（应用数学专业论文）h1galerkin混合有限元方法的理论研究及应用.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：7 李够霭 导师擀委乙 叼 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权趁可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：7 禾移名 导师签字： 扔 轰了 签字日期：2 0 0 占年年月衫日 签字日期：2 0 0 g 年伪哆日 山东师范大学硕士学位论文 日1 一g o f e r 七i n 混合有限元方法的理论研究及应用 陈长雷 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 摘要 首先，在本文的第一章中讨论了伪双曲型积分微分方程 ( n ) u t 户v o ( z ) v u t + 6 ( z ) v 仳+ c ( t ，7 ) v u ( 丁) d 7 ) + ，( z ，) ，( z ，) q ( o 丁 ， ( 6 ) u ( z ：t ) = o ，( z ) a q f o ，卅 ( c )u ( z o ) = u o ( z ) ，札( z ，o ) = t 正l ( z ) ， z q 的h 1 一g n f e r 舰礼混合有限元方法首先将问题化成未知函数“和通量函数g 的一 阶方程组，而后将日1 一g n f e r 七i n 有限元方法用于此一阶方程组的每个方程，因而可 以同时得到对未知函数和通量函数的最优逼近，该方法一方面降低了1 一g n k r 厅i n 有限元方法对有限元空间的光滑性要求；另一方面，允许有限元空间1 名和l 具 有不同的多项式次数，不必满足标准混合元空间所要求的l b b 稳定性条件，通过 严格的数学分析，建立了该方法的最优误差分析理论，数值例子进一步说明了该方 法的有效性 其次，在第二章里主要讨论了数值积分对如下抛物方程 n ) p f = v ( a v p ) 一6 v p 一印+ ，( z ，) ，( z ：) q ( o ：卅： 6 ) p ( z ，) = o ，( z ，) a q o 刀， c )p ( z ，0 ) = p o ， z q 的h 1 一g n f e r 兢n 混合元方法的影响众所周知，解偏微分方程的有限元方法、 混合有限元方法等最终归结为求解线性代数方程组，最后线性方程组的系数的计算 1 山东师范大学硕士学位论文 必须求助于数值积分，关于数值积分对椭圆及抛物方程有限元方法的影响，已有一 些研究，本章继续丰富和扩展对这一方法的理论研究，给出了收敛阶不变的充分条 件，得到了最优的l 2 及日1 模估计 关键词：伪双曲问题，抛物问题，日1 一g 以e r 兢礼混合元方法，数值积分，全离散， 最优误差估计 分类号：0 2 4 1 8 2 山东师范大学硕士学位论文 t h ea n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n o fh 1 一g a l e r k i nm i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d c h a n g l e ic h e n s c h o o lo fm a t h e m a t i c ，s h a n g d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n s h a n g d o n g 2 5 0 0 1 4 p r c h i n a a b s t r a c t i nt h e 丘r s tp a r to ft h e p a p e r w ec o n s i d e rt h ep s e u d o h y p e r b o l i ci n t e r g c 卜- d i h e r r e n t i a l e q u a t l o n s ( 口) 乱t f = v _ ( n ( z ) v u f + 6 ( z ) v “+ c ( ，f ) v u ( 丁) d 7 _ ) + ，( z ，) ，( z ，) q ( o 刀， ( 6 ) u ( z ) = o ， ( z ) a q o ，刀 ( c )u ( z 0 ) = 札o ( z ) 札( z 0 ) = 乱l ( z ) ， z q w h i c hi ss i m u l a t e db vh 1 一g a l e r l ( i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h i sm e t h o df l r s t s p l i tt h ei n i t i a lp r o b l e mi n t oaf i r s to r d e rs y s t e ma n dt h e np r o p o s ean o n s ) 卜 m e t r i cv e r s i o no fal e a s ts q u a r em e t h o dt h a ti sa nh 1 一g a l e r k i np r o s e d u r pf o r t h ea p p r o ) ( i m a t i n gf i n i t ed i m e n s i o n a ls u b s p a c ec a nb er e l a x e df o rt h ep r o p 。s e d m e t h o d m o r e e o 、r e r t h e 印p r o x i m a t i n g6 n i t pe l e m e n ts p a c ev a n d a r ( 、a l l o w e d t ob eo fd i 髓r i n gp o l y n o i n i a ld e g r e e s h e n c e ，e s t i m a t i o n sh a v eb e e no b t a i n e dw h i c h d i t i n g u i s ht hc - b e t t e ra p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e so fv a n d 、 w ao b t a i nt h eo p t i m a lo r d e ro fc o n 、厂e r g e n c et h e o r e t i c a l 、，n u m e r i c a le x a m p l e sc o n f o r mt h ee 伍c i e n c y o fo u rn l e t h o d i nt h es e c o n dp a no ft h ep 印e r ，w em a i n l ys t u d yt h ee 髓c to fi m m e r i c a li n t e g r a - 3 山东师范大学硕士学位论文 t i o ni nh 1 一g a l e r k i nm 波e d 丘n i t ee l e m e n tm e t h o df o rf o l l 五n gp a r a b 0 1 i ce q u a t i o n 融豢掣_ 味瞥叫叮 a s 瓢阳a uk n ? ，t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i “e q u a t i o n so ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d m b ( e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da r er e d u c e dt os o l 、喧n gl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s ，a n d t nf l n a lc o e 缶c i e n to fl i n e a re q l l a t i o n so ft h ec a l ( l l l a t i o nm u s tr e s o r tt on u m e r i c a l i n t e g r a t i o n a b o u tt h ee c to fn u m e r i c a li n t e g r a t i o no nt h ef l n i t em e t h o do ft h e e n i p t i ca n dp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，t h e r eh a sb e e ns o m pr e s e a r c h t h i sc h a p t e rc o n t i n u et oe n r i c ha n de x p a n do nt h em e t h o d so ft h e o r e t i c a ls t u d y a n d r eg i v et h e s a j l l ed e g r e eo fc o n v e r g e n c ew i t ht h ef u uc o n d i t i o i l sa n dg e tt h eo p t i m a ll 2a i l dh 1 e r r o re s t i m a t e s k e yw o r d s ： p s e u d o h y p e r b 0 1 i cp r o b l e m ，p a r a b o l i cp r o b l e m h 1 一g a l e r l c i nm i ) 【e d 矗n i t ee l e m e n t m e t h o d i m i i l e r i c a li n t e g r a t i o n ，f u l l yd i s c r e t e ：o p t i m a le r r o re s t i m a t e c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章伪双曲型积分微分方程的日1 一g n f e r 后i 竹混合有限元 方法 1 1 引言 假设q 是剧中有光滑边界a q 的有界区域，本文考虑如下的伪双曲型积分微 分方程的初边值问题 ( n ) u “= v c ( t ) v m + b ( 叫v 钉+ ( ：( ，7 i ) v “( 7 ) f f 7 - ) + 厂( z j 。) j ( z ：) q ( o ：刀 ( 1 1 1 ) ( 6 )u ( z ，) = o ：( z ：) a q 【o 丁 ， ( c )仳( z ，0 ) = u o ( z ) ? u ( z 0 ) = t 正1 ( z ) ， z q 其中o ( z ) ：6 ( z ) ，c ( ，丁) = c ( z ? 7 - ) 均为导数光滑有界的函数且o a o o ( z ) 口1 o 6 0 6 ( z ) 6 1 。i c ( j 丁) i j 厂u o ，札l 为给定的函数， ，为正常数伪双曲 型积分微分方程是一类重要的积分微分方程，许多物理现象的数学模型都可归结为 该方程，例如在粘牵陛力学、核反应动力学、生物力学等许多实际问题中都有着广 泛应用因此研究此类方程的数值方法具有重要的理论意义和应用价值，关于此类 方程的数值方法，已有一些研究，例如有限元法【1 2 等本文利用日1 一g n f e r 舰n 方法对该方程进行数值模拟 在c 1 连续的有限元空间中，文献f 3 4 用日1 一g n f e 毗j 扎方法研究了抛物问 题和双曲问题，在传统的混合元中， 5 ：6 7 】中使用标准的混合元方法研究了椭圆 问题， 【8 ，9 中研究了抛物问题，在文献【1 0 1 1 1 2 ，1 3 1 4 中用来研究波动方程和 研究石油储藏问题，但传统的混合元方法必须满足b b 相容性条件，限制了有限 元逼近空间的选取，因此尸。4 ，在文献 1 5 ，1 6 中提出了日1 一g n f e r 托n 混合有 限元方法，这种方法可以使逼近有限元空间和w i 是可以达到不同次数的多项 式空间，而且h 1 一g n f e 北i n 混合有限元方法不需要验证l b b 相容性条件，尽管 5 山东师范大学硕士学位论文 正则性要求高一些，但对于流量l 2 模估计可以得到较好的阶，而且对口的l 2 和 日1 模估计中对有限元网格上没提出拟一致条件本文将日1 一g n 2 e r 七i 竹混合元方 法应用到伪双曲型积分微分方程，建立了该方法的最优误差分析理论 1 2 一维情况下的日1 一g 0 2 e r 七i n 混合元方法 首先考虑下面特殊的问题： ( 口) u 托= ( n ( z ) 仳z + 6 ( z ) u 。) z + 后( c ( ：7 - ) u z ( 7 ) ) 士d 7 - + 厂( z ，) ，( z ，) ( o ：1 ) ( o 丁 ， ( 6 )让( z j0 ) = u o ( z ) ，u t ( z ，o ) = 也1 ( z ) ， ( c )u ( o ) = u ( 1 t ) = 0 ， 其中n 6 ：c ，厂：u o ，u 1 的定义和引言中一致 o 丁 z ( 0 ，1 ) ( 1 2 1 ) 我们引入中间变量q = n ( z ) “耐+ 6 ( z ) u z + c ( ，丁) u 。( 丁) d 7 则( 1 2 1 ) 可变为 对( 1 2 2 n ) 进行对f 的一次导数，可得 9 ，= n t t 。“+ b t z z ，+ c ( t jt ) u ，( t ) + z c 。( t ：丁) t t z ( 丁) d 丁 对( 1 2 2 n ) 两边与作内积， ( 1 2 2 6 ) 与叫，作内积，可得 其中= o 一1 ，p = 口6 ( z ) 7 = c ( ) q ( z ) 令，可坛分别为础和日1 的有限维子空间，且满足下列逼近性质 6 。i 2 矗 | l2 ，一 i j l 一+ 九i i 口一口九| | z - ，) c + 1 i | u o 叫- + - p ， 0 哦m 一切 怯+ m 一加 ， c - p ( 1 2 2 ) 口础n 伽m ，p 似明n + 1 ，p 吼 厂 = = 打 、i ，盯 一 咖 彬 、i ， r “ + z u 、l ， z 以 + 毗 uz ，l 0 叻 ， a 伽 m h 一 加 r 烈 忆 d 0 ， b 肌 机 蜘 o ， 让 l 、， 7 u 叫。一 彬 ，l r k r “正厂l，、 麒 他 + “ 0 0 = + 山东师范大学硕士学位论文 其中1 p 南r 是正整数 则( 1 2 3 ) 的半离散日1 一g o f e r 七i n 混合元格式为：求 u h ：吼) ： o ，丁】一k 名 满足 ( n ) ( 6 ) ( n “ 科，u 。) + ( 6 让 z u h ) + ( c ( 7 _ ) u z ( 7 - ) ，u 工) d 7 i = ( 口 u z ) ， v u ， ( a g 舭训 ) + ( g _ i i 。叫 ? ) = ( 序札 科叫 ) ( 厝饥( ，7 - ) 札h ( 7 ) d 7 训 )( 1 2 4 ) + ( 一y u 叫 ) 一( 厂，叫 z ) v 叫 么 其中u ( 0 ) 由后面的椭圆投影给出 下证( 1 2 4 ) 解的存在唯性该方程组是关于u 和劬的线性方程组，因而 解的存在唯性等价于齐次方程组仅有零解令厂= 0 ，u ( 0 ) = 0 ：吼( 0 ) = 0 在( 1 2 4 n ) 取= u 埘可得 ( 口m 劫+ ( 6 u 协t ) ( c ( r ) u 一丁) 乱胁) = ( 帆。) 由不等式可得 l i u t i l 2 + 三主；ij u h z i l 2 c i l u zj f 2 d r + z i i u z 。1 1 2 d 丁+ i i g n l l 2 ， 两边从o 到积分并注意到仳，。( 0 ) = 0 再利用g 7 o n 叫越旧l 理可得 ，f ，f l l 让九z 。i | 2 d 7 - + i l 扎h 。| | 2sc | i g i f 2 d 7 ，o，0 在( 1 2 4 6 ) 中，取叫 = 吼有 翔痂俨圳训2g 川训n l | n 知扎妇酽d 丁仆一| 2 ) ， 两边从0 到进行积分并注意到吼( 0 ) = 0 可得 9 j 1 2 + l i g 。1 1 2 d 丁c i i u 。1 1 2 d 丁+ i i g h l l 2 d 丁 + z 。z 3i i u 。1 1 2 d 丁d s + i i u ，堪f 1 2 d r ) ， 把( 1 2 5 ) 代入上式，可得 酬2 + n 洲眺c 加m 丁， ( 1 2 5 ) 7 山东师范大学硕士学位论文 从而由g r d n 叫n f ? 弓l 理可得i 协| j 三o ：从而q 兰o 又由i l 仳 z i l 2 f i 1 1 2 打因 此i i u 。三o 所以u 兰0 从而上述半离散格式解存在唯一 为了进行误差估计，引入威t z y d f e 7 r n 投影玩吲1 1 8 】满足 ( 6 ( t 上一面h ) ，口 ，) + ( n ( u 一面h ) 。t j h 。) + ( c ( 7 ，) ( 乱z ( 7 - ) 一面h 。( 7 ) ) ? u 九。) d 7 - = o ，( 1 2 6 ) o 以及椭圆投影玩眠满足 a ( g 一磊伽h ) = 0 ， 眠， ( 1 2 7 ) 其中l ( q ，“，) = ( ，w k ) + a ( 口，u ，) 这里入的选取使得 4 ( j u ，) c o i i 钉川；， v ，“，1 ( 1 2 8 ) 令p = q 一瓢，7 7 = t 一石n 参【1 9 2 0 1 对于j = o ，1 有 i i7 7 忆+ l l 讯吣+ i i7 7 n 峙c + 1 一 l l u i l + l + l l 札t l | + 1 + | i t l l 七+ 1 ， ( 1 2 9 ) i i p 吣+ l | 肌j + i i p t t | | j c j 7 7 + 1 一 l q l l ，+ 1 + i i q 川，+ l i i q 托i i r 。1 ) ( 1 - 2 1 0 ) 对于j = 0 1 和1 p 。有 ， 渺，c 胪“一m t 怯“，+ i i u ( s ) 怯扎，( f s ) ， 。，( ) l l p | | ”，+ - ，c 7 + 1 一| l q l | ”r 一- ， 令 t 上一t 上 = ( 就一石 ) + ( 石 一u ) = 叩+ ( 口一吼= ( g 一玩) + ( 玩一口九) = p + 利用( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ，再利用( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 可得误差方程为 l ( n ) ( f ，厶 。) + ( n g ， k ) + 后( c 已。) d 7 = ( p ，。) + ( ，u 妇) ：v 圪， ( 6 ) ( 6 ，叫 ) + a ( ，叫h ) = 一( q 矶，叫 ) + 入( + j d ：叫 ) ( 1 2 1 1 ) i + ( p ( t + 已。) ，叫 ) + ( 1 ，： 饥( + 厶) d 7 - ，叫h ) + ( 一y ( + 厶) ，叫h ) ，v 叫 定理1 2 1 设乱l o o ( h 七+ 1 ) ，口l o o ( 日件1 ) ，若u ( 0 ) = 讯( o ) 骱( 0 ) = 磊( o ) 则有 8 山东师范大学硕士学位论文 i i u u i | 一l l 口一劬| | + j l u u | j l c m 。7 + l 膏+ 其中c 是依赖于i l * ( 日州) 忆x ( 圩州) ：l 仳忆x ( 日m ) ，i l t 忆* ( 何) 但不依赖于i z 的正常数 证明：在( 1 2 1 1 口) 中取= 厶则有 ( 6 岛岛) + ( 。缸+ z 。( c g ，打= ( 础t ) + ( 戊 由不等式可得 三爰怕 g 酽+ g 川2 c z l l q 酽d 丁+ z i l g t j l 2 d 丁+ l l 硎2 + 屿酽 + 圳g f l l 2 取充分小，并利用g 7 d n 叫o f f 不等式，可得 三丢怕 已酽+ 詈| i 白酽c z i l 已酽d 丁+ 酽+ 怯酽) ： 两边从0 到t 求积分，并注意到 ( 0 ) = o ，再利用g r d 舢，n f f 不等式，可得 怕 g 胪+ 詈| | 白川2 d 丁sc z 忪酽d 丁+ z 怯酽d 丁) ， ( 1 2 1 2 ) 在( 1 2 1 1 6 ) 中取叫 = 可得 ( q 已) + a ( ：) = 一( q 风：) + 入 + p ? ) + ( j ( f + ( 二) f ) + ( 上。，。( 仉+ g ) ( f 丁f ) + ( ，( + g ) ，a 由格林公式可得 三知口 钏2 + 枨= 一( q 胁荨) + 心上联) 工( j 缸) 一( 仇，艮 + 口品) + ( 厂27 g d 丁) 一厂f ( 叩，( m ) ) d 丁+ ( 岛) 一( 7 7 ( 7 荨) 。) ： 一( 仇，艮 + 口品) + ( 7 g d 丁) 一( 叩，( m ) ) d 丁+ ( 岛) 一( 7 7 ( 7 荨) 。) ： 0o 由e 不等式可得 三勃口泖+ a ( c ( 恻1 2 + 2 + 蚓1 2 + 2 + 2 + 1 2 + 2 + z 。i l 厶1 1 2 d r + i i 叩1 1 2 d 丁+ i i l f 2 d 丁+ z l i f l | ；d 丁) + 三i i i j ； 把( 1 2 8 ) ( 1 2 1 2 ) 代入上式并取充分小时可得 三爰忙钏2 + 詈怯幛c ( 忪川2 + 忪胪+ 怕川2 + 物胪+ 忙酽+ z 忪酽打+ 。物酽d 丁) ， 9 山东师范大学硕士学位论文 两边从0 到t 积分，注意到( o ) = 0 再利用g r d n 叫n f f 不等式及( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 知 i k i | 2 + i i 畸d 7 - sc l i ，2 ”饥+ 1 ，+ 1 1 i l 口1 1 2 。( 日，+ - ) + i i 吼1 1 2 。( 日r + ，) + j i 让l i i 。( 何- 一) + l i 札t i l i 。( 日t + ) ) ， 又因蚓1 2 c | | g f f 2 c ( 恻1 2 + 蚓1 2 ) d 7 所以 i l 1 1 2 墨c 2 m 饥( + 1 2 + 1 1 l g l l i o c ( 月r + - ) + | l 吼l l i 。( ，叶- ) + 1 1 u l l i 。( 日t - ) + l l u 0 i 。( 日k + - ) ) 因此利用三角不等式可证得 怕一u i | + 一帆| l + 圳u u 1 1 1sc 州“r + 1 + 1 ) 成立，其中c 是依赖于 蚓i l x ( 日) ，恢i l l 。( h ) ，i i l x ( h ) i i l * ( h ) 但不依赖于 的正常数 定理1 2 2 设牡l 。( 日。+ 1 ) ，q l “( 日件1 ) ：若u ( o ) = 砜( 0 ) 劬( o ) = 玩( o ) ， 则有 i l g q h i l l c “m ( r + ， 并且对1 p 。c ，有 i i u 一扎 i l p + i i 口一q i i 驴c ”“( 7 + 1 七+ 其中c 是依赖于蚓i r + 1 ，| | l * ( h ) ，i f 训l l * ( 州) ，j l u l i 七+ 1 ，l l t z l i l * ( h * t t ) ：忆* ( 片 一t ) 但不依赖于乃的正常数 证明：在( 1 2 1 1 6 ) 中取训 = & ，则有 ( a & ：) + 4 ( ) = 一( q 风：& ) + a ( f + j d 已) + ( 3 ( 叩列+ 厶t ) 矗) + ( m ( 叼。+ ( r ) d 7 - ，6 ) + ( 1 ( r 。+ g ) ，) ， 分步积分后可得 忙 引j 2 + 三爰a ( ，) = 一( 儿鳓+ 入( + p 引一( 叩f ，风已+ 卢岛) + ( p 白t ， + z 2 ( 亿怎) d 卜。瓜巾忐d 丁+ ( 7 “卜( 州嘶， ( 1 2 1 3 ) 1 0 山东师范大学硕士学位论文 其中 一( ( p 岛t ) = 一( 乡q ，矗t ) = 一丢( 启 已) + ( p q + 伉，7 矗) ， 一( 州，y 引z ) = 一( ”雨) 一丢( 亿引一( 7 引一( ，y ( 戚) 一。( ，( 。) z ) d 丁= 一z 。( ，) 。t ( f c ) d 丁一z 2 ( 7 t ：已t ) d 丁， 一石。( 7 ，( ，矗，) c f 丁= 一丢( z ( 1 ，( 矗) ( f 丁) 十( 7 f ( ，) + ( m ，( ，) c f 丁 将上述式子代入( 1 2 1 3 ) 再两边从o 到t 进行积分，并利用不等式得 l | 口 & 1 1 2 d 7 + | i i l ；c i i 卵1 1 2 + ( i i p l l 2 + l i 矶1 1 2 + l i7 7 1 1 2 广c广【 t ，0t ，0 + | | 仇| | 2 + | i g | | 2 + i | g t i l 2 一l i f j ；) d 7 - ) + f | & i | 2 d 7 - 将( 1 2 1 2 ) 代入上式，取e 充分的小时，再利用g r d 礼叫n 2 f 不等式，可得 i i 专l i ；c h 2 m 饥p + 1 七+ 1 j l g | | i 。( ，+ t ) + l i 吼| l i o c ( ，+ ) + i i u i | ；+ 1 + i i | j ：。( h “，) + i l “，i i i 。( 日t + ) ) ， 所以由( 1 2 1 0 ) 和三角不等式可得 l i q q h i l l l l p i l l + i i f | 1 1 c 厅”。一1 i | q l | ，+ 1 + i i q i i l o c ( h ，一，1 一| | q t | j l * ( 日r + 1 ) + | | t 上i | 七十l + i i “| | l * ( 日k ；t ) + | | u f i l l x ( h 一1 ) ) ： 对于1 p 利用s d 6 d 2 e r 嵌入定理可知 i l f | j l 一c 川l l l ， h 1 和| l ( f | l 一( j | g i | ，( 础 故利用三角不等式和( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 可得 l l t z u h | f l ，+ i i g g p c ”m ( 7 + l 七+ 1 i i g | | ，+ 1 + i i q | f l 。( 日r + ，) + i | 吼i i l * ( 日r 一) + i i 趾l i + 1 + l l u | l l 。( 日女+ 1 】+ i f u f l i l “( 曰 + 1 ) ) ， 山东师范大学硕士学位论文 1 3 二维或三维情况下的日1 一g a f e r 七i 扎混合元方法 考虑下面特殊问题 ( o ) = v n ( z ) v u t + 6 ( z ) v 札+ c ( ： ( 6 )u ( z ，t ) = 0 j 丁) v u ( 7 - ) d 7 ) + ，( z ) ( z ) q ( o ，丁】， ( z ) a q o ，丁】 ( c )t ( z ，0 ) = u o ( z ) “( z o ) = u l ( z ) ， z q 其中n ：6 ：c ，厂，札o ，u l 满足的条件均与引言中一致 ( 1 3 1 ) 我们引入中间变量g = n ( z ) v u + 6 ( z ) v t + ： c ( ，7 - ) v u ( 7 - ) d 丁，则( 1 3 1 ) 可变为 n ( z ) v t 上f + 6 ( z ) v 札+ c ( ，7 ) v u ( 7 ) d 7 = 口， 钆“一v g = ， 记l 2 ( q ) = ( f 2 ( q ) ) d d = 2 ，3 定义内积和范数为 d ( 盯叫) = ( 毗 扛：1 d ( 1 3 2 ) = ( 胯( 妣q ) = 叫l 2 ( q ) ：v u 7 l 2 ( q ) ) z = l 类似于一维情况下的推导，则( 1 3 1 ) 的弱形式为求 “口) ： o 丁 一明 ( 出q ) 满足 ( n ) ( n v u 。：v t ，) + ( 6 v 乱；v u ) + ( c ( 幻) v u ( 丁) ，v t ) 打= ( g v u ) ，讹础， ( 6 ) ( q 吼叫) + ( v q ：v 叫) = ( 口v 扎。，叫) + ( 一y f v t 上( f ) d 丁叫) + ( ，v u ，叫) 一( 厂v 叫) ，v u 7 日( d i u ；q ) 其中a = n 一1 ，p = q 6 ( z ) 1 ，= c ( ) q ( z ) 令玩：可分别为硪和h 1 的有限维子空间，且满足下列逼近性质 。：2 & l i u u i l 九| i u 一口 i i - ) c 。+ 1 i l u i l m + - ， u 础n 日m u 巍m 一叫 圳叫一叫h 恢d f t j ) c 矿“州， 其中七，r 是正整数 伽日件1 ( 1 3 3 ) 则( 1 3 3 ) 的半离散h 1 一g n f e r 尼溉混合元格式为：求 u ，吼) ： o ，t 】_ 1 2 、，、 陋 山东师范大学硕士学位论文 满足 ， l ( o ) ( a v u f v t ，h ) 。( 6 v u v ) + e ( c v u ( 7 _ ) ：v ) 打= ( 叭v ) v ( 6 ) ( q 吼，叫h ) + ( v v u 饥) = ( v t l 九，训h ) + ( v n i l ( 7 _ ) d 7 - u ， ) ( 1 3 4 ) i i + ( 一y v u ，叫 ) 一( 厂，v - 叫 ) ，v 叫 们 其中“ ( 0 ) 由后面的椭圆投影给出 为了进行误差估计，引入尼：一v d f e 7 7 n 投影砒w 1 1 8 1 满足 ，f ( 6 v ( u 一苞h ) ：v u ) + ( a v ( “一再 ) t ，v u ) + ( c ( f ) ( v u ( 7 - ) 一v 在 ( 7 - ) ) v u ) d 丁= o ( 1 3 5 ) 0 令磊为g 的有限元插值【1 引，记p = 口一蔬，叩= u 一诹对于非负整数七r 有 令 叩| | + 危1 1 7 7 i 1 1 c 。1 i l u l | 七+ 1 +乱i | 膏+ l d 7 ) 7 7 t | | + i i 讯i i c 。+ 1 l i uj f 女+ 1 + i i u ，l l 女+ 1 + ( i i 让i i 膏+ 1 + i i 饥i i 七+ z ) d 7 - ) ， ，t l ，o p l l + i l 矶i i + i i _ p t t l | + h l i p l | 圩( d i 。) c 2 + 1 l i q i l ，+ 1 + i i 吼i i ，+ 1 + i | 吼t | | ，+ 1 ) “一u = ( 乱一百 ) + ( 五 一“ ) = 7 7 + ( ， q g = ( g 一磊) 一( 磊一g ) = p + 利用( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) 可得误差方程为 ( n ) ( 6 v ( ：v u ) + ( a v 矗v u ) + ：( c v ( ；v u h ) d 丁 = ( p v ) + ( v ) ，v 坛， ( 6 ) ( 口叫 ) ( v ，v 训h ) = 一( q 觑叫 ) 一( v - p v 叫 ) + ( 卢v ( 叩一- q ) ，伽 ) + ( ，7 ( v ( 叩+ ) ) d 7 ，叫 ) + ( 7 v ( 7 7 + ( ) ：“协) ，v 叫 名 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) 定理1 - 3 1 设u l “( 日。+ 1 ) g l 。( 日r + 1 ) 若u ( o ) = 砒( 0 ) 磊( 0 ) 为9 0 的 标准有限元插值，则有 u u | | + i i q g j | c m 伽( 七+ 1 ，川， 1 3 山东师范大学硕士学位论文 u u l l l c m 。”：| | 口一1 1 日( 出口) c 。”。+ 1 一 其中c 是依赖于蚓i 件1 ，蚓i x ( 日川) ，慨i l l x ( h ) ，i i 仳l i + 1 i l u 忆x ( 日* + ) i u t 忆o 。( h ) 但不依赖于i 7 的正常数 证明：在( 1 3 9 口) 中取= t ，则有 ，t ( 6 v ( v q ) + ( a v ，v ) + ( c v ：v 6 ) d 7 = ( p ：v 已) + ( f ，v 6 ) ， 由不等式可得 三爰陋 v ( 酽+ v ( 川2 c z 2i | v ( 酽打+ i l v ( 川2 d 丁+ 物酽怅酽卜圳v ( 川2 ， 两边从0 到t 求积分，并注意到 ( 0 ) = 0 ：再利用g r o n 叫n f f 不等式，可得 j | v 1 1 2 + zi | v 6 1 1 2 d 7 c zi i p l | 2 d 丁+ z | | 善| | 2 d 7 ) - ( 1 3 1 0 ) ，f产r，r 在( 1 3 9 f ) ) 中取“= 可得 ( q & ，) + ( v ，v ) = 一( q 风，) 一( v | d ，v ) + ( 口v ( 仇+ ) ：) ， + ( 饥( v ( 叩+ ( ) ) d 7 - ，) + ( 7 v ( 叩+ ) ) = 一( q 风) 一( v p ，v ) + ( p v q ，) 一( 仇v ( 3 ) ) + ( 饥v ( ，f ) d 7 一( 7 7 v ( f f ) ) d 7 + ( ，y f ) d f 一( v ( 7 ) ) + ( ，v ) 由不等式可得 去勃。神+ 俐) c ：( 训1 2 + ) + 1 2 + 2 + 帆肌愀1 1 2 + zi | v ( 1 1 2 d r + z l l7 7j | 2 d 7 ) + ( i | i | 2 + i i i l 刍( 出t ) + z l j 善1 1 2 d 丁+ z i l i | 备( 击u ) d 丁) ， j oj o j oj o 将( 1 3 1 0 ) 代入上式，并且两边从0 到积分又注意到f ( 0 ) = 0 可得 ，广s，e l l 1 1 2 + o j i 备( d 刎c l l 凤1 1 2 + l | p l l 备( 出。) + l l 叩t l l 2 + 1 | 叩1 1 2 + i l 叩j 1 2 d s ) d 丁 ，o，0l ，0 + 8 i | 胪+ i | i | 备( 出。) + 2i | 酽d s + z | i 荨| l 备( 越。) d s ) - d 丁， ( 1 3 1 1 ) 取充分小并利用g r d n 叫o ! f 不等式，然后将( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 代入可得 l | | | 2 + i l i l 备( 出。) sc 2 m 伽七+ 1 一， ( 1 3 1 2 ) 1 4 山东师范大学硕士学位论文 其中( 是依赖于l 一( 日州 x ( 护+ ，) 1 l u 忆。( 日m ) 陋忆。f 日) 但不依赖于 的正常数 又因为 ，t l f 引f 2 c | | v | j 2 c ( j | p i | 2 + i i 引f 2 ) d 7 - ( 1 3 1 3 ) 0 所以由( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) 的估计，再利用三角不等式可得 f 1 豇一u | l + f i g g i | c ”伽( 。+ 1 ) 中c 是依赖于蚓i ，+ 1 蚓l l * ( + ，) 忆* ( 日川) i l “i k + 1 1 i u 忆o c ( 日) j i u f 忆x ( 日) 但不依赖于 的正常数 在( 1 3 9 6 ) 中取“= 毛可得 ( “毛& ) + ( v f ：v - 已) = 一( n 凤) 一( v p ，v 已) + ( v ( f ，) 一( 7 7 ，v ( 已) ) + z ( m v ( 焉) d 丁一( 叩v ( ，磊) ) 打一( 叩v ( 7 鳓) + ( 1 v ( 怎) 又因为 一( v 饵v 吒) = 一爰( v 饵v + ( v 馏v 一( 叩v ( ，6 ) ) f f 丁= 一z ( 7 t ，”t ) d 丁一z ( 7 ，叩jv f 。) f 7 丁= 一z ( 1 。，叩) r 2 丁 一爰( z7 ( 1 办v f ) 打) 一( ，7 办v ) + 7 ( f ? 7 v f ) d 丁 咱，v 嘶纠) = - ( 叩，纠一丢( 弭v 一( m ：v 一( 7 叩v 将上述式子代入并利用不等式司得 瞄郇+ 三丢( v f ，v ) c ( 1 2 + ) + 1 2 + 2 + 愀。j 1 2 + i i v i f 2 + | | v ( j j 2 d 7 - + | | ? 7 i f 2 d 7 - ) 一丢(