（物理海洋学专业论文）波浪联合折射、绕射与反射数值模拟.pdf

摘要 波浪是主要的海洋动力条件之一。外海波浪传入近岸浅水区受水深、地形、 底摩擦、障碍物以及水流等因素的影响，会发生变形、折射、绕射、反射和破碎 等各种现象，然而大部分海洋及海岸工程位于近岸地区，该地区的波浪要素将是 确定工程造价、建筑物型式等最基本的参数，因此研究近岸地区波浪的变化规律 具有重要意义。实践表明，在诸多方法中应用数学模型来模拟波浪在近岸地区的 传播变形是经济的、可行的。因此，本文提出了种实用性较强、适合工程广泛 应用、较为简便模拟联合折射、绕射和反射的数值模式。 本文基于综合考虑底摩阻、风能输入及菲线性影响的推广双曲型缓坡方程， 将其进行转换，产生个演变方程，其复振幅控制方程为抛物线性，并采用a d 差分格式、改进的c r a n k - n i c h o l s o n 格式及相应的物理和虚拟( 开) 边界条件进行 求解，以提高数值模拟的适用性、数值汁算的稳定性、收敛速度及精度。 针对多个典型地形按本文研制出的数学模式进行了波浪折射、绕射和反射的 验证计算，数学计算结果和理论解或实验值吻合程度良好，说明本文的模式能很 好地反映波浪的折射、绕射和反射现象。在此基础上，应用此模型计算了某港大 修工程中的波浪场，判断其是否满足泊稳条件，以及某人工岛周围的波浪场，表 明此模型在复杂地形上变化水域工程中具有应用可行性。 关键词波浪缓坡方程数值模型 a b s t r a c t w a v ei so n eo ft h ei m p o r t a n td y n a m i cf a c t o r si no c e a r l t h ee f f e c t so fw a v e s t r a n s f o r m a t i o n ，r e f r a c t i o n ，d i f f r a t i o n ，r e f l e c t i o na n db r e a k i n ga r ea l ld u et ot h ed e p t h o f w a t e r , v a r y i n gt o p o g r a p h y ，b o t t o mf r i c t i o n ，o b s t a c l e sa n dc u r r e n ta sw a v e sp r o c e e d f r o mo f f s h o r et on e a rs h o r er e g i o n s s o m eb a s i cp a r a m e t e r sw h i c ha r er e l e v a n tt ot h e c o s to f b u i l d i n g sa sw e l la st h et y p eo fs t r u c t u r e sa r ed e t e r m i n e db yt h ew a v ef a c t o r s s i n c et h e s ep r o j e c t sa r ep l a c e di nn e a rs h o r ea r e a ，s oi ti so f g r e a ti m p o r t a n c et os t u d y t h er e g u l a r i t yo fw a v et r a n s f o r m i n g e x p e r i e n c e ss h o wt h a ti ti sa ne f f e c t i v ea n d f e a s i b l ew a yt os i m i l a t et h ew a v et r a n s f o r m a t i o ni nm a t h e m a t i c a lw a y si nr e a lc o a s t a l e n g i n e e r i n g ap r a c t i c a ln u m e r i c a lm o d e lo fm i l d s l o p ee q u a t i o ni sd e v e l o p e dt o d e s c r i b et h ew a v er e f r a c t i o n ，d i f f r a c t i o na n dr e f l e c t i o n a ne x t e n d e dh y p e r b o l i cm i l d s l o p ee q u a t i o n ，w h i c hc a r tt a k es u c ht e r m sa sw i n d i n p u t ，b o t t o mf r i c t i o na n dn o n l i n e a r i t yo fw a v ei n t oa c c o u n t ，h e r eh a sb e e nd e d u c e d i n t oap a r a b o l i co n ei nt h ef o r mo fas e r i e so fg o v e m i n ge q u m i o n sd e s c r i b e dw i t h c o m p l e xa m p l i t u d e i t b e c a n l ea c o m p l e t e w a v em o d e lw h e n i n t e g r a t e d w i t h c o r r e s p o n d i n gp h y s i c a la n di m a g i n a r y ( o p e n ) b o u n d a r i e s ，a n dc a nb es o l v e dt h r o u g h t h ei m p r o v e dc r a n k n i c h o l s o no rt h ew e l lk n o w na l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t ( a d i ) d i f f e r e n c em e t h o d ，b o t ho f w h i c hc a na c c e l e r a t et h ec o n v e r g e n ts p e e d ，e x p a n d l i m i m t i o no f t h em a t h e m a t i c a lm e t h o da n di m p r o v et h eq u a l i t yo f t h es o l u t i o n s e v e r a lv e r i f i c a t i o n sa r ep e r f o r m e dt oe x a m i n et h ea c c u r a c yo ft h en u m e r i c a l m o d e lo ft h ee x t e n d e dm i l d s l o p ee q u a t i o na ts i m u l a t i n gw a v er e f r a c t i o n ，d i f f r a c t i o n a n dr e f l e c t i o no ns o m er e p r e s e n t a t i v et o p o g r a p h i e sa n dg o o da g r e e m e n th a sb e e n a c h i e v e d t h e ns u c has u c c e s s f f l lm o d e lb e i n ga b l et os i m u l a t et h ew a v ed y n a m i c s e f f i c i e n t l y h a sb e e na p p l i e dt oar e c o n s t r u c tp r o j e c to fah a r b o rt o e v a l u a t et h e a v a i l a b i l i t yo fs o m ec r i t i c a ld e s i g nd a t aa n d t oj u d g ew h e t h e rt h eb e t hc o n d i t i o ni s s a f ee n o u g h i na d d i t i o n ，s o m eo t h e rp r o j e c t si n c l u d i n ga a r t i f i c i a lp e n i n s u l ao n eh a v e a l s og e n e r a t e dg o o dr e s u l t sa n dv e r i f yt h ea p p l i c a b i l i t yo f t h e m o d e la tt h es a m et i m e k e y w o r d s ：w a v e m i l d s l o p ee q u a t i o n n u m e r i c a lm o d e l 第一章绪论 i i 问题的提出 第一章绪论 波浪是主要的海洋动力条件之一 重要荷载，对建筑物的安全构成威胁 它们一直是旌加在海岸及海洋建筑物上的 同时波浪还会与水流共同作用影响建筑物 周围的泥沙运动、污染物的扩散等环境的演变。随着航运事业的迅速发展和人类 对海洋资源的开发利用不断地深入，研究近岸地区波浪传播的变化规律具有较大 的现实意义和一定的学术意义。外海波浪传入近岸浅水地区时，受水深、地形、 底摩擦、障碍物( 如建筑物、岛屿、沙洲、岬角、岸壁) 、水流等因素的影响，会 发生变形、折射、绕射、反射和破碎等各种现象。 针对实际工程中的波浪传播问题，一般有理论分析、实验研究、现场观测以 及数值模型等解决方法。理论分析是基于流体力学的基本控制方程，对具体问题 做一些相应的简化和假定，求出其解析解，这种方法般只适用于比较简单的情 形，因此难于广泛用于解决实际问题；物理模型能较好地模拟波浪的折射、绕射 以及反射等现象，但由于受场地和比尺的限制，物理模型一般仅用于小范围的波 浪变形研究，而且实验费用昂贵；随着计算机软、硬件以及数学计算方法的迅猛 发展，数值模拟成为研究波浪日益重要的手段，和物理模型相比，数学模型经济、 快捷、不受计算范围和比尺效应的影响，这些优点都决定了波浪数学模型不断走 向深入并且成为解决大范围波浪传播变形的主要手段。天然水域中波浪具有三维 性、频散性、非线性与随机性等特性。按将三维问题转化为二维问题的不同途经， 目前用于近海波浪计算的主要模型基本上可以分为三类。 一、 基于b o u s s i n e s q 方程的计算模型，它属于弱频散性的非线性波动方程， 可以较好地体现波浪传播过程的非线性特点，适用于底坡非缓慢变化的浅水域， 近几年有些学者提高了频散解的精度在一定程度上拓展了该理论模式对水深适用 范围的限制，但是其处理方法使方程变得十分复杂，而且其拓展效果也是有限的， 另外，b o u s s i n e s q 方程不易推广于不规则波动，虽然它具有处理波- 波相互作用的 优点，但在处理波动能量在组成波之间的转移会因为组成波分解形式的不同而变 化，加上计算网格辨别能力的限制所带来的混淆误差，对于大范围、长距离传播 汪艳河海大学硕士学位论文 的波浪，应用b o u s s i n e s q 方程极易导致计算失真。 二、 能量平衡方程模型为主的控制方程，能量平衡方程对风摄入波动能量、 波波非线性相互作用、波流相互作用、波浪破碎能量损耗和底摩擦耗散等物理过 程的处理都比较合理，但不能反映由近岸海底地形和建筑物引起的波浪绕射和反 射效应，提高局部区域波浪计算的精度。 三、缓坡方程模型，缓坡方程是将线性有势波理论从三维问题转化为二维 问题的一种模式，使问题数学处理得以简化，具有完全频散特性( 从长波到短波) 和水深( 从浅水到深水) 的适用范围；综合了波浪的折射和绕射效应，解决了传 统折射模型无法处理的一些问题。由于方程本身依赖于势波理论，所以在处理风 摄入波动能量、底摩擦损耗、波浪破碎、波浪的非线性等物理过程方面存在一定 的理论缺陷。但缓坡方程可以通过一定改进和推广，使其克服上述不足，从而有 很大的工程实用价值，这也正是本文所要进行的工作。 1 2 缓坡方程简介 早期的波浪数学模型主要围绕折射和绕射这两种重要的波浪现象进行，并且 将折射和绕射分别加以研究，基本可以分为折射数模( 包括浅水变形) 和绕射模 型( 包括反射) 两大类。但在实际工程中经常遇到同时涉及折射和绕射的情形， 此时这两种数模皆不适用，因此需要建立综合考虑折射和绕射的波浪数模。 b e r k h o f f ( 1 9 7 2 ) 首先提出了缓变水深定常波传播的线形模型波浪缓坡方 程： v ( c o p v ) + 2 c c g o = 0 ( 卜1 ) 其非定常形式可写为( s m i t h 奄s p r i n k s , 1 9 7 5 ) o 。一v ( c c f v m ) + ( 2 一k 2 c f g ) o = 0 ( 1 2 ) 式中c ，c 。表示波速和波群速，中( x ，y ，t ) ，由( x ，y ，t ) 表示波势，k 为波数a 方程( 卜1 ) 、( 卜2 ) 成功地将折射数模和绕射数模统一起来，在忽略绕射作 用时可化为折射方程，在水深不变时可化为绕射方程，水深很浅时又与浅水长波 方程一致，因此此方程适用于任意水深条件下小振幅波浪的折射绕射联合计算。 缓坡方程的主要局限在于要求水底坡度较缓和边界波浪非线性。概括而言，缓坡 第一章绪论 方程具有以下几个特点： 1 ) 缓坡方程将线性有势波理论的三维问题转化为二维问题，使得问题的处理 得以简化； 2 ) 具有完全频散特性； 3 ) 在水底地形坡度小于1 3 的情况下可以保证计算精度； 4 ) 可描述波浪联合绕射、折射、反射等现象； 5 ) 方程为二阶偏微分方程( 双曲型( 1 - 2 ) 、椭圆型( 卜2 ) ) 。 但缓坡方程是椭圆型偏微分方程，具有不可分离的性质，直接求解时每个波 长离散至少要有8 个网格节点，每个周期离散节点更多，因此需要求解庞大的矩 阵，给计算带来不便。 缓坡方程自提出以来，由于形式简单、适用范围广引起了广泛的关注，许多 学者都致力于方程的进一步推广和改进的研究。目前对于底摩擦引起的能量损耗、 破碎以及水流影响通过对原始缓坡方程进行修正和改进得以解决，因而缓坡方程 在近岸波浪传播变形的波浪场计算中得到了广泛的应用，无论是港池、航道、海 湾以及防波堤周围、海岸带开敞水域和岛屿( 包括人工岛) 等都可以采用缓坡方 程进行模拟计算。 对缓坡方程进行的改进工作可以分为简化与推广两大类： 1 原始缓坡方程的简化 a ) 对原始缓坡方程的改进。 b ) 对缓坡方程的近似和简化形式的改进( 如抛物型缓坡方程、双曲型缓 坡方程和e b e r s o l e 模式) 。 c ) 采用逐步推进的方法进行计算可以解决计算范围的问题，但不能考虑 波浪的反射。 2 原始缓坡方程的推广 在原始缓坡方程上加以推广改进的内容主要包括底摩擦损耗、水流的影响、 波浪的非线性效应以及不规则波和波浪的破碎等方面。 在实际工程中大范围水域的波浪传播计算中，底摩擦损耗是不可忽视的。 f o 。巧( 1 9 8 1 ) 首先在缓坡方程中引入底摩擦项i w w ( 其中w 为底摩擦网子) ， 口a l r y m p l e ( 1 9 8 4 ) 也给出了一种计算底摩擦因子的方法，芹其华等( 1 9 9 3 ) 从波 汪艳河海大学硕士学位论文 能平衡方程出发，提出了改进的底摩擦因子计算公式，洪广文( 1 9 9 4 ) 依据波能 平衡方程推导出另一种形式的底摩擦因子计算公式，因而使得缓坡方程可以应用 于带摩阻的地形上的波浪传播计算。 水流对波浪的影响同样很重要。b o o i j ( 1 9 8 1 ) 、l i u ( 1 9 8 3 ) 、k i r b y ( 1 9 8 4 ) 先后推出了缓变水流中的非定常缓坡方程；洪广文( 1 9 9 5 ) 按照经典线性波理论 和变分原理推导出非均匀流场中缓坡方程。 a ) b o o i j 模式 警+ ( v 西罟+ 曙( v 奶卜以( 鸭v 嘞+ ( ( d 2 _ k 2 畈) 中= 。m 3 ) b ) l i u 模式 警却一( c c g v ) + ( r 0 2 - k 2 c c 肛。 ( 1 - 4 ) c ) k i r b y 模式 警巾奶丝d t 书( c c g v 蚍埘c q 中= o 仃2 = ( 一u ) 2 = g k t h k h ( 卜5 ) d ) 洪广文模式 告( 昙卜v 奶去陟v t ( c q v 嘞。， + ( 方2 一尼2 c c ：) = 0 c t ：= g k t h k h = 盯2 一w “4 ，盯2 = ( 一k u ) 2 式中d 。f = 昙+ 疗- v ，疗水平水流速度矢量，w + 一能耗因子。 在上面四个模式中，b o o i j 在推导上没有正确使用自由表面动力学边界条件， 因而出现模式中的第三项；l i u 的模式在理论有缺陷，按该式不能推导出波浪作用 量守恒方程：k i r b y 的模式修正了上面两个模式中的错误，无须做任何假设近似即 可以满足折射情况波作用量守恒方程，但没有区别联合折射、绕射的波数霞与折 刺波数露的差异；洪广文则推导出考虑波流相互作用及底摩擦波能损耗的缓坡方 第一章绪论 程，且区别k 与k ，疗与o - ，可推导出联合折射、绕射波作用方程，如果忽略模 式中的底摩擦损耗( w + = o ) ，即转化为k i r b y 模式。 到目前，非均匀流场中非定常缓坡方程一般可表示为： 瓦d ) 鲁+ ( v - 孑) ( 去+ w + ) f f d - - v h ( c q v h o ) + ( k 2 胁。m 7 ) 对于波浪的非线性效应，很多学者都采用非线性弥散关系来近似。h e d g e 3 ( 1 9 7 6 ) 提出了一个改进的弥散关系式，由于h e d g e s 的关系式不适用于浅水区， k i r b y & d a l r y m p l e ( 1 9 8 6 ) 综合了h e d g e s 的结果提出了一个适用于任意水深的弥 散关系式，此关系式在深水中趋近于s t o k e s 波理论的弥散关系，在浅水中趋近于 孤立波的弥散关系。利用此弥散关系对缓坡方程进行非线性修正，计算结果与实 验数据相当符合。在此基础上h e d g e s ( 1 9 8 7 ) 和k i r b y & d a l r y m p l e ( 1 9 8 7 ) 相继 加以修正提出了更加合理的弥散关系；李瑞杰( 2 0 0 1 ) 也提出了一个形式更为简 单，便于计算的弥散关系。本文第二章将对这些非线性弥散关系作详细介绍。 由于原始缓坡方程为单频波控制方程，但实际中海上的波浪是由多种频率不 同、振幅不同、方向不同以及相位各异的组成波组成的，因此考虑波浪的不规则 性亦即随机性是相当重要的。针对波浪的不规则性( 随机性) ，目前有以下几种方法 进行解决：a ) 在可以忽略波与波的非线性相互作用的情况下，按照线性叠加法将缓 坡方程应用于不规则波的折射、绕射计算，即将波浪按频率和方向分解为多个组 成波，并假设每个组成波都满足缓坡方程，再对每个组成波分别进行计算，然后 将计算的结果采用叠加的方法来确定不规则波的有效波高。其中的叠加方法主要 有经典叠加法和y u 等的叠加法，在此不作详述。p a n c h a n g e ta 1 ( 1 9 9 0 ) 、z h a o a n a s t a s i o n ( 1 9 9 3 ) 以及je ta 1 ( 1 9 9 3 ) 都进行了这方面工作。b ) 研制时间关联型 ( t i m e - d e d e n d e n t ) 缓坡方程。时间关联型缓坡方程可以用来描述不规则波的传 播变形。主要有s m i t h d 等时间关联型缓坡方程、r a d d e r 等时间关联型缓坡方程、 k u b o 等时间关联型缓坡方程及其一些改进以及时间关联型非线性缓坡方程和以上 几种方程的改进型等几种形式。c 考虑频域与方向域传递速率效应的不规则波作 用守恒方程，如s w a m 模型( 只适用于折射情况) 。 波浪破碎作用同样不可忽视。v u 等、l o u 等和k i r b y 等认为底摩擦项 ( j 。庐) 也能够反映波浪破碎所造成的能量损失，并且分别给出了w 的具体表 汪艳河海大学硕士学位论文 达式。 针对缓坡方程的缓坡假设也有学者加以了改进。缓坡方程的导出要求 砀 屑自御，在有沙坝、沙丘和暗礁等剧烈变化的海底地形上缓坡方程如果忽略这 些因素将导致明显的误差，因为在缓坡假设条件下缓坡方程忽略了海底曲率o r 俨缈、底坡平方和非传播波，然而这些项在含有剧烈变化的海底地形上起着不可 忽略的影响。所以很多改进工作都是从线性表面波的基本方程入手进行推导，推 导过程中保留那些被缓坡方程忽略的上述几项。k i r b y 是最早涉及剧变海底地形上 缓坡方程的改进的，将水深视为缓慢变化的平均水深h ( x ，y ) 和快速变化的小振 幅波动5 ( x ，y ) 的叠加。推导出适用于剧变地形的波浪折射一绕射方程： m 。一v ( c c g v 中) + ( 曲2 - k 2 c c , ) o + g v ( s v o ) ( c o s h 2k h ) = 0 ( 1 8 ) 此方程仅比非定常缓坡方程多出含有5 的一项。0 h a r e 等提出一个“连续应 用矩阵模型”，即将实际地形轮廓线以水平阶梯状折线代替，阶梯与阶梯之间通过 “传输矩阵”相匹配，从已知波场处开始，一个阶梯一个阶梯的计算，从而得到整 个计算区域的波场解。但是，o h a r e 等的“连续应用矩阵模型”只适用于一维地形。 m a s s e l ( 1 9 9 3 ) 应用g a l e r k i n 本征函数方程推导出一个改进的缓坡方程，方程中 含有( v h ) 2 x 7 2 h 项以及所有非传播波，适用于陡坡海底地形上波浪的传播变形计 算以及波浪与剧变地形的相互作用方面的研究。c h a m b e r l a i n & p o r t e r ( 1 9 9 5 ) 使用 变分原理和g a l e r k i n 方法推导出了改进的缓坡方程：z h a n g & e d g e ( 1 9 9 6 ) 效仿s m i t h 的做法，使用g r e e n 公式推导出s m i t h 等的时间关联型缓坡方程的改进形式，对于 单频波方程可写为： v ( c o 。v ) + k 2 c c g + 驴) 妒= 0 ( 卜9 ) 式中f = 口1 ( v 而) 2 + 口2 v 2 h + a 3 v h v k k + a 4 v2 k k 2 十a 5 ( v i ) 2 k 3 ，口。( f = 1 ，5 ) 均为 k h 的函数，该方程既能适用于缓变地形又能适用于剧变地形上的波浪散射，是一 个普适性较强的模式；c h a n d r a s e k e r a & c h e u n g ( 1 9 9 7 ) 等人也基于b e r k h o o f f 的方 法推导出了含有( v h ) 2 v 2 h 项的折射一绕射方程，定常情况下可表示为： v ( c o g v 矿) + 啤2 c c g + g f , ( k h ) v 2 h + g k f 2 ( k h ) ( v 们庐= 0 ( 1 1 0 ) 式中厶彻j 和伍彬都为砌的函数。 在此方程的推导过程中并没有要求r y h k h 1 ，但是必须满足 第章绪论 庐( x ，y ，z ) = f ( h ，z ) 伊( x ，y ，z ) ，f ( h ，z ) = c o s h k ( z + h ) c o s h ( k h ) 且妒沿垂向的变化很小。这一要求仅在海底地形较缓时才近似成立，所以这种折射 一绕射方程仍然是在缓坡的条件下才能够使用，因此只能看作是缓坡方程一种推广 形式。 学者们研究表明，保留v 2 h 项可以提高缓坡方程计算剧变地形上波浪传播变 形的精度，保留( v h ) 2 项可以提高缓坡方程对较陡地形的适用能力。 双曲型缓坡方程的改进主要是由实际求解上的需要而提出来的，主要是为为 了避免边界的二次反射在方程中加入内部生波源项或者能量衰减项。 b o o j i ( 1 9 8 1 ) 将椭圆型缓坡方程转变为双曲型： 挈坷( c c g v l 7 ) + ( c o z - k 2 c c g 炉o ( 1 _ 1 1 ) 其中令 则 蹿( z ，y ，f ) = 庐( x ，y ) e x p ( 一l o t ) 宴：町 a r 2 。 ( 1 1 2 ) ( l 一1 3 ) 将( 1 1 3 ) 代入( 1 1 1 ) c o p e l a n d ( 1 9 8 5 ) 进一步将_ 双曲型缓坡方程转变为 v v们一量粤：0(cc ( 卜1 4 )v g 叩) 一詈萨u l 2 。1 4 由i t o 和t a n i m o t o ( 1 9 7 2 ) 方法得到一组一阶方程组( 令q 代表质点速度的 垂直积分) ： j v q 每鲁一m l 詈+ c c 即一。 方程组( 卜1 5 ) 可用显式有限差分法求解。和抛物型缓坡方程相比，双曲型 方程组没有忽略反射波；和椭圆型方程相比，双曲型方程组保留了椭圆型方程的 精度，又能采用简单的数值方法进行求解。但开边界处理有一定的难度。 双曲型方程目前主要有以下几种改进形式： 1 ) m a d s e n 等的改进形式 堑望塑堑查兰堡圭堂些堡苎 一 式中7 1 = 玎。e “，q = q e “，$ 为源项。 2 ) 杨振勇的改进形式 3 ) l e e 的改进形式 c g 0 ，7 + v q ：s ca t aq+ccgv行：0at 塑+ 昙v q o a t c 。 百a q + c c g v q + o d , q = o 式中忍为能量衰减系数。 4 ) l e e 等的另一种改进形式( 考虑剧变海底地形) f 塑+ l a t 1 詈+ l c c g v r + ( o q q 1 了c g 一( v ) 2 一吒 o v 2 h ( 1 - 1 6 ) ( 1 - 1 7 ) ( 卜1 8 ) v q = o ( 1 1 8 ) 抛物型缓坡方程的改进主要也是根据具体的实际计算的需要进行的，底摩擦 和破碎作用、非线性作用、波浪大角度入射以及水流的影响和波浪的不规则性基 本都可以通过改进抛物型方程得到相应的模式。 考虑底摩擦和破碎作用主要是根据b o o ij 在原始缓坡方程基础上改进得到的 考虑底摩擦作用的方程式，仿照r a d d e r 的方法重新推导即可以得到考虑底摩擦和 波浪破碎作用的抛物型缓坡方程。 对于波浪的非线性作用目前主要包括s t o k e s 波传播变形的控制方程和基于 考虑非线性作用的改进型缓坡方程在抛物近似假定下推导出来的考虑非线性作用 的抛物型缓坡方程。 雕 = = 叩 勺 v c 斗 。叩 矿 生c 生c 泐 蛔 + + 盟西盟研q 了q c 第一章绪论 针对s t o k e s 非线性波传播理论的研究成果至今仍很少见，k i r b y 等首先采用 w b k 双重尺度摄动法推导出弱非线性波传播的抛物线型近似。 k i r b y & d a l r y m p l e 抛物线型近似 2 i k c 硝g r + 2 k ( k - k o ) c c g + i ( k c c g ) ：r + ( c c g 弓) y k c c g k 懈盖= 0 ( 1 2 0 ) 式中： k k 3 d c c g d = ( c h ( 4 k h ) + 8 2 t h ( k h ) ) ( s s h 4 ( 舫) ) 上式中出现的最后一项非线性项可视为线性定常波“缓坡方程”中。2 中项圆频 率改用非线性波圆频率的一种公式代替，即： 面2 = 酗2 1 + ( 妇) 2 d 】 也可采用其他非线性频散公式。 l i u 等从缓坡方程出发推导出一个考虑向前和向后散射波的耦合方程组，在 抛物假定下简化方程组就可以得到考虑弱反射效应的波浪场。 抛物型缓坡方程要求波浪沿其主方向( x 轴) 传播时入射方向与x 轴的夹角 不宜过大，一般不超过4 3 0 ，这样就给实际应用带来不便。因此很多人在这方面进 行了一些探索。k i r b y 使用p a d e 近似和极大极小原理推导出一个改进的抛物型方 程，此方程可以入射角增大到7 0 0 ，并且使由波向造成的误差减至最小；吴达开以 k i r b y 的方程为基础方程，提出了一个透浪侧界的抛物线相对近似解，使行进波在 缓坡上传播变形计算的适应性大大增强：杨振勇、l i 和d a l r y m p l e 等也各自提出 了不同条件下的抛物型缓坡方程来满足大角度入射的需要，尤其l i 提出的基于原 始缓坡方程的非线性抛物型方程无角度条件的限制，并且稳定性好，精度高，简 单实用，优于其他抛物型方程。 洪广文( 1 9 9 9 ) 提出一个适用于任何入射角并综合考虑底摩阻、非线性效应 的改进抛物线型近似模式 卟扣g ，卜蹬卜焘c 印a m z 上式可化为原始模型的波作用守恒方程和近似的光程函数方程。 对于波浪的不规则性就是以抛物型方程求解各个组成波然后进行叠加，从而 汪艳河海大学硕士学位论文 得到抛物型不规则波传播变形的波浪场。 1 3 缓坡方程的数值解法 缓坡方程的求解包括直接求解和间接求解。直接求解是指直接对原始缓坡方 程进行求解：间接求解是指对缓坡方程的简化或者近似形式进行求解。对缓坡方 程的直接求解仅限于小的计算区域，多用于港池中的波浪场的计算。求解缓坡方 程的数值方法一般有有限元法和有限差分法。有限元法能较好的模拟不规则边界， 但在计算程序的编制和数据的处理上比较烦琐，采用g a u s s 消去法解线性方程组 计算量也很大。有限差分法相对较为简便，大多数采用迭代法求解差分方程组， 还有误差传播法等，但这些方法也都有各自的缺点，迭代法的收敛速度太慢，误 差传播法受稳定性条件制约，只适用于波向变化不大的情况。 实际工程中经常需要计算很大的区域，为满足精度要求网格尺寸不应大于十 分之一的波长，因此就要联立求解大型线性方程组，此时将缓坡方程直接应用于 工程计算是不切实际的。针对这种情况，在方程( 1 - 1 ) 的基础上推出了一系列便 于求解的缓坡方程的变形形式和近似形式，并发展了相应的数值解法。 r a d d e r ( 1 9 7 9 ) 将波浪场假定为入射波场和反射波场两部分，并将反射波和散 射波略去，在方程( 卜1 ) 的基础上推导出抛物型近似方程，然后采用高效的有限 差分法( 如c r a n k n i c o l s o n 格式) 进行求解，使得计算速度大大提高。抛物型方 程的主要优点是适用于大范围的复杂地形上的波浪变形计算，但忽略了正向反射 波，而且波浪传播方向变化较大时计算精度有所降低。 c o p e l a n d ( 1 9 8 5 ) 假定波场为稳态，在缓坡方程( 卜2 ) 的基础上推导出含时 间变量的双曲型方程，并且按照i t o t a n i m o t o ( 1 9 7 2 ) 的方法将其表示为一阶线 性双曲型方程组，采用半隐半显的有限差分法求解。 在假定波浪场为稳定态的情况下，采用逐排推进的方法计算波浪的传播，无 需给定侧边界条件，并且可以计算大范围的波浪场，只是这种方法是不依赖时间 的，所以无法反映波浪的反射。 l i ( 1 9 9 4 ( 2 ) ) 采用多重尺度分析，令f = 口，o ( x ，y ，t ) = w ( x ，y ，f ) p 1 “，将 其代入缓坡方程( 卜2 ) 并略去二阶小量后，得到： 第一章绪论 一2 i c o 等= v ( c c g v v ) + 七2 c c g t p ( 卜2 1 ) l i 采用a d i 法求解方程( 1 - 4 ) ，并证明了该差分格式是无条件稳定的，对 边界条件也无须做特殊处理。 洪广文( 1 9 9 5 、1 9 9 6 ) 给出了考虑耗散作用的非定常波线性传播模型，采取 与l i 同样的方法求解方程。 另外，波浪问题般涉及到无限区域或半无限区域，然而实际计算是不可能 取无限区域进行计算的，通常采用以下两种处理方法：一是选择关键的有限区域， 定出开边界和固边界等边界条件，与缓坡方程共同构成方程的边值问题，将控制 方程写成变分形式，用有限元法进行离散求解：二是将整个无限区域划分为两个 区域，即内域和外域。内域为要计算的核心区域，用传统的有限元法离散，外域 为无限或半无限区域，水深为定植，其求解的方法很多。例如单源点法、混合元 ( 杂交元) 、无限单元法以及双相关边界元法等。 1 4 本文的研究内容 目前国内外学者针对缓坡方程的改进和数值解法两方面已经作了很多的1 作。如果把缓坡方程及其各种简化、近似和改进形式称为缓坡方程族，那么，从 缓坡到陡坡、从长波到短波、从深水到浅水、从大面积的开敞区域到小的各种各 样的海岸河口地区的港口海岸工程所涉及的波浪场的计算缓坡方程族都可以解 决。但由于波浪传播是个相当复杂的过程，缓坡方程在有些方面的研究还不够深 入，例如考虑底摩擦的影响、波浪非线性影响以及水流对波浪的影响等方面仍然 处在探索阶段：尤其是复杂地形中固体边壁的反射作用对波浪传播的影响情况； 另外，如何考虑波浪在传播过程中风的影响还研究较少，这些方面都有待逆t - , 5 - 去深入研究。 针对这些问题，本文将进行下列几个方面的工作： ( 1 ) 以洪广文( 1 9 9 5 ) 推导的非定常线性波缓坡方程理论模式为基础，建立 考虑底摩阻项、风能输入项及非线性弥散关系的缓坡方程求解模式( 二 维扩散型偏微分方程) 。 ( 2 ) 联合采用针对二维扩散型偏微分方程常用的a d i 法和改进c n 法，以 获得一种计算效率高且无条件稳定的求解缓坡方程的有限差分方法。 汪艳河海大学硕士学位论文 ( 3 ) 对本文的模型在各种情况下进行验证，分析其精确程度。 ( 4 ) 选择部分工程实例进行计算，检验模式的适用性。 第二章数学模型的建立 第二章数学模型的建立 2 1 基本控制方程 线性表面波的基本方程：以静止水面为x o y 坐标平面，z 坐标垂直向上为正 的笛卡儿直角坐标系中，无旋无粘不可压的线性小振幅波动的波浪速度势函数西 化互砂必须满足下列方程和边界条件： 连续性方程 v 2 中+ o 口= 0一h ( x ，y ) z 0 ( 2 一1 ) 自由表面运动一动力边界条件 1 巾：+ 二m n = 0 z = o( 2 - 2 ) g 水底边界条件 中：+ v h v 中= 0z 2 一向似纠 ( 2 3 ) 式中v 为二维水平梯度算子；向以为水深函数；g 为重力加速度。 在水深不变的情况下，单频线性波的解可表示为： 痧( x ，y ，z ，) = f ( z ) o ( x ，y ，t ) ( 2 - 4 ) 中一i g a ( x , y ) p 州，r ( 2 5 ) 仃 式中a 为波浪振幅，s 为相位。将( 2 - 5 ) 代入方程( 2 - 1 ) 可得 盘：一坚：k z ( 2 6 ) o 在平底情况下，底边界条件可简化为 正= 0 ， z = - h ( 2 7 ) 由( 2 - 6 ) 、( 2 7 ) 可解得 ，：c h k ( h + z ) ( 2 8 ) 。 c 砌 将( 2 4 ) 、( 2 5 ) 代入自由表面运动一动力学边界条件( 2 2 ) 中可得如下关系： 豇一弦2 = o ， z = 0 ( 2 9 ) 汪艳河海大学硕士学位论文 由( 2 8 ) 、( 2 9 ) 得到弥散关系： j 2 = g k t a n h ( k h 、 2 2 缓坡方程的等价控制方程 缓坡方程的等价控制方程组： ( 1 ) 波数守恒方程： 丝+ v 国= 0 ，霞= v 掣 钟 或c i ) = c o n s t ( 定常波情况) ( 2 ) 波数矢无旋性方程： v 霞：0 ( 3 ) ( 4 ) 波作用守恒方程： 丝+ v h 堡霞1 ：一+ 4 a flj 光程函数方程： 2 3 理论模式 2 3 1 基本方程 ( 2 1 0 ) ( 2 一1 1 ) ( 2 1 2 ) ：旦壁。一a z ( 2 - 1 3 ) a 22 国 b e r k h o f f ( 1 9 7 2 ) 首先基于方程式( 2 1 ) ( 2 3 ) 推导出缓变水深定常波传 播的线性模型波浪缓坡方程( 1 - ) 。s m i t h 印r 加妇( 1 9 7 5 ) 提出非定常波传播 的缓坡方程( 1 - 2 ) 。 洪广文( 1 9 9 5 ) 推出考虑了耗散作用的非定常波线性传播模型： 巾。+ + 。，一v ( 0 己v ) + ( 子2 一七2 e 最) = 0 ( 21 5 ) 其定常形式为： v ( 0 t v 巾) + ( 七2 e t 一孑2 + 2 + i c o w + ) 中= 0 ( 2 - 1 6 ) 其中：巾= ( 一i g ) r ( x ，y ，t ) e x p h ( x ，y ，t ) ( 21 7 ) 1 4 1 4 足肜 a 一钟a 一甜 v 勺 v 上邵 甲 书 耐 ： = k r 第二章数学模型的建立 矿能耗系数，其因次与频率相同 + = + d 一月 形n 为风能输入系数 嘛锄g ( 爿c 咖 口，以，c 外为给定参数。 w 一为底摩阻耗散系数 叽2 等( 盖) 3j ，曙晒h k n j 兀= 0 - 0 0 2 ( 2 18 ) ( 1 19 ) 2 3 2 非线性弥散关系 对于波浪的非线性大多数学者都从非线性色散关系入手，其研究成果也很丰 富，主要有以下几种： ( 1 ) 只适用于深水和中等水深的s t o k e s 二阶波的非线性弥散关系 w h i t h a m ( 1 9 6 7 ) ： 盯2 = g k ( 1 + s 2 d ) t a n h ( k h l 其中。= c o s h ( 4 k h 丽) + 砜8 - 2 r t a n h 2 ( k h ) ( 2 2 0 ) s = 七h 在( 2 2 0 ) 中忽略了波浪在水槽中以及波浪近岸运动时产生的回流，上式的 适用条件是厄塞尔数u o ( 1 ) 的情况 u ；丝 ( k h ) 2 在浅水中，当k h 一0 ，l a l h 为- s 、量时， 。却；k h - - + o 上旦量塑燮堕主兰些堡壅 c r 2 = s 彘2 n - + ；( 掣 2c 觅，一2 1 ；克+ 。 从上式可以看出浅水情况下，方程( 2 2 0 ) 不再适用。 ( 2 ) 为了弥补上式的缺陷，h e d g e s ( 1 9 7 6 ) 年提出了适用于浅水的弥散关 系 仃2 = g k t a n h ( k h + s )( 2 2 1 ) ( 3 ) k i r b y d a l r y m p l e ( 1 9 8 6 ) 依据上两式，提出了经验的统一表达式， 将二阶s t o k e s 弥散关系与h e d g e s 的经验关系在中等水深区域进行平滑衔接得到： o - 2 = g k ( 1 + z ( 砌) f 2 d ) t a n h ( k h + f 2 ( k h ) s )( 2 2 2 ) 其中： ；( 砌) = t a n h5 ( 砌) l ( k h ) = k h s i n h ( k h ) 4 ( 4 ) 由于( 2 2 0 ) 中五， 的任意性，在中等水深的部分区域波速有随k h 增大而递增的趋势。h e d g e s ( 1 9 8 7 ) 提出了以下表达式： 盯2 = 舭( 1 + s 2 ) t a n h ( 生等) ( 2 2 3 ) l + s 。 ( 5 ) k i r b y d a l r y m p l e ( 1 9 8 7 ) 做了进一步的修正，表达式如下： 枷肋岫( 南移( 2 - 2 4 ) ( 6 ) 李( 2 0 0 1 ) 提出了一个形式更为简单，便于计算的弥散关系： 盯2 = g k ( 1 + p s 2 ) t a n h ( k h + f ) ( 2 2 5 ) 式中p = 芹“。 令 孑i = 盯2 一盯；( 2 - 2 6 ) 代入方程( 2 1 5 ) ，并且加入底坡斜率与曲率修正项j 可以得到方程式： 中。+ + 中。- v ( 0 e g v 中) + ( 子。2 一2 弓e 。一j ) m = 0 ( 2 - 2 7 ) 如果再加入水流的影响则得到如下方程式： 中。+ ( + + v - 衫) 。，一v ( 0 t v 巾) + ( 置2 一后2 舀己一j ) m = 0 ( 2 2 8 ) 第= 章数学模型的建立 此方程考虑了水流的影响，底摩阻和风能摄入项以及非线性频散关系和突变 地形因素，本文即以此式为基础来建立数学模型。 汪饱河海大学硕上学位论文 第三章数学模型的数值解法 3 1 差分格式的建立 绪论中已经提到，为达到合理且较精确的计算结果，采用有限元法或者有限 差分法直接求解缓坡方程( 1 - 1 ) 时，必须要求每个波长有至少8