（概率论与数理统计专业论文）缺失样本极值的几乎处处中心极限定理.pdf

摘要 本文由三部分组成第一部分研究最大值与次最大值联合的几乎处 处中心极限定理主要结果如下： 定理a 设 x 。 是i i d 序列， 霸与m 。分别为“l ，托，) 的最大值与次最大值，假设存在规范化常数列 0 ，b n 及非退化分布 g ( z ) 使得( 1 1 ) 成立如果 d k ，k 1 ) 满足( 1 1 0 ) - ( 1 1 2 ) ，则对z 有 熙击套比吖警g 警蹦叫舢m s 其中h ( x ，可) = g ( y ) l o g o ( x ) 一l o g g ( y ) + 1 ) ，g ( 可) 0 ，且当a ( u ) = 0 时 日( z y ) = 0 第二部分主要研究缺失样本下独立同分布序列最大值的几乎处处 中心极限定理，并在一定条件下将其推广到弱相依甲稳高斯情形得到 如下结论： 定理b 设 x ： 是i i d 序列，公共分布函数为f ( z ) 且f d ( g ) 如果 。) 是独立随机变量序列且与 x 矗) 相互独立，并且r n 二p ( 0 1 1 ，= 冬1 则对任意的x y ：有 救志喜丢，瓣? k x + b k ： a k y + b k ) _ g p ( 邶坤一s 定理c 假设条件c 3 一c 5 成立，如果存在数列 u 。j ： 使得 口。成立，且当n 一。o ，有n ( 1 一西( u 。) ) 一t 1 1 0 ：。c ) ：n ( 1 一圣( ) ) 一兜 【0 ，) ，则有 t l 1 熙志蚤去j 厩鲰m 鲰 = e - f r l e - ( 1 - p ) r a , 特别地，如果 o n ) ， k ) 是( 3 1 5 ) 中的形式，则对z 可有 n - - c o 土l o gn 喜= 丢， 厩 _ a k x + b k , 慨 _ a k y + b k j 一日，( z 驯：们 其中h 1 ( z ：y ) = e x p ( 一p e ”) e x p ( - ( 1 一p ) e 一掣) 本文第三部分主要研究缺失样本下独立同分布序列部分和与最大 值的几乎处处中心极限定理，并将其推广到下稳高斯序列情形主要结 果如下t 定理d 若 端) 是i i ，d 序列，且满足条件c l ，c 6 c 7 进一步， 如果e ( x ；) 2 十6 o c ：其中0 6 1 ：则对z y ，：r ，有 。骢击薹去j 磁 _ a n x + b n 3 1 二蝴+ h 嘉：) = g t ( z ) g 1 _ p ( 可) 垂( ：) ，q s 定理e 设 是标准化的平稳高斯序列，且条件g 1 一g 4 成立， 贝对。r 有 。骧击粪去， 瓦鲰鸠尝0 = e - p t l e - ( 1 - p ) r 2 一s 特别地，如果a n ， 6 n 是( 3 1 5 ) 中的形式，则对z y z r ，有 。骢霹1 毫n 元1 ， 0 b n ra n dan o n d e g c n e r a t e l i m i td i s t r i b u t i o ncs u c ht h a t ( 1 1 ) h o l d s a s s u m ea l s ot h a t 以，k l ，a r e p o s i t i v ew e i g h t ss a t i s h i n g ( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) t h e nf o rz y w eh a v e l i r a n h 击扣 0 ( a n dt oz e r ow h e n a ( u ) = o ) i nt h es e c o n dp a r t ，a l m o s ts u r em a x - l i m i tt h e o r e m so fc o m p l e t ea n di n c o m - p l e t es a m p l e so fi i d s e q u e n c ea r ea n a l y z e d t h er e l a t e dr e s u l t sa r ca l s oe x t e n d e d t ow e a kd e p e n d e n ts t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c e f o l l o w i n g sa x et h em a i nr e s u t s t h e ! o r e n lbl e t 【e ) b cas e q u c n c co fi i d r a n d o mv a r i a b l e sw i t hc o m m o n d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf ( x ) s u c ht h a tf d ( g ) s u p p o s et h ei n d i c a t o rv a r i a b l e s f nla r eas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ，w h i c ha r ei n d e p e n d e n to f 霹 a n ds a t i s f yr n 二p ( 0 1 j ，w h e r e 瓦= 警1f f k t h e nf o r a l lr e a lz y ， j i y 1 三k - - l ；1 ， 硬 _ a k z + b k , a _ a k y + b k ) _ g p ( z ) g 1 一p ( y ) ，n s t h e o r e mct i n d e rc o n d i t i o n sc 3 - c 5 ，i ft h e r ee x i s tn u m e r i c a ls e q u e n c e s j ， 1 - 。】s u c ht h a t1 n 1 ，。，n 1 ，a n dn ( 1 一圣( 1 l 竹) ) 一n 【0 ：) ，钉( 1 一 西( ) ) _ 亿【0 x ) a sn 一。c t h e nw eh a v e f u r t h e r m o r e f o rz y 去， 矾9 刚以t k ，= e 一肋e 川刊它，们 恶去喜昙幅 _ a k x + b k , m k _ a k y + b k ) h 1 ( t 剪) ，乜s w h e r e l ( z ，y ) = e x p ( - p c 吖) e x p ( - ( 1 一p ) c 叫) i nt h et h i r dp a r to ft h i st h e s i s ，a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mo ft h ep a r t i a l s u l t i sa n dm a x i m u m sf r o mc o m p l e t ea n di n c o m p l e t es a m p l e so fi i d s e q u e n c e i sc o n s i d e r e d r e l a t e dr e s u l t sa l s oa r ee x t e n d e dt ow e a kd e p e n d e n tg a u s s i a n s e q u e n c e t h em a i nr e s u l t sa r c t h e o r e mds u p p o s et h a tc o n d i t i o n sc 1 ，c 6a n dc 7h o l df o rt h ei i d s e q u e n c e 霹) f u r t h e r m o r e ，e ( 埘) 2 + 6 f o rs o m e0 6 1 t h e n f o ra l l x y z rw eh a v e 丢吖硒“川枷鲕。，番0 = g p ( x ) g 1 - p ( 可) 圣( z ) ，a 8 t h e o r e mel e t ) b eas t a n d a r d i z e ds t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c e a s s u m et h a tc o n d i t i o n sg 1t og 4h o l d t h e nf o ra l lz r ， 。噢去粪丢， 厩 “， i n _ v n ，嘉 f u r t h e r m o r e ，f o ra l lr e a lz y ，z r ， ：) = e 一即e 一( 1 呻) 讫中( z ) ， n 5 去- ， 扎 lj = e x p ( - p e 叫) e x p ( 一( 1一p ) e 叫) 垂( z ) ，a 8 k e y w o r d s ：e x t r e m eo r d e rs t a t i s t i c s ：，a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m ；i n - c o m p l e ts a m p l e s ；s t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c e ：m a x i m u m ；p a r t i a ls u m ：j o i n t l i m i t i n gd i s t r i b u t i o n 。 一他 1 一g b m ：；h 卜 脚南 昌8h 肛 脚 去 n n 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：；弧 签字日期：山多年 月d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：主扒 导师签名：玉么、t 岩气 i 签字日期：厶一7 年s 月9 日签字日期：田。c j 年夕月b 日 t 西南大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月 日 第一章前言和预备知识 1 1 前言 极值理论( e x t r c m cv a l u et h e o r y ) 兴起于上世纪3 0 年代，主要研究自然界 和人类社会的一些极端现象，如洪水，暴风等自然灾害，大型土木建筑的可靠性 及环境检测等，以及在金融保险领域中，如估计大额的保险理赔，风险值估计， 市场崩溃和金融危机等，考虑这些问题可能涉及极值理论模型 设 墨) 为独立同分布随机变量序列( i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ， 以下简记为i i d ) ：公共分布函数为f ( z ) ，且 厶= m a x l 0 ，b n r ，九1 ，使得 l i mp 口二1 ( a 如一b n ) z = ( ；( z ) ( 1 1 ) 7 l ，。o 其中a ( x ) 为非退化分布函数，则g ( r ) 必为下面三大极值分布类型之一 a ( x ) = e x p ( 一e 吖) ， 一。o 仉 在同类意义下，可将上面三种情况写成统一的表达式，即 g ( 丁) = g 7 ( z ) = ：e x p 一( 1 + 7 z ) 一 ) ( 1 2 ) 其中，1 r ，1 + t x 0 ，且称7 为极值指数 极端顺序统计量的几乎处处中心极限定理为极值理论近期研究的热点问题 由于在实际抽样中要获取完全样本是比较困难的，所以对缺失样本下几乎处处中 心极限定理的研究不仅具有重喜的理论价值。还具有一定的现宴意义 1 2 文献综述 概率极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论其他分支和数理统计的 重要基础，因此，极限理论的研究，尤其是中心极限定理的研究在概率统计中占 6 箜二童煎宣塑亟查塑迟z 据重要地位，一直以来都是概率统计工作者们研究的重点经典中心极限定理可 以简要叙述为：设 x 。，为i i d 序列，公共分布函数为f ( 丁) ：且矗= ：1x 七： 如果e ( x 1 ) = 0 e ( x ；) = l ，则对任意的- r 有 l i mp 击z ) _ 咻 ( 1 3 ) b r o s a m l e r ( 【4 】) 和s c h a t t e ( i 3 4 ) 率先证明了部分和的几乎处处中心极限定 理( a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m 简记为a s c l t ) ：近3 0 年来几乎处处中心 极限定理一直都是概率极限理论研究的热点问题关于部分和的a s c l t 可以简 要叙述如下：设 为i i d 序列，公共分布函数为f ( z ) ，且晶：。虬： 如果e ( x - ) = 0 ，e ( x ) = 1 ：则对任意的j 兄有 恕志喜丢- ， 袅z ) 螂h s ( 1 4 ) 其中， ) 为示性函数，圣( 3 ：) 是标准正态分布函数 b r o s a m l e r ( 【4 ) 和s c h a t t e ( 【3 4 ：) 在f , i x , 1 2 州 0 条件下，证明了 ( 1 4 ) 随后，l a c c y 和p h i l i p p ( f 2 4 ) 在二阶矩有限条件下将( 1 4 ) + 推广到了如下 函数形式 。骢志喜妻，( 袅) = 仁“z ) d ( b 扛) ， ( 1 剐 其中，为满足l i p s c h i t z 条件的有界函数b e r k e s 等( 【5 】) ，i b r a g i m o v 和l i f s h i t s ( f 2 2 】) 将( 1 5 ) 再次推广，得到了厂为满足一定条件的无界函数的a s c l t 对于极值的a s c l t 的研究，f a h r n e r 和s t a d t m f i l l e r ( 【嘲) 及c h e n g 等( 【8 ) 首次在( 1 1 ) 成立的条件下得到了独立同分布随机变量序列最大值的a s c l t ：即 恕赤妻m 阳厶一h k ) g = ) 舢 ( 1 6 ) u 七= l 之后f a h r n e r ( 1 4 ) 将( 1 6 ) 进一步推广，在一定条件下得到了无界函数情形的 a s c l t b e r k e s 和c s 矗k i ( f 6 ) 将( 1 4 ) 和( 1 6 ) 推广到更宽泛的随机序列的非线 性情形c s 磊k i 和g o n c h i g d a n z a n ( f 9 1 ) 在协方差满足一定条件下得到了甲稳高斯 序列最大值的a s c l t 关于中间秩顺序统计量的a s c l t ：见s t a d t m i i l l e r ( 【3 5 ) 及p e n g 和q i ( f 2 8 1 ) 等 上面所提到的a s c l t 形式都是对数甲均情形，事实上，对于更一般的情 形，也有a s c l t 成立b e r k e s 和c s 弛( f 6 ) 证明了如果 d 七= e x p ( ( 1 0 94 - ) 。) 知，0 ， 0 ； k _ x 存在p 满足0 p 1 ，使得当k 充分大时，也七p 是非增的； l i ms u pk d k ( 1 0 9d k ) p d k ： 七一 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 在条件( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) 下，h s r m a n n ( 1 s l ： 1 9 ，1 2 0 】) 将( 1 8 ) ，( 1 9 ) 进一步推广， 得到了一般加权情形下的部分和的a s c l t 及最大值的a s c l t 受此启发，本文 第二章研究了一般加权情形的最大值与次最大值联合的a s c l t 众所周知，现实生活中获取完全样本是比较困难的，即样本一般只有一部分被 观察到，这样就使得缺失样本极值分布的研究具有重要的实际意义m l a d e n o v i d 和p i t e r b a r g ( f 2 6 】) 首次研究了缺失样本下极值分布问题，得到了i i d 情形下 完全样本最大值与缺失样本最大值的联合渐近分布，并将其推广到严甲稳序列情 形 本文第三章在此基础上研究了i i d 序列缺失样本最大值的几乎处处中心极 限定理，并在协方差满足b c r m a n 条件下将其推广到甲稳高斯情形 研究部分和与极值的联合分布有其应用背景，如在研究某地区一定时期降雨 量的问题中，通常都要关心总降雨量和最大降雨量在建筑学和材料学中，我们 需要考虑建筑物的最大承受力和甲均承受力，材料的最大强度和甲均强度这些 实际问题在理论上都可归结于考察部分和与最大值的联合渐近分布 对于部分和与最大值联合渐近分布的研究，最早由c h o w 和t e u g e l s ( 1 7 】) 展开，研究了i i d 随机变量序列部分和与最大值的渐近独立性a n d e r s o n 和 t u r k m a n ( 1 1 ，【2 】) 在一定条件下得到了强混合序列部分和与最大值的渐近独立 性，之后h s i n g ( 【1 6 1 ) 证明了对标准化甲稳高斯序列，如果在强混合条件下其 部分和满足中心极限定理，则部分和与最大值仍然是渐近独立的h o 和h s i n g 复二童煎室塑亟查复望 2 ( 1 1 7 ) 证明了对甲稳高斯序列，如果其相关系数满足r 。l o g ，l 一0 及一定的条件， 部分和与最大值是渐近独立的，且得到了相关系数满足r nl o g7 7 一r ，0 r 的平稳高斯序列的部分和与最大值的联合渐近分布 m c c o r m i c k 和q i ( 1 2 7 ) 考虑了一类特殊的甲稳高斯序列，设 x 。j - 是标准化 甲稳高斯序列， r ( _ l c ) = e x l x k + 1 ：s n = 警七x 七，x 。= s n n ( 3 r n = 、v a r ( s n ) ， 厶2 1 m 女a 有 p ( “：1 ( 厶一k ) z ，“i 1 ( 小。一k ) y ) 三日( 上) ( 2 2 ) 其中h ( x ，y ) = c ( v ) l l o g g ( z ) 一l o g g ( ! ，) + 1 ，a ( y ) 0 ，且当c ( y ) = 0 时 口( ，- ，) = 0 s t a d t m f i l l c r ( f 3 5 ) 研究了中间秩次序统计量的几乎处处中心极限定 理，其中包含了( 2 1 ) 的几乎处处形式，即 1 n 1 恕赤吉m 如”一k ) z ) = g ( z ) 1 1 一l o g g ( z ) 】，郴( 2 3 ) 随后p e n g 和q i ( 1 2 8 】) 进一步推广了s t a d t m i i l l e r ( 【3 5 ) 的结果 本章我们感兴趣的是将( 2 2 ) 推广到几乎处处形式 2 1 最大值与次最大值联合几乎中心极限定理 定理2 1 。1 设 k 是独立同分布随机变量序列，且厶与m 。分别为( x 1 ，咒，k ) 的最大值与次最大值，假设存在规范化常数列a 。 0 ，k 及非退化分布g ( z ) ，使 得( 1 1 ) 成立如果 d k ，k 1 ) 满足( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) ，则对z y ，有 l i m 1 d k l j 7 l 气，f ) k 1 ( 2 4 ) 进一步，如果k 2 ，则 p m z m 七，1 ) 2 k 1 ( 2 5 ) 1 0 箜三童量盔笪生达量太笪亟金盟丛圣主：堂壑退塞垄! ! 证明由于任何一个随机变量都可以通过变换成为服从 0 ，1 】均匀分布的随机变 量，所以不失一般性，假设x 服从【0 ，1 上的均匀分布，且公共分布函数为，( z ) 由于 是独立随机变量 厶与 厶1 的最大值，因此有 p 如 ，氏f = p 凡砧2 = e f ( m k ) 7 一七 = 石13 。一k 詹z k 一1 d j ：= 忌z 这样我们证到了( 2 4 ) ，下面证明( 2 5 ) 由于k 2 故而当k 七+ 2 的情况若”功 m k f 则意味着 置，1 i k 中至少有一个比m , k 1 大，即有 氕 川七1 成立反之，容易证明 a 亿 m k ，d 【 u m k z ，所以有 p m f m ，d = p i 如 ”2 七z = 1 一e f ( m 电，f ) 又由于随机变量m k ，导出的概率测度为 因此， ( z 一七) ( f l 一后) f ( z ) 卜七一2 ( 1 一f ( x ) ) d f ( x ) = 1 一( 1 一七) ( f 一1 一k ) 丁七( 1 一? ) 一七一2 d ：t ： ，( f 一 ) ( f 一1 一 ：) l ( 1 1 1 k ( 2 2 1 1 一k 2 l ( t 一1 ) 裂兹f 从而( 2 5 ) 得证，引理证毕 下面这个引理是用来估计协方差的，为简便起见，记 饥= a l y + b l ；功兰a l x + b t o z k ，z = i m k ，l u l ，o q ：n o ，z ；侠，z = ， 7 n 七f u f ) j 庙= 扇1 弓i 理2 1 3 士n 果k 2 ，z k ，贝l j c o v ( o k 仇，q f 崩) i 6 k 1 口 箜三童量盎焦生达量太笪送金鲍丛垩生! 堂壑医室垄 1 2 证明因为( 比虞和( t k f 五，是相互独立的随机变量，故 c o v ( c i = 毛以：q t 一) isl c o v ( n 七成a l ( a 一风，f ) ) l + l c o v ( “奄以，( a l o k z ) 隗川 又由于一1 f 废一e ( ( r k t ，k ) 1 ，因而 c o y ( 0 = 七成：0 1 ( 矗一仇，f ) ) i eh ( 也一仇f ) 一e a t ( j l 一阮f ) m 注意到( 1 z 是示性函数，且e x e x i e i x i + l e x is2 e i x 因此 c o v ( q _ i ：m ，a t ( a 一凤，朋i 2 e i c ￥t ( a 一虞z ) i 2 e i , s z 一反，f 又因为? t i k f r r l 1 ，所以 故而由引理2 1 2 ，有 0 成1 一胁 o q 威，l 疡，由引理2 1 2 有 e i q k 1 i 2 e ( 瓯， 一崩) + 2 p m l t i t k 1 ) 结合( 2 6 ) ，引理得证 引理2 1 5 假设p 是 及m n ，有 证明由于 e m l 7 i 厶：d 6 k 1 口 一正整数满足p 2 ，并且矗2 ，则对任何正序列( 西) z 2 1 d t q k ，i 、p d z q k ，c = i 2 p + 2 p p ，2 ( 。s ，s nl d ；) p 7 2 d z ，。l p r n l p 对上式两边同时取期望，由引理2 1 1 ，得 e m f n 西q f p 也， r 丌b 由引理2 1 4 有上式右端的上界为 d l ，( e i q 州，卜e i q 纠，| p ) l 加 2 胛羡。三d l 。- d l v ( 乏) 1 p = 2 v + 2 k ( 磊ndd-1vmll、)pn m 2 p 、1 m z s n 进一步，由c a u c h y - s c h w a r t z 不等式，上式右端不超过 注意到 2 肿”z 臁前) p 2 p 2 ( f - 2 肛1 ) m s2 s n 。f _ 2 肛l t r , - 2 p - 1 - 1 - 上矿2 加以小t z 一 一， m f 0 ，使得对p 2 有 e 隆以地嘣九，卜( 。蒹ndkdtk=2( 研胆l2 膏 z t l “ ( 2 8 ) 证明由引理2 1 3 ：2 1 5 ：类似于h 6 r m a n n ( 1 8 ) 中引理4 的证明即可证得本引 理口 引理2 1 7 假设序列 d k k 1 满足条件( 1 1 2 ) ，则存在7 7 满足0 0 ( b ) d 。= e x p ( ( 1 0 9 ”) 。) ，d n a , e x p ( ( 1 0 9 ) 。) o o g7 ) ”1 n ，其中0 n 1 ， 0 p 1 n 一1 ( c ) d 。= ( 1 0 9 ，i ) 卜。e x p ( ( 1 0 9 儿) 。) ，d 。一( re x p ( ( 1 0 9r _ f ) 。) 佗，其中0 n 1 ， 0 y ，有 段去喜去i 警一；，譬) 圳删s 江删 第三章缺失样本极值的几乎处处中心极限定理 设 矗 是一严甲稳序列，公共分布函数为f ( r ) 假设x 1 魁，中有 一些随机变量能够被观察到，示性函数“= 1 表示随机变量虬被观察到，记 t k ，n = “+ 1 + + n ，则死，n 表示 a + l ，x ，) 中被观察到随机变量的个 数，并且为简便起见记瓦= t o n 对甲稳序列 矗，：定义 - r 为其伴随序列， 即 k 是一i i d 序列，且和序列 k 有相同的公共分布函数f ( z ) 在本章中，我们将采用如下记号 n ，七n2 m a xa i ji l l n = ：1 1 1 0 ，n 4 - 1 i 0 1 + l ，g 如一卅l 翥箍凳 甄：厩砺：砾， m l a d e n o v k 和p i t c r b a r g ( f 2 6 】) 主要证明了如下结果 定理f 1 ( 文献胆纠中定理7 j ) 假设下列条件成立t c 1 f ，) ( g ) ，即存在a n 0 ，b 。r ：n n ，使得( 1 1 ) 成立 c z 。) 与 弼) 独立，且当7 _ o 。，有 孕三p 0 ) 1 一t jp l lji1 扎 则对x 0 ，我们将第二节的结果推广到甲 稳高斯序列上去，得到了甲稳高斯序列下( ，n ， ) 联合的几乎处处中心极限定 理 1 5 箜三至煞基壁奎拯笪盟丛垩筮丛生：堂壑医塞垄 ! 垒 3 1 独立同分布情形 先给出本节的主要定理 定理3 1 1 设 n ：) 是i i d 序列，公共分布函数为f ( j ：) 且f d ( 0 ) ! 如果 扛。 是独立随机变量序列且与 砖 相互独立，并且t n 三p ( o ，1 】则对任 意的z g 搬击喜昙， 磁 _ a k x + b k , a 硬，。) 由硬的定义有p ( 硬 硬川& = o ) = o 因此 p ( 硬 砺，n ) = p ( ? i 层 乓，n ) = 硪n 死= t ，瓦，n = s ) t = 0s = o kn - - k p o c ； p ( t k = t ) p ( t k ，。= 一) f 5 ( 丁) r ，p ( ：r ) - 1s = o o 一 kn - k 萋咻= t ) p ( t k 矿s ) 忐 t = 1s = o = f ( 凳) 令p 。= e ( 兀) r ：则由瓦n 三p 及控制收敛定理知”一o c 时，p 。一p 因而，对任意0 p 2 ，有 e ( 凳) = e 凳( ， l 鲁一p 。l c ) + ， 因此对充分大的? z ，有 s ) 0 使得 1 ：靠) g 成立，则 ，l i m 。1 妻k ( f k - e f k ) = 。，n 5 ( 3 1 1 ) 定理3 1 1 的证明由引理3 1 2 ，引理3 1 3 及m l a d e n o v i ( ! 和p i t e r b a r g ( 【2 6 ) 中的定理3 1 ：定理得证 口 由定理3 1 1 ，我们可以得到极值的几乎处处中心极限定理，即f a h r n e r 和 s t a d t m i i l l c r ( 【1 5 ) 中的定理1 推论3 1 1 在定理了j _ f 的条件下，对所有的z r ，有 证明注意到 熙赤砉扣筇 0 ，下列两不等式 ( 3 1 2 ) j 嚣a k x + b k ：a 露a k x + k ) ， a k x + b k a 鬈a k ( x + e ) + 玩) ， 和 ， 髭鲰( 省一e ) + k ， 嚣a k ：t + b k ) ，1 【 a k 3 ；+ b k 赁( t k ：1 5 + “) 成立，因此由定理3 1 1 及g ( t ) 的连续性就有本推论的结果 口 由定理3 1 1 及推论3 1 1 ，可以得到被观察到样本最大值的几乎处处中心极 限定理 推论3 1 2 在定理只j f 的条件下，对所有的z r 有 恕赤壹k = l 丢， 砺a k r + b k ) = 即) n ( 3 1 3 ) 箜三童筮塞整查拯笪煎丛垩缝丛主! 鳖拯匮塞垄! 旦 证明注意到对任意j 口女炒+ “) 于是由定理3 1 1 及推论3 1 1 ，有 1 i m i n f 土l o g7 7 喜扣露辄聃k ) ：) g 1 1 办 l i m s l l p 击喜却堙 o k x + b k ) 即) g 1 - p ( ) + ( 1 - c h ( 3 1 4 ) 在( 3 1 4 ) 中令y 一。c 即得所要结果 口 3 2 平稳高斯序列情形 设 x 0 为标准化甲稳高斯随机变量序列，公共分布函数为圣( z ) ，相关系数 序列为 r ( ，) 同样设 k 为 的伴随序列本节我们将在适当的协方差 条件下，将3 1 节的结果推广到弱相依平稳高斯序列情形 为简便起见，记 a n = ( 2 l o g7 。) - 1 2 ， 以。= ( 2 l o g n ) 1 2 一去( 2 l o g n ) 一1 2 ( 1 0 9 l o g n + l 0 9 4 7 r ) 、31 5 。 1( 1 我们首先讨论随机向量( 红， ) 的联合渐近分布 定理3 2 1 设 矗) 为标准化平稳高斯随机变量序列，相关系数序列为 7 ( 礼) ) ， 且当t i , _ o c 时有r ( n ) l o gn _ 0 假设 s n ，与 ， 霸 相互独立，并且 t n , t 二p ( 0 ，1 ，如果数列【u 。) ， v n ) 满足当n 1 时。 ，当n _ 。c ， 有n ( 1 一圣( f l 。) ) 一7 1 【0 ，。c