（运筹学与控制论专业论文）两类不确定奇异系统的有限时间控制问题.pdf

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，u r m ，u r l ，a l l ) r r 7 ，a 2 2 尉n - r ) 。( ”，其它所有系 数矩阵都具有适当的维数 本文对系统( 1 ) 作如下假定： ( a 1 ) 参数向量函数p ( - ) = ( p 1 ( ) p 2 ( ) p 口( ) ) 7 为任一l e b e s g u e 可测函数，函数 p ( ) ： 0 ，t 】_ 蛇，其中 乳：2 睦。，a 坦。，到匕，岛 ； 我们用p ( i ) ，i = 1 ，2 ，2 q 来表示瓣的2 q 个顶点 ( a 2 ) 矩阵值函数a l ( ) ，a - 2 ( ) ，b 1 ( ) ，g l ( ) ，s ( ) 都是多仿射矩阵值函数；比如 s ( p ) = l 艮p t l 缸如= 0 p 孑 其中i t ，i 口 o ，1 1 具体地，当q = 2 时，p ( ) = ( p l ( ) p 2 ( - ) ) 7 ，此时 s ( p ) = s o o + s ：o p t + s 0 ：p 2 + s l l p l p 2 山东大学硕士学位论文 ( a 3 ) 外扰u 的初值u ( o ) 满足如下约束 u 7 ( o ) u ( o ) d ，d 芝0 ( a 4 ) r a 。b 。 = 几一r ，即 4 。岛 行满秩。 对系统( 1 ) ，本文想找到下面的状态反馈控制器： 一胁= 凰娲雌i lj1 个i 其中k 1 月”，k 2 r ”“( ”，保证由( 1 ) 和( 4 ) 构成的闭环无脉冲模，且对于事先 指定的一组参数有限时间有界( 即f t b ) 。本文在定理1 中给出了这样的控制器存在的 充分条件。 在第四节中，本文讨论这样的带时变参数不确定和外部干扰的系统： f 士l= ( a l l + a a l l ( t ) ) x l + ( a 1 2 + a 1 2 ( t ) ) 。2 + ( b 1 + b l ( t ) ) “+ ( g l + a g l ( t ) ) u 0 = a 2 1 x l + a 2 2 x 2 + b ：u + g 2 w( ) 【o = ( s + s ( t ) ) u 其中x l r ，x 2 r “一，u r m ，“，r 2 ，a 1 】r 。7 ，a 2 2 r ( n - r ) “m r ) 且 a - ( ) a - z ( t ) a b ( t ) a g - ( ) = f ( t ) e 。e 。马玛 a s ( t ) = m a 2 ( t ) n 其中。( f ) r 。t ”1 ，i = 1 ，2 ，a i ( t ) 的各元都是l e b e s g u e 可测的，且。( f ) 满足： ，( t ) i ( t ) 厶。，i = 1 ，2 所有其他定常系数矩阵都具有适当的维数。 设系统( + ) 满足假设( a 3 ) 和( a 4 ) 这一部分的目标就是要寻找如( 4 ) 所示的状态 反馈控制器，使得由( + ) 和( 4 ) 构成的闭环对所有容许的i ( t ) ，i = 1 ，2 ，无脉冲模，且 关于事先指定的一组参数有限时间有界( f t b ) 本文在定理2 中给出了这样的控制器存 在的充分条件 两个定理所给出的充分条件最终可以归结为基于线性矩阵不等式( l m i ) 的可解性问 题本文给出了两个具体的数值例子，来证明本文所提供的算法的有效性。 关键词：不确定线性奇异系统，参数不确定性，有限时间稳定( f t s ) ，线性矩阵不等 式( l m i ) 2 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h el a s t y e a r s ，ab i ge f f o r th a sb e e ns p e n tt os t u d yt h e r o b u s ts t a b i l i t yp r o b l e mf o rl i n e a rs y s t e m sa n dl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m ss u b j e c tt ou n c e r t a i n t i e s t h ew o r ko f c o n t r o ls c i e n t i s t sa n de n g i n e e r sh a sm a i n l yf o c u s e do nr o b u s tl y a p u n o vs t a b i l i t y i np r a c t i c e ，o n ei sn o to n l yi n t e r e s t e di ns y s t e m s t a b i l i t y ( e g i ns e n s eo fl y a p u n o v ) ， b u ta l s oi nb o u n d so f s y s t e mt r a j e c t o r i e s as y s t e m c o u l db es t a b l eb u t c o m p l e t e l yu s e l e s s b e c a u s ei t p o s s e s s e su n d e s i r a b l et r a n s i e n tp e r f o r m a n c e s t os t u d yt h et r a n s i e n tp e r f o r m a n c e so fs y s t e m ，t h ec o n c e p to ff i n i t et i m e s t a b i l i t y ( f t s ) 4 w a sp r o p o s e d s o m ew o r k h a sb e e nd o n eo nt h ef i n i t e t i m ec o n t r o lo fl i n e a rs y s t e m sa n dl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m ss u b - j e c tt ou n c e r t a i n t i e s s e e ，f o ri n s t a n c e ，t h et e x t so fd e b e l j k o v i ca n do w e n s ( 1 9 8 5 ) a n d a m a t o ，a r i l aa n dd o r a t o ( 2 0 0 1 ) 、 i ns e c t i o n2 ，l i k et h ed e f i n i t i o n so ff t sa n df t b ( f i n i t et i m eb o u n d e d ) g i v e ni n a m a t o ( 2 0 0 1 ) ，t h ed e f i n i t i o n so ff t s a n df t bf o rl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sa r eg i v e n i ns e c t i o n3a n ds e c t i o n4 ，t w ok i n d so f s y s t e m ss u b j e c tt ot i m e v a r y i n gp a r a m e t r i c u n c e r t a i n t i e sa n dt ot i m e v a r y i n g e x o g e n o u sd i s t u r b a n c e s a r ec o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l y t h e r e s u l t sp r o v i d e da r eb o t hs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs t a t ef e e d b a c kf i n i t e - t i m es t a b i l i z a t i o n o ft h es y s t e m s i ns e c t i o n2 w ec o n s i d e rt h e f o l l o w i n gl i n e a rs i n g u l a rs y s t e ms u b j e c tt ot i m e v a r y i n g p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e sa n de x o g e n o u sd i s t u r b a n c e s ： i 圣l = a n ( p ) x l + a 1 2 ( p ) x 2 + b 1 ( p ) u + g i ( p ) u 0 = a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + b 2 u + g 2 w io = s ( p ) u w h e r ez i r 7 ，z 2 r “一7 ，u r m ，u r o ，a n 0 ) r 。，a 2 2 o t h e rc o e f f i c i e n tm a t r i c e sh a v ep r o p e rd i m e n s i o n s w ea s s u m et h ef o l l o w i n g ： ( a 1 ) t h ep a r a m e t r i cv e c t o rf u n c t i o np ( ) = ( p 1 ( ) p 2 ( ) v q ( ) ) 7i sa n yl e b e s g u e m e a s u r a b l ef u n c t i o np ( ) ：【0 ，t 】_ 乳，w h e r e 辩：= 睦。，乒- 】暖，_ 2 】嗡，列 w ed e n o t et h ev e r t i c e so f 驼b y p ( i ) ，i = 1 ，2 ，2 9 ( a 2 ) t h e m a t r i xv a l u e df u n c t i o na n ( ) ，a 1 2 ( ) ，b 1 ( ) ，a t ( ) ，s ( t ) a r eg i v e nb ym u l t i a f f i n e 埘埘埘adna n一n r 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = 一 m a t r i x v a l u e df u n c t i o n s ；f o ri n s t a n c e s ( p ) =& 。如p i l p 孑 w h e r ei ，i 口 0 ，1 ) ( a 3 ) t h ei n i t i a lv a l u eo fe x o g e n o u sd i s t u r b a n c e su ( o ) s a t i s f i e st h e c o n s t 。a i n t u 7 ( o ) u ( o ) d ，d 0 ( a 4 ) r a n kia 2 2 疡l = 礼一r f o rs y 矗e m ( 1 ) ，去ew a n tt of i n dt h ef o l l o w i n g s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r 一 g l k s x l ： ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) w h e r ek l r “”，k 2 r ”。( “一” t h ea i mo fs e c t i o n3i st of i n ds o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h a tt h e c l o s e d 一1 0 0 ps y s t e mg i v e nb yt h ei n t e r c o n n e c t i o no f ( 1 ) w i t h ( 4 ) i si m p u l s e 。f r e ea n dt h e s t a t ei sb o u n d e do v e ra f i n i t e t i m ei n t e r v a l ( e g f t b ) w i t hr e s p e c t t og i v e n ( c l ，c 2 ，t ，r ，d ) f o ra l la d m i s s i b l ev e e t o rv a l u e df u n c t i o n sp ( ) ：【0 ，t 】- 虢t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r e g i v e ni nt h e o r e m 1 i ns e c t i o n4 ，、| ec o n 莳d e rt h ef o l l o w i n g l i n e a rs i a g u l a rs y s t e ms u b j e c tt ot i m e v a r y i n g p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e sa n de x o g e n o u sd i s t u r b a n c e s ： f 圣l= ( a 1 1 + a 1 l ( t ) ) 。l + ( a 1 2 + a a l 2 ( t ) ) x 2 + ( b 1 + b 1 0 ) ) 钍+ ( g i + z x g l ( 。) ) u o = a 2 1 饥+ a 2 2 卫2 + b 2 u + g 2 卜) 【1 0 = ( s + s ( t ) ) “ w h e r ez 1 r 7 ，。2 r n - r ，让胛，u r 2 ，a l l r ”盯，a 2 2 r ( 坩) “一7 ) a n d i a 1 l o ) a 1 2 ( t ) a b i ( t ) a g l ( t ) j = f a l ( t ) 【e 1 l e 1 2e 2 玛j a s ( t ) = m 2 ( t ) n w h e r e 。f ) r h “，i = 1 ，2 ，a n da l lo ft h ee l e m e n t so f ( ) a r el e b e s g u e m e a s u r a b l e a n d ，( s a t i s f i e s ： a i ( t ) a i ( t ) 厶，i = 1 ，2 a n da l lo fo t h e rc o n s tc o e f f i c i e n tm a t r i c e sh a v ep r o p e r d i m e n s i o n s a s s u m es y s t e m ( ) s a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a 3 ) a n d ( a 4 ) t h ea i mo fs e c t i o n4i s 4 山东大学硕士学位论文 t of i n das t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri nt h ef o r mo f ( 4 ) s u c ht h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e m g i v e nb yt h ei n t e r c o n n e c t i o no f ( $ ) w i t h ( 4 ) i si m p u l s e f r e ea n d f t bw i t hr e s p e c tt og i v e n ( c 1 c 2 ，t ，r ，d ) f o ra l la d m i s s i b l e l ( t ) ，i = 1 ，2 t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e ni n t h e o r e m2 b o t ho ft h ec o n d i t i o n sw h i c ht h et w ot h e o r e m sg i v er e q u i r et h es o l u t i o no fa nl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) p r o b l e m t w od e t a i l e de x a m p l e sa r ep r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h e t w oe a s e sc o n s i d e r e d k e y w o r d s ：u n c e r t a i nl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m ，p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s ，f i n i t e t i m es t a - b i l i t y l m i 5 山东大学硕士学位论文 第一节前言 奇异系统( 又称广义状态空间系统，描述系统，微分代数系统，半状态系统) 是动态 系统的一般描述形式，它不仅含有动态变量，而且还存在静态约束，因而是比正常状态 空间系统更为一般的系统。它不仅具有理论意义，而且具有广泛的实际背景。为此，自 1 9 7 4 年r o s e n b r o c k l “j 由电网络研究提出这一模型以来，奇异系统受到了广泛关注。奇 异系统控制理论的研究持续发展，推广了许多状态空间的结果。 在过去的几十年中，线性系统和线性奇异系统的鲁棒控制已取得长足进展但人们 所关心的系统的稳定性主要是l y a p u n o v 稳定性。而l y a p u n o v 稳定性刻画的是一个系 统的稳态性能，它并不能反映系统的暂态性能。一个在l y a p u n o v 意义下稳定的系统，可 能具有很坏的暂态性能( 例如超调量过大) ，因而在工程中造成很坏的影响，甚至根本无 法应用。这样，在实际工程中，人们除了对系统的稳定性( 在l y a p u n o v 意义下) 感兴趣 外，更关心的常常是系统应满足一定的暂态性能要求，例如满足系统轨线对于平衡点的 一定偏离范围的要求。 为了研究系统的暂态性能，p e t e rd o r a t o 于1 9 6 1 年提出了短时间稳定性( s h o r t t i m es t a b i l i t y ) 4 】( 也就是后来所谓的有限时间稳定性) 的概念，进而提出了系统的有限 时间控制问题。关于不确定线性系统和线性奇异系统的有限时间控制问题，已经有人做 了一些工作，如【1 】， 2 】， 5 1 6 】等。文 1 l 和文【2 】分别讨论了两类不确定线性系统的有限 时间控制问题，将问题可解归结到基于线性矩阵不等式( l m i ) 的可解性问题，得到了非 常漂亮的结果。本文的工作主要就是在这两篇文章的基础上，进一步研究不确定奇异系 统的有限时间控制问题，将这两篇文章的结果推广到奇异系统。 在本文的第二节中，将文 2 】中关于线性系统有限时间稳定( f t s ) 和有限时间有界 ( f t b ) 的概念拓展到了奇异系统。 在第三节和第四节中，分别讨论了两类带时变参数不确定性且带外部干扰的线性奇 异系统具体地，在第三节中，讨论了仿射不确定奇异系统的有限时间控制问题，在第四 节中，讨论了不确定性满足匹配条件的奇异系统的有限时间控制问题本文找到了保证 存在状态反馈，使得闭环无脉冲模，且使得闭环状态轨线满足事先指定的对于平衡点的 偏离要求的充分条件这些充分条件归结为某组线性矩阵不等式( l m i ) 的可解性问题。 数值仿真例子说明了本文给出的算法的有效性。第五节是结语 符号说明：本文中， 】7 表示转置，a 。( ) ，a 。i 。( ) ，分别表示最大，最小特征值 矩阵q 0 表示q 正定，g e t ( - ) 表示行列式，d e g r e e ( ) 表示多项式的次数 6 山东大学硕士学位论文 第二节预备性定义 定义1 【1 2 j 称系统 e x = a ( ) 。 为无脉冲模的，若： d e g r e e d e t ( s e a ( t ) ) = r a n k e ，v0 t 0 z j ( o ) f b l ( o ) c 1 = = 亭。：( f ) r z l ( t ) c 1 r 0 ，若 茁i ( o ) 兄。1 ( o ) c l = = 争x ( t ) r x l ( t ) c 2 ，vt 【o ，t i ，vo a 0 ，簖u o d 注：显然，若d = 0 ，则f t b 即为f t s 另外，若定义2 ，定义3 中的r = t t ， 则系统变为正常状态空间系统，此时系统f t s ( f t b ) 的定义就变为正常状态空间系统 f t s ( f t b ) 的定义( 在本文后面要用到) 。此定义与文【2 1 2 中的定义略有不同，因为文 2 1 中讨论的系统的外扰是定常的，而本文讨论的系统的外扰是时变的。 7 山东大学硕士学位论文 第三节第一类型系统的有限时间控制问题 3 1 问题描述 在本节中，考虑下面的带时变参数不确定和外部干扰的线性奇异系统： f 圣1= a 1 1 ( p ) z l + a 1 2 ) z 2 + b l ( p ) 让+ g 1 0 ) u ( 1 a ) 0 = a 2 l z l + 4 2 2 茁2 + b 2 u + g 2 w ( 1 b j i。=s(p)u(it) 其中z l 彤，z 2 五n ，札r m ，u r ，a 1 1 ( p ) er 7 ”，a 2 2 r 一7 ) “一，其他所有系 数矩阵都具有适当的维数。 对系统( 1 ) 本文作如下假定： ( a 1 ) 参数向量函数p ( - ) = ( p i ( ) p 2 ( ) p q ( ) ) 7 为任一l e b e s g u e 可测函数，函数 p ( ) ： 0 t _ 瓣，其中 聍：= 2 - 1 芦 吆，副匕，列 本文用p 、a = 1 ，2 ，2 q 来表示验的2 4 个顶点 ( a 2 ) 矩阵值函数a 。- ( ) ，a ，。( ) b - ( ) ，g ( ) ，s ( ) 都是多仿射矩阵值函数；比如 1 s ( p ) ：艮p p 孑 i l i 2 i q = o 其中i ，i 。 o ，1 ) 具体地，当g = 2 时，p ( ) = ( p l ( ) p 2 ( ) ) 7 ，此时 s ( p ) = 岛o + s i o p i + 岛i p 2 + s n p i p 2 ( a 3 ) 外扰u 的初值“( o ) 满足如下约束： u 7 ( o ) u ( o ) d ，d 0 ( a 4 ) r n n 女 a 。岛 = n r ，即 a ：z 岛 行满秩。 对系统( 1 ) ，想找到下面的状态反馈控制器： z = 蚓 8 山东大学硕士学位论文 其中k l r ”，j ，2 r “。m ”) 本节的目标就是寻找充分条件，保证由( 1 ) 和( 4 ) 构成的闭环无脉冲模，且系统的 动态变量在指定的一段有限时间上具有指定的界( 即f t b ) 。因而这一部分的目标就是 解下面的有限时间有界问题。 有限时间有界( f b ) 问题l ：给定系统( 1 ) 和事先指定的( c 1 ，c 2 ，t ，r ，d ) 寻找如 ( 4 ) 所示的状态反馈控制器，使得由( 1 ) 和( 4 ) 构成的闭环对所有容许的向量值函数 p ( ) ： 0 ，t _ 孵无脉冲模，且关于( c l ，c 2 ，l r ，d ) f t b 。 先来看一个这样的线性系统 3 2 预备知识 兰：= s a 叫x + 其中z r “，w 尉，下面的引理给出了此系统f t b 问题可解的充分条件。 引理1 令q 1 = r 一；q 1 r 一，若存在正数。和两个对称正定矩阵0 q t r “，0 q 2 r k 使得 i a q l + q l a 7 一q q lg q 2 i o( 6 。) i q 2 g 7s q 2 + q 2 s 7 一o q 2 i 、7 焉赫+ 焉 丽c 2 e - a t ( 6 b ( q 2 ) a 。f 。( q 1 ) a 。打。) 、a 。( q 1 ) 成立，则系统( 5 ) 关于( c 1 ，c 2 ，z r ，d ) f t b 证明：令v ( x ，u ) = 矿百i 1 。+ u 7 q i l u ，用矿表示v 沿系统( 5 ) 的解的导数。假设 条件 v ( z ( t ) ，u ( t ) ) o 矿( z ( t ) ，u ( t ) ) ，vt 0 ，t ( 7 ) 成立下面首先证明条件( 7 ) 和( 6 b ) 意味着系统( 5 ) 关于( c 1 ，c 2 ，t ，r ，d ) f t b ，然后再 来证明条件( 6 a ) 意味着( 7 ) 成立 首先，往证条件( 7 ) 和( 6 b ) 意味着系统( 5 ) 关于( c i ，c 2 ，t ，r ，d ) f t b 。( 7 ) 式两边 同除以v ( x ，u ) ，然后两边从0 到t 积分，t 【0 ，卅，得到 v ( z ( t ) ，u ( t ) ) e 耐y ( 喾( o ) ，u ( o ) )( 8 ) 9 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一 由z ，u ) 的定义，知 y ( 。( o ) ，u ( o ) ) = z r ( o ) 西i l z ( o ) + a 2 7 ( o ) q f l “( o ) s a m a z ( q 7 1x 7 ( o ) 兄。( o ) - 4 - a 。( q i l ) u 7 ( o ) r u ( o ) 焉景两+ 磊币d 两 ( 9 ) 且 v 扛( t ) ，u ( t ) ) = x r ( t ) q f l z ( t ) + u 7 ( t ) q 主_ 1 u ( t ) = z 7 ( t ) r 2 。q 1 1 冗 z ( t ) + u 7 ( t ) q f l u ( t ) a m 拥( q i l ) z 7 ( t ) n x ( t ) 2 赢去丽矿( f ) m ( )( 1 0 ) 由( 8 ) ( 9 ) ，( 1 0 ) ，可知： ，m 0 ，q 2 0 使得不等式( 6 a ) 成立( 6 a ) 两边左乘右乘下式 得到等价条件 这意味着条件( 7 ) 成立，证明完成。 现在考虑下面的不确定线性系统 r 甜 嚣1 g 1 ，n 町1 s + 5 叮q 三_ 1 一。q i lj 、“ e 三僦，+ b ( p ) g ( 咖 口 其中x r “，u r m , “j r ，a ( ) ，b ( ) ，g ( ) ，s ( ) 为多仿射矩阵值函数，参数向量函数 p ( - ) 满足假设( a 1 ) 下面的引理给出了系统( 1 1 ) f b 问题可解的充分条件 1 0 _ q 时啊 + q a 山东大学硕士学位论文 引理2 给定系统( i i ) ，令石，= r 一 q l r ，若存在正数和两个对称正定 矩阵0 q l r “，0 q 2 r 阪，和矩阵l r m “使得不等式( 6 b ) 与下式 卜。旧1 + q 小加“鬣黔“砸 。q 1 q 2 g 7 ) i o 0 2 8 7 0 ( t ) ) + s ( p ( i ) ) q 2 一o q 2j i = 1 ，2 ，2 。( 1 2 ) 成立，则系统0 1 ) f b 问题可解。此时控制器= k x ( k = l 囝i 1 ) 即为系统( 1 1 ) f b 问 题的一个解。 证明：见附录。 3 3 主要结果 口 现在回到系统( 1 ) 本文将先把系统( 1 ) 形式上转化为一个线性系统，然后利用前 面得到的关于线性系统的结果，来解系统( 1 ) 的f b 问题 由假设( a 4 ) ，可以找到矩阵p 2 t ，p 2 。( 非奇异) 使得下面的矩阵 p = 侩b b 2 ： 非奇异( 满足要求的岛- ，p 2 。的存在性的证明见附录) 令q ：= p ，则有 a z zb z q = 厶一，o 令 ： ：= q _ ： ，其中砚兄”r ，西 由( 1 b ) ，可知 。= 4 z ，z - + a 船岛 q q 一1 ： + g z u 。= a ：t 乩+ 厶一，。 2 + g 。 0 = a 2 1 x l + 1 2 + g 2 u 因而 _ 2 = 一a 2 l o l g 2 u 1 1 ( 1 3 ) 山东大学硕士学位论文 令 万- z ) 百。) ：= a n ( p ) b - 扫) q 其中a 1 2 ( p ) r 7 。( “一，百l ( p ) r 。”显然- 1 2 ( p ) 和百l ( p ) 也是多仿射矩阵值函数。此 时，( 1 a ) 变为： 圣- = a u 如，z z + a 1 2 ( p ) b l ( p ， q q - 1 ： + g - 。，u a c p ，。，+ 五。，百， ： + g t ，u 将( 1 3 ) 代入上式，得到 圣l = ( a n ( p ) 一万1 2 ( p ) a 2 1 ) z l + 百l ( p ) 瓦+ ( g l 扫) 一- a 1 2 0 ) g 2 ) u 令- i h ( p ) ：= a - l ( p ) 一万- 2 如) a 2 。，召。p ) ：= g l ) 一万。2 ( p ) g ：，则再。1 0 ) ，百l ( p ) 也是多 仿射矩阵值函数。 此时，系统( 1 ) 变为 士l = 万1 1 佃) z l + 百l ) 西+ 召l ( p 扣 _ 2 = 一a 2 1 z l g 2 u( 1 4 ) 由= s ( p l w 下面的定理给出了系统( 1 ) f b 问题可解的充分条件。 定理1 给定系统( 1 ) ，令百。= r 一 q 。r ，若存在若存在正数。和两个对称 正定矩阵0 q 1 r “，0 q 2 剧“，和矩阵l r “”，使得不等式( 6 b ) 与下式 - a n ( p ( t ) ) 亩1 + 百l 珥l ( 生+ 百l ( p ) l 十三7 研o ) 一。亩l q 2 矿o ) o 【g ( i ) ) q 2s 扫( e ) ) q 2 + q ：s 7 ( p ( t ) ) 一q q 2j i = 1 ，2 ，2 。( 1 5 ) 成立，则系统( 1 ) f b 问题可解，此时控制器u = k x ( k = 【1 l q i l 一1 p 2 ) 即为 系统( 1 ) f b 问题的一个解 证明：由引理2 知，成为系统( 1 4 ) f b 问题的解的控制器可取为面= 一k x l ，其中 耳= l q i l 现在只要找到系统( 1 ) 中对应的钍 由于 ： ：= q _ ： = 2b b 2 。 ： 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 因而 面= p 2 i x 2 + p 2 2 让= l q _ 1 z l p 2 2 u = l q t l z l p 2 1 2 2 “= 巧；1 l q _ 1 x 1 一咙1 p 2 1 2 2 即，控制器u = k x ( = ( 硒鲍】= f 只- 1 西i 1 一f 芴1 尸2 。】) 即为系统( 1 ) f b 问题的 一个解 现在来证明闭环系统是无脉冲模的。为此，只需证明a 2 2 + b 五，2 非奇异，其中k 2 ： 一疡1p 2 l 。而由下式 马a 2 。2 a 2 2 b 2 疡1 马i b 2 1 l o 马。j 可知：由于等式左边的两个矩阵都是非奇异的，因而等式右边的矩阵也是非奇异的。又 因p 2 2 非奇异，显然a 2 2 + b k j = a 2 2 一b 2 饬1 p 2 1 非奇异，因而闭环系统无脉冲模。证 明完成。 与文【2 的结果类似，容易验证当下列条件 口 a l ， q 1 i ( 1 6 a ) a 2 1 0 ，寻找矩阵l ，q 。，q 2 ，和正数a 。，a ：使 得l m i ( 1 j ) ，( 1 6 a ) ，( 1 6 b ) 和( 1 7 ) 成立如果问题可解，则静态控制器u ：k z ( k ： f 疡1 l q i l 一嵫1 p 2 1 】) ，是系统( 1 ) f b 问题的一个解， 1 3 r ，耐 一岛嘞 一墒垤 山东大学硕士学位论文 3 4 数值例子 下面来看一个具体的数值例子设系统( 1 ) 中各系数矩阵取值如下： 儿c p ) = ip p 。p ：，i ，a 也( p ，= ip 。i ，a ：，= 【。 ，a 。= ， b c 纠= 挈 , b 2 = 1 , g 1e p ，= p 妄。 ，g ：= ，s ，= 嘉p 一未， 其中p 【- 1 0 ，l o ，c l = 1 ，c 2 = 1 0 ，t = 0 3 5 ，d = o 5 ，r = ，。给定c 1 ，c 2 ，t ，d 和r 的这 些值，利用i v l a t l a b ，通过解前面提到的l m i ，可以得到此系统的f b 问题的解。 选p 2 l = 0 ，p 2 2 = 1 ，则有 q = 龛：芝 一1 = ： 一1 = ：j 1 当n = 1 时，得到控制器k = 一0 7 1 2 6 401 当p ( t ) = l o s i n ( t ) ，z x ( o ) = x l l ( o ) z 1 2 ( o ) 7 = 【0 6o 7 7 ，u ( o ) = o 7 ，( 此时 p ( f ) - 1 0 1 0 】v0st o o ，z ：( o ) z l ( o ) = 0 8 5 1 ，“7 ( o ) u ( o ) = 0 4 9 0 5 ) ，用 m a t l a b 求解闭环系统轨线，结果如图1 所示。 _ _ 王、 ，一一。 j ， ， ， ? i i -1 1 1 1 、 ， ， 、 、 、 、一 一7 ， 、， 、 、 ， 、 ， 、i ，一- 一，。 。 图1 系统( 1 ) 的动态变量互，= k l lx 1 2 】7 当t 从0 到t 时的轨线 注：图中的小圆为z p l = 1 ，大圆为z 知l = 1 0 ，。l = 陋1 13 7 1 2 j 7 从图中可以看出 z j ( t ) z l ( t ) 1 0 ，v t 0 ，t 】 1 4 山东大学硕士学位论文 第四节第二类型系统的有限时间控制问题 4 1 问题描述 在本节中，考虑下面的带时变参数不确定和外部干扰的线性奇异系统： f 1= ( a l i 十a a n ( t ) ) x l + ( a 1 2 + a 1 2 ( t ) ) z 2 + ( b 1 + a b i ( t ) ) u + ( g l + a g l ( t ) ) u( 1 8 a ) 0 = a 2 1 x l + a 2 2 x 2 + b 2 u + g 2 w( 1 8 6 ) 【o = ( s + s ( t ) ) u( 1 8 c ) 其中z 1 r 7 ，。2 r w ，u 兄m ，u r 2 ，a 1 1 r 。，a 2 2 r ( n - - r ) “( n - r ) 且 a t ( t ) a - ：( t ) a b ，( t ) a g - ( f ) = f ( t ) e - ，e - 。马马 a s ( t ) = m a 2 ( t ) n 1 其中i ( t ) r “，i = 1 ，2 ，i ( t ) 的各元都是l e b e s g u e 可测的，且；( t ) 满足： a i ( t ) a i ( t ) 厶。，i = l ，2 所有其他定常系数矩阵都具有适当的维数 设系统( 1 8 ) 满足假设( a 3 ) 和( a 4 ) 这一部分的目标就是解下面的有限时间有界 问题 有限时间有界( f b ) 问题2 ：给定系统( 1 8 ) 和事先指定的( c - ，c 2 ，t ，r ，d ) ，寻找如( 4 ) 所示的状态反馈控制器，使得由( 1 8 ) 和( 4 ) 构成的闭环对所有容许的。( t ) ，i = 1 ，2 ，无 脉冲模，且关于( c l ，c 2 ，t ，r ，d ) f t b 先来看一个这样的线性系统 4 2 预备知识 ? 2 ，筹g 卅( 卧b ( 。) ) ( g + a g 眇0 9 ) i 由= ( s