（计算数学专业论文）拟线性积分微分方程的hp时间间断galerkin方法.pdf

拟线性积分微分方程白 j h p 时间间断g a l e r k i n 方法 摘要 本文将h p - 时间间断g a l e r k i n 有限元方法应用于拟线性常积分微分方程， 然后进一步推广用于偏积分微分方程首先考虑了拟线性带弱奇异核 的v o l t e r r a 积分微分方程，利用线性化的手段对原问题进行处理，证明了原问 题和线性化问题的等价性，最后给出了有限元解的l 。模误差估计对于拟线性 抛物型积分微分方程，同样采用线性化的方法，利用原问题和线性化问题的 等价性，证明了在h p 时间间断g a l e r k i n 有限元方法下，拟线性抛物型积分微分 方程的有限元解的存在唯一性，又对此近似解做出了l 2 模误差估计 关键词：拟线性v o l t e 啪积分微分方程，拟线性抛物型积分微分方程，时间 间断g a l e r k i n 法，l 2 模误差估计 h p d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nt i m e - s t e p p i n g m e t h o df o rq u a s i - l i n e a ri n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rt h eh p - d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nt i m e - s t e p p i n gm e t h o df o rq u a s i - l i n e a ro r d i - n a x yi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e nf o rp a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ec o i l - s i d e r e d f i r s t l y , w ec o n s i d e rq u a s i l i n e a rv o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hw e a k l y s i n g u l a rk e r n e l s t h ep r i m a r yp r o b l e m sa r el i n e a r i z e da n dt h ee q u i v a l e n c eo ft h ep r i m a r y p r o b l e m sa n dt h el i n e a r i z e do n e sa r ep r o v e d a n dt h ee r r o re s t i m a t e si nl 2 a r ed e r i v e d f o rq u a s i 1 i n e a rp a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s i m i l a r l y , u s i n gt h el i n e a r i z a t i o n m e t h o da n dt h ee q u i v a l e n c eo ft h ep r i m a r yp r o b l e m sa n dt h el i n e a r i z e do n e s ，u n d e rt h eh p - d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nt i m e - s t e p p i n gm e t h o dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h en u m e r i c a l s o l u t i o no fq u a s i 1 i n e a rp a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ep r o v e d a n dt h ee r r o r e s t i m a t e si nl 2a r ed e r i v e d k e y w o r d sq u a s i l i n e a rv o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；q u a s i l i n e a r p a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nt i m e - s t e p p i n g ；e r r o re s t i m a t e i nl 2n o r m i i 原创性声明 本人声明：所是交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：夔壹整 日期：巡：妄 指导教师签名： 日期： 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：j 瞳 日 期：塑丝： 指导教师签名：磁 日 期：盈呈。d 内蒙古大学硕士学位论文 己l 吉 丁i 口 数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算力学、计算物理等一系列计算 性的分支学科今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在，计算数学正是这许多交 叉学科的纽带和共同基础不同的学科、不同的工程应用会提出许多不同的实际问题， 但它们往往又可能归结为若干典型的数学问题例如，在静电学、电动力学、弹性力学、 流体力学、电磁场理论、辐射学、地球物理勘探等实践性学科中要解决的问题多数可以 归结为积分微分方程有些复杂的常微分方程与偏微分方程的定解问题也可以化为等 价的积分微分方程有些反应扩散与迁移现象的数学问题，不能用微分方程表示，为了 解决这些问题，就必须用积分方程来解决，例如中子迁移理论中的一些问题等在一个 过程中，如果未知函数在x 点的值仅依赖于临近点或其他孤立点处的值，就引出常微分 方程或偏微分方程的定解问题；如果未知函数的值依赖于它在整个区域( 包括边界) 上 的值，则往往导致积分方程或积分微分方程所以说，对于积分微分方程的研究也是很 重要的积分微分方程按照不同的标准，有很多种类，本文中只推广考虑其中的两个方 程，它们分别是形如 ，t u 7 ( t ) + a ( t ) u ( t ) + ( t s ) 一o b ( s ) u ( s ) d s = ，( “) ，0 的v o l t e r r a 积分微分方程和形如 一 毗+ a u + b ( t ，s ) u ( s ) d s = ，( ) ，0 的抛物型积分微分方程 在阐述上两个积分微分方程定解问题的h p - 时间问断g a l e r k i n 法之前，首先回顾一下 数值计算方法发展历史早期采用的数值计算方法是差分法，但是传统的差分方法有很 多的弊端，为了克服传统的差分方法难以处理几何与材料的复杂性的困难，冯康等人开 展了椭圆型方程计算方法的系统研究在大量计算实践的基础上，冯康进行了系统的理 论分析及总结提高，通过把变分原理与剖分逼近有机结合，把传统上对立而各具优点的 差分法与能量法辨证统一，扬长抑短、推陈出新，一举克服了各方面的困难，于1 9 6 4 年 独立于西方创立了数值求解偏微分方程的有限元方法 在经典的连续有限元( 即在选取试探函数空间为多项式函数空间后，逼近多项式的 次数在选定之后保持不变，通过加细网格来达到要求的收敛阶) 取得成功的基础上，国 内外许多研究工作者又注意到了传统的有限元方法采用的试探空间是连续的，有一定的 局限性，为了更好的满足解决实际问题的需求，研究者遵照“原问题的基本特征在离散后 应尽可能得到保持”这一基本原则，同时对试探函数空间中的函数( 即多项式) 的性质不 断的改进，由开始用的连续元逐步的尝试使用间断元来作为试探函数，并取得了很大的 1 引言 成功这也就是我们说的f o j 断g a l e r k i n 有限元方法，间断g a l e r k i n 方法是在考虑中子输运问 题时，作为一种非标准有限元方法在文【l ，2 1 中提出的随着间断g a l e r k i n 方法不断推广应 用于各类微分、积分方程中，并在研究中不断得到改进，使收敛达到最佳，有关这方面的 详细理论可以参看文f 3 1 ，此文给出了解决抛物型问题的时间问断g a l e r k i n 方法，间断有限 元方法分为空间问断g a l e r k i n 有限元方法( 即d g ) 和时间间断g a l e r k i n 有限元方法( 即时空 有限元) ，时间问断g a l e r k i n 有限元方法首先在文【1 1 应用于常微分方程( o d e s ) ，更进一步 的研究可参见文1 4 ，5 ，6 ，7 】j a m e t 在文【8 】中用时间间断g a l e r k i n 有限元方法解决抛物型偏微 分方程对于这种方法的进一步研究是由e r i k s s o n 、j o h n s o n 、l a r s s o n 、t h o m 6 e 和w a h l b i n 等 人完成的 在2 0 世纪8 0 年代，由b a b u k a 、s z a b 5 等人提出了p 和h p - 有限元方法【9 ，1 0 】：p - 有限元方 法，即在保持网格剖分不变，通过不断的增加分段多项式的次数来达到超收敛在前人 的基础之上，把h - 有限元和p - 型有限元方法结合后，得到 h p - 有限元方法，即加细网格 的同时不断增加逼近多项式的次数来达到指数收敛阶此时，h 一或p 方法是h p - 有限元方 法的特例 间断g a l e r k i n 有限元方法与h 、p - 以及h p - 有限元方法结合，产生了h - 间断有限元方 法、p 间断有限元方法，见文【1 2 ，1 3 ，1 4 】接着出现h p - 间断有限元方法，起初将h p - 空间 间断有限元方法应用在线性椭圆方程上，之后成功的应用在解决对流扩散方程上【1 1 1 对抛物问题解的结构进行研究后，进一步把h p - 时问问断有限元方法应用于抛物问题参 看文【1 5 ，1 6 ，17 】本文在文【1 9 l 的基础上，进一步将h p - 时问问断g a l e r k i n 法推广应用于拟线 性带弱奇异核的v o l t e r r a 积分微分方程和拟线性偏微分积分方程上 本文的组织结构安排如下，在第1 章中为了后文推理论证的需要，给出了符号的说 明和一些重要的引理在第2 章中把h p - 时间间断g a l e r k i n 有限元方法应用于拟线性带弱奇 异核的v o l t e r r a 积分微分方程，利用线性化方法，给出了原问题和线性化问题的等价性， 最后给出l 2 模误差估计第3 章中把h p - 时间间断g a l e r k i n 有限元方法应用于拟线性抛物型 积分微分方程，同样采用线性化方法，利用原问题和线性化问题的等价性，证明了有限 元解的存在唯一性，给出l 2 模误差估计 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章符号说明及基本引理 1 1 符号说明 给定区间( o ，卅，变量t ( o ，刁令m 是( o ，t l 的拟一致剖分，设0 t o t 1 t 2 t m 一1 0 ，有 z t ( o 。( t s ) 。一1 ，( s ) d s 2 d t 0 ，则有对于q ( 0 ，1 ) 也应该满足引理l ，特别地得到如下引理2 引理2 对，l 2 ( o ，t ) 且q ( 0 ，1 ) ，有 f 0 0 t ( o 。( h 广帅) d s2 d t 篙卜叫一。( o 。，2 ( 洲s ) 班 引理3 ( m ，) 为( o ，纠的坳一离散，k ：m m 野，0 0 ，使得 其q c o ，纠表示定义在【0 ，卅上的连续函数空间 3 设九( u ) = o f ( u ) l o u ，存在大于零的常数p 和m ，使得 考虑问题( 2 1 1 ) 的线性化问题，首先作变量替换y = s 乱，由于 ，m ) = ，( 。) + o 矗( 可) d y d y = ，( 。) + z 1 乱厶u ( s u ) d s ， ，( “) = ，( o ) + 矗( 可= ，( o ) + 乱氐 ， ，o 令q = 一詹丘。( s u ) d s ，由上可知o p q m ，n ( u ) = ，( o ) q u fu 7 0 ) + 。( ) u ( t ) + f o t ( t - s ) - a b ( s ) w ( s ) d s + 掣 ) = ，( u ) + 口“，q ( 。，1 ) , re 【o ，卅，( 2 1 5 ) 【 u ( o ) = u 0 ， 咖r 定理1 原问题偿j j 夕和线性化问题俾j 矽等价 证明： 设u 是( 2 1 5 ) 的解，由 u 7 ) + n ( ) u ( t ) + 一s ) 一口b ( s ) w ( s ) d s = ，( u ) 即u 也是( 2 1 1 ) 的解反之，显然如果u 是( 2 1 1 ) 的解，则让是( 2 1 5 ) 的解因此，原r - i 题( 2 1 1 ) 和线性化问题( 2 1 5 ) 是等价的 内蒙古大学硕士学位论文 2 2 基本定义和记号 为了给出原问题( 2 1 i ) 1 6 1 线性化问题( 2 1 5 ) 的h p - 时间间断g a l e r k i n 法，引入离散空间 v ( m ，r ) = 妒l 2 ( 0 ，t ) ：妒i k p “( k ) ，1 m m ) v ( m ，) 中函数足在 ) 处间断的 方程( 2 1 1 ) 的h p _ 时间间断g a l e r k i n 形式为：求u v ( m ，) ，使得 d ( u y ) = u o 时+ rf ( u ) v ( t ) d t ， v v c m ，) ( 2 2 6 ) 其中 d ( 配y ) = 。m ：1k ( u 7 ( 亡) + 。( t ) u ( t ) ) y ( t ) d + ( 2 2 7 ) 甚1l ( i o ( t s ) - a b ( s ) u ( s ) d s ) v ( t ) d t + 搿f 明m 嗡+ 时时 离散形式( 2 2 6 ) 还可以表述为：对v y p ( k ) ，给定厶( 1 i , m 1 ) 上的u ，求u l k p m ( k ) 满足 厶( 叭t ) + 。即) ) 即) 班+ 厶( ( 一，( 一s ) - 瓤s ) u ( s ) d s ) 即) 出+ 嗾一t 味t ( 2 2 8 ) = 陈一，味+ 厶，( u m 伽一厶( j 广o ( t s 广6 ( s 职州s ) 眦础j i m jl m 、 。 其中町= 咖 线性化问题( 2 1 5 ) 对应的鼬形式为 m ( 厶( w ，( 亡) + 口( t ) ( t ) ) y ( 。班+ 厶9 0 。( 一s ) 一。6 ( s ) w ( s ) d s ) y ( t ) 出( ：( w ) + 口( t ) ( t ) ) y ( t ) 班+ f ( 一s ) ”6 ( s ) w ( s ) d s ) y ( t ) 出 m = l 。1 m。1 ” ( 2 2 9 ) + 厶删帅皿坩k t 味。) = 三m 厶( 伽u ) 邢 令 a m ( w , v ) = ：( 心) + 。( t ) ( t ) ) y ( t ) 出+ 【】m 一1 味1 ( 2 2 1 0 ) 则 + l ( o 。( t s ) 咄6 ( s ) 帅) d s ) 即) 班+ 厶州吵出， a ( 彬y ) = a m ( w , v ) ， 线性化问题的两形式重述为：求y ( 州，) ，使得 m， 删咖歪厶( 伽u ) 即减( 2 2 1 1 ) 5 拟线性v o l t e r r a 积分微分方程的畸时间间断g a l e r k i n 法 2 3 存在唯一性和误差估计 本节证明间断有限元解的误差估计，首先引入f 面引理 引理4 ( 朋，) 为( 0 ，t ) 的h p 璃散，满足 面( o p + 丽m ) 2 高1 1 ， ( a 。+ p ) 2 ( 一q ) 2 一 则离散问题俾2 1 1 府在唯一解w v ( m ，) 证明：参见文献【1 9 】 引理5 ( m ，) 为( 0 ，t ) 的h p 璃散，满足 警筹篙 1 ， ( + p ) 2 ( 1 一q ) 2 一 w v ( m ，) 是俾2 j ，的解u 是俾，纠的解，满足 珏i k h 8 m + 1 ( k ) ，s 。0 ，m = 1 ，2 ，一，m 则有 卅i 至2 ( 0 , t ) - c 三m ( ( 铲棚南粼忆叫k ，) ( 2 3 舶) 对v0 t m m i n ( s m ，r m ) ，1 m m 证明：参见文献【1 9 】 定理2 设( m ，) 为( 0 ，t ) 的h p 璃散，且 3 ( 妄) 2 丽t 2 ( 1 - a ) l ，夏l 西1 设u 和u 是原问i i ( 2 j j 夕和离散问题偿2 砂的解，u 满足 u i h 日8 m + 1 ( k ) ， s 仇0 ，m = 1 ，2 ，m 则有 i l u - u l l 羔。她t ) c 歪m ( ( 铲棚面粼+ l ( k ，) ( 2 3 ) 证明：令e ：u u ：u w + 一u = 口+ a ，其中是离散线性化问题( 2 2 9 ) 的解，对p 有 引理5 的估计结果，我们只需估计0 由( 2 2 6 ) ，有 d ( 口+ w y ) = d ( 阢y ) = 咖时+ ，f ( u ) v ( t ) d t 又由式( 2 2 7 ) 和( 2 2 9 ) 有 m m ， d ( 彬y ) = 乱。v o + + m - - - - i 厶( 小) + 口让) 即渺一荟1 厶口w ( 妙( t m ，j m m = 。m 内蒙古大学硕士学位论文 上两式相减，得0 满足的方程 ，t mf t m d ( p ，y ) = ( f ( u ) 一，( t ) ) y ) d t + ( g 一q u ) v ( t ) d t ( 2 3 。1 4 ) j 0j 0 其中v y v ( m ，) 在( 2 3 1 4 ) d p 取v = 0 ，由( 2 2 7 ) ，把d ( 0 ，p ) 的具体形式代入，得 知2 + 渺+ 三m 型- 1 象+ 小托t = 一薹厶( 小叫飞印) 即渺 f t mi t m + ( ，( u ) 一f ( u ) ) o ( t ) d t + ( q w q u ) o ( t ) d t j 0- ，o = 1 1 + 2 + 厶 ( 2 3 1 5 ) 下面分别估计 ，如，厶先考虑如，1 扫c a u c h y s c h w a r z 不等式和y o u n g 不等式，及( 2 1 3 ) 式可 得 f t m 屯l i ，( u ) 一( u ) l l o i d t - ，0 l t m i v u i i p i d t m l j o ( i o i + i p l ) l 口陋 = 厶t m j p l 2 班+ 三z mi p i i 口f 出 = 三t m 刊1 卯疵+ 池一门水； 7 拟线性v o l t e r r a 积分微分方程的h p 一时间间断g a l e r k i n 法 瓢m 印阳+ 兴( 行p | 2 d t ) w ( o 肘下n 1 0 1 2 d t ) 5 l f o t m 中| 2 d l ( x 佤6 l 、2 o 洲2 出+ 三广譬出 新m 妒1 2 d t + 击z t m 妒阳坝i ( v 佤f 6 l 、2 o 捌2 疵 扩印1 2 d t + 筹厂i 印班 考虑1 3 ，c a u c h y s c h w a r z 不等式和y o u n g 不等式，及( 2 1 4 ) 式可得 f t mt t m 如i i q w q u l l o i d tsm l p l l o l d t ，o，0 = 痂口一；所纠訾如 兴( 广i 纠2 d r ) w ( f om 丁a l o l 2 出) 5 1 1f o ma l p l 2 蹴+ 3 z m n + 2 ， 。mi _ | d 1 2 d t 最后估计 ，利用c a u c h y s c h w a r z 不等式和y o u n g 不等式，( 2 1 2 ) 式及引理2 可得 is o 。m ( o 。( 一5 ) 一口1 6 ( s ) 愀s ) i d s lm ) i d t 俯o 哳( o 。( 广愀s ) | 幽) n 一 掣出 5 鲁( 门尿- s ) - q i 州s ) 2 d t ) w ( om 丁a l o l 2 出) 5 丢( 善) 2 广( f o c h 广俐如) 2 出+ 丢扩叩阳 8 ( 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) 内蒙古大学硕士学位论文 警广( o 。( h 广。_ 南i d s2 d t + 石1z t m 印阳 s 辫广( o 。( h 广i v 乞o l d s ) 2 班+ 搿m 郴1 2 比 兰( 篆) 2 而t 1 - a o ( t m - - t 广( 知1 2 d s ) 出+ 丢小川2 出 兰( 兰) 2 篙薹加叩出z 0 t n a 例2 j lf f 卯阳 协3 舶， 由上面的( 2 3 1 5 ) ，( 2 3 1 6 ) ，( 2 3 1 7 ) ，( 2 3 1 8 ) 式得 j | | ! o t ma 8 2 d t c ( l ，m ，。，a + ，q + ) z o t mp 2 d t + 3 & 2t i _ e i m j r , , ( t m t ) 一。出z k 口口2 d t 再利用引理3 及a 的有界性得 又 钏羔。c0p 幢。， i l u u l l 羔：ci lp | | 2 ：+ cl ip0 乏。， 再结合引理5 ，可知本定理的结论成立 9 拟线性抛物型积分微分方程的h p 时间间断g a l e r k i n 法 第三章拟线性抛物型积分微分方程白 j h p 时间间断g a l e r k i n 法 3 1 拟线性抛物型积分微分方程的形式 令日是可分的h i l b e r t 空间，假设a 是定义在d ( a ) ch 上的自伴正定的，紧致可逆的线 性算子，不必有界对0 s t t ，b ( t ，s ) 是定义于日中的线性算子，其d p d ( b ( t ，s ) ) ) d ( a ) 考虑如下拟线性抛物型积分微分方程 ff t u t + a u + 上b ( 厶3 ) 以s ) 如= f ( u ) 涎( 0 用 ( 3 1 1 ) lu ( o ) = u o u o h 其中u = 札( t ) ，u t = d u d t ，j = ( 0 ，卅i i v l l p = l i 舻2 御l l = ( a p v ，移) 1 2 ”f i 和( ，) 表示日中的范数 和内积，这里我们假设算子b 受a 控制方程中的相关参数满足如下条件 1 对某个o t ( 0 ，1 1 ，有 i ( b ( ，8 ) v ，伽) l c ( t s ) o 一1l i v l l p i | 删0 口p = 0 ，1 ，2 ，p + q = 2 ( 3 1 2 ) 对于0 q 0 ，使得 l f ( u 1 ) 一f ( u 2 ) i l l l u l u 2 1 l( 3 1 3 ) 3 设九( u ) = a ，( u ) 砒存在大于零的常数6 和m ，使得 0 6 一九( 仳) m 3 2 有限元空间基本定义 3 2 1 原问题的线性化 考虑原问题( 3 1 1 ) 的线性化问题，首先作变量替换y = 8 1 1 , ，由于 ( 3 1 4 ) ，( 缸) = ，( o ) + 矗( 可) 妇= ，( o ) + u ( s u ) d s ， 令g = 一启厶。( s u ) d s ，由上可知o 占q m r f ( u ) = ，( o ) 一q u ，定义线性化问题 f 眦拙+ z 脚川d s + q o j - ，( 卅舭挺( o 卅 ( 3 2 5 ) l u ( o ) = u o u 0 h 定理3 原问题p j j j 和线性化问题p 2 5 ，等价 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 证明：设u 是( 3 2 5 ) 的解，由 f ( u ) + q u q w = ( o ) 一舭= f ( w ) 则 u 7 ( t ) + 口( t ) u ( t ) + ( t s ) 一。b ( s ) w ( s ) d s = ，( u ) 即u 也是( 3 1 1 ) 的解 反之，显然“是( 3 1 1 ) 的解毒让是( 3 2 5 ) 的解 因此，( 3 1 1 ) 存在唯一解错( 3 2 5 ) 存在唯一解 3 2 2 间断g a l e r k i n 时间步离散 这部分先引入离散空间，再给出原问题( 3 1 1 ) 和线性化问题( 3 2 5 ) 的眦式， 以 及精确解满足的方程令a ( v ，埘) 和b ( t ，s ；秒，伽) 表示i 扫( a v ，硼) 和( b ( ，8 ) v ，伽) 诱导的，定义 在d ( a 1 2 ) 上的双线性形式 关于( m ，) ，我们引入空间 e ( m ，；日) = 妒l 2 ( j , 日) ，妒i k a r d ) ( 3 2 6 ) 其中c ( r d ) 表示定义在r d 上的连续函数空间 引入离散空间 1 夕( m ，；h ) = 【妒三2 ( zh ) ：妒i k p 7 ( 厶。，日) ，1 m m ) v ( m ，；日) 中函数是在 ) 处间断的 定义1 空间l 2 ( z 日) 上的范数为 旷( 加州胆 方程( 3 1 1 ) 的时间间断g a l e r k i n 法：对w v ( m ，；日) 求u v ( m ，；日) ，满足 釜厶(州m(+伽如；咻即ds)ds)dtm=l ：( ( 矾，y ) + a ( 以y ) + ( 础 s ) ，即 v ，nju ( 3 2 7 ) + ( m ，嗡) + ( 时，付) = ( 钍o ，时) + ，( ，( u ) ，v ( t ) ) d t m=l仃l=l。o” e ( 3 2 7 ) 式等号左边为b o a ( v , y ) ，则上式简记为：对v v v ( m ，日) g ( 配y ) = ( 咖，时) + 正( ，( u ) ，v ( t ) ) a t ( 3 - 2 8 ) m = l 。1 竹。 离散形式( 3 2 7 ) i 丕, - - y 以表示为在l l l l l l l l l l x i 司i n ( 1 n 仇一1 ) 上已知u ，求u f k m ( k ，日) ， 一 塑垡丝垫望型塑坌丝坌銮矍堑垒里壁塑塑堑鱼型三! ! 垫鲨 一一 _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ _ _ _ - - - _ - - _ _ - - _ l _ _ _ _ - - _ _ - _ _ - i - _ _ - - _ _ - _ - - - _ - - p - _ _ - _ _ _ _ - _ - 一一 厶( ( 阢州以m t b 似州川) d s ) 出+ ( 皖却味 = ( 廿味，) + ：( ，( 吮v ( t ) ) d t 原问题( 3 1 1 ) 的解u 满足，对一切妒c ( m ，；日) ，有 三m 厶( 枘例哪，+ z 脚删删灿) 班 ( 3 2 1 0 ) + 】m 懈舻( u o 腐) + 薹厶( m 枷) 班 + ( ，妒袁) + ( 试对) = ，妒古) + ，( m ) ，妒( 。) ) 班 ，n ：= l 一 接下来考虑线性化问题( 3 2 5 ) 的解u 满足，对却a m ，；日) ，有 三m 厶( c 蚍m + a c u m + z 。础，s ；) 出+ 兰厶c 似妒，出 【3 2 1 1 j + m - 1 ( m m ，站) + ( 时，妒手) ：( 伽，妒吉) + 釜：( ，( u ) + q u ，邢) ) 班+ ( m m ，站) + ( 时，妒手) = ( 伽，妒吉) + f 【，( u ) + ，妒( t ) ) 班 线性化问题( 3 2 5 ) 对应的时间间断g a l e r k i n 法：e v v v ( m ，；日) ，求阿v ( m ，5 日) ， 满足 至m 厶( c 刚c 哪+ f o o tb ( t , s ；w ( s ) , v ( t ) ) d s ) 出+ 笔厶c g 哪砒 【3 2 1 2 j + 笙( m m ，嗡) + ( 时，时) ：，时) + 量：( ，( u ) + 姒v ( u o ) 砒+ ( m m ，嗡) + ( 时，时) = ，时) + ，( ，( u ) + 姒( 。) ) 砒 为简便，记( 3 2 1 2 ) 式等号左边为d ( 比y ) 注意到线性化问题( 3 2 5 ) 的精确解u 也满足( 3 2 1 2 ) ，对w y ( m ，；日) ，因此，得 g a l e r k i n 正交性结果 d ( u 一彤y ) = 0 ( 3 2 1 3 ) 对w y ( m ，妄日) 离散形式( 3 2 1 2 ) 还可以表述为 柳i n ( 1 n m 一1 ) 上已知w ，求l k 歹m ( k ，日) ) ，满足 厶( ( 矾，y ) + a ( 彬y ) + tb ( 铀；( s ) ，y ( t ) ) d s ) d t 十厶( g 彬y ) d t + ( 嗾巾味，) = ( 陈巾味，) + ：( 触) + q u ，v ( t ) ) d t 对w p ( k ，日) ，其中w f = u o 内蒙古大学硕十学位论文 3 3 近似解的存在唯一性 此节利用3 2 节的潲形式，来证n 猩j ( 3 2 5 ) 的近似解的存在唯一性从而根据定理3 ，得 出( 3 1 1 ) 的近似解的存在唯一性再给出对近似解的误差估计 首先我们证明线性化问题的近似解w y ( m ，；h ) 的存在唯一性在证明过程中要 用到第一章介绍的引理1 ，引理3 定理4 ( m ，) 为( o ，t 的h p 璃散，满足 c ( t k ) 口， 矿1 则线性化问题离散形式p 2 j 纠的近似解w y ( m ，；h ) 存在唯一 证明：首先来证明时间间断g a l e x k i n 方法的近似解的唯一性为此，令w 和谚是( 3 2 1 a ) 的 两个解设e ：w 一谚，由式( 3 2 1 4 ) ，可知e 满足 厶( ( 且，y ) + a ( e ，y ) + f o o t b 邶( s ) m 纠d s ) 出 ( 3 3 1 5 ) + ( q e ，v ) d t + ( 砖_ 1 味1 ) = ( - 1 v , l 1 ) 对w p 7 m ( k ，日) ，r r t = 1 ，2 ，m 令( 3 3 1 5 ) 中的v = e ，有 去i i e , 三1 1 2 一扣砩一，1 1 2 + 厶；出+ l i 砖一- 1 1 2 + 厶( 以e ) 蹴 i i e , 二一1t il t z 寮一1o + i ! 厂i b ( t , s , e ( s ) ，e o ) ) l d s 出 j i m j o 扣一t i l 2 + 扣砧_ l i l 2 + 厶z 。吲郇；e ( s ) 捌啪协d t 并进一步整理得 三i i e , 磊1 1 2 + 幻稚汁厶( 以踟 拓- l | 1 2 + 厶伽( s 删川凇础 注意到写= 0 迭代上式得 壶i i e , 二1 1 2 + z k 1 1 e ij i d t + z h ( q e ，e ) 疵 广o 。i b ( t ，s ；e ( s ) ，e ( t ) ) i d s 出，l m m 1 3 ( 3 3 1 6 ) ( 3 3 1 7 ) 拟线性抛物型积分微分方程的h p - 时间间断g a l e r k i n 法 三i i e 三1 1 2 + o i i e l l ；d t _ f o hz i 跏；e ( s ) ，即) ) l d s d t ：= 鼠，1 墨m m ( 3 3 1 8 ) 利用( 3 1 2 ) ，取其中的口= p = 1 ，c a u c h y s c 危伽脱不等式，y o u n g 不等式，以及引n 1 ，得 厂f o t c ( h ) n - 1 i i 踯) 1 1 l d s ) ) 1 1 ，出 s c o ( z 2 ( t s ) 口一1i i e ( s ) 1 1 - d s ) 2 班+ 丢z i i e ( 驯瞎班 等小小圹一1 ( 0 2t l 酬| i d s ) 班+ 矩”1 1 踯) l l i d t ( 3 _ 3 1 9 ) 由( 3 3 1 8 ) ，( 3 3 1 9 ) 得 互1 知驯肫暑圣( 厶c 广1 出) ( 加驯1 2 d s ) ( 3 3 舶， 令 n m = - 1 o k i i e i t ， 6 m = 。 由( 3 3 2 0 ) 和引理3 ，得 ( o ki i e i i ；a t = 。) 号( e 三。) 兮w 三形) 3 4 误差估计 这部分先对线性化问题的近似解进行误差估计，再进一步来对原问题作出估计 对线性化问题( 3 2 5 ) 的解，定义插值式死v ( m ，；日) ，满足 a ) ( j 沁) 二= u 二， 1 m m ， 6 ) 厶( 孔( 轨v 砸) ) 班= 厶。( 巩y 讹) ) 妣 y 砂( k ，日) ， l m m 设u 是( 3 2 5 ) 的解，w v ( m ，；h ) 是相应的离散问题( 3 2 1 2 ) 的解设 e = u w = u z + 孔一w 。，7 + 0 ， 内蒙古大学硕士学位论文 利用正交性结果( 3 2 1 3 ) 和孔的定义可推导出口满足的方程 厶( ( 既y ) + 胛) ( 眩廿味，) + 厶( 挹y ) 出 = ( 一。，味。) 一l o b ( t , s ；o , v ) d s d t lf o b ( t , s ；r h v ) d s d t - 厶撕m 出一厶蹴( 3 4 2 1 ) 引理6 ( m ，) 为( o ，刁的幼离散，满足 筚笙 l ， 0 2 、 则 f t mf t r a 口二1 1 2 + l l o l l ；d t e i i n l l ；d t j o ，0 证明：在( 3 4 2 1 ) d e 令v = 口，并利用y 伽n 9 不等式，得 三i i o ：。1 1 2 一瓣i i + 幻钏m 归拓1 1 2 + 厶疵 批一1 2 + 驰i i + 厶加( t , s ；0 , 0 ) d s i 出 + 厶5 。愀t , s , r h9 ) d s l 疵+ 厶咿凇+ 厶| ( 口 m t 整理得 扣侧2 + 厶归旧l ( q e 砒扣洲2 + l ( o 。阮印( s ) 川i d s ) 出 迭代，得 + l ( j 0 2 阮踟( s ) ，) ) l d s ) d t + li 撕i 毗+ 厶柑) 陋 三i i o 二1 1 2 + o 。“i i 目i l ；d t + z 2 ”( g 口，口) 班 t m ( o 。i b ( t ，s ，口( s ) ，口( t ) ) i d s ) d + 0 2 ”( f 0 2i b ( t ，s ，町( s ) ，p ( t ) ) l d s ) 出 ，t m，c m + l a ( 叩，o ) l d t + l ( g 町，a ) l d t j 0j 0 = h + 1 2 + 1 3 + 1 4 1 5 ( 3 4 2 2 ) ( 3 4 2 3 ) 拟线性抛物型积分微分方程的h p - 时间间断g a l e r k i n 法 下面分别估计1 1 ，2 ，3 ，厶利用( 3 1 2 ) ，取其中的口= p = 1 ，以及c 口u c 蛔一s c h w a r z 不等式 和y o u n g 不等式，引理1 得 o ”f o tc ( t s ) 口一1 i i p ( s ) 1 1 ，d s ) l l 口( t ) 1 1 ，d c ( 3 0 2 ”( o ( t s ) q 一1o 口( s ) 1 1 - d s ) 2 d t ) 5 ( 吾z 。”o p ( t ) o ；d t ) 5 芝3 c o 。”( z 。( z s ) 。一1 i l 口( s ) 1 1 d s ) 2 出+ j 1 1 f o 。”o p ( ) i l ；d t 兰2 c 堡az ”( m 一) 。一1 ( z 。i i p ( s ) o ；d s ) d t + 丢z 。l l p ( 功i l ；d 等小m 叫( 小( s ) i | ；d s ) 出+ 石1 巾川；如 警薹( “叫班) ( 翩印川2 d s ) + 石1n 吣) | l ；班 屯 0 ，有 圳圳2 a ( 叼，7 7 ) = i i a l 2 圳2 = ； 再利用口的有界性，最后估计厶 厶o “i ( q 叼，p ) l d z 2 ”i ( 叼，q p ) i d sm 1 2z t l q l 2 6 i l d ts 等z k 1 1 2 出+ j xf o kh q l 2 0 1 1 2 班 会号z 。”i i 叩o ；d t + i lf 0 2 ”i l q l 2 e 0 2 d t 综合j 1 ，尼，岛，厶的估计结果代入式( 3 4 2 3 ) ，得 三i i 口二1 1 2 + j 1z 。”o 口i l ；d + ：xj o 。”( g 目，口) d t m a x 譬，罢，筹坊物幅出 + 堡o 。n = l ( 胁妒1 出) ( 口 ( 3 4 2 4 ) ( 3 4 2 5 ) 利用引理3 ，得 扣珊+ ：af o k 俐挑cj o k 物i i d t 此引理得证 引理7 ( a 4 ，) 为( o