（概率论与数理统计专业论文）一个平均剩余寿命递减的新非参数检验方法.pdf

原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 敝作者签名：逝日期：燮：刖 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅：本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索；可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：瞰导师签 期，幽羔：! ： 兰州大学硕士学位论文 致谢 谨把此文献给我的导师一李效虎教授! 您力求在集体中创造一种共同热爱科学和渴求知识的气氛，使智力兴趣成为一条线 索，把学生连接在一起；您教导我们看书不能有信仰无思考，要大胆提出问题，勤于思 考，找出问题的最本质思想一一读书无疑者须教有疑，有疑者却要无疑，到这里才是长 进；您教导我们要有严谨诚实的科研作风，剽窃的思想正如借来的钱一样，只显示借债 者的贫乏罢了；您深思熟虑的思想好比火星，一颗火星必会点燃另一颗火星 本论文是在导师的精心指导下完成的，导师渊博的知识、勤勉敬业的精神、精益求 精的治学态度、严谨的科研作风和崇高的人格魅力将是我终生的一面镜子 三年来承蒙教诲之恩，未经酬报，谨表示衷心地感谢! 感谢老师三年来如春风细雨 般地言传身教，并祝愿老师青春常驻、工作生活一帆风顺! 曹文芹 2 0 0 5 年4 月 前言 在可靠性理论中，对系统寿命长度随机规律的研究与人们的工作和生活休戚相关， 因为产品( 系统) 故障所造成的后果随时都能感觉到在五、六十年代的研究中，如何利 用寿命数据( 一组样本) 对其进行统计分析占据了很重要的地位例如，确定这些数据 来自什么总体，以及如何进行参数估计等其后，随着理论本身发展的需要，开始了对 具有共性的一类寿命分布函数性质的探讨，形成了寿命分布类的概念例如，基于对老 化、磨损等现象的直观经验，引进了诸如“新比旧要好”( n b u ) ，“依平均意义新比旧 好”( n b u e ) ，“平均剩余寿命递减”( d m r l ) ，“失效率递增”( i f r ) 等分布类无 论是在科研中，还是在实践中，对寿命分布性质的研究都具有重要意义 在实际研究中，通常不能给出一组样本的精确分布函数，所以检验一组数据的分布 形式是否具有某种特性变得至关重要例如，p r o s e h a na n dp y k e ( 1 9 6 7 ) 对i f r ( d f r ) 性质建立了检验；h o l l a n d e ra n dp r o s c h a n ( 1 9 7 2 ) 、a h m a d ( 1 9 7 5 ) 和d e s h l ) a n d ea n d k o c h a r ( 1 9 8 3 ) 先后对n b u ( n w u ) 性质建立了检验；b e l z u n c e e ta l ( 2 0 0 0 ) 对n b u e 性 质建立了检验等等自从1 9 7 5 年，h o l l a n d e r 和p r o s c h a n 首次对平均剩余寿命递减性 质( d m r l ) 建立了一个非参数检验以来，人们对d m r l 性质的检验已作了许多研究 k l e s j 5 ( 1 9 8 3 ) ，b a n 咖o p a d h y a ya n db a s u ( 1 9 9 0 ) ，b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 0 ) 和a h m a d a n d m u g d a d i ( 2 0 0 4 ) 分另研究了d m r l 性质的检验本文对d m r l 性质给出一个新的非参 数检验方法，并对该方法的性能进行了深入的研究 本论文是在我的导师李效虎教授的精心指导下完成的，在此表示深切地感谢i 同时 感谢我的同门冯秀英同学，文中不少成果与她紧密地协助分不开；同时也要感谢我 l i d , 组的每一位成员，学习期间与他们的讨论让我获益颇多；最后还要感谢我的父母，他们 三年如一日的支持是我学习的动力 2 曹文芹 兰州大学 2 0 0 5 年4 月 兰州大学硕士学位论文 摘要 3 本文基于d m r l 程度的刻画，建立了一个平均剩余寿命递减性质的新非参数检验方 法证明了该检验统计量的渐近正态性；并通过计算p i t m a n 渐近效率，对该方法与文献 中其它方法进行了比较；利用e d g e w o r t h 展开成功提高了该统计量的收敛速度最后， 通过一些数值例子展示了新检验方法的优劣性 关键词：渐近正态性；d m r l ；e d g e w o r t h 展开；j a c k k n i f e 估计；p i t m a n 渐近效 率；检验假设；u 一统计量 中圉分类号：0 2 1 2 2 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t 4 i nt h i sp a p e r ，w ed e v e l o pan e wt e s ts t a t i s t i cf o rt e s t i n gt h es t r i c td m r l a g i n g p r o p e r t yo fc e r t a i nl i f ed i s t r i b u t i o no fi n t e r e s t t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yi se s t a b l i s h e d a n dt h ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h et e s tp r o p o s e da n ds o m eo t h e rr e l a t e do n e si n1 i t e r a t u r e i sc o n d u c t e dt h r o u g he v a l u a t i n gt h ep i t m a n sa s y m p t o t i cr e l a t i v ee f f i c i e n c y e d g e w o r t h e x p a n s i o ni s a l s ou s e dt oi m p r o v e dt h ea c c u r a c yo ft h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h i st e s t s t a t i s t i c s o m en u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e da sw e l lt od e m o n s t r a t et h ep e r f o r m a n c e a n dt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h en e w t e s t i n gp r o c e d u r e k e yw o r d s ：a s y m p t o t i cn o r m a l i t y ；d m r l ；e d g e w o m be x p a n s i o n ；j a c k k n i f e ；p i t m a n s a s y m p t o t i ce f f i e i e n c y it e s t i n gh y p o t h s i s ；u s t a t i s t i c a m s s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：6 0 g 1 0 ，6 2 e 2 0 第一章预备知识 本章主要介绍了一些基本年龄性质和随机序，并阐述了论文的背景 假设非负随机变量x 表示元件的寿命长度，其分布函数和生存函数分别记为f ( t ) 和f ( t ) = 1 一f ( t ) ，元件生存到时刻t 0 的剩余寿命x t = ( x t l x t ) ，它的生存 函数由下式给出 施) = 掣，z 0 函数 e 五_ 雎刮，= 鼯，桐炒。 f f 外 。1r ，7 ” 0 ，其它 给出了元件的平均剩余寿命，这在寿命分布类和寿命检验中非常有用详细的资料读者 可以参阅b r y s o na n ds i d d i q u i ( 1 9 6 9 ) ，b a r l o wa n dp r o s c h a n ( 1 9 8 1 ) 和h o l l a n d e r a n d p r o s c h a n ( 1 9 8 4 ) 下面给出几个论文中要用到的随机序定义 定义1 ( i ) 设x ，y 为两个随机变量，若对任意t ， p ( x t ) p ( y t ) 成立，则称x 随机地小于y ( 记作x “y ) ； ( i i ) 设x ，l ，是具有绝对连续分布函数的两个非负随机变量，其失效率函数分别为 r 和q ，若对t o ， r ( t ) q ( t ) 成立，则称x 在失效率序意义下小于l ，( 记作x y ) ； ( i i i ) 设随机变量x ，y 分别具有分布函数f 、g ，若对所有的z ，不等式 ，o 。r o o 声( u ) d u g ( u ) d u 成立，则称x 在增凸序意义下小于y ( 记作x 冬。y ) ； ( i v ) 蓍对所有的凸函数妒( z ) ，不等式 e ( 妒( 。y e x ) ) se ( 妒( y e y ) ) 成立，则称x 依膨胀序小于y ( 记为x 0 ，n 足够大，势函数为 耻，= p ( 芳 c ) = p ( 等笋犷等) = 熙卜( c 一等) = 熙圣( 一等) 兰州大学硕士学位论文1 2 这里西是标准正态随机变量的分布函数 显然，当 0 时，势函数是递增的，渐近显著水平( c ) = 卢( o ) = 垂( 一c ) c 的最 小值可以通过解垂( 一c ) 血得到，即由蛋( 一c ) = o l 得到，那么c = 一g ( d ) = z ( 1 一q ) ， 这里4 1 一q ) 是标准正态分布的1 一o z 分位数 第三章检验方法的渐近相对效率与改进 在本章中，我们研究了前一章所提出的检验统计量的有效性，并改进了该统计量 第一节考察了我们的检验统计量的相对效率，第二节通过e d g e w o r t h 展开成功提高了该 统计量的收敛速度 3 1p i t m a n 渐近相对效率 对一个假设检验问题，若有& ，是两列检验统计量，其中n 为样本容量若对同 样的显著水平a 和样本容量n ，比较此二列检验，通常比较它们的势函数，大者为优 一般来说，使用的样本容量越大，势函数的值就会越高因而，可以规定势函数的值，比 较它们达到此势所需要的样本容量，所需样本容量小者为优p i t m a n 渐近相对效率就 是在零假设的一个邻近区域内，对确定的势，比较所需要的样本容量 。 在本节中，我们通过计算p i t m a n 渐近相对效率，对第二章提出的检验统计量与文 献中已提出的有关d m r l 的检验统计量作了比较，同时也与其它各种相关的寿命性质的 检验统计量作出了比较 考虑一列备选分布函数f ，其参数为如= 如十卢n 一 ，这里目是任意的正常数， 对应于指数分布如果检验统计量是均值为( p ) ，方差为a 2 ( 口) 礼的渐近正态随 机变量，则的p i t m a n 效率是 蹦咖熙甓媒 我们计算下面三种模型的p i t m a n 效率e f ( “) 1 l i n e a rf a i l u r er a t e ( l f r ) 脚h 一 一( z + 譬) ) ，创， 2 m a k e h a m 咒( z ) = 1 一e x p 一( z + o ( x + e x p 一z 一1 ) ) ， z 0 ，目0 3 w e i b u l l f 3 ( x ) = 1 一e x p 一石8 ，z 0 ，p 之0 为了展示新检验方法的性能，计算我们的检验方法的p i t m a n 效率与近二十年来已 有的检验方法的p i t m a n 效率的比值 下面列出的检验统计量是文献中针对某种寿命性质研究过的。 1 3 兰州大学硕士学位论文 1 4 岛m m 由b e h u n e e e ta l ( 2 0 0 0 ) 基于d m r l 性质的刻画而建立的 l i ( 3 j 由a b r o a da n dm u g d a c l i ( 2 0 0 4 ) 基于d m r l ( i m r l ) 性质的刻画而建立的 v + 由h o l l a n d e ra n dp r o s c h a n ( 1 9 7 5 ) 基于d m r l ( i m r l ) 性质的刻画而建立的 k ( ) 由b a n d y o p a d h y a ya n db a s u ( 1 9 9 0 ) 基于d m r l ( i m r l ) 性质的刻画而建立 的 知b u e 由b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 0 ) 基于n b u e 性质的刻画而建立的 a 2 由k l e f s j 6 ( 1 9 8 3 a ) 基于i f r ( d f r ) 性质的刻画而建立的 v 由p r o s c h a na n dp y k e ( 1 9 6 7 ) 基于i f r ( d f r ) 性质的刻画而建立的 厶由h o l l a n d e ra n dp r o s c h a n ( 1 9 7 2 ) 基于n b u ( n w u ) 性质的刻画而建立的 巩由a h m a d ( 1 9 7 5 ) 基予n b u ( n w u ) 性质的刻画而建立的 由d e 8 h p a n d ea n dk o c h a r ( 1 9 8 3 ) 基于n b u ( n w u ) 性质的刻画而建立的 b 由k l e f s j 6 ( 1 9 8 3 a ) 基于i f r a ( d f r a ) 性质的刻画而建立的 k + 由h o l l a n d e ra n dp r o s e h a n ( 1 9 7 5 ) a n dk l e f s j 5 ( 1 9 8 3 b ) 基于h n b u e ( h n w u e ) 性质的刻画而建立的 瓦由j a m m a l a m a d a k aa n dl e e ( 1 9 9 8 ) 基于h n b u e ( h n w u e ) 性质的刻画而建立 的 表3 1 列出了我们的检验统计量与文献中已有的统计量的渐近相对效率可以看出， 对前面列出的三种备选假设分布模型，我们的检验比b e 如u n c ee ta l ( 2 0 0 0 ) 中的检验都 更有效与a h m a da n dm u g d a d i ( 2 0 0 4 ) 中的检验相比，仅对线性失效率的备选假设更有 效 壹! ：! ! 渔垂塑麴夔墨 检验统计量l f r m a k e h a mw e i b u l l k +1 1 1 1 10 6 2 7 70 4 3 0 7 墨! ：! 望! ：! ! 竺! ：! ! 堕 兰州大学硕士学位论文 3 2e d g e w o r t h 展开 1 5 假设统计量死的分布是渐近正态的，在一般条件下，死分布函数的近似仅利用了 b 的一阶矩和二阶矩，还可以利用三阶矩和四阶矩改进正态近似，称之为e d g e w o r t h 近 似( 见b h a t t a c h a r y aa n dr a o ，1 9 7 6 ，p 5 3 8 ) 在一些实际情况下，第二章所提出的检验方法的势函数是值得关注的为此，我们 会忽略样本的分布函数，以u 一统计量的渐近正态性近似计算势函数若通过应用e d g e w o r t h 展开提高u 一统计量的收敛速度，就可以提高计算的精确度，这正是本节所要探讨 的问题 记 h o ( x 1 ，恐，x 3 ) = 石1 h ( x i ，x j ，) ， 。1 i j ， 三3 i j k 很容易证明 e h o ( x 1 ，如，x 3 ) = a ， e h 3 ( x l ，恐，x 3 ) 。 这样( 2 3 ) 式中的u 一统计量可以表示为 令 ： 。 l t j ( 一) a ( 一31 ) 。 h 0 ( x 1 ，x3 ，x k 、 其中i = 1 ，n 记 玷；善n 礤， 则爵= v a r ( 面) 的j a c k k n i f e 估计为 砩= ( 瓦一硝) 2 由a r v e s e n ( 1 9 6 9 ) ，砖是碚的强一致估计 应用s l u t s k y 定理和定理2 1 1 ，可以得到下面的定理 定理3 2 1 假定e h 3 ( x 1 ，恐，墨) o 。，则对任意x r l i ms u p l p f “_ o 。l v 伍( u o a ) 。) 一吣) 1 = 。 ( 。，) 蕊甄 巧 潞 兰州大学硕士学位论文1 6 现在，对给定的0 2 ，使得e i g ( x 1 ) i o g 和e i 矽( x l ，x 2 ) l o 。成立，则对所有的z r ，有 概s u 。p n ；l p ( 迹sz ) 删。) 卜 因为( 3 3 ) 式中的a 1 和入2 通常是未知的， 此，我们下面的问题是为它们寻求合理的估计 所以定理3 2 ，2 不适用于实际情况为 记 t ( n i d ) = 咿) = 丽( n i 2 ) 1 。h ( x k ，瓦) = 上n1 宝掣， 螽： 元= ( 旷纛。掣， 兰州大学硕士学位论文 a 1 和a 2 的j a c k k n i f e 估计是 a 2 = ；靠耋一群) 3 2 1 f 一 一一+ 霸2 棚) ( 瓦一拶) 一砖) 用天l 和支2 替换( 3 3 ) 式中的a 1 和a 2 ，可以得到经验e d g e w o r t h 展开 矗( z ) = 西( z ) + 6 1 1 毋( 。) ( ( 2 x 2 + 1 ) ，+ 3 ( z 2 + 1 ) 天。) 再次应用p u t t e ra n dz w e t ( 1 9 9 8 ) 中的推论2 1 ，可以得到下面的定理 定理3 2 3在定理3 2 2 的条件下，对所有的z r ，有 赢u p f p ( 迹掣s 。) 坷。) 卜。 1 7 现在，我们为检验( 3 2 ) 中的统计量找到了一个更好的近似分布，该分布具有二阶精 确度对给定的0 n 1 ，若 譬猁1 刊， ( 3 4 ) 则拒绝原假设h o ，这里j ( 1 一o ) 满足疗( ( 1 一。) ) = 1 一o 第四章一些数值结果 前两章我们致力于理论的研究，作为对所得成果的验证，本章将作一些数值模拟 首先，把我们的检验方法应用到b r y s o na n d 威d d i q u i ( 1 9 6 9 ) 观测到的一组数据( 见 表4 1 ) ，这是4 3 位患白血病的病人自从被诊断到死亡的剩余寿命利用这些数据，表 4 2 列出了t l o l l a n d e ra n dp r o s c h a n ( 1 9 7 5 ) 建立的d m r l 检验和n b u e 检验的p 值、 j a m m a l a m a d a k aa n dl e e ( 1 9 9 8 ) 建立的h n b u e 检验的p 值、第2 2 节建立的检验的 p 值、第3 4 节建立的检验的p 值 表4 1 ：b r y a o na n d $ i d d i q u i ( 1 9 6 9 ) 观测到的剩余寿命数据 74 75 87 41 7 72 3 22 7 32 8 5 3 1 74 2 94 4 04 4 54 5 54 6 84 9 54 9 7 5 3 25 7 15 7 95 8 16 5 07 0 27 1 57 7 9 8 8 19 3 09 0 09 6 81 0 7 71 1 0 91 3 1 41 3 3 4 1 3 6 71 5 3 41 7 1 21 7 8 41 8 7 71 8 8 6 2 0 4 52 0 5 6 2 2 6 02 4 2 92 5 0 9 壹! ：! ! 煎拴墅塑垦翅拴墼旦壹垒：! 主笪錾堡堡型笪堡笪 检验方法观测到的p 一值 d m r lt e s th o l l a n d e ra n dp r o s e h a n ( 1 9 7 5 ) n b u et e s th o l l a n d e ra n dp r o s e h a n ( 1 9 7 5 ) h n b u et e s tj a m m a l a m a d a k aa n dl e e ( 1 9 9 8 ) t h et e s td e v e l o p e di n ( 2 5 ) t h et e s td e v e l o p e di n ( 3 4 ) 下面把我们的两个检验分别应用于参数为1 的指数分布和一个具有d m r l 性质的 寿命分布，其分布函数如下： f ( x ) = 1 一e x p 一x 一4 ) ， z 0 表4 3 和表4 4 分别列出了检验的势函数由这些模拟数据可以看出 是非常合理的，而且对新检验方法的改进效果很明显 1 8 ( 4 1 ) 新检验方法( 2 5 ) 3 6n 缸眈砌砌m ；宝蚓加加叫叫 ( ( i i 兰州大学硕士学位论文 1 0 1 5 2 0 0 7 1 2 4 1 6 0 ，7 8 7 8 9 0 0 2 2 3 4 3 4 0 2 3 8 1 0 4 o 2 1 5 3 8 1 0 4 1 1 5 9 9 o 1 2 5 6 4 5 0 0 2 3 8 9 3 0 3 3 2 3 7 5 表4 4 ：分布函数为( 4 1 ) 式d m r l 寿命分布的势 1 01 3 0 9 7 5 20 9 0 4 8 6 00 9 2 2 8 5 9 1 5 2 0 1 5 2 2 5 0 5 2 0 8 2 5 0 5 0 9 3 6 0 5 9 0 9 8 1 3 5 2 0 9 3 3 0 5 1 0 9 9 8 9 9 3 参考文献 1 a h r n a d ，i a a n dm u g d a d i ，a r ( 2 0 0 4 ) f u r t h e rm o m e n t s i n e q u a l i t i e so fl i f ed i s t r i b u t i o n 8 w i t hh y p o t h e s i st e s t i n ga p p l i c a t i o n s ：t h ei f r a ，n b u ca n dd m r l c l a s s e s j o u r n a lo fs t a t i s t i c a lp l a n n i n ga n di n f e r e n c e1 2 0 ( i 一2 ) ，i - 1 2 2 a h m a d ，i a ( 2 0 0 1 ) m o m e n t si n e q u a l i t i e so fa g i n gf a m i l i e so fd i s t r i b u t i o n sw i t hh y p o t h e s e s t e s t i n ga p p l i c a t i o n s j o u r n a lo fs t a t i s t i c a lp l a n n i n ga n di n f e r e n c e9 2 ( i 一2 、1 2 1 1 3 2 3 a h m a d ，i a ( 1 9 7 5 ) an o n p a r a m e t r i ct e s tf o rt h em o n o t o n i c i t yo faf a i l u r er a t ef u n c t i o n c o m m u n i c a t i o ni ns t a t i s t i c s t h e o r y 目m e t h o d s4 9 6 7 - 9 7 4 4 a r v e s e n ，j n ( 1 9 6 9 ) j a c k k n i f i n gu s t a t i s t i c s n ea n n a l so fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s4 0 ( 4 ) ， 2 0 7 6 2 1 0 0 5 】5b a n d y o p a d h y a y , d a n db a s u ，a p ，( 1 9 9 0 ) ac l a s so ft e s t sf o re x p o n e n t i a l i t ya g a i n s td e - c r e a s i n gm e a nr e s i d u a ll i f ea l t e r n a t i v e s c o m m u n i c a t i o ni ns t a t i s t i c s t h e o r ygm e t h o d s1 9 9 0 5 9 2 0 6 】b a r l o w ，r e a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 8 1 ) s t a t i s t i c a lt h e o r y 盯r e l i a b i l i t ya n d 三啦t e s t i n g t o b e g i nw i t h ，s i l v e rs p r i n g ，m d 7 b e l z u n c e ，f ，c a n d e l ，j a n dr u i z ，j m ( 1 9 9 6 ) d i s p e r s i v eo r d e r i n g sa n dc h a r a c t e r i z a t i o n s o fa g e i n gc l a s s s t a t i s t i c sa n d p r o b a b i l i t yl e t t e r s2 8 ，3 2 1 3 2 7 【8 】b e l z u n c e ，f ( 1 9 9 9 ) o nac h a r a c t e r i z a t i o no fr i g h ts p r e a do r d e rb yt h ei n c r e a s i n gc o n v e x o r d e r s t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t yl e t t e r s4 5 ，1 0 3 1 1 0 9 b e l z t m c e ，f ，c a n d e l ，j a n dr u i z ，j m ( 2 0 0 0 ) t e s t i n gm e a nr e s i d u a la l t e r n a t i v e sb yd i s - p e r s i o no fr e s i d u a ll i v e s j o u r n a lo ys t a t i s t i c a lp l a n n i n ga n di n f e r e n c e2 8 ，3 2 1 3 2 7 ( 1 0 b h a t t a c h a r y a ，r h a n dr a o ，r ( 1 9 7 6 ) n o r m a la p p r o x i m a t i o na n da s y m p t o t i ce x p a n s i o n n e w y o r k ：w i l e y f l l lb i c k e l ，pj ( 1 9 7 7 ) m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s p r e n t i c e - h a l l 1 2 b i l l i n g s l e y ，p j ( 1 9 6 8 ) p r o b a b i l i t ya n dm e a s u r e j o h nw i l e ya n ds o n s ，n e wy o r k 【1 3 】b r o w n ，m ( 1 9 8 0 ) b o u n d s ，i n e q u a l h i e s ，a n dm o n o t o n i c i t yp r o p e r t i e sf o rs p e c i a l i z e dr e n e w a l p r o c e s s e s a n n a l so fp r o b a b i l i t i e s8 ，2 2 7 - 2 4 0 1 4 】b r y s o n ，m c a n ds i d d i q u i ，m m ( 1 9 6 9 ) s o m ec r i t e r i af o ra g i n g j o u r n a lo fa m e r i c a n s t a t i s t i c a la s s o c i a t i o nf i 4 ，1 4 7 2 1 4 8 3 【1 5 c a i ，j ( 1 9 9 5 ) r e l i a b i l i t yl o w e rb o u n d sf o rh n b u e d i s t r i b u t i o n sc l a s sw i t hk n o w nm e a n a n dv a r i a n c e m a t h e m a t i c aa p p l i c a t e8 4 4 0 - 4 4 5 【1 6 c h e n g ，k a n dh e ，z ( 1 9 8 9 ) r e l i a b i l i t yb o u n d sf o rn b u e a n dn w u ed i s t r i b u t i o n s a c t a m a t h e m a t i c a ea p p l i c a t es i n i c a5 ，8 1 - 8 8 1 7 d e s h p a n d e ，j v a n dk o c h a r ，s c ( 1 9 8 3 ) al i n e a rc o m b i n a t i o no ft w ou - s t a t i s t i c sf o r t e s t i n gn e w b e t t e rt h a nu s e d c o m m u n i c a t i o n 讥s t a t i s t i c s - t h e o r y 日m e t h o d s1 2 ，1 5 3 1 5 9 【1 8 h a l l ，p ( 1 9 9 2 ) t h eb o o t s t r a pa n de 由e w o r t he x p a n s i o n s p r i n g - v e r l a g ，n e w y o r k 1 9 h o e f f d i n g ，w a ( 1 9 4 8 ) ac l a s so f s t a t i s t i c sw i t ha s y m p t o t i c a l l yn o r m a ld i s t r i b u t i o n t h e a n n a l so fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s1 9 ，2 9 3 3 2 7 5 兰州大学硕士学位论文 2 0 jh o l l a n d e r ，m a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 7 2 ) t e s t i n gw h e t h e rn e w i sb e t t e rt h a nu s e d a n n a l s 。， m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s4 3 ，1 1 3 6 - 1 1 4 6 2 1 h o l l a n d e r ，m a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 7 5 ) t e s t sf o rt h em e a nr e s i d u a ll i f e b i o m e t r i k a6 2 ， 5 8 5 - 5 9 3 2 2 】h o l l a n d e r ，m a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 8 4 ) n o n p a r a m e t r i cc o n c e p t sa n d m e t h o d si nr e l i a b i l i t y ， i np r k r i s h n a i a ha n dp k s e n ，( e d s ) h a n d b o o ko ys t a t i s t i c s ，4 ，n o n p a r a m e t r i cm e t h o d s ， n o r t hh o l l a n d ，a m s t e r d a m ，6 1 3 6 5 5 【2 3 1 j a m m a l a m a d a k a ，s r a n dl e e ，e ( 1 9 9 8 ) t e s t i n gf o rh a r m o n i cn e w b e t t e rt h a nu s e di n e x p e c t a t i o n p r o b a b i l i t yi ne n g i n e e r i n ga n di n f o r m a t i o n a ls c i e n c e1 2 ，4 0 9 - 4 1 6 2 4 k l e f s j 6 ，b ( 1 9 8 3 a ) s o m et e s t sa g a i n s ta g i n gb a s e do nt h et o t a lt i m eo nt e s t