（应用数学专业论文）布尔代数的直觉fuzzy子代数及布尔代数上的直觉fuzzy同余关系.pdf

青岛科技人学研究生学何论文 布尔代数的直觉砌z 可子代数及布尔 代数上的直觉砌冽同余关系 摘要 本文将直觉砌冽集的理论应用于布尔代数中，将研究对象从布尔代数上的 脚集、呦关系推广为直觉嘞集、直觉呦关系，讨论了布尔代数的 直觉呦子代数、直觉砌z 纠理想和布尔代数上的直觉呦同余关系的一些性 质，拓广了布尔代数的呦子代数已有的理论，进一步丰富和发展了呦代 数系统的基本理论。本文主要取得以下结果： 1 引入了布尔代数的直觉凡z 矽子代数、直觉蛔理想的概念，给出了 布尔代数的直觉呦子代数的两个等价定义，并证明了布尔代数的直觉而z 纠 子代数( 理想) 的交集仍是其直觉呦子代数( 理想) 。此外，进一步讨论了布 尔代数上的直觉凡冽集的截集与直觉凡冽子代数的关系，研究了布尔代数的 直觉呦子代数( 理想) 在布尔代数同态下的像和逆像的结构与特征。最后， 证明了布尔代数b 关于它的直觉呦真理想，的商代数b ，也是布尔代数，进 而定义了直觉砌z 纠商布尔代数，并研究它的同态问题。 2 借助直觉砌z z y 等价关系的定义，进而给出了布尔代数上的直觉凡z z y 同余关系的概念，讨论了它的一些性质，并研究了布尔代数上的直觉砌z 纠同余 关系在布尔代数同态下的像和逆像的结构与特征。此外，还讨论了布尔代数上的 直觉凡2 z y 同余关系与布尔代数的直觉凡冽子代数( 理想) 之间的关系，并给 出了商布尔代数的同构定理。 关键词：布尔代数直觉凡2 秒子代数( j 下规) 直觉嘞理想直觉呦商布尔 代数直觉购同余关系 青岛科技火学研究生学何论文 t h ei n t u i t i o n i s t i cf u z z y s u b a l g e b r a s a n di n t u i t l 0 n i s t i cf u z z yc o n g r u e n c e r e l p 汀i o n s0 nb 0 0 l e a na l g e b r a a b s t r a c t i i lt h i sd i s s e n a t i o n ，a p p l y i n gt h et h e o r yo fi n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e tt ob o o l e a n a l g e b r a ，w es t u d yt h ei n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e ta n di n t u j t i o n i s t i cf u z z yr e l a t i o n st ow h i c h w a se x t e n d e df 内mt h ef u z z ys e ta n df l l z z yr e l a t i o n so nb o o l e a na l g c b r a s o m e p r o p e r t i e so fi n t u i t i o n i s t i cf u z z ys u b a l g e b r a ( i d e a l ) a n di n t u i t i o n i s t i cf u z z yc o n g m e n c e r e l a t i o n so nb o o l e a na l g e b r aa r ed i s c u s s e d t h i sw o r ke n r i c h e sa n dd e v e l o p st h et h e o r v o ff u z z ya l g e b r aw h i c hh a sb e e ne x i s t e d t h em a i nr e s u l t so ft h i sd i s s e n a t i o na r el i s t e d a sf b l l o w s ： 1 t h ec o n c e p t so fi n t u i t i o n i s t i cf i l z z ys u b a l g e b r aa n di d e a lo fb o o l e a na l g e b r a a f ei n t f o d u c e da n dt 、 ，0e q u i v a l e n td e f i n i t i o n so ft h ei n t u i t i o n i s i i cf u z z ys u b a l g e b r aa r c g j v e n ni sp r o v e dt h a tt h ei n t e r s e c t i o no fi n t u i t i o n i s t i cf h z z ys u b a l g e b r a ( i d e a l ) o f b o o l e a na l g e b r ai ss t i l lai n t u i t i o n i s t i cf u z z ys u b a l g e b r a ( i d e a l ) o fi t f u r t h e 册o r e ，t h e r e l a t i o n sb e t w e e ni n t u i t i o n i s t i cf u z z vc u ts e ta n di n t u i t i o n i s t i cf u z z vs u b a l g e b r aa r e d i s c u s s e d 知dt h ei m a g ea n di n v e r s e i m a g eo fi n t u i t i o n i s t i cf u z z ys u b a l g e b r a ( i d e a l ) o fb o o l e a na l g e b r au n d e rb o o l e a na l g e b r ah o m o m o r p h i s ma r es t u d i e d b e s i d e s ，i ti s p r o v e dt h a tq u o t i e n ta l g e b r a口ji ss t i l lab o o l e a na 1 2 e b r aw h e nii sai n t u i t i o n i s t i c f u z z yr e a li d e a l0 fb s ot h ed e f i n i t i o no fi n t u i t i o n i s t i cf u z z vq u o t i e n tb o o l e a n a l g e b r ai ss t a t e da n ds o m ep r o p e n i e sa b o u th o m o m o r p h i s mo ft h i sk i n do fq u o t i e n t a l g e b r a a r es t u d i e d 2 i i lv i r t u eo ft h ec o n c e p to fi n t u i t i o n i s t i cf u z z ye q u i v a l e n tr e l a t i o n s ，t h e d e f i n i t i o no fi n t u i t i o n i s t i cf u z z yc o n g l l l e n c er e l a t i o n si sg i v e na n ds o m ep r o p e n i e so f i ta r es t u d i e d t h e n ，i ns e n s eo fh o m o m o r p h i s mb e t w e e nt w 0b o o l e a na l g e b r a s ，t h e i m a g ea n di n v e r s e i m a g eo fi n t u i t i o n i s t i cf u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o n so nb 0 0 l e a n a l g e b r aa r es t u d i e d w h a t sm o r e ，t h er e l a t i o n sb e t w e e ni n t u i t i o n i s t i cf u z z yc o n 2 1 1 j e n c e r e l a t i o n sa n di n t u i t i o n i s t i cf u z z ys u b a l g e b r a( i d e a l )a r ed i s c u s s e d p 虹 l a s t ， t h e i s o m o r p h i s mt h e o r e mo fi n t u i t i o n i s t i cf u z z yq u o t i e n tb o o l e a na l g e b r ai se s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：b 0 0 l e a na l g e b r a ，i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys u b a l g e b r a ，( n o 咖a 1 ) i n t u i t i o n i s t i cf u z z yi d e a l ，i n t u i t i o n i s t i c 凡z z yc o n g r u e n c er e l a t i o n s ，i n t u i t i o n i s t i cf u z z y q u o t i e n la l g e b m l i i 青岛科技大学研究生学位论文 1 1 研究背景及发展现状 1 绪论 模糊集理论是由美国控制论专家l a z a d e h 提出的刻画模糊现象或模糊概 念的数学理论。他于1 9 6 5 年发表了题为模糊集合论( f u z z ys e t s ) 1 的 论文，宣告了模糊数学的诞生，从此模糊数学作为一门新的数学分支而逐步发展 起来。由于模糊数学拓广了经典数学的数学基础集合论，摈弃了“排中律”， 既探索事物“非此即彼”的明晰状态，又考察事物“亦此办彼的过渡性态，因 而它的适应性也就比传统数学广泛得多，应用的触角伸向了科学、技术、管理等 许多领域，如机器智能、自动控制、系统理论、信息检索、意志决策、语言识别、 计算机科学等。 四十多年来，经过国内外众多学者的共同努力，建立在凡z 万集合论基础之 上的各种数学结构应运而生。比如在凡z z y 代数学、嘞分析学和凡冽拓扑学 等领域都取得了可喜的进展。 凡2 驯代数作为模糊数学的一个重要分支，它是一门研究各种模糊代数结构 的学科。自1 9 7 1 年a r o s e n f e l d 首次定义凡z 纠子群以来 2 ，人们试图用代数 结构来更细致地刻划呦集的努力便开始了，同时也标志着凡z 秒代数研究的 开始。1 9 8 0 年，k u r o k i 3 5 j 下式开始了砌z 纠子半群的研究，这是自呦代数 研究开始以来模糊数学领域最活跃的研究领域之一 6 9 。1 9 8 2 年，l i u 1 0 进一 步引入了群的呦不变子群，环的呦理想等概念，促使凡冽代数研究进一 步深入到各代数分支的方方面面。1 9 9 1 年，x i 1 1 将凡z 矽集理论应用到b c k 代 数中，从那时起，f u z z yb c k ( b c i ) 代数 1 2 1 3 得到了广泛的研究。 迄今为止，砌z z y 代数的研究已有许多成果，这主要集中在呦群 1 4 1 7 、 呦环 1 8 、呦格 1 9 2 6 的研究上，对复杂一些的代数结构，如呦域、 呦范畴、呦模等也有部分文献进行探讨 2 7 3 1 。其中以呦群的研究 最为系统，如砌z 2 ) ，群的基本性质、呦同态下的性质、凡冽正规子群的基本 性质等，都有较为系统全面的讨论。对于胸环、n z 秒格等的研究，一般集 布尔代数的直觉f u z z y 子代数及布尔代数上的直觉f u z z y 同余关系 中在基本性质：充分条件、必要条件、充要条件，凡z 秒同态下的性质，胸理 想的性质等，同时往往又和翮群结合起来一起研究。 其中，凡冽格也称为软代数，它是布尔代数( b o o l e 格) 的一种本质性推广。 这一推广具有很强的实际背景，它使人们能把分明现象与模糊现象进行统一的研 究。这正好弥补了布尔代数只能概括分明现象，而把普遍存在的模糊现象统统排 斥在外的缺陷。由于其具有这一强大的实际背景，又有n z 砂集合论、嘲语 言作为它的实际模型，因而激起了有关学者的浓厚兴趣，并赢得了越来越多的学 者的关注和重视。 呦格的内部构造、运算特性、映射性质、拓扑结构，以及在各个领域特 别是在计算机、呦逻辑、凡z z y 推理等方面的应用，都是急等开拓、研究的 重要课题。我国知名学者刘应明、王国俊等出色的代表人物，已在其拓扑构造方 面，作出了许多开拓性的工作，使我国在这一领域旱的研究处于世界之领先地位。 凡刎集理论的引入给凡2 z y 格的实际应用开拓了广阔的前景，然而，作为一门 有广阔发展前景的新学科，在许多方面还需要做大量开创性的研究。 为了进一步研究布尔代数凡z 刃化的内部代数结构和特征，2 0 0 5 年，谷文祥 和孙绍权 3 2 3 4 引入了布尔代数的呦子代数的概念和相关理论，并得到一 些有意义的结果，进一步丰富和发展了翮代数系统的基本理论。 伴随着呦集理论在数学各分支上的不断渗透，1 9 8 6 年，保加利亚人k a t a n a s s o v 3 5 提出了直觉模糊集的概念，它是对凡z 砂集理论最有影响的一种 扩充和发展。由于它增加了一个新的属性参数：非隶属度函数，能够更加细腻地 描述和刻画客观世界的模糊性本质，因而引起众多学者的研究和关注。随后，其 本人和一些学者针对这一基本理论，尤其在应用方面，做了大量的工作。 k a t a n a s s o v 和g g a r g o v 3 6 3 7 提出了直觉呦逻辑的理论框架；h b u s t i n c e 和p b u r i l l o 3 8 3 9 提出直觉呦关系和凡z z y 熵的理论，并研究了其与区间 值模糊集的联系与区别；d c o k e r 4 0 给出了直觉呦拓扑空间的定义，并研究 了它的一般拓扑结构问题；文献 4 卜4 4 侧重于代数方面，引入了直觉翮群 与直觉凡z 纠正规子群的概念，并在同态与同构意义下，研究了它的扩张运算、 像和逆像的结构特征问题。这些工作无疑都是对k a t a n a s s o v 原创工作的继续和 发展，同时，也为拓宽模糊数学的理论及其在各领域中的广泛应用奠定了基础。 到目前为止，虽然在有关直觉凡z z y 集的理论方面及应用方面的研究工作， 已有了很大进展，并取得了一些应用成果。但就其基本理论体系而言，仍显得薄 弱和不完善，尤其在与数学各个分支问的相互渗透和联系上，还缺乏理论上的依 据。 2 青岛科技大学研究生学何论文 1 2 本文工作的意义和主要研究内容 、本文将直觉呦集的理论应用于布尔代数中，将研究对象从布尔代数上的 呦集、凡z 纠关系推广为直觉嘞集、直觉而z 拶关系，讨论了布尔代数的 直觉呦子代数、直觉n z 纠理想和布尔代数上的直觉而z 2 ) ，同余关系的一些性 质，并得到了一些较好的结果。本文的工作说明沿此思路开展研究是切实的、可 行的、有效的，对改善当前代数结构的呦化不系统和理论基础缺乏的现状， 将起到积极的促进作用，对丰富和完善嘲代数理论也十分有意义。本文主要 取得以下结果： 1 引入了布尔代数的直觉呦子代数、直觉而z 纠理想的概念，给出了 布尔代数的直觉凡z 矽子代数的两个等价定义，并证明了布尔代数的直觉嘞、 子代数( 理想) 的交集仍是其直觉凡z z ) ，子代数( 理想) 。此外，进一步讨论了布- 尔代数上的直觉凡z 纠集的截集与直觉呦子代数的关系，研究了布尔代数的 直觉呦子代数( 理想) 在布尔代数同态下的像和逆像的结构与特征。最后， 证明了布尔代数口关于它的直觉凡z ：纠真理想，的商代数b ，也是布尔代数，进 而定义了直觉翮商布尔代数，并研究它的同态问题。 o2 借助直觉而z z ) ，等价关系的定义，进而给出了布尔代数上的直觉凡z 砂 同余关系的概念，讨论了它的一些性质，并研究了布尔代数上的直觉几z 秒同余 关系在布尔代数同态下的像和逆像的结构与特征。此外，还讨论了布尔代数上的 直觉n z 秽同余关系与布尔代数的直觉呦子代数( 理想) 之间的关系，并给 出了商布尔代数的同构定理。 本文主要研究结果已发表于青岛科技大学学报( 自然科学版) ： 3 青岛科技大学研究生学位论文 2 布尔代数的直觉砌z 秒子代数和直觉砌z 矽理想 本章的主要研究对象是布尔代数上的直觉呦集，本章内容是如下安排的： 第一节，为了方便阅读，叙述了一些相关的基本概念与结论。 第二节，引入了布尔代数的直觉凡z 纠子代数的概念，给出了布尔代数的直 觉凡z z y 子代数的两个等价定义，进一步讨论了布尔代数上的直觉而z z y 集的截 集与直觉而z 纠子代数的关系，证明了布尔代数的直觉呦子代数的交集仍是 直觉蛔子代数。 第三节，给出了直觉呦( 真) 理想的定义，并讨论了它的一些性质。 第四节，在布尔代数同态意义下，研究了布尔代数的直觉砌z 万子代数( 理想) 的像和逆像的结构与特征。 第五节，证明了布尔代数b 关于它的直觉呦真理想，的商代数口，也是 布尔代数，进而定义了直觉呦商布尔代数，并研究它的同态问题。 2 1 预备知识 定义2 1 11 4 5 1 具有两个二元代数运算+ ，的代数系统 称为 布尔代数，如果口至少包含有两个不同元且下面的公理成立： ( 1 ) 交换律，y 曰，x + y = y + 石；砂= 弦( 以下按惯例，叫即为石。y ) ； ( 2 ) 结合律v 七，y ，z b ，( x + y ) + z = 工+ ( y + z ) ；( 砂) z = z ( y z ) ； ( 3 ) 分配律诋，y ，z b ，x ( y + z ) = 叫+ 膨；x + 弦= o + ) ，) + z ) ； ( 4 ) 0 1 律b 中存在元素0 ，1 ，曰，x + o = 工；z 1 = x ； ( 5 ) 互补律v x b ，存在x b ，满足x + x = 1 ；x x = 0 定理2 1 1 【4 5 1 设b ； 为布尔代数，对慨，y ，s ，f 曰，有 一 一 = ( 1 ) o = 1 ；1 = 0 ；x = x ；工0 = o ；x + 1 = 1 布尔代数的直觉f u z z y 子代数及布尔代数j 二的直觉f u z z y 同余关系 ( 2 ) 肛= x ；石+ z ；z ( 幂等律) ( 3 ) 砂= z + y ；z + y = z y ( 狄摩根律) ( 4 ) 石o + y ) = 石；石+ 砂= z ( 吸收律) ( 5 ) xsy 争砂= x ( 6 ) xs y ，ss f = 争戈+ ssy + f ，淞sy f 定义2 1 2 设曰= 为布尔代数，b 的非空子集称为且的 子代数，如果玩满足下列条件： ( 1 ) 若口，6 风，贝i j 口+ 6 风； ( 2 ) 若口，6 日1 0 ，贝0 口6 目0 ； ( 3 ) 若口鼠，口鼠 定理2 1 2 布尔代数b = 的非空子集玩是子代数的充要 条件是定义2 1 2 中的( 1 ) ( 3 ) 或( 2 ) ( 3 ) 成立。 定义2 1 3 设x 是一个非空经典集合，形如 彳= ； ( 9 ) 垡42 l x x ) ， 其中彳，= lx x ) 邢【x 】，j = 1 ，2 ，j 为指标集。 注为方便起见，本文中用b 和b 分别表示布尔代数 和御尔代 数 。 2 2 布尔代数的直觉砌z 秒子代数 定义2 2 1 j 。设彳胛陋】，如果对慨，y 曰，下面条件成立： ( 1 ) 肛 ( 石+ y ) 苫心o ) 心( y ) ，4 0 + ) ，) s 叱 ) v ，一( y ) ；， ( 2 ) 心( 叫) 苫心o ) 心( y ) ，屹( 拶) s ) v 屹( y ) ； ( 3 ) 心( z ) 苫心( z ) ，a ( z ) s 叱( z ) 则称4 是口的直觉凡z 拶子代数。 定理2 2 1 设爿椰【b 】，则4 是口的直觉呦子代数的充要条件为定义 布尔代数的直觉f u z z y 子代数及布尔代数上的直觉f u z z y 同余关系 2 2 1 中的条件( 1 ) 与( 3 ) 成立，即 ( 1 ) 心 + y ) 苫心 ) 心( y ) ，屹o + y ) s 叱o ) v 叱( y ) ，觇，y b ； ( 3 ) 心 ) 2 心o ) ， ) s ) ，慨刀 证明 必要性是显然的。为证充分性，只须证明定义2 2 1 中的条件( 2 ) 成立。 事实上，对慨，y b ， = = = 一一一 一 心( 拶) = 心 + ) ，) 心 + y ) 芑心 ) 心( y ) 心 ) 心( y ) ， = 一： 一一一一 屹( 砂) 一叱( x + y ) s ，j 4 ( 石+ y ) s ，一( x ) v ，一( y ) s ，a ( x ) v ，爿( y ) 因此，定义2 2 1 中的条件( 2 ) 成立。 定理2 2 2 设彳椰陋】，则彳是b 的直觉呦子代数的充要条件为定义 2 2 1 中的条件( 2 ) 与( 3 ) 成立，即 ( 2 ) 以( 砂) 之心o ) 心( y ) ，( 砂) s ) v ( y ) ，慨，y b ； ( 3 ) 心 ) 心o ) ，1 ，4 ) s o ) ，慨曰 证明 必要性是显然的。为证充分性，只须证明定义2 2 1 中的条件( 1 ) 成立。 事实上，对觇，y 曰， = = = 一 一一 心 + y ) = 心 y ) 苫心o y ) 芑心 ) 心0 ) 2 心0 ) 心( y ) ， + y ) = y ) s 叱( x y ) s ) v ( y ) s ) v ( y ) 因此，定义2 2 1 中的条件( 1 ) 成立。 定理2 2 3设彳是曰的直觉呦子代数，则 ( 1 ) 心( 0 ) ；心( 1 ) ，叱( 0 ) = ，4 ( 1 ) ； ( 2 ) 心( 0 ) 苫心( 石) ，一( 0 ) s ，月( z ) ，v x ! 曰 证明 ( 1 ) 心( 0 ) = 爿( 1 ) 芑肛 ( 1 ) ， ( 1 ) = 月( 0 ) 之以( 0 ) ， 青岛科技大学研究生学位论文 ( 0 ) = ( 1 ) s 叱( 1 ) ，( 1 ) = 叱( 0 ) s ( 0 ) 因此，心( o ) = 心( 1 ) ，( 0 ) = ( 1 ) ( 2 ) 慨b ， 心( 0 ) = 儿( x x ) 芝心 ) 心0 ) = 心0 ) ， ( 0 ) = ( x z ) s 1 ，一 ) v 屹o ) = o ) 定理2 2 4 设4 邢陋】，4 是b 的直觉砌z 秒子代数，则对【0 ，1 】，当 彳的截集4 = 缸口i 心 ) 2 f ， ) s1 一f 彩时，4 是b 的子代数。 证明 对【o ，1 】，4 g ，则v k ，y 4 ，有心 ) f ，g ) s 1 一f ， 心 ) 苫f ，) 1 一f 又因彳是b 的直觉呦子代数，所以 心 + y ) 线 ) 心( y ) 2 f ，叱 + y ) s o ) v ( y ) g1 一f ，即z + y 彳f 心 ) 2 心0 ) 2 f ， ) s ) s1 一f ，即石彳f 因此，由定理2 1 2 知，4 是b 的子代数。 定理2 2 5 设彳椰【口】，若满足心 ) + ) = 1 ，帆b ，且对【0 ，1 】， 当彳的截集4 = 缸口i 心 ) 乏f ，叱 ) s1 一f ，f 2 j 时，4 是b 的子代数，则爿是b 的直觉凡2 秒子代数。 证明 帆，y b ，令f = 心( z ) 心( y ) 【0 ，1 】，则 以 ) 乏f ，以( y ) f ，( x ) ；1 一心g ) s 1 一f ，屹) = 1 一心( y ) s1 一f ， 故4 囝，且石，y 4 又因4 是b 的子代数，所以x + y 爿f ， 心( z + y ) f ；心 ) 肛4 ( y ) ， ，4 ( x + y ) 5 1 f ；1 一心( x ) 肛一( y ) = ( 1 一心( 工) ) v ( 1 一爿( y ) ) a ( x ) v ，爿( 工) 9 布尔代数的直觉f u z z y 子代数及布尔代数上的直觉f u z z y 同余关系 另一方面，帆b ，令f = 心 ) 【o ，1 】，则4 f 2 j ，且x 4 因4 是且的子代数，所以；彳f ，儿( - ) 之fa 心 ) ，屹( ) s 1 一f = 1 一心o ) = 叱 ) 因此，由定理2 2 1 知，4 是b 的直觉脚子代数。 定理2 2 6 设4 和4 是曰的直觉凡z 秒子代数，则4n 4 也是曰的直觉 耽秒子代数，其中心他( x ) ； ) ) ，他( 石) 一 ) v ( x ) ，觇b 。 证明设4 ，4 伊【b 】， 4 一 i x 研， 4 = l 工b 】， 4 n 4 = i 工b ) ， 慨，y b ，有 肛码n 4 2 ( x + ) ，) = 弘 ( x + ) i ) 肛 ( x + ) ，) 芑( 心( x ) 4 ( y ” ( 肛心( x ) 肛4 ( y ) ) = ( 肛 ( x ) 心：( x ) ) ( 肛 ( y ) 弘爿! ( ) ，) ) = 心慨( x ) 他( y ) ， 同理可得y m ：( x + y ) s v 眦o ) vy n ( y ) 另一方面，有 心他( x ) = 心o ) o ) 苫( x ) 心 ) 2 心心( x ) ， 眦( z ) = o ) v y 4 0 ) 墨( x ) v y ) = y 恤( x ) 因此，由定理2 2 1 知，4 n 4 也是b 的直觉凡z 秒子代数。 推论2 2 7 设爿( - j ，j 为指标集) 是b 的直觉砌冽子代数，则口彳，仍 是口的直觉呦子代数 1 0 青岛科技大学研究生学位论文 定理2 2 8 设彳是召的直觉砌z 秒子代数，则口彳与凹也是曰的直觉凡2 秒 子代数。 证明 设彳椰陋】，且4 = 【 i z b ) ， 则有 口彳= l 工b ) 凹= l 石研 令以( x ) = 1 一心 ) ，觇b ， 则觇召， 6 一( x + y ) = 1 一儿o + y ) s 1 一( 爿( x ) 心( y ) ) = ( 1 一心( x ) ) v ( 1 一肛一( y ) ) = 6 一( x ) v 以( y ) ， 6 一( x ) = 1 一心o ) s 1 一p 4 ( x ) = 屯( x ) 因此，由定理2 2 1 知，口爿是曰的直觉呦子代数。 同理令玑 ) = 1 一 ) ，v z 曰， 则觇b ， 叩月( 石+ y ) = 1 一( 工+ y ) 芑1 一( v 爿( x ) v ( y ) ) = ( 1 一屹 ” ( 1 一( y ) ) = 玑o ) 玑) 玑 ) = 1 一o ) 乏1 一屹 ) = 玑o ) 因此，由定理2 2 1 知，是b 的直觉呦子代数。 注 按布尔代数的直觉胸子代数的定义2 2 1 ，易知，若4 ，4 是b 的直 觉嘞子代数，不能推出4 与4u 4 也是b 的直觉凡z 秒子代数。 布尔代数的直觉f u z z y 子代数及布尔代数上的直觉f u z z y 同余关系 2 3 布尔代数的直觉呦理想 定义2 3 1 设，椰【b 】，若对觇，y 刀，下面条件成立： ( 1 ) ，( x + y ) 芝，( 石) 所( y ) ，j + y ) s 1 ， ) v ，( y ) ； ( 2 ) ，( 砂) ，( y ) ，( 砂) s ，( y ) 。 则称，是b 的直觉凡z 砂理想。 按此定义，对慨b ，有 所( 0 ) = ，( 0 x ) 苫，0 ) ，咋( 0 ) = ，( 0 x ) s ，( x ) 定义2 3 2 b 的直觉胸理想称为正规的，如果，( 0 ) ；l ，( 0 ) = 0 。 定理2 3 1 设，是日的直觉嘲理想，若石，y 曰，且xsy ，则 所( x ) 苫所( y ) ，1 ，( x ) s ，( y ) 。 证明因为xs y ，由定理2 1 1 ( 5 ) 知，石= 拶 又因，是b 的直觉凡z 秒理想，故 ，( x ) = ，( 叫) ，( y ) ， ，( x ) a 1 ，0 吵) s ，( y ) 定理2 3 2 设，l 和，2 是b 的直觉砌冽理想，则，l n ，2 也是b 的直觉胸 理想。 推论2 3 3 设，( j ，j 为指标集) 是b 的直觉而z 秒理想，则口，仍是曰 的直觉n z 砂理想。 定义2 3 3 设，是b 的直觉砌z 秒理想，若存在x 曰，有，o ) ，( 0 ) ， _ ) ，( 0 ) ，则称，是口的直觉砌z 秒真理想。 定理2 3 4 b 的直觉呦理想，是直觉呦真理想的充要条件是 1 2 青岛科技大学研究生学何论文 所( 1 ) 所( o ) ，( 1 ) ，( 0 ) 。 证明必要性：显然成立。 充分性：反证法，若所( 0 ) = 肛，( 1 ) ，1 ，( 0 ) = ，( 1 ) ， 则对城b ， 肛f ) = ( 工1 ) j ( 1 ) = j ( 0 ) ，( x ) = ，( x 1 ) 5 1 ，( 1 ) = 1 ，( 0 ) 所以，0 ) = 所( 0 ) ，咋 ) = ，( 0 ) ，这与，是b 的直觉而z 砂真理想矛盾。 因此，( 1 ) j ( 0 ) ，( 1 ) ，( 0 ) 。 2 4 布尔代数的直觉嘞子代数( 理想) 的同态像特征 定理2 4 1设，：b _ b 是布尔代数同态映射，若彳是b 的直觉凡z z ) ，子代 数，则厂似) 是b 的直觉而z 秒子代数，其中 m ) ( 石- ) 2 墨、心( x ) ， ，) ( 石 ) 。粤。爿 ) ，魄b ， 庀厂1 “) 。j 并规定s u p 乃= 0 ，i n f 乃= 1 。 证明 比b ，令z = z y ，石，y 曰 ( 1 ) 当厂1 g i ) = a 时，则厂1 ) 与厂。1 ( yi ) 中至少有一个为空集，否则，必有 厂1 ( z 1 ) a 。因此，( 一) ) 与肛，( 爿) ( y t ) 中至少有一个为0 ，y ，( 月) o i ) 与y ，( 一) ( y f ) 中 至少有一个为1 。 故 肛，似) ( x y f ) = 肛，( 爿) ( z i ) ，( 一) ( y i ) = 0 ， 1 ，( 一) ( x _ ) ，i ) = ，) ( x i ) v ，似) ( ) ，f ) = 1 且容易证明慨b ，厂1 0 1 ) = g 营厂1 0 i ) ；囝 事实上，。1 ( x ) 乒乃营厂1 ( y ) ，使厂( ) ；x ，又因厂是同态映射，所以 1 3 布尔代数的直觉f u z z y 子代数及布尔代数上的直觉f u z z y 同余关系 一 一= = = _ 厂) = z 营厂( ) = 厂 。) = x 兮厂q i ) 且且厂。1 i ) f 2 j 因此，( 一) ( 乃= ，( 彳) 0 ) = 0 ， ，( 一) 口) ；y ，( 一) i ) = 1 ( 2 ) 当厂_ 1 ( z i ) 彩时， ，( 彳) yi ) =s u p 心( z ) z ，叫( y 一 s u p 心( 砂) 叫丁一1 ( j y 2s u p 心( 叫) 正，一1 “ ) ，一1 ( y ) s u p ( 心o ) 心( y ) ) ( 因彳是直觉嘞子代数) 雁r 1 “ j 仨，一1 ( y 一s u pj l 一( x ) s u p 心( y ) 正，_ 1 0 y ，。( y 2 朋) i ) 肛朋) ( y i ) ， ，( 一) o ) = 一s u p _ 心 ) 曛，1 ( j ) 苫s u p 心o )( 因彳是直觉凡z 砂子代数) = ) ) 同理可证 ，) ( 石y i ) s ，) o i ) v ，厂( 一) ( y i ) ，厂( 爿j 西s ，川) i ) 综上所述，由定理2 2 2 知，厂0 ) 是曰的直觉呦子代数。 定理2 4 2 设厂：b 呻b 是布尔代数同态映射，若彳是b 的直觉n 2 秒子 代数，则厂- 1 口i ) 是b 的直觉n z 秒子代数，其中 ，- 似，o ) 2 心( 厂o ) ) ，y ，一- 似，o ) = ，月( ，o ) ) ，v x 曰。 证明慨，y 玑 即( 一，( 砂) 2 心- ( 厂似) ) = 心( 厂o ) 厂( y ) )( 因，是同态映射) 1 4 青岛科技大学研究生学位论文 芑心( 厂 ) ) 心，( 厂( y ) ) ( 因彳是直觉呦子代数) 2 肛，- 似，( z ) ，- ( 一，( y ) ， 肛，一- ( 4 ，( x ) 2 心( 厂 ) ) = 心，( 厂o ) )( 因，是同态映射) 芑心( 厂 ) )( 因彳是直觉砌z 秒子代数) 2 肛，一( 一，( x ) ， 同理可证1 ，一t ( 一，( 叫) s ，一t ( 爿，( x ) v1 ，一- ( 一，( y ) ，一- ( 一，o ) s ，一- ( 一， ) 因此，由定理2 2 2 知，厂。 ) 是b 的直觉嘲子代数。 定理2 4 3 设厂：口呻丑是布尔代数同态映射，若，和，分别是b 和曰的 直觉嘲理想，则 ( 1 ) 若，是满射，厂( ，) 是b 的直觉砌z 砂理想； ( 2 ) ，1 ( ，) 是b 的直觉呦理想。 证明( 1 ) 坛，y b ， ，( ) ( 石+ yi ) =s p p 肛，( z ) z 厂( j + y = s u p 肛，( x + y ) j + y 厂1 ( j 。+ y 苫s u p ，( 石+ y ) 正，一1 “ 店，一1 ( y s u p ( ，o ) ，( _ y ) ) ( 因，是直觉嘞理想) - ，一1 “ j 尉。1 ( y = s u p ( ，( x ) ) s u p ( ，o ) ) 蚝可一1 “) e 厂1 ( y = 肛) o i ) 川) ( yi ) ， 布尔代数的直觉f u z z y 子代数及布尔代数上的直觉f u z z y 同余关系 ，( ，) ( x y i ) ；s 9 p，( z ) = s u p所( 砂) 芑s u p 所( 秽) 正厂1 ( y 磅_ _ ，叫( j 。y 雁，_ 1 “ _ ，1 ( ， 芑s u p ( 所( y ) )( 因，是直觉呦理想) ，1 ( y e ，( ，) ( y i ) ， 同理可证y ，( ，) ( x + y 1 ) s y ) - ) v y ，( ，) ( y i ) ，y 川) y - ) s y 朋) ( y - ) 因此，由定义2 3 1 知，( j r ) 是口的直觉而z 砂理想。 ( 2 ) 慨，y b ， j c l ，一- ( ， + y ) 2 所( 厂o + y ) ) 一，( 厂0 ) + 厂( y ) )( 因厂是同态映射) 之所( ，o ) ) 肛，( 厂( y ) )( 因，是直觉胸理想) 2 厂一- ( ，o ) ，一t ( ，( y ) ， 即( ，( 砂) 2 ，- ( 厂) ) ；，( ，o ) 厂( y ) )( 因厂是同态映射) ，( 厂( y ) )( 因，是直觉凡z 砂理想) 。，一t ( ，( y ) ， 同理可证y ，一- ( ，o + y ) s y ，- ( j ，o ) v y ，- ( ，( y ) ，y ，一。( ，( 砂) s y ，一。( ，( y ) ， 因此，由定义2 3 1 知，厂- 1 ( ，) 是b 的直觉嘞理想。 定理2 4 4 设，：b 呻b 是布尔代数同态映射，彳是b 的直觉呦子代数， 若定义彳= ，其中心( x ) = 儿6 ) ，匕( x ) = 6 ) ，则 ( 1 ) 彳是口的直觉呦子代数；( 2 ) 厂似) = ( 厂o ) ) 。 证明( 1 ) 慨，y b ， 青岛科技大学研究生学位论文 以( 砂) = 心似) t 心 + y ) 苫心 ) 心( y ) 。心 ) 心( y ) ， 以( x ) = 心o ) 苫肛4 ( x ) 2 肛( x ) ， 同理可证，( 砂) s ，一 ) v ，爿( y ) ， ) 1 ，爿 ) 因此，由定理2 2 2 知，彳是b 的直觉凡z 砂子代数。 ( 2 ) ，( 彳) = i x b 】， ( ，( 彳) ) = l z b 且 一“x - ) 2 朋) o ) ，【川) ) ( x f ) = 1 ，) 又v x b - ，有厂1 i ) = f 2 j 营厂1 ( 乃= f 2 j ( 证明见定理2 4 1 ( 1 ) 中) ，则 当厂一1 0 1 ) = 囝时，( ) i ) = ，( 4 ) ) = o ，y ，( ，) o ) = y ，( 4 ) o ) = 1 当厂。1 0 - ) = g 时， 刚- ) ( x ) 5 鼎，心( x ) 2 鼎) 心( z ) 。) ( x ) y 刚，( x ) 2 鬟，y ( x ) 2 毋功y 一( z ) ；，朋) ( x ) 因此，综上所述，必有厂) = ( ，似) ) + 。 推论2 4 5设，：口一b 是布尔代数同态映射，若c 是b 的直觉凡z 秒子代 数，则，。( c ) = ( 厂1 ( c ) ) 。 2 5 直觉砌_ z 砂商布尔代数及其同态 定义2 5 1设，是b 的直觉胸真理想，对v 口b ，定义b 上的直觉 砌z 秒集如下： 【口】，= i 工b ，其中心。1 ， ) = 肛，( 似+ 口石) ， 。】，( x ) = ，( 仅z + 口z ) 。 并将陋l ，的全体构成的集合称为商集，记作b j r ，即口j ，= 【口】川口b 。 1 7 布尔代数的直觉f