（应用数学专业论文）不确定时滞系统的鲁棒h∞控制.pdf

摘要 本文主要研究了不确定时滞系统的鲁棒矾。控制问题，其不确定性主要来自未知的 连续参数、时变扰动及不可预期的非线性性含有非线性不确定项的时滞系统的鲁棒f k 控制，具有严格反馈形式的非线性时滞系统的鲁棒风。控制和同时含有状态与输入时滞 的不确定离散系统的鲁棒风。控制问题是本文研究的主要内容 首先，研究了一类含有时变时滞的不确定非线性系统的鲁棒 k 控制目标是设计控 制器，使得对容许的不确定性，闭环系统是鲁棒稳定，并且满足所提出的风。性能指标 基于l y a p t m o v 稳定性理论，通过描述器模型变换，给出了相应控制器的时滞依赖的充分 条件进一步，将控制器的设计问题转化为l m i 的求解问题通过m a t l a b 中线性矩 阵不等式工具箱可以很容易求得相应控制器的增益矩阵 其次，考虑了一类具有严格反馈形式的非线性时滞系统的鲁棒矾。控制基于l y a - p u n o v 稳定性理论，巧妙地构造了l y a p u n o v 函数然后利用b a c k s t e p p i n g 递推设计方法 所得的控制器不仅使闭环系统渐近稳定且满足如范数界1 最后，针x 十- - 类同时含有状态和输入时滞的不确定离散系统，在状态不可知的情况 下，通过设计观测器来估计系统的状态，然后在观测器基础上设计的控制器不仅使系统渐 近稳定并且满足月。性能所给的控制器存在的充分条件，将控制器的设计问题转化为 l m i 的求解问题，通过m a t l a b 中线性矩阵不等式工具箱可以很容易求得相应的控制 器 关键词- 时滞系统，鲁棒风。控制，不确定离散系统，状态观测器，线性矩阵不等式 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e mo f f e e d b a c kc o n t r o lf o ru n c e r t a i n s y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y si s c o n s i d e r e d ，w h e r et h eu n c e r t a i n t i e sm a i n l yc o m ef r o mt h eu n k u o w n c o n t i n u o u sp a r a m e t e r s ， t i m e - v a r y i n gd i s t u r b a n c ea n du n k n o w nn o n l i n e a ru n c e r t a i n t i e s r o b u s th c o n t r o lf o r t i m e - d e l a ys y s t e m sw i t hn o n l i n e a ru n c e r t a i n t i e s ，r o b u s t 如c o n t r o lf o r n o n l i n e a rt i m e - d e l a ys y s t e m si ns t r i c t - f e e d b a c k f o r ma n do b s e r v e r - b a s e dr o b u s t 如c o n t r o lf o ru n c e r t a i n d i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t hb o t hs t a t ea n di n p u td e l a y sa r et h em 2 t i nc o n t e n t sw h i c ht h i s p a p e rg t u d 池 f i r s t l y , t h er o b u s t 如c o n t r o lf o ru n c e r t a i ns y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a yi sc o n - s i d e r e d t h eo b j e c t i v ei st od e s i g nc o n t r o l l e r ss u c ht h a tf o ra l lu n c e r t a i n t i e s ，t h er e s u l t i n g c l o s e ds y s t e mi sr o b u s ts t a b l ea n ds a t i s f i e st h ep r o p o s e d 如p e r f o r m a n c e b a s e do ut h e l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , t h ed e l a y - d e p e n d e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n g c o n t r o l l e rh a v eb e e np r o d u c e db yt h ed e s c r i p t i o nm o d e lt r a n s f o r m a t i o n c o n t r o l l e ri sd e - s i g n e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s b yu s i n gl m i t o o l b o xi nm a t l a b ，i ti se a s y t oo b t a i nt h eg a i nm a t r i xo ft h ec o r r e s p o n d i n gc o n t r o l l e r s e c o n d l y , t h er o b u s t 如c o n t r o lf o rac l a s so fn o n l i n e a rt i m e - d e l a ys y s t e m sw i t h s t r i c tf e e d b a c kf o r mi sc o n s i d e r e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , w ei n g e n i o u s l y c o n s t r u c tal y a p u n o vf u n c t i o n t h ec o n t r o l l e ro b t a i n e db yu s i n gt h eb a c k s t e p p i n gm e t h o d n o to n l yc a u s e st h ec l o s e d - l o o ps y s t e mt oe d g es t a b l yb u ta l s os a t i s f i i e st h e 如n o r m - b o u n d ，y f i n a l l y , ac l a s so fu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m sw i t hb o t hs t a t ea n di n p u td e l a y si sc o n - s i d e r e d i nt h ec o n d i t i o no ft h eu n k u o w ns t a t e so ft h es y s t e m ，w ee s t i m a t et h es t a t e s o ft h es y s t e mt h r o u g ht h ed e s i g no fo b s e r v e r t h e nt h ec o n t r o l l e rw h i c hi sd e s i g n e di n t h eo b s e r v e rf o u n d a t i o nn o to n l yc a u s e 8t h es y s t e mt oe d g es t a b l yb u ta l s os a t i s f i e st h e h p e r f o r m a n c e t h eo b t a i n e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s 妇t h ee x i s t e n c eo t h ec o n t r o h e r t r a n s f o r mt h ec o n t r o u e rd e s i g nq u e s t i o nt ot h el m is o l u t i o nq u e s t i o n b yu s i n gt h el m i i i t o o l b o xi nm a t l a b ，i ti se a s yt oo b t a i nt h eg a i nm a t r i xo ft h ec o r r e s p o n d i n gc o n t r o l l e r k e yw o r d s ：t i m e - d e l a ys y s t e m s ，r o b u s t 如e o m r o l ，u n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es y s t e m s ， s t a t eo b s e r v e r ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名日期竺! 乙盟! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复耩手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名： 4 2 第一章绪论 i 嘘着科学技术的不断发展，人们对实际生产过程的分析要求日益精密，各种较为精确 的分析和科学实验的结果表明，任何一个实际的物理系统都是非线性的所谓线性只是 对非线性的一种简化或近似，或者说是非线性的一种特例以往我们经常采用近似线性模 型，这虽然有助于我们方便地分析系统的特性，但是这种有误差的线性近似法难以全面地 刻画出系统的本质特性，远远不能满足现代生产中高科技应用对精确度的要求例如个 最简单的大家都熟悉的例子就是欧姆定理欧姆定理的数学表达式为u = i r 此式说明， 电阻两端的电压u 是和通过它的电流i 成正比，这是一种简单的线性关系但是，即使 对于这样一个最简单的单电阻系统来说，其动态特性，严格说来也是非线性的因为当电 流通过电阻以后就会产生热量，温度就要升高，而阻值随温度的升高就要发生变化，欧姆 定理就不苒是简单的线性关系了动力学中的虎克定理、热力学中的第一定律以及气体的 内摩擦力等等也都有类似的情况卫星的定位与姿态控制过程、机器人的特定动作等，是 不可能用线性化模型来刻画的，而这只能用非线性科学的思想和方法来解决 自2 0 世纪8 0 年代以来，非线性科学越来越受到人们的重视，数学中的非线性分析 非线性泛函，物理学中的非线性动力学，发展都很迅速与此同时，非线性系统理论也得 到了蓬勃发展，有更多的控制理论专家转入非线性系统的研究，更多的工程师力图用非线 性系统理论构造控制器，取得了一定的成就非线性系统与线性系统相比，由于它的内容 十分丰富，运动类型非常多，导致了非线性系统的研究与分析比线性系统复杂得多，难以 形成统一的方法对其进行分析和反馈控制设计但对于一些结构比较特殊的系统如仿射非 线性系统，则已形成比较完善和系统的方法，如基于微分几何理论的精确线性化方法、微 分代数和线性代数方法等 对于非线性系统，即使利用非线性数学模型来描述亦同样存在不确定性与线性系统 情况类似，不确定性有两个来源，一是未知的或不可预期的输入( 干扰噪声等) ；二是不可 预期的动态特性 另一方面，在各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的，如长管道进料或皮带传输 被控对象的元件老化等均存在时滞现象在时滞系统的控制回路中，由于时滞的出现将会 增加相位的滞后，即使在控制量的增加很小时，它仍然可能引起控制系统的不稳定，是系 第一章绪论 统性能变差的主要原因时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加困难，因此，在过去 几十年内，不确定时滞系统的稳定性分析和镇定问题受到很多学者关注，并取得了丰硕成 果 1 】【7 】在所取得结果中，根据是否依赖系统中时滞的大小，可以将稳定性条件分为时 潍独立【1 】和时滞依赖【2 】- 【7 】两类一般说来，当时滞较小时，时滞依赖的稳定性条件具 有较小的保守性而非线性系统出现了时滞问题将更加复杂和难以处理 。 由于非线性系统控制尚无统一的处理方法，故对于不确定非线性系统控制问题，较可 行和现实的方法是针对一些较有代表性的菲线性系统进行鲁棒分析和综合研究而所谓 鲁棒性是指系统稳定性或性能相对于系统参数摄动的不敏感性系统的鲁棒性愈好，可 保持稳定性或性能的参数允许摄动范围愈大在控制理论中，控制器的综合总是相对于系 统标称模型得到的，而建模误差和参数摄动又是不可避免的，因此鲁棒性已成为衡量系统 性能的个重要指标近年来，非线性时滞系统的鲁棒控制问题已引起了许多研究者的重 视，见文献【8 】- 【1 3 在许多控制过程中，我们希望设计的控制器不仅要镇定整个闭环系统而且要实现系统 满意的性能指标，其中的一种方法就是所谓的风。控制基于此种思想，日。性能问题 已取得了一些成果，见文献【1 4 一【2 7 】鲁棒比控制理论是在风。空间( 即h a r d y 空间) 通过某些性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的种控制理论控制界 将鲁棒月0 控制理论的发展过程分为两个阶段，分别以加拿大学者z a m e s 2 5 1 和美国学者 d o y l e 等人 2 6 】发表的两篇著名论文为标志称前一阶段的理论为经典鲁棒f k 控制理 论，称后一阶段的理论为状态空间鲁棒风。控制理论1 9 8 1 年，加拿大著名学者z a m e s 在其论文【2 5 中引入k 范数作为目标函数对系统进行优化设计，标志着e k 控制理论 的诞生1 9 8 8 年，d o y l e 等人在全美控制会议上发表的d g k f 论文【2 6 】，首先提出了简 化的状态空间巩。控制器求解公式，仅需要两个r i c c a t i 方程便可求得巩。优化控制器， 其阶次等于广义对象( 被控对象和加权函数) 的阶次 由于时同的本质上的连续性，自然界和工程界中的几乎所有系统都毫无例外地归属于 连续时间系统的范畴另一方面，时问的度量上的离散特点，例如年季月e l 、时分秒、毫秒 微秒纳秒等，又使得社会经济领域中的许多问题适宜于作为离散时问系统来处理和研究 从一定意义上来说，离散时间系统是对实际问题因需要和简便而导出的一类“等价性。系 统特别是，随着计算机的发展和普及，大量连续时间系统由于采用数字计算机来进行分 析或控制的需要，而被人为地通过时间离散化而化成为离散时间系统因此，在系统控制 2 第一章绪论 理论中，离散时间系统的重要性正变得愈来愈突出，这从一方面体现了当前时代的特征 3 第二章一类不确定非线性时滞系统的鲁棒上控制 文2 8 1 考虑的模型虽然带有非线性不确定性，但只就线性情况考虑了矾。性能问题 文【2 9 1 虽然考虑了月矗性能问题，但结果是以r i c c a t i 不等式是否有正定解给出的文 【1 8 l 考虑了非线性不确定时滞系统的鲁棒玩。控制问题，结论是以个线性矩阵不等式是 否有可行解给出的，但只考虑了非线性不确定性而没考虑参数不确定性本章同时考虑了 参数不确定性和非线性不确定性，利用描述器模型变换，以线性矩阵不等式的形式给出了 存在凰。控制器的时滞依赖的充分条件 2 1 问题描述及基本假设 考虑如下形式的含有参数不确定性和非线性不确定性的时滞系统 圣0 ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) 4 - ( 也+ a d ( t ) 净0 一d ( t ) ) + l ( t ，z 0 ) ，x ( t d ( t ) ) ) + ( 且+ a b x ( t ) ) u ( t ) + b 2 u ( ) ， z ( t ) = c x ( t ) + d w ( t ) ： z ( ) = 妒( ) ，【- - , u o 】( 2 - 1 ) 其中x ( t ) 舻是系统状态向量，“( ) 驴是系统控制输入，u ( t ) r q 有限能量的外 部扰动，即u ( ) l 2 【o o o ) ，z ( t ) 舻是被调输出，v ( t ) 是定义在【一p ，0 】上的实值连 续函数a ，a d 局，b 2 ，gd 是具有相应维数的已知矩阵，a a ( t ) ，a a d ( t ) ，a 岛( t ) 是 代表时变参数不确定性的未知矩阵，( ) 代表了n 维的非线性参数不确定性，d ( t ) 是时 变滞后时间并且满足0 d ( t ) p o o d ( t ) h 0 ，使得任意非零u ( ) l 2 o ，m ) 满足i iz 1 1 2 7 i l u i h 在给出本文主要结果之前，我们需要以下引理 引理z 工- 敝h 桐对给定的对称矩阵 兰：甜其中岛t 是维 的，则以下三个条件是等价的 ( i )s o ； ( i i ) s l 0 ，s 玉一3 i l i & 2 o ； ( i i i ) 如 0 ，s 1 l 一$ 1 2 对岛 0 使得 y + e h h t 4 - e 一1 e r e 0 2 2 鲁棒镇定 x ( t ) = 妒( t ) ，t 【- p ，o 】( 2 - 3 ) 由( 2 - 2 ) 和( 2 - 3 ) ，我们得到以下等价的描述器形式 0 = ( a + b l k + a d ) x ( t ) 一y ( t ) 一 d y ( 8 ) d s + f ( t ，z ( z ) ，x ( t d 0 ) ) ) ( 2 - 4 ) e：【。a：；：一。p一。1g-。h)三u+e一-m12qgh ) u 4 - e - 1 ，；， + a 。，t c ，+ 。一t z l 卢。，。， 。，c 二s ，【oa ：1 一 p 一( ，j 俨w 孙。， 仁s ， 其中 g = 丢三 ， 一h 二 + 叫a 攀7 g + p w + b 1 k i 刚删n s ： 【o 驴【a +一，j【 一， j 。 【，j 第二章一类不确定非线性时滞系统的鲁缝! k 控制 v 1 ( x t ) = z r ( t ) p z ( t m 伍) = ，x t ( s ) u x ( s ) d $ 圳= 正。y t ( s ) q y ( s ) d s d o t - d ( t ) ) =) ，k ( ) = ，( 孰) = j j u t + 8 沿系统( 2 - 4 ) 对y ( z t ) 求导得到 岛( ) = 2 x r ( t ) m ( t ) 劬) g t 吲 = 。，c 幻g 7 。a + 历? 翌，。一，o ， 一 二 。”c s ，幽+ ： ，) ，c 2 - s ， 其中叩t ( t ) = i ，( ) y t ( 吼，= f ( t ，z ( t ) ，z o d ( t ) ) ) 南弓【理2 1 3 可得 一2 r l t ( ) g 丁 厂f j t d 【) 【 p 矿( t ) w 砸) + ，( t ) q y ( s ) d s + ( t ) q y ( s ) d s 2 0 t ( t ) ( m j 一l 二l ( t ) 一一) ) ) 1 2 1 9 ) p 矿( t ) ，叮( ) + ， 一d 7i ) ( z ( t ) 一z ( t d o ) ) ) 1 2 9 ) t pl ，i di 由引理2 1 2 ，尸，满足以下不等式 ，7 ，= 0 ，酽酲0z 0 ) 0 2 + o i0z 0 一d o ) ) 1 1 2 + 2 a o a l0z 0 ) 0 i ix ( t d 0 ) ) s o 0z 0 ) 1 2 + 研0 x ( t d o ) ) 0 2 + ( n 3j jz ( ) 1 1 2 十a 20z 一d ( ) ) 0 2 ) = 2 a 3 x 7 ( ) z ( ) + 2 口；z r 0 一d ( f ) ) z 0 一d 0 ) ) ( 2 - 1 0 ) 再由引理2 1 2 和( 2 - 1 0 ) 式得到 2 竹7 ( t ) g t 0 和5 0 ，如果存在 0 和矩阵x 0 ，u 0 ，q 0 ， y ，z ，l ，可瓦使得以下矩阵不等式成立 8 第二章一类不确定非线性时滞系统的鲁棒。控制 其中 0 ( 1 6 ) a d u - ( 1 一h ) u 0xz t xx c t0 b 2 0 y t 000 00000 、2 0 1 - 7 1 000d t0 一移0 000 一p _ 1 虿0 00 - e 100 事 0 - 7 i 毋1 1 = z + + 厉l ， 毋1 2 = y + x a r + l t b t + t i x a t + 芦而- 2 一z r 锄= 一y y t + 回3 + i j 0 - z i 于是在控制器“( ) = l x _ 1 x ( t ) 作用下，系统( 2 一1 5 ) 渐近稳定并且满足 证明考虑性能指标 2 ( t ) 1 1 2 ，y0 u ( t ) 1 1 2 如2 j ( 7 - - 1 z t ( 。) ：( t ) 一w 7 ( 。) u ( 。) 】出 ， 选取l y a p u n o v 函数( 2 7 ) ，沿系统( 2 - 1 6 ) 求导得到 0 ，( 2 - 1 7 ) ( 2 一1 8 ) 矿( 以) x t ( ) u z ( f ) 一( 1 一h ) x r 0 一d ( t ) ) u x ( t d 0 ) ) + 肛可t ( ) q 可( t ) 一j ：。y t ( s ) q 掣( s ) d s 9 奉 事 屯锄。 + 。 + 。 ， + 九 奉 车 幸 。箩q j 砚矾。 一 。 + -_-_-_-_-_l 蔓= 三茎二耋至塑枣韭垡丝壁堂墨丝塑量堡丝苎丝墅 + z 叼7 c 幻俨 。a + b 。? 翌，。，一，。， a 0 。j - 。t 一。；，c s ，如+ ： ，+ 三 u c ”) 西：j一。：i：够王二：；，g。5：+。；。，t矿+。一-：。，pq，。，。， 其中 j 。 = s e 曼e n = h 一1 。7 ( t ) z o ) 一叩t ( t ) o j ( t ) + p ( x t ) d t y ( x t ) i t _ 。 h 一1 2 7 ( ) z ( ) 一下j t ( ) u ( ) + 矿( 现) 】d ，( t ) n ( ( t ) 出， 伊0 1 一m 【山jk 。卜 一( 1 一h ) u + e - - 1 2 n i ，0 ，y 一1 d r d 一7 j + d i a g u + 一1 2 ，+ r - i c 7 ep q ，0 ，o ) 妒如定理2 2 1 定义若q 0 ，则l 0 为了得到线性矩阵不等式，令m = 6 0 rj 。l ，d 为标量注意到 r p 一1o1 g _ 1 _ 【一巧1p l p 一1 巧1 j , a 8 4 x = p - 1 , y = 只- i , z = - 巧1 p l p - 1 用 d i a g ( g - 1 ) 7 ，) d i a g g ，n 分别左乘和右乘q 0 ，然后再利用s h c u r 补引理得到 第_ 二章一类不确定非线性时滞系统的鲁棒k 控制 孙卅 a o - ( 1 一h ) u 其中 ( g 一1 ) r 0 佤p 甲m ，r 。 0 0 o 一， 石= a + 马：+ 。a 。二 薹； + 言 + p ( g - i ) t w g - 1 + e ：1 i o 川 毋= 瞄品 p z t o 0 d r 0 0 一一v j 画l 0 o o 0 - e l o ( 2 - 1 9 ) 邶1 y 4 尸 令l = k x ，c g 。，7 w g 。= 刀= 二i ，于是c 二均，等价于 i 一u l。 。 i牛幸 一， oo 1 1 0 一， 0 和d 0 ，如果存在 0 ，芦 0 和矩阵x 0 ，可 0 ，虿 0 ，kz ，l ，i 玩使得以下矩阵不等式成立 咖l 也2 00x2 r 以q o xx c r0 x 亭+ l 7 伊 如( 1 一g ) a d - u 恳0 y t 0000 一( 1 一 ) 可0 0 0 0 0 屈1嵋 一7 1 0 0 0d t00 一- g00000 十 一p _ 1 虿0 000 0 十 - e l 0 00 - 7 i 4 o g a d - q i 0 虿j 0 一e 1 0 0 8 l ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 其中庐2 2 = 毋2 2 + p e 矿于是在控制器u ( f ) = l x - 1 z ( t ) 作用下，系统( 2 - 1 ) 渐近稳定并 且满足8 。( ) 1 1 2 ，y0u ( ) 怯 证明条件n 0 中的a ，也，和b 1 分别用 + e f ( t ) 从，a d + e f ( t ) k 和 b l 十e f ( t ) n b 替换可得 n + 豆f ( ) + y r r 7 0 ) j 尹 0 ，有 2 x y 否1 + 舻 3 2 主要结果 首先，对系统洚1 ) 作以下变换 五( ) = 甄( t ) + o t i 一1 l ( t ) ，z 2 ( ) ，x i 一1 ( ) ) 其中啦一l ( ) 是虚拟控制，定义为( 3 - 4 ) ，( 3 - 5 ) 在新坐标下，系统p 1 ) 变为 ( 3 - 2 ) j l o ) = z 2 ( t ) 一o l ( 2 1 ( ) ) + 日( z 1 ( ) ) + 日1 b ( t ) ，y ( t d 1 ( ) ) ) + 1 ( z l ( t ) ) u ， 三i ( ) = z i + l ( f ) 一啦( 磊( ) ) 4 - e ( 磊( f ) ) + h i ( y ( ) ，y ( t 一也( ) ) ) 4 - 啦( i ；( f ) 如 + 互t - 11 警【+ t ( ) 一a j ( e j ( ) ) + 乃( 而( f ) ) + 马( ( ) ，f p 一由( ) ) ) + 如( 奶( ) ) 卅 i = 2 ，一，n 一1 ， 磊( t ) = “( ) + r ( 磊( ) ) 4 - 上k ( ( t ) ，u ( t d 。( ) ) ) + 机( 霸( t ) p4 - e ! ； 【+ i ( t ) 一( 易( ) ) + 乃( 易( ) ) + 玛( ，( ) ，y ( t d a t ) ) ) + 奶( 两( ) ) u ， ( ) = z l ( ) ( 3 - 3 ) 1 7 第三章具有严格反馈形式的非线性时滞系统的鲁棒z k 控制 其中 n t = 日( 卵) ) + 去绯) + i 1 绯) + ；* t 们) + 劾1 绯) 靖( ，) + 互h 备n ；k 饬- ( 绯) ) + ；蚤n 薹k 击酬们执 c 啦咧删协l ( t ) + 荆1 移1 + 霎等鼬h ( 删堋删1 + 知霎c 等n 刊1 懈慨1 硼，霎c 等， i = 2 ，一，l 一1 ， ( 3 - 5 ) 缸= 一 r ( t ) ) + 磊“t ) + 磊1 ( ) + 互1 如( ) + 蓍茅 勺+ 。( t ) 一( 奶( 啪 + 乃( 础) ) 1 + 芴1 砷) 蓑( 等) z + 万1 枷) 积动 十刍枷) 萎( 等) 硼硼 ( 其中b u = 1 ，2 ，n ) 为任意正常数 定理3 2 1 对于非线性时滞系统( 3 - 1 ) ，控制器( 3 - 6 ) 和( 3 _ 2 ) ，( 3 4 ) ，( 3 - 5 ) 可以使闭环 系统渐近稳定且满足峨。范数界，y 证明对系统( 3 - 3 ) 取如下l y a p u n o v 函数 v ( t ) = v d t ) + k ( ) ， ( ) = p 2 ( ) + 考( ) ， k = 一喜骞击 啪，马：c 小m c s 胁 1 8 第三章具有严格反馈形式的非线性时滞系统的鲁棒z k 控翻 分别对h ( ) ，v 2 ( t ) 求导数得到 “( ) = 2 y ( t ) y ( t ) + 2 毛( ) 孟( ) ( 3 - 7 ) 其中 2 1 ，( ) 9 ( ) = 2 y ( t ) z 2 ( t ) 一口l ( 以( ) ) 4 - h ( 茁1 0 ) ) 4 - 月j ( f ( t ) ，v ( t d 1 0 ) ) ) + 妒l ( z l ( t ) ) 卅 2 可( t ) 【施o ) 一口l ( 2 1 ( f ) ) + 只( z - ( t ) ) 】+ ；9 2 ( ) + h 风l ( g ( ) ) 9 ( t ) + h h l 2 ( y ( t d d t ) ) ) y ( t d 1 ( ) ) 4 - 2 y ( t ) c o l ( x l ( t ) ) w ， ( 3 - 8 ) 对任意的口 0 ， 2 荆妒- ( z - ( 啪一m i l 2 2 i 荆w 圳p i i 一跏2 s 否1 巾) 矗( z ，) ，( 3 - 9 ) 因此 2 删一肿1 1 2 2 删啪) 一a 1 ( z 1 ( ) ) + e l ( z l ( ) ) + 芴1 + 菇1 i p i ( z i ) 】 + h h n ( y ( t ) ) y ( t ) + h i l l 2 ( p d 1 ( t ) ) b 一d l ) ) ，( 3 - 1 0 ) 当i = 2 ，n 一1 时， 2 z i ( t ) i i ( t ) = 2 ( f ) 盈+ 1 ( t ) 一q i ( 死( ) ) 4 - 只( 磊( ) ) 4 - 凰 ( ) ( t 一面( ) ) ) + 以( 磊( ) ) u + 薹i - - io 。, _ 1 叫f 旷( 础) ) + 盹) + 跏州吲啪) + 姚( f ) ) 讲 ( 3 - 1 1 ) 其中 2 ( ) 凰( ( ) ，9 ( 一d ( ) ) ) ；o ( ) + 凰- 白 ) ) g ( ) + h 2 ( “一吨( ) ) h ( 一也( ) ) ) ，( 3 - 1 2 ) 2 磊( ) 也( 磊( ) ) u p o u i l 2 2 i 五( t ) l 忆忙t ) o u i i 一卢o u i l 2 ；z ( ) f ；( 磊) ， ( 3 - 1 3 ) 1 9 第三章具有严格反馈形式的非线性时滞系统的鲁棒h 。控制 因此 2 础) 善等啪( c ) 州卜 枷譬c 等，2 + _ i l 码1 ( g ( t ) ) p ( ) + 吗2 ( y c t 一由( t ) ) o - d a t ) ) ，( 3 - 1 4 ) 2 硼) 善筹奶( 础) ) 一( 卜1 ) 剐1 2 2 j 萎百o o q - 1 奶t 巧) 一( ) 剐j 2 书12 霎( 等煳( 劲 ( w 5 ) 2 五( t ) 磊o ) 一p 8 u l l 2 蛾( t ) 协m ) 捌啪+ 腑) + 丽i 孙) + 等【钟一( 础) ) + 乃( 奶( ) ) 】+ 丽1 五( f ) 霎( 笔芋) 2 + 砺1 盈( d 妒；( 动+ 劢1 盔( 。i - 1 ( 鬟芋) 2 曰( 易) ) + 屿l ( f ( ) ) ( ) + 殇2 ( ，( f d a t ) ) ) y ( t d a t ) ) ( 3 - 1 6 类似的，可以得到 2 ( f ) 磊( ) 一n u 酽 2 ( t ) u ( t ) + r ( 牙n ( ) ) + 芴1 如( ) + 旦! o 坚：r j f 勺+ 1 ( ) 一q j ( 奶( t ) ) + 乃( 奶( ) ) 】 + 扣) 喜( 等) 2 + 秽1 帆) + 刊1 ”喜( 等髓( 枷 + 危马i ( 扩( ) 挎( ) + h 坞2 ( ( 一由( ) ) ) ( 一d a t ) ) ( 3 - 1 7 ) 另外有 也( t ) = h = i 第三章具有严格反馈形式的非线性时滞系统的鲁棒风。控制 蹦俐们) 一与等蹦如叫啪) 们卅啪】 nk 呜：扫o ) 扫( ) 一 吗。匆。一而( ) ) ) o 一吗( ) ) ， ( 3 - 1 8 ) k = l3 = 1 由( 3 - 4 ) 一( 3 - 1 8 ) 式可得 矿( t ) + f ：( t ) 一旦堕芋鱼p o 。o 。一壹乜考( d ，( 3 - 1 9 ) 令掣p = 中，于是有 l y ( t ) + f 2 ( ) 一7 2 i p 0 2 一考( ) ( 3 - 2 0 ) 由( 3 - 2 0 ) 式知，当u = 0 时，y ( t ) 0 ，从而闭环系统渐近稳定进一步地，由于y ( ) 正定，且v ( 0 ) = o ，所以有 r l ( s ) j 2 d s 0 可任意小，故当l l 取定时，y 2 可任意小 3 3 算例与仿真 考虑下面的非线性时滞系统 士l ( ) 奶( t ) x 2 ( t ) + o 5 z ( 一d a ( t ) ) s i n t + t 一o 8 z f ( t ) 这里日= 0 ，h 1 = o 5 z ( 一d