（概率论与数理统计专业论文）具有随机投资收益的风险模型下若干破产问题的研究.pdf

中文摘要 摘要 风险理论是保险精算学的核心研究内容之一，它通过研究保险业中的随机模型来处 理与精算相关的一些问题，因此模型的选取在风险理论的研究中起到非常核心的作用 关于风险模型的早期研究可以上溯到l u n d b e r g 5 9 的结果，他的工作奠定了风险理论的 基础时至近日，已经有大量的论文和专著对l u n d b e r g 5 9 】的工作做了各种形式的推广 和深入研究其中一个方面是就是模型的推广，如研究更新风险模型、带扰动的经典风 险模型、离散风险模型、复合资产的破产论以及精算与金融的交叉研究等另外一个 方面是控制理论和风险理论研究的结合，如讨沦随机控制理沦在投资、再保险、红利分 配、新险种开发、费率厘定等领域的应用，详情可参考h i p p 4 2 的综述本文研究在一 类具有随机投资收益的风险模型下的破产问题以及与破产问题有关的一些最优控制问 题，主要讨论了两大类情形：连续时问的风险模型和离散时间的风险模型全文分为三 大部分，共七章，其中第一章为前言，介绍了一些与本文有关的基本知识和本文的主要工 作结果 第一部分( 第二章、第三章) 讨论的是具有随机投资收益的连续时间风险模型第二 章讨论的是具有随机投资收益的随机保费模型，假定公司的保费收入是一随机过程，而 风险市场的资本价格过程为指数l 6 v y 过程同已有的关于具有随机投资收益的风险模 型的研究相比，本文考虑的是保费为随机的情况，并且通过离散化的方法得到上述模型 的骨架过程，山此得到了破产概率的显式表达式此外，在这种模型下我们还讨论了破产 理论中的一些经典研究内容，如破产概率的上下界估计等。在投资必报过程的几何布朗 运动等特殊情形下我们得到了破产概率所满足的积分微分方程并给出了一些例子来说 明这些方程的用处。第三章我们考虑了两种情况，第一种是带扰动的随机保费模型下的 破产问题，这部分工作是p a u l s e n 【6 8 的推广我们假定保费收入过程不仅仪是时间的线 性函数，而且有额外的随机保费收益若保险人将其盈余投资于股票市场，我们假定股票 市场的投资回报产生过程为一类带跳的扩散过程结合鞅方法和随机分析的理论，得到 了破产时刻的l a p l a c e 变换所满足的类积分微分方程特别的，由此可得破产概率满足 的积分微分方程在，。些特殊情形下，通过上述方程，我们得到了破产概率的渐近表达式 第二种情况是保险人将其盈余投资于债券市场时的破产问题我们用v a s i c e k 模型刻画 第i v 页，共9 7 页 中文捧要 债券市场的随机利率过程，并重点讨论了这种模型下的破产概率的分解以及破产概率所 满足的积分微分方程在金融数学中讨论债券市场的些定价问题时，已经有较丰富的 成果涉及v a s i e e k 随机利率模型( 见文献 5 7 】等) ，但是讨论在这种利率结构下的破产问题 还是不多见的 第二部分( 第四章、第五章) 讨论的是利用最优控制理论来研究在一类具有随机投 资收益的风险模型下的破产问题第四章讨论的是以期望终端效用最大化为目标的最优 投资与再保险问题假定公司的盈余过程为带扰动的随机保费模型，并且公司的盈余可 以进行风险投资，其投资同报产生过程为一类带跳的扩散过程同已有的相关工作相比， 本部分工作的不同之处在于我们讨论的模型是具有随机保费的，而投资回报过程是带 跳的扩散过程，不仅仅是经典的带漂移的布朗运动的情况通过求解与优化问题有关的 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，我们得到了最优策略和值函数的封闭形式解第五章讨论 的是小理赔情形下以破产概率最小化为目标的最优投资策略的渐近估计我们通过最小 化破产概率的上界得到了一个最大化的调节系数以及相应的常值投资策略我们发现， 当初始盈余趋向于正无穷时，最优的投资策略趋向于这个常值策略这个结果说明，即使 保险人的盈余很大，在以破产概率最小化为目标时，其策略仍然是非常保守的因此，在 寻求最优的投资方案时，使破产概率最小并不是一个非常合适的优化标准 第三部分( 第六章、第七章) 我们讨论的是离散风险模型的破产问题在经典模型及 其一些推广工作中都假定理赔额之间是独立的，但是随着保险业务额r 趋复杂化以及 再保险业务的开发，研究相依理赔的风险模型的破产问题已经很有必要，比如y a n g 和 z h a n g 8 5 】的工作我们讨论的是一类有随机利率的离散风险模型的破产问题，假定理赔 额之间是相依的，服从a r ( 1 ) 结构，而随机利率为时齐的马氏链同c a i 1 4 的工作相比， 本章研究的模型的理赔是相依的，同y a n g 和z h a n g 8 5 的工作相比，我们考虑的利率结 构是马氏相依的，而不仅仅是常值利率的情形破产概率的上界是破产理论的核心研究 内容之一，本章利用鞅方法和递推的方法得到了破产概率的上界第七章讨论的是离散 模型下以期望累计红利最大化为目标的最优红利分配政策，通过b e l l m a n 最优性准则，我 们得到了最优值函数满足的动态规划方程，并结合实例解释了求解这些方程的算法 关键词：风险模型；离散模型；随机投资；破产概率；最优控制；跳扩散过程；鞅方法；更 新方程；积分一微分方程；h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程 第v 页，共9 7 页 英文摘要 a b s t r ac t r i s kt h e o r yp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei na c t u a r y i tf o c u s e so nt h es t u d yo fa l lk i n d so fr i s k m o d e l sr e l a t e dt oi n s u r a n c ea f f a i r s ，a n dt h u si so fa l li m p o r t a n c ef o rm o d e l i n gr i s ki nt h es t u d y o f r i s kt h e o r y o r i g i n a t e df r o ml u n d b e r g 5 9 ，r i s kt h e o r yh a sr e c e i v e di n t e n s i v ea t t r a c t i o ni na l a r g ea m o u n to f l i t e r a t u r e o n ea s p e c to f a f o r e m e n t i o n e dl i t e r a t u r el o c a t e si nt h eg e n e r a l i z a t i o n s o fr i s km o d e l ，s o m en e wr i s km o d e l sa lei n t r o d u c e d ，i n c l u d i n gr e n e w a lr i s km o d e l ，p e r t u r b e d c l a s s i c a lr i s km o d e l ，d i s c r e t et i m er i s km o d e l ，r i s km o d e lw i t hc o m p o u n d e da s s e ta n dt h ec r o s s - r e s e a r c hb e t w e e nt h ea c t u a r ya n df i n a n c e s o m eo t h e r sf o c u so nt h ea p p l i c a t i o n so fs t o c h a s t i c c o n t r o lt h e o r yo nt h er i s ks t u d yi nd i f f e r e n tw a y s ，s u c ha st h ei n v e s t m e n t ，r e i n s u r a n c e ，d i v i d e n d p a y m e n t ，n e wi n s u r a n c ep o l i c ye ta 1 s e eh i p p 4 2 】f o rac o m p l e t e a n dd e t a i l e ds u r v e y i nm yt h e s i s ，s o m er u i np r o b l e m sf o rr i s km o d e l sw i t hs t o c h a s t i cr e t u r no ni n v e s t m e n t a n ds o m eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sr e l a t e dt or u i na r ed i s c u s s e d w ec o n s i d e ri nt h i st h e s i st w o m a i nc a s e s ：t h ed i s c r e t et i m ec a s ea n dt h ec o n t i n u o u st i m ec a s e t h ew h o l et h e s i si sd i v i d e d i n t ot h r e ep a r t s ( s e v e nc h a p t e r s ) t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e ss o m ee s s e n t i a lb a c k g r o u n da n d m a i nr e s u l t s 1 nt h ef i r s tp a r t ( c h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ) w es t u d yt h ec o n t i n u o u sr i s km o d e lw i t h s t o c h a s t i cr e t u r no ni n v e s t m e n t s o u rd i s c u s s i o nc o n s i s t so ft w or i s km o d e l s ：t h er i s km o d e l w i t hs t o c h a s t i cp r e m i u ma n dt h ej u m p - d i f f u s i o nr i s km o d e l 。m a n ye x i s t i n gw o r k sa s s u m et h a t t h ep r e m i u mi n c o m ep r o c e s st ob eal i n e a lf u n c t i o no ft i m et h o w e v e r , i nc h a p t e r2 ，t h ep r e m i u mi n c o m ep r o c e s si sa s s u m e dt ob eas t o c h a s t i cp r o c e s s ( c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ) a n d t h em o d e li nt h i sc h a p t e rc a nb er e g a r da sa g e n e r a l i z a t i o no f t h eo n ei np a u l s e n 6 8 m o r e o v e l t h ep r i c ep r o c e s so fr i s ka s s e ti sa s s u m e dt ob ea l le x p o n e n t i a ll 6 v yp r o c e s s b ys t u d y i n gt h e s k e l e t o no fu n d e r l y i n gr i s km o d e l ，w er e d u c e dt h ec o m p o u n d e dr i s km o d e li n t oad i s c r e t et i m e 第v i 页，共9 7 页 英文搜要 r i s km o d e l ，t h ee x p l i c i te x p r e s s i o nf o rr u i np r o b a b i l i t ya n dt h eb o u n d sf o rr u i np r o b a b i l i t ya r e d e r i v e d d i f f e r e n t i a l i n t e g r a le q u a t i o n sf o rt h er u i np r o b a b i l i t ya r ea l s oi n v e s t i g a t e di ns o m e s p e c i a lc a s e sa n ds o m ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o n so ft h e s ee q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ep e r t u r b e dr i s kp r o c e s sw i t hs t o c h a s t i cp r e m i u mi n c o m ei nt w o i n v e s t m e n tw a y s ：i n v e s t0 1 1s t o c km a r k e ta n di n v e s to nb o n dm a r k e t w h e nt h es u r p l u sp r o c e s s i si n v e s t e do nt h es t o c km a r k e t ，b ym a r t i n g a l ea p p r o a c ha n dt h et h e o r yo fs t o c h a s t i ca n a l y s i s ， a l li n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h el a p l a c et r a n s f o r mo fr u i nt i m ei so b t a i n e da n ds o m e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro f r u i np r o b a b i l i t ya r ed e r i v e di nt h ee x p o n e n t i a lc l a i mc a s e w h i l et h e s u r p l u sp r o c e s si si n v e s t e do nt h eb o n dm a r k e t ，w eu s et h ev a s e c i km o d e lf o rm o d e l i n gt h e i n t e r e s tr a t eo fb o n dm a r k e t b e s i d e s ，w ea l s os t u d yt h ed e c o m p o s i t i o no fr u i np r o b a b i l i t y t h ev a s e c i km o d e li sw i d e l yu s e di nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c sf o rm o d e l i n gt h et e r ms t r u c t u r eo f s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ew h e ni tc o m e st ot h ep r i c i n go f t h eb o n dm a r k e t h o w e v e r , i ti st h i sp a p e r t h a tc o n s i d e rt h ep r o b l e m su n d e rs u c hi n t e r e s tr a t es t r u c t u r e i nt h es e c o n dp a r t ( c h a p t e r4a n dc h a p t e r5 ) w ei n v e s t i g a t es o m eo p t i m a lp r o b l e m sf o rt h e r i s km o d e lt h a th a st h ep o s s i b i l i t yt oi n v e s to nt h er i s k ym a r k e t t h ef i r s tp r o b l e mi st h eo p t i m a l i n v e s t m e n ta n dr e i n s u r a n c es t r a t e g yf o rm a x i m i z i n gt h ee x p e c t e dt e r m i n a lu t i l i t yo fa ni n s u r e r w ea s s u m et h es u r p l u s p r o c e s so fi n s u r e ri sap e r t u r b e dr i s km o d e l w i t hs t o c h a s t i cp r e m i u mi n c o m e ，a n di tc a nb ei n v e s t e di nar i s k ym a r k e t b ys o l v i n gh a m i l t o n j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o n s r e l a t e dt oo u ro p t i m a lp r o b l e m s ，t h ec l o s e df o r me x p r e s s i o n sf o rt h eo p t i m a ls t r a t e g i e sa n dt h e v a l u ef u n c t i o n sa l ed e r i v e d w ea l s os t u d i e dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f t h eo p t i m a ls t r a t e g yf o r a ni n s u r e rw h e nt h ei n i t i a ls u r p l u st e n d st oi n f i n i t y b ym i n i m i z i n gt h eu p p e rb o u n df o rr u i n p r o b a b i l i t yw eo b t a i n e da nm a x i m i z e da d j u s t e dc o e f f i c i e n ta n d a nc o r r e s p o n d i n gc o n s t a n ts t r a t - e g y w ea l s os h o wt h a tt h ec o n s t a n ts t r a t e g yi sa s y m p t o t i c a l l yo p t i m a l ，w h i c hi n d i c a t e st h a tt h e o p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g yf o r a ni n s u r e rt om i n i m i z et h er u i np r o b a b i l i t yi sv e r yc o n s e r v a t i v e t h e r e f o r e ，t h ec r i t e r i o nf o rm i n i m i z i n gt h er u i np r o b a b i l i t yi sn o ts oa p p r o p r i a t ew h e ni tc o m e s 第v i i 页，共9 7 页 英文摘要 t ot h eo p t i m a li n v e s t m e n t i nt h et h i r dp a r t ( c h a p t e r6a n dc h a p t e r7 ) r u i np r o b l e m sf o r t h ed i s c r e t et i m er i s km o d e l a r ei n v e s t i g a t e d t h ec l a i m sa l ea s s u m e dt ob ei n d e p e n d e n ti nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n d s o m eo fi t sg e n e r a l i z a t i o n s h o w e v e r , w i t ht h ed e v e l o p i n go fi n s u r a n c ea f f a i r s i ti sn e c e s s a r yt o s t u d yt h ec o r r e l a t e dc l a i m sc a s e i nc h a p t e r6 ，ad i s c r e t et i m er i s km o d e lw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s t r a t ei si n t r o d u c e d w ea s s u m et h a tt h en e tl o s s e so fa ni n s u r e rf o l l o wt h ea r ( 1 ) s t r u c t u r ea n d t h ei n t e r e s tr a t ef o l l o w sat i m eh o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i nw i t hi n f i n i t ep h a s es p a c e t h em a i n d i f f e r e n c eb e t w e e no u rm o d e la n dt h eo n ei n 1 4 i st h a tt h en e tl o s s e si no u rm o d e la l ea s s u m e d t ob ed e p e n d e da n dt h em a i nd i f f e r e n c eb e t w e e no u rm o d e la n dt h eo n ei n 8 5 】i st h a tw er e p l a c e t h ea s s u m p t i o nt h a tt h ei n t e r e s tr a t ei sc o n s t a n tw i t ham a r k o vc h a i nw i t hi n f i n i t ep h a s es p a c e b ym a r t i n g a l ea p p r o a c ha n dr e c u r s i v em e t h o d ，u p p e rb o u n d sf o rr u i np r o b a b i l i t ya l ed e r i v e d i nc h a p t e r7 ，w ei n v e s t i g a t et h eo p t i m a ld i v i d e n dp a y m e n tf o ra nd i s c r e t et i m er i s km o d e lw i t h s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e b yd y n a m i ca p p r o a c ha n db e l l m a n so p t i m a lp r i n c i p l e ，w eo b t a i n e d b e l l m a n se q u a t i o nf o ro u ro p t i m a lp r o b l e m ，a n df i n a l l yw eg i v et h ea l g o r i t h mf o ro u rp r o b l e m b ys o l v i n gap r a c t i c a le x a m p l e k e yw o r d s ：d i s c r e t et i m er i s km o d e l ；h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o n ；i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；j u m p d i f f u s i o np r o c e s s ；m a r t i n g a l ea p p r o a c h ；o p t i m a lc o n t r o l ；r e n e w a l e q u a t i o n ；r u i np r o b a b i l i t y ；r i s km o d e l ；s t o c h a s t i cr e t u r no ni n v e s t m e n t 第v i i i 页，共9 7 页 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 储张绺 日 期：掣。 学位论文使用授权的说明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日 导师签名： 第一帝前言 第一章前言 风险理论是保险精算学的研究核心内容之一，它主要研究保险业中的随机模型，因 此模型的选取在风险理沦的研究中起到非常核心的作用关于风险模型的早期研究可 以上溯到l u n d b e r g ( 1 9 0 3 ) 5 9 的工作，他的工作奠定了风险理论的基础在l u n d b e r g 工 作的基础上，c r a m & ( 1 9 5 5 ) 1 8 】和他的研究机构构筑了非寿险数学模型的概率基础，使 得风险理论成为概率论和数理统计中一个非常活跃的分支c r a m & 之后，破产论研究的 进展主要集中在以下几个方面其一是方法论的改进：f e l l e r 2 6 和g e r b e r 3 2 】引入的 更新论证技巧和鞅方法己成为研究经典破产论的主要数学工具其二是模型的推广，如 更新j x l 险模型、带扰动的经典风险j x l 险模型、离散j x l 险模型、复合资产的破产沦以及 精算与金融的交叉研究等其三是控制理论在和风险理论研究的结合，如在投资、再保 险、红利分配、新险种开发、费率厘定等领域的应用，见h i p p 4 2 给出的综述在本章 中，首先介绍经典模型及其主要研究方法以及该模型的推广第二节主要介绍离散模型 及其研究进展以及与本论文有关的内容第三节主要介绍随机控制理论的基础和背景以 及在风险理论研究中的应用第四节介绍本文的主要工作 1 1 连续时间风险模型 1 1 1 经典风险模型及其主要研究方法 给定完备的概率空间( q ，p ) ，以下的随机变量均为定义在该概率空间上的随机 变量经典的l u n d b e r g c r a m e r 风险模型由下式给出 ( ) 唧) = d 一置： ( 1 1 1 ) 其中c t 为时问( 0 jt 】内收取的保费，c 为单位时闯内的保费收取率；n ( t ) 为理赔计数过程， 在这里假设为n ( t ) 为p o i s s o n 过程；个体理赔额序列 x ，i 1 ，为独立同分布的非负随 机变量列，其共同的分布为f ( z ) ，f ( o ) = 0 ，且与n = ( ) ，t20 ) 独立；初始准备金 为u 0 若n ( t ) 强度为入，定义相对安全负荷( s a f ；坷l o a d i n g ) c p ：5 疋石一1 若p 0 ，即意味着单位时间内收到的保费超过单位时间内所支付的期望理赔额，此时有 第l 页，共9 7 页 1 i 连续时间风险模型 正的相对安全负荷若不做特别说明，约定相对安全负荷为正 定义1 1 记 t = i n f t ：u ( t ) o ( 1 1 2 ) 为破产时刻，约定t = o 。如果v ( t ) 0 对所有的t 0 成立皿( t ) = p t o 。l u ( o ) = u ) 称为终极破产概率若关注保险人在某一确定时间内的经营状况，需定义( o ，t 内的破 产概率 皿( 姓jt ) = p t t l u ( o ) = 让 定义1 2称关于r 方程 会z o 。e r 剪 1 一f ( 芗) 】d 可= 1 的唯一正根为调节系数，记为r ( i 1 4 ) f e l l e r 2 6 】利用更新理论的技巧，根据模型在第一次理赔是否发生破产进行讨论，得 到了破产概率所满足的一类积分方程 皿( u ) = 害z o 。( 1 一f ( y ) ) d 可+ 会z u 皿( 乱一可) d 可 经过适当的变换可以将上述瑕疵更新方程变成规范更新方程，从而利用关键更新定理可 得破产概率的渐近表达式： 霍( t t ) 一o - 7 e n y 了f 芦甄( 丁1 = - 瓦f 芴( x ) 矿) d x d y e m ，札_ o o ( 1 1 6 ) 调节系数的另外一个作用就是用来确定破产概率的上界：即下面的l u n d b u r g 不等式： 田( t | ) e - 肌 ( 1 1 7 ) 利用递推的方法得到该结论的证明可见于g r a n d e l l 3 9 下面我们通过介绍研究风险模 型的另外一种重要方法一鞅方法来说明得到破产概率上界的另外一种途径该方法是由 g e r b e r 3 0 提出的 设y - = r ，t o 】- 是由过程 u ( ) ，t o ) 生成的子盯一代数流，其中f t = 盯_ 【u ( s ) ，0 s 4 令h ( r ) ：= e e - 一1 容易验证过程m = m ( ) ，t o 为五一鞅， 第2 页，共9 7 页 第一章蓠言 这里 p r u 0 ) m ( t ) 2 焉万，g ( r ) ：= 入九( r ) 一c r ( 1 1 8 ) 破产时刻t 是r 一停时对于给定的 o o ，a t 是有界停时于是由可选标样定 王 j ( o p t i o n a ls a m p l i n gt h e o r e m ) 有 e - “e m ( tat ) i t t p ( t ) + e a j f ( at ) l t t i p ( t ) 由于在 t t ) 上u ( t ) ：五，n 0 ，( 1 2 1 ) n = l 其中初始盈余u 为非负数，保险公司在每个单位时间仅征收一个货币单位的保费个 体索赔额 k ，n 1 ) 为一列独立同分布的随机变量u ( n ) 表示前n 个时段所发 生的理赔次数，假定u ( n ) 是以p ( o p 1 ) 为参数的二项序列且与 k ，f l , 2l 独立另外假定p e x ， 1 ，这相应于连续时间模型中的相对安全负荷的假定定义 t = i n f n ：u ( n ) o ) 为破产时刻近年来国内也有学者研究了离散的二项分布模型， 取得了令人瞩目的成果，如c h e n ge ta l 1 6 ，y u e n 和g u o 8 9 9 0 ，t a n 和y a n g 7 7 ，x i a o 和g u o ( 2 0 0 7 ) 8 4 等，在此就不一一罗列实际上，模型( 1 2 1 ) 还可以改写成如下的形 式( 见t a n 和y a n g 7 7 】) ： u ( n ) = u + n 一：已x i ， ( 1 2 2 ) n = l 其中， 已，i 1 ) 为服从参数为p 的独立同分布的独立随机变量列并且和 x i ，i 1 ) 独 立因此， r z c n ) ，n 1 具有如下的递推形式： u ( n ) = u ( n 一1 ) 一k 第4 页，共9 7 页 ( 1 2 3 ) 第一蕈前言 其中x 佴= 一1 表示在单位时间的净损失，为书写方便，我们直接记为k 由 ( 1 2 3 ) 给出的模型具有很广泛的代表性，如e m b r e c h t se ta 1 1 2 5 】在讨沦连续时间的经典风 险模型的破产问题时曾把问题转化为讨论模型( 1 2 3 ) 形式来讨论，他们利用随机游动的 理论得到破产概率满足的一类方程c a i 【1 0 】和c a i 和d i c k s o n 1 4 讨沦了随机利率下模 型( 1 2 3 ) 的破产问题，本文第六章也讨论了形如( 1 2 3 ) 的净损失相依的过程的破产问题 1 3 随机动态规划与风险理论研究 1 3 1离散时间模型的动态规划 这小节主要介绍与我们研究的模型有关的离散随机控制理论中的动态规划方法 及其在风险理论研究中的应用进展本节内容来源丁s h i i l 7 2 以及b e r t s e k a s 和s h r e v e 【5 ，假定离散时间随机过程 凡，佗1 ) 在每个时间段n = 1 ，2 的开始都是可观测并 且可以控制的随机增量( j f d c 办娜f 配d e v e l o p m e n t ) 由一列定义在概率空间( q ，fp ) 取值于 可测空问( e ：9 ) 上的独立同分布的随机变量决，定，记为 ，n l 称( e ，9 ) 为扰动空 j 词( d i s t u r b a n c es p a c e ) 由控制变量的模型主要由以下几组变量刻画： ( r ，贝) 为过程【x 。，n 1 ) 的状态空间； ( u ，u ) 为过程的控制变量取值的状态空问，是一可测空间； ，：兄xu e hr 是系统函数( 驴纪朋f u n c t i o n ) ； 9 ：r uhr 是每时间段内的费用函数，它是一个可测的并且下方有界的函数 定义1 3 一个可测的妒：rhu 函数称为一个决策函数( d e c i s i o n f u n c t i o n ) 一个策略或计划( p ，口 o r p o l i c yo rs t r a t e g y ) 是一个决策函数列7 r = ( 妒。，n 1 ) 当控制为m a r k o v 控制时，( x 。) 表示在第几+ 1 个时间段开始的时候采取的控制行为 虽然对不同的。可以不同，但是实际上我们只要考虑平稳的m a r k o v 策略，这种限制 不影响问题的讨论，见b e r t s e k a s 和s h r e v e 5 】，命题8 4 对于给定初值_ ；j 策略7 r ，系统状态 在时段n + 1 为通过一下方式定义出的一个随机变量： x o = 2 ，+ l ：= ，( k ，妒( x n ) ，眠+ 1 ) ，n2 0 ( 1 3 1 ) 这样定义出的过程为一马氏决策过程( 胁r 幻1 ，出c 捃f d 行p r 0 镕) ，该过程具有m a r k o v 性质 第5 页，共9 7 页 1 3 随机动态规划与风险理论研究 = = ! ! ! ! ! ! ! ! ! 皇= = 詈! ! ! ! ! ! 詈! ! ! ! ! ! ! ! 詈! 鼍! ! = ! = 暑! ! ! 皇! ! ! ! ! i 皇! 皇! ! 竺! ! ! ! ! 竺! ! ! ! ! ! = ! ! = ! ! ! 苎! = 皇 定义1 4 给定初值x o = z r ，总期望折现费用( 叫删t o t a ld i s c o u n t e dc o s t ) ，( z ) 和值函数v ( z ) 分别为 j ”c z ，= e fl主n=三oq ”g c x _ ，妒c 义_ ， ， j y ( z ) - i n 汀fj ”( z ) ， ( 1 3 2 ) 其中o n 1 为折现因子，这里我们假定，( z ) 的定义是有意义的( w e l l - d e f i n e d ) 根据b e l l m a n 最优性原理，v ( x ) 满足如下的b e l l m a n 方程，( 见a o k i 1 ) y ( z ) 2 妒i n ( ，f ) e 【9 ( z ，妒( z ) ) + q 矿( ，( z ，妒( z ) ，w 1 ) l ( l 3 3 ) 到目前为止，关于离散时间的动态规划方法在离散时间模型中的应用还不多m a r t i n l 6 f 6 1 】给出了关于最优控制理论在非寿险领域研究的综述，主要处理的是有限时间下的最 优m a r k o v 控制问题，在那里系统的状态空间是有限状态的s c h i i l 7 2 7 3 】讨论了在无限 时问下离散模型的的最优控制问题，那罩的优化标准为破产概率的最小化其中文献 7 2 考虑的是普通的离散模型的问题，文献【7 3 】考虑的是经典风险模型的离散化模型，本文 第七章讨论的是离散时间模型的最优红利分配问题 1 3 2 连续时间模型的动态规划 本节只是介绍与本论文有关的一些连续时问的随机控$ i j f - j 题的基本知识，更多的内 容可以参见f l e m m i n g 与s o n e r 2 7 】，o k s e n d a l 与s u l e m 5 6 等设( q ，y ， 五】o t o o ：p ) 为赋以过滤 五 o 墨t 0 ，k g ) 性能函数( 1 1 1 e p e r f o r m a n c ef u n c t i o n ) 定义如下： 拍m 盼叫m ) d t + k ( 硌) l t o o ， ( 1 3 8 ) 其中夕“k ) = 9 ( 龟，k ) 为费用函数，k ( r ) 为终端时刻的“b e q u e s t ”函数。注意，从严格的 意义讲，这里的u t 是( 1 3 4 ) 中的u t 的推移我们的问题是：对于任意的可g ，找到函数 ( y ) 以及控制过程矿= u ( ，u ) = u ( y ，t ，u ) 使得 蚓：2 糟) j “( 可) = j 矿( ”) ( l 3 9 ) 当u t = u ( ，k ) 时，称其为m a r k o v 控制为了我们的讨论，我们引入如下的算子 ( ，) ( 9 ) = 箬( ) + 妻i = 1 吣 ) 差+ i 妻, j = l 嘣”) 器， 其中n 巧= ；( 盯盯? ) 订，y = ( 5 ，z ) ，z = ( z l ，一，z n ) 实际上，当控制为m a r k o v 控制的时候， 上述算子就是过程k 的无穷小算子我们有如下两个定理，其具体证明见o k s e n d a l 5 5 定理1 1定义 咖( 可) = s u p j “( 乱) ：钍= u ( y )一m a r k o v 控制】- 第7 页，共9 7 页 1 3 随机动态规划与风险理论研究 假定c 2 ( g ) nc ( o ) 有界，丁 a 8 一驴并且最优的控制札存在，则 s u p g ”( y ) + ( 咖) ( y ) = 0 对所有的y g( 1 3 1 2 ) 且 ( y ) = k ( y ) ，对所有的y f ，g 上述上确界在v =