（课程与教学论专业论文）隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究.pdf

摘要 本文首先系统地阐述了问题解决迁移的一般理论，然后经过对初 中生隐蔽型结构共性数学问题解决迁移的现状调查，经过统计分析， 得出了有关结论。 全文分四个部分： 第一一部分简述迁移研究的理论背景以及提出所要讨论的问题； 第二部分以问题解决迁移的已有研究为基础，着重从类比迁移机 制的结构映射理论、实用图式理论和示例理论三个方面探讨了数学问 题解决迁移的机制；同时从与迁移、问题解决迁移的影响因素对比出 发，讨论了数学问题解决迁移的影响因素，理论分析得出数学问题解 决认知结构的三个子系统( 包括数学问题解决知识经验系统、数学问 题解决认知操作系统、数学问题解决元认知系统) 对数学问题解决迁 移的影响最显著。 第三部分在前述的理论基础上，结合教学实践中发现的初中生解 决具有相同结构但是又不明显的数学问题时的不足，设计了试题，进 行调查研究，得到了隐蔽型结构共性数学问题解决迁移的过程、机制 以及影响因素的相关结论。 第四部分在理论与实验调查的基础上，由于数学问题解决能力的 一般性，提出了培养中学生数学问题解决迁移能力以及隐蔽型结构共 性数学涮题解决迁移能力的几点教学建议。 关键词：问题解决迁移，数学问题解决迁移，隐蔽型结构共性数学问 题解决迁移，教学 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ， p r o b l e m s o l v i n gt r a n s f e rt h e o r yh a sb e e n s y s t e m a t i c a l l ys e tf o r t h ， t h e nt h ec o n c l u s i o nh a sb e e ne d u c e d f r o mt h ea n a l y s i sb yw a yo ft h ei n v e s t i g a t i o na n ds t a tt oj u n i o r s c h o o ls t u d e n t s a c t u a lm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n gt r a n s f e r s t a t u su n d e rc o n c e a l e ds t r u c t u r e g e n e r a li t y t h i st e x ti n c l u d e sf o u rd a r t s ： t h ef i r s tp a r tr e l a t e sb r i e f l yt h et h e o r y sb a c k g r o u n do f t h et r a n s f e r ，a n dp u t sf o r w a r dt h eq u e s t i o nd i s c u s s e d i nt h es e c o n dp a r t ，b a s e do nt h es t u d i e so fp r o b l e m s 0 1 v i n g t r a n s f e r ，m a i n l vd i s c u s s e st h em e c h a n i s m so ft h em a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g t r a n s f e ru n d e rt h r e et h e o r i e s ， s u c ha s s t r u c t u r e m a p p i n gt h e o r y ，p r a g m a t i cs c h e m at h e o r y ， e x e m p l a r t h e o r yo fa n a l o g i z et r a n s f e r m e a n w h i l e ，t h ep a r tc o n t r a s t st h e i n f l u e n t i a lf a c t o r so fm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n gt r a n s f e r w i t ht h o s eo ft r a n s f e ra n dp r o b l e m s 0 1 v i n gt r a n s f e r ， a n dd r a w s t h ec o n c l u s i o nt h e o r e t i c a l l yt h a t t h et h r e es u b s y s t e m s ( i n c l u d e st h ek n o w l e d g ea n de x p e r i e n c es y s t e m o ft h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g t r a n s f e r ， t h e c o g n i t i v e o p e r a t i o ns y s t e mo f m a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n gt r a n s f e r ， a n dt h e m e t a c o g n i t i o ns y s t e m o ft h em a t h e m a t i c a l p r o b l e m s 0 1 v i n gt r a n s f e r ) o ft h e c o g n i t i v e s t r u c t u r eo f m a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n gh a v et h em o s tn o t a b l ei n f l u e n c e o nm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s 0 1 v i n gt r a n s f e r i nt h et h i r dp a r t ，s o m ec o n c l u s i o n sa b o u tt h ep r o c e s sa n d m e c h a n i s ma n di n f l u e n t i a lf a c t o r so f t h em a t h e m a t i c a l p r o b l e m s 0 1 v i n gt r a n s f e ru n d e rc o n c e a l e ds t r u c t u r e g e n e r a li t y h a v eb e e ne d u c e df r o mt h ee x a m i n a t i o nq u e s t i o n sd e s i g n e df r o m t h et e a c h i n gp r a c t i c et h a tw h e nt h em i d d l es c h o o ls t u d e n t s s 0 1 v ec o n c e a l e ds t r u c t u r e g e n e r a l i t ym a t h e m a t i c a lp r o b l e m ， t h e yw i l lm e e tp r o b l e m s o l v i n gd i f f i c u l t i e s h a v i n gc o m p r e h e n d e d a l lt h et h e o r i e sa n dt h e i n v e s t i g a t i o ni nt h ea b o v ec h a p t e r so ft h ep a p e ra n db e c a u s e o ft h ec o m m o no ft h em a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n ga b i l i t y ，t h e f o r t hp a r tp r o p o s e ss e v e r a lt e a c h i n gs u g g e s ti o n so nh o wt o c u l t i v a t et h em i d d l es c h o o ls t u d e n t s a b i l i t yo fm a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g t r a n s f e ra n dm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n g t r a n s f e ru n d e rc o n c e a l e ds t r u c t u r e g e n e r a l i t y k e yw o r d sp r o b l e m s o l v i n gt r a n s f e r ， m a t h e m a t i c a lp r o b l e m s o l v i n gt r a n s f e r ， m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s 0 1 v i n g t r a n s f e ru n d e r c o n c e a l e ds t r u c t u r e g e n e r a l i t y t e a c h i n g 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 第一章引言 1 1 问题提出 迁移的研究已有相当的历史。英国的j o h nl o c k e ( 1 6 3 2 一1 7 0 4 ) 第 一次采用了“迁移”这个概念，1 8 世纪德国的官能心理学家提出关 于迁移最早的学说。迁移作为基本的学习现象和教育的目标之一，始 终是教育心理学研究的核心课题。在教育心理学中，迁移即学习的迁 移( t r a n s f e ro fl e a r n i n g ) ，其基本含义是：先前的学习知识和技 能对新知识和技能的学习与获得的影响；或者说从一种学习中习得的 经验对其他学习的影响；也有学者把迁移定义为先前学习对后继学习 所产生的影响。在教学中，人们也越来越认识到学习迁移的重要性， 纷纷提出为“迁移而教”。“学习的迁移问题是教学上一个极其重要 的问题。它是检验知识传授、能力发展等教学目标是否达到的可靠指 标。”。问题解决迁移研究是认知心理学的新热点，它的研究可以追溯 到2 0 世纪6 0 年代。但是它的研究还不成熟。那么，数学问题解决迁 移作为问题解决迁移的子内容，它的研究就更加困难，也更缺乏系统 性。而作者所要提到的隐蔽型结构共性数学问题解决迁移就更加少有 系统的研究了。因为这是数学问题解决迁移中的一个方面，目前对此 的研究所见不多。从问题解决迁移的研究历史和现状看，对问题解决 的迁移基本上还是研究各领域内的学习迁移：对具体数学问题解决 迁移的研究，将样例表面内容，问题共性意识等作为研究对象。 学习问题( 源问题) 与迁移问题( 靶题) 之间的共同成分，可以 分为结构成分和表面成分。结构成分是指学习任务中与最终所要达到 的目标或结果有关的成分；表面成分是指学习任务中与最终目标的获 得无关的成分。而在数学教学实践中，很多时候数学问题之间的结构 共性显得很隐蔽，从而很大程度上影响了问题解决的水平。问题是数 学的心脏。解决问题是学习数学的最终目的。有观点认为问题解决本 质上就是迁移，从迁移入手，提高解决数学问题能力。而在具有隐蔽 型结构共性( 若后继问题与先前问题相比较，两者之间存在结构共性， 杨卫星，张梅玲，迁移研究的发展与趋势【j l ，心理学动态，2 0 0 0 ( 1 ) 曾峥，数学教育的现代发展与研究 ，长沙：期南师范大学出版社，2 0 0 1 1 6 2 李维，学习心理学【m l ，成都：四川人民出版社，2 0 0 0 2 6 9 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 但是后继问题需要一定的加工才能将结构共性体现出来，如代数问题 中条件变形、几何证明中添加辅助线等，作者称之为是隐蔽型结构共 性) 的问题中，要顺利地解决问题的难度往往会更大。所以，对具有 隐蔽型结构共性的数学问题解决迁移进行研究是必要的，具有重要的 教育价值。我国有学者也把问题解决迁移称为解题迁移，所以，作者 将隐蔽型结构共性数学问题解决迁移亦称隐蔽型结构共性数学解题 迁移。 隐蔽型结构共性主要是相对于仅从问题表征或表面内容就能判 断出结构共性的问题而言的，是一个相对概念。比如在第二章的几组 例题当中( 见p 。一p 9 ) ，例1 中方程组a 和方程组b 的结构共性的 显现水平，与例2 中已知条件与构造方程的联系水平相比，前者就相 对明显，而后者，将未知量赋值与构造方程联系起来则显得隐蔽。例 4 和例3 作比较，前者的交点与船只相遇的共性显现水平比后者的染 色与赋值的共性显现水平要低，即前者结构共性相对隐蔽。在本文的 实验中，作者所选的试题1 ( 先前题) 和试题2 ( 后继题) ( 见附录) ， 要证明题2 ，首先得添加辅助线，再将随后的证明过程和题1 的证明 方法联系起来，因此两题的结构共性好像是“藏”在辅助线的背后一 一“犹抱琵琶半遮面”，躲躲闪闪“千呼万唤始出来”。 1 2 文献综述 对迁移的解释，心理学家有不同的假说，由此产生如下不同的理 沧： ( 1 ) 形式训练理论( t h e o r yo ff o r 珈a ld i s c i p l i n e ) 这是一种早期的学习迁移理论。认为通过一定的训练，可以使心 的各种官能得到发展，从而转移到其他学习上去。这一理论是以官能 心理学( f a c u l t yp s y c h o l o g y ) 为理论依据的。并以此认为，数学有 利于训练推理能力、几何学有助于训练逻辑思维、拉丁语和希腊语对 训i 练记忆力大有好处。所以，在学校教育中，传递知识远不如训练官 能来得重要。 ( 2 ) 相同要素理论( t h e o r yo fi d e n t j c a le l e m e n t s ) 桑代克于1 9 2 4 和1 9 2 7 年的两项实验给形式训练说以致命的打 击。2 0 世纪初，桑代克提出了相同要素说。认为只有在原先的学习 情境与新的学习情境有相同要素时，原先的学习才有叮能迁移到新的 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 情境中去。而且，迁移的程度取决于这两种情境相同要素的多寡。 ( 3 ) 泛化理论( g e n e r a l i z a t i o nt h e o r y ) 心理学家贾德继桑代克之后提出了泛化理论。认为迁移的重要条 件是学生能够自己概括出一般原理，并能够把自己在一种情境中得到 的经验加以“泛化”( g e n e r a l i z e ) ，并把它们运用到另一种情境中去。 ( 4 ) 转化理论( t r a n s p o s i t i o nt h e o r y ) 转化理论是由格式塔心理学家提出的，认为学习迁移实际上是一 个转化或者说关系转化的问题。并提出产生学习迁移的原因，并不是 两种情境之问存在着作为零碎成分的相同要素，而是由于两者之间存 在着相同的关系、型式或完形。 ( 5 ) 学习定势理论( 1 e a r n i n gs e tt h e o r y ) 支持学习定势理论的心理学家认为，迁移取决于通过练习而获得 的定势或学习能力，学习定势是一种策略的迁移。 ( 6 ) 认知迁移理论( c o g n i t i v et h e o r y ) 认知迁移理论认为，迁移的可能性取决于在记忆搜寻过程中遇到 相关信息或技能的可能性。其中，以认知心理学家布鲁纳和奥苏伯尔 的认知结构迁移说最具代表性，认为个体的认知结构是引起学习迁移 的中间桥梁。 随着研究的不断深入，迁移理论在不断的丰富、完善，迁移研究 呈现了重视迁移机制的探讨、强调自我调控与个性倾向在迁移中的作 用、探讨促进迁移的有效教学条件等的趋向，并将迁移与问题解决结 合起来。在数学领域则进一步细化到了对数学问题解决迁移进行研 究。 问题解决迁移( p r o b l e m s o l v i n gt r a n s f e r ) 是问题领域内的迁 移，套用迁移的定义就是先前问题解决学习对后继问题解决学习的影 响。数学问题解决迁移是数学问题领域内的迁移，是先前数学问题解 决对后继数学问题解决学习的影响，是问题解决迁移的子内容。一方 面，问题解决迁移的研究成果对数学问题解决迁移的研究有着重要的 指导意义，问题解决迁移的不少研究成果可以直接用到数学问题解决 迁移中来。另一方面，数学问题解决迁移是数学领域内的问题解决迁 移，具有数学学科的特殊性，“数学问题”是它数学特性体现的载体。 “数学问题解决的认知结构”是它的迁移中介。数学问题解决迁移与 问题解决迁移以及数学学科都有着密切的联系。在问题解决迁移研究 l 一 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 中，心理学家尤其探讨了类比迁移的作用，这一点在以后的章节中将 会谈到。 第二章数学问题解决迂移 2 1问题解决迁移 2 1 1问题解决与迁移 问题解决就是导致某个问题获得解决的思维活动。问题解决过程 是一个创造性的过程，是认知结构中已有经验的独特联合，在这一过 程中，迁移发挥着重要的作用，尤其是类比迁移更有着举足轻重的影 响。郑毓信先生在他的数学教育哲学一书中，提出数学是模式的 科学，数学问题解决是模式的构造、选择以及运用。纵观国内外对问 题解决模式的阐述，作者将问题解决分为实质性的六个阶段：感知问 题一提出问题一分析问题一联系一提出假设一检验假设。而从“分析 问题”到“提出假设”，其中联系非常重要。既将新情境与已有的概 念、原理、规则等知识的相关成分进行关联，将新问题的相关成分与 某些熟悉的问题进行关联，将新情境与遇到过的情境的相似方面进行 关联，将新情境的结构与以前解决过的相似问题结构进行关联。由此 可见，联系是问题解决中的个重要环节。是连接新旧问题之间的纽 带，是使得认知结构中原有的概念、原理、解题技能和经验进行改组 以适应解决新问题需要的关键步骤，也是将问题解决中的各种不同类 型的知识融合在一起的催化剂。联系实际上也是将原有概念、原理规 则和解题经验与新问题进行类比的过程，有完全相同结构下的类比， 也有相似结构下的类比。通过类比，获得一定的迁移，对顺利解决新 问题是至关重要的。 2 1 2 问题解决迁移和迁移分类 问题解决迁移是问题领域内的迁移，套用迁移的定义就是先前问 题解决对后继问题解决学习的影响。心理学家认为，有学习就有迁移。 在知识、技能、态度等等的学习中，都有迁移的发生。而问题解决也 是一种学习，并且有先前问题解决的学习和后继问题解决的学习，所 以，在问题解决的学习中，也存在迁移。先前问题解决学习对后继问 题解决学习的影响就是问题解决迁移。 迁移按照不同的标准进行分类，根据性质分，有正迁移、负迁移、 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 零度或不肯定迁移。正迁移也称助长性迁移，负迁移也称抑制性迁移。 零度或不肯定迁移是指由于两项学习之间的刺激不同，先前的学习对 后继学习没有必然的影响。根据迁移方向分，有顺向迁移，逆向迁移。 还可按照迁移的内容分，有一般迁移和特殊迁移。一般迁移又可称为 非特殊性迁移、普遍迁移，它分为侧向迁移和纵向迁移。一般迁移是 指原理和态度的迁移，不是学习技能，而是学习一般概念。而特殊迁 移是指具体知识和运动技能的迁移。按照学习领域分，有知识的迁移， 动作技能的迁移，智慧技能的迁移。心理学家加涅在他的学习分类学 中，将问题解决归属于高级规则学习。曹才翰和章建跃两位老师在数 学教育心理学一书中说到：“美国心理学家加涅对智慧技能即心智 技能进行了专门的论述。他认为，智慧技能是个体运用符号与环境 相互作用的能力。加涅在教学方法的心理学基础一文中说，智 慧技能的学习从获得简单的辨别和连锁开始。学校的学习虽然时常包 括这些简单的形式，但主要是学习概念和规则，概念和规则使得学生 能够用体现他的环境的那些符号来做事。这就是说，智慧技能包括： 辨别、概念、规则以及问题解决( 高级规则) 等。” 在他的学习过程阶梯模式中，他将迁移与概括置于同一阶梯，而将回 忆、保持、获得、选择、动机置于概括之下，体现了迁移的据高位置。 因此问题解决迁移亦理当属于智慧技能迁移这一高水平的迁移。问题 解决迁移不同于一般迁移，因为它不是知识的直接运用，而是受到具 体的客观情境特征的影响。要找到成功解决问题的策略，学习者的 原有知识经验和当前问题情境的组成部分，必须重新改组、转换或联 合。所以问题解决迁移不是过程的重复模仿，而是要改组认知结构， 属于纵向迁移。 2 2 数学问题解决迁移 数学问题解决迁移是数学问题领域内的迁移，是先前数学问题解 决对后继数学问题解决学习的影响。它有着数学学科的特殊性质。故 我们要在已有的迁移研究和问题解决迁移研究成果的基础上，以数学 问题为载体，以数学的认知结构为中介，以数学的一般规律为准绳， 探索数学问题解决迁移的特殊规律。 姚梅林，当代迁移研究的趋向，心理发展与教育，2 0 0o ( 3 ) 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 2 2 1例说数学问题解决迁移 例1从两元到多元的迁移： 由方程组a ：f 2 石+ ，25 ，不分别求出x ，y ，求x + y 的值 k + 耖= 7 到解方程组b ： 2 + + + + 爿s = 6 ， + 2 屯+ 屯+ + j 5 = 1 2 ， + + 2 + + 肖5 = 2 4 + 屯+ + 2 + 吒= 4 8 j l + 屯+ 工3 + j 4 + 2 x 5 = 9 6 一 在方程组a 中，对初学者来说，题目的要求无疑是“强迫”学习 者摒弃常规解答步骤的“法令”，寻找另外的解题途径。实际上，题 目本意是整体法的运用。即将方程组a 中的两个式子相加，得到 3 ( x + y ) = 1 2 ，等式两边同时除以3 ，就是要求的结果x + y 的值。 方程组b 与方程组a 相比，由于x 或y 只是符号表示不同，没有 本质区别，所以方程组b 相对于方程组a ，从二元一次增加到了五元 一次，未知量的个数增加，次数不变。观察两个方程组，可以看到， 若将方程组a 中的x ，y 分别换成x ，x 。，则方程组a 刚好是方程组b 中的前两个式子中的前两项，而方程组b 则是方程组a 的扩展。所以， 方程组a 所用的整体法对方程组b 来说也适用。将方程组b 的各个式 子相加求和，再除以倍数6 ，得到所有未知量的整体和数x 。+ x 2 + x 。 + x 。+ x 。= 3 l 。再将这个等式和方程组b 中的每一个方程等式相减， 即可分别求出5 个未知量的值。运用整体法的思想，使得方程组b 的 解答非常流畅和简洁明快。 例2从未知量赋值到方程的迁移： 后e 已失口：型耋二! 善，求2 j 4 2 3 2 3 + 3 3 2 2 一1 3 j + 4 的值 3 一2 直接将x 的值代入式子进行计算是很难实现的，从表面上看，该 题和二次根式密切相关，似乎就是二次根式乘方运算以及加减运算。 但是，从解答的可能性上看，这种方法是行不通的。而数学问题解决 的一个根本特征就是，对学习者而言，面对的问题用常规方法是无法 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 顺利解决的，而要另辟途径寻找非常规的解题方法。由已知条件的形 式，我们联想到将x 看成是某方程的根。化简得到j = 5 + 2 怕。构造 方程( z 一5 2 舶) o 一5 + 2 6 ) = o ( j 2 一l o j + r = o ) ，随后在原式中分 解出互2 一l o 丑+ l 的因式。原式= ( 石2 一l o z + 1 ) ( 2 石2 3 工+ 1 ) + 3 ，问题 便迎刃而解。在此题中，运用了赋值与方程根的联系，进行转化迁移， 巧妙的解决了问题。 以上两个例题体现了数学的形式多样化和内部统一性的学科特 点。在数学应用方面，学生把现实问题数学化，建立合适的数学模型 来解决问题。在这种情况下，先前解决过的现实数学问题或者是已有 解题经验对后继碰到的现实数学问题也有影响作用。 例3 从染色到赋值的迁移： 数学问题1 ： 一个展览馆有2 6 间展览室( 如下图) ，图中每个方格代表一间展 室，每相邻的两问展室都有门相通，出口入口在图中所示之处，问能否 找出一条从入口到出口的参观路线，使得不遗漏又不重复地走过每一 问展室? 入口十出口+ 图2 1 数学问题2 ： 设有m 只茶杯，开始时杯口都朝上，把茶杯随意翻转，规定每翻转 n 只，称一次翻动，翻动过的茶杯允许再翻证明：当m 为奇数，n 为偶 数时，无论翻动多少次，都不能使杯口朝下 题l 的证明：将展室进行黑白相问染色：从入口的第一问开始染 上白色，与之相邻的展室染上黑色，与黑色相邻的展室又染上白色， 依此下去，直至所有的展室都染上颜色。共有1 2 问涂上黑色，另1 4 间涂上白色。我们很容易注意到，每一条路线都是经历由白( 入口) 一黑一白黑一白一黑一白一黑一白( 出口) 这样的路径。因此经 过的白展室的个数= 黑展室的个数+ l ，与题设矛盾。 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 题2 的证明：采取赋值法。记“杯口朝上”为1 ，“杯口朝下” 为一1 ，设经过k 次翻动后，代表茶杯情况的m 个数字的乘积为f k ， 开始时茶杯全朝上，故f 0 l ，茶杯经过k 次翻动后，再作第k + l 。次 翻动时，改变了n 个数的符号，故 f k + - = ( 一1 ) “f k ， 由于n 是偶数，所以f k + 。=f k ， 由此可见，对所有的k ，f k = 1 但是杯口全朝下时，代表茶杯情况的 m 个数字的乘积是( 一1 ) “= 一l ，这说明了无论经过多少次翻动，都 不能使杯口全朝下。 仔细分析比较题1 和题2 ，可以发现，两题之间存在多组相互对 应的量。问题条件的对应：展室与茶杯，每问展室都相通与每只茶杯 翻过还可再翻；问题操作方式的对应，一次走遍所有展室与一次翻转 所有茶杯：问题待证结论的对应：本质上都是奇偶问题。表面内容的 对应引发解题方法的对应：染色对应赋值以及一些抽象原则的共同运 用。所以，在完成题l 的证明后，通过与题1 的比较，题2 的证明 能得到很大的启发。同时，也显示了数学问题在深层结构j 二的模式化 特征。 例4 从交点到有名的“柳卡问题”的迁移： 某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的 同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中所花的时间来去 都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上问今天中午从哈佛 开往纽约的轮船，在航行过程中将会遇到几艘同一公司的轮船从对面 开来? ( 包括在两港口相遇) 建立时间( t ) 一路程( s ) 坐标系如下： j 。 a 勰| | ， t 图2 2 夹在上下两平行线之间的线段长度相等，表示每只轮船航行的路 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 程为定值a b 都为两港口之间的航线距离。线段0 a 与所有平行线 的交点个数( 包括两个端点) ，就是在航行过程中碰到的同一公司从 对面开来的轮船只数。 该问题的解决方法，将线段相交问题迁移至船只相遇问题，使问 题得以转化成学习者熟悉的内容，且很容易推广到“航行时间若为n 昼夜，其他条件不变”的情形( 碰到船只数为n + l 十n = 2 n + 1 ) ；著 名的“握手游戏”以及由它而派生的问题与“柳卡问题”也有异曲同 工之妙，视两人握一次手为两点有一条连线，每两个人相互握一次， 且只能握一次，则n 个人握手的总次数就相当于n 个点每两点之间有 且只有一条连线的总连线数( n ( n 1 ) 2 ) ，将学习者熟悉的点线相连 知识迁移至现实生活的数学问题。 “柳卡问题”和“握手游戏”中数字的推广，使得两个问题都由具 体上升到了一般的普遍规律，深刻体现了数学问题的一般化和高度抽 象化的特征。而正是由于数学的抽象性，在数学问题解决中，总是存 在千丝万缕的联系，在数学问题领域建构统一的辩证关系。 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 2 2 ，2 数学问题解决迁移的机制 在数学问题解决迁移的研究中，数学问题解决迁移的机制是一个 基本的问题，但是这方面的研究目前还没有统一的结论。在类比研究 和认知技能迁移机制的研究中，对问题解决迁移机制的探讨有所体 现，这也正是我们能够不断深入认识数学问题解决迁移机制的契点。 由于不少研究者认为问题之间进行类比是无处不在的，不同领域间有 不同领域问的类比迁移，相同或非常接近的概念领域有相同领域问的 类比迁移。“类比迁移是解决所有新问题的一个主要方法；更有甚者， 认为它是解决新问题的唯一方法。虽然这一极端观点受到人们的质 疑，但是它足以说明类比迁移在问题解决中的重要地位。”关于类比 迁移的机制一般认为有三种理论：结构映射理论( s t r u c t u r e m a p p i n g t h e o r y ) 、实用图式理论( p r a g m a t i cs c h e m at h e o r y ) 和示例理论 ( e x e m p l a rt h e o r y ) 。类比迁移是数学问题解决迁移中的重要内容， 所以类比迁移的机制的三种理论也体现了对问题解决迁移机制的探 索与研究。 ( 1 ) 结构映射理论 在类比迁移研究综述一文中，作者指出金特纳等人的观点是： 类比迁移是一个结构映射的过程，源问题( 先前题) 各因素之间的关 系，即结构，被提取并应用于解决靶问题( 后继题) 。在解决问题中 结构类比是主要的步骤。源问题与靶问题的内容，包括语义领域和问 题中的事物，则是相对次要的。问题的内容在源问题的提取阶段起作 用，但是在选择源问题和应用于靶问题的解决阶段，问题的结构起着 主要作用。源问题和靶问题之问的匹配或映射可以发生在多种水平 上。如事物之间、属性之问、初级关系和复杂关系。然而，只有由复 杂关系所构成的关系系统被选择和运用到解决靶问题的过程中，而由 于低级关系往往各自孤立的存在以及事物的属性，则对问题的解决无 关，不参与映射过程，也不会迁移到靶问题中去。 这一理论可以很好的解释相似的源问题( 先前题) 和靶问题( 后 继题) 之间的迁移：从问题之间的结构信息出发，是同领域内的迁移。 但是对不同领域内且表面内容相差太大的问题，结构映射就不能发 生，要对源问题的解决模型做出相应的调整以便适应靶问题的特征， 曲衍立，张梅玲，类比迁移研究综述 j 】，心理学动态，2o o o ( 2 ) 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 所以迁移不是自然匹配的结果。 在作者所提及的隐蔽型结构共性数学解题迁移中，指的是具有隐 蔽的结构共性的数学问题解决迁移。所以，可以应用结构映射理论来 对这一迁移过程进行解释。不过，在这一过程中，结构映射要跳过隐 蔽的结构共性这一“挡门板”。 ( 2 ) 实用图式理论 该理论是由h o l y o a k 和他的同事们提出并发展的，是贾德概括说 的现代版本。该理论的主要观点是：实用图式在类比迁移的选择和映 射阶段起着重要的作用。实用图式是指对问题因果关系，即有助于问 题目标完成的关系的抽象概括。对源问题因果关系和靶问题因果关系 的相似性的再认，引导着相关源问题的提取和选择，以及在靶问题的 解决过程中加以应用。 该理论区别了基于图式上的问题解决和基于问题基础上的问题 解决。前者是指将一个抽象原则应用到一个问题的解决中去，后者是 指将一个具体的问题应用到同等水平的另一个问题中去，即是由题到 题。而基于图式基础上的问题解决则是由抽象原则到问题。相比之下， 由题到题具有更大的局限性。实用图式理论认为，一个完整图式的发 展和形成是源问题成功地类比迁移到靶问题的关键，是源问题类比迁 移到靶问题的桥梁和纽带。但是图式归纳不是自动形成的，是通过两 个或多个类比问题的映射和比较，或者在教师的指导下对问题的因果 关系进行编码才能形成一个图式。 图式归纳理论认为在同一领域内的类比迁移中，表面特征对提取 相关的源问题起着重要的作用；而在不同领域的类比迁移中，由于源 问题和靶问题之间很少或者几乎没有相似的表面特征，所以实用图式 对提取相关的源问题起到重要的作用。 在隐蔽型结构共性问题中，先前题( 源问题) 和后继题( 靶问题) 之间，表面特征具有形式上的相似，而各自问题内部的因果关系在抽 象原则上具有一定的统一性。但是在运用图式进行类比映射之前，要 对后继题进行加工，完成后继题与先前题的问题因果关系的衔接与进 一步统一。 ( 3 ) 示例理论 示例理论主要是由r o s s 提出的。该理论的主要观点是：与抽象 原则相比，学过的例子在类比迁移中起着决定性的重要作用，并引导 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 抽象原则解决靶问题。抽象的原则只有在具体的例子里才能被理解和 运用，以前学过的例子，只是非常低水平的信息，被储存并被用于新 问题的解决。大部分示例理论的研究者认为图式归纳还示是存在的， 只是要从具体的例子中归纳推理出来。但是，总之，问题的内容在类 比迁移的各个阶段起着非常重要的作用。 用示例理论来解释数学问题解决迁移的过程和机制，强调已解决 的数学问题的例子，在数学问题解决迁移中的重要作用。无可否认， 数学是一门具有高度抽象性的学科，定理、公式等抽象原则是在抽象 基础上的再抽象，所以应用数学抽象原则的难度就更大。因此，数学 例子可以给学习者一个可供参考的解题模式，将例子作为源问题，通 过寻找靶问题和源问题之间共同的抽象原则去解决靶问题。在隐蔽型 结构共性数学解题迁移中，数学示例也有着很重要的作用。它是学习 者产生加工意识和选择加工方法，施行解题策略的直接启示来源。 2 2 3 数学问题解决迁移的影响因素 ( 1 ) 迁移的影响因素 在迁移影响因素的已有研究中，大体上有如下几个方面：客观因 素和主观因素。客观因素是学习者自身之外的因素，如刺激与反应的 相似性，学习时问，先前的学习内容与后继学习内容之间的难度相差 程度( 学习材料难度差异) ；知识、技能、原理规则等的运用透明程 度，是否存在不明显因素妨碍知识、技能、原理规则等的联系顺畅状 态；还有先前学习情境和后继学习情境的相同成分多少、相似结构如 何( 学习材料相似性) 、外界提示帮助等；学习环境，迁移的媒体对 学习迁移也有一定的影响。主观因素是学习者自身的因素。有智力因 素，直接影响到对知识的理解和技能的掌握：有非智力因素，指学习 者的情绪情感，学习毅力、态度、观念、目的、定势，年龄、性别等。 以b e r e i t e r 、l a n g e 产。等为代表，认为迁移受个体的个性倾向性的 影响很大，除意志坚定性、持久性等之外，还有对新情境的主动探索 的精神、自信心、努力表现出最佳学习成效的动机等。还有认知结构 征，认知技能，元认知技能。这些因素对学习的迁移都有不同程度上 b e r e i t e r ，c ( 19 9 5 ) ad is p o s i t i 。n a lv ie wo ftr a n s f e r ，ina m c k e o u 曲，j l u d ar t am ar i n l ( e d s ) t e a c h i n gf o rtr a nsr e r ：f o s ter i n gg c n e r a l iz a t i o nin l e a n i n g n j ： l a w r e n c ee r l b a u ma ss o c i a t es 。 p u b lis h e r s l a n g e r ，e ( ：9 93 ) am i n d f u le d u c a t l o n ，e d u c a t i o n a lp s y c l l o l o g is t ，28 ( 】) ，4 卜6 o 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 的积极或消极的影响。 迁移的影响因素表如下： 学习i- 表2 一l 影响迁移的客观因素： 刺激与反映的相似性 学习时间 学习材料相似性 学习情境相似性 学习环境 外界提示与指导 影响迁移的主观因素： 智力因素 非智力因素： 情绪情感、毅力、态度、观念、动机、 目的、定势，年龄、性别 其他：认知结构特征 认知技能 元认知技能 学习i i ( 2 ) 问题解决迁移的影响因素 问题解决迁移是迁移的一个子内容，所以，影响迁移的因素对问 题解决迁移也有不同程度的影响。此外，问题解决迁移是问题领域内 的迁移，问题是我们研究的载体，因此，对问题解决迁移影响因素的 探讨必然会和问题统一起来。并且随着心理学的发展，人们对问题解 决迁移影响因素的研究不仅仅局限在如概括、学习材料的相似性等方 面，而是有了更深入的探索。问题解决迁移的影响因素成为认知心理 学近年来研究的新热点。总体上看，主要集中在如下几方面： 问题之间的相似性 问题之间的相似性能促进迁移。两个问题之间的相似包括以下三 个方面：抽象原则( a b s t r a c tp r i n c i p l e s ) 、问题内容( p r o b l e m c o n t e n t ) 和实验环境( e x p e r i m e n tc o n t e n t ) 。问题内容主要包括语义 曲衍立，张梅玲，类比迁移研究综述【j 】，心理学动态，2 0 0 0 ( 2 ) 莫雷，刘丽虹，样例表面内容对问题解决类比迁移过程的影响 j 】，心理学动态，l 9 9 9 ( 3 ) 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 领域和表面元素两个方面的内容。抽象原则在正规问题中指公式，在 无法定义的问题中，常常被称为图式或深层结构。实验环境包括实验 过程中的背景、实验者和实验程序等。实际上，前面介绍的类比迁移 机制的三种理论：结构映射理论、实用图式理论、示例理论，也是从 不同角度用问题之间的相似来解释类比迁移的机制。也就是说，类比 迁移机制的三种理论是建立在问题之间具有相似性的基础上的。结构 映射理论区分了问题的结构( 各问题因素关系) 和内容，认为类比迁 移是结构映射过程，即是提取源问题的结构用于解决靶问题，显然这 是以结构相似为前提的，突出了结构相似对类比迁移的重要决定作 用。实用图式理论强调将源问题的抽象原则( 对问题关系的概括) 应 用到靶问题的解决中去，这种关系的相似是问题内部深层结构的相 似。示例理论认为与抽象原则相比，先前学过的例子在类比迁移中起 决定性作用，问题的内容在类比迁移的各个阶段起着重要作用。 问题的相似离不开问题表面内容的相似。有关问题表面内容的相 似性对问题解决迁移的影响这方面的研究指出，g e n t n e r 的结构映 射的类比，是一种内在的类比，它可能比较符合熟练的学习者的类比 的特点，而对于初学者来说，其利用样例来解决问题的类比过程，主 要是一种依据新问题与先前所学的样例的表面内容来进行的表层类 比。这种类比过程存在很大的不足。实验表明，在新问题的内在原理 与样例相同的情况下，两者表面内容( 表面概貌) 相似有利于被试对 公式的正确选择和应用，即有助于迁移的发生。而当新问题的内在原 理与样例不同时，初学者因为经验不足，缺乏正确判断能力，往往仍 然“死套公式”，由此产生了负迁移。 问题共性意识 问题之间存在相似性是类比迁移可能发生的前提。而对问题共性 是否具备意识，则是决定学习者能否进行类比迁移的关键一环。在问 题解决迁移中，源问题( 先前题) 和靶问题( 后继题) 之问的共同成 分，分为结构成分和表面成分。根据人们认识事物的规律，学习者往 往容易首先注意到问题的表面共同成分。通过更深层的比较，再分析 出问题的结构共同成分或者分析失败，看不出问题的结构共同成分。 正由于问题结构共同成分的“隐蔽性”或者说是问题表面共同成分的 相对“公开性”，问题共性意识水平对问题解决迁移是否发生影响对 具体问题领域还存在依赖性。在不同领域之间，问题共性意识水平影 隐蔽型结构共性数学问题解决迁移研究 响问题解决迁移；而在某特定领域，比如在数学问题解决领域，问 题共性意识水平对解题作用的研究结论还存在异议。wr e e d ， d e m p s t i r 和e t t i n g e r 用代数应用题做实验发现，尽管给被试提供了 解题经验，并告诉他们先前解过的题对后来的解题有帮助，但还是没 有发生迁移。s w e l l e r 和c o o p e r 用代数问题做实验发现，尽管强化 先前问题的学习对于解决后来一系列非常类似的问题有迁移作用，但 在解决要求用同样的数学规则而表面特征却不相似的问题时，没有发 生迁移。这说明，对先后问题之问的关系缺乏意识影响了迁移的发生。 但是，后来c o o p e r 和s w e l l e r 再次对代数问题的迁移进行研究，却 得出与他们先前不一致的结论，认为在代数解题方面，关于个别问题 之问共性关系的意识，不是影响迁移产生的重要因素，即使解题者意 识到问题之间的类似性，在很多情境中，获得迁移也只是有限的。有 文章对这一问题进行梳理，认为先前研究者忽视了测试材料的难易 程度，从而导致这些不同的结论。在另一文。中，作者就不同认知风 格学生的问题共性意识水平对解题迁移的影响进行实验也得出结论， 初中生的平面几何成绩与认知风格有显著的正相关，在平面几何解题 过程中，当迁移题与源题之间具有结构共同性，且表面相似和条件隐 蔽性为中等程度时，解题者对先后问题之间共性关系的意识水平对解 题迁移有显著影响。从这可以看出，在问题解决迁移中，问题共性意 识和问题本身难易程度相互作用，共同影响问题解决迁移。 样例与样例设计 在问题解决迁移中，尤其是在类比迁移中，例子有着重要的作用。 示例理论就是强调学过的例子在类比迁移中起着决定性的作用。样例 学习是指从具有详细解答步骤的事例中归纳出隐含的抽象知识来解 决问题。有研究螂表明，学习样例的详细解答步骤，归纳出隐含的抽 象知识，可以减轻学习负担，促使后继类似