（运筹学与控制论专业论文）某些典型混沌系统同步控制研究的若干进展.pdf

某些典型混沌系统同步控豢l 研究酶若干进展 专业：运筹学与控制论 薅圭蹩：王建稷 指导教师：赵恰教授 摘要 混洮是一种重要豹非线性现象，近几十年来，有关混沌敬研究成为# 线犍研 究匏重要内容。这篡中，由于演淹闲步在傈密遴信、生命科学等领域潜在的应霜 价值，而是其成为混沌研究的重骚课题之一。 是从l 斟+ p e c o r a 和t l 。c a r r o l l 在1 9 9 0 铝辩铷性地提如了混淹同步豹变量 替霞按藩g 方法醴后，人们结合l o r e n z 系统和r o s s l e r 系统c h u a 电路等熊懋混沌 系统对混沌同步进行了深入研究。在研究的途径上，人们试圈通过将混沌系统划 分为l u r e 系统、严格反馈系统、最小搬系统铸类型蔼秘用懑寿豹控制理谂进行 混淹同步研究；在控制方法上，入们利用了淡量替代、线性与非线憾殷馈、 b a c k s t e p p i n g 、自邋应、变结构、几何方法以及脉冲控制等等实现混沌阋步；在 研究对象上入嚣】考虑了主从匹配系统、不匹配罴统、不确定系统等等。本论文首 先对现商的文献避符了简要的总缩，也指出了漓沌同步研究的一些文献中盼一些 问题。 在骥骞文献基旗土，本论文囊簧骰了戳下工终： 当主从混沌系统盼参数矩阵不匹配时，一般意义上的混沌同步难以实璇，因 此，讨论了其具有定误差界的一致同步问题。对一类包含l u r e 系统和 l i p s c h i t z 系统在蠹豹混涟系统，秘羯l y a p u n o v 方法拇遗了一个获态及後控裁 方案，得到了该类主从耦合混沌系统一致同步的一个充分条件，并讨论了同步的 鲁棒性闷题。结合c h u a 电路进彳亍了数值模拟。 对予羲述参数不蓬配混沌系统，还考虑了其辩漳输裹反馈控翻下豹主麸一致 同步问题，得到了该情形下一致同步的线性缀阵不等式型的充分条件。 讨论了主从l u r e 系统之间混沌同步的时滞输出反馈控制问题，利用 l y a p u n o v 方法和矩鞲不等式技巧，褥到了一个铰赖子慰滞瓣混沌同步的态分条 件，该条件易于用线住矩阵不等式( 珊i ) 求鼹工具进行验证，并可对最大允许时 滞进行估计，最后结合c h u a s 电路进行了数能模拟。 入 f 3 希望瘸尽可戆麓单静控制器达到嚣步匏髫豹，对l o r e n z 系统，魏骞赁 单个简帮控青器实现阀步的方案，本文在此基础上，研究了l o r e n z 系统簇( 统 一混沌罴统) 的同步控制问题。所樽到的关于统一系统的控制器包含了参考文献 戆部分络象，对予参数避翱豹c h e n 惹统与l o r e n z 系统，控制器傻需要一个状悫 变量；潞统一混沌系统的主系统参数未知时，援出了一个自适应控制方豢。 利用棒棒控制原理，对于两个结构不同的混沌系统，得到了一个混沌同步的 矩薄不警式形式鹣充分条搏。 最后，利用几何控制思想、l a s a t l e 不变原瀵和扩张观测器理论对含肖未知 参数的混沌系统的同步问题以及参数估计问题提出了一个初步的动态反馈控制 框架，该摇檠毽摆参数颡复续灌蕊瓣动态叁逶纛镶苇。 关键淫：典鍪! 涅滤系统；潺漶嗣步：疲续控翻。 珏 s o m ea d v a n c e si nt h er e s e a r c ho f s y n c h r o n i z a t i o no f s o m er e p r e s e n t a t i v e c h a o t i cs y s t e m s m a j o r ：o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n d c o n t r o lt h e o r y n a m e ：w a n gj i a n g e n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a o y i a b s t r a c t c h a o si sa ni m p o r t a n tn o n l i n e a rp h e n o m e n o n 。t h er e s e a r c ho nc h a o sh a sb e e na n i m p o r t a n tt h i n gf o rt h e l a t e s td e c a d e si nt h er e s e a r c ho fn o n l i n e a rs c i e n c e s y n c h r o n i z a t i o ni s o n eo ft h ei m p o r t a n ts u b j e c t si nt h er e s e a r c ho fc h a o sf o ri t s p o t e n t i a la p p l i c a t i o ni ns e c l n ec o m m u n i c a t i o n ，l i f es c i e n c e sa n do t h e rf i e l d s m u c hg r e a te f f o r t sh a v eb e e nm a d ei nc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o ns i n e et h e p i o n e 蹦n 建w o 噍o fk m p c c o l aa n d 鼍l c a f f o hi n1 9 9 0w h i c hu s i n gt h em e t h 艇醴 v a r i a b l e sr e p l a c e m e n tf o rs y n c h r o n i z a t i o no ft w 0c h a o t i cs y s t e m s m a n yr e s u l t sh a v e b e e n g o t t e n f o rl o r e n z s y s t e m ，r o s s l e rs y s t e r n ，c h u a s c i r c n i ta n do t h e r r e p r e s e n t a t i v ec h a o t i cs y s t e m ss i n c et h e n 。i nt h er e s e a r c ha p p r o a c h ，c h a o t i cs y s t e r n s h a v eb e e nd i v i d e di nl u r es y s t e r n s ，s t r i c t l yf e e d b a c ks y s t e m s , a n dm i n i m u mp h a s e s y s t e m sa n de t c s ot h ep r e s e n tr e s u l t si nc o n t r o lt h e o r yc a nb ei n t r o d u c e dt ot h e r e s e a r c ho fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ；a st ot h ec o n t r o lm e t h o d s ，r e p l a c i n gv a r i a b l e s m e t h o d s ，l i n e a ra n dn o n l i n e a rf e e d b a c km e t h o d s , b a c k s t e p p i n gm e t h o d s ，a d a p t i n g m e t h o d s ，v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lm e t h o d s ，g e o m e t r i cc o n t r o lm e t h o da n di m p u l s i v e c o n t r o lm e t h o d sa n dm a n yo t h e rm e t h o d sh a v eb e e nu s e df o r 壕ep r o b l e m so ft h e r e s e a r c ho fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ；f r o mt h ev i e wp o i n to fr e s e a r c hs u b j e c t ，m e n c o n s i d e r e dt w oi d e n t i c a lc h a o t i cs y s t e m s ，m i s m a t c h e ds y s t e r n s ，u n c e r t a i ns y s t e m sa n d s oo n i nt h i sd i s s e r t a f i o nab r i e fs u m m a r i z i n gh a sb e e ng i y e nf i r s t l y , a n dt h es h o r t a g e s o f 氇em e t h o d sa n dr e s u l t si ns o m er e f e r e n c e sh a v eb e e np o i n t e do u tt o o 。t h e ns o m e n e wa d v a n c e sh a v eb e e nm a d eo nc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nb a s e do nt h er e f e r e n c z s 。 1 1 l ew o r k si nt h i sd i s s e i t a t i o ni n c l u d ef o l l o w i n ga s p e c t s i ti sd i f f i c u l tt og e ts y n c h r o n i z a t i o nw h e nt h e r ea r em i s m a t c h e si nt h ep a r a m e t e r m a t r i x e so ft h em a s t e r - s l a v ec h a o t i cs y s t e m s , s ot h eu n i f o r m l ys y n c h r o n i z a t i o nw i 也a b o u n do nt h es y n c h r o n i z a t i o ne r r o ri sd i s c u s s e dh e r e ，am e t h o df o rm a s t e r - s l a v e s y n c h r o n i z a t i o no ft w oc o u p l e dc h a o t i cs y s t e m sw i t hau n i d i r e c t i o n a le r r o rf e e d - b a c k c o n p l i n gi sp r e s e n t e d p a r a m e t e r sm i s m a t c h e sb e t w e e nt h es y s t e m sa r ec o n s i d e r e di n l l i t h es y n c h r o n i z a t i o ns c h e m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r m l ys v n c h r o n i z a t i o n w i t hab o u n do nt l l es y n c h r o n i z a t i o ne r r o ra r ed e r i v e df o rac l a s so fc h a o t i cs y s t e m s i n c l u d el u r es y s t e ma n dl i p s c h i t ss y s t e mb a s e do naq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n t h er o b u s t n e s so ft h es c h e m ei sd i s c u s s e d a n dt h e nt h es c h e m ei si u u s t r a t e db y c h u a sc i r c u i tw i t ht h ed o u b l es c r o l l 0 n eo b s e r v e st h a ti ti sp o s s i b l et os y n c h r o n i z e t h em a s t e r - s l a v es y s t e m sw i t hp a r a m e t e r sm i s m a t c h e su pt oar e l a t i v e l ys m a l le r r o r b o u n d f o rt h ep a r a m e t r i cm i s m a t c h i n gm a s t e r - s l a v el u r es y s t e m sd i s c u s s e da b o v e ， s y n c h r o n i z a t i o nu n d e rt h ec o n t r o lo fau n i d i r e c t i o n a lo u t p u te r r o rf e e d b a c kw i t ht i m e d e l a yi sd i s c u s s e dt o o m a t r i xi n e q u a t i o n sa ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i f o r m l y s y n c h r o n i z a t i o nw i t he r r o rb o u n da r ed e r i v e d t h e p r o b l e mo fs y n c h r o n i z i n gm a s t e r - s l a v el u r f es y s t e m su n d e rt h ec o n t r o l l i n g o ft h eo u t p u te r r o r sf e e d b a c kw i t ht i m e - d e l a yj sd i s c u s s e d as u 砸c i e n tc o n d i t i o nf o r m a s t e rs l a v es y n c h r o n i z a t i o nw h i c hd e p e n d i n go nt h et i m ed e l a yi sc o n c l u d e db a s e d o nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y 皿”s n f f i c i e n tc o n d i t i o ni sc o n v e n i e n tt ob et e s t e du s i n g l m i ( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ) t o o l sa n dt h em a x i m u mt i m e d e l a yc a nb ee s t i m a t e d t h et h e o r e mi si l i n s t r a t e db yc h u a sc i r c u i tw i t ht h ed o u b l es c r o l l i ti sh o p e dt h a tt og e tc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nw i t hc o n t r o l l e r sa ss i m p l ea s p o s s i b l e f o rl o r e n zs y s t e m s ，t h e r ea r es c h e m e su s i n gs i m p l es i n g l e c o n t r o l l e rt o a r r i v es y n c h r o n i z a t i o n b a s e do nt h e s ew o r k s ，h e r et h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e m i 1 1 c l u d i n gc h e na n dl o r e n zs y s t e m sa r ed i s c u s s e d f o rt h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e mw i t h k n o w np a r a m e t e r s o n l yo n es t a t ev a r i a b l ei sn e e d e df o rs t a t ef e e d b a c kc o n t r o i l e ri n t h es y n c h r o n i z a t i o ns c h e m e s ，m o r e o v e r , a na d a p t i v es c h e m ei sp r o p o s e dw h e nt h e p a r a m e t e r so ft h eu n i f i e dc h a o t i cd r i v es y s t e ma r eu n k n o w n f o r t w oc h a o t i cs y s t e m sw i t hd i f i e r e n ts t r u c t u r e ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nw i t ht h e f o r mo fm a t r i xi n e q u a t i o n si sg o tf o rm a s t e rs l a v es y n c h r o n i z a t i o nw h i c hb a s e do n b a n g b a n gc o n t r o lt h e o r y f i n a l l y ，u s i n gg e o m e t r i c c o n t r o l t h e o r y ，l a s a l l e i n v a r i a b l e p r i n c i p l e a n d e x t e n d e ds t a t e so b s e r v e rt h e o r y , t h es y n c h r o n i z i n go fc h a o t i cs y s t e m sw i t hu n k n o w n p a r a m e t e r si sd i s c u s s e da n daf r a m e w o r ko fe s t i m a t i n gu n k n o w np a r a m e t e r si nt h e m a i ns y s t e mh a sb e e ng i v e n 1 h ef r a m e w o r kc o n t a i n st h ea d a p t i v ea d j u s t i n go ft h e u n k n o w np a r a m e t e r sa n dt h ef e e d b a c kg a i n s k e yw o r d s ：r e p r e s e n t a t i v ec h a o t i cs y s t e m s ；c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ；f e e d b a c k c o n t r 0 1 第一章序论 1 1 典型混沌系统 混沌楚一种重要瓣非线性现象，近梵十年来，有关潺淹静研究成为翡线性碜 究的重鼹内容。尽管“混沌”还没有一个确切的定义，但是，这并不影响关于它 豹研究。由于本文主娶研究混沌灏步兹有关闷惩，在此，我们并不深入介缨混沌 的定义、判定等等。相关概念和疆论在文献 1 】 2 】中有深入静探讨，也可在相关 书籍中找到。 这燕，蓄先分缨几个混沌弱步磷究中常其l 到的典型混漶系统： l o r e n z 系统的参数适当取德的时候，眈如a1 0 , r 。2 8 ，b - 8 1 3 时，系统的 动力性态出现混沌特征，这是一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，从 瑟，l o r e n z 方程成为第一令瀑参模墼，这一模黧嚣寒舂了一魏攘广形式【3 】。 陈关荣教授在研究混沌反控制的过程中发现了一个新的吸引子【4 】【5 】，当其 参数a 一3 5 , b ；3 , c 一2 8 时出现混沌。该系统与l o r e n z 系统和r o s s l e r 系统均不拓 扑等徐，久们称其强c h e n 系统，这是又一个典鍪酶渥淹系统同。 吕企虎博士等提出了另一个混沌系统，被称为哺系统【7 】，其中参数 a = 3 6 ，b - 3 , c 一2 0 辩，系统呈现滋沌。 l o r e n z 系统和c h e n 系统以及臆系统尽管拓扑结构不同，但有着内农联系。 根据v a n e c c k ，c e l i k o v s k y 在1 9 9 6 年提出的一个临界条件，它们的线性部分分别 有：l o r e n z 系统滚建瘁1 2 4 2 l 0 ，c h e n 系统瀵足8 1 2 a 麓 0 软及璩系统渍跫 a 1 2 a 2 l 一0 【7 】。 文献闭中奔缨了类统一混沌系统： 主一( 2 5 0 + 1 0 x y 一工) ， j 一( 2 8 3 5 0 ) x x z + ( 2 9 0 1 ) y ，( 1 1 ) 8 + 口 扣x y 一了毛 这里日 o 州显然，当0 0 时，它是l o r e n z 系统；而当口；1 时它是c h e n 系统。有趣的是，当口在【o ，1 】之间取值时，相应的系统仍然是混沌系统，并且 它统一了以上三个系统，详见【7 】，因此这一统一形式被称为l o r e n z 系统簇【7 】。 典型的混沌系统还有不少，如著名的c h u a 电路、r 6 s s e l e r 系统、d u f f i n g 振子、l o g i s t i c 系统、h e n o n 映射等等，这里不一一列举，可参见有关文献。 需要指出的是，随着研究的深入，很多混沌系统不断诞生，以上列举的只是 在混沌研究中被广泛引用的一些典型的混沌系统。 1 2 l u r ，e 系统、严格反馈系统和最小相系统 为了研究混沌同步控制问题，学者借鉴了传统控制理论中的一些系统类型， 从特征上对混沌系统进行了归纳。如，为借助绝对稳定性理论的有关成果，有文 献研究了l u r e 系统混沌同步问题；为使用b a c k s t e p p i n g 方法，有文献研究了严 格反馈混沌系统的同步问题；为了研究如何用尽可能少的系统状态变量信息而达 到同步的目的，人们还考虑了最小相系统等等。尽管混沌系统并不一定必定属于 这三种类型的系统，但是，从特征上对混沌系统的归类，使得混沌研究继承了传 统控制理论的既有成果。 1 2 1l u r e 系统 有限维动力系统 j = 血+ 珂临) 其中，x e r ”为状态变量，非线性函数，：r “一r “，系统参数矩阵a e r ， b e r 一、c r 一”。如果，符合扇形条件，即，属于扇形阻。，肛： ，其中 2 一 0 l 一2 _ = + 。，那么该动力系统称为是l u r e 系统 这里，扇形条件定义如下： 定义1 1 对于o c p 。 p ：c + o o ，称，符合扇形条件，或称，属于扇形k ，p ：j ， 如果对于f ，1 ，2 ，和y 。e r ，一( f ( y 。) l 。其中， ，；巧。，：】一拓r ：滩续且妒( o 户o ，一o r 2 唧p ) s u 2 t 7 2 t 口一0 扇形条件的几何意义在于，对任何f = 1 ，2 ，的分量，f 的曲线整体夹 在直线妒一盹d 和妒= _ 2 0 之间，几何图示见【8 】以及相关书籍。 有关l u r e 系统绝对稳定性的研究已经有很多结果。若某个混沌系统看作是 一个l u r e 系统，则这些结果可以方便的应用于混沌同步的研究中。例如，c h u a 电路就是一个l u r e 型系统，利用这一思想研究c h u a 电路等混沌系统的同步问 题取得了一系列结果，见 8 及其参考文献。 1 2 2 严格反馈系统 j 。一g l 仁，f b ：+ f ( x 。，t ) 毫。一g 。x 。，茸。，f b 。+ 一。g 。，工。，t ) 戈。一g 。g 。，x ，f - + l g ，x n ，t ) x ，b ，x ：，x 。】re r ”是状态变量，“r 是控制项。g i ( l ( l f ，1 2 ，n 是 己知的具有，阶( ，= o ，l ，n i ) 一致有界导数的光滑非线性函数。当 g j ( ) 一0g 一1 , 2 ，咒一1 ) 时，称为严格反馈系统，否则称为广义严格反馈系统。 提出严格反馈系统的概念，主要是为了使用b a c k s t e p p i n g 方法。c h u a 电路、 d u f f i n g 振子、r 6 s s e l e r 系统、v a nd e rp o l 系统都属于此类系统， 9 和 1 0 应用 b a c k s t e p p i n g 方法对改类混沌系统的同步问题进行了比较深入的研究。 1 2 3 最小相系统 主从系统的误差系统通过一个同胚坐标变换总可以变换为如下形式的规范 形 1 1 1 2 1 3 1 4 z f = z f + 1 ，1 s i o ，嵋0 ) 1 9 9 6 年，【2 7 等较早把滑动模控制策略引入混沌控制研究，实现了对l o r e n z 系统等的控制研究。近年来变结构控制理论在混沌同步控制中也取得了一些成功 的应用，人们用滑动模控制方法实现了混沌系统的同步。 有关利用滑动模进行混沌系统控制和混沌同步的早期报道见 2 8 1 1 2 9 1 等，近 年来，这一方法在同步问题上的应用得到较快发展，见【3 0 】。 由于滑动模控制固有的抖动性，该方法在同步问题上的应用受到一定限制， 我们曾模拟了一些文献中的例子，发现抖动现象还是存在的。如何克服抖动，是 一个需要研究的问题。同时，滑模控制器在形式上也是复杂的。 1 3 2 6 微分几何方法 近2 0 年来微分几何理论在非线性控制问题中得到应用，特别是以微分几何 为理论基础发展起来的精确线性化方法成为在工程应用上颇受关注的控制手段。 与此相关的几个概念主要有雅可比矩阵、李导数与李括号、可积性条件、相对度 等等。借助李导数概念实现非线性系统部分或完全线性化。有关详细内容可见 1 4 】 等。 【1 2 】【1 3 】【3 1 】等根据上述线性化的思想，对混沌系统的同步问题进行了研究。 1 3 2 7 其他方法 被用于混沌同步研究的方法还有很多，如脉冲控制方法，它把脉冲稳定性理 论【3 2 】引入混沌控制和混沌同步的研究；神经网络方法，把神经网络技术引入 混沌同步研究，妻n 3 3 1 讨论了滑动模和神经网络的结合来研究混沌控制问题； 日。控制、逆控锘j j 3 4 1 、o g y 方法与其它方法等等。这里不一一列举，详见有关 参考文献。 1 4 近年来混沌同步研究的进展 在9 0 年代初o g y 方法等首次实现混沌控制以来，混沌同步的研究逐步成 为混沌研究的一个热点问题。用变量替代方法实现混沌同步以后，混沌同步的研 究更呈现快速发展的态势。出现了一大批文献和有价值的研究结果。 最近【8 】使用变量替代方法对l u r e 系统的同步问题进行了研究，特别是对 c h u a 电路的同步问题进行了分析，对不同状态变量的驱动下，结合系统参数的 取值范围，就c h u a 电路是否可以达到主从同步等问题进行了比较深入、详细的 分析，给出了相应的结论。 f 3 5 1 对双向耦合混沌系统同步方案中，系统参数不匹配对同步的影响进行了 分析。3 6 对时滞混沌控制进行了研究。 【3 7 3 8 等利用绝对稳定性理论和工具( 见【3 9 【4 0 】) ，对l u r e 系统的混沌同步 问题进行了比较深入的探讨，得到了一系列关于l u r e 系统主从同步的线性矩阵 不等式判据。这些结论的共同特点是以l y a p u n o v 稳定性理论为基本依据，借助 l m i 方法，得到判断同步的充分条件，这些包含矩阵的不等式条件，总是以正定 矩阵的适当选择为基本要素。 f 4 1 对l u r e 系统时滞同步问题进行了研究，估计了时滞的界。 在自适应控制方法的应用也有较快进展，【4 2 1 1 4 3 1 使用最速下降法( s p e e d g r a d i e n tm e t h o d ) 实现了同步和参数估计，【“】对r o s s l e r 和c h u a 电路的同步进 行了研究，实现了单状态变量同步控制。4 5 1 1 4 6 1 构造了自适应线性反馈控制器 实现同步并对参数估计问题进行了系统的讨论。 近年来，不少文献用b a c k s t e p p i n g 方法对严格反馈系统和广义严格反馈系统 进行了研究，该类文献一般结合自适应控制方法和b a c k s t e p p i n g 方法对不确定系 统或主从系统参数不一致的情况，甚至是完全不同的两个混沌系统的同步问题进 行研究【4 7 】。【4 8 】使用b a c k s t e p p i n g 方法仅用单个主系统状态变量实现了同步； 【l l 】使翔b a c k s t e p p i n g 方法实瑷了不确定混沌系统戆摆数收敛嚣步；1 4 6 【4 9 】 对b a c k s t e p p i n g 方法猩不确定l o r e n z 系统瀚同步进行了较深入的讨论。 【5 0 5 1 使用棒棒控制，【5 2 、f 5 3 2 9 5 4 使用滑动模控制方法进行研究，【5 3 】 还讨论丁安全逶荣瓣实验。 5 5 v 6 黠滑动摸豹貔纯选取避铃了讨论。其巾多数 文章对参数的不匮配情况以及参数的估计进行了探索，【5 7 等还对噪声的影响进 行了分析。 5 8 5 9 1 6 0 6 1 簿馒薅弦；孛羧测方法遴弦了渥沌司步礤究，褥到了嚣步豹稼 冲型充分条件，并讨论了同步方黧在通信安全方面的应用。 其窀有一些文献利用神经网络 3 5 1 1 6 2 1 、模糊控制方法【6 3 】【6 4 】f 6 5 】、反控制、 o p e n - p l u s c l o s e d 控糕方法【6 霹，不变滚形方法 6 7 1 1 6 8 ，扩藤专象曼滤波方法 ( e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ) 方法 6 9 1 ，h o o 方法【7 0 】等进行了混沌同步研究。 最避，一个比较有趣的研究路线是使用扩张状态观测器方法，见【7 1 】、【7 2 1 。 在实甄王箨孛，要获取一令潺淹鬃统夔精确攘凝是不可裁豹，霜酵，当系统状态 的测量肖困难时，述必须依靠状淼观测器来熏构系统状态，因而必然带来误差， 从而出现外扰。因此，在设计控制器时，必须考虑模型的不确定性和外扰的影响。 由予戏溅器豹弓l 入，经褥圭系绫镲怠筵弱夔较乡，瑟豆这一方法与鞋藜文默豹区 别在于，它关注了商限时间内达到同步的问鼹【7 3 】。【7 4 也使用自适应滑劝模控 制方案实现了在有限时间内达到嗣步。7 5 对不间混沌系统闯的同步的代价( c o s t o f s y n c h r o n i z a t i o n ) 逑霉亍了分辑。 不少文献【7 6 】【7 7 】【7 8 】融合多种控制方法来解决诸如参数扰动、系统不确定、 或主从系统不匹配甚至两个不同系统的控制和同步问题【3 3 】【7 9 】。 l 潮应爱溪性滚形方法疆究滋涟系缓豹弱步，褥蛩了一麓统一毪戆臻莱， 8 l 】 研究了多模型混沌同步问题。 在使用各种控制方法的同时，不少文献致力于如何构造熙简单的控制方案、 魏 霉尽霹笼乡兹傻麓主系统获态变量【8 2 】、 7 1 1 ，【8 3 8 4 1 、舞餐拣选麓荦夔荤 个控制器来实现同步等等【2 3 】。参数扰动时的同步问题 8 5 1 。有文献对噪声的影 响进行了研究【8 6 】。【8 7 】就参数不贩配对同步的影响进行了结析。1 8 8 】指出了同步 与控翱翔蘧实覆上楚一致戆。【8 锈【蛔豢窭了溺淹翻密瓣霹纛毪， 9 1 1 攒壅了弱 步加密的不足，9 2 1 提出了混沌编码方案的评价指标，并对释种基于混沌同步的 趣密方法进行了评价。 【9 3 f , | 论了条搏l y a p u n o v 豢数与漫淹露疹越够实褒之惩翡关系。【鼙4 】将枣渡 理论引入混沌同步研究，提出了“t i m e - s c a l es y n c h r o n i z a t i o n ”的概念，统一了 完垒潮疹、相同步、滞螽同步、广义疑步等穰念。【9 5 1 1 9 6 9 7 从姥琨、掰溯豹角 度对混涎系统蕊淹多滋蠢了较深入靛磅究，【鲻l 缝台浮动模耱溪溅器理论，对有 限时间内、仅有一个状态变量融知的同步问艨谶行了研究。 德缌指出魏是，瞧有关混漶麓劳磅究戆文献孛，存几个瓣题应该弓| 遐注意： 1 、春一些文熬驰结果显褥攀够严谨。跑魏，霄文献黪络逶忽褪了v 溪数正 定的爱嫩，v 只是半难定的，同时又不符合l a s a l l e 不变原理的条件，飘提出的 参数调节终在包含数戆衰输鬣缝巾豹平赞煮建任意戆，掰激褥苓出全弱稳定浆 缝论，扶瑟无法缣 菱雀嚣步戆嚣辩鏊诗主系绞参鼗翡嚣熬。实验也可鼓簿逡，参 数会随裥值的变化丽变化。另外，也有文献在得到同步的缀阵不等式型汽分条件 霹，缀簿中翡转动参数豹选择觳璐癌不是。 2 、遴骞一些文窳在穆造反馈接裁器鑫冀楚薅单遮逡圭麸豢缓懿误蒺璞睡秀 控制施加到从系统上，虽然可以迭剿同步的目的，但实际上斌种复杂的过度控制 已经失去了控翻豹滤义。 3 、氇骞熬文漱虽然在瑗谂主跫严谨藜，毽避手复杂豹控麓器嚣秘遗使箨这 类控制方法在实际臌用中显得代价过高。 4 、程湿沌静议谈上逮有一个渗透戆过穗，滋舞，有关m a r o t t o 定瑾滋讨论， 有关祭绺l y a p u n o v 攒数秀受与麓多戆关系瓣题豹澎遴诀谈等等都在不鬻露装影 响了对濑沌和混沌同步的研究。 与之穗应，在越邀参数嵇诗闯题瓣， 9 8 1 秘【9 锈摹錾爰p e 簇念( p e r s i s t e n t l y e x c i t i n g ) 对蘑多淹嚣教及未螽参数嫠诗舔鏊遴行了严谨鹣分耩。【1 0 0 1 1 0 1 1 0 2 利用最遮下降原理掇出了参数估计方案，并进行了严谨的诚明。f 1 0 3 在对同步 程凄避褥了量纯分拱。 眷关灌淹嚣步静缘述往文献凳 i 0 4 1 9 ，资料跑较事鬻熬瓣菇觅 1 0 5 ，鏊 内的专港见 1 0 6 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，7 ，4 5 。 l 。s 本文的联论工具 同步的研究归结为主从系统之间的误差系统0 点的渐_ i 疆稳定性问题。以下首 先给出几个l y a p u n o v 意义下的稳定性概念。 考惑微分方程 警一， ( 1 2 ) 设，c p x q l q c r 。保证了该方程解的熬体存在唯一性，对任意的 ，当 且仅姿x * o ，x ) 一0 ，从丽茗一。是该方程静平凡解。 定义1 2 称( 1 2 ) 豹平凡解x - 0 是稳定的，若对任意s 0 ，存在6 0 使 褥对 薹爨初始获态并如- 南，阪睁6 ，麸f 。辩刻遗发熬系绫戆软逶石毒，南浇是 i k 0 ，x 。l l ts ，v t = “。又若进一步稃在正数盯，0 ，当恢i l 盯时有! 翼忙o ，】| 一0 ， 瓣称系绫( 1 2 ) 的乎凡髌是激避稳定兹，此对称玩为其吸孳| 域。再若玩一r 4 ， 即吸引域为整个状态宝间时，则称系统( 1 2 ) 的平凡解是全局渐近稳定的。 对于l u r e 系缆 塞- 盘黟 舭，舻酗 式串各是状态交鲎，c ，6 科怒邑薪向量，是反馈撩镲l 交量。a ；0 # l 。是 已知系数矩阵，) 属于某类非线性函数但具体形式未知。 令 绵。】一 ，i ，( 0 ) 一0 , 0 s 巧p ) 墨k 0 2 ，盯一o ，飚续 定义1 _ 3 若w 藏e 疹上述l a r e 系统的乎建解是全鼹稳定豹，则称该平 凡解在獾尔维兹角域 o 后】内是绝对稳定的。 本文的证明中，用到的几个弓i 理、定理。 弓 壤1 1 对予自治系统，翔莱在d k 糊6 中存在一个定正函数矿0 ， 使得华为定负( 常熊) ，则该系统的零解j ；o 是渐近稳定的( 稳定的) 。 a t 引理1 2 ( l a s a l l e ) 对于自治系统，设z o 是方程j 一，g ) 的平衡点，且 存在连续司微的无穷大正定函数v ：r ”卜r + 满足 矿，当，0 ) s o ，h r n 并设e 一仁p ；o j ，mc e 为e 中的最大i f _ 向不变集。则当f 一。时， x ( t ；x 。) 一m 。特别地，若该系统除零解外没有任何轨迹可以保持在e 内，即 m 一 o ) ，则系统的零解是全局渐近稳定的。 引理1 3 ( l a s a l l e y o s h i z a w a ) 对非自治系统量一，b ，t ) ，若存在连续可微 的函数v ：u r + 一r + 满足 n0 k l | ) s v ( x ，f ) sy ：0 k 肚v b ，t ) u r + v ( x ，；百o v + 尝，s w ( x ) v ( x ，t ) u r + 这里，y 。) 和，：( ) 是j l 类函数，( - ) 是半正定连续函数，则系统( a ) 的解z o ) 有界且满足 姆晰) ) = 0 若形( ) 是正定函数，则系统的平衡点工；o 是渐近稳定的。 引理1 4 ( b a r b a l a t ) 若函数，t ) 在 o ，+ o 。) 上一致连续，并且广义积分 f ”，e 碡存在，则有 m i ( t 1 = 0 弓l 理l 5 ( s c h u r ) 对给定的对称矩阵s 。( ；：；：) ，其中s t ，是，维的。 以下三个条件是等价的： ( 1 ) s 0 ； ( 2 ) s 1 1 0 ，s 2 2 一黯s 1 2 0 ； ( 3 ) s 2 2 0 ，s 1 1 一s 1 ，s - 1 0 1 t 2 一2 潮一( 尸) k ( q ) 的地 j 亨7 f f l y ( e ( t ) ) 0 ，即在超球b 。= 芒l l l e ( 0 i s 一2 d 矾一( p ) 一( q ) 外误差系统的轨线 将呈下降走向。适当选取正数c ，使l y a p u n