（理论物理专业论文）分子束分布函数的研究.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导卜- 进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得密2 j 婢或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：；二霍主 签字日期：巧年岁月，；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解峦 甚吠方有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权葱毅欠和以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 ；2 崔生 导师签名 咄嘏 签字日期： 2 砖年5 月，；只签字翻期：厂年一月j 中同 学位论文作者毕业去向：欺印乞孑 乞物诅与忘乞2 衽亨f 屯 工作单位：碹友眵琵善 屯 电话：。竹一，3 。j7 7 通讯地址：喧良啐蔷? 复扮讫f 阮 邮编：2 4 占。，7 摘受 摘要 分子束是研究分子的结构以及分子同其它物质相互作用的重要手段。固体、 液体和稠密气体中的分子间距较小，有复杂的相互作用，很难研究单个孤立分 子的性质。稀薄气体分子间距较大，其相互作用随压强的减小变弱，但因分子 无规运动，使得对分子本身的探测和研究较困难。分子束中，分子作准直得很 好的定向运动，它们之间的相互作用可予忽略，利用它来研究分子的性质及其 相互作用较为理想。所以分子束技术在原子物理、分子物理以及气体激光动力 学、等离子体物理、化学反应动力学，甚至在空间物理、天体物理、生物学中 都有重要应用。它也是研究固体表面结构的重要手段。 由于泻流技术特别是分子束技术的广泛应用，研究分子束的分布显得尤为 重要。气体分子的速度分布范围遍及所有可能的区间，分子束中的分子由于整 体运行速度较大，其中的速度分布与麦克斯韦速度分布相比较明显不同。与速 度有关的能量、动量、频率和波长等各种物理量的分布规律的讨论是本文的重 点，也是本文区别于其它文献的特点。 本文主要从以下几方面阐述： 第一章介绍了分子束的相关知识以及研究分子束的必要性。 第二章从理想气体分予的麦克斯韦速度分布出发导出麦克斯韦速率分布。 第三章从理想气体分子的麦克斯韦速率分布给出分子束的速率分布函数的 具体形式。 第四章从分子束的速率分布函数出发推导了与速度有关的能量、动量、频 率和波长等物理量的分布函数。 第五章将各种分布函数加以比较，得出相关结论。 关键词：分子束，能量，动量，频率，波长 分f 束分布函数的研究 a b s t r a c t t h er e s e a 咒ho fm o l e c u i eb e 矗mi sa ni m p o r t a n tm e a n s ，t h r o u g hw h i c hw e c a ns t u d yt h es t r u c t u r eo fm o l e c u ka n dt h ei n t e r a c t i o na m o n gm o l e c u l ea n d o t h e rm a t t e 璐1 t sh a r dt oa n a l y s et h en 叠t n no fs i n g l em o l e c u l ef o r t h es p a c e a m o n gs o l i d ，l i q u i d i n t e n s eg a si ss m a ha sw e na st h e i rc o m p i i c a t e di n t e r a c t i o n t h eb i g g e rt h e3 p a c ea m o n gt h i ng a sm o l e c u i e sa 阳，t h ei e s st h ei n t e r a c t i o ni s ， a c c o r d i n gt ot h en d u c eo fp r e s s u r e ，b u tt h em o v e m e n t sa r ei r r e g u i a r t h e r e f o 托， i ti sd 潲c u nt od e t e c ta n ds t l i d yt h em o l e c u i ei t s e l f h o w e v e r m o l e c u l em o v e s d i r e c t l y 珏m o l 佻u l eb e 8 ma n dt h e i ri n t e r a c t 沁nc a nb ei g n o r e d ，s oi t sg o o dt o s t u d yt h en a t u 糟o fm o l e c u i ea n dt h e i ri n t e m c t i o n t h e r e f o r e ，t h e 托c h n o l o 科o f m o l e c u i eb e 8 ml i 叠si m p o r l a n l 凸p p n 矗n c et om o j e c h l ep h y s i c s 、g 日s1 矗s e rd y n 矗m i 雌、 p l a s m ap h y s i c s 、c h e m i s t r yr e a c t i o nd y n a m i c s ，o f c o u r s e ，t os p a c ep h y s i c s 、9 1 0 b e p h y s i e sa n db i o i o g y m e 跏w h i l e ，i ti sa ni m p o r t 矗n tm e a n st os t l i d yt h es t r u c t u 腿 o fs o l i ds u r f a c e b e i n ga p p l i e dw i d e l y ，i t sv e l 了s i g n i 矗c a 珏tt os t u d yt h ed i s t r i b u t i o no f m o l e c u l eb e a m r i bg a sm o l e c u l e ，i t sv e i o c i t y 聃n g e si na up o s s i b l es p a c e ，b u tt h e m o l e c u l e si nm o l e c u l eb e a ma 邝d i f f e rf o rm e y 阳nq u i c k 耽t h a ti s ，i ti s 矗p p a r e n t l yd i 骶啪t 舶mm a 矾r e i ls p e e dd i s t r i b h t i o n s u c hd i s t “b u t i o nn l l 鹳 c o r n l 8 t i v e l yw i t hv e l o c i 姆a se n e r 酗m o m e n t u m ，f r e q u 蛐c ya n dw a v e l e n g t h ，a 他 t h ek e yp o i to ft h i ss t l i d yp a p e ra sw e na st h ed i 仃b n c ef m mo t h e r1 t e r a t u r e s t h i st e x t 既p 丑t i a t e sm a i n i yd “a i l si ns u c ha s p e c t sa sf o l l o w i n g ： i nc h 趣p t e r1 ，c o r r e l a t i o n a lk n a w l e d g ea b o u tm o l e c u l eb e a ma n dw h yt h e p a p e rs t l i d ym o l e c u i eb e a mi si n n 田d u c e d i nc h a p t e r2 ，f h mv e l o c i t yd i s t r i b h t i o nf i l n c t i o no fi d e a lg a s e o u sm o l e c u l e ， t h i sp 叠p e rd e d u c e sm a x w e n ss p e e dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i nc h a p t e r3 ，m o l e c u i eb e a m ss p e e dd i s t n b u t i o nf h n c t i o ni sd e d u c e df r o m m 叠x w e u ss p e e dd i s t r i b u t i o nf h n c t i o n 2 i nc h a p t e r4 ，f o mm o l e c u l eb e a m ss p e e dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，t h i sp a p e r d e d u c e se n e r g y 、m o m e n t u m 、f r e q u e n c ya n dw a v e l e n g t hd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i nc h a p t e r5 ，a n yc o n c l u s i o ni sd r a w nt h r o u g hc o m p a r i n go n ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n st o8 n o t h e r k e y w o r d s ：m o l e c u l eb e a m ，e n e r g y ，m o m e n t u m ，f r e q u e n c y w a v e i e n g t h 3 分于束分布函数的研究 第一章绪言 泻况投木特剔是分f 柬蔹木的j 泛应用馒得我们讨论分子乘尤为必娶。分 子束是研究分子的结构以及分子同其它物质相互作用的重要手段。固体、液体 和稠密气体中的分子间距较小，有复杂的相互作用，很难研究单个孤立分子的 性质。稀薄气体分子间距较大，其相互作用随压强的减小变弱，但因分子无规 则运动，使得对分子本身的探测和研究较困难。 文献 1 卜 1 9 分别从不同的角度阐述了理想气体分子的m a x w e l l 速度分布 律和速率分椭并求出了四个特征捌矿= 辱、= 层咿雁、 v ，：1 0 8 7 7 ，睁堕) ：文献 2 0 讨论了布朗粒子的速度分靠函数；文献 2 1 2 2 ym 各自表明了分子射线束中的速率分布情况；文献 2 3 卜 2 6 分别讨论了理想气体 分子按频率、波长和平动能分布的不同规律；文献 1 卜 9 分别用两种方法推 导出分子束速率分靠函数，( v ) 咖= i 条i 焉v 3 咖，并求出了分子束的特征速 率的值，即平均速甄= j 等、均方根速鼽矿等和最概然速率 j 3 七r ”静2 、i 。 本文首先从麦克斯韦速度分布函数，( 叱) = ( - i 二) ”2 e2 ”推出麦克斯韦速 上冗k i 率分布函数厂( v ) = 4 石( ) ”p 一衙，v 2 ，进而导出了分子束的速率分布函数 己7 【k l f ( v ) 咖= 夏笔了e x p ( 一豸v 3 咖，最后依次导出分子束的能量分布函数 f ( 。) d s = 磊导i 寿s d 占、分子束动量分布函数，( p ) 咖= 夏翥杀f e 一翥p 3 印、 第一章绪苦 分子束波长分布函数f ( 旯) d a = 一i e ：一a2 d 和分子束频率分布函数 。 2 f 小七7 1 1 2 矗 厶2 h f ( p ) d p 2 丢寿8 ”y d y ；并求出了分子束的特征能量平均能量、均方根能 量、最概然能量和中间能量) 、特征动量( 平均动量、均方根动量、最概然动量 和中间动量) 、特征波长( 平均波长、均方根波长、最概然波长和中间波长) 与 特征频率( 平均频率、均方根频率、最概然频率和中间频率) 的表达式，然后 求出与它们一一对应的速率，分别与分子束的速率分布函数及其相应的特征物 理量进行比较，使大家对分子束的各种分布有全面深入地了解。 分f 柬分布函数的研究 第二章麦克斯韦速度分布律 在气体中，分子以各种速率沿各个方向运动着。由于频繁地互相碰撞，分 子之间不断地交换动量和能量，使得它们的速度不断地变化着。最后，在足够 长时间内的大量碰撞过程中，分子速度的各种改变在统计上互相抵消时，这时 就到达了宏观的平衡态。处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时的速度 大小、方向都在随机地变化着，但是大多数分子之日j 存在一种统计相关性，这 种统计相关性表现为平均说来气体分予的速率( 指速度的大小) 介丁+ v 到v + 西的 概率( 即速率分布函数) 是不会改变的。1 8 5 9 年，英国物理学家麦克斯韦( l a x w e l l ) 把统计方法引入分子运动论，首先从理论上导出气体分子速度分向律的公式。 由于实验技术( 如高真空技术) 的限制，测定分子速率分布的实验直到1 9 2 0 年 才由德国施特恩( o s t e r n ) 首次实现。 为了定量地描述气体按速度的分布，首先引入速度分布函数。 2 1 速度分布函数 现在研究分子按速度的分布，每个分子都有自己的速度口= 匕f + q 歹+ 匕f 。 麦克斯韦在用几率的概念推导速度分布的公式时，作了两个基本假设：( 1 ) 在 平衡态下，分子速度在空间各方向的分布是各向同性的。( 2 ) 分子的三个速度 分量的分布是彼此独立的。即速度在x 轴的分量为u 的几率与它在另外两个方 向上的分量的大小无关。 如图2 1 所示，首先在速度空间中划出 一个垂直于轴v 。的厚度为咖，的无穷大平板， 不管速度的弘z 分量如何，只要速度x 分量 1 在一匕+ 也范围内，则所有这些分子的代表 点都落在此很薄的无穷大平板中。 图2 1 若设此平板中代表点数为州，则塑等生表示分子速度处于h u + 蛾而 6 第一二章麦克斯韦速度分布律 q 、v ：为任意值范围内的概率。 碌然这一概率与板的厚度咖。成比例，并有d ( 匕) = 可( h ) 咖， ( 2 1 ) 厂( u ) 咖，称为分子x 方向速度分量概率分布函数。 同样町分别求出垂直于k 轴及v ：轴的无穷大薄平板中代表点数 柳( ) = 彤( ) 以和拼( v ：) = 可( v ：) 咄。 ，( 0 ) 咖，和，( v ：) 咖：分别表示y 及z 方向速度分量的概率分布函数a 根据处于平衡态的气体的分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故 厂( 匕) 、厂( v 。) 、厂( v ：) 应具有相同形式。 其次在速度空间中作一根平行于匕轴、截面积为也机的无穷长的方柱体。 因为分子落在垂直于叱轴的平板内的概率是厂( u ) d 叱，分子落在垂直于k 轴的 平板内的概率是，( _ ) 西，。由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，分子落 在方柱体内的概率，即分子速率介于u k + 咖，0 一b + 叱，而匕任意的范围 内的分子的概率为方柱体内代表点数d ( 叱，q ) 与总分子数的比值，即 ，( v 溉m 炒，= 掣产 最后作一体积为以蛾凼：的小立方体，计算出在小立方体中的代表点数 柳( 匕蛳瞄，煲| j 掣就是所要求的概率。 因为u ，q ，v ：相互独立，故 ! 翌马孑越= 厂( k ) 蛾弛，) 咖v ：) 赴= 厂( 匕哆以) 咖，咄也 照然，速度分布函数( u ，v v ，v ：) 是分子分别按速度的x 、”z 方向分量的分布函 数厂( v ，) 、，( v 。) 、，厂( v ：) 的乘积 分了柬分布函数的研究 分子处于速度空间叱一心+ 也，_ 一0 + 毗，叱一心+ 也范围内的概率是 ，( u ，v ，匕) 与也呜以的乘积。 在速度空间中单位体积内的代表点数或代表点密度d 为 。= 裂瑚，v ：m 然代表点密度。凯匕的函数。 所以可以求出在速度空间中在v 附近任一体积元d q 内找到代表点的数目为 矗 ，( v ) = d ( u ，v ，v ：) d q ( 2 2 ) 第一章麦克斯韦速度分布律 2 2速度分量分布函数 为简单计，考虑分子仅在x 方向运动的情形。如果速度为v 。，及v 。：的两个 同类分子发生弹性碰撞，碰撞后的速度为v ：。及v ：，出动能守恒条件有： v ：，+ t z5v ：+ 峨 ( 2 3 ) 在单位时间内发生上述这种碰撞的次数必然与速度为v 。及v 。：的分子数成 萨比，即与乘积，( u ) ，( v ，：) 成正比。在平衡态下，分了速度从v 。及v ，：变到v ：l 及 v ：的正碰撞率必然与从v ：及v ：变到v 。，及v 。：的逆碰撞率相等，所以 ，1 ( v ，) ，( u ：) = ，( ) 厂( ：) ( 2 4 ) 容易验证，当，( u ) 是如下的指数函数形式，( v ，) 。ce 蹦时就能同时满足 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 两式的要求。上式中夕的是常数，且卢= 蠢，其中是玻尔兹 曼常数。 一蛙 所以删( 叱) = 4 p2 7 扯 其中系数这样确定：把上式对v t 从一c 。到m 积分，其值应等于分子总数， d ( v 。) = 刮己e 一赫扯= 积分得爿= 丢籍) ”2 因此狮沪( 杀，e 焉丸 把上式与( 2 1 ) 比较，得他) = 警= ( 翥2 e 一等 同醐咿掣= ( 翥) 1 ，虿筹，( 咖鬻= ( 翥) 2 e 一番 因为，( v ，v ，v ：) 咖，西，咖：= ，( v ，) 咖，( v ，) 咖，厂( v ：) 西： 分于束分布函数的研究 眦以蠼m 妒( 斋) “2 e x 寸掣卜办 撇川= ( 赤r e 坤 等铲 忆s ， 蝴啪，= 掣= c 翥尸2 e x r _ 甜螂 概率密醐叼= 鬻的分稚曲线如图2 2 所示： 它对称于纵轴。 图中打上斜线的狭条的面积为 仉炒掣= c 奇广2 e x - 射也 图2 2 ( 2 6 ) 对式( 2 6 ) 进行积分，就可以求出在某一速率附近定间隔内的分子数概率。 o 第一荜麦克斯书速度分布律 2 3 速率分布函数 1 速率分布函数 在许多实际问题( 如求分子的平均速率和平均动 能) 中，需要求速率在v v + 咖范围内( 方向任意) 的 分子数目。如图2 3 ，在速度空闻中，这相当于求落在 以速率v 为半径，厚度为咖的薄球壳内的代表点数目。 根据( 2 2 ) 式，只要把球壳的体积d q = 4 丌v 2 咖乘阻代 表点密度d ( 注意具有相同径向距离处的密度相同) ， 得到速率在v v + 西范围内的分子数是州= d 4 万v 2 咖 代入( 2 3 ) ，得烈= 4 丌丢舞) p 一筹巩 定义厂( v ) = 慧= 4 石丢翥) “2 孑筹为麦克斯韦速率分布函数。 其分布曲线如图2 4 ，图中左边打斜条狭长区域面积 表示速率介于v v + 咖分子数与总分子数之比，而右 边打斜条区域表示分子速率贪于v v + 咖内分子数与 总分子数之比，其数值应该从下面的积分求出 rm 肛卜，c 焘尸2 e x p - 嘉 v 2 西 图2 3 图2 4 龇a 峨f 总面积为f 巾肛r4 丌c 赤尸2 叫一筹卜 说明麦克斯韦速率分布是归一化的。 2 理想气体分子的平均速率、均方根速率、最概然速率 2 1 平均速率矿 矿= f = fa 厅( 去 ”2 e x p ( 一器卜璧= 岳池， 分子束分布函数的研究 2 2 均方根速率， 因= rv 2 - ，( v 枷= 等 ，= 犀= 舞 ( 2 8 ) z 3 最慨然邂翠v 。 因为速率分布函数是一连续函数，若要求极值可从极值条件警l = = o 钆= 犀= 詹 眩。， 从上式可见卅越小或? 越大，v 越大。 2 4 中间速率e 若选取合适的e ，使得气体分子速率小于v 的数目与分子速率大于t 的数目 相等，则称满足这种条件的h 为中间速率。由上述分析，容易得到 r m ) 西= 圭 ( 2 1 0 ) 哪厅( 赤) p 嘉v 2 咖= 圭 故re 一：( 等一等 因为皤) ；= 圭，所以扯等v p 郴 1 r 广_ 妊毒一把等拙。1 。 在m a t i a b 命令窗口中觚 茹p ：x k 枷，。) l m i e x p 卜一x “zj ，x ，u ，vj 并编写甬数文件m m ： - ，i c f f o ”i n = - ，i h ( f ) a = l 2 + p ，o ) + p f “( 1 2 ) 一f + e x p ( 一f “2 ) 一s g r f ( p f ) 4 第二章麦克斯书速度分布律 初步估计，m l ，最后输入止p r d ( 胛，1 ) ，采用长型格式输出结果为： f = 1 0 8 7 6 5 2 0 3 1 7 5 8 1 7 1 0 8 7 7 ， 所以吲0 8 7 7 v ，堋7 7 j 等 ( 2 v v 。在速率分布曲线上理解为：，( v ) 曲线从原点出发，迅速增加到一极 大值后缓慢减小，逐渐靠近v 轴。曲线下的面积在极值点对应的最可几速率v 。左 侧小于右侧，表明左侧的分子数小于右侧的分子数，故应在v 。的右侧。v ，对应 的分布概率值为，( 啪= 4 乃( 五) ；e 一筹v - 警，对单个分子而占，其速率小于叶 的概率等于速率大于v 的概率：对大量分子而言，中间速率的统计意义在于速率 小于v 的分子数等于速率大于v 的分子数。 3 几点说明： 3 1 由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度公布律，卅 过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这 一速度分布律一般适用于平镛态的理想气体。在 平衡状态下气体分子密度胆及气体温度都有确 定均一的数值，故其速率分布也是确定的，它仅 。 是分子质量及气体温度的函数，其分布曲线随 分子质量或温度的变化趋势如图2 5 。 图2 5 3 2 麦克斯韦分布本身是统计平均的结果，它与其它的统计平均值一样，也会 有涨落，但当粒子数为大数时，其相对均方根偏差是微不足道的 3 3 事实上，在统计物理中利用系综理论的正则分布也能导出同样的速度分布 律而且表明该分布律还适用于非理想气体，不论它是化学纯的还是混合的。 3 4 计算分子运动的平均距离时用平均速率、讨论分子的平均平动能时利用方 均根速率不同，中间速率和最概然速率都是在研究分子的速率分布时考虑的两 种速率，区别仅在于前者着重研究速率低于某一速率的分子数占总分子数的一 坌至塞坌查堕墼塑翌壅 半( 或对单个分子而色速率低于该速率的概率等于o 5 ) ，而后者强调的是在某 一速率附近的分子数比任意其它的速率附近相等间隔内的分子数都要多( 或对 单个分子而言，速率在该速率附近的概率最大) 。若气体分予不满足麦克斯韦速 率分向，中侧速率的定义及其统计意义仍然不变，只是其数值发生了相应地变化 ( 由具体的分布函数决定) 。若速率分却函数没有归一化，则在求中间速率的数值 时( 2 1 0 ) 式应换成f 厂( v ) 咖= 【_ 厂( v ) 咖即可。 受三至茎要塑羔垩壁坌塑堡 2 4 相对于v 。的( 麦克斯韦) 速度分量分布与速率分布 如果计算气体分子速度分量( 或速率v ) 在某给定范围内的分子数或概率， 可把麦克斯韦速度分布式或速率分布式分别作变量变换，使之变换为相对于最 概然速率的速度分量分布或速率分靠的形式。 l 相对于v 。的速度分量( 麦克斯韦) 分布 令其中“，= 曼，其中v 。为最概然速率，则 r p 他) 也= 掣：( 裔) 2 e x p 一期帆 变换为掣- ( 拱e 醑朗协。 若要求出分子速度工方向分量小于某一叱数值的分子数所占的比率，则可对上 式积分等= r 掣= ( 脚油： ( 2 1 2 ) 只要将被积函数唧( 一“：) 在积分区间。一“，范围内展开为幂级数，逐项积分，即 可求出( 2 1 2 ) 式。在概率论和数理统计中称( 2 1 2 ) 式为误差函数，以e 矿( x ) 表示e 矿q ) = ( ) e e x p ( 一x 2 ) 出 ( 2 1 3 ) 、石 w 误差函数有表可奄。如表2 1 。 2 相对于v 。的麦克斯韦速率分稚 若令描：三，可将麦克斯韦速率分句表示为 v p 第三章分子柬的速率分布律 第三章分子束的速率分布律 若在有分子泻流的气体容器之外保持足够高真空度，对准容器上的小孔放 置一组准直狭缝，则有容器逸出的绝大部分分子都被准直狭缝挡住，而极少量 穿过准直狭缝的分子基本不受其他残余气体分子碰撞，就形成一束分子射线。 为避免散射效应，在分子束进行方向上各孔的厚度都应极薄。分子射线是容器 钟平街态下气体的取样。由于分子柬中的粒子数不多，其间的相互作用微不足 道。因此，用这射线束就便于研究基本上孤立的粒子的性质。下表列举了历史 上有关分子束的卓越工作。 年代j ：作者贡献 1 9 1 1杜诺依尔第一次设计弗制成分子束装置 1 9 2 0颇特思用银原f 柬证实麦克斯韦速度分布律 1 9 2 l 1 9 2 2斯特恩与盖拉赫用银原子柬在磁场中的偏转证实了空间量子化 1 9 2 7费普斯与泰勒实现氢源子粜在非均匀磁场中偏转的实验 斯特恩、艾斯特曼为证实德布罗意物质波假说，进行了氢分子和氮原 1 9 2 9 1 9 3 1 与弗利胥子的衍射实验 用分子束方法测出质子磁矩，发现它大约为理论预 1 9 3 3 斯特恩等人 期值的2 5 倍：他为发展分子束方法作出了一系列 贡献，因而获1 9 4 3 年诺贝尔物理学奖 首次用分子柬共振法实现核磁共振，为1 9 4 6 年珀塞 尔和布洛赫分别用共振法和核感应法测量核磁矩作 1 9 3 8 拉比等人 了准备。拉比获1 9 4 4 年诺贝尔物理学奖，珀塞尔和 布洛赫获1 9 5 2 年诺贝尔物理学奖 测定氨原子能级的兰姆位移，为量子电动力学提供 1 9 4 7兰姆与雷瑟福 了重要根据，兰姆获1 9 5 5 年诺贝尔物理学奖 1 9 4 8赖昂斯靠氨中的微波吸收建立第一台氨分子钟 发明微波激射器，在此基础上1 9 6 0 年梅曼利用红宝 1 9 5 4汤斯等人 石获得激光。汤斯等人获1 9 6 4 年诺贝尔物理学奖 坌至塞坌塑里塾塑堕茎 分子束中，分子作准直得很好的定向运动，它们之间的相互作用可予忽略， 利用它来研究分子的性质及其相瓦作用较为理想。所以分子束技术在原子物理、 分子物理以及气体激光动力学、等离子体物理、化学反应动力学，甚至在空间 物理、天体物理、生物学中都有重要应用。它也是研究固体表面结构的重要手 段。 分子束是一宏观粒子流，其中的分子不是朝各个方向运动机会均等的；速 率分布也不同于麦克斯韦速率分布律，但与容器内平衡态气体分子的麦克斯韦 速度分布是有联系的。 下面依照平衡态气体的泻流规律来推导出分子束中的速率分布函数。 1 气体分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布 气体分子的速率分布与分子束速率分布不同。图3 1 所示的真空加热炉( 分子源) 中金属蒸汽( 理想气体) 的 分子速率分布厂( v ) 咖与，( v ) 咖并非一回事。，( v ) 咖表示 加热炉内气体的分子速率介于v v + 咖的分子数d 与总图3 1 分子射线柬实验 分子数之比。因为处于平衡态的分子源中气体分子的平均速度为零，平均来 说，每一分子均不改变空间位置，故，( v ) 咖是“静态”的速率分布。但分子束 中的分子都在作匀速运动，说明f ( v ) 咖是一种“动态”的分布，它表示了粒子 通量( 指单位时间内透过的分子束中的分子数) 中的速率分布。但，( v ) 咖与 f ( 订咖间存在一定关系，故可利用实验测得的速率分布的曲线求得理想气体速 率分布。 2 分子束速率分布( s p e e dd i s t r i b u t i o no f m o l e c u l a r b e a m ) 因为从加热炉器壁小孔中逸出的分子就是无碰撞向小孔运动的分子，在防 时间内从洲面积的小孔逸出的分子数可写为 肚丢 玩撕= f 去呵( v ) 咖幽西 ( 31 ) 由上述积分式可知，其中速率为v v + 咖范围内的分子数是 第三章分了柬的速率分布律 州，= 三( v ) 西洲加 ( 3 2 ) 将麦克斯韦速率分布表达式代入洲。= 三4 石( 番尸2 。e x p ( 一等) v 3 西出出 因为气体分子是辐射状地从小孔射出的，从各个方向射出的分子的速率分布相 同，所以从小孔射出的总分子数中的速率分布就等于分子束中的速率分布 ，( v ) 西。 考虑到；：、塑，则分予束速率分布f ( ，) 咖可表示为： ￥删 m 肌主珈c 斋尸2 j 嚣- e x 卅务v 3 西 ：芸未e x p ( 一黑) v 3 咖 ( 3 3 ) 2 j 丽懈p 卜j 西) ”。咖 ) 分子束速率分布也可用如下方法求得。 因为分子束中的分子处于宏观运动状态( 它不同于处于平衡态的理想气体， 从宏观上看，平衡态气体的分子均处于静止状态) 。因而分子束的速率分布函数 正比于，( v ) 咖。 故f ( v ) 咖= ( v ) v 西 由归一化条件r f ( v ) 咖= 彳r ，( v ) v 西= 1 ( 3 4 ) 而对于速率分布，其平均速率为；= f v ，( v ) 西 ( 3 5 ) 可知分子柬速率分布的归一化系数爿= = 嚣 ( 3 6 ) 分子束速率分布为 m 肛辱锄c 翥声唧c 一器矿咖= 蜀斋嘶务一咖 3 特征速率 3 1 平均速率v 。 9 分r 柬分布函数的研究 = r 卿肛斋加t 一舞咖= j 萼 慨， 3 2 均方根速率喙。， 因为磊= r 卿咖= 薪f 唧t 一筹h 5 咖= 等 批枷，：质：辱 ( 3 8 ) ： 3 最榄然运翠 由堑盟：o 小， ” 得妒警 ( n ” 3 4 中间速率”新 若选取合适的”如，使得分子束速率小于”柬的数目与分子束速率大于v 女，的 数目相等，则称满足这种条件的k ，为中间速率。由上述分析，容易得到 r 即) 咖= 导 ( 3 1 0 ) 即嘉p 豢矿咖= 圭 e 鲁办吾嵋， 令蠢v 羹，强妣5 = 2 地 ( 3 - ) 利用m a t i a b 解得：命令窗口中输入：z = 1 6 7 8 3 4 6 9 9 0 0 1 6 6 6 a 1 6 8 ( 3 1 2 ) 所岷，“8 3 j 等 ( 3 1 3 ) 它们均比麦克斯韦速率分布中的相应值要大些，这是因为气体分子处于动 奈阴而谈窍女的分子浼小的虮会相对每必 2 0 第二章分了束的速率分布律 4 讨论四种速率的关系 比较( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 3 ) 四式，则有 ”莉：”柬，：v ：”。2 l ：1 0 6 ：1 0 9 ：1 1 5 且有f ( 9 柬，) ：，( v 璇，) ：f ( v ) ：f ( ”。) = l ：o 9 9 ：o 9 8 ：o 9 3 关于这个结果，可以从频率分布曲线图3 2 ( 图 中表示了四种频率的相对大小) 来理解：因为 ”柬，j ， y + 喙。，在附近可能出现的粒子 数最多，然后随着频率的增加，曲线呈“f 降趋势， 当然在”裳，、v 。、v 出。附近可能出现的分予数目会 逐渐减少。 ( 3 1 4 ) ( 3 。1 5 ) 图3 2 分于柬分布函数的研究 第四章分子束的其它分布律 在研究分子束的相关问题时，经常讨论一些与能量、动量、频率和波长等 与速率有关的物理量的分布情形，因此有必要姆分子柬的速率分布函数转化为 相应物理量的分布函数。由德布罗意关系知，任何实物粒子都具有粒予性和波 动性，在研究分子束时，同样应该考虑分子的波动性。因为反映波动性的频率 比反映经典运动的速率更能反映运动的本质，歇以频率分布函数比速率分两函 数有更广泛的适用范围和更深刻的物理实质。 本章共分四个部分逐一说明。 4 1 分子束能量分布函数 1 分子柬能量分布函数 因为单个分子的能量与其速率的关系为s = 孚 ( 4 1 ) 即v 摆骱= 去 ( 4z ) 所以警川v 肌斋i 筹咖= 志i 寺硎阱出 ( 4 3 ) 其中h 曲2 话寿叩一百佰就是分子束的能量分布函数，它表示系统中单位能量间 隔内的粒子数占总粒子数的比率。 与分子束的速率分布函数比较，不难发现分子束的能量分布函数的形式更 简单，它只与热力学温度有关，而与分子的质量无关， 即各种分子质量的气体都具有一个统一的能量分布函 数，而用分子束的速率分布函数处理时则需要多个不 同的速率分布函数。 如图4 1 为分子束的能量分布曲线，图中阴影部 分的面积表示能量在s s + d s 之间的分子数占总分子 图4 1 第四章分于束的h 它分布律 数的比率。 又f m 胁= 击p 寺刊川 ( 4 4 ) 这说明分子束的能量分布函数f ( s ) 也是归一化函数，这很显然，因为所有分子 的能量必介于0 之间。 2 1 平均能量；。 ；一= p ( 州弘击p 。如- 2 胛 ( 4 i5 ) 2 2 均方根能量嗉。 因为虿= f 押加击p 寿觑娟耐 所以啄。= 属= 酞r ( 4 6 ) 2 3 最概然能量 因为警= 志者q = 志e 哪一旁 由警l 。_ o 得铲r ( 4 7 ) y 柬p 对应的是分子束能量分布的几率最大值，即若取相等的能量间隔，则在 最概然能量附近的能量间隔内的粒子数最多。 2 4 中间能量颤。 击寺卅s = 圭 一上p 础音：! 七r 如 2 分 柬分布函数的研究 一去。一嚣+ 占h 一寿如：土 一亩7 + 吉n ”如2 言 即p 芬：2 + 2 鱼 青7 1 令鱼：x 七r 贝0p 。= 2 + 2 x 代入( 3 1 2 ) 式x z l 6 8 所以，= 1 6 8 r 3 讨论 3 1 四种能量间的关系 比较( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 1 0 ) 四式，则有 嗉p ：喙，：占 ：占泉一= l ：1 6 8 ：2 ：2 4 5 且有f ( ) ：f ( 嗉，) ：f p ，) ：，( 嗉。) = l ：o 8 5 ：0 7 4 ：0 5 7 关于这个结果，可以从能量分布曲线图4 2 ( 图中表示了四种能量的相对大小) 来理解：因 为 喙， s 。 ，在附近可能出现的粒 子数最多，即冁。对应着曲线极值点的横坐标，然 后随着能量的增加，曲线呈下降趋势，所以在s 柬j 、 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) f 。、。：附近可能出现的分子数目会逐渐减少。 图4 2 3 2 分子束速率分布和能量分布的差别 1 ) 根据式( 4 1 ) 计算分别与v 。、”柬。、9 瓤和”勘相对应的能量，并逐一 与四式( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 1 0 ) 比较： 憋：墅竖 ；女 ( 4 1 3 ) t 2 1 f v ( ；。) = v 寨。， ；。 v ( 。，) ”静 莉 v ( ) ，即v ( 咚。) 最 大，v ( ) 最小，而v ( ；。) = ”求。，即石，对应的速率就等于v 牵。，这从另一方 面指出了的物理意义 分于柬分布函数的研究 4 2 分子束动量分布函数 1 分子束动量分布函数 因为单个分子的动量与其速率的关系为p = 胴， 即。：卫且西：皇芝 所以警川v 胪斋e 焉舳= 嘉e 焉喀鲁 1p ! = i 毛石p2 ”p 3 咖= f ( p ) 印 2 f 脚丁1 2 311 其中默p ) 2 面：再8 一丽，为分子束的动量分布 函数，它表示系统中单位动量间隔内的粒子数占总 粒子数的比率。对应的分子束动量分布曲线如图4 3 所示，图中阴影部分的面积表示动量在p p + 勿之 间的分子数占总分子数的比率。 又f ，( p ) 印= i ：再f 。一嘉p 3 咖= 1 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 。2 3 ) 图4 3 ( 4 2 4 ) 这说明分子束的动量分布函数以p ) 也是归一化函数，这与分子束的速率分布函 数f ( v ) 是归化函数的理解是相同的。 2 特征动量 2 l 平均动量p 。 j 。= f 廊舻赤p 嘉咖= 浮 他z s ， 2 2 均方根动量鲰。 因为西= f 声( 黼= 赤p 嘉p 5 印嘲女r 所阻。= 磊：2 鬲 2 3 最概然动量 o ， 得p ，= 3 m t r 2 4 中间动量p 。， 赤肛嘉p 协圭 一j 二p tp ：如一嘉：三 一面万上p 饿“2 j 第四章分子柬的其它分布律 = 志e 嘉p 嘉+ 3 】= 。2 丽爵“7p 乙【一箫+ 3 】划 一赤妒嘉+ 赤肛南班圭2 聊七r 1 轧2 ，l 七r 山2 赡 n 2 即p2 m i r = 2 + 2 _ 二l 2 研七丁 令! 己：。 2 m 七丁 则矿= 2 + 2 工 由( 3 1 2 ) 式x * 1 6 8 得p 。= 1 8 3 而万 3 讨论 3 1 四种动量的关系 比较( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) 四式，则有 p 束p ：p 蓑，：p 女：p 柬圳。= 1 ：1 0 6 ：l 0 8 ：l 1 5 2 7 ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) $ r m p l 3 p r m2 分_ j ：束分布函数的研究 且有f ( p 靴) ：f ( p 柬，) ：，( p 。) ：f ( p 柬用，) = 1 ：o 9 9 ：o 9 8 ：0 9 3 ( 4 3 0 ) 关于上述两式，可以从动量分布曲线倒4 4 ( 吲 中表示了四种动量的相对大小) 来理解：因为 风， p 瓤 ；。 o 时，波长不变时随热力学温度增加单位滠度 m ! 竺 “ vm 间隔内的粒予数出现的概率将增加； 分了柬分布函数的研究 当a 。鱼一，即( 芸) 。 o 时，波长不变时单位温度间隔内的粒子数出现的概 m v d 率随热力学温度增加而减小； 当五：l ，即( 芸) 。= o 时，单位温度间隔内的粒子数出现的概率与温度 v 女一 d 无关。 2 特征波长 2 1 平均波长丑。 j 。= f 州删扛嘉f 砉i 焘d 且 2 2 均方根波长砝，。 因为砭= p 哪) 以= 一嘉f 专赤扯等 所以k = 庸= 赤 2 3 最概然波长k 因为等一嘉扣去扣淼、嘉c 等蝴2 ， d 2 ( 删七r ) 2 以。 五 2 ( 脚七r ) 。旯5 、州七r 。 由矧。一o 得2 赤 2 4 中间波长a 。 一嘉卜志扣一嘉驴志扣 一嘉p 嘉出一j 急= 一嘉e ，嘉如+ 志2 晰七7 1 由五2 2 删七7 1n t ，五2 ( 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 5 ) 芦 第旧章分r 柬的其它分布律 一番扣孤+ 嘉丽d 嘉= 2 聊i r 五2 2 研七r 南 丑2 嘉扣厩+ 嘉驴瓣喀2 m 七r a 22 所七，舡籼五。 阢2 “7 碡一2 + 2 蒙嘉2 掰七r 五2 令嘉一 贝0p 。= 2 十2 x 由( 3 1 2 ) 式x 。1 6 8 得 ：o 5 5 ! ! 封 m 七r 3 讨论 3 1 四种波长的关系 比较( 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 5 ) ( 4 4 6 ) 四式，则有 ：k ，：a m ：。，= 1 ：1 2 2 ：1 4 0 ：1 5 8 且有，( 丑郫) ：，( ，) ：f ( 万。) ：f ( & 。) = l ：o 8 4 ：o 6 3 ：o 4 5 这个结果可以从波长分布曲线图4 6 ( 图中表示 了四种波长的相对大小) 来理解：因为 厶， ；， v ( a 。) v 柬p v ( 万，) v 莉 v ( k ) 。 本节给出分子束的波长分布函数的形式，并解释了负号的意义，计算出相 应的特征波长。因为实验上对分子波长的测定较测定分子速率更容易，所以它 比分子束速率分布函数有更深刻的物理意义和更广泛的应用前景。 亘。 第四章分于束的其它分布律 4 。4 分子束频率分布函数 1 分子束频率分布函数 如果不考虑相对论效应，则p = 鲁= 篆 “5 7 ) 投2 n 叭