（应用数学专业论文）模糊关系传递闭包与内部的进一步研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 模糊关系传递闭包与内部的进一步研究 摘要 为讨论模糊关系在各种不同领域中的应用，人们引入了各种模糊关系的 性质，其中传递性是最常用也是最重要的性质之一例如：在模糊聚类分 析，模糊选择函数，模糊量排序，模糊偏好结构等应用中，均须讨论模糊 关系的传递性然而，从实际中获取的数据往往很难满足传递性，对于那些 与传递性相关的性质也是如此因此，在实际应用中，需对所获得的模糊关 系进行改造，以使其具有所需要的性质寻找各类性质的闭包与内部就是最 为常见的方式 由于对一些性质而言，一个关系的闭包或内部不一定存在，因而人们转 而讨论这些性质的极大内部或极小闭包问题本文即对一个关系的极大传递 内部及极小负传递闭包进行了详细地研究，给出了新的构造方法其主要内 容与结果如下： 首先，我们根据d e f a y s 所提出的极大传递内部的概念，以f o d o r 等人给 出的求有限论域上模糊关系r 的极大传递( r a i n 一传递) 内部的方法及极大p 传 递内部的方法为基础，给出了求有限论域上模糊关系用拘极大弘传递内部 的几个新的构造方法，并详细证明了当t 为左连续的t 一模时，所得到的模糊 关系就是已知关系的极大p 传递内部，完善了极大传递内部的研究具体方 法为： f 1 ) 与已有文献求兄的极大p 传递内部的方法相比较，我们的方法以r 的 最后一行作为r 的极大p 传递内部r 的最后一行，然后依次计算r 的倒数第 二行，倒数第三行，直到第一行，得到r 的极大p 传递内部 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 2 ) 为了得到尉约更多的极大p 传递内部，我们给出了奇数阶模糊关系 的中间行构造方法，即：以r 的中间行作为r 的同一行，然后分别向上、向 下定义其他各行，从而得到r 的又一个极大丁一传递内部 ( 3 ) 基于上述方法，我们又讨论了尉拘三种按列构造法，即：分别以r 的 第- - n 、中间列、最后- - n 作为r 的同一列，然后类似行的方法分别定义 其他列，从而得到了不同的极大弘传递内部 其次，我们讨论了g 负传递性的闭包与内部在给出了g 负传递内部与 极小d 负传递闭包的定义后，研究了g 负传递内部的一些性质和一些特殊 情况下的简化算法，同时引入余蕴涵，给出了与极大正传递内部构造方法 相对应的极小g 负传递闭包的几种构造方法 综上所述，本文系统地给出了有限论域上模糊关系的各种传递性的极小 闭包与极大内部的构造方法，为了能快捷准确地利用我们的方法求出极小 闭包及极大内部，我们将其进行编程，在计算机上加以实现本文的讨论极 大地丰富了模糊关系传递性闭包和内部的研究，为今后寻求模糊关系所有 的极大内部或极小闭包奠定了基础 关键词：模糊关系，p 传递，s 一负传递，极大p 传递内部，j s 一负传递内 部，极小s - 负传递闭包 太原理工大学硕士研究生学位论文 f u r ：t h e rr e s e a r c ho n t r a n s i t i v ec l o s u r ea n di n t e r i o r o faf u z z yr e l a t i o n a b s t r a c t i no r d e rt oa p p l yf u z z yr e l a t i o n si nv a r i o u sf i e l d s ，o n ei n t r o d u c e sm a n y p r o p e r t i e so ff u z z yr e l a t i o n s ，a m o n gw h i c ht r a n s i t i v i t yi st h em o s ti m p o r t a n ta n de x t e n s i v e l yu s e do n e f o re x a m p l e ，t r a n s i t i v i t yi sn e c e s s a r y i nt h es t u d yo ff u z z yc l u s t e r i n ga n a l y s i s ，f u z z yc h o i c ef u n c t i o n ，r a n k i n g f u z z yq u a n t i t i e sa n df u z z yp r e f e r e n c em o d e l i n gt h e o r ye t c h o w e v e r ，t h o s e d a t ao b t a i n e df r o mr e a lw o r l dh a r d l ys a t i s f yt h et r a n s i t i v i t y , o ra n yo t h e r t r a n s i t i v i t y - r e l a t e dp r o p e r t y c o n s e q u e n t ly w eh a v et om o d i f yt h eo b t a i n e d r e l a t i o ns ot h a tt h ed e s i r e dp r o p e r t yi ss a t i s f i e d t oa c h i e v et h eg o a l ，i ti s c o m l n o nt of i n dt h ec l o s u r eo ri n t e r i o ro ft h eg i v e nr e l a t i o n c o n s i d e r i n gt h a t ，a 8f a ra ss o m ec e r t a i np r o p e r t yi sc o n c e r n e d ，t h e c l o s u r eo ri n t e r i o ro far e l a t i o nd o e sn o tn e c e s s a r i l ye x i s t ，o n eo f t e nt u r n s t os e e kam a x i m u mi n t e r i o ro rm i n i m u mc l o s u r eo ft h er e l a t i o ni nq u e s t i o n i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h e s et w oc o n c e p t si nd e t a i la n dp r e s e n ts o m e c o n s t r u c t i v em e t h o d so ft h em a x i m u mi n t e r i o ro rt h em i n i m u mc l o s u r eo f t h er e l a t i o n t h em a i nw o r ki ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , u s i n gt h ec o n c e p ti n t r o d u c e db y d e l a y sa n db a s e d0 1 2t h e i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 m e t h o do ff i n d i n gam a x i m u mt - t r a n s i t i v e ( m i n t r a n s i t i v e ) i n t e r i o ro fa f u z z yr e l a t i o no na f i n i t eu n i v e r s ep r o p o s e db yf o d o re t c w es u g g e s ts e v - e r a la l t e r n a t i v ec o n s t r u c t i n ga p p r o a c h e s ，a n dp r o v et h a tt h ef u z z yr e l a t i o n s o b t a i n e dt h r o u g ho u ra p p r o a c h e sa r ea l lm a x i m u mt - t r a n s i t i v ei n t e r i o r s w h e nti sal e f t c o n t i n u o u st - n o r m a sar e s u l t ，t h es t u d yo ft h em a x i m u m 。 t r a n s i t i v ei n t e r i o ri sl a r g e l ye n r i c h e d h e r ei nt h ef o l l o w i n ga r et h ed e t a i l s ： ( 1 ) c o m p a r e dw i t ht h ee x i s t i n gm e t h o dt oc o m p u t em a x i m u m t r a n s i t i v e i n t e r i o rro faf u z z yr e l a t i o n ，w eu s et h el a s tr o wo fra st h el a s tr o w o fm a x i m u mt r a n s i t i v ei n t e r i o r t h e nc o m p u t et h er o w so f 袁b a c k w a r d s r e s p e c t i v e l yt h es e c o n dl a s tr o w ，t h et h i r dl a s tr o w ，u n t i la l lt h er o w s o fra r ef i g u r e do u t ( 2 ) i no r d e rt og e tm o r em a x i m u mt - t r a n s i t i v ei n t e r i o r s o faf u z z y r e l a t i o nr w ea l s og i v eam e d i a lr o wm e t h o do faf u z z yr e l a t i o nw i t ho d d n u m b e ro r d e r ，i nw h i c ht h em e d i a lr o wo fri sc h o s e na st h es a m er o wo f r t h e nt h er e m a i n i n gr o w sa r ed e f i n e dr e s p e c t i v e l y ，a n o t h e rm a x i m u m t - t r a n s i t i v ei n t e r i o rc a nb ef o u n d ( 3 ) f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n ts e v e r a lc o l u m nc o n s t r u c t i n gm e t h o d ，i n w h i c ht h ef i r s tc o l u m n ，t h el a s tc o l u m n ，a n dt h em e d i a lc o l u m no fra r e c h o s e na st h es a m ec o l u m no fr r e s p e c t i v e l y ，o t h e r sa r ed e f i n e db yas i m i l a r m e t h o dt o ( 2 ) i nd o i n gs o ，d i f f e r e n tm a x i m u mt - t r a n s i t i v ei n t e r i o r sm a y b eg e n e r a t e d n e x t ，s - n e g a t i v e l yt r a n s i t i v ec l o s u r ea n di n t e r i o ra r ei n v e s t i g a t e d a f - t e rt h ed e f i n i t i o n so fs - n e g a t i v e l yt r a n s i t i v ei n t e r i o ra n dt h em i n i m u ms n e g a t i v e l yt r a n s i t i v ec l o s u r ea r eg i v e n ，t h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d ，a n d s o m es i m p l i f i e da l g o r i t h m sa r ep u tf o r t hi ns o m ep a r t i c u l a rc a s e s m e a n - ，t v 太原理工大学硕士研究生学位论文 w h i l e ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fc o i m p l i c a t i o nt oc o n s t r u c tt h em i n i m u m s - n e g a t i v e l yt r a n s i t i v ec l o s u r ed i r e c t l y i nas u m m a r y , i nt h et h e s i s ，w ep r e s e n ts e v e r a ld i f f e r e n tm e t h o d st o c o n s t r u c tm a x i m u mi n t e r i o r sa n dm i n i m u mc l o s u r e so faf u z z yr e l a t i o n o naf i n i t eu n i v e r s e i no r d e rt oo b t a i nm a n ym a x i m u mi n t e r i o r sa n d m a n ym i n i m u mc l o s u r e st h r o u g ho u ra p p r o a c h e sr a p i d l y ，w ep r o g r a mt h e a l g o r i t h m si ncl a n g u a g ea n dr e a l i z et h e mo nc o m p u t e r t h er e s e a r c hi n o u rw o r ke n r i c h e st h es t u d yo ft r a n s i t i v i t y - r e l a t e dp r o p e r t i e sa n dl a y sa f o u n d a t i o nf o rf i n d i n ga l lm a x i m u mi n t e r i o r sa n dm i n i m u mc l o s u r e si nt h e f u t u r e k e yw o r d s ：f u z z yr e l a t i o n ，t - t r a n s i t i v i t y , s - n e g a t i v et r a n s i t i v i t y , m a x i m u mt - t r a n s i t i v ei n t e r i o r ，s - n e g a t i v et r a n s i t i v ei n t e r i o r ，m i n i m u ms - n e g a t i v e l yt r a n s i t i v ec l o s u r e v 奎堕堡三盔堂堡圭堑塑尘兰笪堡塞 主要符号对照表 a 论域有限的备择对象集 f ( a a ) a 上所有模糊关系的集合 兄一模糊关系 v - 一任意 ，属于 卜存在 2 一包含 u 并 忙交 v 一取大 取小 s u p 一一上确界 i n f _ 一下确界 n 一非 一强非 2 乙一一一模 8 - 一t 一余模 l u k a s i e w i c zt - 模 7 一l u k a s i e w i c zt - 余模 m i n 取小一模 m a x 取大t 一余模 j 一一蕴涵 b 由t 模r 导出的蕴含 k 。g s d e l 蕴涵 1 w 一 h l u k a s i e w i c zt - 模导出的蕴涵 厶一余蕴涵 j 。g 6 d e l 余蕴涵 一v i 太原理工大学硕士研究生学位论文 j 0 一由l u k a s i e w i c zt - 余模7 导出的余蕴涵 r 一一模糊关系周拘逆关系 形一模糊关系r 的余关系 【一一论域a 上的全关系 d 论域a 上的空关系 一一论域a 上的恒等关系 冗t0 兄模糊关系冗1 与岛的p 合成关系 r 1 + 疡模糊关系r 1 与r 2 的莹合成关系 磷模糊关系r 与r s j t - 铴$ 关系 磁模糊关系r 与r 的舅合成关系 p c f d r 模糊关系尉拘具有p 性质的闭包 p 一 倒卜模糊关系r 的具有p 性质的内部 f ( r ) 模糊关系用j 勺口传递闭包 i n t ( r ) 模糊关系尺的s 一负传递内部 兄模糊关系r 的极大p 传递内部 f 卜模糊关系r 的极d s - 负传递闭包 ，v i i 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体。均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：丝龟自 e t l i i i ：兰! ! ：苎：狸 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的。 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名：筵红虽自日期：墨监，苎15 1 导师签名：j 硝誓立一日期：互尝i l a 原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 随着科学研究的不断深入，人们需要研究的关系越来越复杂，对系统的判别和推理 的精确性要求也越高，为了精确地描述复杂的现实对象，各类新的数学分支就不断地产 生和发展起来模糊数学“1 的产生就是为了定量研究复杂系统中的不完全或不精确信息 例如，在日常生活中经常会遇到许多具有模糊性的关系，如朋友关系，身高与体重的关 系，两个人的相像关系以及近似相等，远远大于等，这类关系用简单的“具有”或“不具 有”来刻画显然已经不合适了，因此，模糊数学将绝对的具有或不具有的普通关系扩充 为具有一定程度的模糊关系 模糊关系是模糊数学中最重要的概念之一，其应用范围极其广泛，特别是在模糊决 策的许多领域中尤为重要例如：( 1 ) 以模糊相似关系矩阵为基础的模糊聚类分析，它 在天气预报、地震预测、地质勘探、环境保护以及图像、语言识别等领域有着广泛的 应用，是现今模糊理论应用最广泛和最富成果的领域之一；( 2 1 决策中常对各择对象进 行比较，而两两比较则最为常见在两两比较的过程中，决策者往往会产生以下三种态 度：其中一个好于另一个；两个备择对象彼此问无区别；两者不可比偏好构模是以普 通关系作为基础对这三种态度进行描述的数学理论旧通过研究不同类型的偏好结构， 进而为实际中可能出现的各种两两比较过程进行构模，从而为决策者面l 瞄类似问题时提 供分析及最终决策依据随着所讨论的决策系统复杂性增加，同时决策过程又离不开人 的主观因素的参与，所获取的数据往往不精确，而传统数学面对这类数据却无能为力 于是研究者们将模糊理论引入到两两比较过程中州，通过模糊关系描述严格偏好，无区 别关系及不可比关系m 4 ，相应地产生了一些模糊偏好构模模型m8 1 3 1 ；( 3 ) 一类多准则 决策模型模糊综合评判“”，即是以模糊关系矩阵为基础的评价方法，例如：评估某 工程的设计质量、包括外观、结构、造价以及合理性等：教学过程的综合评判，包括清 楚易懂、熟悉教材、生动有趣、板书工整等此外，模糊关系还可以用来亥9 画选择函数 一1 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 的合理性”7 “；在对模糊量的比较中，模糊关系为众多研究者用作构造排序指标，形成 了最人一类排序方法m 圳，等等由此可以看出：模糊关系的研究具有重人的理论及应 用价值， 在对模糊关系的研究中，人们引入了各种性质m ，其中传递性是最常用也是最 重要的性质之一例如：在模糊聚类分析、模糊量排序、模糊选择问题、模糊偏 好结构等中、均须讨论模糊关系的传递性陋“”，由于普通传递性向模糊传递性推 广时，模糊逻辑联结不唯一，导致了不同的传递性概念1 9 7 1 年，z a d e h 在模糊集 理论的基础上讨论模糊等价关系和模糊排序时，首次把普通情形下的传递性概 念推广为模糊情形下取小运算的传递性概念，这实质上是一种基于截集的推广 1 9 8 4 年，o v c h i n n i k o v 在研究传递模糊关系的表现定理的过程中，将取小运算推广到 般t 一模，得到了所谓的p 传递同时为了研究模糊关系的余关系的传递性，相应 产生了9 负传递性概念1 9 8 6 年，o v c h i n n i k o v 为讨论模糊数序关系，在文【2 1 i 中引入 了t - f e r r e t s 性质：1 9 9 1 年，o v c h i n n i k o v 又对模糊关系的各种性质进行了全面的讨论， 其中包括取大取小意义下的f e h e r s 性质m 1 ，1 9 9 4 年，f o d o r 用- - 般的t 一余模s 取代取大运 算进一步将t - f e r r e r s 性质推广为p d f e r r e r s 性质m 与此同时，f o d o r j 丕将普通情况下的 半传递性概念推广到卫9 半传递性概念州它们的引入为模糊数学的诸多领域的研究提 供了方便， 在模糊关系的应用中实际中所获取的数据往往很难满足所需要的性质，例如：在 聚类分析中，我们往往得到的只是模糊相似关系，而为了能进行合理的分类，传递性是 最基本的要求2 ，因此，需要将该模糊相似关系改造为具有传递性的模糊等价关系，但 在改造过程中不能过多地改变原关系，最自然的想法就是用包含原关系且具有该性质的 最小关系或包含于原关系且具有该性质的最大关系来代替原关系，此即传递闭包或内 部的概念，所以寻找各类传递性的闭包与内部就是改造的种方式因此，在许多文 献中对传递闭包及内部的计算及算法进行了详细的研究1 9 8 8 年，b a n d l e r 与k o h o u t 在 2 一 a 原理工大学硕士研究生学位论文 文献f 2 6 1 中提出了模糊关系具有某种性质p 的闭包与内部的概念，给出了闭包与内部的 一般化定义，指出并非所有模糊性质的闭包与内部都存在，为此，他们给出了闭包与 内部存在的充要条件，并进一步讨论了模糊关系的各种性质的闭包与内部的计算公式 2 0 0 3 年，d eb a e t s 与d em e y e r 详细讨论了在一模左连续的条件下，p 传递闭包的存在与 构造问题，并指出若论域有限，则口传递闭包的存在与构造不受这个条件的限制。1 计 算一个模糊关系的莱种性质的闭包并不是一项简单的工作，例如，求有限论域上的模糊 n 关系的p 传递闭包的一般计算公式如t t ( r ) = r u 砗u 磷u = u 磷，若论域中的 k = l 元素很多时，通过公式来求传递闭包，计算很繁琐，且很多是重复性的计算因此，研 究者们通过计算机来完成这项工作，最早，w a r s h a l l 于1 9 6 2 年提出了一个计算普通关系 闭包的算法删，此算法虽然简单明了，但也有它的不足之处，如果表示关系的矩阵为稀 疏矩阵则无法得到正确的结论，刘任任等人在对求传递闭包的w a r s h a l l 算法做了改进， 给出了三角形算法，弥补了以上算法的不足随后，刘贵柏：2 0 0 3 年将普通集合上的 二元关系的传递闭包的w a r s h a l l 算法引进到求模糊关系的传递闭包，在此基础上，何 小亚等k t - 2 0 0 5 年又给出了普通关系与模糊关系的传递闭包的简化算法9 1 3 2 1 ，加快了获 得传递闭包的速度 由于一个模糊关系的传递性内部一般不存在，1 9 7 8 年，d e f a y s 提出了取小一传递 意义下的极大传递晦部的概念指出一个模糊关系可能有多个极大传递内部，并给 出了一个方法，利用该方法，可求出有限论域上模糊关系的一个极人传递内部 1 9 9 4 年，f o d o r 与r o u b e n s 在于为左连续一模的基础上，将该方法推广到求有限论域上一 个模糊关系的一般极大正传递内部上川，得到了该模糊关系的一个极大d 传递内部 以上就是闭包与内部研究的大致情况，从中我们可以看出，这些研究更多的集中 于传递闭包，对于其他与传递性相关性质的闭包与内部的研究还较少在本文中，我们 系统地讨论了各种传递性闭包与内部的存在性问题，并在此基础上，对于那些不存在 某种传递性闭包或内部的模糊关系，详细地研究了此关系的各种传递性的极大内部与 3 一 a 原理工大学硕士研究生学位论文 极小闭包的构造方法首先，以d e a y s 提出的极大传递内部的概念为基础，以f 0 d o r 等 人给出的求有限论域上模糊关系的极大传递( m i n - 传递) 内部的方法及极大p 传递内部的 方法为指导，我们给出了求有限论域上模糊关系的极大丁一传递内部的几种构造方法及 其对应的程序，并详细证明了当t 为左连续的t 一模时，所得到的模糊关系就是已知关系 的极大口传递内部，具体的构造方法包括：第一，与文献【7 】中r 的极大p 传递内部的方 法相对应，对该方法中以y 的构造加以改造，以r 的最后一行定义袁的最后一行，然后 依次计算应的倒数第二行，倒数第三行，直到第一行，得n r 的极大p 传递内部，这个 结果与f o d o r 等得到的结果相同与否取决于r 及蕴涵的种类第二，为了尽可能得到r 的 更多的极大p 传递内部，我们给出奇数阶阵模糊关系的中间行构造方法，即：以矧均 中间行定义袁的同一行，然后根据构造方法定义其他各行，这样我们就有可能得n r 的 又一个不同的极大n 传递内部第三，基于行构造方法，我们又讨论了三种不同的列构 造方法，即：分别以r 的第一列、中间列、最后一列作为吲拘同一列，然后类似行的 方法定义其他列因此，通过按行与按列构造方法，我们能得到r 的至多6 个不同的极 大t 一传递内部，找到了一个模糊关系的尽可能多的极大p 传递内部，完善了极大一传 递内部方面的研究对于璺负传递性的闭包与内部，也进行了详细的讨论例如，我们 对g 负传递性的闭包与内部问题进行了分析，给出了g 负传递内部与极小s - 负传递闭包 的定义，并讨论了璺负传递内部的一些性质，而且利用研究传递闭包相类似的方法，在 一些特殊的情况下( 如论域有限、非自反关系等) 给出简化算法引入余蕴涵后，我们直 接给出了与极大p 传递内部构造方法对应的极小g 负传递闭包的几种构造方法，在命题 。个关系具有尸性质当且仅当这个关系的余具有p 余性质的基础上，给出了求一个模糊 关系的极小口负传递闭包的间接算法，即通过求任意一个模糊关系r 的余髟，然后再 求肝的极大口传递内部的余，这样得到的结果就是一个模糊关系的极小s 一负传递闭包 对于n s 半传递和雄f e r r e r s 性质，我们仅用反例说明了以f 结论：既不存在p g 半传 递闭包，t 一弧r r e r s 闭包，也不存在弘s 一半传递内部，p s f e r r e r s 内部 4 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 本文组织如下：第二章介绍本文所涉及的一些基本概念，主要包括模糊逻辑联结运 算，模糊关系的有关概念，模糊关系有关性质的闭包与内部等；第三章给出了极大d 传 递内部的构造方法，并详细证明了在r 为左连续的t 一模时，得到的模糊关系就是已知关 系的极大口传递内部，从而完善了p 传递性的研究；第四章，我们首先给出了s - 负传递 内部的定义，讨论了g 负传递内部的一些性质和特殊情况下的简化算法，然后提出了极 4 , 5 - 负传递闭包的定义，并与极大p 传递内部的构造方法相对应，在余蕴涵的基础上， 给出了极小s _ 负传递闭包的构造方法，而且进一步证明了在s 为右连续的t 一余模时，构 造得到的那些模糊关系就是所要求的极4 s - 负传递闭包同时还给出了求解模糊关系的 极4 , s - 负传递闭包的另一种方法最后，我们在附录中给出了各种极大p 传递内部构造 方法对应的计算机程序 ，5 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章基本概念及相关结论 2 1 模糊逻辑联结运算 本节我们介绍一些基本的模糊逻辑联结运算：非、t 一模、- 余模、蕴涵、余蕴 涵等这些重要概念的定义及相关研究在许多文献中可找到，例如：可参见文 献 7 ，3 5 ，3 6 ，3 9 - 4 1 定义2 11 设t ：【0 ，1 l 【0 ，1 j 一【o ，1 】，若丁满足： ( 1 ) 对称性：v x ，y 【0 ，l 】，t ( x ，y ) = t ( y ，z ) ； ( 2 ) 单调性：v z lsz 2 ，y l 抛，贝i j t ( x , ，y 1 ) t ( x 2 ，耽) i ( 3 ) 结合律：比，y ，z 【0 ，1 】，t ( t ( x ，) ，2 ) = 丁( z ，t ( y ，z ) ) ； ( 4 ) 边界条件：v x 【0 ，1 】，t ( 1 ，z ) = z 则称丁为一个一模( 一n o r m ) 若t 是一个乒模，且孔，y ( 0 ，1 ) ，使循4 t ( z ，y ) = 0 ，则称t 是 有零因子的( n i l p o t e n t ) ，否则称丁是正的( p o s i t i v e ) 若丁是单位区问 o ，l 】上的连续函数， 则称丁为连续的t 一模 本文所用到的一模如下， t ( x ，y ) = m i n ( x ，y ) ( 或z a y ) ，简记为t = r a i n t ( z ，) = m a x ( 0 ，z + 掣一1 ) ，该扣模通常称l u t m s _ i e w i c zt - 模，筒记为，= w ， 定义2 12 设s ：【0 ，1 】x 0 ，1 l 一【o ，1 】，若s 满足： ( 1 ) 对称性：，y 【o ，l 】，s ( z ，y ) = s ( y ，z ) ； 一6 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 2 ) 单调性：v x l z 2 ，y 1 y 2 ，n s ( z 1 ，y 1 ) ss ( z 2 ，y 2 ) ( 3 ) 结合律：v x ，y ，2 【0 ，1 】，s ( s ( z ，们，z ) = s ( x ，s ( y ，z ) ) ( 4 ) 边界条件：v z 【o ，1 】，s ( o ，z ) = z 则称s 为个t 一余模( t - c o n o r m ) 若s 是一个t - e 模，且j z ，y ( 0 ，1 ) 破得s ( z ，y ) = l ，则 称s 是有零因子的 本文所用到的t 一余模如下 s ( z ，y ) = m a x ( x ，) ( 或zv ! ，) ，简i a ：勾s = m a x s ( z ，y ) = r a i n ( 1 ，z + ) ，该扛余模通常称为l u k a s i e w i c zt - 余模，简记为s = w 定义2 ，1 ，3 设：f o ，l j 一( o ，1 】，若n 单减且满足边界条件：珐( o ) = 1 ，n 0 ) = 0 ，则称n 为 一个非，若一个非n 严格单减且连续，则称n 为严格非若n 为严格非，且满足复原 律：v x 【0 ，1 】，竹( n ( z ) ) = z ，则称n 为强非，通常记强非为 例如：最常见的标准非( z ) = 1 一z 就是强非 定义2 1 ，4 设一s 分别为t 一模与 余模，n 是一个严格非，若对，y o ，1 】， n ( t ( z ，p ) ) = s m ( 茁) ，n ( 可) ) ，则称( r ，s ，n ) 为一个d em o r 9 8 n 三元组 定义2 1 5 设j ：【0 ，1 】xf 0 ，1 】一【o ，l 】，若对比，y 1 0 ，l 】，( z ，可) 对z 单减，对单增， 且满足：，( 1 ，0 ) = 0 ，i ( 0 ，0 ) = ，( 1 ，1 ) = 1 ，则称j 为个蕴涵 对任意一个t 一模t ，如果定义【o ，1 】上的运算b ：b ( z ，y ) = s u p z l t ( z ，z ) 茎以，则容易 验证：b 是一个蕴涵，通常称此类蕴涵为彤复涵，并且当一模t 左连续f 对每个变量左连 续) 时， 坛，y ，z 1 0 ，l j ，t ( x ，y ) 2 兮zs r ( u ，2 ) 7 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 定义2 16 设l ： 0 ，1 】【0 ，1 】一【0 ，1 】若l ( z ，) 对z 单减，对f 单增，且满足：厶( 0 ，1 ) = 1 ，c ( o ，0 ) = 厶( 1 ，1 ) = 0 ，则称厶为一个余蕴涵， 对任意一个t 一余模s ，定义【o ，1 】上的运算厶：厶( z ，y ) = i n f z l s ( x ，z ) y ，则l 是一个蕴 如果( ? ，s ，) 是一个d em o r g a n 三元组，则蕴涵与余蕴涵之间存在如下等式研： v z ，y o 1 1 ，b ( z ，y ) = j l v ( l ( ( z ) ，( ) ) ) ，七 ，七i ( 2 ) t = w ，s = w 7 时，得蕴涵1 w ( x ，y ) = m i n ( 1 ，1 一z + y ) 及余蕴涵，( f ，y ) = m a x ( y z ，o ) 引理21 ，1 ( f 3 6 ) 设7 是一个左连续的 模，则 ( 1 ) v x 【0 ，l 】， z ；) i e l 【0 ，1 】，有：t ( x ，s u p z l ) = s u p t ( x ，z ，) ； l l ( 2 ) v z ，y 【0 ，1 1 ，1 t x ，) ； ( 3 ) v x ，y 【0 ，l 】，z y 车 i t ( z ，y ) = 1 ； ( 4 ) v z 【0 ，l 】，b ( 1 ，z ) = z ； 一8 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 5 ) v x 【o ，1 】，7 - ( z ，x ) = 1 引理2 1 2 ( 【3 6 】) t 左连续当且仅( v z ，y ，z 【o ，1 1 ，t ( x ，z ) y 铮厅( z ，y ) z ) 引理2 1 3 ( 【3 6 1 ) 若t 左连续，则比，y 0 ，1 】，zay = t ( ，l v ( x ，) ) 引理2 1 4 ( 7 i ) 设s 是一个右连续的扣余模，则对比，y 【0 ，1 1 ， ( 1 ) y l ( 墨y ) ( 2 ) z 2y 静厶( z ，y ) = o ； ( 3 ) 厶( o ，z ) = z ； ( 4 ) 厶( z ，z ) = 0 2 2 模糊关系的有关概念 以下我们介绍文中所用到的模糊关系的基本概念 定义2 2 1 设a ，b 为论域，若r ：a x b 一【0 ，1 】，则称r 是a 到引钓模糊关系；若a = b ，则 称r j 黾a 上的模糊关系全体a 上的模糊关系集合i g 为f ( a a ) 本文所涉及的模糊关系r 均为a 上的模糊关系几个特殊的a 上的模糊关系为： ( 1 ) 全关系u a ：v a ，b a ，u a ( n ，6 ) = l ； ( 2 ) 空关系o a ：v a ，b a ，o a ( a ，b ) = 0 ； ( 3 ) 恒等关系e ：v a a ，e a ( a ，a ) = l j v a ，b a ( a 6 ) ，e a ( a ，b ) = 0 定义2 2 2 ( 【3 7 】) 设r f ( a a ) ，r 是一个一模定义r 的左迹剧为 v a , b a ，膏( 。，6 ) = ! 醇b ( r ( c ，。) ，r ( c ，6 ) ) ， 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 r 的右迹形为： v n ，6 a ，彤( n ，6 ) 21 基b ( r ( 6 ，c ) ，r ( n ，c ) ) 我们用r r c 分别表示模糊关系的逆关系和余关系，其定义如下：v a ，b a 冗。1 ( n ，b ) = r ( b ，n ) ( 8 ，= l v ( 冗( 8 ，6 ) ) ，其中是一个强非 设j r l ，飓都是a 上的关系， ( 1 ) 若v a ，b a ，r l ( a ，b ) r 2 ( o ，6 ) ，则称忌包含r 1 ，记为r l 兄 ( 2 ) 若冗1 r 2 且兄r l ，则称r 1 等t r 2 ，记为兄l = r 2 显然，r l = r 2 当f l 仅当v n ，b a ，r 1 ( a ，6 ) = r 2 ( a ，b ) 设马f ( a a ) 0 j ) ，它们的交n 马与并u 兄分别定义为：v a ，b a ， j jj e j ( n 局) ( n ，6 ) - ，m f n j ( n ，6 ) ， (u弓)(a,b)_sjjuprz(蚺)ej一 特别地，a 上两个模糊关系r ，与疡的交及并即为： ( r lnr 2 ) ( a ，b ) = m i n ( r l ( a ，6 ) ，r 2 ( a ，6 ) ) ， ( r lur 2 ) ( o ，b ) = m a x ( r l ( o ，r 2 ( n ，6 ) ) 定义2 2 3设r 1 ，r 2 为a 上的模糊关系，t 是一个t 模，r i 与疡的- 合成定义为m ： 对讹，b a ，( 冗1o tr 2 ) ( d ，6 ) = s u p t ( r 1 ( a ，c ) ，r 2c ，6 ) ) c e a 为方便起见，在不引起混淆的情况下，我们常将丁合成o t 简记为o ，特别地，r0 兄记 为碍，一般定义磷= 辟_ 1 。r = 81 墨：! 旦( k 为大于2 的正整数) 可以证明： 在丁左连续时，磷。磷= 磷一，其中女及f 为正整数 定义2 24 设j r ，j r 2 为a 上的模糊关系，s 是一个t 余模r 1 与疡的合成( 对偶合成) 定 义为冽：对v 。，6 a ，( r 1 。s 见) ( 。，6 ) = 必s ( r ( 。，c ) ，岛( c ，6 ) ) 一1 0 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 以下记r 1o sr 2 为r 1 兄2 ，r + r 记为月，r = r 争1 r ( k n k 于2 的正整数) 我们 将要用到的d 合成性质列举如下： 性质2 1 设r - ，恐，砀是a 上的模糊二元关系， 1 ) 若s 是右连续的t 一余模，则( 蜀 兄) r 3 = 矗l ( r 2 r 3 ) 2 ) 若置尼，则冠l 忍r 2 $ r 3 且岛$ r 1 兄 r 2 3 ) ( r 1 r 2 ) 一1 ；豸1 耳1 ； ，、 4 ) ( n 磁j + r = i - 1 ( 磷+ 囝； 膏= 1k = l 5 ) 对任意自然数m ，n ，冗孑+ 碍= | r ；” f 面定义本文所涉及的模糊关系的些基本性质栩： 定义2 2 5设r 是a 上的模糊二元关系，丁为乒模， ( 1 ) r 自反( r e f l e x i v e ) ：v a a ，r ( a ，a ) = l ； ( 2 ) 兄非自( i r r e f l e x i v e ) ：v a a ，n ( a ，a ) = 0 ； ( 3 ) r j j t , i 称( s y m m e t r i c ) ： c a ，b a ，r ( a ，酗= n ( b ，n ) ； ( 4 ) r 是p 反对称的( t - a n t i s y m m e t r i c ) ：v n ，b a ，o b ，t ( n ( a ，6 ) ，r ( b ，n ) ) = 0 ； ( 5 ) 尼黾p 非对称i 约( t - a s y m m e t r i c ) ：v a ，b a ，t ( r ( a