（理论物理专业论文）随机横向单轴与双轴晶场ising模型的临界性质和磁化.pdf

随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化中文摘要 中文摘要 本文在有效场理论和切断近似框架内，研究自旋s = i 的随机横向单轴与双轴晶场 i s i n g 模型的临界性质和磁化。 首先分别选择二维方格子及三维简立方格子，研究横向随机晶场i s i n g 模型的相 图和磁化行为，重点是横向随机晶场浓度和晶场比率对相图和磁化的影响。给出了 丁一d 。空间的相图和m t 空间的磁化图。在晶场稀疏情况下，负晶场方向存在临界 温度的峰值，正方向可出现重入现象。晶场比率取+ o 5 和0 5 时，磁有序相范围缩小， 特别是晶场比率取一0 5 时，随晶场浓度的降低，临界温度峰值从横向晶场负方向渡越 到正方向。固定某一负晶场值，不同晶场比率的磁化行为有明显差异。同时高温和低 温下的磁化也存在许多差异。 其次，研究了对于简立方晶格，纵向及横向双轴晶场i s i n g 模型的临界性质。仅 稀疏横向晶场时，讨论了r 一或和丁一见空间的三临界点和它的轨迹。在r 一见空间 内发现了两个三临界点的新现象。一条二级相变线存在于两条一级相变线之间，由两 个三临界点隔开。稀疏浓度的变化导致了三临界点轨迹的一个复杂的关联。改变纵向 晶场，基态出现简并。在r 一见空间内，随着横向晶场浓度的降低，标正( 负) 见j 值的相变线的有序相范围变大( 小) 。同时在丁一d ，空间同时稀疏时纵向晶场和横向 晶场，发现当横向晶场浓度减小时，三临界点能够存在的纵向晶场浓度范围也将减小。 在此情况下，正负方向横向晶场作用下系统的临界行为有所不同：当横向晶场取正方 向时，在一定纵向晶场稀疏浓度范围内出现双三临界点；而横向晶场取负方向时，仅 存在一个三临界点。 关键词：i s i n g 模型；横向晶场；纵向晶场；晶场稀疏浓度；晶场比率；临界性 质；磁化 作者：许玲 指导老师：晏世雷 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 t h ec r i t i c a lp r o p e r t i e sa n dm a g n e t i z a t i o n so fr a n d o m t r a n s v e r s eu n i a x i a la n db i a x i a lc r y s t a lf i e l di s i n gm o d e l a b s t r a c t w i t h i nt h ef i a m e w o r ko ft h ee f f e c t i v ef i e l dt h e o r y ( e f t ) a n dc u t t i n ga p p r o x i m a t i o n , c r i t i c a lp r o p e r t i c so fs p i n - 1t r a l 堪v e t s er a n d o mc r y s t a lf i e l di s i n gm o d e la n db i a x i a li s i n gm o d e l w i t hb o t hl o n g i t u d i n a lc r y s t a lf i e l da n dl r a n s v e r s ec r y s t a lf i e l da r ei n v e s t i g a t e d f i r s t l y , w es t u d yt h ep h a s ed i a g r a m sa n dm a g n e t i z a t i o nb e h a v i o r so ft r a n s v e r s er a n d o m c r y s t a lf i e l di s i n gm o d e lf o rs q u a r el a t t i c ea n ds i m p l ec u b i cl a l t i c er e s p e c t i v e l y w ed i s c u s si n d e t a i lt h ei n f l u e n c eo ft r a n s v e r s er a n d o mc r y s t a lf i e l dc o n c e n w a t i o na n dc r y s t a lf i e l dr a t i o o nt h ep h a s ed i a g r a m sa n dm a g n e t i z a t i o nb e h a v i o r s w eg i v ep h a s ed i a g r a m si nt 一见 s p a c ea n dm a g n e t i z a t i o nc u r v e si n 朋一ts p a c e u n d e rc r y s t a lf i e l dd i l u t i o nc o n d i t i o n , t h e r ee x i s t st h ep e a kv a l u eo fc r i t i c a lt e m p e r a t u r ei nt h ed i r e c t i o no fn e g a t i v ec r y s t a lf i e l d a n dr e e n t r a n tp h e n o m e n ai nt h ed i r e c t i o np o s i t i v ec r i t i c a lf i e l d w h i l ec h o o s i n gc r y s t a l f i e l dr a t i o 口= + o 5a n d 口= - 0 5 t h er a n g eo fm a g n e t i co r d e r e dp h a s es h l i n k $ i n p a r t i c u l a r , w ef i n dt h a t , w i t hd e c r e a s i n go fc o n c e n t r a t i o n , t h ep e a l 【v a l u eo fc r i t i c a l t e m p e r a t u r eu n d e r g o e sae r o s s o v e rf r o mn e g a t i v et op o s i t i v ed i r e c t i o no f t r a n s v e r s ec r y s t a l f i e l dw h e nt h er a t i o 口= - 0 5 t h em a g n e t i z a t i o nb e h a v i o r sh a v ea p p a r e n td i f f e r e i l c e sf o r ag i v e nn e g a t i v ec r y s t a lf i e l dv a l u ew h e nt h ec r y s t a lf i e l dr a t i oi sd i f f e r e n t 1 1 坞 m a g n e t i z a t i o n sh a v ea l o to f d i f f e r e n c e sa th i g ha n dl o wt e m p e r a t u r e s s e c o n d l y , c r i t i c a lp r o p e r t i e so fb i a x i a li s i n gm o d e lw i t l lb o t hl o n g i t u d i n a lc r y s t a lf i e l d a n d 蛔n s v a c r y s t a lf i e l da r ei n v e s t i g a t e df o ras i m p l ec u b i cl a t t i c e w h e nt r a n s v e r s e c r y s t a lf i e l di sd i l u t e d , t h et r i c r i t i c a lp o i n t ( t c p ) a n di t st r a j e c t o r ya r ed i s c u s s e di nt 一见 a n dt - d zs p a c e an e wp h e n o m e n o no ft w ot c p si sf o u n di nt d ls p a c e t h e r e e x i s t sas e c o n d - o r d e rl i n eb e t w e e nt w of i r s t - o r d e rl i n e s ，s e p a r a t e db yt w ot c p s t h e 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 c h a n g eo fd i l u t i o nc o n c e n t r a t i o nl e a d st oac o m p l e xr e l a t i o no ft r a j e c t o r yo ft h et c et h e d e g e n e r a t ep a t t e r n sa tg r o u n ds t a t ea p p e a rb yc h a n g i n gl o n g i t u d i n a lc r y s t a lf i e l d t h er a n g e o f o r d e r e dp h a s ef o rt r a n s i t i o nl i n e sl a b e l e dp o s i t i v eo r ( n e g a t i v e ) v a l u eo f 见jb e c o m e sl a r g e ro r ( s m a l l e r ) w i t ht h ed e c r e a s eo ft l i nt d ：s p a c e w h e nl o n g i t u d i n a lc r y s t a lf i e l da n dt r a i s v e r s e c r y s t a lf i e l dmd i l u t e ds i m u l t a n e o u s l yi nt 一见s p a c e ，w er e d u c et h ed i l u t i o nc o n c e n t r a t i o no f t r a n s v e r s ec r y s t a lf i e l da n df i n dt h a tt h ed i l u t i o nc o n c a n w a t i o nr a n g eo fl o n g i t u d i l l a lc r y s t a lf i e l dt o m a i n t a i nt c p s e x i s t e n c ej sd e c r e a s e d i nt h i sa i s e t h es y s t e ms h o w sd i f f e r e n tb e h a v i o r sw h i l e c h o o s i n gp o s i t i v eo rn e g a t i v ew a n s v e r s ec r y s t a lf i e l d w h e n 订锄s v e r c r y s t a lf i e l di sp o s i t i v e d o u b l e t c p sa p p e a ri nc e r t a i nd i l u t i o nc o n c e n t r a t i o nr a n g eo fl o n g i t u d i n a lc r y s t a lf i e l d h o w e v e r , t h e r ee x i s t s o n l yo n et c pw h e nt l a n $ v e r s ec r y s t a lf i e l di sn e g a t i v e k e y w o r d s ：i s i n gm o d e l ；t r a n s v e r s ec r y s t a lf i e l d ；l o n g i t u d i n a lc r y s t a lf i e l d ；d i l u t i o nc o n c e n t r a t i o n o f c r y s t a lf i e l d ；c r y s t a lf i e l dr a t i o ；c r i t i c a lp r o p e r t y ；m a g n e t i z a t i o n i l l w r i t t e nb yx u l i n g s u p e r v i s e db yy a ns h i l e i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或 其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责 任。 研究生签名： i 车硷 日期： 兰：! ! z ：鱼：z 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日期： 墨4 ：堇： 日期： 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化第一章引言 第一章引言 许多年以来，相变和临界现象始终是人们关注的一个物理问题。仅仅从1 8 6 9 年 安德鲁发现临界点、1 8 7 3 年范德瓦尔斯应用分子动力学理论讨论气液两相转变和临 界点的问题算起，至今为止对相变的研究已有一百多年的历史。相变是普遍存在于自 然界的现象，例如铁磁和反铁磁相变，铁电和反铁电相变，合金的有序一无序相变， 金属一绝缘体转变，以及很强的外电场、外磁场中的相变等等，其具体机制可能多种 多样，从纯经典的相互作用，到宏观的量子效应。相变是有序和无序两种倾向矛盾斗 争的表现，相互作用是有序的起因，热运动是无序的来源【1 1 。 各种形形色色的相变中，铁磁相变是人们颇感兴趣的一个课题。本世纪初，外斯 为解释铁磁性物质的磁化曲线和磁化特征，首先引入了“分子场”理论模型，假设铁磁 性物质中存在分子场，趋使原子磁矩有序排列，形成自发磁化，从而推导出居里一外 斯定律。1 9 2 8 年，海森堡成功地把量子力学引用到铁磁性理论中，建立了局域性电 子自发磁化的理论模型，即海森堡交换作用模型。若用面和可写成第f 和第，个格点 原子的自旋算符，则交换作用哈密顿量可以写成 h = 一罗4 ，蕊 ( 1 - - 1 ) 7 。 当交换积分彳为正时，自旋趋于平行而呈现铁磁性，当彳为负时，自旋趋于反平行 而呈现反铁磁或亚铁磁性；如果彳的符号和大小是变化的，还可以得到螺旋性和其它 自旋结构。该模型唯象地解释了自发磁化地成因，对铁磁理论的发展起了决定性的作 用【2 】。在发展自发磁化理论时，人们根据各种铁磁性材料的实验事实，从交换作用模 型出发，使交换作用理论发展为两个学派：局域电子模型和巡游电子模型。前者在解 释稀土金属及合金的磁性上比较成功，而后者在解释3 d 过渡族金属的磁性上比较成 功。这两种模型在长期相互对立又相互补充地说明物质磁性地内在规律地同时，都在 不断地发展。近期，守谷提出自旋涨落理论，打开局域电子模型和巡游电子模型向统 一理论发展的局面，这方面的研究正在开展中 3 1 。经过众多科学家的不懈努力，铁磁 相变的新的特征不断被揭开，其本质不断被人们发掘。 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化第一章引言 1 1 理论模型 仑兹曾向他的学生 s i n g 建议研究铁磁性的一个简单原子模型。1 9 2 0 年，i s i n g 在其博士论文中发表他的研究结果，即著名的i s i n g 模型【4 】。 s i n g 模型是描述铁磁体 的一种最简单的理论模型，它可近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，还可 以描述反铁磁体，气一液相变，液一固相变，二元溶液相变以及合金的有序一无序相 变等等。 s i n g 发现在一维情形下，在任何不为绝对零度的温度无自发磁化，并错误 地认为对更高空间维数， s i n g 模型也不会出现相变。1 9 3 6 年，佩尔斯首先论证了二 维i s i n g 模型确有自发磁化闭。随后，k i r k - w o o d 用高温级数展开方法再次肯定了佩尔 斯的结论【6 】。1 9 4 4 年，昂萨格求得了关于二维 s i n g 模型严格的解析解。而三维 s i n g 模型至今尚未有严格解。根据海森堡铁磁性理论，i s i n g 模型可用下面的哈密顿量来 描述： 日= 群影 ( 1 2 ) f 其中，研，彤代表第i ，个格点z 方向的自旋分量，是交换积分，用以衡量 交换相互作用的大小，j 0 代表铁磁体，d 1 2 的低维、三维和多层铁 磁系统，除了考虑交换相互作用外，还考虑纵向( z 方向) 晶场作用，这里的晶场是磁 性离子的单离子各向异性的等效。当然各向异性也存在于磁性晶粒或磁性复合晶粒体 系中，如n d 2 f e l 4 b 口f e 纳米复合永磁晶粒材料1 9 1 。同时该模型也适用于研究3 h e 王e 混合物的临界行为 2 0 2 ”。b c 模型的哈密顿函数可表示为： 日= 群譬一d ( 影) 。 ( 1 3 ) ， 从理论方面已有多种方法研究b c 模型，如：平均场近似17 ，埔1 、常数耦合近似阎、 2 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 第一章引言 高温级数展开田】、有限集团近似洲、集团变分结合对近似阅、有效场理论 2 6 , 2 7 、重 整化群方法 2 s - 3 0 和蒙特卡罗模拟0 3 1 翊。 事实上，人们已在理想b c 模型基础上考虑纵向晶场或键的随机分布，得到了丰 富的相变和磁化特性。研究发现无序分布对相变产生重要影响并能导致一些新结果的 出现，例如，随机晶场和键稀疏的引入，相变线中出现双三临界点和蛇型相变线等【2 刀， 因此随机因素在研究相图和磁化等方面起着重要作用。然而，对于二维系统，不同方 法得到的结论是不完全相同的。根据重整化群方法，当交换相互作用随机时，三临界 点突然消失 3 3 1 ；蒙特卡罗模拟得到，在一定键浓度的范围内，三临界点逐渐消失跚； 根据有效场理论，三临界点随随机的引入也是逐渐消失的 2 6 1 。尽管对于二维系统，无 序条件下有许多不同的结论，但对于三维系统，不同方法得到三临界点存在时的无序 条件是一致的，即三临界点随晶场浓度的降低逐渐被抑$ j j 3 2 。 此外，有些铁磁体内部自旋大小是不同的，尤其是亚铁磁体的磁性取决于不同子 晶格自旋大小的差值，此时人们把b c 模型推广到混合自旋系统的研究中，并在诱导 磁有序和补偿行为等研究方面取得积极结果口5 州。1 9 7 1 年，b l u m e 等人在b c 模型的 基础上又考虑了最近邻格点自旋间的偶极与偶极相互作用，提出 b l u m e e m e r y - g r i f f i t h s ( b e g ) 模型 3 7 。 另一方面，人们在实验中发现过渡金属稀土薄膜和非晶c o 非磁性过渡金属 ( c o m , m = z r , n b ，n ) 薄膜中存在面内宏观单轴各向异性，并且在沉积过程中，该各 向异性显著增加 3 s , 3 9 。因此人们开始从理论上关注横向( x 方向) 晶场作用i s i n g 模型的 相变问题，在这种情况下，晶场处于难磁化方向。横向随机晶场i s i n g 模型的哈密顿 函数可表示为： 日= 一j 酃譬- d x x ( s ：) 2 ( 1 4 ) ( f j 1 9 9 9 年，e d d e q a q i 等作者利用有效场理论首先研究自旋s = i 横向晶场i s i n g 模 型的相图，得到有意义的结果【柏】。j i a n g 等作者也利用相同的方法研究横向晶场i s i n g 模型的铁磁( 亚铁磁) 双层系统，得到一些与过渡金属稀土( t m - p a ! ) 多层膜实验相关的 一些结果 4 1 1 。一系列研究表明横向晶场i s i n g 模型的相图完全不同于纵向晶场b c 模 型的相图。 3 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 第一章引言 然而，双轴晶场i s i n g 模型已经被发现能够更好地描述一些系统。双轴晶场i s i n g 模型的哈密顿量可表示为： 日= l ，群譬一见( 群) 2 一见( 群) 2 ( 1 5 ) f ) ，1 人们己考虑了经典的连续统一体模型的动力学系统，该模型考虑包含交换能量及 难轴和易轴各向异性能量的铁磁体 4 2 1 ；双轴自旋系统的量子一经典逃逸比率转变 【4 3 删；自旋为詈蜂窝格子的双轴晶场作用嘲；单轴和双轴晶场作用的混合自旋去和 二 z 丢i s i n g 模型的磁性质。最近，实验研究发现通过改变f e t a n t a n f e t a n 三明治结 二 构的中间非磁层t a n 的厚度，会出现双轴各向异性【4 7 】。显然，双轴自旋系统在理论 和实验方面都很重要。 1 2 本文的主要工作 虽然对于横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型，人们已经做了一些研究工作，并且得 到一些有意义的结论，但我们在阅读文献的过程中发现，以往的研究大多致力于理想 状态下的横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型，并未涉及到无序。事实上，以往的一些研 究已经证明在各种i s i g 模型中，无序分布起了很重要的作用【2 ”。我们注意到目前对 无序状态下的横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型缺乏深入的研究和讨论，而这些系统中 很可能存在一些新的未被发现的临界性质。为了更好的了解横向晶场、纵向晶场以及 随机分布对系统相交特性的影响，我们做了该方面的研究工作。本文的工作是在 h o n m u r a 和k a n e y o s h i 提出的有效场理论基础上完成的【邬j 。 在第二章中，我们研究了横向随机晶场i s i n g 模型的相图和磁化行为，得到了一 些新的结果。首先选择自旋s = l 二维方格子，研究发现在晶场稀疏情况下不同晶场浓 度在负晶场方向出现临界温度的峰值，正方向可出现重入现象，而晶场比率取+ o 5 和- 0 5 时，磁有序相的范围缩小，晶场比率取- o 5 时，随着浓度的降低，临界温度的 峰值从横向晶场负方向渡越到正方向，固定某一负晶场值时，不同晶场比率下的磁化 行为也有明显差异，同时对横向稀疏晶场i s i n g 模型的结果与纵向稀疏晶场i s i n g 模型 的结果进行了有意义的比较。 4 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 第一章引言 其次，给出了三维简立方格子的相图以及高温和低温下的磁化曲线。发现在晶场 稀疏情况下，负晶场方向存在临界温度的峰值，正方向随晶场浓度的降低出现重入现 象并且越来越明显。较高温度下，负晶场方向的磁化区域远大于正晶场方向，并且磁 化在负晶场方向出现一个峰值；而在低温时，正晶场方向的磁化区域大于负晶场方向， 正负方向均不出现磁化的峰值。 第三章中，我们研究了双轴晶场i s i n g 模型。仅稀疏横向晶场时，研究发现，在 r 一见空间内，三临界点出现在负见t ，值的相变线上。特别是某些条件下在两条一 级相变线之间存在由两个三临界点隔开的一条二级相变线，在r d ，空间内，三临界 点及其轨迹随着稀疏浓度的降低呈现不规则的的变化。改变纵向晶场，基态出现简并， 而横向晶场不能导致基态出现简并。在r d ，空间内，随着横向晶场浓度的降低，标 正( 负) n j 值的相变线的有序相范围变大( 小) 。 其次，我们在丁一d ，空间将纵向及横向晶场同时稀疏。发现当横向晶场浓度减小 时，三临界点能够存在的纵向晶场的浓度范围也将减小，而系统将在更大的纵向晶场 浓度范围内，维持低温下的有序态。此外，纵向晶场稀疏情况下，正负方向的横向晶 场作用下系统的临界行为有所不同：当横向晶场取正方向时，在一定纵向晶场稀疏浓 度范围内出现双三临界点；而横向晶场取负方向时，仅存在一个三临界点。 5 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的l 临界性质和磁化 第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和磁化行为研究 在本章中，我们引入同时晶场比率和晶场浓度，进而讨论横向晶场、晶场比率和 晶场浓度三个因素对系统的相变及磁化的影响。 2 1 理论推导 对于自旋s = l 横向随机晶场i s i n g 模型的哈密顿函数可表示为： 日= 一j y s ：s ；一q ，瞬尸，( 2 - i ) 驴 i 其中祥和譬分别是f 格点z 方向和x 方向的自旋分量，j 是最近邻格点间的交换相互 作用，取j o 。d 0 是横向晶场参数，考虑到横向晶场的随机性，可以满足如下的随 机概率分布： p o l j ) = t s ( d x ，一d ，) + ( 1 一r p o l 一伍d ：) ，( 2 - 2 ) ( 2 2 ) 式中0 r 1 0 及一1 口s l ，t 表示横向随机晶场浓度，口是一个可调参数，代 表晶场比率。为了解方程( 2 1 ) ，需将哈密顿改写为与f 格点相关的有效哈密顿e ， h 争 一觚= 1 0 i 见 it o 生 2 见。0 0 一e + 生 ( 2 - 3 ) 其中= 1 k b t ，骂是i 格点的局域场。对上述有效哈密顿啊的对角化，得到只的三 个本征值 ，五和五： ：2 c c o 。罢+ 孕， ( 2 4 ) jj a 2 = 2 c c o s 竽+ 孕，( 2 - - 5 ) 6 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 五= 嬲c o s 竽+ 堡3 。 这样，配分函数可写为： 其中： ( 2 6 ) z = 善3 唧溉) = 喜d z 膨c 。s 丁( n - 1 ) 2 # + 0 + 丁2 , f l d x , ) ，q 一乃 0 = r 彳、 一义歹j ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 一i o ) 在有效场理论框架内，引入微分算子技术，得到格点平均磁化m 以及四极矩q 的表达式， 埘= 僻) = b ? ) 2c 。s h ) + 酃s 劬) + 一僻) 2 f 例。， ( 2 一1 1 ) g = 他r ) = k ) 2 c o 出) + 跏趾) + 一瞬) 2 珍g 例川( 2 一- 2 ) 方程( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) q 。，z 为晶格配位数，v = a 苏是微分算子。函数f g ) ，g g ) 可 定义为： f g ) = p ( 皿，y g ，破，地， g g ) = p ) 9 6 r ，) 口眈， 而函数厂g ，见，) 和g g ，见。) 可写成： ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 触乒妻 叫2 觚m 孕胁 器易。弘 如叫= 妾 d z 觚”斟一鲁删+ 1 4 x 4 + x 2 d 2 , 1 洲+ 驴， 7 氇声峨 抵 拈 c 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 其中， 口= 1 - - 1 3 x 6 + 瑶) - ， 置0 ) = c o s ( n - 了1 ) 2 ，一r + 0 ， 驰) = 咖学 显然方程( 2 1 1 ) 和( 2 一1 2 ) 为多自旋相关表达式， 切断近似，即： ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 在数学上难以处理，通常引入 ( s i 幻) 2 群) * ( 彤) ( ( 影2 ( 鄙) ，( 2 - - 2 0 ) 有i j 后。在切断近似下方程( 2 一1 1 ) 和( 2 1 2 ) 可以表示为下列形式： m - - q c o s h ( j n 7 ) + m s i n h ( j v ) + 1 一g r f 例，( 2 2 1 ) q = q c o s h ( v ) + m s i n h ( j v ) + 1 一g 】2 g g 】。( 2 2 2 ) 联立方程( 2 - - 2 1 ) 和( 2 - - 2 2 ) ，可得到关于磁化m 的自洽方程： m = a m + b m 3 + 册5 + ( 2 2 3 ) 根据l a n d a u 理论，二级相变线附近坍很小，因此只需保留线性项，可得到二级 相变方程， 口= z s i n l l ( 刀粒。c o s h ( 一) + l q 。】“f g 】。= 1 ，( 2 2 4 ) 同时方程( 2 - - 2 3 ) 中的系数6 必须小于零，保证相变是二级相变，即有： b = z ( z - 1 ) q 。s i n h ( 月x c o s h ( 刀) 一1 】 瞄。c o s h ( j v ) + l q 。r 。2 f g l ，。( 2 2 5 ) + z ( z _ - l i x 广z - 一2 ) s i n l l ，。c o s h ( 3 v ) + 1 - q o ：- ，f 纠。 o 而 g 。= k 。c o s h ( l ) + 1 一鼋。r g g 】。， h q l2 五 8 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 e 和h 的表达式为： p = z c o , h ( j v ) 一l l q 。c o s h ( i 刀) + 1 一q 。r 。g b 】，；。，( 2 - 2 8 ) 而：z ( 丁z - 1 ) s i n h ：( d v ) q oc o s h ) + l - q o r - 2 g g l 枷 ( 2 2 9 ) 现在已导出了横向随机晶场i s i n g 模型相变方程和磁化的一般表达式，可适用于 任意配位数晶格，本章仅选取配位数z - - - 4 的二维方格子和z - - - 6 的三维简立方格子作为 讨论对象。下一节通过解方程( 2 - - 2 1 ) 一( 2 2 9 ) ，给出数值计算结果及相应的相图和磁 化曲线。 2 2 对于二维方格子的结果讨论 图2 2 - l ( a ) - 2 2 1 ( c ) 给出丁一d 。空间中晶场比率口分别取0 0 ，+ o 5 和0 ，5 时的相 图，曲线上的数值是横向随机晶场浓度t 。在图2 2 1 ( a ) 中，t = 1 0 对应的是理想横向 晶场作用i s i n g 模型的二级相变曲线，计算结果与文献 2 8 中的结果基本一致，唯一 差异是二级相变温度趋于零时，在正方向d 。j = 5 8 1 2 3 而不是5 5 0 2 1 ，这显然是文 献【4 0 】中的数值计算失误，且文献 4 0 】仅讨论了t = 1 0 时的理想情况。当考虑横向随机 晶场时出现新的相变现象，口= o 表示横向晶场具有稀疏分布，当横向晶场沿正方向 增大时，随着，的减小，磁有序相的范围扩大，这是因为稀疏分布削弱了横向晶场的 作用。图2 2 - 1 ( a ) 的插图显示，重入现象随着t 的减小而出现并越来越明显，重入现 象与横向正晶场和晶场稀疏浓度t 有密切关系，重入相交的出现是由于横向正晶场在 稀疏情形下趋于零温时非均匀收敛的结果。当稀疏浓度进一步减小到t cs0 4 5 时， d 。，专40 0 ，即二级相变线与横轴没有交点，也就是说在低温时体系始终处于磁有 序态，此时横向晶场的作用使格点处于8 = + l 或s = 一1 态，而s = 0 态不存在，这样 在本征空间内形成s = l 态的无限集团。当横向晶场沿负方向增大时，其相变行为与 正方向存在明显差异。表现为：( 1 ) 随着横向负晶场的增加，二级相变线首先上升， 然后下降，临界温度存在峰值。( 2 ) 随着晶场稀疏的引入，在一3 5 d 。d 0 范围内， 磁有序相的范围减小，而d 。d t 0 0 区域中， 随着横向正晶场的增大，相变温度先上升并达到一个峰值，然后再下降，因此随着晶 场浓度的降低，临界温度峰值从横向晶场负方向渡越到正方向，在横向负晶场方向温 度的变化与正方向情形相反。此外，我们注意到横向晶场正方向的磁有序相范围比图 2 2 1 c o ) 增大，负方向磁有序相的区域则缩小。相图2 2 1 ( a ) - 2 2 1 ( c ) 的差异是横向晶 场、晶场比率和晶场浓度三个因素共同作用的结果。 1 0 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 图2 2 1 ( a ) - 2 2 1 ( c ) ：临界温度随横向晶场的变化关系，曲线上的值为晶场浓度值，分 别对应于横向晶场比率口为( a ) o o ；( b 瑚5 ；( c ) 0 5 。 磁化行为是横向随机晶场i s i n g 模型中的另一重要问题，图2 2 2 ( a ) - 2 2 - 2 ( c ) | t n 定一个负的横向晶场值d ，= - 3 5 ，口分别取0 0 ，+ o 5 和0 5 时磁化随温度的变化 关系，曲线上是晶场浓度的数值。图2 2 - 2 ( a ) 显示出低温条件下随晶场浓度的减小， 随机横向单轴与双轴晶场i s j n g 模型的临界性质和磁化第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 磁化增强，当t - - - o 0 时，磁化达到最大，表明在低温时横向晶场的大小与磁化大小成 反比，另一方面，不同晶场浓度下的磁化曲线趋于零时几乎交于温度轴同一点，表明 它们具有相同的临界温度，图2 2 2 ( b ) 展示了正常的磁化随温度的变化关系，随着晶 场浓度的减小，低温时磁化增强，而磁化趋于零时较小的晶场浓度对应的临界温度较 高，这情形说明较大的横向晶场对系统的磁化具有抑制作用。从图2 2 - 2 ( c ) 中，不同 晶场浓度t 的磁化曲线随温度的变化关系呈现复杂性，注意到在温度为k 。r j = 1 2 5 时存在一个几乎相同的磁化点，这样温度大于k n t j = 1 2 5 时，出现反常情形，即晶 场浓度越小，磁化下降越快，l 临界温度也越低，这与图2 2 2 ( b ) 的情形截然不同。图 2 2 - 2 ( a ) - 2 2 - 2 ( c ) 的磁化差异来自于所对应的不同相图2 2 一l ( a ) 一2 2 一l ( c ) ，原因类似于相 图2 2 一l ( a ) 2 2 1 ( c ) 中的分析。 e 图2 2 - 2 ( a ) ：横向晶场固定于d ，= _ 3 5 时磁化随温度的变化关系，曲线上的值为晶 场浓度值，横向晶场比率盯= o 0 。 随机横向单轴与取轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 e 图2 2 - 2 ( b ) ：横向晶场固定于d ，j = - 3 5 时磁化随温度的变化关系，曲线上的值为晶 e 场浓度值，横向晶场比率口爿旬5 。 图2 2 - 2 ( 0 ：横向晶场固定于d ，= - 3 5 时磁化随温度的变化关系，曲线上的值为晶 场浓度值，横向晶场比率口= - 0 5 。 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 最后，我们对方格子横向稀疏晶场i s i n g 模型与纵向稀疏晶场i s i n g 模型( 或 b l u m e - c a p e l 模型) 所得结果作一比较嘲，两个模型的结果存在很大差异，主要有：1 ) 纵向随机晶场i s i n g 模型在负晶场方向出现三临界点( t c p ) ，而横向稀疏晶场i s i n g 模型则不存在t c p 。2 ) 随着稀疏浓度的减小，纵向晶场i s i n g 模型在负晶场方向出现 重入现象，正晶场方向无重入现象，而横向晶场i s i n g 模型在负晶场方向不出现重入 现象，正晶场方向在较小的稀疏浓度下存在重入现象。3 ) 纵向稀疏晶场i s i n g 模型在 正晶场方向临界温度单调上升，磁有序相范围扩大，纵向负晶场方向的临界温度下降， 而横向稀疏晶场i s i n g 模型的临界温度随正晶场的增加而下降，磁有序相范围减小， 在横向负晶场方向可出现临界温度的峰值然后再下降。4 ) 纵向稀疏晶场i s i n g 模型在 负晶场方向的一定稀疏浓度范围内临界温度趋于零时，晶场在基态出现简并，而横向 稀疏晶场i s i n g 模型则不出现简并。上述差异说明单轴晶场与自旋( z ) 轴的取向关系密 切，纵向晶场i s i n g 模型中晶场在易磁化方向，晶场与自旋方向( z 方向) 平行，而横向 晶场i s i n g 模型中晶场在难磁化方向，晶场与自旋方向( z 方向) 垂直，因此，具有不同 结果是必然的。 2 3 对于三维简立方格子的结果讨论 图2 3 1 为临界温度随横向晶场变化的相图，曲线上的值是横向晶场稀疏浓度，。 从图2 3 1 中，在正晶场方向，随着，的减小，磁有序相范围扩大，这显然是因为稀 疏分布削弱了横向晶场的缘故。同时，随t 的减小，二级相变线出现重入现象，说明 重入现象与稀疏浓度有密切关系，导致二级相变线趋于零温时横向晶场的非均匀收 敛。另从图2 3 1 的插图中发现，在稀疏情况比较大时，如t - - 0 5 时，d 。寸+ ， 此时在低温下始终处于磁有序态，在本征空间形成s = 1 态的无限集团，而负晶场方 向的相变行为与正晶场方向比较有许多不同：1 ) 不同晶场浓度下，在负晶场方向各相 变曲线先上升然后下降，临界温度出现一个峰值，随着t 的减小，峰值减小。2 ) 在 一6 5 d 。j 0 范围内，磁有序相的范围随着t 的降低而减小，而当d 。j - 6 5 ， 随着t 的减小磁有序相的范围又增大。3 ) 无论t 取何值，负晶场方向不出现二级相变 1 4 随机横向单轴与双轴晶场i s i r 培模型的临界性质和磁化第二章横向随机晶场i s i n g 模型的相图和 的重入现象。4 ) 当d ，_ m 时，需要更小的f 值。形成上述相变差异的可能原因 是正或负横向晶场作用下格点的自旋态不同。当然，目前所计算的结果与纵向晶场 i s i n g 模型( b l u m c - c a p c l 模型) 结果有根本的不同口叼，其根本原因是晶场处于难磁化方 向和易磁化方向形成的。 图2 3 - l ：l f 笛界温度随横向晶场的变化关系，曲线上的值为晶场浓度值。 图2 3 - 2 展示了温度为k s t j = 3 0 时，磁化随横向晶场的变化关系。很显然，磁 化在正负横向晶场方向是不同的，负晶场方向的磁化区远大于正晶场方向，在正晶场 方向，磁化区域随t 的减小而增大，而在负晶场方向，磁化先上升，达到一个峰值后 再下降，且峰值随r 的减小而降低。在一5 1 d x j 0 范围内，磁化区随t 的降低而 减小，当d 。j o 。d ：和见分别代表纵向晶场和 横向晶场。见。，皿。分别满足如下的独立稀疏分布概率： p o i ，) = 万o i ，一d ，) + ( 1 一p ( 上i ，) ， ( 3 2 ) p ( 见，) = 乞艿( 见，。一皿) + ( 1 一乞) 万( 见，) ， ( 3 3 ) 其中0 t x 1 0 ，o 乞1 0 。& 表示横向稀疏晶场浓度，厶表示纵向稀疏晶场浓度。 为了解方程( 1 ) ，需将哈密顿改写为有效哈密顿凰。 一p h 。= p j s ：s ：+ p d x ，译疆+ p d z ；咚心 ( 3 4 ) j e 包含了口中所有与格点i 相关的部分，可写成以下3 x 3 的矩阵： 一p h i = 骂峨，+ 争。争 0 d l j 0 争。母 争 ( 3 - 5 ) 其中= l k 。t ，互= ，影是局域场。在下面的计算中，互被x 代替。三个本征 ， 值 ，五和以为： 1 8 随机横向单轴与双轴晶场i s i n g 模型的临界性质和磁化 第三章双轴晶场i s i n g 模型的临界性质 = 2 c c o s 詈+ 塑掣， 五：2 c 。型+ ! 鱼当! 33 7 = 2 c c o s 竽+