（运筹学与控制论专业论文）强阻尼波动方程和强阻尼有限格点系统的渐近行为.pdf

摘要 本博士学位论文主要研究自治和非自治强阻尼波动方程及其空间离散的强阻尼 差分方程( 格点系统) 的解的渐近行为，考虑吸引子的存在性、维数估计及其结构 在第一章，阐述了动力系统理论的背景以及无穷维动力系统和有限格点系统的 研究概况介绍了有阻尼波动方程的解的动力学行为的研究情况与本文的主要研究 成果 在第二章，我们考虑齐次n e u m a n n 边界条件下自治强阻尼波动方程的动力学 行为利用空间平均方法，通过渐近自治微分方程的极限集的性质，证明了在一定 的参数范围内，系统存在一维全局吸引子，是一条水平曲线 在第三章，考虑二阶强阻尼有限格点系统的动力学行为，其中耦合算子是非负 定对称的首先，我们证明了全局吸引子的存在性，并且得到了其h a u s d o r f f 维数的 上界，同时证明了此上界对于大的强阻尼是保持有界的其次，利用限制水乎曲线 和旋转数理论，我们证明了当阻尼项是线性的和强阻尼适当大时，系统存在无界一 维全局吸引子，是一条限制水平曲线 在第四章，我们研究具有与时间有关的外力的非自治强阻尼波动方程的一致吸 引子的渐近行为首先，我们证明了如果与时间有关的函数是平移紧的，系统存在 致吸引子，并且此吸引子在一定的参数域，具有一个简单的结构；它是方程的唯 一的有界完全轨道的所有值的闭包，且指数吸引任意的其他解其次，在一定的参 数范围内，我们得到一致吸引子的k o l m o g o r o v 争熵和分形维数的一个上界估计 最后，我们考虑具有迅速振荡外力矿( 孔t ) = g ( z ，t ，t 6 ) ，当e o + 时，矿( z ，t ) 具有 平均振荡外力9 0 ( z ，t ) 的强阻尼波动方程我们证明了原方程的一致吸引子a 和平 均方程的一致吸引子山之间的h a u s d o r f f 距离小于d ( e 1 2 ) 特别地，我们指出得 到的结论可以用于研究有阻尼波动方程 在第五章，一方面，考虑齐次n e u m a n n 边界条件下非自治强阻尼波动方程的 全局吸引子的存在性利用渐近时间周期微分方程的极限集的性质，证明了在一定 的参数范围内，齐次n e u m a n n 边界条件下强阻尼波动方程存在一维全局吸引子， 并且是一条水平曲线另一方面，考虑齐次d i r i c h l e t 边界条件下非自治时间周期受 迫力强阻尼非线性波动方程的全局周期吸引子的存在性通过建立与该问题等价的 一阶发展方程，利用引入与通常范数等价的新范数的方法，证明了在一定的参数范 围内，强阻尼波动方程的狄氏问题对于任意非自治时间周期受迫力具有唯一的指数 i i 吸引有界集的周期解，即全局周期吸引子 在第六章证明了具有黏弹性和热黏弹性的方程组在d i r i c h l e t 边界条件下，对于 任意的非自治时间周期受迫力，均具有唯一的指数吸引任何有界集的周期解，即全 局周期吸引子并且如果受迫力是自治的，则全局周期吸引子恰是系统唯一的指数 吸引有界集的平衡解 关键词：强阻尼波动方程；格点系统；全局吸引子；一致吸引子；全局周期吸引 子；核截面；半群；过程；h a u s d o r f f 维数；分形维数；k o l m o g o r o v 乒熵；迅速振 荡；黏弹性；热黏弹性 i i i a b s t r a c t t h em a i nt h e m eo ft h i sp a p e ri sr e l a t e dt ot h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s f o ra u t o n o m o u sa n dn o n - a u t o n o m o u ss t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n sa n dd i s c r e t i z e d s t r o n g l yd a m p e dd i f f e r e n c ee q u a t i o n ( 1 a t t i c es y s t e m ) ，c o n s i d e r st h a tt h ee x i s t e n c eo fa l l a t t r a c t o r ，e s t i m a t i n gt h ed i m e n s i o na n ds t r u c t u r e i nc h a p t e r1 ，g i v e st h eb a c k g r o u n d0 fd y n a m i c a ls y s t e m ，a n dg e n e r a li n t r o d u c t i o n s o fr e s e a r c h e so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sa n df i n i t el a t t i c es y s t e m s i t i n t r o d u c e ss i t u a t i o n so ft h es t u d yo fd y n a m i c a lb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rt h ed a m p e d w a v ee q u a t i o n sa n dt h em a i nr e s e a r c hr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ed ”l a m i c a lb e h a v i o ro ft h es t r o n g l yd a m p e dw a v e e q u a t i o n su n d e rh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n a p p l y i n gt h es p a t i a la v e r a g e m e t h o d ，b yt h ep r o p e r t yo fl i m i ts e to fa s y m p t o t i ca u t o n o m o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w e p r o v et h a ti nc e r t a i np a r a m e t e rr e g i o n ，t h es y s t e mh a sao n e - d i m e u s i o n a lg l o b a la t t r a c t o r ， w h i 出i sah o r i z o n t a lc u r v e c h a p t e r 3c o n s i d e r st h ed y n a n l i c a lb e h a v i o ro fas e c o n do r d e rs t r o n g l yd a m p e df i n i t e l a t t i c es y s t e mw h e r et h ec o u p l e do p e r a t o ri sn o n n e g a t i v ed e f i n i t es y m m e t r i c f i r s t l y , w e p r o v et h ee x i s t e n c eo fag l o b a la t t r a c t o r ，a n dg i v ea nu p p e rb o u n do fh a u s d o r f fd i m e n s i o n o ft h eg l o b a la t t r a c t o r w h i c hk e e p sb o u n d e df o rl a r g es t r o n g l yd a m p i n g t h e nw eu 8 et h e t h e o r yo fr e s t r i c t e dh o r i z o n t a lc u r v ea n dr o t a t i o nn u m b e rt op r o v et h a tw h e nt h ed a m p i n g t e r mi sl i n e a ra n dt h es t r o n g l yd a m p i n gi ss u i t a b l el a r g e ，t h es y s t e mh a sa l lu n b o u n d e d o n e - d i m e n s i o n a lg l o b a la t t r a c t o r ，w h i c hi sar e s t r i c t e dh o r i z o n t a lc u r v e i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fau n i f o r ma t t r a c t o rf o ras t r o n g l y d a m p e dw a v ee q u a t i o n sw i t ht i m e - d e p e n d e n td r i v i n gf o r c e i ft h et i m e - d e p e n d e n tf u n c - t i o ni st r a n s l a t i o nc o m p a c t ，t h e ni nc e r t a i np a r a m e t e rr e , o n ，t h eu n i f o r ma t t r a c t o ro ft h e s y s t e mh a sas i m p l es t r u c t u r e ：i ti st h ec l o s u r eo fa l lt h ev a l u e so ft h eu n i q u eb o u n d e d c o m p l e t et r a j e c t o r yo ft h ee q u a t i o n a n di ta t t r a c t sa l lt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nw i t h e x p o n e n t i a lr a t e a tt h es a m et i m e ，i nc e r t a i np a r a m e t e rr e g i o n ，w eo b t a i n 衄u p p e r e s t i m a t ef o rt h ek o h n o g o r o vc - e n t r o p ya n df r a c t a ld i m e n s i o no ft h eu n i f o r ma t t r a c t o r f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h es t r o n g l yd a m p e dw r v ee q u a t i o n sw i t hr a p i d l yo s c i l l a t i n ge x t e r n a l f o r c e 矿( z ，t ) = g ( x ，t ，t e ) h a v i n gt h ea v e r a g eg o ( z ，t ) a se _ 0 + w ep r o v et h a tt h eh a u s - d o r f fd i s t a n c eb e t w e e nt h eu n i f o r ma t t r a c t o ra o ft h eo n g i n a le q u a t i o na n dt h eu n i f o r m i v a t t r a c t o r 4 0o ft h ea v e r a g e de q u a t i o ni sl e s st h a nd ( 1 2 ) w em e n t i o n ，i np a r t i c u l a r ，t h a t t h eo b t a i n e dr e s u l t sc a nb eu s e dt os t u d yt h eu s u a ld a m p e dw a v ee q u a t i o n s i nc h a p t e r5 ，0 1 1t h eo n eh a n d ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o ro ft h e s t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n su n d e rh o m o g e n e o u sn e n m a u nb o u n d a r yc o n d i t i o n b y t h ep r o p e r t yo fl i m i ts e to fa s y m p t o t i ct i m e - p e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ep r o v et h 虻 i nc e r t a i np a r a m e t e rr e g i o n ，t h es y s t e mh a sao n e - d i m e n s i o u a lg l o b a la t t r a c t o r ，w h i c hi sa h o r i z o n t a lc u r v e o nt h eo t h e rh a n d w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fag l o b a lp e r i o d i ca t t r a c - t e rf o rt h es t r o n g l yd a m p e dn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hn o n - a u t o n o m o u st i m e - p e r i o d i c d r i v i n gf o r c eu n d e rh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n b ye s t a b l i s h i n gf i r s t - o r d e r e q u a t i o nw h i c hi se q u i v a l e n tt ot h e s ep r o b l e m a n db ym e a n so fi n t r o d u c i n gan e wn o r l n w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h eu s u a ln o r l l l ，i ti sp r o v e dt h a ti nc e r t a i np a r a m e t e rr e g i o n ，f o r a r b i t r a r yn o n - a u t o n o m o u sa n dt i m e - p e r i o d i cd r i v i n gf o r c e ，t h es t r o n g l yd a m p e dn o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n so ft i m e - p e r i o d i cd r i v i n gf o r c ew i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n - d i t i o n sh a sau n i q u ep e r i o d i cs o l u t i o n ，i e ，g l o b a lp e r i o d i ca t t r a c t o r ，w h i c ha t t r a c t sa n y b o u n d e ds e te x p o n e n t i a l l y c h a p t e r6s t u d i e st h ev i s c o e l a s t i ca n dt h e r m o v i s c o e l a s t i ce q u a t i o n sw i t hh o m o g e - n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s i ti ss h o w nt h a tf o ra r b i t r a r yn o d a u t o n o m o n sa n d t i m e - p e r i o d i cd r i v i n gf o r c e ，t h es y s t e mh a s u n i q u ep e f i o d ms o l u t i o na t t r a c t i n ga n y b o u n d e ds e te x p o n e n t i a l l y , i e t h eg l o b a lp e r i o d i ca t t r a c t o r a n di ft h ed r i v i n gf o r c e i sa u t o n o m o u s ，t h eg l o b a lp e r i o d i ca t t r a c t o ri st h eu n i q u ee q u i l i b r i u ms o l u t i o nw h i c ha t - t r a c t sa n yb o u n d e ds e te x p o n e n t i a l l y k e y w o r d s ：s t r o n g l yd a m p e dw 8 v ee q u a t i o n ；l a t t i c es y s t e m ；g l o b a la t t r a c t o r ；u n i - f o r ma t t r a c t o r ；g l o b a lp e r i o d i ca t t r a c t o r ；k e r n e ls e c t i o n ；s e m i g r o u p ；p r o c e s s ；h a u s d o r i f d i m e n s i o n ；e r a e t a ld i m e n s i o n ；k o m o g o r o ve - e n t r o p y ；r a p i d l yo s c i l l a t i n g ；v i s c o e l a s t i c i t y ； t h e r m o v i s c o e l a s t i c i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其 他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 签名：李 i 拖 日期：，斫多，7 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 貅孪嘞导师繇l 廿吼班夕 第一章前言 1 1 动力系统概述 1 9 2 7 年，大数学家g d b i r k h o f f 首先用“动力系统”( 珊m m i c a ls y s t e m ) 为名 发表了他的专著【1 】动力系统理论是多学科的交叉，它在力学、统计物理、电学、 流体力学、化学工程、生物学和生态学等方面有着日益广泛的应用系统的状态在 状态空间( 相空间) 中按照一定的规律演化，这个规律往往可以用诸如微分方程、 差分方程等去描述例如由力平衡关系建立的汽轮机转子模型和汽轮叶片机震颤模 型，描述b e l o u s o v - z l m b o t i n s k i i 反应扩散过程的湍流现象的k u m m o t o - s i v a s h i n s k y 方 程，描述燃烧过程中热对流现象的燃烧模型，描述大气对流过程的l o r e n z 方程以及 著名的m a x w e l l 方程组( 电磁) ，s c h r o d i n g e r 方程组( 量子) 、n a v i o r - s t o k e s 方程 ( 流体) 、k d v - b u r g e r s 方程( 流体) 等等翻动力系统理论研究随时问演化的全局 ( 大范围) 定性行为它的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体的流动因 而动力系统的历史一般追溯到1 9 世纪末p o i n c a r d 创立的微分方程定性论，或称微 分方程的几何理论其精神是不通过微分方程的显式解而直接研究解的几何和拓扑 性质，这是由于已经知道大多数微分方程都不可能求出显式解【3 1 因此研究连续 或离散动力系统对于弄清平衡态、周期轨道、共振、分叉( 或分歧，分岔、分支) ( b i f u r c a t i o n ) 。吸引子( a t t r a c t o r ) 、混沌( c h a o s ) 、分形( f r a c t a l ) 、对称破缺等有关 物理现象的实质，克服实验与工程设计中关键性难点，有着十分重要的作用f 4 】 动力系统简单的说有线性和非线性之分，目前主要的研究在非线性方面对于 非线性动力学问题，早期研究可追溯到1 6 7 3 年h u y g e n s 对单摆大幅摆动非等时的观 察从1 9 世纪末起，p o i n c a r z ，l y a p u n o v ，b i r k h o f f , a r a o l d 和s m a l e 等数学家和物理 学家相继对非线性动力系统的理论进行了奠基性研究，d u r i n g ，v a nd e rp o l ，l o r e n z 等物理学家和工程师则在实验和数值模拟中获得了许多启示性发现他们的杰出贡 献相辅相成，形成了分叉、混沌、孤立子，分形( f r a c t a l ) 理论的框架，使非线性动力 学在2 0 世纪7 0 年代成为一门重要的前沿学科，并促进非线性科学的形成和发展 动力系统不仅是非线性科学的研究对象，而且是研究非线性复杂性的有力工 具，其理论与方法已广泛渗透于许多重要领域和众多学科【5 】天体问题、湍流现象 的流体力学，气象学，海洋学、震动理论、生物学，无线电工程和与渐近行为有关 的其他科学和工程技术领域，经常是由常微分方程、偏微分方程或泛函微分方程生 1 2强阻尼波动方程和强阻尼有限格点系统的渐近行为 成若动力系统按相空间的结构来分类，则可分为拓扑动力系统、微分动力系统， 无穷维动力系统粗略地说，常微分方程及其差分方程可以分别看成是有限维连续 和离散的动力系统，泛函微分方程，偏泛函微分方程，偏微分方程及其泛函差分方 程可分别看成是无穷维连续和离散的动力系统，而拓扑和几何中微分流形上的方程 可以看成是微分流形上的动力系统从当前的文献动态来看，动力系统正从低维向 高维乃至无穷维发展嘲 1 2 无穷维动力系统概述 有限维动力系统的经典背景是天体运动特别是太阳系中的天体运动多少年来 一直引起科学家们的兴趣有限维动力系统已经有一百多年的发展历史，至今已取 得了许多重要的成果，其理论体系已经比较成熟另一个古老而著名的经典问题一 流体力学中的湍流问题说明对于无穷维动力系统的研究势在必行这也是对有限维 动力系统的深入和发展无穷维动力系统是从二十世纪八十年代才真正兴起的研究 方向该方向主要是研究具有耗散性的无穷维动力系统当时间趋于无穷大时的动力 行为，象系统的全局吸引子的存在性，全局吸引子的维数估计。惯性流形和逼近惯性 流形的存在性和构造方法等问题( l a d y z h e n s k a y a 7 1 ，b a b i n 和v i s h i k 9 1 ，v i s h i k 【i 0 ， h a l e 8 1 ，t e m a m 【2 】，r o b i n s o n 【1 2 1 ，s e l l 和y o u 【1 3 ，郭【l l 】，c o n s t a n t i n 等【1 4 1 ) ，这些内 容是属于非线性泛函分析和偏微分方程的交叉领域，同时涉及到物理，力学和大气 科学等学科对于具有耗散性的无穷维动力系统，研究其解的长时间性态是数学物 理中的个重要问题近年来建立的无穷维动力系统惯性流形和吸引子理论 2 1 证明 了不少无穷维动力系统的有限维描述是可能的但要真正完成动力学性质的讨论， 还必须建立有限维流形上的常微分方程，再用非线性动力学方法进行分析【1 5 1 对于耗散动力系统，即使简单的非线性确定性方程( 通常由微分方程差分方 程，甚至简单的迭代方程所描述。且方程中的系数都是确定的) 也可以表现出不可预 测和混沌的行为，这一现象是由伟大的法国数学家p o i n c a r d 首先注意到的早在二 十世纪六七十年代，在耗散系统中就发现了奇怪吸引子和混沌混沌是关于非线性 动力系统的整体性质的科学，它是确定性系统通过确定性的发展以混沌的形式表现 出来它是确定性系统的内在随机性，这种随机性是由系统对初值的敏感依赖性而 产生的另外，系统处于混沌状态并非毫无规则，一片混沌，相反，这里存在着复杂 而精致的几何结构，包含有更多的内在规律性总之，混沌现象是丝毫不带随机因 素的固定规则所产生的，是确定中的不确定，有序中的无序，是矛盾双方的统一 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 3 正是由于这些和其他一些困难，近年来引起了人们对耗散动力系统的广泛研究，无 穷维耗散动力系统也引起了人们的关注f 7 j 一【1 2 】，【1 6 一【2 5 】 通常，系统的长时间性态由全局吸引子所表现，因此，全局吸引子的存在性极 其重要作为描述混沌最好的工具之一的全局吸引子是相空间中吸引所有轨道的最 大有界不变集，它的吸引域是整个相空间全局吸引子如果存在则是唯一的，它描 述了解的所有可能的长时间行为它研究系统的整体特征和全局行为，不仅可以指 出系统中各种物理量之间最本质的联系，而且能够简明清晰的阐明外力强迫对运动 的基本影响，从而揭示出系统中最基本的运动规律那么在什么情况下或者什么条 件下存在全局吸引子呢? 首先，系统表现为耗散( d i s s i p a t i v e ) ，方程的每个解进入 到固定的有界域且随着时间的进一步增加，停留在里面不出来其次，系统必须是 紧的或者是一致渐近紧的，它保证了系统解( 轨道) 的收敛性，使得我们用吸引子 来研究动力系统的渐近行为才有实际意义 吸引子的理论在最近几十年中得到了广泛的应用和发展，有大量的文献论述动 力系统吸引子的存在性及其相关性质( 1 2 】，【7 】【1 0 】，【1 5 一 3 0 1 等相关文献) ，使得吸引子 在数学以及物理领域中越来越重要 在吸引子存在的条件下，我们主要关注吸引子的结构问题，以便描述它的图像 发现它的性质一般地，吸引子展示了一个复杂的分形的结构它包含所有平衡点 及平衡点的不稳定流形，还包含所有周期轨、同异宿轨及更为复杂的分形或仿分形 不变集，所以得到关于吸引子结构的某些信息就显得至关重要因此，那些能给出 系统的渐近行为和吸引子结构的某些信息就显得特别有意思( v i s h i k 【1 0 ，l a n g a 和 r o b i n s o n 【2 a ，e d e n 等【2 9 】，范【圳) 我们更感兴趣的是。是否能够证明吸引子是 一个有限维的集合，即是否能够使得吸引子与n 是有限的) 的一个子集同 胚即我们总是希望系统所有的复杂的动力学行为只依赖于几个有限的自由度( 【2 6 】， 【2 9 】) ，所以关于吸引子的结构自由度及其维数估计成为吸引子研究的一项极为重要 的课题 吸引子的维数是描述吸引子的动力学特性所需的基本参数的个数维数是物体 占有空间的规模和复杂程度的重要指标非线性系统的相空间可能维数颇高，甚至 无穷，有时还不知道维数是多少，而吸引子的维数一般都低于相空间维数全局吸 引子在无穷维动力系统的研究中起了重要作用，但是它的结构非常复杂，可能是分 数维的在这方面，h a u s d o r f f 首先给出了描述集合的非整数维的h a u a d o i f f 维数， 这样的有非整数维的集合被称为分形集( 1 3 1 ) 对动力系统，在相空间中分形集合 4强阻尼波动方程和强阻尼有限格点系统的渐近行为 可认为是奇怪吸引子。它是个复杂的集合产生分形结构的物理机理是系统具有 非线性、随机性或耗散性非线性系统中各种运动。模式互相耦合，特别是存在 耗散时，系统的长时间行为发生在维数低于相空间维数的吸引子上对于分形，和 普通整数维( 0 ，1 ，2 ，3 ，) 相对应的维数称为分形维数( f r a c t a ld i m e n s i o n ) ，值得注 意的事。它们的维数值不是整数，而且可能是无穷维的 在个无穷维b a n a c h 空间上紧集的分形维数就可能是无穷维的在f 3 2 】中，对 于不同泛函空间的集合k ，它们的分形维数如( ) = + c o ；对于测量这样的无穷 维的紧集呔小”，分形维数不是个很好的量因此，像】所给出的，解决这一 问题的途径之一是去估计k o h n o g o r o v 熵( k o l m o g o r o ve - e n t r o p y ) 作为一种共轭 不变量，k o i m o g o r o v 于1 9 5 8 年在遍历理论中引入了度量熵( 又称测度论熵) 的概 念【碉而在1 9 5 9 年。s i n a i 的工作( 】) 使熵的概念更臻完备作为最好的一种拓 扑共轭不变量，熵的研究一直在动力系统的理论研究中占据着十分重要的位置熵 的大小和系统的。混乱”程度是紧密相关的因此，伴随着。混沌( c h a o s ) 。热的兴 起，熵正在引起越来越多的研究者的重视和兴趣 3 6 1 k o l m o g o r o v 熵的优点是更 易于从数据中测量，因此在实际中就更有用对于一个吸引子，在一给定的精度范 围内，k o l m o g o r o v 熵的值指示出需要多少信息来确定集合内点的分布( l o c a t i o n ) 例如，如果想知道在一定的精度e 内，构成吸引子的点集，那么为了确定吸引子的 分布人们必须确定长度为的立方体覆盖吸引子的最少数目肛( ) 的布局 下面我们给出b a n a c h 空间x 上紧集k 的k o l m o g o r o v 争熵因为耳是紧的， 容易得到对于任意的e 0 ，肛( k ) o 。 定义1 1 空间x 上集合的k o l r a o g o r o 口熵是数 皿( 耳，x ) = 皿( 耳) = l 0 9 2 他( 耳) k o l m o g o r o v 熵等于系统所有的l y a p u n o v 指数的和，并用来估计系统的混沌性 质般地，对规则运动，其k o l m o g o r o v 熵为零；对随机运动，其k o l m o g o r o v 争 熵趋于无穷；对混沌系统，其k o l m o g o r o v 争熵等于一个正常数，并且k o l m o g o r o v 熵越大，其混沌的程度越严重对于集合k ，我们是要去研究当s 一0 + 时，关于 e 的函数凰懈) 的渐近行为紧集的遂一特征首先由k o l m o g o r o v 和t i k h o m i r o v 引 入【3 2 | 而分形维数也可以作为一种重要的紧集的熵维数 定义1 2 空间x 上的紧集j r 的分形维敷是数 榔，x ) 叫耻蓦器 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 5 如果已知0 0 是阻尼系数( 损耗系数) ，( u ) 是非 线性项，g ( z ) 是已知函数，和振源有关当，( u ) = 胪s i n u 时，方程( 1 4 1 ) 是受到 外力扰动并考虑阻尼效应的s i n e - g o r d o n 型方程这个方程有很多物理上的应用， 比如，低频交流电作用下的j o s e p h s o n 结，外部电场作用下的磁系统，电荷密度波 系统等等【6 5 】在一定的扰动作用下会呈现出混沌运动状态，使得这个方程无论在 实际应用上还是在理论研究无穷维动力系统中混沌吸引子方面都受到了广泛的关注 ( 【6 6 】- 【6 9 】) 对于方程( 1 4 1 ) ，b i s h o p 等在【6 q 中研究了周期边界条件下，不同的初 始空间结构对于混沌的出现及特征的影响在【2 】，【7 0 】中证明了方程( 1 4 1 ) 的全 局吸引子的存在性及其维数估计在此基础上，本文考虑强阻尼波动方程 豢一七赛一a u + h ( 窑) + ，( ) = 9 ( z ) ，( z ，t ) n r + ， ( 1 4 2 ) 该问题来源于杆的振动问题、j o s e p h s o n 电路、神经传导，量子力学等( ( 7 1 】【7 5 】) 对于强阻尼波动方程( 1 4 2 ) 的解的存在唯性，长时间行为已有广泛研究，并得出 了吸引子的存在性及其维数估计、正则性等【1 6 f 19 | ，【2 l j - f 2 2 】，【删， 7 1 】，f 7 6 】1 7 8 】 文f 7 9 】f 8 1 】给出了方程的惯性流形和近似惯性流形动力系统( 1 4 2 ) 的全局吸引子 的存在性问题有着广泛的物理和力学意义( f 2 】，【8 】，f 1 2 】，1 13 】) ，在最近十多年来，一 直倍受人们的关注从理论和方法来看，研究系统( 1 4 2 ) 的全局吸引子的存在性问 题的主要途径是；首先，通过偏微分方程解的存在性理论和稳定性理论，获得系统 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 7 ( 1 4 2 ) 对应的解半群是连续的；然后结合s o b o l e v 不等式，运用能量估计等技巧得到 该半群在拓扑空间中有有界的吸收集；最后运用s o b o l e v 紧嵌入定理等分析手段证 明该吸收集在半群的作用下，其一极限集存在并且就是系统半群的全局吸引子 w e b b 在f 1 6 】中考虑了强阻尼非线性波动方程( 在( 1 4 2 ) 中，| i l ( 甓) = 0 ，g ( z ) = 0 ) 的渐近行为在【2 l 】中证明了强阻尼波动方程( 1 4 2 ) 的全局吸引子的存在性和它的 h a u s d o r f f 维数的有限性【8 2 卜i s 4 证明了强阻尼波动方程( 1 4 2 ) 在大的强阻尼情况 下，全局吸引子是一致有界的，并且估计了吸引子的h a u s d o r f f 维数【8 5 1 考虑了 无界域上全局吸引子的存在性最近，在文献【踟】中，作者运用非线性泛函分析中 的非紧性测度的概念给出了系统半群存在全局吸引子的新的判别方法在本文中， 考虑齐次n e u m a n n 边界条件下强阻尼波动方程( 1 4 2 ) 的动力学行为，我们应用空 间平均方法把偏微分方程转化为常微分方程，利用渐近自治微分方程的极限集的性 质，证明了在一定的参数范围内，系统存在一维全局吸引子，是一条水平曲线 自治的无穷维动力系统在过去几十年已被广泛研究，无论纯理论还是实际应 用都已有了比较成熟的结果相比较而言，非自治的无穷维动力系统的渐近性态的 研究比较缓慢，问题在于非自治系统中受到了与时间有关的外力的作用，破坏了自 治系统所产生的流或半流的半群性质，这使得处理非自治动力系统不能沿用自治系 统下的理论和方法，因而在自治系统中的相关理论和方法要想在非自治系统中得以 实现，那些在自治系统的相关理论中发挥重要技术作用的关键定理都要做实质的推 广，这样才可以在非自治系统中应用在上世纪六七十年代，m i l l e r 【s 7 1 ，s e l l 【8 8 】， 【8 9 】，h a l e 和k a t o 9 0 1 以及后来的h a l e 【8 】，f i t z g i b b o n 【7 1 】，m a s s & t t 【i s ，c h e n 等【1 9 】， c h e p y z h o v 等【9 1 卜 9 2 】研究了一些特殊的非自治系统对应于自治系统的半群的概 念，他们提出了非自治系统决定了一个满足余圈性质( c o c y c l ep r o p e r t y ) 的双参数映 射族 u ( t ，r ) ，t2r ，f r - 过程( p r o c e s s ) 的概念，其中7 _ 是初始时间 抛开初始时间不讲，许多耗散的非自治动力系统所决定的过程，也满足吸引子 存在的两个条件，一、过程是吸收的；二、过程是紧的或是一致渐近紧的但如果假 设其吸引子存在，这个吸引子和初始状态到底有什么关系? 初始状态又是如何决定 吸引子的结构变化? 1 9 8 8 年，a h a r a t l x 在1 9 3 首次提出了非自治系统的一致吸 引子的概念，并研究了依赖于时间t 的函数是概周期( a l m o s tp e r i o d i c ) 函数的非自 治系统1 9 9 4 年，c h e p y z h o v 和v i s h i k 提出了一种比较简单的研究非自治系统的方 法【9 2 ，叫，他们在a h a r a u x 的基础上引入新的概念一时间符号( t