（概率论与数理统计专业论文）大维随机矩阵谱分布的极限理论研究及其应用.pdf

摘要 大维随机矩阵是概率统计领域的一个重要研究课题，近年来，随着计算机的发展 和信息爆炸，在许多学科中都面l 临高维( 上百或成千上万) 和海量数据的处理问题。因 此大维随机矩阵的研究受到越来越多的关注。它在许多学科中都有广泛的应用，例如 理论物理，通信，金融等。大维随机矩阵研究的发展与这些学科一直互相影丌向着。本文 的研究工作主要集中在大维样本协方差矩阵谱分布的理论研究及其在多元统计分析中 的应用 本文第一章简要地介绍了随机矩阵的背景和研究现状，以及常见的随机矩阵。例 如w i g n e r 矩阵，样本协方差矩阵等。随机矩阵的一个重要研究内容为经验谱分布函数， 其定义为 川牡去壹m j 剑， j = l 其中a l 一：a n 为随机矩阵以的特征根。对于谱分布的研究有两个重要的方面我们将 要讨论：一个是极限谱分布的显示表达( 第二章) ，另一个是谱分布的收敛速度( 第三三 章和第四章) 。进而，我们应用第二章的结果处理大维因子模型( 第五章) 。 在第二章中，没s n = 击x n x 差为样本协方差矩阵，死是一列与k 独立的h e r m i t i a n 矩阵，我们证明了兀的极限谱分布存在。特别，如果h e r m i t i a n 矩阵是w i g n e r 矩阵 ，则我们得到了& 极限谱分布密度函数的显示表达式。 接下来，我们讨论了谱分布的收敛速度。在第三章中，在有限八阶矩条件下，我 们提高了p n 维大维样本协方差矩降谱分布收敛到m a r 6 e n k o p a s t u r 分布的速度。 特别，如果维数样本比率y = y n = p n 接近1 ，pxn 维大维样本协方差矩降谱分布的 期望收敛到极限分布的速度，我们改进为0 ( 1 2 _ 6 ) 。相似在y 接近1 的条件下，依概率 收敛和几乎处处收敛速度为0 p ( n _ 1 6 ) 和0 0 点( n _ 1 6 ) 。 在第四章中，大维样本协方差矩阵谱分布的期望收敛速度被建立。进而，我们也 得出了其依概率收敛速度和几乎处处收敛速度。 最后在第五章中，我们发展了一个简单实用的估计大维因子模型的因子个数方法。 特别当误差是线性n , - t l ；- j 1 芋列模型时，我们给出了其参数的估计另外我们也给出了这些 估计量的理论性质。最后的模拟结果和实证分析显示我们的方法是有意义和有效的。 k e y w o r d s ：随机矩阵，经验谱分布，s t i e l t j e s 变换，收敛速度，因子模型，时问序列。 a b s t r a c t l a r g ed i m e n s i o n a lr a n d o mm a t r i xi sap o p u l a rr e s e a r c ht o p i ci nt h ep r o b a b i l i t ya n d s t a t i s t i c s r e c e n t l y ，a st h ec o m p u t e rs c i e n c ed e v e l o p sa n dt h ei n f o r m a t i o nb l a s t s ，w en e e d t od e a lw i t hl a r g ed a t as e t sw i t hh i g hd i m e n s i o n si nm a n yf i e l d s t h u s ，l a r g ed i m e n s i o n a l r a n d o mm a t r i c e sh a v eb e e np a i dm o r ea t t e n t i o nt ot h a nb e f o r e a p p l i c a t i o n so fl a r g ed i m e n s i o n a lr a n d o mm a t r i xe x i s ti nm a n yr e s e a r c hf i e l d s ，s u c ha st h e o r e t i c a lp h y s i c s ，w i r e l e s s c o m m u n i c a t i o n ，f i n a n c ea n dg e n e t i cs t a t i s t i c s t h ed e v e l o p m e n to fl a r g ed i m e n s i o n a lr a n d o m m a t r i xh a sb e e ni nc l o s ec o n t a c tw i t ht h e s es u b j e c t s i nt h i st h e s i sw ef o c u s e do nt h er e s e a r c ho fs p e c t r a ld i s t r i b u t i o no fl a r g ed i m e n s i o n a lm a t r i xa n di t sa p p l i c a t i o ni nm u l t i v a r i a t e s t a t i s t i c a la n a l y s i s t h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n dr e s e a r c hs t a t u so fr a n d o mm a t r i xa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r1 s o m ec l a s s i cm a t r i c e sa r ei n t r o d u c e d ，s u c ha sw i g n e rm a t r i x ，s a m p l ec o v a r i a n c e m a t r i x o n eo ft h ek e yp r o b l e mi nr a n d o mm a t r i xt h e o r yi st oi n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c e o fe m p i r i c a ls p e c t r a ld i s t r i b u t i o nw h o s ed e f i n i t i o ni s n f a ( z ) = 元1 m j z ) ， 3 2 1 w h e r e 入1 ，、入na r et h ee i g e n v a l u e so fr a n d o mm a t r i xa t h el i m i t i n gd i s t r i b u t i o no ff a ( z ) i su s u a l l yn o n r a n d o m f o rt h er e s e a r c ho ft h es p e c t r a ld i s t r i b u t i o n ，th e r ea r et w ov e r y i m p o r t a n ta s p e c t st h a tw ew i l ld i s c u s s ：o n ei st h ee x p l i c i tf o r mo fl i m i t i n gs p e c t r a ld i s t r i b u t i o n ( c h a p t e r2 ) ；t h eo t h e ri st h ec o n v e r g e n c er a t e so fs p e c t r a ld i s t r i b u t i o n s ( c h a p t e r3a n d c h a p t e r4 ) f u r t h e r ，w ew i l la p p l yt h er e s u l t so fc h a p t e r2i nt h ef a c t o rm o d e l ( c h a p t e r5 ) i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s s e dt h ef o l l o w i n gp r o b l e m ：l e t 瓯= 元1x n kb et h es a m p l ec 伊 v a r i a n c em a t r i c e sa n d 死b eas e q u e n c eo fh e r m i t i a nm a t r i c e si n d e p e n d e n to fx n d o e st h e l i m i t i n gs p e c t r a ld i s t r i b u t i o n ( l s d ) o ft h ep r o d u c to fas a m p l ec o v a r i a n c em a t r i xw i t ha n h e r m i t i a nm a t r i x 乳e x i s t ? o u ra n s w e ri sp o s i t i v e e s p e c i a l l y ，w h e nt h eh e r m i t i a nm a t r i x i saw i g n e rm a t r i x ，t h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ed e n s i t yf u n c t i o no fl s do fs r l i s d e r j v e d f o l l o w i n g ，w ed i s c u s sc o n v e r g e n c er a t e so fs p e c t r a ld i s t r i b u t i o n i nc h a p t e r3 ，w ei m p r o v et h ec o n v e r g e n c er a t e so fs p e c t r a ld i s t r i b u t i o n st h a tl a r g e d i m e n s i o n a ls a m p l ec o v a r i a n c e m a t r i c e so fs i z ep nt e n d st ot h em a r d e n k o p a s t u rd i s t r i b u t i o n ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n t h a tt h ee n t r i e sh a v eaf i n i t ee i g h t hm o m e n t e s p e c i a l l y ，w es h o w e dt h a tt h ee x p e c t e ds p e c t r a l d i s t r i b u t i o n so fl a r g e d i m e n s i o n a ls a m p l ec o v a r i a n c em a t r i c e so fs i z epx 礼t e n d st ot h el i m i t i n gd i s t r i b u t i o nw i t ht h ed i m e n s i o ns a m p l es i z er a t i oy = y n = p i n a tt h er a t eo fo ( n - 1 6 ) v i fyi sc l o s et o1 s i m i l a rr e s u l t sf o rb o t hw e a ka n ds t r o n gc o n v e r g e n c er a t e sa r es h o w nt ob e 0 p ( n 一1 6 ) a n d0 口s ( 几6 ) ，r e s p e c t i v e l y ，w h e nyi sc l o s et o1 i nc h a p t e r4 ，t h ec o n v e r g e n c e r a t e so fe x p e c t e ds p e c t r a ld i s t r i b u t i o n so fl a r g e d i m e n s i o ns a m p l ec o r r e l a t i o nm a t r i c e sa r ee s - t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e ，b o t hc o n v e r g e n c er a t e si np r o b a b i l i t ya n da l m o s ts u r e l ya r ed i s c u s s e d ，r e s pe c ti v e l y f i n a l l y ，as i m p l em e t h o di ss t u d i e dt oe s t i m a t et h en u m b e ro ff a c t o ri nt h el a r g ed i m c n s i o n a lf a c t o rm o d e li nc h a p t e r5 e s p e c i a l l y ，i ft h en o i s ei sal i n e a rt i m es e r i e s ，o n ew a yw a s p r o p o s e dt oe s t i m a t et h e , p a r a m e t e r so ft i m es e r i e sm o d e l s i na d d i t i o n ，t h et h e o r e t i c a lp r o p e r t i e sa r ea l s oe x p l o r e d 0 u rs i m u l a t i v er e s u l t sa n dd e m o n s t r a t i o n ss h o wt h a tt h e s em e t h o d s a r es i g n i f i c a n ta n de f f e c t i y e k e y w o r d s ：r a n d o mm a t r i c e s ，e m p i r i c a ls p e c t r a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，s t i e l t j e st r a n s f o r m ， c o n v e r g e n c er a t e ，f a c t o rm o d e l ，t i m es e r i e s 第一章绪论 1 1 为什么我们要研究随机矩阵 一个以随机变量为元素的矩阵称之为随机矩阵，而如：果随机矩阵中行和列的维数 都趋于无穷，则称之为大维随机矩阵。所有的经典极限理论都是假设数据的维数是固 定的。很自然的，我们就会问，我们为什么要考虑向量维数趋于无穷( 大维) 的情况? 在维数固定和维数趋于无穷这两种情况下有什么不同? 在最近三十到四十年中，随着 计算机科学的飞速发展和应用，其计算速度和存储空间千万倍的增长。因此这使得我 们能收集，存储，和分析大维数据在核物理，无线通讯，网络安全，基因统计，金融 等领域都会产生这样的数据。那么经典的极限理论( 即维数固定) 对于分析这样的大 维数据是否仍然有效? 我们看下面的例子： 例子1 1 1 令x i j 独立同分布服从标准正态。令 1 n & = ( 击托七忌) z 斛 惫= 1 为其样本协方差矩阵，n 为样本量，p 为维数。在多元分析中一个重要的估计量是 p 死= l n ( d e t s n ) = i n ( a n l j ) ， j = 1 这里，礼，l n ，2 入n 棚是& 的特征根。当p 固定，当n 一( x = ) ，a n , j 骂1 ，j = l ，p ， 因此r 兰0 。由i n ( 1 + z ) 的t a y l o r 展开，对每个固定的p ，我们有 历三n ( o ，2 ) 然而如果p n ，y ( 0 ，1 ) ，n _ 。在y i n ，b a i k r i s h n a i a h ( 1 9 8 8 ) 这篇文章中， 证明了n ，1 骂o ( ) 兰( 1 + 而) 2 ，即最大特征根a s 大于l ；在b a i y i n ( 1 9 9 3 ) 这篇 文章中，证明了入御旦：警b ( y ) 三( 1 一面) 2 ，即最小特征根a s 小于1 由m a r c e n k o p a s t u r ( 1 9 6 7 ) 的结果，以概率1 我们有 刍死一e 嵩一把字州) - l _ 兰d 妯 即 , n p t , 。一d ( y ) 、f n - p _ 一 因此在p n y ( 0 ，1 ) ，n o c , 的情况下，任何基于v 7 p t t , 渐近正态的检验都 将导致很严重的误差。我们模拟一下这个结果，在标准正态总体中，对不同的p 和n ， 进行1 0 0 0 次抽样，我们得到、佩，的直方图，如图1 1 ； 1 2 图1 1 ：赢：疗图 第一章绪沦 从图f i g ( a ) 我们可以看出当p = 2 ，n = 1 0 0 时其图形近似正态，但如果同时扩大5 倍，如图f i g ( b ) 其整个图形向方向移动。当p n = o 4 时，从图f i g ( c ) 和图f i g ( d ) ， 我们能看出更明显的变化。 因此这个例子显示经典的极限理论不再适用于大维数据。在过去，降维方法足一 个常用v j 4 j 、法。然而，遗憾的是，这种办法要菠欠大量包含在原始数据里而的信息。例 如，我们可以考虑多元分析中的主成分分析，如果数据的维数足1 0 ，我们可以用主成 分方法选择3 个主成分，使其包含8 0 的信息。如：果数据维数足1 0 0 0 ，就要选择3 0 0 个主成分，但这3 0 0 个主成分仍旧是大维的数据。如果我们仍旧选择3 个主成分，则 我们会失去9 0 的信息。然而随机矩阵理论( r m t ) 对于处理大维数据是一个有效的 方法，在最近几卜年中已经引起了更多统计学家和其他领域二争家的兴趣。 1 2大维随机矩阵谱分布的一些基本结果和研究现状 在数理统计中，随机矩阵是由h s u 和w i s h a r t 等人在3 0 年代提出并且加以研究 的。物理学家理沦上认为个随机h e r m i t i a n 矩阵相应的特征值被期望能用来刻画观 察到的能量水、卜系统的能量水百1 t 体系由一个连续统和一个确定数日的离散水i f 组成， 冈此系统的h e r m i t i a n 矩阵有相同的特征值结构，并且是在一个无穷维h i l b e r t 空问上。 为了避免在无穷维h i l b e r t 空间上汁算的困难，通常通过离散化来近似系统，仪仪保留 5 i 2 大维随机矩阵谱分布的一些基本结果和研究现状 3 对所考虑的问题有重要意义的那部分h i l b e r t 空间( 关于更具体的内容可以参考m e h t a ( 1 9 9 0 ) 的书) 。正因为此，5 0 年代，w i g n e r ( 1 9 5 5 ，1 9 5 8 ) 首次把随机矩阵与核物理联系起 来，并发现了著名的半圆律。自从那以后，大维随机矩阵的研究引起了概率统计学家 和物理学家更大的兴趣。 ( 1 ) 随机矩阵的经验谱分布函数的极限分布。 假设入1 ，入n 为h e r m i t i a n 矩阵a 的实特征根。定义经验谱分布( e s d ) 函数 1 n f a ( z ) = 去小i z ) ( 1 1 ) 征l 随机矩阵的个基本问题是讨沦系列给定的随机矩阵( a n ) 序列函数f a n ( z ) 的收敛 问题，即找到其极限分布函数。一般来说，其极限分布函数都是非随机的，我们把它称 作随机矩阵 l ，极限谱分布在原点的概率堆积是1 一l 可。 y i n k r i s h n a i a h ( 1 9 8 3 ) 证明了 品死) 的极限谱分布的存在，这里s n = ( 1 n ) x x 7 ，其元素x = ( x i j ) p n 是i i d 正态分布，r 是正定阵，满足仇( ) _ 矾，序列h k 满足 6 第一章绪论 c a r l e m a n 条件( = o g - ) 。y i n ( 1 9 8 6 ) 推广到了当样本协方差矩阵是l i d 实随机变 量，均值为0 和方差为l 的情况。s i l v e r s t e i n b a i ( 1 9 9 5 ) 考虑了b n = a n + 击x n 孔x 嘉的 极限谱分布，这里a n 是n 五h e r m i t i a n 矩阵，满4 , - 庀e if a n _ f a ，孔= d i a g ( ，7 - 1 ，) ，r 是实的，当n _ ，( l ，) 的经验谱分布几乎处处收敛到一个概率分布函数h 矩阵x = ( z 巧) p n 中的元素i i d ，满足e ( i z l l e ( z 1 1 ) 1 2 ) = 1 。 在极限谱分布被找到之后，还有两个重要的问题要解决个就是随机矩阵的特 征根的极值，另一个就是经验谱分布收敛到极限谱分布的速度。 ( 2 ) 随机矩阵的特征根极值。 g e r m a n ( 1 9 8 0 ) 在对随机变量的矩的增长率施加了一定的限制后，证明了样本协方 差矩阵的最火特征根收敛到b = ( y 2 ( 1 + 加) 2 ，当p n _ y ( 0 ，。) 。后来y i n ，b a i k r i s h n a i a h ( 1 9 8 8 ) 在四阶矩条件下证明了 a m a x ( & ) 骂0 - 2 ( 1 + 锕) 2 ( 1 1 1 ) b a i ，s i l v e r s t e i n y i n ( 1 9 8 8 ) 证明了四阶矩的条件也是必要的。对w i g n e r 矩阵，b a i y i n ( 1 9 8 8 b ) 证明了 a m a x 而1 ) 骂2 ，n ( 赤) 骂_ 2 ( 1 1 2 ) 事实上b a i y i n ( 1 9 8 8 b ) 还建立了以上结果的充分必要条件。在这个方面，最大的困难 是建立样本协方差矩阵的最小特征值的收敛性。在y i n ，b a i ，k r i s h n a i a h ( 1 9 8 3 ) ，证明 了如果p n _ y ( 0 ，1 2 ) ，w i s h a r t 矩阵( 元素i i d 分布为正态的样本协方差阵) 的最 小特征根有正下界。s i l v e r s t e i n ( 1 9 8 4 ) 推广到y ( 0 ，1 ) 的情况下进而s i l v e r s t e i n ( 1 9 8 5 ) 证明了在y ( 0 ，1 ) 条件下，标准w i s h a r t 矩阵( 元素i i d 分布为标准正态的样本协方 差阵) 的最小非零特征根几乎处处收敛到o = ( 1 一面) 2 这个问题的最终解决是b a i y i n ( 1 9 9 3 ) 的工作。他们证明了，当随机变量的四阶矩存在且0 y j e 7 ，1 。，和a + 被下面条件限制 7 = 诋南奶1 i = 丽嵩两卸 1 ) b a i ( 1 9 9 3 a ) 证明了在四阶矩存在的条件下 i i e f 去眠( z ) 一f ( x ) l l = o ( n 一互1 ) b a i ( 1 9 9 3 b ) 证明了在四阶矩存在的条件下 f e f 靠( z ) 一毛。( x ) l i = 0 ( n 一；) ， 如果y n = 罢( 0 ，e ) ，其中0 0 e l 或者1 0 ：圳z ， i = 1 其中 a 】代表不超过a 的最大整数。s i l v e r s t e i n ( 1 9 8 9 ) 在将以上过程配以一定的系数后， 讨论了这个过程的收敛的一些必要条件。关于特征向量，我们后而的章节会讨论的更 详细，因为本篇论文一个主要的工作就是关于特征向量。 随机矩阵的研究内容相当丰富，可以参看些关于随机矩阵的书籍，例如b a i ( 尚未出版) ，m e h t a ( 1 9 9 0 ) 和g i r k o ( 1 9 9 0 ) 。关于其在通讯上的应用可参看，t u l i n o & v e r d u ( 2 0 0 4 ) ，潘光明博士毕业论文( 2 0 0 5 ) 等关于随机矩阵的一些研究进展和更多 公开问题可以参考b a i ( 1 9 9 9 ) 的综述文章。 1 3大维随机矩阵的研究方法 目前研究大维随机矩阵的工具，主要有三种：矩方法，s t i e l t j e s 变换和自由概率 ( f r e ep r o b a b i l i t y ) 由( 1 1 ) 知道，f a ( z ) 的第k 阶矩为 仇= x k d f a ( z ) = 扣a 七 ( 1 1 5 ) 由矩收敛定理： i ) 一个分布函数序列 r 弱收敛到”个极限分布如果下面三三个条件满足 1 3 大维随机短阵的研究方法 9 1 每个r 的任意阶矩有限； 2 对固定的整数k 0 ，当n 一时，七收敛到一个有界极限纨； 3 如果有两个非降函数f ，g 有相同的矩序列( 仇) ，则这两个分布的差是个常数。 2 ) 令 仇= i l k ( f ) ) 是分布函数f 的矩。如果下而的c a r l e m a n 条件满足： ， 罗= 似= ， 则f 由矩序列 纨，尼= 0 ，1 ，) 唯决定。 由此我们知道为了证明f a ( z ) 收敛到相应分布f ( z ) ，只需要证明纨收敛到f ( x ) 的相应的矩和验证c a r l e m a n 条件就够了。这种方法经常要用到组合和图论的一些知 识。 一个有界变差函数a ( x ) 的s t i e l t j c s 变换( 有时也称c a u c h y 变换) 定义为 仇g ( z ) = 五1 d g ( z )( 1 1 6 ) 其中z c + = z c ，i m ( z ) o ) 。s t i e l t j c s 变换有一个著名的逆公式 g ( h 6 】) = 妻! 觋z 6 ，mm g ( z + t e ) 如 ( 1 1 7 ) 从以上公式可以看出s t i e l t j e s 变换的重要性。易见，f a ( z ) 的s t i e l t j e s 变换为 仇心) = i 1zd f a ( z ) = ( a - z i ) ( 1 1 8 ) 自由概率是v o i c u l e s c u ( 1 9 8 3 ) 在研究非交换代数的工作中诞生的，近些年来也被应 用在火维随机矩阵的研究中。所谓渐近自由( a s y m p t o t i cf r e e n e s s ) 是指：称h e r m i t i a n 随 机矩阵a 1 ) - 一，a m 渐近自由，如果对所有的自然数p ，和任意多项式p l ( ) ，p 2 ( ) ，m ( ) ， 移( p t ( 4 j ( i ) ) ) = 0 ，v i = 1 ，f 令莎( p 1 ( a j ( 1 ) ) p e ( a j ( o ) ) = 0 ， 这里j ( i ) j ( i + 1 ) ：i ? ) ( a ) = l i m n 。专e 心7 ( a ) 1 可以证明渐近自由是不可交换的，随机矩阵一般是不可交换的因此可用这个 v o i c u l e s c u 定义了的不可交换的概率空问，证明随机矩阵的性质。他们的主要结果足如 果大维随机矩阵a 和b 是渐近自由，可以用a 和b 各自的特征根通过r 变换和s 变 换分别决定随机矩阵的和a + b 与乘积a b 的极限谱分布。 如果随机矩阵a 的谱分布的s t i e l t j e s 变换为m a ( z ) ，则其r 变换为r a ( z ) = m 丢_ 1 ( 一z ) 一1 z ，这里m ( z ) 为m ( z ) 的逆函数。如果大维随机矩阵a 和b 是渐近 自由，则r a + b ( z ) = r a ( z ) + r b ( z ) 。对随机矩阵a 如果令x ( z ) = 一z - 1 m a ( 一z _ 1 ) 一1 ， 则其s 变换为s ( z ) = 拳t ( z ) 。如果大维随机矩阵a 和b 是渐近自由，并且其 1 0 第一章绪论 谱分布的均值都不为零，则s a b ( z ) = s a ( z ) s b ( z ) 即用渐近自由理论可以很容易的处 理随机矩阵的卷积和乘积。更多结果可以参看v o i c u l e s c u ( 1 9 8 7 ，1 9 9 1 ，1 9 9 2 ，1 9 9 8 ) ，n i c a s p e i c h e r ( 1 9 9 6 ) 等 1 4 本文的主要工作 ( 一) 乘积随机矩阵极限谱分布的理论研究。 在第二章我们首先证明了& 死的极限谱分布的存在，这里& 为样本协方差矩阵，死 为任意h e r m i t i a n 矩阵且有唯一极限谱分布。然后我们给出了当为w i g n e r 矩阵时 的极限分布的显示表达式。因为w i g n e r 矩阵的谱分布均值为零，所以不能用自由概率 理论。我们得到的密度函数为 卜2 丌近i = r 2 + r + 石2 一号譬如果o 0 ， 焘e ( | z 卅i ( i z 黜扣7 而) 一o ( 2 1 ) 。 & 定理2 1 1 假设k 佃7 2 ) 中的元素是独立复随机变量满足俾j ) 。死是一列h e r m i t i a n 矩阵与x n 独立而且的谱分布依概率或几乎处处收敛于非随机f t 。如果 l i m ( p n ) 一y ( 0 ，) ，则鼠死的谱分布相应的依概率或几乎处处收敛于一个非随机 的极限，这里& = n 1 _ x n 碥。 备注2 1 1& 五不是对称的，因为其特征根是与对称矩阵薪2 互。3 , 1 1 , 2 的特征根相同， 所以乘积矩阵& r 的特征根是实的。 备注2 1 2 这里r 不需要是非负定或对角阵当兀是非负定，在s i l v e r s t e i n ( 1 9 9 5 ) 这 篇文章中这结果已经被建立了。当r 是对角阵，定理2 1 1 是s i l v e r s t e i n b a i ( 1 9 9 5 ) 文章的特例。 这个定理包含了y i n ( 1 9 8 6 ) 的结果。在y i n ( 1 9 8 6 ) 这篇文章中，x 的元素被假