（理论物理专业论文）一类特殊含时系统的讨论.pdf

中文摘要 含时系统由于其在量子光学，原子化学，等离子体物理和材料科学中广泛应 用，一直是物理学家和数学家研究的重要方面，微扰理论曾经在求解含时系统中 占有很重要的地位，然而随着研究的进一步深入，这一近似的结果越来越难以满 足实际要求，寻求对含时系统的精确解逐渐成为人们同益关注的课题，本文概述 了含时系统的讨论现状和发展，介绍了三种具有广泛影响的常用的求解含时系统 的方法，即量子不变量理论，么正变换方法和费曼的路径积分理论。 对于一个定态系统，薛定谔方程的时空分量是自动变量分离的，然而在势场 随时间变化时，该问题将变得很复杂，s c h r 5 d i n g e r 方程的时空坐标一般是变量 不能分离的波函数对时间的依赖，已经不是一个简单的动力学相因子( e - 6 ) ， 它已变得很复杂了，b u r g a n 等人的时空变换方法通过一个特殊的变换可以将古 时系统转化为不显含时间的形式，从而在对含时系统的讨论中显示了其优越性， 本文用这一方法对一类特殊形式的具有含时库仑势加线性项的薛定谔方程进行 了分析和计算，这一形式的含时势在研究在一个不断膨胀的球腔中运动的粒子的 系统时非常有用，我们讨论了求解这一类特殊含时势的物理意义。 非谐振的幂函数型含时势在量子化学，真空物理，低温物理等领域也有着重 要的物理意义，应用时空变换方法，我们进一步讨论了更普遍形式的幂函数型含 ( 其中毒= a t2 + b t + c ，口o ，口l ，口2 ，一，以。，口，b ，c 是满足一定关系的常数) 的波函数 关键词：薛定谔方程时空变换波函数含时系统 生 + 牛融 一 = 0p 矿 势时 a b s t r a c t b e c o u s eo ft h ew i d e l yu s e di nd i f f e r e n ta r e a so fp h y s i c ss u c ha sq u a n t u mo p t i c s ， a t o mc h e m i s t r ya n d p l a s m ap h y s i c sa n d s oo n ，t h et i m ed e p e n d e n ts y s t e mb e c o m et h e i m p o r t a n ta s p e c ti nt h ep h y s i c i s ta n d m a t h e m a t i c i a n ss t u d y p e r t u r b a t i o nt h e o r yh a v e p l a y e di m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo f t i m ed e p e n d e n ts y s t e m ，h o w e v e rw i t ht h em o r e d e e p l y r e s e a r c ht h i s a p p r o x i m a t i v e m e t h o d sc a r l tc o n t e n t e dw i t ht h e p r a c t i c a l d e m e n d t h ee x a c ts o l u t i o no f t i m e d e p e n d e n ts y s t e mh a v ea t t r a c t e dm u c h a t t e n t i o n i nt h i st h e s i s ，w es u m m a r i z et h ec u r r e n td e v e l o p m e n to ft h i sa s p e c ta n di n t r o d u c e d t h r e em e t h o d s ，t h a ti sq u a n t u mi n v a r i a n tt h e o r y , u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d sa n d f e y n m a np a t h i n t e g r a l w i t ht h et i m e - i n d e p e n d e n ts y s t e m ，t h e t i m e s p a c e c o o r d i n a t eo fs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n i sv a r i a t i o n s e p a r a t ea u t o m a t i c a l l y , i ft h ep o t e n t i a li st i m e d e p e n d e n t ，t h e p r o b l e mw i l lb e c a m ec o m p l e x , t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h ew a v ef u n c t i o na n dt i m e c a n tb es i m p l yi n d i c a t e dw i t ht h ed y n a m i cp h a s ef a c t o r ( e ”“) 。t h em e t h o d so f b u r g a ne ta l sc a nc h a n g e d t h et i m e d e p e n d e n ts y s t e mi n t ot h et i m e i n d e p e n d e n tc a s e t h r o u g has p e c i a lt i m er e s c a l i n go f t h es p a c ev a r i a b l e sa n dt h ei n t r o d u c t i o no fn e w t i m e s ，t h e r e b yt h i sm e t h o d sm a n i f e s t e dt r e m e n d o u ss u p e r i o r i t yi n t h ed i s c u s so f t i m e d e p e n d e n ts y s t e m i nt h i sp a p e r , w em a k eh s eo f t h eb u r g a ne ta l sm e t h o dt o d e r i v et h es o l u t i o no ft h et i m e d e p e n d e n tc o u l o m bp o t e n t i a la n d l i n e a rp o t e n t i a lw i i ha s p e c i a l f o r m ，矿( 州) ! + _ a i r ，( w h e r e 毒= 讲2 + b t + c , a o , a l , a , b ，c a r e 掌i r喜j p a r a m e t e r sw i t hc e r t a i nr e l a t i o n s ) ，m e a n w h i l ew ea n a l y z e dt h ep h y s i c a lm e a n i n g o f t h i ss p e c i a lp o t e n t i a la n dt h ei m p o r t a n c eo ft h el i n e a rs c a l i n gf a c t o r sc ( t ) i nt h es t u d y o f r e p e a t e de l a s t i cr e f l e c t i o n so f a p a r t i c l ei n a n e x p a n d i n gs p h e r i c a lc a v i t y t h ea n h a m i l t o n i o no s c i l l a t o rp o w e rf u n c t i o nt i m e d e p e n d e n tp o t e n t i a lh a sb e e n l a r g e l ye m p l o y e dt os t u d y s e v e r a l p r o b l e m si np h y s i c s ，s u c ha sl o w t e m p e r a t u r e p h y s i c s ，q u a n t u mc h e m i s t r y ，v a c u t i np h y s i c se t c ，如i t h e r m o r ew e d i s c u s s e dt h ew a v e f u n c t i o nf o rm o r eg e n e r a la n h a m i l t o n i o no s c i l l a t o rp o w e rf u n c t i o nt i m e - d e p e n d e n t p o t e n t i a lv ( r ，f ) = a o ，a l ，一，a 月a r ec o n s t a n t s ) k e y w o r d s s c h r o d i n g e re q u a t i o n ， w a v e f u n c t i o n ， t i m e s p a c ev a r i a t i o n ， t i m e d e p e n d e n ts y s t e m 陀b 芷 。 + 竿函 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：泉小食 签字日期：w 。)年n 月) u 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤洼盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：袁卜金 导师签名 签字日期： 伽叽年 l t 月 2 口目 娟 签字日期：坂年 - 月j p 日 犬津火学硕十学位论文 前言 前言 1 9 2 6 年1 月2 7 日，苏黎世大学物理学家薛定谔( s c h r 6d i n g e r ) 将他的题为“量 子化即本征值问题”的论文，在 发表后，后人对以他姓氏命名的 “s c h r 5 d i n g e r ”波动方程的严格解的讨论，就一直没有停止过。这主要是因为以 二阶偏微分方程形式表达的s c h r t id i n g e r 方程，其数学性质决定了它的严格解一 般很难求得。即使对于最简单的多电子体系，如氦原子、氢分子，它的波动方程 也未曾被严格地解出过。而且更重要的是任何一个物理系统中的相互作用总是随 着时间在不断变化的，只有用含时哈氏量才能对一个真实的物理系统或过程作出 精确的描述；定态s c h r 6d i n g e r 方程仅仅是一种特殊情况或者是一种近似，从这个 意义上讲，精确求解一个描述具体物理系统演化规律的含时s c h r 6d i n g e r 方程就 显得十分重要 薛定谔本人从提出方程的一开始就注意到这一问题。他在第一篇论文发表后 不久，即在1 9 2 6 年春天发表的第三篇论文中，提出微扰理论求解的方法。为解 决色散问题，他又发展了随时间改变的微扰理论。随后，人们也尝试提出了各种 求解波动方程的方法，它们对能值和波函数作出不同准确程度的近似计算，在诸 多方法中，微扰理论仍占有突出地位，尤其是在解决含时s c h r t i d i n g e r 方程方面。 不过微扰理论仍然是一种近似求解法，还是影响了人们对微观粒子波动物理图象 的准确认识。 精确求解含时s c h r 6d i n g e r 方程的困难在于，由于对于含时系统其各个物理 量都是随时间变化的，所以没有相应的静态能级值，无法用分离变量的方法将波 函数中的位置变量与时间变量分开到两个独立的方程中去分别求解。要求解这类 问题一般须采用复杂的代数变换或演化算符技巧，不仅步骤繁多，而且所得最后 解往往失去了原来的物理意义。 尽管如此，由于对于含时系统的研究可以使人们唯象地处理许多领域如量子 光学、原子化学、量子场论，等离子体物理和材料科学中的多个问题，所以，多 年来人们一直在做各种各样的尝试，并试图将所得结果用于讨论相干态的产 生”，p a u l 阱对单个粒子的囚禁；以及b e r r y 位相的性质等等，显然，这是一个极 1 天泮人学硕十学位论文h u 鬲 有兴趣并且方兴未艾的领域长久以来，实现含时s c h r 6d i n g e r r 方程精确解的研 究，成为一些物理学家和数学家具有吸引力的课题。 本论文在第一章旨在对这方面的工作做一个回顾，着重介绍三个在求解含时 系统方面较有影响的工作第二章介绍本论文所用的求解含时系统的时空变换方 法，第三章应用这一方法讨论一类特殊含时系统的求解，最后一章是对这一特殊 含时系统物理意义的讨论即进一步的推广。 2 天津大学硕十学位论文第一章含时系统的黛子理论 第一章含时系统的量子理论 本章介绍在讨论含时系统时较有影响的三种方法，即量子不变量理论，么正 变换方法和费曼的路径积分理论。 1 1 量子不变量理论对含时线性系统的讨论 1 1 1 量子不变量理论 最早对含时系统的量子处理提出一般而系统的方案的是l e w i s 和 r i e s e n f i e l d ，他们提出了求解含时量子系统的不变量算子理论，找到了不变 量的本征值与s c l r j d i n g e r 方程的解之间的简单关系 对于哈氏量 疗( f ) = 户+ q 2 ( f ) 毒2 2 m 其中0 是正则坐标，声为相应的动量，它们满足 香，p _ i h ；= 一i 口，膏 a = d i m 多= 一玎p ，茸】壳= q 2 ( t ) o m 于是，一定存在一个厄米特型的不变量算符 ，= 扣( f ) 辱2 + 即) p 2 州f ) 话，p + 其中a ，都是含时的实函数，其具体形式须由下面的工作确定，而 曲，少) + = 扫+ ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 天津大学硕士学位论文第一章含时系统的餐子理论 由于不变量算符满足 d i _ ( t ) ：a i o t i i ，f l l n ：o d t 。 那么由此可得口，卢和y 的值，最后得到 j = 妻1 p 2 ( f ) 琦2 十 p ( r ) 声一埘p 。) 口】2 其中p 满足下面的含时非线性方程 m 2 p ( f ) + q 2 ( f ) p ( f ) 一l p 3 ( f ) = 0 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 在找到了不变量的形式之后，就可以用与处理非含时哈氏量的算符技术相似的方 法求解问题，即认为 其中 i = ( a + a + 1 2 ) ， 矗= 了翥1 l p + 锺p 弘) p 一坳 a + = 了翥1 咖( 伽一f 刖p 一坳( f ) 办 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 这样，原则上( 1 1 ) 式已获求解只要求得不变量算子的本征值和本征矢反 推回去，我们便可以求出( 1 1 ) 式的准静态能量和波函数。下一节以含时线性势 为例讨论如何用量子不变量方法求解含时系统。 1 1 2 含时线性势系统的讨论 正如含对或者不含时的谐振子势模型常被用于研究分子物理，原子化学，量 子光学，固体物理等等许多方面一样，含时线性势也被广泛应用于研究许多物理 问题。例如，s c h e w e i t e r , t i l c h ，和e b e l i n g 研究了b r o w n i a n 粒子在一维线性势中 的运动，m a n k i n ，a i n s a a r 和r e i t e r 用线性势研究电流受到干扰时的翻转行为， 4 天津大学硕十学位论文第一章含时系统的量子理论 在大多数的研究中含时线性势常被用于描述在一个单频电场中粒子的运动，对于 这样的系统h a m i l t o n i a n 可以写为 邯) = 乞+ 峨x + g s w r ( 1 1 2 ) 这里m 和q 是粒子的质量和电量，占。是作为束缚势阱的恒定电场的强度，是 具有频率c o 的交变电场的强度 设妒是上述含时系统s c h r i 5d i n g e r 方程的解，则有 访昙甲= h ( f ) 甲 o t 假设存在一个量子力学不变i i ( t ) ，对于上述含时系统满足 等= 葫融心a 、忙q 将上式代入( 1 1 3 ) 式整理可得 捕w ) = 日( f ) ( ，p ) ( 1 1 3 ) ( 1 一1 4 ) ( 1 一1 5 ) 在处理含时谐振子系统时，由于h a m i l t o n i a n 是p ，x 的二次方，所以不变量i ( t ) 的形式设为二次方的形式 ，( r ) = a ( t ) p 2 + f l ( t ) x 2 + y o ) ( p x + 印) ， 这罩，我们考虑的系统h a m i l t o n i a n 是x 的线性项，即 日( x ，p ，f ) = _ p z + 厂( f ) x 2 ，雄 所以设线性不变量为 i ( t ) = a ( t ) p + b ( t ) x + c ( t ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 天滓人学硕士学位论文第一章含时系统的量子理论 i ( 1 ) 必须满足式( 1 1 4 ) ，将式( 1 1 8 ) 代入( 1 1 4 ) 式得 ( _ + 上b ) p + b x + c 一厂( f ) 爿( f ) 】：0 ( 1 1 9 ) m 欲使对于任意p 和x ，式( 1 一1 9 ) 成立，要求 匀：一旦 埘 雪：0 c = ，( f ) 爿( f ) 由式( 1 - 2 0 b ) ，可设b = 0 ，代入( 1 2 0 a ) ，( 1 2 0 c ) 式得 爿( f ) = a = c o n s t c ( r ) = 口抄( f ) d r 7 将a ( t ) ，b ( t ) ，c ( t ) 代入不变量公式( 1 - - 1 8 ) 中，线性不变量可写为 ，( f ) = n ( p + i f ( t 7 ) d r 7 ) ( 卜一2 0 b ) ( 1 2 0 c ) ( 1 2 1 b ) ( 1 2 2 ) 从公式( 1 1 5 ) 可以看出，如果、壬，是含时s c h r 5 d i n g e r 方程的解，则函数西：仲 也是含时s c h r 6 d i n g e r 方程的解，特殊地，可选择、壬，是i ( t ) 的本征函数，因此， 由式( 1 2 2 ) 可知1 ( t ) 的本征函数可设为甲o c e x p r ( t ) x ，所以设含时 s c h r 6 d i n g e r 方程的试探解为 甲( x ，t ) = n e ) w ( ) ( 1 - 2 3 ) 这里n 是常数，节( ) ，卢o ) 是任意含时函数，将式( 卜- 2 3 ) 代入含时s c h r 5 d i n g e r 方程中，整理可得： 科缸十丘 一篆极f ) + 厂( f h 6 ( 1 2 4 ) 天津人学硕十学位论文第一章禽时系统的量子理论 比较同次幂系数 i h o ( t ) = 厂( f ) ， f 雏( 归一兰叩z ( f ) z m 方程( 1 2 5 a ) 的解为 7 7 0 ) = 一圭陟( f 7 ) d r 门。 当f ( t ) 确定时，由式( 1 2 5 ) 就可以得到含时s c h r 5 d i n g e r 方程的解 这里，厂( r ) = q + q s c o s o o t ，代入方程( 1 2 5 ) 中，可得其解为 们) 一轰( 岛c o t 堋i n c o t ) ， 础) - - 嘉f 旦竽+ 2 s o ( s j i l 删一删 + s 2 ( i 1 埘一丢s i n 2 c o t ) ， 、24 7 ( 1 2 5 b ) ( 1 2 6 ) 最后，我们可以得到被束缚在具有含时线性势的单频电场中的粒子运动的波函数 为 甲( x ，f ) = n e x p - l ：q ( 8 0 0 9 + s s i n c o t ) x 删 一芴i q 附2 华+ 2 s o s ( s i n 甜一s 耐) + 占2 ( i 1 耐一i 1s in2耐)l(1-28) 由以上的讨论可知，应用l e w i s 和r i e s e n f e l d 的量子不变量方法，我们求得了 一般含时线性势的波函数，这一结果可以应用于讨论粒子在一个具有线性势的单 频电场的运动，由上述数学推导过程可以看到这一方法也可以用于讨论质量随时 间变化的粒子的运动。 茎堂查兰堡主堂垡望茎茎! ! 王鱼堕重皇望壁兰：! ! 墼 然而，由以上的计算也可以看出，不变量方法虽然具有一定的普通性，但对 于一个具体含时系统其哈氏量往往不像( 1 - - 1 2 ) 式那么简单，因而求得相应 的不变量舅子也不容易，而且最后求出波函数的形式也有一定的难度。 1 2 么正变换方法对含时谐振子系统的讨论及压缩态6 对于哈密顿量为疗：的含时系统j 其含时薛定谔方程的形式解为 i ( f ) ) = 于e x p 一言f 疗o ) 也 | p ( o ) ) ， ( 1 2 9 其中于为时序算符由于对任意的f ，和f ，一般有【青( f ，) ，疗( ：) 1 - 0 故( 1 2 9 ) 式在实际运算中用处不大本节的主要思想是通过寻找一系列的含时么正变换使 番( f ) 变为氟) ，并满足对任意f ，和f ：有对易关系【敦，) ，：) 】= o ，于是可求出( 1 2 9 1 式时序积的精确解析表达式，从而得到此系统任意时刻的波函数利用此 波函数还可构造此系统的压缩态以下我们用脉动质量的谐振子为例阐明上述方 法。 首先考虑脉动质量的谐振子系统吲其哈密顿量为 日( f ) = 2 腓p _ l “) + 1 2 ”( f ) 曲：x 2 ( 1 3 。 其中r e ( t ) = m o c o s 2 ( v f ) ，引入么正变换 o ，( t ) = e x p 主半x v 斜卜啦硼2 “_ 3 ，) 这里甜：岳，在此么正变换下，哈密顿量疗( f ) 变换为 青，( f ) ：d ) 疗( f ) 玩( ) 一i a o ? ( 0 0 ，( f ) = 荔彳慧而+ 圭( v 却t 一魄甜) ( 肇+ 简) ( 1 3 2 ) 再引入么正变换d ：( f ) = e x p 去( 1 n 丽c o s i , t ) 【印 + 西) ) ，在d z ( f ) 的变换下，哈密顿 量a ，( f ) 变为 天津大学硕士学位论文第一章含时系统的量子理论 i ( f ) = d j ( r ) 疗。( f ) u ，( r ) 一埔驴i 0 ) 驴。( f ) ：一旦： ( 1 3 3 ) 2 m oc o s w 由( 1 3 3 ) 式可以看到对任意f ，和f ：有对易关系 i ( f 。) ， ( f ：) 】_ 0 ，故立即可以得 到与h ( t ) 对应的含时s c h r 6d i n g e r 方程的解为 ( 列) = e x p 丝2 m o 竺c 9 卫o x 2j k ，。) ( 一，a ) 若初态( 五0 ) 为普通谐振子的本征态，即 吣，卟州加) 卸叫4 j 焘h 肛) e x p ( 一x 2 ) ( 1 - - 3 5 ) 由么正变换，可以得到曹( f ) 对应的含时s c h r 5 d i n g e r 方程的解为 其中 附咖咖州州胁川压撇瑚e x 扣n + 争 x 矿( c o 。ot g o x ) e x p 一彳( 驴】( 1 - 3 6 ) d ( ) = a c o s v t ( 1 一暑s i n2 ) - 1 1 2 ；r e 彳( f ) = 三2 d 2 ( f ) ( 1 3 7 ) 。 i m 椰) ：一掣 三彬( 1 一罢s i n ：删一s i n 删c 。s 吼( 1 - - 3 8 ) z 1 5 0 0彩0 3 0 甜 。 尖似丁义献l7 】网力珐，口j 以求得此糸统的基本小变量为 。j 2 忍 c o s v t c o s c o t m 。c 。 + v 棚s i n 删n 研_ f ( 毒s i n v t c o s c o t 出c o i c o s 们i n 删主 + 丽i 丽c o s ( o t ( 1 + 等增耐) p ( 1 _ 3 9 ) 为了求( f ) 的本征态，我们构造如下迭加态 酏, t ) = e x p ( - 譬薹知心( 1 - - 4 0 ) 犬律人学硕十学位论文 第一章含时系统的鼙：f 理论 吸( x ，t ) = l r i 厕e x p 堕辔耐 f o 2 一古z 1 一旦4 - t gz 耐】一1 72 c o 。 。“p 留一，蔓增耐 ) e x p 一爿( f ) xz + j 扣( f ) e x p ( 一t g 一1 竺生留耐 ) x ( 1 4 1 ) 础 可以证明毛( f ) 吸( z ，f ) = 善吸( x ，f ) ，即暖( x ，f ) 为基本不变量，。( f ) 的本征值为 掌的本征态，类似文献【7 】可证其为压缩态为了更清楚地看到压缩效应，计 算量和p 在呒( x ，f ) 中的偏差( 2 ) 2 和( p ) 2 如下： ( 姘= 瓦毫而( t 一告s i n 2 酬) ( 1 4 2 ) ( 肇) 2 = h m 二- o c o ol l v s i n v tc o s 耐一旦s i n 耐c o s w ) 2 + ( c o s v t c o s 删+ v s i nv fs i n 耐) 2 】 z甜 山 ( 1 - - 4 3 ) 2 谢= 等”杀s i n z 埘毒删一v - - t ；s i n 2 cot)，2(1-44)co珊o】 从上述式子可见，当仁。时，即( 盛) 2 = i 皇一，( 够) ：塑堕初始处于相干 z m 。c o 。 z 态随着t 的增加，将出现较强的压缩 1 3 电偶极近似条件下电磁相互作用的f e y n m a n 路径积分描述【s 1 3 1 路径积分基本思想 继上个i 彬e 2 0 年代h e i s e n b e r g 的矩阵力学和s c l l r 6 d i n g e r 的波动力学提出之 后，f e y n m a n 在4 0 年代提出了量子力学的另种理论形式，他称之为路径积分 ( p a t h i n t e g r a l ) 9 1 0 0 1 因为这个理论将经典物理与量子物理自然地联系起来，提供 了物理学的一种崭新表述( 亦被誉为量子理论的第3 种表述) ，因此具有非凡的广 泛性。这个理论的核心是如何去构造量子力学中的传播子( p r o p a g a t o r ) 。传播子 包含了量子体系的全部信息。不同于s c h r 6d i n g e r 波动力学处理量子力学的方案， f e y n m a n 的路径积分理论把传播子直接与经典力学中的作用量( 作为粒子坐标的 函数) 联系起来。 1 0 犬津人学硕+ 学位论文第一章含时系统的昔子理论 如果说h e i s e n b e r g 的矩阵力学是正则形式下经典力学的量子对应( 把经典的 p o i s s o n 括号换为量子对易式) ，s c h r5d i n g e r 的波动力学则与经典力学中的 h a m i l t o n j a c o b i 方程有密切的关系。概括起来，它们都与经典力学的h a m i l t o n 形 式有渊源关系。与此不同，f e y n m a n 的路径积分理论则与经典力学的l a g r a n g e 形 式( 通过作用量) 有很密切的关系。其优点之一是易于从非相对论形式推广到相 对论形式，因为作用量是一个相对论性不变量。所以路径积分理论对于场量子化 有其优越性。它的另一个优点是把含时间( t i m e d e p e n d e n t ) 问题和不含时f e t j ( t i m e i n d e p e n d e n t ) 问题纳于同一个理论框架中来处理。另外，通过f e y n m a n 路 径积分理论可以更形象地研究量子力学与经典力学的关系，并使人们对于经典力 学的基本规律( 例如最小作用原理) 有了更深刻的理解。 先回顾一下s c h r 5 d i n g e r 理论形式中的传播子概念，按s c h r 5 d i n g e r 波动力 学，一个量子体系状态i y ( f ) 的演化由s e h r 5d i n g e r 方程给出： 流昙) = h ) ( 1 4 5 ) h 为体系的h a m i l t o n 量，以下假设h 不显含t ，按式( 1 - - 4 5 ) ，体系在时刻f ” 的状态陟( ，”) 可由时刻z s f ”) 的状态妙o ) 如下定出： 眵( f ”) = e x p 一埘( f ”一t ) h l v , ( t ) ( 1 一a 6 ) 如采用坐标表象，则 = = p3 z ( 1 - - 4 7 ) 或表示成 妙( r ”，f ”) = i d 3 x k ( ，”，r 。7 ) 妙( r ，f )( 1 4 8 ) 天津人学硕士学位论文 第一章含时系统的量子理沦 其中 k ( r ”f ”，r t ) = ( r ”l e x p t i h ( t ”一f ) h i ? ) ( i 一4 9 ) 称为传播子。 设f 时刻粒子处于空间r7 点，则由上两式可知，t 。时刻粒子在r ”的波幅为 ( r ”，f 8 ) = k ( r t ”，r t ) ，由此，我们可以得出传播子的物理意义如下：设粒子在 初始时刻t 处于空间，处( 位置本征态) ，则k ( r ”f ”，r t ) 表示在以后某时刻f ”q f ) 粒子处于空间r ”点的概率波幅( p r o b a b i l i t ya m p l i t u d e ) 。 式( 1 - - 4 9 ) 是传播子在坐标表象中的表示式。在能量表象中，即用h ( 不显 含t ) 的本征态l n ) 为基矢的表象， 日h ) = e h ) ( 1 5 0 ) 则( 1 - - 4 9 ) 式可表达为 k ( r t ，t ) - - z ( r ” n ) ( n t e x p 一i h ( t 5 一f f ) b i n ) ( ”i r ) ( 1 5 1 ) 月n + f e y n m a n 路径积分理论的基本假定是如下构造传播子 其中 k ( r ，r 4 ，t ) = c e x p i s r ( t ) h 所有道路 s p o ) = f ( r ，i ，f ) a t ( 1 5 2 ) ( 1 - 5 3 ) 代表粒子沿道路r ( t ) 从a 到b 的作用量，l 是粒子的l a 可a n g e 量，这里的道路“t ) 并不限于要求作用量s 取极值的经典轨道，而是包括从a 至f j b 的一切可能的通道， 按照路径积分理论，从a 到b 的各轨道均应一视同仁的考虑，但沿不同的轨道所 贡献的概率波幅的相位不同，因而会导致干涉现象。由于各种轨道是连续变化的， 所以( 1 - - 5 2 ) 式中的求和应化为下列泛函积分 足( r 。，r f r ) = e x p 研r ( f ) 】 】d 【r ( f ) r l 一5 4 ) 犬津火学硕士学侥论文 第一章含时系统的墩子理论 这里f d ，( f ) 】就是表示对给定初终点下的一切连续变化的可能轨道求积分。 1 3 2 交频率变质量谐振子与电磁场相互作用时的传播子 在相空间中传播子的表达式为 k ( r ，t ；r o ) = i n r 兀p e x p 去【( p f - - h ) d t ( 1 - 5 5 ) 其中h 为系统的哈密顿量在电磁场中的带电粒子系统的哈密顿量为 = - ；一 p 一4 爿( ，) 】2 + q u ( r ，f ) + 矿( 1 5 6 ) 其中a ( r ，t ) 和u ( r ，t ) 分别为电磁场的矢势和标量若我们选择另规范来 描述电磁场 u o ( ，t ) = u ( r ，t ) 一z ( r ，f ) ( 1 - - 5 7 ) a 。( r ，f ) = a ( r ，f ) + v x ( r ，f ) ( 1 5 8 ) 在此规范变换下，哈密顿量的形式发生改变 日= h o + r , t 1( 1 5 9 ) 其中日。为选择a 。( r ，t ) 和u 。( r ，f ) 描述该电磁场时系统的哈密顿量可看出传播予 ( 1 - - s s ) 式在不同规范中形式不同， 在电偶极近似条件下，电量为q ，变质量m ( t ) 和变频率( f ) 的粒子与电磁场 相互作用的哈密顿量为 h = 赤 p q a ( 纠2 + 三聊) 以帆2 ( 1 - - 6 0 ) 采用相空间中的f e ”m a n 路径积分，根据( 1 - 5 5 ) 式求出传播子在一维情况， k ( r , t ；r o , t o ) 2 兀，i t p e x p 云f ( 一日) 出 ( 1 6 1 ) 其中h 为( 1 - - 6 0 ) 式显然采用直接积分的方法求得传播子十分复杂下面先 对( 1 - - 6 0 ) 式进行两次正则变换，将( 1 - 6 0 ) 式变换成众所周知的变频率谐振子的 路径积分，根据已知的变频率谐振子传播子的形式，再变换回原来的坐标系，得 到我t l 、 所希望的结果 对( 1 6 0 ) 式进行第一次正则变换 天津大学硕士学位论文第一章含时系统的量子理论 q ，= 吖( 琐z + a o ) ) 只2 赢( p + 呻) 一叫) 其中a ( t ) 为时间的函数，且满足微分方程 j + 丝i + o ) 2 a ：旦以 正则变换的母函数为 e ( 五只，f ) = 翮( z + n ) 一x ( m 6 一q a ) 得到在相空间( q l ，只) 中的哈密顿量为 即扣+ j 1 2 q , 2 嘲舅+ 鲁 其中 s = 旦2 m ，堕d t = 三2 胧2 一三2 2 j 为了消除打，中的囝只项。还要进行第二次正则变换， p = 只+ 锡 q = q 1 第二次正则变换的母函数为 只( q t ，p ，f ) = q p i 1 必2 在相空间( q ，p ) 中的哈密顿量为 肌= 三p 2 + 三咖q 2 + 堕d t 其中 q 2 ( t ) = 吐) 2 ( t ) 一s 2 一量 相应的( 1 6 1 ) 式中的p x h 由第一次正则变换， 肪一咱t 叫+ 鲁 令 f = 一只q j + e = x ( m a q a ) 则 a 一日= 只q 一日，十百d f ( 1 6 2 ) ( 1 6 3 ) ( 1 6 4 ) ( 1 6 5 ) ( 1 6 6 ) ( 1 6 7 ) ( 1 6 8 a ) ( 1 - - 6 8 b ) ( 1 6 9 ) ( 1 7 0 ) ( 1 7 1 ) ( 1 7 2 ) ( 1 7 3 ) ( 1 7 4 ) 天津火学硕士学位论文第一章含时系统的鹫子理论 由第二次正则夏秧，令 e = 一尸q e = 一了1 固2 = 一告m ( x + 口) 2 ( 1 - - 7 5 ) 则 鼻0 ，一h ：p q 日。+ 皇拿 ( 1 7 6 ) a t 从而，由( 1 7 1 ) ，( 1 - - 7 4 ) ，( 1 7 6 ) 式 一= p q 片。+ 罢( f + 一g ) ( 1 7 7 ) “i 其中h 。= 丢尸2 + i ，f 2 2 q 2( 1 7 8 ) 根据正则变换时相空间体积的不变性，测度的变换为 r d d p = m ( f ) m ( f 。) 】1 ”n o n e ( 1 7 9 ) 将( 1 7 7 ) 式年1 1 ( 1 - - 7 9 ) 式代人( 1 - - 6 1 ) 式，经过两次正则变换后，传播子变换 彤( x , t , x o , t o ) = m ( f ) m ( f 。) r 2 e x p h ( f + e g ) i ：】k 。( q ，f ，q 。，f 。) ( 1 8 0 ) 其中 k 。( q ，f ，q o ，f 。) = f n q p e x p - f ( p 0 一日。) 出 ( 1 - - 8 1 ) ，_ o 为通常的变频率谐振子的传播子，根据文献【1 1 】 足。( q , t , q o ) = 丽而丽1 严唰砉( 吾一a 盯 q f 2 ) 】 p r 高短譬+ 笋c o s 咐。一等) 】( 1 - - 8 2 ) 其中，令f 4 = r ，t = t o , 盯( f ) 满足微分方程 古十q 2 ( f 弦：1 1 ( 1 - - 8 3 ) o - 。 其中的。( r ”，f ) = f l a 4 0 - ( s ) 】- 2 口”表示盯( f ) 在f 。时刻的值，o - r 表示盯( f ) 在f 时刻的值。同样，q ”表示f ”时 刻的q 值，q 表示f 时刻的q 值。将( 1 8 2 ) 式代人( 1 - 8 0 ) 式，变换回原来的坐标 系，最后得到传播子的形式为 k ( z ”，z ) = ( m m ) 。“五磊石巧1 i 五矿万】怩c x p 唼( f + e g ) j ：l 茎塑! ! 兰兰堡主堂焦笙奎 墨二兰宣堕墨竺塑兰兰望笙 - - _ ，h - 一 。” c x p i if 矿c r m ”( x a + aw ) 2 一多川“d 甲) 】 e x p 赢 等州+ 等“) 2 】 c 。s 中( f ”，f ，) 一兰! ：! ! ；：! ；竖( 。r + 。，) ( ：一+ 4 一) ) ( 1 - - 8 4 ) 盯盯 。一 上面所计算的传播子，该系统的哈密顿量( 】一6 1 ) 式选择矢势a ：a ( t ) ，标势 c = o o 若进行规范变换，使矢势爿= 0 ，标势u = q a ( f h = 一们( f ) x ：厂( f h 规 范函数为z = 一a ( t ) x 在变换规范之后，系统的哈密顿量为 日7 。赢p 2 + 吉m ( f ) 甜2 ( f ) z 2 + 邝) z ( 卜8 5 ) 经过与上面完全类似的讨论，可确定在这一规范下传播子的形式为 五也。，而，气) 2 o 瑚( ，0 2 e x p 唼眠+ e g ) f ：o k ( q 毛q o ) ( 1 - 8 6 ) 其中f = - m , j x ( 1 8 7 ) ( 1 8 0 ) 式和( 1 8 6 ) 式的差别只有一项，即f 和厶，f 由( 1 7 3 ) 式给出， 比较( 1 7 3 ) 式$ 1 1 ( 1 8 7 ) 式有 e x p 寺，】= e x p 寺r e x p 唼目出】 ( 1 8 8 ) 在这两个规范中分别求出的传播子相差了项e x p 【姜g 瓜 从而可以说明，在不 同的规范中所求出的传播子形式可以不同 1 3 3 电偶极近似条件下电磁场中常质量常频率谐振子的波函数 对于在电偶极近似条件下计算电磁场中常质量常频率谐振子的波函数可假 设质量m = 1 ( 不失一般性) ，频率为常数这样( 1 6 0 ) 式的哈密顿量成为 h 2 扣一q a ( ) 】2 。1 2 0 9 2 x 2 ( 1 8 9 ) 相应地传播子( 1 8 钔式成为 k ( x ，r ，x 。，。) 2 ( 志) 牡e x p 言( f g ) i e ：x p ：i j ；- ： f + 口) 2 + ( x 。+ 。) 2 c o s o 。t 一2 0 + ( + a o ) j ) ( 】一9 0 ) 大淬大学硕+ 学俜论文第章含时系统的量子理论 将f 1 - - 9 0 ) 式代入积分方程 掣。( ) = e 出。k ( x , r , x o , 0 ) w 。( ，o ) ( 卜9 1 ) 可确定波函数， 假设在t = o