（计算数学专业论文）二元样条函数方法求偏微分方程数值解.pdf

摘要 样条函数是一种很好的数值逼近工具，它是逼近理论和计算机结合的优秀 产物在计算机高速发展的推动下，样条函数以其便于计算机存储、计算稳定、 局部支集以及便于交互控制等优点，成为各类工程计算计算机辅助制造设计 和几何建模等大型软件的重要数学工具之一。值得一提的是：除了在几何建模 方面样条函数有着无可替代的地位之外，样条有限元在有限元大家族中也占有 重要的地位，它不仅能用较少的自由度得到比其他类型有限元更高的精度之外， 还能与几何建模软件之间方便地共享数据，因为它们都是采用相同的格式来存 储数据的另外样条函数结合配置法求解流体闯题也受到比较多的关注f 6 4 1 本论文主要讨论的是多元样条函数方法及其在偏微分方程数值解中的应 用，事实上也可以认为是一种特殊形式的样条有限元b r e z z i 和f o r t i n 宅e 1 8 中 给出了有限元方法的一个广义角度的定义：”有限元方法是一种通用的技巧， 它的含义是在h i l b e r t 空间中构造一个有限维子空间，从而在这个子空间中对交 分问题实施r i t z g a l e r k i n 方法”从计算的角度来讲，这个定义并不是非常的 直观和确切( 有限元方法的特点是使用了基于网格的具有局部支集基函数的有 限维子空间) 。但是它从一个非常抽象的角度概括了类型广泛的有限元逼近方 法在这些方法中，我们现在主要关心的是标准有限元方法和本文所要介绍的 样条函数方法我们通常所说的有限元方法指的是标准的有限元计算方法，即 通过在离散单元上构造一个”有限元”参考对象的途径来构造有限元空间的办 法f l ，4 5 ，7 2 ，8 0 1 ，这是狭义的有限元概念，相应地我们称前者为广义的有限元概 念本文所要介绍的多元样条函数方法也属于广义有限元概念的范畴，是由学 者来明俊等首先提出来的 4 2 ，5 7 ，5 8 1 它与有限元方法的主要区别在于采用了 多元样条分析方法来构造所需要的有限维子空间，接着通过求解带线性约束的 方程组来完成样条函数解的构造，在此过程中有限维子空间并没有被显式地构 造出来，这样的做法在这个子空间不是那么容易构造的时候是方便的，我们将 在本文中看到这些现象 和样条有限元一样，样条函数方法可以沿用有限元数值分析的许多结论， 前提条件是所使用的样条函数空间必须是存在并且可表示的这一前提在多元 样条分析的工作中现在已经可以找到很好的理论保证( 参考6 3 1 以及其中引用 摘要 的文献) 因此，这篇论文中对于样条函数方法的讨论均是从实际计算的角度 出发的值得一提的是，如果样条函数方法所采用的样条函数空间和有限元方 法所采用的有限元空间是同一个函数空间，那么得到的近似解也是相同的因 此样条函数方法似乎没有很明显的优势然而通过非协调元在很多问题中的成 功应用我们可以看到一些线索：非协调元( 包括间断有限元) 总是通过改造经 典变分原理的手段来满足近似问题与原变分问题的相容性，它的优势是放松了 单元边界之间的协调约束( 连续或光滑) 条件，使得有限元空间尽可能好地逼 近真实解空闻，通过这种方式锝到的近似解显然铯更充分地表现真实解的性质 这就是很多时候非协调有限元比协调有限元应用更广泛的主要原因样条函数 方法可以看成是一种协调问题的非协调处理办法，因为它把单元边界上的协调 条件单独提出来了这完全是一个代数的问题，因此也和有限元方法一样具有 通用性，但从形式上看又象是一种非协调有限元 论文共分五章第一章首先介绍了一些本文所涉及到的一些有限元基本理 论以及有限元方法处理问题的基本步骤，由于样条函数方法也是包括在广义有 限元范畴中的，因此变分原理以及有限元方法成为了我们讨论样条函数方法的 起点，其中有非常丰富的理论结果和计算技巧是可以从有限元方法借鉴的接 着，我们简要地介绍了二十多年来关于二元样条分析的一些主要理论结果主 要从二元样条函数空间存在性、s o b o l e v 空间中的样条函数逼近程度和多元样条 函数空间表示的实际技巧等方面做了必要的介绍，这些都为后面的章节做准备 工作需要指出的是关于二元样条分析的文献是非常丰富的，我们这里所提到 的一些结论完全是为了方便讨论样条函数方法而从中提取出来的 第二章介绍了三角形上的二元b 形式及其一些常用的局部计算方法，比 如d ec a s t e l j a u 求值算法，升次、求导、求积以及求内积算法等这些算法是样 条函数方法中计算单元方程常用的其中有不少可以加速椭圆边值问题以及高 次方程的离散过程进一步我们利用b 形式的光滑性条件，将& 形式与样条函 数之间建立了转换关系，得到了多元样条函数的b 形式表示方法接着，我们 利用二阶和四阶椭圆边值问题作为实例展示了样条函数方法的实施过程最终 最终将它们的变分形式离散成一个鞍点问题： kb h r boo 曰oo c a 1 砖 b g 0 摘要 这个问题的求解已经有比较通用的迭代方法另外我们也介绍了处理实际问题 的一些细节，例如利用b 形式处理单元边界协调条件和包含导数的d i r i c h l e t 边 界条件的最后我们给出具体的数值例子说明样条函数方法对于椭圆边值问题 是有效的 正如前面所说，如果拿样条函数方法得到的近似解和相应的有限元方法得 到的近似解比较，除了离散过程更加自由之外，并没有更好的数值表现然而 我们对样条函数方法感兴趣的正是它实现方式的灵活性在第三章中，我们就 要开始来深入这个话题有限元的自适应方法是目前数值分析和数值计算领域 中一个热门问题，如何实现高效的自适应方法是大家一直关心的问题之一利 用样条函数方法可以避免事先构造有限元空间的工作，把协调工作都留给了单 元边界上的光滑条件，这个做法非常有利于自适应方法的实现这一章的主要 目的是讨论如何利用样条函数方法做p 自适应处理首先通过拓展样条函数的 边界光滑条件实现了样条函数的p 协调条件( 也就是不同次数相邻单元之间的 连续光滑连接条件) ，接着针对椭圆边值问题进行了h 自适应和p h p 半自动自 适应的求解在四阶问题中的应用体现了样条函数方法处理自适应的强大能力， 众所周知，g 1 有限元要实现p 自适应是比较困难的 第四章继续讨论样条函数方法的自适应处理方法，不过这里是从h 自适应 出发来讨论的一般的h 自适应处理是简单的，注意到有限元的h 自适应方法中 若允许非规则( 带悬点) 网格可以减少计算开销这一特点，这一章中重点讨论非 规则网格上的样条函数方法实现。和多元样条分析一样，样条函数方法的需要 关心的主要问题是如何保持单元边界之间的协调条件于是首先研究了在具有 任意层悬点的单元边界上样条函数空间的协调条件，从而解决了非协调网格上 实施榉条函数方法的本质困难。不难发现相同情况下的有限元方法的处理则显 得更为复杂，其中主要是相应的有限元比较难构造，而用样条函数方法很好地 避免了这个困难在这一章中我们并没有直接求解鞍点问题( 1 ) 来得到近似解， 而是采取了消去约束的方法，最终得到一个对称正定的系统这样我们事实上 已经构造了一个有限元，因为这个线性系统是和利用某个有限元得到的系统是 一样的( 这里用”某个”表示我们并不能显式地构造出这个有限元，但可以确 定它是存在的) 最后一章讨论了用样条函数方法处理非线性偏微分方程，主要对二 维n a v e r - s t o k e s 方程进行了数值模拟用有限元方法计算二维n a v i e r - s t o k e s 方 摘要 程是比较常见的，一般采用的都是混合元求解双变量问题尽管二维n a v i e r s t o k e s 方程的流函数( 双调和) 形式是很容易得到的，但是鉴于构造c 1 有限元是 一件比较复杂的工作，有限元方法不推荐采用这个形式而从前面章节的介绍 我们可以知道，样条函数方法离散高阶偏微分方程是方便的，所以对于这个问 题样条函数方法采用的是流函数形式，目的是为了减少自由度的数量同时我 们也利用了包括牛顿迭代和同伦方法在内的非线性方法来得到非线性问题的 解，含高阶导数的d i r i e h l e t 边界处理也体现了样条函数方法处理复杂问题的强 大能力最后，我们对方腔流动和后台阶流动等标准镄i 试问题进行数值模拟，得 到了预期的数值结果 纵观全文，我们认为样条函数方法是属于有限元理论范畴的一类数值方法， 对于求偏微分方程数值解是比较有效并且非常方便的论文除了对样条函数方 法进行了比较详细的介绍之外，也在以下三个方面对样条函数方法进行了拓展 和研究：首先，提出了具有不同次数的相邻单元之间样条函数的光滑协调条件， 从而实现了样条函数方法的p - 自适应处理，其中特别是c - 样条函数空间的自适 应处理能力是有限元方法难以实现的其次，我们得到了在允许任意层悬点的 三角网格上的样条函数空间的连续协调条件，并应用于样条函数方法的h 自适 应并且指出其相应的系统方程( 1 1 在利用矩阵修改方法消去协调性约束条件后 等价于一个有限元方法得到的线性系统最后，我们利用样条函数方法求解二 维不可压流动问题由于在单元上样条函数是用重心坐标表示的，所以单元方 程的计算过程是可以简化的，相对于文献 5 7 】而言很大程度上减少了时间开销 由于样条函数方法是最近才被提出来，有很多应用可以继续展开讨论，我们将 在今后的工作中深入研究这些问题 关键词：二元样条函数方法，光滑性条件，b 形式，偏微分方程数值解，自适 应，有限元，二维不可压缩流 a b s t r a c t s p l i n ei sa ne x c e l l e n tt o o lf o rn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n w h i c hi sap e r f e c t r e s u l to ft h ec o m b i n a t i o no fa p p r o x i m a t i o nt h e o r ya n dc o m p u t e rt h e o r y i n m o d e r nc o m p u t a t i o n a lw o r k s p l i n ei st h em a j o rt o o lf o re n g i n e e r sa n dc a d s o f t w a r es i n c ei ti se a s yt or e p r e s e n ta n de f f i c i e n tt oe v a l u a t e t h es p t i n ef i n i t e e l e m e n ti sa l s oa ne f l i c l e n tt o o li nf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s i ti su s u a l l yp r e f e r a b l e i ns t r e s sa n a l y s i so fh i g hb u i l d i n g ，b e c a u s et h es p l i n e su s el e s sd e g r e eo ff r e e d o m t h a nc o m m o nf i n i t ee l e m e n t s t h en i t i np u r f l o s eo ft h i st h e s i si st od i s c u s sa b o u tt h es p l i n em e t h o da n d i t sa p p l i c a t i o ni nn u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。w h i c hw 姻 o r i g i n a l l yp r o p o s e db yp r o f l a la n dh i sc o o p e r a t o r s 4 2 ，5 7 ，5 8 】a c t u a l l y , i tc a n b ev i e w e d8 sas p e c i a ls p j n ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d b r e z z ia n df o r t i ng i v ea n d e f i n i t i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di nf 1 8 1a s ”t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di s ag e n e r a lt e c h n i q u et ob u i i df i n i t e - d i m e u s i o n a ls u b s p a c e so fah i i b e f ts p a c ev i no r d e rt oa p p l yt h er i t z - g a l e r k i nm e t h o dt oav a r i a t i o n a lp r o b l e m ”t h i si so f c o u r s eav e r ya b s t r a c tw a yt od e f i n ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h i si sf o rs u r e n o tt h eb e s tw a yt ou n d e r s t a n di tf r o mt h ec o m p u t a t i o n a lp o i n to fv i e w ，b u t i te x a c t l yc o n e l u d et h eb a s i ci d e ao ff i n i t ee l e m e n tm e t h o dw h i c hi n c l u d e s1 a r g e n u m b e ro fm e t h o d l e tu st a k ei t 鹪”a b s t r a c tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ”a tt h e 8 锄et i m e w er e f e rt h ep h r a b e ”t h es t a n d a r df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) a s t h ec o n e r e t ec o m p u t a t i o n a lm e t h o dw h i c ha r ea sd e s c r i b e da si nt h ec o m m o n t e x t b o o k s 1 ，4 5 ，7 2 ，8 0 t h es p l i n em e t h o di sr e g a r d e dt ob ei n c l u d e di nt h e f r a m e w o r ko fa b s t r a c tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h em a i nd i f f e r e n c eb e t w e e nt h e m l i e si nt h ew a yo fc o n s t r u c t i n gt h ef i n i t ed i m e n s i o n a ls u b s p a c eo ft h eh i l b e r t s p a c e i nf e m t h i st a s ki 8a c c o m p l i s h e db ya no b j e c tn a m e df i n i t ee l e m e n t s w h o s ek n o w st h eb a s i so ft h ef i n i t ee l e m e n ts p a c e w h i l ei nt h es p l i n em e t h o d t h ef u n c t i o ns p a c e sa r er e p r e s e n t e di ns p l i n em o d ew h i c hd on o tr e q u i r e dt h e c o n s t r u c t i o no fe x p l i c i tf i n i t ee l e m e n t s a c c o r d i n gt ot h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p l i n ef e ma n dt h es t a n d a r d a b s t r a c t f e m t h et h e o r yo fs t a n d a r df e mi sa l s of i tf o rs p l i n em e t h o d t h e ni ti ss u f - f i c i e n tt op r o m i s et h ee x i s t e n c eo fc o r r e s p o n d i n gs p f i n es p a c e st h a n k st ot h e l i t e r a t u r e so fm u l t i v a r i a t es p l i n ea n a l y s i s ，t h ee x i s t e n c et h e o r yo ft w od i m e n s i o n s p l i n es p a c e si sf r n i t f u l 6 3 i ti sw o r t ht op o i n to u tt h a ti ft h es p s n es p a c e o fs p l i n em e t h o da n dt h ef i n i t ee l e m e n ts p a c eo ft h ef e ma r es a m e ，t h e nt h e a p p r o x i m a t e ds o l u t i o n sa r ea l s ot h es a m e f r o mt h i sp o i n to fv i e w ，t h es p l i n e m e t h o ds e e m st 0h a v en om o r ea d v a n t a g et h a nf e m b u tf r o mt h es u c c e s so f t h en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w ec a ng e ts o m ec l u et og e tb e t t e ra p - p r o x i m a t i o nb ys p l i n em e t h o d t h en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t sb e n e f i tm u c h f o r mw i t h o u ti m p o s i n gt o om u c hr e s t r i c t i o no nt h ee l e m e n tb o u n d a r y t b es p l i n e m e t h o di 8a l s op a ym u c ha t t e n t i o nt oc o n f o r m a tc o n d i t i o no nt h ee l e m e n tb o u n d - a r y , t h e r es e e l n st ob es o m er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e m a l t h o u g hw ew o u l dn o t c o n c e r n e da b o u tn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h i st h e s i s ，i tr e a l l y g i v e su 8m a n yi n s p i r a t i o n si nt r e a t i n gt h ec o n f o r m i n g s m o o t h n e s sc o n d i t i o n so f t h es p l i n es p a c e s w ea r ei n t e n d e dt or e g a r dt h es p l i n em e t h o da san o n c o n f o r m - i n gw a yt ot r e a tc o n f o r m i n gp r o b l e m t h ef i r s tc h a p t e ri 8c o n c e r n e da b o u tt h eb a s i ck n o w l e d g eo ft h es t a n d a r d f e ma n dm u l t i v a r i a t es p l i n ea n a l y s i s f i r s t ，w ei n t r o d u c et h em o t i v a t i o no f c u r r e n tr e s e a r c ho nt h es p l i n em e t h o d f o rt h er e f e r e n c eo ft h er e m a i nc h a p t e r s ， s o m en e e d e db a s i cn o t a t i o n sa n dr e s u l t si nf e mt h e o r ya r ep r e s e n t e di nt h e s e c o n ds e c t i o n t h eb a s i ck n o w l e d g ea b o u ts p l i n e a n a l y s i si sa l s oi n t r o d u c e d i n c l u d i n gs o m er e s u l t so nt h ee x i s t e n c et h e o r ya n dt h ea p p r o x i m a t i o np o w e ro f t h es p l i n es p a c e si nt h es e n s eo fs o b o l e vn o r i d s t h ek n o w l e d g em e n t i o n e dh e r e i sf a ra w a yf r o mt h er e s u l t ss u p p l i e di nt h el i t e r a t u r e s ，b u tt h e ya r ep i c k e do u t f o rq u i c kr e f e r e n c e i nt h es e c o n dc h a p t e rw ei n t r o d u c et h et r i a n g l eb - f o r ma n ds o m eo fi t s u s e f u la l g o r i t h mo nt h et r i a n g l e ，s u c ha st h ed ec a s t e l j a ua l g o r i t h m ，d e g r e ee i e - v a t ea l g o r i t h m ，e t c s o m eo ft h e mc a ne v e na c c e l e r a t ed i s c r e t i z a t i o np r o c e d u r e r e m a r k a b l y n e x t ，t h eb - f o r mr e p r e s e n t a t i o no fb i v a r i a t es p l i n es p a c e sa r ei n - t r a d u c e d 嬲w e l la 8t h ec o n f o r m i n g s m o o t h n e s sc o n d i t i o no fb - f o r mo na d j a c e n t t w ot r i a n g l e s f o l l o w i n gt h ee x 8 - m p l e so fd i r i c h i e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f s e c o n do r d e ra n df o r t ho r d e r ，t h e ya r ed i s c r e t i z e di n t ot h ef o l l o w i n gs a d d l ep o i n t a b s t r a c t p r o b l e m kb ，日，i bool hoo j纠 ( 1 ) t h es p l i n em e t h o di sw e l le s t a b l i s h e dt h r o u g hd e t a i ld e s c r i p t i o n s t h en u m e t i c a l e x a m p l e sg i v et h em o s tp r o m i s i n gr e s u l t st op r o v et h ee f f e c t i v e n e s so ft h es p h n e m e t h o d a sw eh a v e 鸸e ni nt h es e c o n dc h a p t e r t h es p l i n em e t h o di sv e r yf l e x i b l e w h i c hi st h em a i nr e a s o nf o ru sb e i n gi n t e r e s t e di n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eb e g i n t oe x p l o r et h i sa b i l i t yi np8 d a p t i v ev e r s i o no fs p l i n em e t h o d 7 r h ea d a p t i v ef e m i sa ni n t e r e s t e dt o p i cr e c e n t l y , h o w e v e r ，t h e r ea r es t i l lm a n yu n s e t t l e dp r o b l e m s i nt h i sa r e a ，o n eo fw h i c hi st h ee f f i c i e n tl o c a lp - a d a p t i v i t y t h ef e mc a nn o t t r e a tt h el o c a lp - a d a p t i v i t yo fc 1s c h e m ey e t s i n c et h es p l i n em e t h o di sp o w e r f u l i nc o n s t r u c t i o no fv a r i o u ss p l i n es p a c e s ，i ti sat r i v i a lt a s kf o rt r e a t i n gt h el o c a l p - a d s p t i v i t yo ft h ec 1s p l i n es p a c e s i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s ta n a l y z et h el o c a l c o n f o r m i n g s m o o t h n e s sc o n d i t i o nf o rt w oa d j a c e n tt r i a n g l ew i t h d i f f e r e n td e g r e e s ， t h e ni ti sa p p l i e dt ot h es t a n d a r ds p l i n em e t h o db yo m yr e p l a c i n gt h ec o n f o r m i n g c o n d i t i o nw i t ht h en e wo n e w ea l s od i s c u s sa b o u tt h ed e t a i lo fl o c a la d a p t i v e t e c h n i q u e sw h i c ha r eb o r r o w e df r o mt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a tl a s tt h el o c a l ha d a p t i v ea n dpa d a p t i v ep r o c e d u r ea r ec o m b i n e db yh a n d ，t h es p l i n em e t h o d s h o w sg o o da b i l i t yi nt r e a t i n gt h ee l l i p t i cp r o b l e mw i t has i n g u l a r i 饥t ot h eb e s t o fo u rk n o w l e d g e t h eg 1f e mc a n tt r e a tt h el o c a lp - a d a p t i v i t ya tp r e s e n td a y w ec o n t i n u eo nd i s c u s s i n gt h ea d a p t i v i t yo ft h es p l i n em e t ：h o di nt h ef o r t h c h a p t e r t h i st i m ew es t a r tf r o mt h eh - a d a p t i v i t y n o t i c i n gt h a tt h ee x i s t e n c eo f h a n g i n gn o d e sc a nr e d u c et h ea m o u n to fe l e m e n t sr e m a r k a b l y , , w ee m p h a s i z eo n s u c hc a s ef o rt h eh - a d a p t i v es p h n em e t h o d a si nm u l t i v a r i a t es p h n ea n a l y s i s ， t h em o s tc o n c e r n e dp r o b l e mi sh o wt ok e e pt h ec o n f o r m i x l g s m o o t h n e s sc o n d i t i o n a c r o s st h ee l e m e n tb o u n d a r yw i t hh a n g i n gn o d e s w ef i r s ta r c h i v et h es m o o t h n e s s c o n d i t i o na c r o s st h ei n t e r f a c ew i t ha r b i t r a r yl e v e lh a n g i n gn o d e s ，t h e nt h es p l i n e m e t h o di sn o td i 伍c u l tt oi m p l e m e n ta c c o r d i n gt ot h i sc o n d i t i o n an e wm e t h o d t os o l v et h er e s u l t e dc o n s t r a i n e dl i n e a rs y s t e mi sp r o p o s e di nt h i sc h a p t e r i t i sp r o v e dt ob ea l le f f i c i e n tw a yt os o l v es u c hk i n do fl i n e a rs y s t e m w et h i n k a b s t r a c t i ti si m p o r t a n tb e c a u s et h i sa t g o r i t h ma c t u a l l yl i n k st h es p l i n em e t h o dw i t ht h e s t a n d a r df e m i nt h el a s ts e c t i o n ，w et r yt oa p p l yt h es p l i n em e t h o dt ot h eb i v a r i a t en a v i e r - s t o k e sp r o b l e m i nt h ef e mh t e r a t u r e s ，i ti sp r e f e r r e dt os o l v et h i sp r o b l e m w i t hm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o db a s e do i lt h ev e l o c i t y - p r e a s u r ef o r m u l a t i o n t h j 8m a yd u et ot h ed i f f i c u l t yi nc o n s t r u c t i o no fc 1f i n i t ee l e m e n ts p a c e s a s w eh a v es e e n t h es p l i n em e t h o dh a v en od i 伍c u l t i e si ni m p l e m e n t a t i o no fc 1 v e r s i o n s ow ea d o p tt h es t r e a mf u n c t i o nf o r m u l a t i o no fn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n w h i c hr e d u c et h ed e g r e eo ff r e e d o mr e m a r k a b l y t h en e w t o ni t e r a t i o nm e t h o d a n do t h e rn u m e r i c a lc o n t i n u a t i o nt e c h n i q u e sa l ei n c o r p o r a t e di n t os o l v i n gt h e u l t i m a t en o n h n e a rs y s t e m a tl a s t ，w es i m u l a t et h r e eb e n c h m a r kp r o b l e m sa n d g e tt h ed e s i r e dr e s u l t t h e yp r o v et h a tt h es p l i n em e t h o d i se a s yt om a n i p u l a t e a n df l e x i b l ei ns o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ec u r r e n tt h e s i si n v e s t i g a t ei n t ot h es p l i n em e t h o di nt h ef o l l o w i n gt h r e e a s p e c t s ：f i r s t l y , t h es m o o t h n e s sc o n d i t i o na c r o i n t e r f a c eo ft w ot r i a n g l ep a t h e s w i t hd i f f e r e n td e g r e e s ，t h e nt h ep - 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