帮助，感激之情，难以言表。 作者还要向曾给予作者谆谆教导的郑士明教授、江余生教授、韩月夫教授 和黄正达副教授表示敬意和谢意。同时向吴庆标老师、薛莲、李大明、应玮婷、 岑仲迪、张镇、王梦等同学给予的支持和帮助表示感谢。 作者还要衷心感谢作者所在单位领导和同事给予的热心帮助和支持。 j f k # l - ，本文在写作过程中参考了一些书籍和文章，在此谨向有关著者和编 者一并表示感谢。 摘要 对于形如 f ( i ) t 7 ( 1 ) 的有限和，当，= 1 时，就是经典的e u l e r m a c l a u r i n 公式研究的内容。但当r 1 时，研究者甚少。1 9 9 5 年，g f c d e b r u y n m 研究了形如 y i p t = l p t + 2 pr2 + + n p t ” 百 的所谓“算术一一几何级数”的求和公式。接着在1 9 9 9 年和2 0 0 0 年， l c h s h & p j 一s s h i n e t 2 1 和l c h s h & e l t a n 3 1 分别对此给出了若干推广。在此之 前，千兴华4 1 在1 9 9 8 年曾经给出过( 1 ) 的一个一般求和公式( 只不过没有用 通用的e u l e r i a n 函数而是重新定义了一种另外形式的组合工具来表示) 。 本文首先用统的方法证明了高阶可微函数分别利用b e r n o u l l i 函数和 e u l e r i a n 函数表示的两个定理。在此基础上，讨论了这两个公式在快速算法的计 算复杂性分析以及若干级数求和( 包括( 1 ) ) 等方面的应用。全文共分= 章。 第一章在发生函数和b l i s s a r d 演算的基础上，利用b e r n o u l l i 数、b e r n o u l l i 多项式和b e r n o u l l i 蛹数或e u l e r i a n 数、e u l e r i a n 多项式以及e u l e r i a n 函数，提 出了父于高阶连续可微函数的如下两个新的表示定理： 定理l ：设f ( z 1 为在z 所涉及区间内的”+ 1 次连续可微函数，则 化) = 台n + l 百b k 【，( k11(州)“沁)卜志弘_)b)dx0 ， 化) = 厶百【，( z + 1 ) 一“1 ( z ) 卜i f ”b z x ) ”( x ， 女= ：l 7 f 1 _ 1 ，：一 其中厂卜”( z ) 表示f ( z ) 的不定积分，毋( j i = 0 , 1 ，2 ，”+ 1 ) 和或+ ，( z ) 分别是 b e r n o n l l i 数和b e m o r d l i 函数。 定理2 ：设厂( z ) 为在z 所涉及区间内的”+ 1 次连续町微函数，则 f ( z ) = 窆k = o 掣沁m 叫k + 1 ) 】+ 糸一力广圳 ) a x 其巾f 1 ，“：( z ，) k - e u l e r i a n 甬数，( r ) = i 兰鲁，4 ( f ) 为e u l e r i a n 多项式。 特别地，当f ( z 1 为胛次多项式时，还给m 了不带余项的b e r n o u l l i 表示或 e u l e r i a n 表示。 ：述结果在分析用减半递推技术设计的快速算法和并行算法的效率( 复杂 性) 分析方面有重要应用。特别地，我们研究了关于正值自变量x 的未知函数 t ( x 1 的差分方程 7 1 ( x ) = a t , r ( ) + x ”f ( z ) ( 2 ) ( 厂( z ) 为在z 所涉及区间内的 + 1 次连续可微函数，z = l o g 。x ) ，在p = q 以及 p q 的两种情况下的通解。主要结果如f ： 定理3 ：设f ( z ) 为在= 所涉及的区间内的”+ 1 次连续可微函数，则有 7 1 ( x ) = c ( x ) + f 厂( y + 1 ) 砂+ 荟n + l 百b k 厂叶。1 k + 1 ) 一石南f 日- 乜一y ) ，”“1 ( y + 1 ) 咖】 其中z = l o g 。x ，。( z ) 表示，( z ) 的不定积分，玩( 七= 0 , 1 ，2 ，n + 1 ) 和或+ l ( z ) 分别是b e r n o n l l i 数和b c r n o n l l i 函数，c ( x ) 表示右半实轴( 0 ，+ ) l 满足 c ( x ) ：c ( 互) 的任意函数 a 定理4 ：设，( ) 为在z 所涉及的区涮内的n + 1 次连续可微函数，则有 m ) c 儿州砉掣k + 1 ) 一扣：( z - y , t ) a l p - q ) z - y 广州1 川 上式中z = 1 。g 。x ，f = d p ，d ：( = 力是e u l e r i a n 函数，玩( r ) = i 笺等，4 ( f ) 为 e u l e r i a n 多项式。 力程( 2 ) 可以做如下解释：一个规模为x 的问题，可以以x ”厂( z ) 的计算代 价化为a p 个规模为兰的同一问题，那么该问题的计算成本( 计算复杂性) 丁( x ) a 就满足卜- 述递归方程。 第i 章讨论第璋中函数的表示定理在求和问题上的应用。辛要结果如下： 定理5 ：设厂( ：) 为在z 所涉及的区问内的 + 1 次连续可微函数，则 萋1州)=善n+l看bes【k + ) 圳卜击而r 蹦一) 广川( x ) d r 00 z + f ) = 吾【厂冲。1 ( z + ) 一1 “”( = ) 卜7 i 三j b “：一x ) ”( x 仁女= n ： “十l j ： 具t 7 v 为l r 整数，“：) 表不- ，( z ) 的小定积分，b 女( = 0 , 1 ，2 ，”+ 1 ) 和b ( z ) 分别是b e r n o n l l i 数和b e m o n l l i 函数。 定理6 ：设f ( z ) 为在= 所涉及的区间内的 + 1 次连续可微函数，则当f 0 , i 时，有等式 篓八z + = 砉笔产 ，k ) 一r “，叶k + ) 】+ 去f “：。一列旷”“】，( ”( x ) 凼 成立，其中是f 整数，d ：( 乏f ) 是e u l e r i a l l 函数，咏( f ) = 石当鲁，4 ( f ) 为 e u l e r i a n 多项式。 需要指出的是，定理5 是独立于定理6 的，定理5 亦不可由定理6 得到 二者不i u 互推。 n 一1 特别地，利用定理5 和定理6 ，还给出了f ( i ) t ( m ，n 为整数，且 j = m 0 m n ) 的求和公式。 a b s t r a c t t h ec a s ef o rf = 1o f t h e c o m p u t a t i o n a lp r o b l e m so f t h ef i n i t es u mo f t h ef o r m ： f ( i ) l 7 ( 1 ) 口ej 0 ，：= l o g 。x ，r ( x ) i su n k n o w n f u n c t i o n ，f ( z ) i st h e ( n + 1 ) - t hc o n t i n u o u s d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nw i t h i ns o m e i n t e r v a l si n v o l v i n gz t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w t h e o r e m s t h e o r e m3 l e t f ( z ) b ea ( n 十1 ) 一t hc o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nw i t h i n s o m ei n t e r v a l si n v o l v i n gz ，t h e nt h e f o l l o w i n gr e p r e s e n t a t i o ni sr i g h t 丁( x ) = x 9 【c ( x ) + f ，( y + 1 ) 妙+ 薯鲁 厂( “”( z + 1 ) 一i 三面f 曰二。一y ) ，即“( y + 1 ) 咖】 w h e r e z = l o g 。x ，f 一1 ( z ) r e p r e s e n t s t h ei n d e f i n i t e i n t e g r a lo f ，( z ) ， b ( 七= 0 , 1 ，2 ，玎+ 1 ) a n db ：+ 1 ( z ) a r eb e r n o u l l in u m b e r sa n db e r n o u l l if u n c t i o n s r e s p e c t i v e l y ，a n dc ( x ) r e p r e s e n t sa na r b i t r a r yf u n c t i o no n ( 0 ，+ ) ，w h i c hs a t i s f i e s c ( x ) ：c ( - x ) t h e o r e m4l e t 厂( z ) b ea ( n + 1 ) - t hc o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nw i t h i n s o m ei n t e r v a l si n v o l v i n gz ，t h e nt h ef o l l o w i n g r e p r e s e n t a t i o ni sr i g h t 6 m m n 州套警i ，i 气州) 五1 r ：( z - y , t ) 护肛_ 1 广圳( 川) 嘲 w l e r e z = l o g ax , t = a q - p , 出硐a r e e u l e r i a n f u n c t i 。n s ，引垆石筘 4 ( f ) a r e e u l e f i a np o l y n o m i a l s e q u a t i o n ( 2 ) c a nb ee x p l a i n e d a sf o l l o w s ：ap r o b l e mo fx s c a l e dc a nb e t r a n s f b m e dt oas 锄ep r o b l e mo f p sx - s c a l e dw i t hac a l c u l a t i n go v e r h e a do f 以 x 9 f ( z ) ，s ot ( x ) ，t h ec o s t ( c o m p l e x i t y ) o f t h i sp r o b l e m ，s a t i s f i e st h ea b o v e r e c u r s i v e e q u t i o n i n c h a p t e r3 ，w ed i s c u s s e st h ea p p l i c a t i o n s o ft h et h e o r e m si nc h a p t e r1 i n s u m m a t i o n p r o b l e m t h e m a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s t h e o r e m5l e t 厂( = ) b ea ( n + 1 ) - t hc o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nw i t h i n s o m ei n t e r v a l si n v o l v i n gz ，t h e nt h ef o l l o w i n gr e p r e s e n t a t i o ni sr i g h t 篓他+j)=薹鲁旷1)(删mf“k)】_尚叭zx)f”(触0k 他+ 。= 鲁。1 ( z + ) 一晴。1 ( z ) 卜i 斋r b “z 一 “( x ) 出 | = 0 ；1 ，+ w h e r eni s p o s i t i v ei n t e g e r , f 。1 ( z ) r e p r e s e n t s t h ei n d e f i n i t e i n t e g r a l o f i 厂( z ) ， b ( = 0 , 1 ，2 ，n + 1 ) a n db ：+ i ( z ) a r e b e r n o u l l in u m b e r sa n db e r n o u l l if u n c t i o n s r e s p e c t i v e l y t h e o r e m6l e t f ( z ) b ea ( n + 1 ) - t hc o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o nw i t h i n s o m ei n t e r v a l si n v o l v i n gz t h e nt h ef o l l o w i n gr e p r e s e n t a t i o ni sr i g h tw h e nf 0 , 1 孰州卜砉警一k + ) 】+ 扣“小一，f ) f 巾”广+ ”出 w n e r e i s p o s i t i v e i n t e g e r 出啦) a r c 蹦e r i a n 劬c t i o n s ，啾垆若特 a i ( f ) f i r ee u l e r i a np o l y n o m i a l s i t sn e c e s s a r yt op o i n to u tt h a tt h e o r e m5a n dt h et h e o r e m 6a r ei n d e p e n d e n t i n o t h e rw o r d s ，e i t h e ro f t h e mc a n tb ed e d u c e df r o ma n o t h e r i np a r t i c u l a r ，as u m m a t i o nf o r m u l ao f t h ef o r m ： 7 n1 f ( i ) t ，：m c a r lb eg i v e nb yt h e o r e m5a n dt h e o r e m6 , w h e r ema n dna r ep o s i t i v ei n t e g e r sa n d 0 s m n 刖茜 离散与连续是现实世界中物质运动对赢统一的两个方面，离散数学和连续 数学是描述、刻画和表达现实世界物质运动的两种有力工具。从数学角度来说， 连续的后果与离散的后果是可以相互通达的。但是离散数学的基本原则却不能 完全由连续数学取代，它有自己的理论基础。特别是电子计算技术蓬勃发展的 今天，离散数学已经成为计算机、信息系统、工程控制、生态平衡、社会经济 等科学技术的主要理论基础之一。另一方面，随着近代科学的突飞猛进，对于 控制理论学家、经济学家以及生物学家来说，差分方程( 描述离散动力系统) 已经成为一个重要且有用的数学模型。事实上，近年来由于医学、生物数学、 现代物理以及计算数学等自然科学和边缘性学科的进一步发展，亦提出了许多 由差分方程描述的具体的数学模型。 例如，专著【5 】的第四章综述中阐述了算法设计的“减半递推技术”。在这种 技术下，一个规模为n 的问题被分成c 个规模为昙的相同问题。因此计算成本 t ( n 1 满足差分方程 丁( n ) = c 丁 兰) + q ( 以) ( o 1 ) 这里q ( n ) 是辅助工作的成本。 诸如“减半递推技术”的结构递推技术在设计各种快速算法和并行算法时 也是很有用的”1 。如s t r a s s e n 矩阵乘法的运算量m ( x ) 决定于方程 m ( 2 x ) = m ( x ) 4 - 1 8 x 2 满足m ( 2 ) = 2 5 特解”1 ，f f t 算法的运算量w ( x ) 也是方程 w ( 2 x ) = 2 w ( x ) + 只( x ) 的某个特解，这里只( x ) 是一个一次多项式j ，等等。因而这类方程的求解对于快 速算法并行算法的复杂性计算至关重要。 遗憾的是，这种从实际中提炼出来的差分方程问题，它不是那样简单，不 能单靠数值计算就能解决问题，必须要进行差分方程解序列的全局定性结构分 析，尽可能求其通解。 这方面工作有代表性的是王兴华的 4 。在此文中，作者显示形如( 0 1 ) 的 差分方程的通解与求和f f ( z 。+ ，) 的相关性。从而引起人们对形如 磷( f ，) ；f ( i ) t 2 ( o x 1 ) ( o 2 ) 的有限和运算的新的关注。值得指出的是( o 2 ) 虽是有限和，然而，如果项数 甚多时，则上式的计算可以是非常麻烦的。 与形如( 0 2 ) 的有限和相关的较早的工作要归功于j a c o bb e r n o u l l i 。他的 卓越工作使我们现在具有了许多以他名字命名的求和公式。较有代表性的是他 在猜度术中，在研究概率的课题时，引入了现在己用得很广泛的b e r n o u l l i 数，并找到了一个求一类高阶等差级数正整数的正整数次幂之和的公式： 争，：三一n ，+ ，+ ! 一+ 旦b ， ，一，+ 旦! 旦二! 丛旦二望b 4 疗，一， 鲁p + 1 22 2 2 3 4 +p(p-1)(p-2)(p-3)(p-4)及”p5 + ( 0 - 3 ) 其中p 是正整数( 文献 7 第8 2 页8 5 题) ，b 2 ，b 4 ，b 。，是b e r n o u l l i 数。这是( 0 2 ) 在，= 1 ，f ( i ) = i 时的特例。 稍具一般性的是下面的b e r n o u l l i 求和公式： 设f ( x ) 为任一对x = 1 , 2 ，n 有定义函数，则 喜厂c 七，= ( ： 厂c ，+ ( ： ，c ，+ ( ；) ? ，c t ，+ + ( ：) ”。厂c ， 这个公式对于，( x ) 是多项式的情形( 即，( 女) 是所谓高阶等差级数情形，如 ( 0 3 ) ) 使用起来颇为方便。但对一般的解析函数，则问题仍没有解决。为此， e u l e r 在1 7 3 8 年发表了一个著名的结果，即e u l e r m a c l a u r i n 求和公式，这是 b e m o u l l i 结果的一个推广，是十分有效的解析工具，许多较为困难的问题正是 通过这个公式变得容易，且结论更为一般。 e u l e r m a c l a u r i n 公式： 善，( f ) = i | m ) 出一扣旷们) 】+ 等旷( 旷广( 0 ) 卜+ 喜朋) = r m 肛知旷侧 + 鲁旷( 旷九o ) 】+ + + 淼 “b ) _ 严“) ( 0 ) + 色 其中 r ；= r ，州q ) e 2 。 ) d x ， 这旱h 与k 是正整数，只是2 女+ 1 阶的b e m o u l l i 多项式。 此后这一结果被b e n s t e i n 、崔锦泰、华罗庚、王元以及a t k i n s o n ( 参 1 5 ) 等发展或应用。尤其是王兴华【6 】的工作，它是e u l e r m a c l a u r i n 公式的一个较好 的扩充，条件较宽，而其表达形式更便于应用，并且还蕴含了经典的估值方法 和上面所提到的大部分工作。上述工作主要研究的是( 0 2 ) 中r = 1 情形。 对于f 1 的情形，其结果较少见到。1 9 9 5 年，g e c d e b r u y n 研究了形如 y l e t t = l e t + 2 p t2 + + 聆9 ，” 的所谓“算术一一几何级数”的求和公式。接着在1 9 9 9 年和2 0 0 0 年， l c h s h & e j s s h i a e t 2 1 和l c h s h & e l t a n t 3 1 分别对此给出了若干推广。但距 ( 0 2 ) 的一般形式的和还相差甚远。 所以这些都预示着形如( 0 2 ) 的+ 般求和公式有着广阔的应用空间。如上 文中所指出的，它与用于分治策略的复杂性分析的差分方程的解，高阶等差级 数的求和，“算术几何级数”等相关。所以本文就这一问题展丌讨论，提出 了可微函数的两个表示定理，以此为基础，讨论了这两个公式在快速算法的计 算复杂性分析以及若干级数求和( 包括形如( o 2 ) 的求和计算) 等方面的应用。 第一章可微函数的表示定理 本章t 要讨论用b e r n o u l l i 函数和e u l e r i a n 函数表示可微函数的方法。 b e r n o u l l i 函数和e u l e r i a n 函数是极其重要的解析工具，在有些函数的表示问题 上，只有引入这些数后才1 使解析表达成为可能( 参【3 】) 。值得指出的是，所得 到的结果在分析用减半递推技术设计的快速算法或并行算法的效率( 复杂性) 方面以及若干级数求和方面有重要意义( 具体见第二二、三章) 。 为此，作为预备，在1 主要介绍与这两类数相关的一些定义及其简单性 质。在此基础上，2 作为本章的重点，证明了可微函数可由b e r n o u l l i 函数或 e u l e r i a n 函数来表示的两个基本结果，这也是本论文的重点之一。 1 预备知识 1 1 发生函数和b l i s s a r d 演算 发生函数方法是一套非常有用的方法，它的应用很广。这套方法的系统叙 述，最早见于l a p l a c e 在1 8 1 2 年出版的名著概率解析理论中。这套方法的 思想十分简单，就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列问的相瓦 结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的 构造。 扼要说来，发生函数方法就是把一个有限或无限的数列 d 暑 口o ，口l ，日2 ，一一，d ， 和如下形式的幂级数 4 0 ) = “o + 珂l f + a 2 t2 + t d r + ( 1 1 1 ) 联系起来，构成对应关系 慨) h 爿( f ) ， 这个爿( f ) 就称为 吼 的发生函数， 吼 叫做彳( f ) 的生成序列旧。 当涉及有关排列的问题时，常使用如下形式的幂级数作为发生函数 即) = a 0 + a l l + 缉2 1 + + ( 1 1 2 ) 彳( f ) 称为数列 吼 的指数型发生函数。 由于本文所涉及的都是指数型发生函数，因此只简单地介绍一下指数型发 生函数的有关运算和性质。 设数列 吼 ， b 。) ， 唧) 相应的指数型发牛函数分别为 则定义加法： 当且仅当 而定义乘法 当且仅当 并且易证 4 ( f ) = 妻鲁 b ( f ) = 0 c ( r ) = 4 ( f ) + b ( t ) 吒= 口+ 6 t ， k = 0 , 1 ，2 ， c ( f ) = 一( ，) b ( f ) c 。= 口。+ ( ：) 。一，。，+ 一十 ；) n 。一，。，+ 。+ 口。a m k = 0 , 1 , 2 d ”a ( t ) 出” ( 1 1 3 ) f 1 1 4 1 b l i s s a r d 演算8 1 是一种形式演算法则，对于指数型发生函数的乘法和求导运 算非常有效。简单地讲，b l i s s a r d 演算方法是指在对发生函数 a ( 0 的演算过程中以形式符号来表记 d 2 = a 女( k = 0 , 1 ，2 ) 即把足标移到指数地位来演算，但演算完毕后对最终结果仍须让指数返回足标 位置的演算方法。b l i s s a r d 演算方法的合理性本质上是基于指数型发生函数在作 乘法运算与求导演算时，能与b l i s s a r d 演算法则一对应起来，并使蛀终结果 具有一致性【8 | 。 1 2b e r n o u l l i 数、b e r n o u l l i 多项式和b e r n o u l l i 函数 吼一削 。 = dq 氏一烈 。 堑烈 。 = o 一 些西 一 垫削 。 由f 列发生函数定义的一些数b 。称为b e r n o u l l i 数【9 】 利用b l i s s a r d 演算方法易证。 ( 1 ) b o = 1 ，b 女= e2 1 戮k - i ( k f j 、b 一_ l 2 ( 2 ) 玩= 一i 1 ，2 0 ，= l ，2 ， b e r n o u l l i 多项式【9 | b i ( x ) 由下列发生函数定义： h ( x ，) = e “。，t 一，= 薹b 。( x ) 岳 剐加洲即“ 利用b l i s s a r d 演算方法可以证明： 矿7 去1 邓“鼬) 卅“”已一 ：争堕型f t 篇 烈 = 罗k = o 壹。o f t ：z b ) x “簧 = 雒“焉 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 ，1 9 ) ( 而b = b ，) 与( 1 1 8 ) 比较即司得( 1 1 9 ) 。 由本结果显然可见b = b ( 0 ) ，即b e r n o u l l i 数是b e r n o u l l i 多项式在f _ 0 时 的值。 引理1 ：b e r n o u l l i 多项式具有如下特征性质： ( 1 ) b 0 ( x ) = 1 ，耳( x ) = 七玩一1 ( x ) ， k = l ，2 ， ( 1 1 1 0 ) ( 2 ) f b k ( x ) d x = 0 ， k = l ，2 ， ( 1 1 1 1 ) 反之，b e r n o u l l i 多项式由上述条件唯一确定。 引理1 的证明参见7 1 。 玩百 。 例如，山风= l ，蜀= 一吉，以及( 1 1 9 ) 可得 b t ( x ) = 曰。x + 曰。= x 一昙， b 2 ( x ) = b o 茁2 + 2 e x + b 2 = x 2 一x + b 2 冉由( 1 1 1 1 ) i l l 得 f b 2 ( 舳= l ( x 2 - x + b 2 ) 出= 一吉捣= o 得 耻吉，( 1 1 1 2 ) 因此 b 2 ( x ) = x 2 - - x + i 1 ( 1 ) b ( 1 ) 一b 1 ( o ) = 翮， k = l ，2 ， ( 1 1 1 3 ) ( 2 州f ) ( 1 ) 叫f ) ( 0 ) _ 志，拈2 ，3 ，；f _ 叭一，扣2 ，女 ( 1 1 1 4 ) ( 3 ) b 女( x + 1 ) = b ( x ) + 缸， k = 1 ，2 ， ( 4 ) b k ( 1 一x ) = ( 一1 ) b k ( x ) ， i = 1 ，2 ， ( 1 1 1 5 ) ( 1 1 1 6 ) 对于任意实数x ，设以i x 表示不超过x 的最大整数，并令 x ) = x _ 【x ，则 b ：( x ) = b k ( x ) ) 是以1 为周期的周期函数，称为b e r n o u l l i 函数【7 】。所有的b e r n o u l l i 函数都有有界变差，且当k 2 时是连续的， 并有等式 群( 1 一x ) = 研( 一x ) = ( 一1 ) 。磷( x ) 成立。 1 3 s t i f l i n g 数、e u l e r i a n 数、e u l e r i a n 多项式和e u l e r i a n 函数 第一类s t i f l i n g 数州【1 3 1 与第二类s t i r l i n g 数”分别用s ( ，女) 与s 2 ( n ，女) 表示， 它们的定义如下： ( f ) 。= f o = s ( o ，o ) = s 2 ( o ，o ) = 1 ， ( 1 1 1 7 ) u ) 。= s l ( n ，k ) t ， h = 0 , 1 2 ( 1 1 1 8 ) = 0 f ”= s ：( ”，啪) 。， = 0 其中( f ) 。，( f ) 。表示阶乘函数，其定义如下： ( 1 1 1 9 ) p ) 。= 1 ，o ) 。= t ( t 1 ) o 一2 ) o 一”+ 1 ) w = 1 , 2 ，3 ，。 ( 1 1 2 0 ) 上列式表明( r ) 。与f ”分别为s ( ”，t ) 与s ：( h ，七) 的发生函数，但后者是以( r ) * ( 女= o ，1 ，2 ) 为基底的展开式。由此，我们可以导出s ，( ，) 和s ：( 胛，女) 分别有如 f 的递推关系： s l ( + 1 ，t ) = s l ( n ，k - i ) 一n s l ( h ，k ) ( 1 1 2 1 ) s 2 ( 厅+ 1 ，k ) = s 2 ( ”，t 一1 ) + k s 2 ( n ，k ) 此外，应用移位算子与差分算子可算出 s 2 ( 2 去枷” 这表明第二类s t i r l i n g 数与高阶零差只差一个常数因子。 式f 8 1 ： 。”= 砉c 一，。一( ； ，” 我们可将第二类s t i r l i n g 数& ( h ，) 表示为 ( 1 1 2 2 ) 由高阶零差的明显表达 蹦啦，= 击扣广e 卜 地， 但关于s i ( n ，七) 却不存在这样简明的表示式。 通过两类s t i f l i n g 数的定义，我们还可得到如下关系式 s ( ”，) s ：( t ，j ) = 占。， r 2 j s ：( ，i ) s 。( ，) = j 。， = ， 其中 ( 1 1 2 4 ) ( 1 1 2 5 ) 驴牌； 即两类s t i r l i n g 数之删存在着相互正交关系，由此导出下述一对互反公式 h n 吒= e s l ( n ，k ) b k b 。= s 2 ( ，) 吼 ( 1 1 2 6 ) k = 0 = 0 其中 吼) ， b 为任葸数9 0 最后，通过计算，可知两类s t i f l i n g 数的指数型发生函数为嘲： 鼍竽= 静蛳，鲁，掣= 驷啦，i i n 。m ， e u l e r i a n 数1 9 】【“1 a ( p ，女) 是由发生函数： g ，加未去小喜帅问i t p x “他s ， 产生的。容易验证： ( x - x 2 ) 鲁- 1 ) 鲁+ g 1 - o ( 1 1 2 9 )伽a 如果此偏微分方程中_ x k - l tp 的系数等于o ， 由此得到下列递推关系【9 j ： fa ( p ，1 ) = 1 p = 0 , 1 ，2 ， 爿( o ，) = 1 k = 2 , 3 ，4 i 爿( p + 1 ，| i ) ：( p - k 、+ 2 ) a ( p ，一1 ) + 捌( p ，) p = o ，l ，2 - - ；t = 2 ，3 ，4 一 ( 1 1 3 0 ) 有时为了易于处理，常使用a ( p ，t ) 及如下经g 1 ( r ，x ) 改造后的发生函数 g ( t ，x ) ： ，x)=g1(阮争州gi亿矿】=+杰k=l问爷=去岳(1131g(t g 111 a ( p ) ，x )( 舡，二) = + 虹( ) 一卜+ ，七) 音z “= f 丽 ) x ：i 一 ( 由( 1 1 2 0 ) 的定义，e u l e r i a n 数a ( p ，i ) 有如下表达式： 却，垆圭( 叫p 外州) p ( 1 t 钏 ( 1 1 3 2 ) j = 0l 并且，e u l e r i a n 数a ( p ，) 满足如下形式： x ，= 。p z ：a ( p ，t ，( 。+ ：一1 c - ， x ”= ，t ) r ：1l 1 1 - 3 3 ) p = l 令 爿，( x ) = a ( p ，k ) x ， 称a e ( x ) 为e u l e r i a n 多项式9 1 2 ”。显然，a p ( x ) 的发生函数是 印，加苫南， 即 经简单计算可得 其中 南= 缸x ，西t k m 。， a o ( x ) = 1 ， a 1 ( x ) = x ， 爿2 ( x ) = x + x 2 ， 彳3 ( x ) = x + 4 x 2 + x 3 ，- ( 1 1 3 5 ) 利用第二类s t i r l i n g 数s ：( 胛，女) 可给出a r ( x ) 的一个解析算子，即 弓i j 里2 ：a p ( x ) = x 2 k ! s ：( p ，k ) ( x - 1 ) 9 一= e k e s 2 ( p + 1 ，k + 1 ) ( x 一1 ) 9 一 引理2 的证明参见 9 】。 令 a k c z ，x ，= 妻( j 口，c x ，z 女， c ，s s ， ( ) = 口如) z “， ( 1 ，1 3 6 ) ，2 u 州加器 在( 1 1 3 4 ) 中用t ( 1 一x ) 4 2 t ，可得到a k ( x ) 的发生函数如下 驰x ，鲁= 丙1 ， ， 另一方面，由引理2 可知日。( x ) 可用第二类s f i r l i n g 数表示，即 删= 矽k 驰力南( ) ( 1 1 3 8 ) 此外，唧( ：，x ) 具有如下一些性质： 引理3 ：( i ) a ( o ，x ) = a ( x ) ，k = 0 , 1 ，2 ，3 ( i i ) d t ( 1 ，x ) ：三；( x ) ，i ：1 ，2 ，3 ， 工 ( i i i ) 掣：砌。( 孙) ， 汜 ( i v ) 日。( z ，三) ：( 一1 ) t m l 2 k ( 1 - - z ，x ) x 工 ( v ) 当0 x 1 时，( 一1 ) “1 a ( 1 一z ，z ) 为正且单调l y + ( z o ) 。 证明：( i ) 由( 1 1 3 6 ) 知 a 。c ：，x ，= 妻( ； 仃，c x ，z 一j = 霎( ； 口，c x ，z 一+ 口。c x ， ( 1 1 3 9 ) r 1 1 4 0 ) ( 1 1 4 1 ) r 1 1 4 2 ) 所以d 女( 0 ，x ) = o + a ( x ) = 口( x ) ( i i ) 由( 1 1 3 6 ) 矢n 口。c t ，x ，= 砉( ； n ，c x ，= 霎 ； a ，c x ，+ 口。c x ， c ，。， 又在( 1 1 3 7 ) 两边都乘以( 1 一船) ，则可得 ( x ) ：土 1 一x ( 1 1 4 4 ) 吼( x ) = x ，一x 烈铲( 扩k ( x ) ，h z 扣 c s ， 而且显然 ( ) = ( x ) = 五1 将( 1 1 4 5 ) 代入( 1 1 4 3 ) ，得 吼( 1 ，x ) ：生吼( x ) + 吼( x ) ：一1 吼( x ) ( i i i ) 由( 1 1 3 6 ) 可得 1 9 掣= 。a 七, = o c j j z h 出 ”7 = 鬈志吖坝尼智一( 一川”。、 a ( t ，x ) = e “。”， ( 1 1 4 6 ) 则利川b l i s s a r d 攒舁万珐， 。a a z , x ) 鲁= 荟( 台kl ，k j “，、“，。k - j i t k = 熊，慝怠l 箭i ，j 、j 女! ：争妞生型，t 怠 削 ：一( 枷f ：p “p m ”：! 二 1 一x e 即 弘，簧= 南 由r 式叮得 a ( x ) ia 2 ( x ) ( 1 1 4 7 ) p “一x e z l x e 一( 1 一。”一x e ( 1 ：x n o 一 1 一! p r e f x1 一x p 1 一x p 卜” x = ( 一x ) a 。( 1 吼 a 一瑟 +z a 一瑟 h r 他：| v脚 = 篇舭匹脚昧 ，一烈k t 、x 0 。 套c 卅，m ka k _ x 嗉 = 0 “ 静，k + l a k ”叫，x 鲁 = o 凼此， a k ( z ，) = ( 一1 ) “1 口t ( 1 一z ，x ) x ( v ) 因为 州砷2 善s “t 力若矿， j = u、1”， 所以 姒，= 黝秘u 。寿z 由已知条件：0 1 时，因为 ( - 1 ) k + l a k ( 1 一乙x ) = a 。( z ，三) 三， 由第一个结论，可知上式为正且单调上升。 最后，我们定义 出孙，= n 拦魏。剽 s ， 称为e u l e r i a n 函数。对于d ：( z ，x ) ，有 引理3 1 4 1 ：对于女1 ，口：( z ，x k 刊i 是z 的连续函数。此处 z 】为z 的取整函数。 证明：事实上， 珂：( ，+ ，x ) x 一【+ 1 = 口：( ，x ) x 。【“= 女( o ，x ) x 一。= o k ( x ) x 一， ( 1 1 4 9 ) 口：( ，一，x ) x 一一1 = a k ( 1 ，x ) x 。“= a k ( x ) x ( 1 - 1 5 0 ) 2 主要结果及其证明 i 、回叙述本草盯王要结果，开给出兵让明。送曲个主萤结果是本文屙续各 章的基础。 定理1 ：设f ( z ) 为在z 所涉及区间内的胛+ 1 次连续可微函数，则 作) = 薹务k + 1 ) “k ) 】_ 志f “球一) 广删( 蛐，( 1 2 1 ) 其中厂卜”( z ) 表示，( z ) 的不定积分，b 。( 女= 0 , i ，2 ， + 1 ) 和或+ 。( z ) 分别是1 2 中定义的b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 函数。 证明：庀 k - = 杀而f “碟一( 舳 ( 1 f 2 2 ) 用r i e m a n n - s t i e l t j e s 分部积分法，得到 r “5 丽1 p 托一x ( x ) 2 丽1 琳一) 广_ 丽1 f + i ， 瑚托一x ) = 丽1 【球- 1 ) 广1 ) ( 州m - ( o ) ，卜志n ( 徊托叫 = 篆嚣( 州h 卜南p 气测“) 注意到z x z + 1 ，而或( x ) 是以1 为周期的周期函数，于是有 或+ ，( o ) = b 。( o ) = b n 。 继续上面的计算，则 = 丽b n + l 气z + l h 卜南一( z ) 瓯( 一) ( 1 2 3 ) 用i 表示上式中的第二项，即 ，：一7 土ic + l f ( o l ( x ) 船：。( z - - x ) ， r h + 1 、! 、+ “ 卜n 而分塌i i 就1 1 和h ：0 两种情沏来计算i 。 。盾彤1 ： 1 此时，由船：( x ) = ”b ：一， ) 威，可得 = 一去f “厂枷( x ) 曰：( z x ) d ( z x )，r = 击f “厂气x ) 瞵( z z ) 出 州 。 一” = r 。 情形2 ：h = 0 ， 此时，由 b l ( ：一x ) ：( z x ) 一；，b j ( z x ) ：( ：一x ) 一【z i u 得 ，= 一f “，( x ) d ( ( z x ) 一 z x 一了1 ) = f “m ) 出+ f ”m ) d z - x = r m ) d x 一埘) ：s ，= + i r “似) d x ，( z + ，) ：r 厂( x ) 出一，( z ) ( 其中，为整数) 综合( 1 2 3 ) 和( 1