（概率论与数理统计专业论文）单指标模型中转变点的统计推断.pdf

中国科学技术大学硬士学位论文 摘要 摘要 单指标模型是只有一个未知参数向量且联系函数未知的回归模型，常见的1 0 9 i 8 t i c 模 型、l o g - l i n e a r 模型、p r o b i t 模型等重要的统计模型是单指标模型特殊的参数形式单指标 模型在工业、医学、经济和社会数据的统计分析中有广泛的应用由于在单指标模型中 不假设联系函数的具体形式，它放松了参数模型中条件的限制，同时，与非参数模型相 比它又保持了线性模型的优点，用之于统计建模可起到降维的显著功效关于它的参数 估计和统计推断在近些年来越来越受到关注 转变点模型一直是统计学中很热门的一个研究方向人们对它的关注起源于工业自动 控制随着社会的发展。在经济、金融、计算机等方面，转变点模型有着越来越多的应 用所以，从上个世纪五六十年代开始，有许多统计学者对它进行了深入的研究。 本文首先研究在至多存在一个转交点的单指标模型中，是否存在转变点的假设检验问 题基于观测值t z t = ( x t ，m ) t = 1 ，n ，我们构造了一个样本轨道属于( d 【o ，1 】) a 的 随机过程q 。( ) ，在此基础上构造了有关的检验统计量：砖”和碟并证明了该过程在 原假设之下依分布收敛到一个多维的b r o w n 桥过程在给定检验水平n ( 0 o 1 ) 之下， 设检验统计量砰) 的箍界值为c ，则该假设检验接受域为 2 掣 c ，如果临界值c 能够确 定，那么接受域为 2 妒 咤时否定原假设容易证明，我们这种检验方法的一个优 点在于给定检验水平。时，接受域为 靠砷 嚷) 的检验和接受域为 砖刁 c ) 的检验具有 相同的渐近水平q ，以及在对立假设下具有相同的渐近效函数进一步，我们还考虑了仅 有一个转变点的单指标模型中转变点估计问题，用p o w e u ，s t o c k 和s t o k e r ( 1 9 8 9 ) 提出的密 度加权平均导数估计( a d e ) 方法，我们构造了该转变点的一种估计方法，并建立了该估 计量的相合性。模拟结果表明硝即的条件分布可以很好的逼近硝”在原假设下的分布，同 时也表明转变点的估计值与真实值很接近 最后，我们受b 8 i ，k r i s h n a i a h 和z h a o ( 1 9 9 1 ) 一文中“e d c 准则的启发，将其准则中 的l o g 似然函数进行推广，提出了基于咖散度度量的l o g i s t i c 回归模型中的变量选择( 即子集 选择) 盼方法，从待选的子集中选出使准刚函数为最小者，作为真子集的一个估计对给 第1 页 苹指标模型中转变点的统计推断铺要 定的待选模型，其准则函数的形式为：i “8 0 ，p ) ) + z c 。其中上k ，p ( 口) ) 是概 率向量多和p ( p ) 之问的争散度度量，j 是该模型中待估的参数个数，c k 依赖于样本量， 并且当一o 。时，c , , n 一0 ，c k l o g l o g n o o 。在很弱的条件下，我们证明了这种 方法是强相合的。 全文共分五章。第1 章是引言，简要介绍了单指标模型中回归系数的几种估计方法、 检验方面的有关的重要文献，转变点的有关大样本理论以及我们在这方面所取得的主要成 果。第2 章介绍的是至多一个转变点的单指标模型中，转变点存在性的检验方法。第3 章 用密度加权平均导数估计( a d e ) 方法得到单指标模型中转变点的一个相合估计。第璋是 我们提出的检验和估计转变点方法的模拟计算结果。第5 章是我们的第二部分工作，我们 提出了基于争散度度量的l o g i s t i c 回归模型中的变量选择方法，并建立了它的强相舍性。 关键词：u 。统计量，置换检验、b r o w n 榻f 、密度加权平均导数估计，变量选择 第1 i 页 中国科学技术大学硕士学位论文荚文摘要 a b s t r a c t s i n g l ei n d e xm o d e li sak i n do fr e g r e s s i o nm o d e lw h c s e i n kf u n c t i o ni sn o tp r e a s s i g n e d a n di t sp a r a m e t r i cv e c t o ri sa l s ou n k n o w n w j l l - k n o w nl o g i s t i cr e g r e s s i o nm o d e la n dp r o b i t m o d e la r ep a r a m e t r i ce x a m p l e so f s i n g l ei n d e xm o d e l s i n g l ei n d e xm o d e lh a sb e e na p p l i e dt o m a n yf i e l d ss u c h 嬲i n d u s t r y , m e d i c i n e e c o n o m ya n ds o c i a ls c i e n c e s b e ，c a l m el i n kf l m c t i o n i sn o ta s s u m e di ns i n g l ei n d e xm o d d ，i tr e l a x e st h ei i m i t a t i o nw h i c hi st h ef o u n d a t i o n a l c o n d i t i o ni np a r a m e t r i cm o d e l m o r e o v e r ，c o m p a r e dw i t hn o n p a r a m e t r i cm o d e l ，s i n g l e i n d e xo n ek e e p st h ea d v a n t a g eo fu n e a rm o d e l m o r ea n dm o r ea t t e n t i o nh a sb e e np a y e dt o i t sp a r a m e t r i ce s t i m a t i o na n ds t a t i s t i c a li n f e r e n c e c h a n g e - p o i n ti sa l w a y sap o p u l a rt o p i c i ns t a t i s t i c s a t t e n t i o no ni tw a st r a c e a b l e t o m d u 8 t r ya u t o m a t i o n a sd e v e l o p m e n to fs o c i e t y ，c h a n g e - p o i n ti sa p p l i e dt oe c o n o m i c ， f i n a n c e c o m p u t e rs c i e n c e a sar e s u l t m a n ys t a t i s t i e i a n ss t u d yi t sc h a r a c t e r i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , w ew i l ld or e s e a r c ho nc h a n g e - p o i n tt e s t i n gi ns i n g l ei n d e xm o d e l w i t ha tm o s to n ec h a n g e - p o i n t ，b a s e do nt h eo b s e r v a t i o nt z 5 ( 瑶，k ) r ，i = 1 ，n ) ， w ec o n s t r u c tar a n d o mp r o c e s sq n ( - ) ，w h o s es a m p l ep a t hi sb e l o n gt o ( dr 0 ，1 1 ) 4 ，t h e n h y p o t h e s i st e s ts t a t i s t i c s 了带a n d 了a r eb u i l to nt h er a n d o mp r o c e s s f u r t h e r m o r e ，w e p r o v et h a tt h el i m i t e dr a n d o mp r o c e s so fq n ( ) u n d e rt h en u l li sm u l t i d i m e n s i o n a lb r o w n b r i d g e s s i n c et h el i m i t e dd m t r i b u t i o no ft h eh y p o t h e s i st e s ts t a t i s t i c sb ”i sh a r dt ob e c a l c u l a t e d ，t h ec r i t e r i o nv a l u eei sd i f f i c u l tt ob ec o m p u t e du n d e rg i v e ns i g n i f i c a n tl e v e r o l ( 0 o l 1 ) i n s p i r e db yh o r v 矗t ha n dh u k o v a ( 2 0 0 5 ) w h ou s e dp e r m u t a t c d “u - s t a t i s t i c t ot e s tc h a n g e - p o i n to fd i s t r i b u t i o n w ea p p l yr a n d o mp e r m u t a t i o nm e t h o dt oc o n s t r u c t q ：( ) ，w h i c hi st h ep e r m u t a t i o nv e r s i o no fq 。( r ) g i v e n z l ，z 。 ，t h ec o n d i t i o n a ld i s - t r i b u t i o no fq ：( ) i sa p p r o x i m a t e dt ot h a to f 乞k ( ) u n d e rt h en u l l ，n om a t t e rn u l lh y p o t h e s i s i st r u eo rn o t 。t h e r e f o r e ，t h eh y p o t h e s i st e s ts t a t i s t i c s 了訾pb a s e do nq ：( ) h a st h es a m e l i m i t e dc o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o na st h a to f 磷。n om a t t e rn u l lh y p o t h e s i si st r u eo r 屯i t i sa l s oe a s yt op r o v et h a to n ea d v a n t a g eo fo u rh y p o t h e s i st e s tm e t h o di st h a tg i v e nt h e s a m en o m i n a lv a l u e 口，t h eh y p o t h e s i st e s tw i t ha c c e p t a n c ef i e l d 7 訾 c n ) h a st h es r n l e a s y m p t o t i cs i g n i f i c a n tl e v e loa n da s y m p t o t i cp o w e rf u n c t i o nu n d e rt h ea l t e r n a t i v ea st h a t o fh y p o t h e s i st e s tw h o s ea c c e p t a n c ef i e l di sf 礤 嚷，w er e j e c tn u l lh y p o t h e s i s s e c o n d l y , w e e o n s t r u c tt h ec o n s i s t e n te s t i m a t i o no ft h ec h a n g e - p o i n t ，t h r o u g ht h ed e n s i t y - w e i g h t e da v e r - a g ed e r i v a t i v ee s t i m a t i o n ( a d e ) m e t h o d ，w h i c hi sr a i s e db yp o w e l l ，s t o c ka n ds t o k e r ( 1 9 8 9 ) s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o no f ? 警”i sw e l la p p r o x i m a t e dt o t h a to f 硝u n d e rt h en u l l ，a n de s t i m a t i o no fc h a n g e - p o i n ti sm u c hc l o s e rt ot h et r u ev a l u e f i n a l l y , e n l i g h t e n e db y “e d c ”c r i t e r i o ni nb a l 。k r i s h n a i a ha n dz h a o ( 1 9 9 1 ) ，w ee x t e n d l o gl i k e l i h o o df u n c t i o n ，a n dp r o p o s ev a r i a b l es e l e c t i o n ，s u b s e ts e l e c t i o n ，c r i t e r i o nb a s e do n 4 - d i v e r g e n c e sm e a s u r e si nl o g i s t i cr e g r e s s i o nm o d a l ，t h i sk i n do fc r i t e r i o ni s a i m e dt o s e l e c tt h es u b s e tf r o mc a n d i d a t eo n e st om i n i m i z et h ec r i t e r i o nf u n c t i o n t h e nt h es e l e c t e d 8 u b 8 e ti so n eo fe s t i m a t i o no ft h et r u es u b s e t t h e r e f o r e t h ec r i t e r i o nh a st h ef o r mo f ni n f 口d e ，p ( p ) ) + jxc k ，w h e r ed ，p ( p ) ) i st h e 毋- d i v e r g e n c em e a s u r eb e t w e e nt h e 第1 i i 页 兰塑笙苎型! 芝茎皇箜垫兰丝堕 茎奎苎茎 p r o b a b i l i t yv e c t o r s a n dp ( 口) ，ji st h en u m b e ro fp a r a m e t e r sn e e d e dt ob ee s t i m a t e di nt h e m o d e la n dc ni sat e r md e p e n d i n go nt h es a m p l es i z ena n ds a t i s f y i n ge k | n _ 0a n d c n l o gl o gn _ o 。a 8n _ o o u n d e r s o m em i l dc o n d i t i o n s t h i se l s s so fc r i t e n ai ss h o w n t ob es t r o n g l yc o n s i s t e n t t h e r ea r ef i v ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c es o m ei m p o r t a n t l i t e r a t u r eo ns i n g l em o d e l sa n dc h a n g e - p o i n t ，a n di n t r o d u c es o m ee s t i m a t i n gm e t h o d so ft h e r e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s w ea l s os i m p l yi n t r o d u c eo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，t h eh y p o t h e s i st e s to fc h a n g ep o i n ti nt h ea tm o s to n ec h a n g e - p o i n ti n s i n g l ei n d e xm o d e l i nc h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c ta n dp r o v et h ec o n s i s t e n te s t i m a t i o no ft h ec h a n g e - p o i n t ， t h r o u g ht h ed e n s i t y - w e i g h t e da v e r a g ed e r i v a t i v ee s t i m a t i o n ( a d e ) m e t h o d i nc h a p t e r4 ，t h er e s u l to ft h es i m u l a t i o ns t u d ya b o u tt e s ta n de s t i m a t i o n i nc h a p t e r5 w ei n t r o d u c eo u rs e c o n dw o r k w jp r o p o s ev a r i a b l es e l e c t i o nf o rl o g i s t i c r e g r e s s i o nm o d e l sb a s e do n 妒- d i v e r g e n e e sm e a s u r e sa n dp r o v ei t ss t r o n gc o n s i s t e n ta tt h e s a l ：n et i m e k e y w o r d s ：u - s t a t i s t i c ，s i n g l ei n d e xm o d e f ，b r o w nb r i d g e s , d e n s i t y w e i g h t e da v e r a g e d e r i v a t i v ee s t i m a t i o n ，v a r i a b l es e l e c t i o n 第页 中国科学技术大学学位学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特另w j ) j n 以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版，允许论文被查阅或借阅；可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：望至叠 幻d 7 年岁月6 日 中国科学技术大学硕士学位论史 第1 章引言 第1 章引言 单指标模型是只有一个未知参数向量的半参数回归模型一般的单指标模型有如下 的形式，y = g ( x r p ) 4 - e ，y 是因变量，x 是解释变量，e 是不可观测随机变量，卢足未知 的q 维参数向量。口是未知的联系函数，x 印被称为指标。单指标模型足比广义线性模 型( g l m ) 更为灵活、适用的一类重要模型，在工业制造、医学、经济和社会数据的统计 分析中有着广泛的应用。 我们首先介绍一种因变量y 只取两个值的单指标模型。两值响应模型在经济学中的实 际应用，例如，选择贿买股票时，是选择a 股票还是b 股票分剐对应因变量y = 1 和y = 0 。两值响应模型考虑了在给定一系列解释变量的条件下y = 1 的条件概率，而在经济 学中的问题就是要考虑如何估计这个条件概率。最常用的模型是假设联系函数是已知 的p r o b i t 和l o g i s t i c 回归模型。即分别使用正态分布函数和l o g i s t i c 分布函数作为联系函数 的g l m ，使用的统计方法都足参数方法。它们的缺点是缺乏稳健性，一旦当假设的分 布形式和真实的联系函数相差太多的时候，所得的估计量很难相合。于足人们对这种方 法加以改进，弱化联系函数的假定，提出了半参数和非参数方法。而相比于非参数方 法。单指标模型在实际应用中有着更明显的优势。首先，非参数模型中的估计孝奇度会随 解释变量维数的增加而急剧降低，从而导致需要巨大样本量来露补。但在单指标模型 中，由于指标妒口能够以线性的形式综合x 的维数，能使卢的估计达到参数模型中一样的 收敛速度。其次，有关的统计推断的结果在单指标模型中易于解释。最后，单指标模 型中得到的e ( v l x = x ) 预测值都在指标妒口的支撑内，这也避免了非参数估计不易于外 推( e x t r a p o l a t i o n ) 的缺憾。 对单指标模型的研究从上个世纪8 0 年代就已开始。m a n s k i ( 1 9 8 8 ) 和i c h i m u r a ( 1 9 9 3 ) 分 别研究了一般单指标模型和两值响应模型中未知参数口和联系函数g ( ) 的可识别条件。很 明显，如果9 ( ) 是一个常数函数时，p 是不可识别的。而且，当解释变量x 的某些分量之 间线性相关时，p 也是不可识别的。在单指标模型中，a m e m i y a ( 1 9 8 5 ) 取 g a l l a n t ( 1 9 8 7 ) 曾 提出用半参数加权非线性最小二乘( w n l s ) 的方法估计尻还可利用常见的极大似然估 计方法，但是由于在计算中，基于这些方法的目标函数可能会是非凸的，需要求解非 线性数值优化问题，它们的计算十分困难。p o w e l l ，s t o c k 和s t o k e r ( 1 9 8 9 ) ，h 茜r d l e 和s t o k e r ( 1 9 8 9 ) 提出了很多解决方法，其中p o w e l l ，s t o c k 和s t o k e r ( 1 9 8 9 ) 提出用密度加权平均导数 估计( a d e ) 的方法就是其中一个，也是本文中估计转变点的基础之一。d u a n 和l i ( 1 9 9 1 ) 提出了切片逆回归( s l i c e di n v e r s er e g r e s s i o n ) 的方法，即使在联系函数g 未知时也可以估 第l 页 单指标模型中转变点的统计推断 计p 的方向。m a n s k i ( 1 9 8 5 ) 研究了一种特殊的单指标模型：两值响应模型，提出了极大化 计分函数方法来估计p 。且证明了估计是相合的。p o l l a r d ( 1 9 9 0 ) i 正明t m a n s l d ( 1 9 8 6 ) 所提 出的极大计分估计在一定的条件下依分布收敛到某个高斯过程的极大值点。这个估计仅 有0 ；( n - 1 3 ) 的收敛速度。为了改进收敛速度。h o d w i t z ( 1 9 9 2 ) 提出了黟的基于光滑计分函 数的极大计分估计，并建立了它的渐近正态性。 转交点闯题是统计推断的中心问题之一，所以是数理统计的一个热门课题。转交点模 型起源于质量控制，为了监测产品质量是否超过其质量控制的范围，人们从生产线上抽检 产品，因此当产品质量发生质变时能够及时报警。这个质量发生质变的时刻我们就称为 转变点，一般的转变点是“模型中某个或某些参数起突然变化的点”。转变点问题把统 计控制理论。估计和假设检验理论，非贝叶斯和贝叶斯方法，固定样本和连续抽样方法 结合起来。由观测值样本数据特性可分为随机过程和随机场中的转变点问题。对观测之 间的关系。有独立和相依情况下的转变点问题。由转变点处变化的形式主要分为突变和 渐变问题。由转变点的个数可考虑一个转变点和多个转变点的问题。从分布的两个主要 数字特征。均值和方差的变化，常考虑位置转变点和刻度( 参数) 转变点。对转变点的研究 主要围绕转变点的检验，估计，估计量的渐近分布和收敛速度，以及其它大样奉性质。 转变点问题不仅在质量控制中有大量的应用，在经济、金融、医学、计算机等方面都有 大量的应用背景。心电图中的心律检测，计算机中的模式识剐、图像识别，金融风暴等 突发事件都足转变点问题的体现。因此用现代统计方法对转变点模型进行研究有着非常 重要的实际意义 转变点问题的统计研究应该追溯j ! l j p a g e ( 1 9 5 4 ) 年在b i o m e t r i k a 上发表的一篇关于连 续抽样检验的文章近些年来，统计学家们对它的研究一直很多。例如，对于线性模 型中的转变点问题q u a n d t ( 1 9 5 8 ) 和r o b i s o n ( 1 9 6 8 ) 等对线性模型中的转变点推断问题采甩 的方法主要足最小二乘和极大似然法。c h e n ( 1 9 8 8 ) 和m i a o ( 1 9 8 8 ) 分别研究了位置参数和 线性回归模型中有关斜率的转变点的假设检验和区间估计问题，缪( 1 9 9 3 ) 利用w i l c o x o n 两样本检验统计量对只有一个转变点的模型进行推断，他们所提出的检验统计量的 渐近分布均为第一型极值分布。对于分布转变点问题，在至多一个分布转变点的模型 中，d a r k h o b s k y ( 1 9 7 6 ) 考虑了独立连续分布的随机序列的转变点的检验，提出用了m a n n - w h i t n e y 统计量# 当两个分布中有一个已知时，h a w k i n s ( 1 9 8 8 ) 提出用k o l m o g o r o v - s m i r n o v 型统计量来检验转变点是否存在：w a n g ，j l 和b h a t t i ，m i ( 1 9 9 8 ) 讨论了正态 分布方差只有一个转变点的检验问题，分别构造了三个检验统计量：基于u 统计量的l 广 检验，基于b a y e s 方法的b 检验和由极大似然比方法导出的r _ 检验。并对三种方法进行了 比较。对于特殊的单指标模型一两值响应模型中的转变点问题，z h a o ，k o u 和w u ( 2 0 0 6 ) 和y u a n ，z h a o 和w u ( 2 0 0 0 ) 分别用非光滑的和光滑的计分函数研究了两值响应模型中转变 点的估计问题，并证明估计统计量的相合性。 第2 页 主里茎兰茎查查兰翌圭兰竺至苎 苎：塞21 主 关于转变点方面的发展和研究状况的综述性文献和转变点问题专著 可以参看： 1 陈( 1 9 9 3 ) ，k r i s h n a i a h 和m i a o ( 1 9 8 8 ) ，c s 6 r 9 6 和h o 耐t h ( 1 9 8 8 ) 和b 蜊l l e 和n i k 洳r o v ( 1 9 9 3 ) 以及a 且t o c h ，h u k o v g 和j a r l l 莒k o v a ( 1 9 9 9 ) 。通过研读了转变点的相关 文献，我们发现对于转变点问题主要足寻找合理的体现“突变”的估计量，具体到单指标 模型中的转变点的检验和点估计，研究还很少。 1 1 单指标模型中转变点的估计 本文主要工作之一，是基于p o w e ，s t o c k 和s t o k e r ( 1 9 8 9 ) 提出的密度加权平均导数估 计( a d e ) 的方法来研究如何估计单指标模型的转变点。且在一定条件下证明其相合 性。 假设z = ( 掣，y 尸= ( x t ，x 口，y ) t 是一个轴+ 1 ) 维的随机向量。我们考虑如下的单 指标模型： e ( y l x = x ) ：= g ( x ) = g ( ，p ) ，( 1 - 1 ) 其s g ( ) 是单变量的未知函数，p 是q 维的未知参数，x 服从密度函数为，( ) 的分 布。p o w e u ，s t o c k 和s t o k e r ( 1 9 8 9 ) 提出了密度加权平均导数估计( a d e ) ，它的出发点是 基于以下重要事实： e ( f ( x ) v o ( x ) ) = 刀( 胆，掣b ) 肛咖以 m 。， 其中粥( v ) = ( 掣，笔铲) r 。没有限制9 ( ) 和，( ) 的函数形式。可见对伊的估计毒价 于估计p 。进一步，在适当的条件下 = 一2 e ( y v f ( x ) ) ， ( 1 - 3 ) 在此基础上，p o w e l l ，s t o c kg l s t o k e r ( 1 9 8 9 ) 提出了矿的核估计2 。伊= 晶。晷。( 圹v k ( 学) m 阻4 ， 其e e ( x t ，k ) 丁，i = 1 ，- ，n 为z = ( x 丁，y ) r 的t i d 观测值，髟( ) 是核函数，窗宽 ： h 。是一个光滑参数。 本文中我们考虑的是如下至多只有一个转变点的单指标模型： g ，= ； 萎熬| | | 撬，霎。譬唑 c ，嘲 第3 页 单指标模型中转变点的统计推断 1 ，2 ，单指标模型中转交点的检验 再甲z l ；( x l ，m ) 1 ，z n = ( k ，k ) 1 为相互独立的观测值，x l ，x i i d ， e w , i x , ) = g ( x ) ，i = 1 ，礼，t o ( 0 ，1 ) 是转变点参数，风和岛是未知的q 维向 量，9 ( ) 是未知的函数，风岛。此外。为了保证可识别性，假定l i 厨i i = 1 l 陡0 = 1 。 在推断转变点时，需要定义 删一( 旷曼。邮黝 鲺 酬= 一( n y - 1 抖三f c 铡l g k n , 其中 蛾z 扣( 元l ，j q + 1 v k ( 牮) ( k 吲 = m a x l c k c 。0 正。( 南) 一b 。( 七) 虬 k = 矗i i l 七：4 五。( 击) t 2 。( 七】= ，1 七 n 我们在单指标模型( 1 5 ) 中考虑转变点估计的问题，所加的条件具体参见本文第2 章 第3 节的条件a l 。a 6 ，于是我们得到了这样的结论： 定理1 1 假设在模型( 1 5 ) 下，本文第绰第3 节的条件a p a 6 满足，g - 当n 一，n ，l 寸2 一 o o 和n 危挚一。成立时，则 ，k k ；2 n 是o 的一个相合估计 1 2 单指标模型中转变点的检验 在这里我们仅假设模型( 1 5 ) 中至多存在一个转变点，本文的另一个工作是检验这个转 变点是否存在。原假设和对立假设如下： i - o ：芦l = 绣 h a ：风侥( 1 - 6 ) 我们构造的检验统计量是基于下面的过程： 删= r 2 小一削“t i n 卜嘲当蠕， 器， 第4 页 中国科学技术大学硕士学位论文第i tg l 言 其中，伊的定义如( 1 4 ) ，且 n 产( z 。) = ：妻 f ( z ，) f ( z 。) t 卜每伊r = 击u ( z ，z i ) 1 ”l s 岛和“”一 下面我们将证明，在日0 之下这个过程依分布收敛到一个多维的b r o w n 桥过程。 令 e= r ( z 1 ) = 易见e 是r ( z 1 ) 的协方差矩阵。 e 【r ( z 1 ) r ( z 1 ) t 卜矿p j i ( x o v g ( x 1 ) 一( m a ( x t ) ) v f ( x 0 ( 1 7 ) ( 1 - 8 ) ( 1 - 9 ) ( 1 1 0 ) 定理1 2 在凰下，本文第2 章第3 节的条件a l a 6 满足，且当n o o ，n h q 。+ 2 一 o 。和n 挈一。成立时，则e 。是的一个相合估计。且 q 。( ) 2 b ( ，) ，i nd 9( 1 - 1 1 ) 其中d = d 0 ，l l ，b ( t ) ；( b l ( ) ，b q ( t ) ) r 且( b j ( ) ，0 t 1 ，j = 1 ，口是独立的( 标 准) b r o w n 桥- 我们基于定理1 2 ，来构造两种检验统计量，矗1 和砰) 。 设q 。( ) = 旧。1 ( t ) ，q 。( t ) ) r ，我们可用靠1 ) ：； i j ，瑙) = ( s u p o t 。l l q 。l ( 吼，s u p o 。t ( 1 l q 。( d 1 ) ) 作为检验统计量。则检验水平为a 的接受 域为 瑙c ，j = 1 ，计，其中c 可以通过 尸f 8 u pl b i ( f ) j c 2 ，i = l ，口) = ( 1 一a ) 1 q ， 0 l c ) = o t ，( 1 - 1 2 ) 如果世) c ，接受原假设，反之，拒绝原假设。但是由于检验统计量靠1 的接受域是 长方体形的，而砰的接受域是球体形的，那么在给定相同的检验水平下，了警比靠1 的 检验功效大。所以我们本文主要考虑检验统计量矗2 ) 。 如果临界值c 能够确定，那么接受域为 砰) c ) 的检验是非常有效的。但 是s u p o 。t 1l l2 b ( t ) 0 2 的分布难以计算，使得( 1 一1 2 ) 中检验临界值地很难确定。 第5 页 簟指标模型中转变点的统计推断 1 2 单指标模型中转麦点的检验 受h o r v 五t h 和h 砸h ( 2 0 0 5 ) 利用置换u - 统计量的方法来检验分布变点问题的启 发，我们利用随机置换的方法，构造t q 。( ) 的随机置换的副本q ：( ) 具体如 下：令r = ( r 1 ，飓，如) 是( 1 ，2 ，曲的一个随机置换，对于( 1 ，托) 的任一 置换( r i ，h ) ，p ( r ；p l ，您，) ) = l h i ，且r 与( ，n21 ) 独立类似 于z k ，2 k 和c 矗( t ) ，我们定义 熊r ) 2 一( 旷磊。u c z m , z 吗 脚， 础肛一( 一2 蠡) 量f z 舻曲 n 和 毗r ) = 扩m 叫烯班掣r ) _ r 2 删r ) ) 当寿辎， 舞 接下来，我们指出作为q 。( t ) 的一种置换副本，无论原假设成立与否，q ：( t ，r ) 在给 定 z 1 ，z 。 的条件下的条件分布与定理1 2 中q k ( ) 的分布有同样的渐近分布 定理1 3 假设在模型( 1 5 ) 下，本文第2 章第3 节的条件a i - a e 满足，且当他一 0 0 ，竹螺+ 2 - + o 。和n f 韶_ o 成立时，e l m l 4 o o ，t = l ，n 则不论原假设成立与 否，我们有： 瓴( - ) l z 。，z 2 b ( ) ，i nd 。 ( i - i 3 ) 其中b ( t ) = ( b 1 0 ) ，反( t ) ) t 走一列g 维的b r o w n 桥， 马( t ) ，0 t 1 ) ，j = 1 ，q 是独 立的( 标准) b r o w n 桥。! 那么，砰相应的置换副本是砰) ；s u p o 。；。0q ：( t ) 限定理1 3 说明当给 定z 1 ，z 2 ，时，无论凰是否成立，我们都有 驴f z l | z i l 0s u p02 b ( t ) n i nd 口 ( i - j 4 ) o t l 而定理1 2 说明在岛下 砰s u p82 b ( t ) 1 1 2 i nd 4 o ( t l 对转变点检验问题( 1 - 6 ) ，水平为q 的检验可以如下进行首先，给定 z 1 ，z 。 时， 我们对它独立进行次置换，第i 次置换后得到 z 轧l 一，z r 。由此计算所得的碟即记 为碟卜，找出 碟) ，i = 1 ，n - 的i q 样本分位数，记为如果砰) ，我们就 接受原假设，反之，拒绝原假设。然后由于不论原假设成立与否，( 1 1 4 ) 总成立容易证 明在给定检验水平a 时，接受域为 西2 ) 的检验和接受域为 砰 c ) 的检验具有相 同的渐近水平o ，以及在对立假设下具有相同渐近效函数。 第6 页 中国科学技术大学硕士学位论文 第2 章单指标模型中转交点的检验 2 1 引言 第2 章单指标模型中转变点的检验 转变点问题起源于质量控制，人们从生产线上抽检产品来监测产品质量是否超过其 质量控制的范围，因此当产品质量发生质变时能够及时报警。用统计的语言说也就是， 我们有一系列的样本，希望找到一个统计量，来检验足否在某个未知的时刻样本的分布 或数字特征起了突然的变化。于是对于转变点的检验问题。首先需要建立合适的统计模 型，然后在此模型前提下，构造检验统计量。本文是基于一种稳健的半参数模型：单指 标模型，来考虑转变点的推断问题。 单指标模型是比广义线性模型( o l m ) 更为灵活、适用的一类重要模型，在工业制造、 医学、经济和社会数据的统计分析中有着广泛的应用。这种模型足只有一个未知参数向 量的半参数回归模型，一般有如下的形式，y = g ( x r f 7 ) + e ，r 足因变量，x 足解释变量， e 是不可观测随机变量，卢足未知的口维参数向量。g 是未知的联系函数，r 口放称为指 标。在单指标模型中，给定x = x ，y 条件期望有如下形式： e ( y 1 x = x ) ：= g ( x ) = 9 ( x 7 p ) ，( 2 - 1 ) 其中g 是一未知函数。如果g 是恒等变换，则( 2 - 1 ) 是一个线性模型，如果g 足正态分布函 数或者l o g i s t i c 分布函数，则协1 ) 是一个我们非常熟悉的p r o b i t 回归模型或者l o g i s t i c 回归模 型。 本文中考虑的至多一个转变点的单指标模型为： g c x ，= ( 矮魅耋蕊，霎；戮( 2 - 2 ， 其中t o ( 0 ，1 ) 是转交点参数，卢l 和屁是未知的g 维向量。9 ( ) 是未知的函数，p i 岛。z i ，z 。是它们相应的观测值。此外t 为了保证可识别性，假设l l zl i = l l 岛l l = 1 a 在这里我们仅假设模型( 2 2 ) 中有至多一个转交点，我们要检验这个转变点是否存在， 原假设和对立假设如下； 凰：反= 阮 玩：p l 侥 第7 页 ( 2 3 ) 单指标模型中转变点的统计推断 22 检验统计量 2 2 检验统计量 对于模型( 2 2 ) ，如何构造检验这个转变点的检验统计量，首先我们考虑未知参 数口的估计方法。 2 2 1 定义 p o w e l l ，s t o c k 和s t o k e r ( 1 9 8 9 ) 提出密度加权平均导数估计( a d e ) 方法，它的出发点是 基于以下重要事实： e ( f ( x ) v g ( x ) ) = e ( 肛，掣l 妒，) 肛咿叩 协t ， 在此基础上，p o w e l l ，s t o c k 和s t o l 【e r ( 1 9 8 9 ) 提出了矿的核估计： 肛咖- _ 2 - 1 ) _ 2 。曩。( 元i ) q + l v k ( 学) m ( 2 - s ) 其中( ) 是核函数，窗宽 = 。足一个光滑参数。为了证明的方便，把伊进一步写成标 准的“u 统计量”形式： 伊一0 - 。是。( 圹v k ( 学) c m 吲， c 删 假设在到第七个观测值，样本的分布发生了转变，我们用前知个观测值和后n 一个观 测值分别估计废和废，方法类似