（应用数学专业论文）若干分布参数系统的参数辨识以及图像分析与应用研究.pdf

摘要 分布参数系统的参数辨识和数字图像恢复是典型的数学物理反问题，本文前两章分别 对这两方面进行了探索研究。第一章讨论了一类二维分布参数系统的多参数同步辨识问 题。首先利用l a p l a c e 变换对原系统方程进行了转换；然后结合最优控制原理定义目标泛 函，将参数辨识问题转化为最优控制问题。本文证明了目标泛函的适定性，所以可以对不 连续的参数进行有效的辨识。该方法将待辨识参数进行整体处理，降低了问题的求解维数， 此外由于该方法不涉及数学模型的构造和内部结构，可以用于解决一些更为复杂的系统： 最后本文进行了数值模拟试验，验证了文中所给方法的可行性。 由于图像恢复中的解卷通常是不适定的，常常采用正则化方法来保证恢复图像的质 量。在第二章中，本文考虑将带一致方差约束的正则化方法应用于图像的恢复，为此详细 讨论了恢复图像的方差与模糊算子的离散矩阵的奇异值之间的关系，并从理论上证明了带 一致方差约束的正则化方法的适定性。本文利用带一致方差约束的正则化方法进行了图像 恢复试验，试验结果表明该方法优于t i k h o n o v 正则化方法。 热流密码体制是以伪抛物型方程为模型的一类非传统的新型密码体制。关于该体制已 经有大量有用的结论，但是要将其应用于实际，还有许多问题尚待解决。在第三章中，本 文讨论了基于二维伪抛物型方程的图像加、解密快速实现问题。首先证明了基于二维连续 模型的加、解密问题是适定的，为加、解密实验提供了理论依据；然后根据模型的二维c - n 格式系数矩阵的特殊稀疏结构，给出快速迭代求解算法，并成功地进行了图像加、解密的 数值试验：最后对基于二维伪抛物型方程的图像加、解密方法的安全性进行了详细的试验 讨论。 关键词；分布参数系统；反问题；伪抛物型方程；参数辨识；图像恢复；正则化；热流密 码体制；数值模拟：安全性 a b s t r a c t p a r a m e t e r se s t i m a t i o no ft h ed i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e ma n dd i g i t a li m a g er e s t o r a t i o na r e r e p r e s e n t a t i v em a t h e m a t i c a la n dp h y s i c si n v e r s ep r o b l e m ，a n dt h e ya r ee x p l o r e di nt h ef i r s tt w o c h a p t e r so ft h i sp a p e r c h a p t e r1d i s c u s s e sm u l t i p l ep a r a m e t e r ss i m u l t a n e o u se s t i m a t i o no fa t w o d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ；f i r s t ，t h ed i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e mi s t r a n s f o r m e db ya p p l y i n gal a p l a c et r a n s f o r m ；t h e nb yd e f m i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o nc o m b i n e d w i mt h ep r i n c i p l eo fo p t i m a lc o n t r 0 1 t h ep r o b l e mo fp a r a m e t e re s t i m a t ei sc o n v e r t e di n t ot h e p r o b l e mo fo p t i m a lc o n t r 0 1 t h ew e l l - p o s e d n e s so ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni sp r o v e d ，s o d i s c o n t i n u o u sp a r a m e t e r sc a l lb ei d e n t i f i e de f f e c t i v e l y t h i sm e t h o dd e a l sw i t ht h ee s t i m a t i n g p a r a m e t e r sa saw h o l e ，s oi tr e d u c e st h ed i m e n s i o no ft h ep r o b l e m ，f u r t h e r m o r e ，s i n c et h e c o n s t r u e t i o na n di n t e r i o rs t r u c t u r eo ft h em a t h e m a t i c a lm o d e la r en o ti n v o l v e d , t h i sm e t l l o dc a l l b eu s e dt os o l v es o m em o r ec o m p l i c a t e ds y s t e m s ；a tl a s t , n u m e r i c a ls i m u l a t e de x a m p l ei s o f f e r e db yt h ep a p e r , w h i c hs h o w st h ef e a s i b i l i t yo f t h ep r o p o s e da p p r o a c h b e c a u s et h ed e e o n v o l u t i o no ft h ed i g i t a li m a g er e s t o r a t i o ni s u s u a l l yi l l - p o s e d ，t h e r e g u l a f i z a t i o nm e t h o d sa r cu s u a l l yu s e dt on s s u l - et h eq u a l i t yo ft h er e s t o r e di m a g e i nc h a p t e r2 ， t h ep a p e rc o n s i d e r sa b o u ta p p l y i n gt h er e g u l a r i z e dm e t h o dw i t hav a r i a n c eu n i f o r m i z a t i o n c o n s t r a i n tt oi m a g er e s t o r a t i o n , t h e r e f o r ew ed i s c u s s e st h er e l a t i o nb e t w e e nt h ev a r i a n c eo ft h e r e s t o r e di m a g ea n dt h es i n g u l a rv a l u eo ft h ed i s c r e t em a t r i xo ft h eb l u ro p e r a t o ri nd e t a i l ，a n d t h e o r e t i c a l l yp r o v e st h ew e l l - p o s e d n e s so f t h er e g u l a r i z e dm e t h o dw i t hav a r i a n c eu n i f o r m i z a t i o n c o n s t r a i n t t h ep a p e rd o e se x p e r i m e n to nt h ei m a g er e s t o r a t i o nb yu s i n gt h er e g u l a r i z e dm e t h o d w i t l lav a r i a n c eu n i f o r m i z a t i o nc o n s t r a i n t , a n dt h er e s u l t ss h o wt h a tt h i sm e t h o do u t g o e st h e t i k h o n o vr e g u l a r i z e dm e t h o d t h eh e a tf l o wc r y p t o s y s t e mb a s e do np s e u d o - p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sa l l u n c o n v e n t i o n a ln e wc r y p t o s y s t e m t h i sc r y p t o s y s t e mh a sl o t so fu s e f u lc o n c l u s i o m b u tt h e r e w e l lb em a n y p r o b l e m sn e e d e dt ob es o l v e di f i ti sb e i n gp u ti n t op r a c t i c e i nc h a p t e r3 ，t h ep a p e r d i s c u s s e st h ef a s tr e a l i z a t i o no fe n c r y p t i o na n dd e e r y p t i o nw h i c hb a s e do nt h et w o d i m e n s i o n a l p s e u d o - p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n f i r s t ，t h ep a p e rp r o v e st h ew e l l - p o s e d n e s so ft h e e n c r y p t i o na n dd e e r y p t i o np r o b l e m s w h i c hp r o v i d e s t h e o r e t i c a lb a s e sf u re x p e r i m e n t so f e n e r y p t i o na n dd e c r y p t i o n ；t h e np r e s e n t saf a s ti t e r a t i v ea l g o r i t h m ，w h i c hi sp r o p o s e db a s e do n t h es p e c i a ls p a r s es t r u c t u r eo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h et w o d i m e n s i o n a lc - nd i f f e r e n c e s c h e m e ，a n ds u c c e s s f u l l ye x p e r i m e n t so ni m a g e se n c r y p t i o na n dd e e r y p t i o n ；a tt h ee n d ，t h e s e c u r i t yo ft h em e t h o d so fi m a g e se n e r y p t i o na n dd e e r y p t i o nb a s e do nt h et w o - d i m e n s i o n a l p s e u d o - p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni se x p e r i m e n t e da n dd i s c u s s e dp a r t i c u l a r l y k e y w o r d s ：d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ；i n v e r s ep r o b l e m ；p s e u d o - p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；p a r a m e t e r se s t i m a t e ；i m a g er e s t o r a t i o n ；r e g u l a r i z a t i o n ；h e a tf l o we r y p t o s y s t e m ； n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ；s e c u r i t y 信息i 稃人学硕十论文 表目录 表1原始图像和加密图像相邻两像素点的相关性 2 4 信息榨人学硕十论文 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 图8 阿9 图1 0 圈“ 图目录 求解最优拧制问题( 7 ) 的流程图一 参数辨识模拟的相关图示 原始图像及加嵘后的图像 最小_ 二乘力法恢复图像及方著图 t i h k o n o vi t 则化方法恢复图像及方差图 带一致方差约束的讵则化方法恢复图像及方差图 加、解密试验的相关图示 选墩不j _ j 密铡加密后的密剧对比 加、解衔选取不同密钥的效果图 原始图像与密图直方图对比 原始图像和加密图像水平相邻两像素点的灰度值分白 v _盔”甜挖”m 独创性声明 所提交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中标注和致谢的相关内容外，论文中不包含其他个人或集体已经公开的研究成 果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文题目： 羞王盆查叁塑丞统的窆数羞迟丛区图像盆蚯生应届班蕴 学位论文作者签名：型全吐睦瘤卜 日期：，z 彳年彳月2 ，日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权信息工程大学 可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借 阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 涉密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目； 羞王筮查叁熬丕筮的蓥数蕴迟哒题图傻盆扳生廛且班塞 学位论文作者签名： 作者指导教师签名： 只期：2 d o 年占月二多日 日期：砂易年e 月影日 笪星二翌奎兰堡笙茎 第一章一类二维分布参数系统的多参数同步辨识 1 1 分布参数系统简介 分布参数系统【1 1 1 2 1 广泛应用于描述地下水资源开发、石油勘探、地震预测、气象预报、 核反应堆计算、生态演化等系统，而在以上领域的研究中又提出了大量的参数辨识问题。 分布参数系统的参数辨识是指通过某些实测数掘确定用偏微分方程、积分方程以及它们的 耦合方程组描述的系统中的未知参数。分布参数系统的参数辨识是一类典型的数学物理反 闯题【3 1 1 4 1 5 1 ，反问题在h a d a m a r d 意义【6 1 - f 往往是不适定问题，如何将不适定的问题转化为 适定的问题是求解反问题的关键。由于参数辨识有很强的应用背景，关于这方面的研究一 直是一个热点，国内外关于参数辨识反问题的研究已有很多文献( 参见文献 7 1 1 1 1 及相关 引用文献) ，以及许多成熟的方法，如正则化方法1 7 】i 引、伴随方法【9 1 和变分法【1 0 1 1 1 等。 尽管实际中存在许多亟待解决的反问题，但由于反问题一方面具有不适定的数学性 质，另一方面又具有复杂的物理性质，使得真正有效的求解方法并不多。事实上，反问题 的实质是实现对系统的控制；而控制论【12 】则以系统为研究对象，是研究系统控制及其应用 的科学。因此，从对系统实现控制的角度而言，反问题与控制论是一致的。若将分布参数 系统反问题纳入控制论的范畴，则可将其视为分布参数系统的最优控制问题，用现代控制 论的方法即可求解。 按照控制论的观点，将偏微分方程模型视为一个分布参数控制系统，控制变量作为激 励，状态变量作为响应。从而可以根据一定的准则对不同的控制量进行对比，选出最优的 控制变量。然而只有当模型能准确反映实际问题的激励响应关系时，进行最优控制才有实 际意义。由于构建的模型方程可能不能准确地描述原始系统，而且实际系统的有些参数无 法准确测量，因此实际问题中构建准确的模型比较困难。不过，系统的状态变量比较容易 测量，故可根据状态变量的测量值对控制变量进行辨识，从而建立较为准确的实际应用模 型。 本章讨论了一类二维分布参数系统的多参数同步辨识，首先在第二节中对问题进行简 短描述，利用l a p l a c e 变换将原系统进行了转换。其次在第三节中定义了目标泛函，将参 数辨识的反问题转化为最优控制问题。并证明了所提出的最优控制问题的适定性，因而可 以对不连续的参数进行有效的辨识。最后在第四节和第五节中分别给出数值求解方法和数 值模拟算例，以说明文中方法的可行性。 1 2 问题的描述 本章考虑如下分布参数系统模型 第1 页 信息i 。科人宁硕十论文 一v ( ，( 工，y ) v ) + 可( j ，少) = f ( x ，y ，)( 石，少) q ，0 t ， w i f ；o = 妒( 工，y ) w k = 矿( 互，y ，t ) 其中q 是r 2 中有界丌区域 ( 工，y ) q ， o r 是e 上的泛函，若对，p e ，极限 l i m 丝型二垫2 t - + o t 存在，则称，在甜处g & e a u x 可微，极限称为，在“的g ? l t e a u x 微分。 引理l i l 4 】 1 ) e ( k ，；五) o ，对于任意的( t ，r ) e 0 ，e ( k ，；旯) = o 当且仅当u = 虬 2 ) e 的一阶g & e a u x 微分为 e ( t ，；五) 【啊，h a = j l ( i v u c l 2 - i v “1 2 ) 一2 ( 心一“) h ，d x d y ， 对于任意的啊r ) ，且啊k = o ，魄e r ( q ) ，并且e = o 当且仅当“= “。 3 ) e 的二阶g & e a u x 微分为 占( 七，；a ) ，d 】= 2 ( l ；i ，( p ( ) ) ，p ( d ) ) ， 其中h = ( 啊，h a ，d = ( 嘎，如) ，并且函数 ，嘎r ( q ) ，啊k = 碣l 。= 0 ，呜，如r ( q ) ，( ，) 表示 r ( q ) 中的内积， p ( 彬= 一v ( 啊v “) 一嚏 定理1目标泛函是凸的，且e 有唯一的全局极小值点。 证明由h 和d 的任意性，不妨设h = d + 占，占可以任意小。则由引理1 知 e 。( 七，；五) ，d 】= 2 ( ：( p ( ) ) ，p ( d ) ) = 2 ( ：( p ( d ) ) ，8 ( d ) ) + 2 ( ：( p ( s ) ) ，e ( d ) ) 因为厶，是正定的，且f 任意小，所以 e ( 七，r ；2 ) 【矗，d 】 0 故目标泛函e 是严格凸的。 因为当且仅当“= 虬时，e = 0 ，所以心是泛函e 的全局极小点，又因为e 是严格凸的， 第3 贞 因此，该全局极小点是唯一的。口 定理1 可以保证目标泛函存在唯一极小值点，由于e ( k ，a ) = o 当且仅当“= 酢，所以 利用梯度算法求解极小值点时，算法必收敛于全局极小值点。 定理2( 目标泛函的稳定性) 假设泛函 e ( | ，a ) = 【女( 善，y ) ( i v 1 2 - i v “h 一2 ，( x ，力( 一) d x d y 其中= + 哦，且当h 一，1 1 8 1 1 r - + 0 ，则对于v 占 o ，3 n 0 ，使得丹时i e e i 占 证明 e ( j i ，；旯) 一五( 七，；五) = n | i ( j v 1 2 一i v u c l 2 ) 一2 r ( u - u c ) l d x d y = 1 1 + 1 2 = l e ( 1 v 1 2 一i v 1 2 ) d x d y = ( ( v ，v 蚝) 一v u o ，v ) ) 螂 = 【( v 蚝，v ( 一心) ) 一( k v u ，v ( 一虬) ) + 2 ( 七v ，v ( 一心) ) 】出咖 = 【( 七v ( 一u c ) ，v ( 蝴一虬) ) + 2 ( 七v ，v ( 一心) ) 出砂 = 【t l v ( 一吃) j 2 + 2 ( k v u , ，v ( - - u c ) ) 】出砂= 厶+ 厶 = 后j v ( 一) j 2 蚴= 工业j v 瓦j 2 螂= k ( v s o ) ( v 吒) 7 蚴= 一哦v ( k v s ) d x + = 2 后( v 虬) ( v ( 一) ) 7 d x a y = l 2 k ( v u ) ( v 瓯) 7 蚴= 一l 2 6 v ( k v u ) d x , o 又因为u n 满足方程( 4 ) ，所以有 一v ( 七v ) + j = ， 由= + 瓯，即有 一v ( j i v 心) 一v ( 七v 瓯) + j + j 吒= r 又因为 一v ( 七v 虬) + s 虬= ， 所以 v ( k v s ) = j 瓯 故有 e ( i ，；a ) 一e ( 七，；a ) = 一“皖v ( k v 3 ) + 2 6 v ( 七v 心) + 2 r 6 d x d y u 磷+ 2 s u d 3 , d x 因为s ( x ，力= q ( x ，y ) m ， 则有 慨一e i m0 瓯忆l 恳忆+ 2 m i l u 。l l 矿0 磊k 寸o ，当玎斗a o 口 由引理1 和定理2 容易得到上述最优控制问题是适定的。即有 第4 页 信息下程大学硕十论文 定理3 最优控制问题( 6 ) 是适定的。 定理2 表明选用e 作为目标泛函进行参数辨识时，对不连续的参数具有很好的辨识能 力，而不连续的参数是我们解决实际问题时经常要遇到的，这使得该方法具有实际应用价 值。此外，由于占的适定性，我们还可以对目标泛函f 任意添加先验信息，使所得的最优 解更加符合实际情况。 为了同步唯一辨识方程( 4 ) 的两个未知函数_ j ，至少需要选用两个不同的丑，因而 考虑如下的最优控制问题 r a 。i n 。h ( k ，) = e ( 后，r ；a j ) ( 7 ) i ，* 。= 其中挖2 ， 互不相同。易知泛函h ( k ，) 与e ( k ，r ；具有相同的性质，可以为辨识k ，提供 更多的先验信息。试验表明h 的值越大，辨识效果越好，但是同时会造成计算量增加。 1 4 与时间t 有关的右端项的处理 若右端项与时间r 有关，则上文介绍的方法不一定能唯一确定f ( x ，y ，f ) 。然而，如果假 设f ( x ，y ，t ) 取值在各个时间分段上与时间t 无关，则我们可以采用上文介绍的方法辨识 f ( x ，y ，t ) 。用0 = t o o 使算子r ( y ，口) 对于所有的口 0 和满足条件m ( 肼，) o ，存在8 ( 8 ) 万，若砌( ，儿) 占p ) ( v y , u ) ，便有所( k ，x t ) 占，其中屹= 只( 儿，口( j ) ) 。 按照上述定义，若砌( 所，) o ，x r ” ，夕= y + w 。式( 1 9 ) 的解等价于求解如下正规方程： a 7 a k = a 7 多( 2 0 ) 假设a 的奇异值分解为a = u a v 7 ，其中为对角阵，o ( 扛1 ，) 为其对角线上 的元素，为爿的秩，吒按非增的顺序排列， 阵，其中u = 地，u 2 ，) ，v = v i ，y 2 ， ， 时有i 显示的表达： ( ，和v 分别为4 的左、右奇异向量形成的矩 胛m 。假设考虑一种极端的情况r = ”，此 拈( a r a ) - l 夕= 砉( 协参钳+ 喜争 ( 2 1 ) i iv 址t 4 lv 址 由上式我们可以看出在q ，较小的分量方向上会带来大的误差，有时甚至会完全掩盖该 分量方向上的真实值。直接采用最& - - 乘法求解无法获得满意的问题的解。必须根据恢复 图像额外的特性，添加一些先验的信息，因此可以考虑采用t i k h o n o v 正则化方法，即求解 ( 1 1 ) 的正则解量，使之满足 以( 圣) = 卿牡一卯+ 五2 ( 2 2 ) 其中，i 有如下显式表达 圣= ( a 7 a + 允，) 。a 7 夕( 2 3 ) 将彳的奇异值分解式代入( 2 3 ) 可得 圣= ( a r a + a i ) - l 毋= 善r 精2t + 喜耘( 2 4 ) 第1 l 页 信息j 1 = 程大学硕士论文 可以看出五的存在，可以控制较小正。在其分量方向上对误差的放大，因而t i k h o n o v 正则 解就是问题的稳定近似解。尽管t i k h o n o v 正则化方法是可行的，但恢复图像是否达到满意 的效果，还需考虑恢复图像的质量【2 酊。 我们可用衡量图像协方差矩阵的方法口6 1 定量评估恢复图像的质量，即 c o v ( 量) = e ( 【圣一占( i ) 】【叠一e ( 量) 】) = e ( 菇7 ) 一 e ( 量) 】 e ( i ) 】( 2 5 ) 假定图像记录过程中引入噪声为高斯白噪声，则噪声的协方差矩阵为，其中，：，噪声的方 差，为单位矩阵。 于是由( 2 0 ) 和( 2 3 ) 可以得到 量= b 。a 7 弘( 2 6 ) 其中对于最d x - - 乘估计方法，b = 爿7 爿；对于t i k h o n o v 正则化方法，b = a 7 彳+ 肌将( 1 1 ) 代入( 2 6 ) 得 量一e ( 章) = b 1 a 7 弘( 2 7 ) 最后由( 2 5 ) 和( 2 7 ) 得 c o v ( k ) = r b - a 7 4 ( b - 1 ) 7 ( 2 8 ) 下面根据( 2 8 ) 考察恢复图像的方差与一的奇异值之间的关系。对于最小二乘估计有 c 0 矿( 圣) = ( 彳) 一，此协方差矩阵的对角线上的元素为恢复图像中各个像素点上的方差。 将a = u a v 7 代入得 c o g ( 曼) = r v a 一( r ) 一v 7 = v v v 7 ( 2 9 ) 其中v 为对角矩阵，对角线上的元素为刃o = 1 ，) ，这时可得a 7 a 的奇异值越小，相 应像素点上的方差就越大，即相应像素点上的测量值受噪声的干扰就越大。 对于t i k h o n o v 正则化方法有： c o v ( ；o = r a a 7 a + 2 ) - 1 a 7 彳【( 爿一+ ，) - 1 r = r y ( a 7 a + 2 1 ) - 1 a 7 【( a + 2 1 ) 1 】7 v 7 ( 3 0 ) _ 一2 其对角线上的元素为z o ? ( f = l ，) ，此时我们可以看出t i k h o n o vi e 贝a j 化方法没有考 1 0 + ) 。 虑噪声对不同像素点干扰的不同，采用了相同的正则化参数。既然，添加正则化项就是为 了削弱噪声对测量值的干扰，补偿恢复图像缺乏的信息，所以可以考虑使正则化参数随着 像素点位置的不同而不同。带一致方差约束的t i k h o n o v 正则化方法就是基于此提出的。 2 3 带一致方差约束的正则化方法的理论分析 带一致方差约束的t i k h o n o v 正则化方法就是引入了正则化矩阵r ，其中r 是半正定的， 将原问题转化为求解如下泛函的极小值问题【2 棚，为此定义泛函j 。( x ) ： 第1 2 页 信恩t 稃大学硕十论文 s , c x ) = l l 出一y l l 2 + ( 工，r x ) ( 3 1 ) 由于r 对于山( 砷的影响主要在于其奇异值，为了方便月的选取，可将r 的搜索空问 限制在可由矿对角化的矩阵子空间，可令r = v d v 7 ，于是可得： c d 矿( ；) = ，：，( 彳r 爿+ r ) - 1 a 彳 ( 爿7 爿+ r ) 一1 r = r y ( a r + d ) - 1 7 a ( 7 + d ) 。】7 v 7 ( 3 2 ) 因此，为了根据不同像素点上的方羞的不同确定正则化参数，一致方差的约束【16 】可通过下 式给出： c = 一( 西+ 气) 2 ( 3 3 ) 其中吒和屯分别为和d 对角线上的元素，c 用于控制恢复的图像的方差水平。此时正则 化参数旯的选取就转化为方差水平c 的选取，具体选取方法可以利用o c v 准则【”i 。 为了考虑问题( 3 1 ) 的性质可将其一般化，我们将证明泛函以( 力是适定的，以及该正则 化策略是可行的。关于泛函以( 曲的性质有： 定理4 若x ，y 为h i l b e r t 空间，a ：一y 为有界线性算子，r ：x x 为自共轭的有 界线性算子，满足( x ，触) 0 ，当且仅当x = 0 时等号成立，贝t l g ( x ) 存在唯一的极小值点 e x ，且此为正规方程r x + a a x = a y 的唯一解，其中为彳的共轭算子。 证明：取 ) c x 为一极小化序列，f 口 以( ) 未7 。孵厶( ，) 以( _ ) + 厶( ) = 2 厶弓( 矗+ ) ) + 吾牝( 一) 1 1 2 + 吾( ( 一靠) ，r ( 一) ) 1 2 ，+ ( ( 一j ) ，r ( 矗一) ) 因为( 工，融) o ，当且仅当x = 0 时等号成立，故 ) 为c a u c h y 列。令= 舰，贝, f j x re x 由以( 力的连续性，以( ) 二以( ) ，所以厶( ) = 1 以( x ) 一j r ( x r ) = 2 r c ( a x r - y , a ( x - x t ) )