（应用数学专业论文）三阶非线性微分方程边值问题解的存在性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 三阶非线性微分方程边值问题解的存在性 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关 注，非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性泛函分析是非 线性分析中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象 受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源于应用数 学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性泛函分析中研究最为活跃 的领域之一，而其中的三阶非线性微分方程边值问题越来越收到人们的关注本 文正是利用锥理论，不动点理论，以及不动点指数理论，研究了几类三阶非线性 微分方程边值问题的解 本文共分为三章： 在第一章中，利用g r e e n 函数的一些性质和k r a s n o s e l l d i - g u o 锥拉伸与压缩 定理，讨论了奇异三阶三点边值问题： iu n ( t ) 十a a ( t ) f ( t ，u ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， i ( o ) = = 也7 ( o ) = 0 ，也7 ( 1 ) = 口u 7 ( 7 7 ) ， 其中a 是一个正参数，0 7 7 l ，1 q 石1 ，o 在t = 0 和t = 1 点可以奇异对 一些区间的入得到了这个边值问题一个和两个正解的存在性 在第二章中，我们研究了一类变号三阶三点边值问题： 僻= 嚣 ( 其中7 7 ( o ，1 ) ，q ( o ，击) 是常数，h 在叼点改变符号) 的正解在这一章中 利用k r a s n o s e l k i i g u o 不动点定理和a v e r y - h e n d e r s o n 不动点定理得到了上述边值 问题一个和两个正解的存在性 在第三章中，通过构造可利用的算子和运用锥中的不动点指数定理考虑了三 阶三点非线性边值问题： f 矿( t ) + h ( t ) f ( t ，u ( ) ) ：0 ，t o ，1 】， lu ( o ) = u 7 ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = q u ( 町) ； 曲阜师范大学硕士学位论文 其中0 叩 1 ，0 q 1 ，f c ( o ，1 】【0 ，。o ) ，r ) 是连续函数 本文的创新之处在于：在第一章中正解的存在性在较弱的条件下得到，而且 它的主要结果包含并拓展了其它文章的结果在第二章中非线性项在一点改变符 号，得到了边值问题的一个和两个正解而在第三章中我们削弱了对非线性项的 限制，在它可以任意改变符号的情况下仍得到了它的一个正解 关键词：三阶三点边值问题；非线性奇异；正解；g r e e n 函数；k r a s n o s e l k i i g u o 不动点定理；a v e r y - h e n d e r s o n 不动点定理；算子；非线性项改变符 号 壁皇塑垄盔堂塑主堂垡鲨銮 a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n l i n e a rp r o b l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y , a n ds ot h en o n l i n e a r a n a l y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y n si sa l li m p o r t a n tb r a n 出i nn o n l i n e a ra n a l y s i s ， b e c a u s ei tc a ne x p l a i nw e l lv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n 。t h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o mt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ， t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd 玛c i p h n e i ti s o n e o fm o s ta c t i v ed o m a i n so ff u n c t i o n a la n a l y s i ss t u d i e s i na tp r e s e n t t h es i n g u l a r n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sa l s ot h eh o ts p o tw h i c h h a sb e e nd i s c u s s e di nr e c e n ty e a r s s oi tb e c o m eav e r yi m p o r t a n td o m a i no f d i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e s e a r c ha tp r e s e n t i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ec o n et h e o r y , t h ei i ) ( e dp o i n tt h e o r ya sw e l la st h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y ，t os t u d ys e v e r a l k i n d so ft h i r d 。o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h et h e d si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s t i nc h a p t e r1 w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v e s o l u t i o n sf o rt h i r d o r d e rt h r e e - p o i n tn o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ： 乱川( t ) + a a ( t ) f ( t ，u ) = 0 ，t ( 0 ， u ( o ) = u ( o ) = 0 ，让7 ( 1 ) = d u 7 ( 7 7 ) ， w h e r e 入i sap o s i t i v ep a r a m e t e r ，0 叩 la n d1 酬o ：。， t q w h e r e7 7 ( 0 ，1 ) ，q ( 0 ，南) a r ec o n s t a n t s ，hc h a n g e ss i g ni n 7 7 f i r s t ，g r e e n f u n c t i o ni sc o n s t r u c t e d a n dt h e n ，b ye m p l o y i n gk r a s n o s e l k i i g u of i x e dp o i n tt h e o r e ma n d a v e r y - h e n d e r s o nf i x e dp o i n tt h e o r 锄、w ee 8 t a b l i s h r e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n eo rt w o p o s i t i v es o l u t i o n st ot h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e r3 ，b yc o n s t r u c t i n ga v a i l a b l eo p e r a t o r sa n d c o m b i n i n g 。t h em e t h o d o ft h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yi n c o n e s ，w ei n v e s t i g a t et h en e we x i s t e n c et h e 。 r e i n o fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h et h i r d o r d e rt r i p l e - p o i n tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sw i t hs i g nc h a n g i n gt e r m s ： u 加( t ) + h ( t ) f ( t ，乱0 ) ) = 0 ，t 0 ，1 】， u ( 0 ) = u 7 ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = a u ( 7 7 ) ， w h e r e0 ? 7 1 ，0 乜 1 ，e ( 【0 ，1 】x 【0 ，。) ，r ) i sc o n t i n u o u s i n n o v a t i o no ft h i sa r t i c l ei s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee 五s t e n c e o tp o s i t i v es o l u t i o n su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s ，a n dt h em a i nr e s u l t sc o n t a i n sa n d e x p a n dt h er e s u l t so ft h eo t h e ra r t i c l e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，f o rt h et h i r d - o r d e r t r i p l e - p o i n tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hs i g nc h a n g i n gn o n l i n e a r i t i e s w ee s t a b l i s hr e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n eo rt w o p o s i t i v es o l u t i o n s i n t h et h i r dc h a p t e r p o s i t i v es o l u t i o no f w ew e a kt h er e s t r i c t i o n so fn o n l i n e a r i t i e s ，a n ds t i l lo b t a i na i t k e y w o r d s ：t h i r d - o r d e rt h r e e p 。i n tb o u n d a r yv a l u ep r 。b l e m s ；n o n l i n e a r s i n g u l a r ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；g r e e n sf u n c t i o n ；k r a s n o s e l k i i g u of i x e dp o i n tt h e 0 - 1 e m ；a v e r y 。h e n d e r s o nf i x e dp o i n tt h e o r e m ；o p e r a t o r ；s i g nc h a n g i n gn o n l i n e a 小 t i e s 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文三阶非线性微分方程边值问题解的 存在性，是本人在导师指导下，在蓝阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研 究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式注 明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：吴艳抱日期：功节乡 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 三阶非线性微分方程边值问题解的存在性系本人在曲阜师范大学攻读硕 士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归瞌阜师范 大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的 复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用 影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：吴艳抱日期：x 刀7 f ，弓 导师签名：鼢嘲例7 矿户 2 第一章奇异三阶三点边值问题的正解 近年来，三阶边值问题的微分方程理论已成为很多学者的研究对象例如， 文献( 【2 】一 6 ； 1 0 【1 8 ) 就研究了一些三阶两点或三阶三点的边值问题( 简称 b v p ) 最近，利用锥拉伸和锥压缩不动点定理，文献 7 1 对一类三阶两点边值问 题的微分方程分别讨论了一个正解、两个正解和无穷多个正解的存在性，其中这 个方程满足条件： 4 0 ) = z ，( 0 ) = x t t ( 1 ) = 0 受以上提到的这些工作的启发，本章我们主要对边值问题： 2 t 删( 。) 十入口( 亡) ， ，让) = o ，。( o ，1 ) ， ( 1 1 ) lu ( o ) = u 7 ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = a 让7 ( 7 7 ) ， 建立其一个和两个正解存在的准则，其中方程中的入是一个正参数，0 r l 1 而 1 o 弓1 ，8 在t = 0 和或= 1 可以奇异如果口( t ) 满足条件。躲o ( t ) = 。o 或者l i ma ( t ) = o o 则我们称a ( t ) 是奇异的 在这一章中，利用k r a s n o s e l k i i g u o 不动点定理将正解的存在性在较弱的条 件下得到，并且提高和推广了文献【7 的结果本章的主要结果包含并拓展了其 它文章的结果 下面给出本章要用到的主要定理： t h e o r e m1 1 1 【1 假设x 是一个b a n a c h 空间，并且设p 是x 中的一个 锥令q l 和q 2 是x 的两个有界开子集且0 q l ，两cq 2 令a ：p n ( f 2 2 豆1 ) 一 p 是一个全连续算子，满足如下两个条件之一： ( i ) | i a x f i l j z i i ，z p n a q l ，l i a zj i j z | | ，z p n a q 2 ， ( i i ) l i a x l i l l z l i ，z p n a q l ，i i a x l l l 。l l ，。p n o f f 2 则a 至少有一个不动点且这个不动点在pn ( q 2 西) 中 为了方便先给出本章要用到的条件： ( 风) f ： 0 ，1 】x 0 ，。o ) _ 0 ，。) 是连续函数 ( h 2 ) a ：( 0 ，1 ) _ ( 0 ，o 。) 也是连续函数并且在 0 ，明上不恒等于零，其中 0 0 叩a ( t ) 在t = 0 和或t = 1 有可能奇异 1 第一章奇异三阶三点边值问题的正解 ( 岛)0 詹9 ( s ) 口( s ) d s 。，其中g ( s ) = 黑s ( 1 s ) ，s 【o ，1 1 2 预备知识 在这一节，我们给出在证明本章主要结果时要用到的一些引理 引理1 2 1 假设a 7 7 1 ，则对任意的y c o ，1 】，b v p ： u 7 ( t ) + 可( t ) = o ，t ( o ，1 ) ， ( 1 2 ) 、u ( o ) = 钆7 ( o ) = o ，u 7 ( 1 ) = 口u 7 ( 7 7 ) ， 。上4 有一个唯一解“( ) = 詹g ( t ，8 ) y ( 8 ) d 8 ，其中 i ( 2 t s s 2 ) ( 1 一a r ) + t 2 s ( q 一1 ) ， s m i n 叩，t ， g 托沪高i t 2 ( 1 - - a q ) + t 2 8 ( a - i ) , 旷“篡翌 it 2 ( 1 一s ) ， m a x u ，t ) s 引理1 2 2 设0 7 7 1 ，1 a 石1 则对任意的( t ，s ) 【o ，1 】【o ，1 】，有 0 g ( t ，8 ) 9 ( s ) 证明首先，我们来证明g ( t ，8 ) 0 显然，只需要证明当? 7 8 t 时 a ( t ，8 ) 0 成立即可若7 7 8 t ，则 g s ) ：酊岛 ( 2 t 8 - 8 2 ) ( i - a 7 7 ) 彬( a 叼- s ) = 瓦可丽1 q 7 7 ( s t ) 2 + s 一s ) + 一t 2 ) 。 下面证明a ( t ，s ) 9 ( s ) ，v ( t ，s ) 【0 ，1 】 o ，1 】事实上，很容易可以看出 刚铀卜南 8 ( 1 一c 狮) + t s ( a 一1 ) ， t ( 1 一a ? 7 ) + t s ( a 1 ) ， 8 ( 1 一a ? 7 ) + t ( a v 一8 ) ， ( 1 5 ) ， 2 s r a i n r ，t ) ， t 8 r ， 田s t ， m a x 7 7 ，z ) s 曲阜师范大学硕士学位论文 如果s m i n ? 7 ，t ) ，则 g 冰，s ) = 南【s ( 1 - - a ，? ) + t s ( a _ 1 ) 】南q s ( 1 刊 南口s ( 1 叫墨而l + as ( 1 叫= 如) 如果t s 7 7 ，我们有 g 癣s ) = 南譬( 1 - a 7 7 - ) 批( q 叫】南a s ( 1 刊 南叫l 叫而l + a s ( 1 叫= 如) 如果? 7 8 t ，贝4 似如) = 南 s ( 1 一训+ ( a v - s ) 】 南 s ( 1 叫+ 州t _ s ) 】 南【s ( 1 _ 5 ) + 叫1 - s ) 】= 嵩s ( 1 _ s ) 刮s ) 如果m a x v ，t ) 8 ，则 g 怨，s ) = 南瞰1 _ s ) 而l + a s ( 1 刊= 9 ( s ) 总而言之， g t ( t ，8 ) 9 ( s ) ，( t ，8 ) 0 ，1 】 0 ，1 】 因此对v ( ，s ) 【0 ，1 】 0 ，1 ，有 g ( t ，s ) = o 。g ( 丁，s ) 幽o 。9 ( s ) 如= 幻( s ) 9 ( s ) 证毕 引理1 2 3 若0 7 7 1 ，1 q 磊1 且0 口 叩，则 g ( t ，s ) ，y 9 ( s ) ，( t ，8 ) 矽，? 7 】( 0 ，1 】， 其中o 7 = 掐i n j n 口一1 ，1 ) 1 证明如果s = 0 或着s = 1 ，由9 ( s ) 的定义，得到夕( s ) = 0 结论成立 3 第一章奇异三阶三点边值问题的正解 现在假设( t ，s ) 0 ，叫( 0 ，1 ) 则 a ( t ，s ) g ( s ) 坠盟2 ( 1 篙掣8端8 端狐吲曼叩+ q ) 3 ( 1 一) 一2 ( 1 + q ) ( 1 一) 二2 ( 1 + 口) 一” 。一。一。 坠蛊鼎铲2揣躺狐ts712(1 a ) s ( 1 4 -+ 一3 ) 一2 ( 1 + q ) ( 1 一s ) 二- 2 ( 1o ) 一” 采2 ( 1 生a ) s ( 1 尚8 二志帮狐 s 一= 一7 ，一v ti 钉气r + 一)2 ( 1 + o ) 8 。2 ( 1 + q ) 。 。- 二。 所以， c ( t ，s ) 7 9 ( s ) 证毕 在这一章我们考虑b a n a c h 空间e = c 【0 ，1 】，其中范数为l l u l l2 挺m | 0 1 1 a x j u ( 。) | 定义一个锥p 如下： p = u e ：u ( 。) o ，。f o ，1 】，m p i ，n 叫u ( 。) 7 i u l ， 其中，y 在引理1 2 3 中给出定义算子a ：p _ e 为： a u ( t ) = 入a ( t ，s ) a ( s ) f ( s ，缸( s ) ) d s ( 1 5 ) 由引理1 2 1 知道，b v p ( 1 1 ) 有一个正解仳( t ) 当且仅当缸是a 的一个不动点 又由引理1 2 2 知： a u ( t ) = a j 0 1g ( t ，s ) 。( s ) ，( s ，乱( s ) ) 如az 1 9 ( s ) 。( s ) ，( s ，u ( s ) ) 幽 所以， i i a 让i i a g ( s ) a ( s ) f ( s ，u ( 5 ) ) d s ( 1 6 ) 引理1 2 4 假设条件( 皿) 和( 飓) 成立，则a ：p 寸尸是全连续算子 证明对任意的u p ，a u ( t ) 0 ，t 0 ，1 】 由引理1 2 3 和式子( 1 6 ) ，可以得到 ，1 a u ( t ) = 入g ( t ，s ) a ( s ) f ( s ，钍( s ) ) d s ，y a z 如) 。( s ) m ，u ( 5 胂s 7 | ia 札nt 0 ，叩j 4 因而， 曲阜师范大学硕士学位论文 啡r r f i n 刑a u ( 。) ，y m a ( p ) cp 现在让我们来证明a 是全连续算子定义a n ：f 0 ，1 】_ 【0 ，+ o o ) 为： h ( t ) = o ( t ) ， 【i n f ( 三) ) i n 一1 l 刀 0 t 三 n 三 o 和乱如，由( 2 1 ) 和( 风) ，得到 l a n u ( ) 一a u ( t ) l 因而当n _ 。时在如上4 。一致收敛于a 故a 是全连续算子 证毕 5 s s d 胂1 劝 0 ” “ 叩 如 0 一 八 m “ 0 m “ 口 0 一 一 。 卜 “ d 妫 k 托 讹 旧 曲 心 昏 _ 删 如 _ 0 ，m 钟 郎 广譬0 。6丢5厂厶 ，如，如 晓 a 一 0 定理1 3 1 假设条件( 且) 一( 上毛) 成立则b v p ( 1 1 ) 在满足如下条件之一 时至少存在一个正解： ( i ) f 0 = 0 ，民= o o ； ( 钇) f o = 0 0 ，f 。= 0 证明酉先，我们来考虑( i ) 因为f o = 0 ，所以存在r 1 0 使得掣而1 ，v ( t ，让) ( o ，1 j 0 ，r 1 】因 此， f ( t ，u ) 兰a m 而r 1 ( o ) 1 】( o ，舛 ( 1 8 ) 另一方面，因为吃= o 。，因此存在尼 兄l 使得毪半丽1 ，v ( t ，u ) 0 ，1 h r 2 ，o o ) 。所以， 弛，“) 丽u 器= 丽r 2 ，乱) 0 ) 1 7 如) ( 1 9 ) 令q l = 乱e ：l l u l l r l ，则对任意的u pno v z l ，由引理1 2 2 和( 1 8 ) ，有 陋“| i2 嚣蜀a f og ( 瓦s ) 口( s ) 厂( s ，乱( s ) ) 幽a z l 夕( s ) 。( s ) 是幽= r ，= 恤i i 所以， j | a j lj uj l ，“p n a q l 令q 2 = 乱e ：l j u l l 恐) ，则对任意的u p n aq 2 ，目 t 0 使得掣南，v ( t ，u ) o ，1 】 o ，忍】 所以， ，( t ，珏) a 7 l 2 n ，( t ，乱) 【o ，1 】【o ，忍】 ( 1 1 0 ) 令q 3 = ( 扎e ：陋i | 0 使得i ( 。t , i t ) 南，v ( t ，u ) 【o ，1 i t , o o ) ，所 以， 邢，u ) 南，( ，“) 【0 ) 1 】【r ，。】 ( 1 1 1 ) 下面考虑两种情况：( o ) 如果，是有界的，令f ( t ，“) 1 1 ，对任意的( t ，u ) 0 ，1 】x 0 ，。) 在这种情况下，令r 4 = m a x 2 r 3 ，a m i i ，q 4 = u e ：陋| i m a x 2 r 3 ，r ) 并且使得厂( t ，u ) 风，v ( t ，札) 【0 ，1 【0 ，p 4 令f t 4 = u e ：l l 乱1 l r 4 ) ，则对任意的u pn0 0 4 ，有 l i a u l l2 t m 叭& x 】az g ( 。，s ) n ( s ) ，( s ，心( s ) ) 幽az 夕( s ) 。( s ) ，( s ，r 4 ) d s ， 入小咖( s ) 是妊风= i i u i i 所以， i l a “l l i l u l l ，乱p n 0 0 4 因此，由定理1 1 1 的第二部分知道b v p ( 1 1 ) 至少有一个正解 证毕 定理1 3 2 假设条件( h 1 ) 一( 风) 成立且0 m f o 0 使得耸粤f o + ，即， ，( t ，u ) ( f o + e ) u ，( t ，u ) 【0 ，1 【0 ，r 1 】 8 曲阜师范大学硕士学位论文 令7 t l = 让e ：l l u l l 0 使得掣凡一g ，即， f ( t ，i t ) ( f k 一) u ， ( t ，u ) 0 ，1 】【r o o ) 令r 2 = m a x 2 r 1 ，7 - 1 r 】- ，q 2 = u e ：i 7 从而， l = 矧m a 叭x 】al g 咖( 5 ) ，( s ，小) ) 幽狲蚓m a 叫x ，：霉g s ) 口( s ) m ，u ( s ) ) 出 厂田，刁 a 7 夕( s ) o ( s ) ( 凡一e ) 乱( s ) d s a ，y 夕( s ) 口( s ) ( f k 一) ，y i l “l ld s j 0j 0 a 3 , 2 ( f k e ) r 2 r 2 = l l u lj 所以， i | 4 u l i | i 钆f | ，u p n a q 2 因此，由定理1 1 1 的第一部分可知a 至少有一个不动点矿pn ( 鹞q i ) ，它 即为我们所找的b v p ( 1 1 ) 的一个正解 证毕 推论1 3 1 假设条件( 风) 一( 日3 ) 和0 m f 。 7 2 n f o o 。满足，则对 满足条件入( 硒，赤) 的每一个入，b v p ( 1 1 ) 至少存在一个正解 9 第一章 奇异三阶三点边值问题的正解 1 4 两个正解的存在性 定理1 4 1 假设条件( 皿) ( 凰) ，f o = f o = 民= f m = 。成立则当 a ( 0 ，a + ) 时b v p ( 1 1 ) 至少存在两个正解，其中 证明定义 2 删s u p 吒磊秆( ，t ) 【o ，l 】【0 ，m 】。、 ( m ) 2 啄磊丽m( ，t ) 【o ，1 】【o ，叫。、。 易知h ：( 0 ，) 一( 0 ，0 0 ) 是连续的并且l i m 一h ( m ) = l i r a ( 仇) = 0 令低 , m - - 寸o t l + ( 0 ，0 0 ) 且满足h ( m o ) = s u p h ( m ) = a + 对a ( 0 ，”) ，存在两个常数c l 和 c 2 ( 0 c 1 t f t 0 c 2 o o ) 满足h ( c 1 ) = h ( c 2 ) = a 因此， f ( t ，u ) 而c l ，( 圳【0 1 1 】阶1 ， ( 1 1 2 ) 邢，u ) 南，m ) 0 ，1 】 o ，c 2 】 ( 1 1 3 ) 另一方面， 因为f o = 瓦；c ) o ，所以存在两个常数d 1 和d 2 ( 0 d 1 c l 0 2 d 2 0 ，0 亡1 近年来，虽然三阶边值问题的研究已经逐渐多起来，例如文献 4 】一【9 ，f 2 9 一 3 2 ，以及相关的一些文章而文献 3 0 】给出了一种计算g r e e n 函数的新方法 但据我们所知，当h 改变符号时，正解的存在性问题得到的结果还很少在文献 ( 2 1 1 中研究了b v p ： l 矿( z ) + 8 ( z ) ，( 可( z ) ) = 0 ，。( 口，6 ) ， ly ( 口) = q 箩( 叼) ，可( b ) = 励( 7 7 ) ， 正解的存在性，其中0 q p 1 ，并且7 7 ( o ，6 ) ，h 改变符号在这一章中， 受到文献【2 1 】的启发，再由文献【3 0 】给出的一种计算g r e e n 函数的新方法，建 立了b v p ( 2 1 ) 的一个和两个正解存在性的一些准则 为了证观b v p ( 2 1 ) 至少存在两个正解，需要知道如下的不动点定理； 定理2 1 1 【1 9 】令s 是一个是实b a n a c h 空间，且p 是s 中的一个锥着 r 和皿是p 上的增的非负连续函数，令口是p 上的非负连续函数且有o ( o ) = 0 ， 另外对一些正的常数r 和m 有， 皿( u ) o ( u ) r ( t 三)， lul l m 皿( 铭) ， vt 五p i 霍，7 ) 假设存在正数p q r ，vu 印( 霍，7 ) ， ( i i ) o ( a u ) p ，vu ，p ( r ，p ) ， 则a 至少存在两个不动点“1 和钆2 满足 p r ( “1 ) ，0 ( u i ) q 和q 0 ( u 2 ) ，皿( u 2 ) r 2 2 预备知识 这一节，给出在主要结果的证明中要用到的一些引理 在这一章中，假设如下条件满足： ( 日1 ) ，：【0 ，。) 一 0 ，。) 是连续非减函数 ( 皿) h ：【0 ，1 】叶r 是连续函数并且满足 ( t ) 0 ，t 0 ，叩 ；h ( t ) 0 ，t 加，1 更进一步我们有，它在【0 ，1 】的任意子区间上不恒等于零 ( 风) 存在个常数丁( 0 ，g ) 满足，对任意的t 【0 ，1 一刁】函数 日( t ) = 6 危( 7 7 一& ) + 言九( 7 7 + ) 0 ， 其中j = 南，z = q ( 1 7 7 ) ( 甄) 一危( s ) ，( 饥( s ) ) d s 君h ( s ) ，( “( s ) ) 幽，vt ( 7 7 ，1 | 引理2 2 1 令y c o ，1 】则b v p ： u 圳( t ) + y ( t ) = o ， o t 1 ， ( 2 2 ) tu ( o ) ：口u ( 叼) ，让，( 。) ：u ( 1 ) ：o ， 2 2 有唯一解且解为 u ( ) = f 0 1g ( t ，s ) 可( s ) 幽， ( 2 3 ) 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 g s ) 叫如) + 端坳，s ) ， ( 2 4 ) t ( 1 一s ) 2 一三( t s ) 2 ， o s t 1 ， t ( 1 一s ) 2 ，0 t s 1 ( t ，8 ) 0 ，1 】x 【0 ，1 1 ；o ( t ，8 ) 0 ，0 ，8 ) 0 ，1 x 现在考虑空间e = c o ，1 1 ，它的范数为1 1 t , 1 1 = 。m 黝a xi u ( t ) i ，则e 是一个 b a n a c h 空间记 c + o ，1 】= 仳e ：u ( t ) 0 ，vt 0 ，1 】，乱( o ) = a 乱( 7 7 ) ，u ( o ) = u ( 1 ) = o ) ， p = 让c + o ，1 】：u 在【0 ，叫上是凹函数，在( r ，1 】上是凸函数 显然，p 是e 中的一个锥 弓l 理2 2 2 令“p ，贝8 让( ) ；l i 缸i l ，vt p ，r 一丁】 证明因为u 尹，所以u 在 0 ，啊上是凹的，在( 7 7 ，1 】上是凸的又由“( 1 ) = 0 仳( 7 7 ) 得知 i m i5 m a 型! 二监 一? 7 ( 1 一印) 2 = q ( 1 一叼) = y 1 4 一s 1 ) 2 】 7 7 ( 1 8 2 ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 凼此，( 2 6 ) 成立 下面，只要证明( 2 5 ) 成立对每一个z 0 ，1 一吡显然有 7 ( 州垆1 一南( ，一；) ( 1 刊， 7 ( 町+ z ) = 1 一南 因为，是非减的，而且丁( 0 ，) ，得到 ，( 1 一南( ，一加刊) 女一南) 令s = 7 7 一如，由( 2 6 ) ，( h 3 ) ，和( 2 9 ) 可以知道 g ( t ，s ) ( s ) ，( 研( s ) ) d s j r l - r ，1 一田 = j g ，r l 一如) ( 町一巧z ) ，( r ，y ( ? 7 6 z ) ) d x ，u i , l - n j g ( t ，? 7 + z ) h ( 7 7 6 z ) ，( 卅( 7 7 6 z ) ) d x ，0 ，1 7 ) 一 g ( t ，叩+ z ) h ( 7 7 + z ) ，( r t ( n + z ) ) d x 另一方面，令s = 印+ z ，得到 z 1 ，s ) m ) 竹7 ( s ) ) 幽= 1 - r t g ? 7 刊坳刊弛7 ( 7 7 刊) 如 所以，( 2 5 ) 成立 证毕 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第二章变号三阶三点边值问题的正解 2 3 主要结果 这一节给出并且证明了本章的主要结果。 记 如= 姆掣， 盯。：三，m a xl 厂7 7g ( t ，s ) ( s ) d s , 盯1 5 石f a m m s ) 厶= 熙掣， 一订 22 。m a xf og ( ( s ) d s 定理2 3 1 假设条件( 儡) 一( 凰) 成立，且下列条件之一成立： ( i ) f 是次线性的( f o = 0 0 ，厶。= o ) ， ( i i ) f 是超线性的( f o = 0 ，高= 。) 则b v p ( 2 1 ) 至少有一个正解 证明令 a u ( t ) = a ( t ，s ) 危( s ) ，( 珏( s ) ) d s ，t o ，1 ) 显然b v p ( 2 1 ) 的解是算子a 的不动点 首先，证明算子a 是全连续的任意u p ，由引理2 2 3 ，引理2 2 4 和条 件( 日1 ) ，有 g ( ，s ) ( s ) ，( u ( s ) ) d 8 ：r 町g ( t , s ) 九( 5 ) ，( u ( s ) ) d s + 厂1g ( ，s ) 九( s ) ，( u ( s ) ) d a = ) 九( 5 ) ，( u ( s ) ) + g ( ，s ) 九( s ) ，( u ( s ) ) j r - - r ，力 ，7 7，工 芝g ( t ，s ) ( s ) ，h ( s ) u 0 ) ) d s + g ( t ，s ) 危( s ) ，( 7 ( s ) 链仞) ) d s 玎一r，对 0 和 a 乱( t ) = f 0 1 g ( t ，s ) 危( s ) ，( 珏( s ) ) d s ：厂7 7 7o ( t ，s ) 矗( s ) ，( 珏( s ) ) + 1c ( t d s ，s ) 危( s ) 。厂( 珏( s ) ) d s = ，s ) 矗( s ) ，( 珏( s ) ) + ，s ) 危( s ) i 厂( 珏( s ) ) j 0 ，r - r 0 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 进一步，因为a u ( o ) = a a u ( n ) ，( a u ) ”( o ) = a u ( 1 ) ，所以a ：p _ e + 【o ，1 另 一方面， ( a u ) ( t ) = 一九( ) ，( ( t ) ) 0 ，te 【0 ，叼】， 一卜 ( a ) ( t ) = 一 ( 5 ) ，( u ( s ) ) d s 一h ( s ) f ( u ( s ) ) d s 0 ，t ( 叼，1 j 0j 7 7 因此，a ：p p 由a r z e l a - a s c o l i 定理，可以知道a ：p _ 尹是全连续算子 现在假设，是次线性的由f o = 。o ，可以选择r i 0 使得厂( “) l u ， v0 0 满足 a 盯2 1 下面考虑两种情况： 情况( a ) ：，是有界的在这种情况下，存在 0 使得，) n 对 乱 0 ，。o ) 令r 2 = m a x 2 r 1 ，n a 2 ) 并且令q 2 = ( 让p ：陋f i m a x 2 r i ，磊) 使得厂( u ) ，( 7 2 ) ，v u 1 7 第二章变号三阶三点边值问题的正解 0 ，r 2 令q 2 = u 尹：j j 乱i i 0 使得f ( u ) 珏， 对0 0 满足p 盯- 1 令r 4 = m a x 2 r 3 ，挚 和q 4 = u p ： l iu | i 。m s c l a x 山 g m ( s ) ) 幽 m a x g ( t ，s ) 九( s ) ，( 让( s ) ) d s o s t s l