（理论物理专业论文）一种新的量子热机.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 我们用量子力学的语言重新解读了热力学第一定律。二能级的量子系统是量 子力学里最简单的系统，我们介绍了工作物质为二能级量子系统的量子热机，它 经过量子绝热过程和与热源进行热量传输的过程完成一个工作循环。 通过对二能级量子热机的认识，以及对做功和热量传输的量子解释，我们 对热力学第二定律的本质内涵进行了更清晰的阐述。特别的，在量子领域里，如 果要求一个量子热机对外做功的话，仅仅要求两个热源有不同的温度是不够的， 而是应该要求高温热源和低温热源之间有一个最小温差，这个最小温差的大小， 取决于量子工作物质的能级宽度。上面的结论，也适用于多能级的量子热机，我 们还介绍了工作物质为一维谐振子的量子热机，和工作在一维无限深方势阱中的 量子热机，如果要求它们对外做正功，高温热源和低温热源之间同样有一个最小 温差，大小同样取决于工作物质本身。我们的量子热机也是对s z i l a r d 热机的改 进，是在物理上对m a x w e l l 妖的一种实现， 最后，我们介绍了这样一种量子热机，它的工作物质具有一个分立的能级和 一个连续的能级，我们计算和讨论了它对外所做的功。计算结果表明在高温和低 温极限下，这种量子热机的行为与二能级的量子热机相似，在这高温和低温之间 时它有自己独特的性质，我们也计算和讨论了这种量子热机的机械效率。 关键词：量子热机；最小温差；连续能级 一种新的鼋子热机 an e wk i n do fq u a n t u mh e a te n g i n e a b s t r a c t w er e f o r m u l a t et h ef i r s tl a wo ft h e r m o d y n a m i c si nt e r m so fq u a n t u m m e c h a n i c a l o p e r a t o r so i lt h ep a r a m e t e rm a n i f o l d w ei n t r o d u c eac l a s so fq u a n t u mh e a te n g i n e w h i c hc o n s i s t so ft w o l e v e ls y s t e m s ，t h es i m p l e s to fq u a n t u mm e c h a n i c a ls y s t e m s ， u n d e r g o i n gq u a n t u ma d i a b a t i cp r o c e s s e sa n de n e r g ye x c h a n g e sw i t hh e a tb a t h s ， r e s p e c t i v e l y ，a td i f f e r e n ts t a g e so f a c y c l e a r m e dw i t ht h i sc l a s so fh e a te n g i n 髓a n ds o m ei n t e r p r e t a t i o no fh e a tu a n s f e r r e d a n dw o r kp e r f o r m e da tt h eq u a n t u ml e v e l ，w ea r ea b l et oc l a r i f ys o m ei m p o r t a n t a s p e c t so ft h es e c o n dl a wo ft h e r m o d y n a m i c s i np a r t i c u l a r , i ti sn o ts u f f i c i e n tt oh a v e t h eh e a ts o u r c eh o t t e rt h a nt h es i n k , b u tt h e r em u s tb eam i n i m u mt e m p e r a t u r e d i f f e r e n c eb e t w e e nt h eh o t t e rs o u r c ea n dt h ec o o l e rs i n kb e f o r ea n yw o r kc a nb e e x t r a c t e dt h r o u g ht h ee n g i n e s t h es i z eo ft h i sm i n i m u mt e m p e r a t u r ed i f f e r e n c ei s d i c t a t e db yt h a to ft h ee n e r g yg a p so ft h eq u a n t u me n g i n e si n v o l v e d s o m eo ft h e r e s u l t sa b o v ec a nb eg e n e r a l i z e dt oq u a n t u mh e a te n g i n e so fa ni n f i n i t en u m b e ro f e n e r g yl e v e l si n c l u d i n g1 - ds i m p l eh a r m o n i co s c i l l a t o r sa n d1 - di n f i n i t es q u a r ew e l l s o u rn e wq u a n t u mh e a te n g i n e sa l s oo f f e rap r a c t i c a lw a y ，a sa l la l t e r n a t i v et os z i l a r d s e n g i n e , t op h y s i c a l l yr e a l i z em a x w e l l sd a e m o n f i n a l l yw ei n t r o d u c eaq u a n t u mh e a te n g i n e ，i nw h i c ht h ew o r k i n gm e d i u mi sa q u a n t u ms y s t e mw i t had i s c r e t el e v e la n dac o n t i n u u m n e tw o r kd o n eb yt h i se n g i n e i sc a l c u l a t e da n dd i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h i sq u a n t u mh e a te n g i n eb e h a v e s l i k et h et w o - l e v e l q u a n t u mh e a te n g i n ei nb o t ht h eh i g h t e m p e r a t u r ea n dt h e l o w - t e m p e r a t u r el i m i t s ，b u ti to p e r a t e sd i f f e r e n t l yi nt e m p e r a t u r e sb e t w e e nt h e m t h e e f f i c i e n c yo ft h i sq u a n t u mh e a te n g i n ei sa l s op r e s e n t e da n dd i s c u s s e d k e yw o r d s ：q u a n t u mh e a te n g i n e ；m i n i m u mt e m p e r a t u r ed i f f e r e n c e ： c o n t i n u u m 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研 究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含 为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 中船 大迮理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 诬l 年p 月晕日 人迕理i ：大学硕士学位论文 引言 热力学第二定律的内容是说：第二类用动机是不可能造成的。它是现代物理学的基 本假设之一，被无数实验所证实，目前为止还没有违法它的特例。热力学第一定律的内 容是说能量守恒，而热力学第二定律的内容说的是在能量转化和转移的方式当中，有哪 些是不被允许的。下面是热力学第二定律的几种经典表述“埘。1 ： k e l v i n - p l a n c k ：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功能而不引起其他变 化。 c l a u s i u s ：不可能将热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。 最大熵原理：孤立系统的熵永远不会减少。 前两种表述可以通过对经典热机的介绍而被证明是等价的，第三种表述需要引入熵这个 物理量，它是复合系统广延量的函数 在历史上，对热力学第二定律，提出过许多非难，首先是m a x w e l l 在1 8 6 7 年提出的 m a x w e l l 妖嘲设想一个温度为r 的容器分成a ，b 两部分，在a ，b 两部分的分界面上开一 个小洞，假定现在有一个“妖怪”把守着洞门，这个“妖”的任务是：只让速度超过某 个值，比如y ，的分子由a 通过小洞走向b ，速度v c 的分子不让通过，于是，由“妖” 把门的最后结果是，容器b 中速度大的分子越来越多，容器a 中速度大的分子越来越少。 这样，容器b 的温度将会升高，容器a 的温度将会降低。这个过程不消耗功，只是通过“妖” 的工作，使原来温度相同的容器，即单一热源，变成温度不同的a ，b 两部分。这样，总 可以用一部热机在a ，b 问工作对外做功，这其实就是第二类永动机，因为本来是单一热 源。这过程中，包括a 和b 中全部气体的总熵必减少，由于“妖”的工作，气体分子的运 动从极混乱到较有序。 表面上看来，似乎只要存在m a x w e l l “妖”，就会违背热力学第二定律。仔细分析后 发现并非如此。为了解决这个问题，许多物理学家如s z i l a r d “”1 等作出了很多努力。首 先，类似于m a x w e l l “妖”，或者和m a x w e l l “妖”起同样作用的装置并不罕见，比如半 透膜就可以起只让某种分子透过而不让其他分子透过的作用；整流器也可以起类似的作 用，因为它能整流；加热金属使它做热电子发射，然后加一个磁场，使熟电子在磁场的 作用下做更有规则的定向运动，也可以使加热电子的熵减小，而且由于l o r e n t z 力的方 向与电子运动速度垂直，磁场力不做功。磁场也可以使热电子的运动从更无序到更有规 则。问题在于，是否这些过程或者装置违背热力学第二定律? 答案是肯定的：这些过程都不违背第二定律。在1 9 2 9 年s z i l a r d 介绍了他的著名的 单原子热机“1 ，对麦克斯韦“妖”进行了较为深入的分析，他提出猜测：测量过程一定 伴随着某种熵的产生，而且熵的增加量一定大于系统其他过程中熵的减少量，这样就“解 救”了热力学第二定律，这种增加的熵其实就是信息熵，s z i l a r d 的工作是现代信息论 一种新的鼍子热机 的先导。s z i l a r d 等人阐明：“妖”其实是个有“智利”的“存在物”。他有“记忆”和 “储存”的功能，能够记住某个速度，否则他就无法考察分子的速度是大于还是小 于。其次，它能够“识别6 。他能从分子中获得信息，并加以区分，从众多分子中识 别出哪些分子的速度比v n 大，哪些分子的速度比小，这样他它才能工作。这些功能， 或者说这些判别过程，涉及信息的交换和传递，也涉及熵的变化。b r i l l o u i n 进一步证 明，m a x w e l l “妖”要能起作用并且工作，必须获得来自分子的信息，并经过识别和处 理，这必然伴随一个熵增加的过程。在这个过程中，气体分子的熵虽然减少了，但是“妖” 的熵却增加，而且总体系包括气体分子和“妖”的总熵仍然永不减少，不违背熵增加原 理。由m a x w e l l “妖”的非难带来了许多新的讨论，为一些新的学科，如控制论，信息 论乃至对生命领域的了解开拓了新的境界。目前，熵的应用已经远远超出了物理学的范 围，延伸和扩展到了许多其它的领域。例如，s c h r s d i n g e r 认为：“有机体就是靠负熵为 生”啪。固然这些问题还有待于进一步讨论和研究，并非已经最后定论，不同意见尚多。 但是无论如何，从一个侧面说明，统计物理学和热力学的应用已远超出物理学领域。 热力学第二定律是被普遍承认的，为了解决黑体辐射的困难，m a xp l a n c k 给出了他 的能量量子化的概念，其实他的原始动机和哲学上的依据就是来自于热力学第二定律”1 。 当今的科技允许我们对介观尺度甚至宏观尺度( 例如：超导体，b o s e e i n s t e i n 凝聚体) 的量子系统进行探测或者实现，研究这些系统与热力学第二定律的直接关系非常重要， 在量子领域里对热机研究是连接量子论和热力学的一个有力工具。 量子热机的概念最开始d h s c o v i l 和s c h u l t z d u b o i s 弓l k ”。并在以后很多的工作中 得到发展。我们知道一个经典的热机工作在两个热源之间，两个热源的温度完全决定了 热机所能达到的最大效率，相应的，如果两个热源温度相同的话我们就不能从中提取到 功。但是，如果我们用量子系统作为工作物质，情况就有所不同，量子效应突出了量子 热机和经典热机的区别。目前，在研究工作物质的量子效应方面做出了很多努力“”。发 现了很多奇异的现象，主要表现在以下三方面：一是我们是否可以提高量子热机的效率 使它接近或者超越经典热机，例如，m 0 s c u l l y 等人“2 儿”1 提议的量子电动热机的效率 就可以超越经典热机的最大效率，它是利用光子气体做为工作物质的；二是我们怎么样 才能通过一个c a r n o t 循环来提取更大的功“”“”“”；三是为了能够让热机对外做正功，对 两个热源的温度有什么要求。我们清楚当且仅当瓦，霉的时候，经典热机才会对外做正 功。这里的和霉分别为两个热源的温度。但是对于量子热机，将会发生一些奇异的现 象。在参考文献 1 1 中给出一个例子是说，即使只有一个单一热源( 瓦一五) ，我们也 可以从提取功。另一个例子是针对简单的二能级的量子热机m “”m 邮”，以及多分立能级 的量子热机“8 m ”，在那里只有瓦比霉大到一定程度的时候的时候，热机才能对外做正功。 大连理工大学硕士学位论文 1 热量和功的概述 1 1 经典统计物理中的热量和功 设有这样一个系统，有大量的全同的进独立粒子组成，具有确定的粒子数n ，能量e 和体积v 。并且我们认为全同粒子是可以分辨的，而且不考虑泡利不相容原理，这就是 经典统计物理当中的玻尔兹曼系统。 以岛( ，一1 ，2 ，) 表示粒子的能级，q 表示能级q 的简并度。n 个粒子在各个能级 的分布可以描述如下： 能级 1 ，f 2 ，岛， 简并度 。，吡，q ， 粒子数 a i , a 2 , - - - a j ， 即能级吒上有a ，个粒子，能级f ：上有a ：个粒子，能级白上有a t 个粒子，等等。 数列如，) 称为玻尔兹曼分布，根据等概率原理，有 a ，一峨e 一。一鹏 ( 1 1 ) a 和口由条件以下条件确定 = f e ”邓“ ( 1 2 ) - e ； p 一邓q ( 1 3 ) 定域系统或者满足经典极限条件的b o s e ( f e r m i ) 系统都遵从波尔兹曼分布。内能 是系统中无规运动总能量的统计平均值，所以 【，= a l f 1 = 叩，e - 一印 ( 1 4 ) 引入函数z l ： z 1 = 叩”邓q ( 1 5 ) 名为粒子的配分函数，由式( 1 2 ) ，( 1 4 ) 得 = e “0 3 t e 邓幻= e - a z l ( 1 6 ) - 。 u 钳”萃叩雕kp 弋一者) ；吖邓勺 一种新的链子热机 = 丢呜a _ na a _ 0 卢_ l n z - ( 1 z ) 式( 1 7 ) 是内能的统计表达式。 由热力学第一定律可知，系统在过程中可以通过功和热量两种方式与外界交换能 量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化d u 等于在过程中外界对系统所作的 功dw 及系统从外界吸收的热量dq 之和： d u = dw4 - dq ( 1 8 ) 如果过程是准静态的，d w 可以表示成l 矽的形式，其中咖是外参量的改变量，l ，是与 外参量y 相应的外界对系统的广义作用力。例如，当系统在准静态过程中有体积变化d y 时，外界对系统所作的功为一p d 矿，等等 粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变，外界施于能级岛的一个粒子的力 为堕。因此，外界对系统的广义作用力y 为 砂 y 一；挚，= ；争州唧 玎“( 一万1 万0 ) ；叩堆， = 丢( 一万1 栌a ：一芸旦l n z l ( 1 9 ) 卢o y 1 “ 式( 1 9 ) 是广义作用力的统计表达式。它的一个重要例子是 p ；等专。i nz 1 (110)v p = z 1n1 m 口a 1”7 在无穷小的准静态过程中，当外参量有方的改变时，外界对系统所作的功是 坳= 方萃争，2 军口，如， m 将内能【，。s l a t 求全微分，有 大连理i ：大学硕士学位论文 d u = 即叫口， ( 1 1 2 ) 么_ ， 么_ ， l l z ， 式( 1 1 2 ) 指出，内能的改变可以分成两项，第一项是粒子分布不变时由于能级改变而引 起的内能变化，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变而引起的内能变化。与式 ( 1 11 ) 比较可知，第一项代表在准静态过程中外界对系统所作的功。因此，第二项代表 在准静态过程中系统从外界吸收的热量。这就是说，在准静态过程中系统从外界吸收的 热量等于粒子在各个能级重新分布所增加的内能。热量是在热现象中所特有的宏观量。 与内能和广义力不同，没有与热量相应的微观量。 1 2 对吸热和做功的量子解释 一个具有标准分立能级的量子系统的能量为 u ；( e - p ；e ( 1 1 3 ) 其中，e 。表示各个分立能级的能量本征值，见代表粒子出现在各个能级的几率，对于 无穷小过程，将式( 1 1 3 ) 取微分有 d u = e i f 4 - p 。d e f ( 1 1 4 ) 广 与经典的统计物理相对应，在量子领域里，我们对热量和功做如下的定义 d q 一巨勿， 7 d 形；见峨 ( 1 1 5 ) 从数学上来讲，d q 和d w 不是完整的微分而只是微分式。式( 1 1 5 ) 把一个量子系统对 外放出或吸收的热量解释为是由于粒子在各个能级之间占有几率的变化而引起的能量 变化，在吸热和放热的过程中各个能级的能量本征值并没有改变。而当系统对外做功或 者外界对系统做功时，引起的只是量子系统各能级的能量本征值的变化，粒子在各个能 级之间的占有几率并没有改变。我们可以看出式( 1 1 4 ) 和式( 1 1 5 ) 符合热力学第一定律 d u d w + d q 。 1 3 量子领域中的热力学第一定律 我们考虑一个n 能级的量子系统。系统的外参量为m 维空间中的矢量 元；( ，九，) 。设系统的h a m i l t o n 量，相应的能量本征态和能量本征值都是元的 函数，即膏- 西( 工) ，i n ) a i 一( 工) ) ，e ；e 伍) ，且骨h ) 一e l 一) 。我们可以通过控制互 一种新的量子热机 来实现这样的过程：系统的能级随着a 变化，而粒子并不在各个能级之间进行跃迁。因 此，我们可以通过控制和改变外参量彳来实现量子系统的绝热过程。在通常情况下，系 统的密度算符p 不仅仅是外参量互的函数，而且也是系统本身的热力学温度r 的函数。 因为当系统和不同的热源接触的时候，温度发生改变，同时会和热源之间有热量地交换。 因此，密度算符p 是肼+ 1 维空间中的矢量i 一( 元，r ) 的函数。综上，系统的所物理量f 都是膨+ 1 维空间中的矢量i - ( 工，z ) 的函数，它的全微分满足卯一v j d 石+ _ o 。f ，d t a 现在我们考虑习用的哈密顿量疗，在能量表象当中有 曹l ，z ) 一ei ，z ) ( 1 1 6 ) 两边对外参量互求导数得 筹i n ) 埘辔d ；嘉d i ，z ) + e 尝 忉 d a 。7aa 。“d a 用相同的本征左矢量( h i 作用上式两端，得 ( 圳筹i 咒) + o l 膏去i ，z ) ；鲁+ e ( 圳去l n ) - ( 1 - 8 ， 考虑到疗的h e r m i t e 性，有 ( ，z l 疗去蜘e 如嘲n ) ( 1 1 9 ) 所以有 岛e - - ( n l d 互膏h ) ( 1 2 0 ) 式( 1 2 0 ) 就是h e l l m a n f e y n m a n 定理乜1 。如果用不同的本征左矢量( m i 作用于式( 1 1 7 ) 两端，得 ( m i 芸m ( m l 叠去i n ) = e 如l 去1 n ) m z ， 考虑到疗的h e r m i t e 性，有 ( m i d 石疗i ，z ) = ( e - e m ) ( md 互i ，z ) ( 1 z z ) 在能量表象当中 呔疗= l m ) ( m k 疗愀，z i 大连理1 ：大学硕士学位论文 = x ( m i 互疗俐m ) ( ，z | + ( ，z p 工膏俐，z ) 如 我们定义做功算符略i f , 为对角项部分的和 由式( 1 2 0 ) 得 d 工矿；( ，z p 互曹俐，z ) 如 d j j c 缈= d 工e 愀，z 我们定义热量算符dj 垂为非对角项部分的和 由式( 1 2 1 ) 得 由于 所以 即 所以 略 = x ( m j d 互膏俐m ) 如 e 1 m + ( n l d 互i m ) = 0 一( 甩km ) = 蛾( n 1 ) l m ) 所以，式( 1 2 7 ) 可以改写为 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) ( 1 3 1 ) 咒 ，【、j， m 、， 聆 一， 矗m ， 、 一 已 m = q 一1 d 一种新的量子热机 办委= e l 垅) ( m l 呔i 咒) ( ，z l + e l ，z ) 工( ，z i ) i m ) - e n l m ) = e d 工e o ，z ，z ) = 以d e ( 1 3 5 ) d q = 护( p 矗石垂) + 加( 砌p ) ；e e hm ) + e ( m i ，z ) 收( ，z 剜m ) + 如陋讣) ；e ( d ( ，z 冽咒) + 邑( ，z 俐，z ) + e ( ，z 矧疗) - - 2 a ，zl a i n ) = e 慨( 1 3 6 ) 其中，p 。= 如i p i 甩) 代表粒子出现在能量本征态l 雄) 的概率。这样，我们就描述出了一 个量子系统能量发生改变时吸收或者放出的热量以及所做的功。 最后，我们讨论一下量子绝热过程与经典热力学的绝热过程之间的联系。式( 1 1 5 ) 和式( 1 3 6 ) 把量子系统吸收或放出的热量与粒子处于各个能级的几率变化联系起来，这 跟经典热力学中把热量的变化和熵的变化联系起来很相似。在经典热力学里有： d o = t d s( 1 3 7 ) 而量子统计物理学告诉我们： 一种新的量子热机 s ；一七乃( p l i l p ) = 以以l l l 见 ( 1 3 8 ) 那么， d s = 一k o n p + 1 ) 嘎 ( 1 3 9 ) 考虑量子力学中热量的表达式( 1 3 6 ) ，当量子系统进行绝热过程的时候，粒子处于各个 能级的几率以保持不变，则根据式( 1 3 9 ) 系统的熵也保持不变，系统进行的是一个等 熵过程。再根据式( 1 3 7 ) 我们得到这样的结论：一个量子绝热过程过程会导致热力学绝 热过程。但是我们必须强调的是：并不是所用的热力学绝热过程都是由量子绝热过程导 致的嘲。 大连理工大学硕七学衍论文 2 量子热机的概述 2 1 二能级量子热机的工作原理 现在我们考虑二能级的量子热机，就是它的工作物质是二能级的量子系统，具有两 个能级的量子系统是量子力学当中最简单的系统。量子热机的一个工作循环包含以下4 个步骤： 第1 步：使量子系统与温度为z 的热源相接触，在接触之前，量子工作物质有一 定的几率处于低能级，经过一段时间接触之后，它以一定的概率从该热源吸收热量使自 己的能量升高1 而跃迁到高能级。在这一步骤当中，量子系统和热源之间只有热量的传 输而不涉及任何做功的过程。根据我们前面的讲述，这一步只是使得系统占据两个能级 的几率发生改变，而两个能级的能量本征值并不因此而变化。 第2 步：使量子系统与热源分离，进行一个绝热膨胀过程而对外做功。这一步的结 果是使得量子系统两个能级之问的宽度由，减小到：。根据量子绝热理论1 ，这一步 骤当中量子系统对外膨胀得足够缓慢，量子工作物质占据两个能级的几率并不发生变 化，仍然处于高能级，改变的只是两个能级的能量本征值。这是一个量子绝热过程，也 是一个经典热力学绝热过程。 第3 步：使量子系统与另一个温度为l 的热源接触一段时间，在这步骤一当中，量 子工作物质以一定的概率向热源放出热量使自己的能量降低，而跃迁到低能级。这一步 进行时只有工作物质和热源之间热量的传输而不是及做功过程，两个能级的能量本征值 不发生变化。 第4 步：使量子系统与热源分离，进行一个绝热压缩过程，这一步骤当中外界对系 统做功。这一步骤的结果是使得两个能级之间的宽度由2 返回到，量子系统占据各 个能级的几率不变，仍然处于低能级。 以上四个步骤由图2 1 描述出来 我们在这里考虑理想的量子绝热过程，这是因为我们让步骤2 和步骤4 进行的足够 缓慢，根据量子绝热理论，工作物质在这两步当中发生量子跃迁的几率几乎为0 。在一 个工作循环结束后热机对外界做功大小为，一，这也是量子系统在两个热源之间吸收 的热量( 从热源王吸收热量，向热源瓦放出热量赴) 。 注意到，在这里我们并没有提及两热源温度的高低，这是因为在步骤1 和步骤3 当 中，无论热源的温度是多少，量子系统都会有一定的几率吸收热量或者放出热量，在两 个能级之间发生跃迁。但是这种跃迁是不清晰的，不确定的，量子力学告诉我们，它只 会以一定的几率发生，这种几率的大小依赖于量子系统与热源发生相互作用的细节以及 热源的温度。 一种新的量子热机 注：左面代表从热源t 吸热，右面代表向熟源瓦放热，上下两支代表做功过程 图2 1 陬自参考文献【1 5 d 我们的量子热机得以完成一个工作循环的条件是在第2 步开始时量子系统处于高能 级，而在第4 步开始时处于低能级。现在我们令两个热源的温度相等( 五i 五) ，即为同 一热源。设系统在和热源接触时达到了热平衡态，声? 2 分别为平衡态下量子系统处于高 能级的几率，也就是在第1 步和第3 步结束时工作物质处于高能级的几率。那么量子系 统在第2 步时处于高能级，同时在第4 步时处于低能级的概率就是卢：o ( 1 一卢p ) 。我们 知道，随机事件的概率代表的是对一个随机试验进行大量的不断的重复时它发生的频 率。那么根据上面的讲述，即使我们的工作物质只是和单一的热源接触，它也有可能完 成一个工作循环而对外做功，这种可能性发生的概率是卢：”( 1 一p ：2 ) 。如果要连续完成他 个工作循环，不断地对外做功，也是有可能的，这种可能性发生的概率为 【p ：”( 1 一p 2 ) r ，它是随着n 。指数递减的。于是我们发现了这样的结果：我们的机器可 以只是从单一热源吸收热量将之转化为功而不对外界产生任何影响! 每一个工作循环做 功的大小为1 一：。 这个结果看起来与热力学第二定律的k e l v i n p l a n c k 描述相矛盾，这种矛盾是由于 量子力学的不确定性导致的。这种违背第二定律经典描述的事情只是随机的发生，在很 长的时间里以难以察觉的几率发生一件，所以它是不受我们控制的，也是不能被利用的。 大连理【：大学硕士学位论文 2 2m a x 懈l l 的妖怪 在图2 1 所示的一个工作循环当中，我们令毛佤) 和岛佤) 为系统与热源互接触时 两个能级的能量本征值，相应的既( 正) 和巨( 疋) 为系统与热源乏接触时两个能级的能量 本征值。令甜2 分别为第2 步和第4 步刚开始时量子系统处于高能级的几率。那么，根 据式( 1 3 5 ) ，热机对外作的功为： 形；于d 2 哌嘲，+ 厶，嘶) 车p 一蛾 = 露【邑瓴) 一毛( 乏) 】+ ( 1 一硝) 巨( 互) 一局促) 】 一一2 【邑佤) 一毛( 乏) 卜( 1 一砖2 ) 【岛瓴) 一巨( 互) 】 = ( 硝一群) ( 邑( z ) 一易佤) 卜 ( 毛幔) 一局( 乏) h = 0 n 一蠢2 ) ( 。一2 ) ( 2 1 ) 我们可以设计一种方法，让我们的热机可以从单一热源吸热面对外做功并且不断的 循环下去，每一个循环做功大小为a ，一a 2 。我们的目的就是要让量子系统在和热源接触 的时候一定要发生量子跃迁，消除跃迁的不确定性。为此我们可以这样做： 在第1 步开始之前让量子系统处于低能级； 在第1 步结束后我们用一个测量能量的仪器对量子系统的能量进行测量，当测 量的结果是粒子已经处于高能级的话，我们按下来进入第2 步，如果测量的结 果是粒子没有发生量子跃迁，即仍然处于低能级的话，我们返回来重新进行第 1 步； 在第3 步结束之后我们同样用一个测量能量的仪器对量子系统的能量进行测 量，当测量的结果是粒子已经处于低能级的话，我们接下来进入第4 步，如果 测量结果是粒子仍然处于高能级我们返回来重新进行第3 步。 这个方案由图2 2 形象的表示出来，上面提到的三个步骤都是为了确保成”一1 和 砘砷= 0 ，这样不论两个热源的温度是多少，我们总是能不断地将热量转化为功，每一 个工作循环得到功的大小为a i 一：，即使当五。五时也是如此，上述的装置和设计方案 看起来是违背热力学第二定律的经典描述的。 其实我们的测量仪器从根本上是一种m a x w e l l “妖”，事实上，严格意义上的一个工 作循环已经被我们设计的装置所破坏了。在一个工作循环进行的时候，我们用于测量量 子系统能量的仪器不断地记录下系统的信息，用这些信息来决定量子热机下一步的操 作。这样，就会对测量仪器的存储器或者寄存器产生影响而使其发生变化，即使我们假 一种新的最子热机 定在测量进行的时候，测量仪器并不消耗能量也不对外界产生任何影响，但是在其内部 图2 2 留下的痕迹是不能被忽略的，为了恢复严格意义上的一个工作循环，必须要抹掉留在测 量仪器上的痕迹，我们需要让它的存储器或者寄存器恢复到初始状态，必须删除测量仪 器在每一个工作循环当中获得的信息。l a n d a u e r 原理“1 告诉我们为了删除1b i t 的信息， 必须至少消耗能量k t i n 2 。这样就解释了为什么我们的装置看起来像是违背了热力学第 二定律，而实际并没有。l l o y d 在量子力学的框架下以m a x w e l l 妖为背景仔细详尽的分 析了l a n d a u e r 原理1 。 这样，我们热机以一种可行的量子的方法实现了一种m a x w e l l “妖”。 2 3 二能级量子热机对外做功的条件 前面我们指出，我们的量子热机可以做到从单一热源吸取热量将之全部转化为功， 但是这种事情发生的几率很小，不受我们控制。 现在我们考虑工作在两个热源( z t ) 之间的二能级的量子热机，我们设在步骤 1 中量子系统与温度为z 的热源接触而达到热平衡，在步骤3 中量子系统与温度为乃的 热源接触而达到热平衡，步骤l 和步骤3 的目的就是要使量子系统与不同的热源达到热 平衡。在平衡态下，量子系统占据各个能级的几率只与热源的温度及能级之间的宽度有 关，满足g i b b s 分布： 。、e - 凡厶( t ) p 2 2 -( 2 2 ) 厶j 大违理1 1 ：大学硕士学位论文 其中露代表量子系统与温度为t 的热源接触后，达到热平衡态时，粒子t t l 现在能量本 征态i m ) 的几率；危- 音，k 为b o l t z m a n n 常数；e a r , ) 为能级| m ) 的能量本征值， a 它在吸热和放热过程保持不变，也就是在系统和热源接触时保持不变。乙为平衡态下的 配分函数，根据露- 1 可得： 互一e 嵋引m( 2 3 ) 考虑二能级的情况： 盈鱼! p 1 ，：可 p 碣+ e 硒 1 同理，得 由式( 2 1 ) 可得 2 瓦而耳丽丽 l + e 珥 a l 1 + p q p 2 ) = 去 1 + e 硒 a w = ( 露n p 2 ) ) ( ，一a ：) ( 2 4 ) ( 2 5 ) = 七一七) ( ，一：) 汜。， 1 + e 碣1 i e k t 2 如果要求a w ，0 ，考虑到a 。，a ：，那么要求： 垒 五即可；而量子热机对两个热源之间的温度差提出了更高的要求， 才能不断对外做功，这是一种量子效应。 那么以上结果能否用热力学第二定律来解释呢? 考虑热力学第二定律的经典表述： 市塑 o ，t l p 要求x ( 0 ，此时 根据式( 2 1 7 ) 、( 2 1 9 ) 壳以壳眈 赢锄1 这就是工作物质为一维谐振子的量子热机对外做正功的条件。它对两个热源的温度差同 样提出了更高的要求，比例系数! i 同样仅仅取决于量子工作物质的内部结构。 2 4 2 工作在一维无限深方势阱中的量子热机 当量子工作物质在一维无限深方势阱中的时候，它的能级结构为 堋= 筹 ( f = 1 ，2 ) ( 2 2 4 ) 其e e l , ( i 一1 ，2 ) 是量子系统与温度为霉( f 一1 ，2 ) 的热源接触时的势阱宽度，在一个工作循 环中，它在步骤2 中由厶增大为如，在步骤4 中由岛减回到，在步骤1 和步骤3 的 吸热和放热过程中保持不变。设系统在步骤1 和步骤3 结束时与热源达到热力学平衡态， 根据g i b b s 分布，有 大连理【大学硕士学位论文 令 则 其中 萨# 兰 磊e 2 懈2 h 2 万2 n 。2 m k t i i l i 2 e 一盯2 心 z f z i ：v e 嘲2 心 名 o = 1 ，2 ) g = 1 ，2 ) ( f = 1 ，2 ) o = 1 ，2