（凝聚态物理专业论文）非对易空间的二维量子霍尔流体.pdf

目录 摘要 l l 我们讨论了非对易儿何在量子力学中是如何产生的，描述了最简单的非对易 场论。非对易场论意味着场量可以看作非对易空间的函数。接着对模糊球、两种量 子霍尔效应以及非对易c h e r n s i m o n s ! 哩论的基本概念作了简单的描述。同时在【叫顾 了h a l d a n e 在二维球面s 2 上对量子h a l l 效应的描述，我们构造了s 2 的非对易代数及 其h i l b e r t 空间的m o y a l 结构。然后，利用s u s s k i n d d p o l y c - h r c n a k o s i 陧出的办法，我们 给出在s 2 上描述不可压缩量子h a l l 流体的非对易c h e r n s i m o n s 理论及其代数结构。 关键词：非对易空间，量子霍尔效应( q h e ) ，量子霍尔流体( q h f ) ，模糊球，非 对易c h e r n s i m o n s ，l a u g h ：i n 波函数，朗道能级。 目录 a b s t r a c t a tf i r s tw ed i s c u s sh o wn o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r ya r i s e si nq u a n t u mm e c h a n i c s a n df o l m u l a t e ss i m p l en o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y n o n c o m m u t a t i v ef i e l d t h e o r y i l l e t - t 1 st h a tf i e l d sa r et h o u g h t so fa sf u n c t i o no v e rn o n c o n r m u t a t i v es p a c e t h e nw e f o lm t l l a t e ss i m p l eb a s i cd e f i n i t i o no f f u z z ys p h e r e ，t w ok i n d so fq u a n t u mh a l le f f e c t a n dn o n c o m n m t a t i v ec h e r n - s i m o n st h e o r y i nt h es a m et i m e ，a f t e rs h o r t l yr e v i e w t h eh a l d a n e sd e s c r i p t i o no ft h eq u a n t u mh a l le f f e c to n2 - s p h e r es 2 w eo b t a i nt h e c m r e s p o n d i n gn o r m o m m u t a t i v ea l g e b r a4 za n dt h em o y a l s t r u c t u r eo f z 1 eh i i b e r t s p a ( eb yt a k i n gu s eo ft h em e t h o dp r o p o s e db ys u s s k i n da n dp 0 1 3 c h r o n a k o s ，w e g i v eo u tah o t , c o m m u t a t i v ec h e r n s i m o n st h e o r yt o d e s c r i b et h ei n c o m p r e s s i b l e q u a u t u n lh a l lf l u i do ns 2a n dt h er e l a t e da l g e b r a i cs t r u c t u r e k e y w o r d s ：n o n e o m m u t a t i v es p a c e ，q u a n t u mh a l le f f e c t ( q h e ) q u a n t u mh a l l f l u i d ( q h f ) ，f u z z ys p h e r e ，n o n c o m m u t a t i v ec h e r n - s i m o n s ，l a u g h l i nw & v ef l m c t i o n ， l a u d a ul e v e i 独创性声明 y 6 2 3 7 6 3 本人申明所呈交的学位论文是在本人导师指导下进行的研究丁 作以及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的资料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孙莓、 签名日期：2 0 0 4 年5 月1 8 曰 第一章引言 非对易场论是建立在非对易空间上的量子场论，它意味着场量可以看做非对易 空间的函数。非对易规范理论有两种等价的描述方法。首先，时空坐标直接看做足 作用在希尔伯特空间上的算子，希尔伯特空间给出了定义基本非对易儿何的代数表 示空间。从而非对易空间的场量是算子的函数。另一方面，我们可以从普通空间的 规范理论的作用量出发，然后用m o y a l 星乘积来代替普通空间的规范理论中场量的 普通乘积。从而给出非对易空间规范理论的作用量。希尔伯特空间算子乘积与量子 空间的函数m o y a l 星乘积之间的关系是眭t w e y l 变换联系起来的。 在凝聚态物理和理论物理中，量子霍尔效应是一个非常重要的研究课题。二十 多年以前，l a u g l _ l l i n l l 】提出用不可压缩量子霍尔流体( i q h f ) 的概念来描述分数量子 霍尔效应( f q h e ) 。不久，h a i d a n e e 2 1 分析了在径向磁场b = 舞( d i r a c 单极) 下、半 径为r 的球面上的体二维电子气的情形，其中2 s 是一个t t d i r a c 量子化条件决定的 整数。这个模型描述的i q h f 具有平移不变性。 2 0 0 1 年，s u s s k i n d 等人对量子霍尔效应提出了在非对易平面r 2 【3 和模糊球s 2 【4 】 上的非对易c h e r n - s i n o n s 理论。张首晟和胡江平5 ，6 1 将量子霍尔效应推广到了非对 躺的四维模糊球s 4 上。在r 2 上，p o l y c h r o n o k a s 7 1 由具有边界场妒( 等价丁w i l s o n 圈 f 8 1 ) 的有限c h e r n - s i n o n s 矩阵模型给出了平面上非对易理论的正剡化形式。h e l l e r m a n n r a a m s d o n k 9 2 叉考察了与此相对应的由c h e r n - s i n o n s 矩阵描述的l a u g h l i n 型波 函数。k a r a b m i 和s a k i t a 1 0 1c a l o g e r o 模型的能量本征函数给出了此l a u g h l i n 波函 数的明显形式。这一系列工作引起了人们的极大兴趣，它将弦、膜理论羽i 量子霍尔 效应联系起来f 1 1 ，1 2 1 。 特别是在文献【4 中我们已经看到在二维模糊球上的对不可压缩电子气的分析 冈此将这些结果推广n - - 维模糊球s 2 上是一件很有意义的工作。 在叫顾了非对易空间、量子霍尔效应等基本概念后，我们构造了模糊球上对孤 立孑的描述( 限制在最低l a n d a u 能级) ，给出d i r a c 单极背景下描述最低l a n d a u 能级 第一章引言2 单粒子波函数也的集合。由咖组成的波函数集，我们可以构造出不可压缩流体的共 同基态波函数，。但是为了获得激发态的l a u g h l i n 波函数，我们必须引入具有准粒 子源的g a u s s i a n 约束方程。 我们注意到在平面酞2 6 ，1 2 ，圆柱面f 1 3 】 环面冒2 1 4 j 和四维模糊球s 4 【1 2 上的 量子霍尔液滴，两个( 或者四个) 基本的礼n 矩阵依赖于非对易孤粒子的动力学 对q n 0 = 1 ，2 ，n ) 。在将具有w e y l 2 变性的m o m e n tm a p 方程作用在这些矩阵 卜- 后，得到的解分别是c a l o g e r o 、s u t h e r l a n d 、椭圆和球面c a l o g e r o 模型算符。量子 化a 密顿算符的波函数则变为j a c k 多项式以 或是它的推广。 第二章非对易空间 对时空的认识在物理学上是一个引人注目的话题，广为人们所接受的物理理 论，从广义相对论到量子场论，对从大至宇观尺度，小到基本粒子尺度的物理学都 有很好的描述。在这些理论中，时空都被认为是对易的，这些理论在实验上也得到 了很好的支持。时空会不会是非对易的呢? 非对易的时空背景下的物理学会是怎样 的呢? 早在5 0 多年以前，已经就有人提出了时空坐标非对易的概念。近些年来，随着 人们对弦理论和量子霍尔效应的研究，越来越多的非对易背景上的物理学问题得到 了人们广泛的重视，非对易背景下的量子场论就是其中之一。本章我们主要介绍一 下非对易时空中的一些基本概念和性质。 2 1 量子相空间$ 1 w e y l 变换 非对易空间是坐标不可交换的空间，它不同予通常意义上的空间，其坐标是不 可交换的。非对易几何是研究非对易空间的几何。在非对易空间中，由丁坐标的不 i q 交换，从测不准原理来看，这预示着坐标的不可同时测量，因而在非对易儿何定 义点足没有意义的。在非对易几何中，坐标是用算符给出来的，从而算符是基本概 念。 为简单起见，我们在二维量子相空间来研究。在量子力学中，坐标算子与动量 舅子之问满足：h e i s e n b e r g 对易关系式： 圣，筘】= f 汽，( 2 1 ) w e y l 1 5 】提出将此对易关系看成群代数关系，并引入量子相空间的平移算子( 为简 化，取 = 1 ) ， u ( f ，o - ) = e x p 【一2 ( 行+ 叩) j ， ( 2 2 ) 圣一口= u ( r ，盯) 圣驴( r ，口) ， ( 23 ) 3 第二章非对易空间 4 j ；+ t = u ( r ，盯) p “【r ，盯) ，( 24 j 由1 i 平移群生成元存在缸畸变，使相空间实现平移群投射表示 u ( r 。，。z ) u ( 见，眈) = e x pf j i ( n 盯。一2 一- ) l 矿( l + 乃，一- + 一。) ， ( 25 ) 投射表示的相因子是相空间非交换几何的重要特征，也决定了量子动力学基本结构 为交换关系，使群表示论成为量子理论的重要数学工具。 在量子物理中，动力学变量为作用于希尔伯特空间上算子d ( 套，庐) ，w e y l 将算 予6 ( i ，p ) 与相空间上函数，( 。，p ) 间建立1 1 对应关系，f ( z ，p ) 称为算子0 ( 圣，痧) 的蒙 d ：( s y m b 0 1 ) ，相当于取坐标表象算子在缸尺度范围内的平均值： m l p ) = 爵1 埘叫嚣+ 知心徘一轨 ( 2 6 ) 反之，象征函数，( 。，p ) 对应于算子 o f ( 钟) = 南打打d z d p f ( 哪) e - 州- 啪刊， ( 2 7 ) 即对相空间上函数，( 。，p ) 先作富氏变换得特性函数 巾，) = 骄1 d x d p f ( 卯) 盯“ ， ( 2 8 ) 再对特性函数作算子形式的反富氏变换得： o f ( ，】；) = i 2 7 rj d o d r x ( r ，d ) e 一 r + 面) = 去厂d 曲巾u ( r ，叱 ( 29 ) 这样可将算子看做群元素( r ，口) 之“和”。( 2 + 6 ) ( 2 。7 ) 两式将相空间函数与h 1 1 b e r t 空 间算子相对应，称为w e y l 变换，更准确的说，( z ，p ) 叫做算子0 ( 量，芦) 的w e y ls y m b o l ， 两者1 - 1 对应。 第二章非对易空间 2 2w i g n e r 分布函数、m o y a l 积及其性质 算子0 口= i 妒) ( 妒i 为投射到态1 妒) 的投射算子，而与此算子相应的象征是 觯= 土2 , r j 跗叶+ 孙) ( 讹一；a ) = 去a 盯e ”9 妒( 。十；口) 砂+ ( z 一；一) ， c 。，。， 通常这个函数叫做态妒) 的w i g n e r 分布函数。w i g n e r 分布函数在量子统计、量子光 学等很多方面有广泛的应用。 划象征函数，( z ，p ) ，我们必须注意到它不满足通常乘法运算，而需要用m o ，a l 【1 6 ： 星乘积，即算子的乘积决定了象征函数间m o y a l 星乘积： 扎r 厕+ 9 ( z ，p ) = 去西e “+ ；a 1 5 ，( 宝国晓删z 一：味 ( 2 1 1 ) 由r 算子可结合，这样定义的象征函数间m o y a l 星乘积必也可结合。 对偶维相空间取坐标，i g z l = x + i p ，z 2 = z i p 很易验证具有象征，( 。) 、9 ( z ) 的 两箅孑乘积的象征，目1 3 m o y a l 星积 。 ( ，+ 9 ) ( z ) = e 。岛，( z ) 9 ( z ) i ：， ( 2 1 2 ) 其中一n = ( ! ，j ) 危为非简并反对称常数矩阵，相当于在相空间上定义了辛结 构。当舻0 时，m o y a l , 积是非交换的，用小o 将上式展开 ，+ 9 ( 2 ) = ，( z ) 9 ( z ) + i 0 批( o j o k g 一瓯，岛9 ) + 一， ( 2 1 3 ) 即在口的一阶项为具有辛形式伊的p o i s s o n 括弧，并易证 z ，z 。兰z i z 一z ，= i o j ，( 2 1 4 ) 即这样决定的s 积关系与量子化h e i s e n b e r g 关系等价。 第二章非对易空间 蒙征函数在整个相空间的积分 d x d p f ( 哪) = 丽1 蛐d o - e l a p ( 。+ ；a 1 0 小l 一 = 出d a 6 ( 一) ( 。+ ；a d ，( 未，痧) l z 一；一) = a x ( z i d ，( 圣，】；) i z ) 6 f 2 1 5 1 并且容易证明 f & d p l * g = f d x d p f 。= a z d p 9 即+ 积在相空间积分与在相空间量子化取迹运算相当。 w e y l 变换与m o y a l 积是研究非交换几何的一种重要途径。 2 3 模糊球 模糊球是一种非交换流形。本节给出常见的s u ( 2 ) 代数定义方式，通过球极映射 在复平面上给出= 种代数关系，它描述的非对易流形与模糊球是同构的。 现在由s u ( 2 ) 代数出发定义模糊球。戈为s u ( 2 ) 代数生成元，满足关系式： 真，五 _ 诞玎五，地j = l ，2 ，3 ， ( 2 1 7 ) 令 毛= p z ，i = 1 ，2 ，3 ，( 2 1 8 ) 其中，0 = 1 、历可；可，j = 1 2 ，l ，3 2 ，。一种非交换流形每一一点为： f 就、i p = l 岔2l 士。 ( 2 1 9 ) 对_ r 不同的点p 和p 的坐标分量可对易，则称此流形为模糊球。此定义下每一点坐 标分量满足关系 陋t ，奶】= = i p e 玎一2 * 2 。志e 玎t 岔e ， ( 22 。) 第二章非对易空问7 3 士；= r 2 ，( 22 1 ) l = 1 其中，常参数日标志坐标的不可交换性，r a 示3 个坐标非线性独立，存在一平方约束 关系，使得整个模糊球存在s o ( a ) 转动对称性。衍目当于模糊球的半径。南上可以看 出模糊球本质上是一种代数关系。 第三章量子霍尔效应 3 1朗道能级、霍尔效应及整数霍尔效应 二维平面自由电子气体，在垂直平面方向外加磁场b 。在低温强磁场，电子自 由度被冻结。体系哈密顿量为 。 膏= 去( 只+ 等，) 2 + 等+ 蟹1 饵， 化简可得 膏= 鼬。( a t a + 互1 ) + 曩， c 。z ， 其中，u ，：幽。 选基态i o ) 满足： a l o ) = 0 ，( o l o ) = 1 ， i n ) = 了i 。：w ) ”i 。) ， 舢) = & 恸，风= ( 拓+ 互i ) 能级取分立值，称为朗道( l a n d a u ) 能级。 ( 33 ) ( 34 ) ( 35 ) 下面分析霍尔效应，取一半导体样品，在z 方向加磁场百，在一妇亨向加电场f 0 ， 使电子( n 电n - e _ - 0 。达到稳定时，咒= 0 ，b = ：v b 。 设样品单位体积的电子数为n ，则样品电流密度 五= 一n 6 e v = ( t z x l 强+ d j v 岛，( 37 ) 第三章量子霍尔效应 战样品横向电导率 j xn & v ”。瓦。一矿 这个现象丁1 9 7 9 年被霍尔发现，称为霍尔效应。 9 ( 38 ) 在低温t = 0 时，并加强磁场，电子能级分裂。设样品面积为s ，每朗道能级的 简并度为 = 纛= 警圳 ( 3 9 ) 其中，圣= b s 为通过样品的总磁通，= 警为磁通量子- 而样品中自由电子总 数n = ，z 姆，这些电子可填充朗道能级数 ”= 甓= 等， 强删 ”2 瓦2 _ 五r ， 协) 称为朗道能级填充因子。当增强磁场时，每朗道能级简并度增大，填充网子减小。而 南( 38 1 式知霍尔电导率( 不计负号) 也随之减少，可表示为 ，一警= u 鼍， ( 3 1 1 ) p 2 1 r 2 ”百， p l l j 即霍尔电导会随着填充因子成比例下降。 1 9 8 0 年k l i t z i n g 1 7 在m o s 场效应管的特殊界面上，把电子约束在约5 0 纳米的薄 层内，把温度降到1 5 。k ，逐步增强垂直磁场宜( b 卜1 t e s l a ) ，随着磁场唐增大，朗 道能级简并度 k 增大，使填充因子v 下降。而在经过4 ，3 ：2 ，l 等整数时，即在朗道 能级处于正好添满时，发现霍尔电导口。相对b 的变化保持不变呈现出一个小平 台，同时纵向电阻突然降低到接近于零。这种量子化现象称为整数量子霍尔效应 ( i q h e ) 。 乳v = v r 月, ，冗斤= i ， ( 3 1 2 ) c 挖，称为霍尔电阻，且为普适常数，q h e 实验测量精度可高达1 0 以上。 3 2 分数量子霍尔效应与l a u g h l i n 波函数 1 9 8 2 年崔琦 1 8 】等在更低的温度，更高的磁场强度( b 卜l o t e s l a ) 测量，发现 在锄( 百e 2 ) = 5 1 ， ，；，出现平台，同时出现纵向电阻接近丁零。这种现象称为分数 第三章量子霍尔效应1 量子霍尔效应( f q h e ) 。霍尔电导平台精度相对i q h e 要低，达到6 口h 9 h 一1 0 5 。 对i q h e 已有较严格的理论解释，但对f q h e ，其理论解释仍不十分满意。在极 强磁场情况下，朗道能级简并度b 大于样品中载流子数，导电载流子鄱处在最 低朗道能级( l l l ) ，填充因子”= 为分数，为何会存在平台是不清楚的。既然 最l l l 只是部分被填充，基态高度简并，需考虑电子间强关联以消除简并，形成特 殊稳定基态。即在更低温，具有更高迁移率的样品中，电子一电子间互作用不再可忽 略，d 门+ 电子间存在库仑排斥作用，需要考虑个电子的多粒子体系，其基态处丁 不司瓜缩流体状态。 对电子强关联体系，粒子是集中在面积近似为2 7 r 唔的圆盘上。盘内电子密 度相当丁每个磁通量子恰好分配一个电子。由于波函数具有反对称性，任两粒子位 罱重合的儿率为零，这表明存在库仑排斥互作用。由于这时l l l 被填满，其上有很 高的能隙h u g ，跃到朗道能级的几率很低，上述体基态波函数相当丁不可压缩流 体。 在更低温度，对更高迁移率的样品，电子间互作用不可忽略，生l l l 被部分填 充时，也可能出现特殊的不可压缩流体状态。为解释- f q h e ，l a u g l l l i n 提议，对填充 网子v = 去情况，存在下面形式的稳定基态： z l l z n ) ：器( 勺一孙酗2 ，( 3 1 3 ) 称l 3 u g h l i n 波函数。由于要求位置置换反对称，m 为奇整数。 l a u g h l i n 波函数在分析f q h e 基态及其低能激发时起重要的作用，其形式简单 而其有深刻意义。 强磁场二维电子气体，零级近似忽略电子间互作用，且= n n 8 1 ，电 予仅能填充部分最低朗道能级，零级近似l l l 为简并基态( 激发无能隙) 。当计及 电子间强关联，电子间强关联消除简并，使基态不再具有无能隙的激发。我们注 意1 l a u g h l i n 波函数除m 外无别的变分参数，考虑当改变m = a = 1 p ，可固 定硼增大磁场b ，数值计算表明，当m = 1 ，3 ，5 ，等奇整数时，每个电子平均能 毗t - l e 有以极小值尖点( c u p s ) ，表明体系在此时具有相对稳定性即形成不可压缩 第三章量子霍尔效应 流体状态，这是当电子运动约束在二维面上，二维强关联电予气体的特殊稳定基念 1 ；j ：量子霍尔液念。 3 3 非对易c h e r n - s i m o n s 理论介绍 为分析f q h e ，最近s u s s k i n d 3 】曾提出非交换c h e r n - s i n l o n s 理论，利用非交换 ) l f i 7 及非交换规范场论来分析f q h e 体系，能得到准粒子激发的更细微特性t 下面 我们来简单介绍。 乳i s s k i n d l 3 】将粒子z 用场筑( ，t ) ( i = 0 ，1 ) 描写g 相当于共动坐标，类似门幺理 沧中矩阵模型，称参数空间为底空间，常空间z 为靶空间。空间不可压缩，y 空l l i r f l 单位面积粒子数为常数p o ，而z 空间粒子数密度为 p 啪尝 ( 3 - 1 4 ) 通常的阿贝尔c h e r n - s i m o n s 拉矢量 l = 熹j d 2 y e a b 心b 、 = 去d 2 y e a b a 。a ，= 丽e b = 孑1 ， ( 3 1 5 ) 其中，k = ； 为c h e r n - s i m o n sl e v e l ，当为整数时为稳定基态，即l l l 的填充因 子= 时可得到稳定基态。 为分析准粒子多重激发及其相互作用特点，应将c h e r m s i m o n s 作用量进一步于匪 7 “为非交换c h e r n s i m o n s 作用量，即代替( 3 1 5 ) 式，推广为 止知。“等一缸卜 。 其t p 目= 赤为每个载流子所占体积，正由于每个载流子在”空间占有限面积，使“空 间存在面积单元，使空间为具有非交换参数日= 赤的非交换空间。在非对易空 间，c h e r n - s i m o n s 势的规范变换为 渺z 聊豢+ 等蓉勺t 一伽( 嚣州屯a ) ) ， ( 3 1 7 ) 第三章量子霍尔效应 1 2 s u s s k i n d 黜的q h e 的非对易c h e r n s i m o n 8 理论，为底空间到靶空间z 的映射， 与t 都是非交换空间。而非对易c h e r n - s i m o n 8 理论描写的是在这个两种非交换空间 中的映射。这时注意，空间是不可压缩的，定义在空间上函数，( g ) 非规范不变，不 足观察量。而在x 空间中定义的量是规范不变的。z 空间上函数为可观察量。 第四章模糊球上的量子霍尔流体与非对 易c h e r n s i m o n s 理论 4 1绕d i r a c 单极带电粒子的最低l a n d a u 能级波函数 二二维球面铲可以看做是一陪集空间，可通过第一h o p f 丛来实现 “器一而s u ( 2 ) ， ( 4 1 ) 在此球面上围绕d i r a c 磁单极运动的电荷为e 的单粒子的哈密顿量为 ：卫2 m r 2 ：地2 h s ， ( 42 ) 这里 ，是粒子的有效质量，r 是二维球面s 2 的半径，t d c = 等足粒子运动的刚旋频 率。五= f f i h 可+ 8 硪力】是动力学轨道角动量，其中疗( 刁是与粒子耦合的矿( 1 ) 规 范场：v 疗= b p ，b = 器是磁场强度，其中f = 高。动力学角动量五的对易关系 为：【a “a o 】= 统e 。口，( a ，一b p ) ，此对易关系非闭合。这个哈密顿量具有旋转不变 性，相应的群流形是s 3 ，其生成元 三= f x m v + e 疗( 刁】+ 危s 南三五+ 肼= 五+ 危雪， ( 4 3 ) 满足对易关系【2 】： l 。，t 4 】= i 危e 。p 1 p ，于= 三，碱天( 44 ) 算符乎，三2 ，p 和五2 可以被同时对角化，他们共同的本征函数是 砂二。= d 磊。( a ，p ，1 ，j 1 8 i ，m = j ，正( 45 ) 其中d 磊。( ，卢，y ) 是有限旋转矩阵元，指标j ，m 和s 分别是乎，l 3 和雪的本征值。e u l e r 角“= ( 。，| 9 ，1 ) ：d = 曲，p = 0 ，1 = 7 ( 妒，8 ) 具有u ( o 规范自由度。( 列d i r a c 或w u - y a n g ： f l s c h w i n g e r 规范，参数1 的分别为一、西和0 ) 。在最低l a n d a u 能级( l l l ) ( j = s ，能量为；鼬g ) ，波函数为： ；d 未一。( a ，卢，7 ) ，竹1 = 一s ，一，s ( 4 6 ) 】3 第四章模糊球上的量子霍尔流体与非对易c h e r n s i r e o , 1 s 理论1 4 且可以进一步弓为 妒。= 一。( 。，鼠们 1 f 、，2 s 、! ； 厂1 i 一 1 l 可而丽丽 其中测地投影坐标( = t a n ( 1 ) e x p ( 一i 咖) = ：，其中札，。是旋量变量 ( 47 ) “一s 产0 ( 学) = 。孙 ， u = s t n ：e x 。( 二兰生；堕) = 。 ， ( ，口，7 ) ( ts ) 此时h i l b e r t 空间氕由围绕d i r a c 单极9 ( s = g e ) i 拘n = 2 s + 1 个单粒子波函数 妒未( 2 = 一s ，s ) 组成。作用在这2 s + 1 个态上的算符是协变( 2 s + 1 ) x ( 2 s + 1 ) 矩 阵，作为不可约张量集，归一化后应该是： c 硎。，m - ( 二暑n 吲妨，他。， 其中( = ：= ) 表示巧一符号。这些算符构成了模糊球上非对易代数一4 的右模 1 9 ，其矩阵 乘积为 2 0 】： ( 磷) 加。( 磁j 2 ：) ：( 。j i m j , m 7 7 6 i 三m j ) 00 ；卜h 卅 其中 ：= = 是6 j 一符号。此矩阵乘积也等价于由下面方法得到的在模糊球上的m o y a l 笨乘 积【2 1 ：首先，在测地投影坐标e 和e 下由p e r e m o l o v 【2 2 1 给出的自旋相干念波函数 满足 i u ) 三i o , ) = ，一。日，一咖) b m ) ， ( 4 i i ) 嚣蛐，n = 2 s + l 第四章模糊球上的量子霍尔流体与非对易c h e r n s i m o n s 理论1 5 算符j 咏( 49 ) i 拘s y m b o l 定义为 d 寮p ，西) 兰( “i x _ ：i u ) = d 妄一j ( 咖，口，一咖) ( 4 1 2 ) 其中p ) 是陪集空间；孵的相干态( 4 1 1 ) ，且 碟= 筝d w d 抛帅( 口，洲u ( 8 ，叭 ( 4 1 3 ) 两个算符x 盘和x 盘乘积的s y m b o l 等于两个s y m b o i 的 乘积( m o y a l 瘸r ) ，即 d 盘l ，一j l d ，j 2 ，一j 2 = 显然这是模糊球s 2 上代数右模的 乘积的特例 1 9 】。 ( 三 ( 4 1 4 ) 至此我们还仅仅只是考虑了最低l a n d a u 毙级单粒子波函数的h i l b e r t 空间h 和 作用在在h i l b e r t 空问“0 上的非对易代数4 r ，我们还没有引入不可压缩量子霍尔流 体( i q h f ) 的概念。类似于h a l d a n e 【2 】和张首晟、胡江平【5 】，我们可以简单地假 定一粒子体系的基态波函数能由( 4 7 ) 式的s l a t e r 行列式表达为 妒= e 8 1 4 n ( 1 ) ( u 1 ) 妒。( 。) ( u 。) = l - i ( v j u i v i ) ( 41 5 ) 口 ( 4 2 6 ) 在二维模糊球s 2 上，k f f i i n g 矢量a 士一也一d 圣l 作用在态i 蕾) 髓。上等价 t s y m b o ld 玉一s ，系统的哈密顿则为 日：巡， 他。， 第四章模糊球上的量子霍尔流体与非对易c h e r n s i m o n s 理论1 8 对不可压缩量子h a l l 流体，体系包含札个粒子，其模空间为s 2 肌r 。系统的 基态由旋量坐标的v a n d e r m o n d e 行列式来表达i 皿巧l ! ( u f v i u j v i ) ，其中田；ji t _ j d i s ( a j ，岛，) ，而在平面极限s 2 一c 1 下，( x 一) 玎= 岛一毒笔( 1 ) ，x + = d i a gz l ，2 。) ，激发态l 西。) 作为哈密顿量= t r ( x 2 _ ) 的本征函数由j a c k 多项 式来表达。 4 3模糊球上的c h e r n s i m o n s 矩阵理论 在上节讨论的基础上，现在我们转到球面s 2 情形，我们知道，在二维模糊球s 2 上 c h e r a - s i m o n s 理论的作用量与在噼上的量子翟尔d r o p l e t 的作用量类似： s = 出菩t r c a 6 ( 克+ t 【a o ，k 】) 凰+ 2 目a 。) + o 由一a 。皿) ( 4 2 s ) “ 。 、， 其中也由n 矩阵表示。a o 是产生规范变换的g a u s s i a n 约束条件的l a g r a n g i a n 乘 子，而毋是一个复的 r - 矢量，它定义了c p ( n 一1 ) 模型的流形 2 3 】且具有一个左整体 的u ( ) 对称性和一个右局域的u ( 1 ) 规范对称性，可以由s e r b e r g - w i t t e n 映射将d o 流 体映射到统计规范场五。在这个作用量里，l o r e n t z 力项譬e a b 托给出作用量里的 c h e r n - s i m o n s 部分，因此二维球蔼上的c h e r n - s i m o m s 拓扑不变性同平面情形一样。 由j 去决定了不可压缩流体的保面积规范变换不变，其中p o 是粒子密度。就象坐 标6 与6 的关系一样：0 = 弘l + i y 2 ，己= y 1 1 一i 玑2 ，模玑同a 的关系是为：五= 玑+ a ， 并且它在平面坐标系和球面测地坐标系中是一一对应的。 皿的经典解可由左整体的u ( ) 群进行变换 咒一u x u 一1 = 五，皿一u 皿，( 4 2 9 ) 而在右局域u ( 1 ) 群变换下的解为 皿，皿9 ( 力，g ( 而u ( 1 )( 4 3 0 ) 这里右局域u ( 1 ) 群的作用来d i r a c 荜极，即在基空间瞅和s 2 上规范场，缸= i ，2 ) 的变换为 o “一g f a p g i 矿v p g ( 4 3 1 ) 第四章模糊球上的量子霍尔流体与非对易c h e r n s i m o n s 理论1 9 吼的场强被定义为协变导数西的曲率张量： d 。，d ，】= 一i m 耳，因此我们有 日2 = v i a 2 一v 2 n l + i a l ，0 - 2j + a 3 毒一i ( d l m ) d 2 i j 一( d 2 皿) d l 皿 ( 43 2 ) 将作用量( 4 2 8 ) 对l a g r a n g i a n 乘子变分，得到g a u s s i a i l 的约束方程为( 4 2 1 ) 。取约 束方程的迹，我们有 皿t 皿= n b o ( 4 3 3 ) 上式也是场口的归一化条件。 约束方程( 4 。2 1 ) 的无迹部分给出溉和恐的对易关系式( m o m e r tm a p 方程) ： 隅，蜀】= i o ( 1 一n i v ) ( v 1 ) ( 4 3 4 ) 其中l ”) 是一常单位矢量。定义a 一= 弧( x 1 + i 尥) 和a + = 以( i x l + x 2 ) ，有对易 关系： 【a 一，a + j = p ( 1 一i 口) 和1 ) 、( 4 3 5 ) 我们可以选择一组基使得a 。是对角矩阵。在平面情形，矩阵x 。是厄米矩阵并 且能被对角化。但现在在模糊球上，引入对角化的a + 一表示，且a 。的对角元不是数 值，而是动力学变量。我们可以选择a 是对角矩阵，其对角元是“i ，g a 一的对角元 为4 ，其中毪和钝是第i 个准粒子中心位置的旋量坐标。 因此，在可以将相位空间扩大到一对复c a r t a n 环打一c 的启发下，我们至少 应该将u ( ) 推广至u u ( n ，c ) 或具有另一实形式的非紧化部分a l ( n ，e ) 2 5 】。但实际 上，h c 上的w e y l 不变性应该是d 型的。即它是由h u r t u b i s e 和m a r k m a n ；f 入的 对群g o 雕j m o - m e n tm a p ，定义为：瓯一g o h ，其中是由文献【2 6 中( 4 8 ) 式 给出的d n 根空间，日是个动力学共轭对的复环c 。nx 的u ( ，c ) ( + g i ( n ，r ) ) 应进一步嵌入在2 2 ns o + ( 2 ) 中【2 5 】- 也就是说t 每一个u ( ) 的x 矩阵元的复数对应于一个2x2 实矩阵r 。rf 8 驴一s l n 妒1 对应。经过计算 s l n 庐c o s 妒 第四章模糊球上的量子霍尔流体与非对易c h e r n s i 埘o n s 理论2 0 我们可解得合理解 ( a + ) j k = 如k ， ( 4 一) 批2 吩屯k + i v ( 1 一岛，m 百i 兰面 如同在文献【2 8 】中给出的一样，我们有量子哈密顿量 a h a = t r ( a 2 _ ) ， ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) 其中 日= 去 一去莩品+ 吾同v 2 c a 船， 这里是由下式定义的v a n d e r m o n d e 行列式 = a e t ( c 一) = e k i c 2 j c n 咄“o “等1 = ( u t 一“c ) ( 4 3 9 ) k l 在平面情形，l a u g h l i n 波函数的明显表达式在文献【9 l 中给出。在量子化后的物理 态是s u ( ) 的单态，基态是完全反对称的s u ( ) 单态( 4 2 5 ) ，激发态可以写为( 4 2 6 ) 于w e y l 对称的功r 包括饥一一毗，因而基态波函数代替( 41 5 ) 被修正为 ( 啦一) ( n + ) ， ( 4 4 0 ) j 这里量子波函数可以由超势【2 7 j 的导数来表达 a t + l e - 导n + ) 2 e o 护( 4 曰文”( 、j 百u ) ( 4 4 1 ) 其中 。! d ) 。军磊+ 。( z 删羡再专( 蛳嘉 根据旋量函数推广的j a c k 多项式山u 同文献【2 9 中相似。 u 。去) ( 4 4 2 ) 第五章结论与展望 在本文中，我们成功地构造了s 2 上的非对易代数及其h i l b e r t 空间 m o y a l 结构， 通过构造s 2 上的非对易c h e r n - s i m o n s 理论，我们研究了二维模糊球上的不可压缩的 量子霍尔流体，并给出相应的l a u g h l i n 波函数。 这篇文章的特一个特别之处在于准粒子源决定了具有如一l w e y l 不变对称k i h l e r 流形的m o m e n tm a p ，并且这种m a p 是一矿( ) c a l o g e r o 型m o m e n tm a p 。而且我们 注意到了保面积nxn “规范”的不变性( 包括共形不变) 。就象我们将两个平面上的 普通c m 模型映射到球面上的c m 模型，我们通过对模空间上的辛结构分离变量来 吸收掉哈密顿算符里的共形标度1 + 2 。 我们可以用本文所提到的方法对不可压缩量子霍尔流体的描述推广到非对易 的四维模糊球上。同时对于其他的非对易流形情形，将本文中给出的矩阵代数同 在d 膜动力学中一些应用联系起来是一个非常有趣的问题。 2 1 参考文献 【1 】r b l a u g h l i n ，p a y s r e v l e t t 5 0 ( 1 9 8 3 ) 1 3 9 5 f 2 】f dm h a l d a n e ，p a y s r e v l e t t 5 1 ( 1 9 8 3 ) 6 0 5 1 3 】l s u s s k i n d ，t h eq u a n t u mh a l lf l u i da n dn o n c o m m u t a t i v ec h e r m s i m o n st h e o r y ， h e p t h 0 1 0 1 0 2 9 【4 】b a b e r n e v i n g ，j b r o d i e ，l s u s s k i n d dn t o u m b a s ，j h e p0 1 0 2 ( 2 0 0 1 ) 0 0 3 ， h e p t h 0 0 1 0 1 0 5 【5 】s c ，z h a n g ，j p h u ，s c i e n c e ，2 0 4 ( 2 0 0 1 ) 8 2 3 c o n d - m a t 0 1 1 0 5 7 2 1 6 l j p h u ，s ，c ，z h a n g ，c o l l e c t i v ee x c i t a t i o n sa tt h eb o u n d a r y a4 0q u a n t u mh a l l d r o p l e t ，c o n d m a t 0 1 1 2 4 3 2 【7 】a p p o l y c h r o n a k o s ，j h e p0 1 0 4 ( 2 0 0 1 ) 0 1 1 ，h e p t h 0 1 0 3 0 1 3 8 】b m o r a r i u ，a p p o l y c h r o n a k o s ，j h e p0 1 0 7 ( 2 0 0 1 ) 0 0 6 ，h e p t h 0 1 0 6 0 7 2 【e j sh e l l e r m a n ，m v r a a m s d o n k ，j h e p0 1 1 0 ( 2 0 0 1 ) 0 3 9 ，h e p t h 0 1 0 3 1 7 9 【1 0 jd k a r a b a l i ，b s a k i t a ，p a y s l e f tb6 5 ( 2 0 0 2 ) 0 7 5 3 0 4 ，h e p t h 0 1 0 7 1 6 8 【1 1 mf a b i n g e r ，h i g h e r - d i m e n s i o n a lq u a n t u mh a l l 刚i ns t r i n gt h e o r y ，h e p - t h 0 2 0 1 0 1 6 【1 2 】y xc h e r t ，b o - y uh o u ，b o - y u a ah o u ，n o n - c o m m u t a t i v r g e o m e t r yo f4 - d i m e n s i o n a l q u a n