（应用数学专业论文）不具任何凸结构的拓扑空间中的kkm理论及其应用.pdf

不具任何凸结构的拓扑空间中的t ( k m 理论 及其应用 应用数学专业硕士研究生杨明歌 指导教师邓磊教授 摘要 本文的主要目的是在不具任何凸结构的一般拓扑空间中研究k k m 理论及其应用 第一章，简述了k k m 理论产生的历史背景和发展状况 第二章，利用广义r - k k m 映射，在不具任何凸结构的一般拓扑空间中证明了一个新的关 于容许集值映射的叠合定理做为应用，得到了一个抽象变分不等式、一个k k m 型定理和一 些不动点定理 第三章，利用广义r - k k m 映射，将壬映射的概念从g 凸空间推广到不具任何凸结构的 一般拓扑空间在不具任何凸结构的一般拓扑空间中给出了一些连续选择定理做为应用，给 出了一些不动点定理、叠台定理和一个非空交定理 第四章，利用广义r k k m 映射，在不具任何凸结构的一般拓扑空间中证明了一个新的关 于容许集值映射的叠合定理做为应用，证明了一些极大极小不等式、截口定理和最佳逼近定 理应用得到的极大极小不等式，证明了多目标对策的加权n a s h 平衡存在定理和p a r e t o 平衡 存在定理 第五章，在不具任何凸结构的一般拓扑空间中，引入( 关于r 的) 弱r k k m 映射、品凸 和r - 口一拟凸这三个新概念将k yf a n 匹配定理推广到不具任何凸结构的一般拓扑空间中，即 本文的引理5 1 2 利用引理5 1 2 ，在不具任何凸结构的一般拓扑空问中证明了两个交定理 利用交定理，证明了一些k yf a n 型极大极小不等式 第六章，在f c 空间中引入较佳容许类绍，。( y x ) 、垂，。- 映射和壬，。空间这三个新概 念在此基础上。首先，在f c 一空间中证明了一个关于圣，。映射的连续选择定理其次，利 用连续选择定理，在圣，。- 空间中证明了一个关于较佳容许类毋，。( y 7 x ) 的不动点定理。它和 著名的s c h a u d e r 猜想紧密相关最后，做为不动点定理的应用，证明了一个拟平衡定理和一个 广义拟平衡定理 关键词：重合点容许集值映射广义r - k k m 映射f g 一空间连续选择 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sa i m e dt os t u d yt h ek k h + 1t h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o u si ng e n e r a lt o p o l o g i c a l s p a c e sw i t h o u ta n yc o n v e x i t ys t r u c t u r e i nt h ei l r s tc h a p t e r ，w es i m p l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ek k h it h e o r 3 a n di t sd e v e l o p m e n t i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b yu s i n gg e n e r a l i z e d 尺一k k mm a p p i n g s ，w eo b t a i nan e wc o i n c i d e n c e t h e o r e n rf o ra d m i s s i b l es e t v a l u e di n a p p i n g si nt o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h o u ta n yc o n v e x i t ys t r u c t u r e a sa p p l i c a t i o n s ，a na b s t r a c tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , ak k mt y p et h e o r e ma n ds o m ef i x e dp o i n t t h e o r e m sa r eo b t a i n e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，b yu s i n gg e n e r a l i z e dr k k mm a p p i n g s ，w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p to f 壬- m a p p i n g sf r o mg c o n v e xs p a c e st ot o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h o u ta n yc o n v e x i t ys t r u c t u r e w e o b t a i nan e wc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e mf o r 西- m a p p i n g si nt o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h o u ta n yc o n - v e x i t ys t r u c t u r e a sa p p l i c a t i o n s ，w eg i v es o n r ef i x e dp o i n tt h e o r e m s ，c o i n c i d e n c et h e o r e m sa n da n o n e m p t yi n t e r s e c t i o nt h e o r e m i nt h ef o r t hc h a p t e r ，b yu s i n gg e n e r a l i z e dr - k k mm a p p i n g s ，w eo b t a i nan e wc o i a c i d e n c e t h e o r e mf o ra d m i s s i b l es e t v a l u e dm a p p i n g si nt o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h o u ta n yc o n v e x i t ys t r u c t u r e a sa p p l i c a t i o n s ，w ep r o v es o m en e wm i n i m a xi n e q u a l i t i e s ，s e c t i o nt h e o r e ma n db e s ta p p r o x i m a t i o n t h e o r e m u s i n gt h eo b t a i n e dn e wm i n i m a xi n e q u a l i t i e s ，s o m ee x i s t e n c et h e o r e m so fw e i g h t e dn a s h e q u i l i b r i aa n dp a r e t oe q u i l i b r i af o rr a u l t i o b j e c t i v eg a m e sa r eg i v e n i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fw e a k l yr - k k mm a p p i n g s ，r - c o n v e xa n d r 一口一q u a s i c o n v e xi ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h o u ta n yc o n v e x i t ys t r u c t u r e w eg e n e r a l i z e f a n sm a t c h i n gt h e o r e mt og e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c ew i t h o u ta n yc o n v e x i t ys t r u c t u r e ，n a m e l y t h a tl e m m a5 1 2i nt h i sp a p e r b yu s i n gl e m m a512 t w oi n t e r s e c t i o nt h e o r e m sa r ep r o v e di n t o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h o u ta n yc o n v e x i t ys t r u c t u r eb yu s i n gi n t e r s e c t i o nt h e o r e m s ，s o m em i n i m a x i n e q u a l i t i e so fk yf a nt y p ea r ea l s op r o v e d i n t h es i x t hc h a p t e r ，w e i n t r o d u c e t h en e wc o n c e p t s o f b e t t e r a d m i s s i b l ec l a s s 留f c ( f x ) ，壬f c m a p p i n g sa n d 壬f c s p a c e si nf c - s p a c e so nt h i sb a s i s lf i r s t l y ，w eo b t a i nac o n t i n u o u ss e l e c t i o n t h e o r e mf o r 中f c m a p p i n g si nf c s p a c e s s e c o n d l y ，u s i n gt h ec o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m ，w e p r o o f af i x e dp o i n tt h e o r e mi n v o l v i n g 站f c ( rx ) i n 西f c - s p a c e s ，w h i c hi sc l o s e l yr e l a t e dt ot h ew e l l k n o w ns c h a u d e rc o n j e c t u r e f i n a l l y l sa p p l i c a t i o n so fo u rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，aq u a s i - e q u i l i b r i u m t h e o r e ma n dag e n e r a l i z e dq u a s i - e q u i l i b r i u mt h e o r e mi n v o l v i n g 毋f c ( y 1x ) a r ep r o v e d k e y w o r d s ：c o i n c i d e n c ep o i n t ，a d m i s s i b l es e t - v a l u e dm a p p i n g ，g e n e r a l i z e dr k k mm a p p i n g ，f c - s p a c e ，c o n t i n u o u ss e l e c t i o n 独创性声明 y9 0 1 7 53 学位论文题目：三险正趣銮丝函麴丛墓在拯值蝗筮速度主的廑旦 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：瓦习荔n 词签字日期：卵侔乒月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：雨荔v 7 闲 导师签名： 事l ( ，彳 签字日期：洲，年乒为3 日 签字日期： 叩e 年中月3 日 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 电话：( 盟。1 2 型：量j 3 - 邮编：6 垒；竺竺 第一章 绪论 1 9 3 9 年三位波兰数学家k n a s t e r 、k u r a t o w s k i 和m a z u r k i e w i c z 在文 3 9 中揭示了关于 单形的一个抹剁性威，目p 经典的k k m 定理( 也称k k k 引理或k k m 原理)k k m 定理在纯 数学和应用数学的许多领域都有着广泛的应用，这些研究和应用统称为k k m 理论k n a s t e r 、 k u r a t o w s k i 和m a z u r k i e w i e z 开创了对k k m 理论的研究此后，由于许多数学家的努力，特别 是k yf a n 教授的重要贡献，k k m 理论及应用的研究取得重要的进展，并日臻完善 k k m 理论在处理许多非线性问题时起着极为重要的作用，并逐渐形成种独具特色的k k m 技巧， 不仅在变分不等式理论、不动点理论，而且在菲线性分析的诸多领域，特另u 是控制理论、数理 经济、对策理论、优化理论、非线性规划等都有广泛的应用虽然对k k m 理论的研究不足百 年，但其广阔的应用前景已使k k m 理论发展为- - j 7 内容十分丰富的边缘性学科，成为当今非 线性分析的重要组成部分 1 9 6 1 年，k yf a nf 3 1 】将经典的k k m 定理推广到无穷维的h a u s d o r f f 拓扑向量空间并 建立了一个关于集值映射的初步的但非常基本的几何引理，即k yf m l 几何引理应用k yf a n 几何引理得到了k yf a n 极大极小不等式，进一步可导出f a n - g l i c k s b e r g 不动点定理 k yf a n 极大极小不等式在偏微分方程、单调算子、变分不等式、优化理论、对策理论、线性和非线性 规划、算子理论、拓扑群和线性代数等方面都有应用1 9 6 8 年，b r o w d e r 9 j 给出了k yf a n 几何引理的不动点形式，即b r o w d e r f a n 不动点定理此后，有许多关于1 3 r o w d e r f a n 不动点 定理的推广，以及它在叠合理论、不动点理论、极大极小不等式、非线性分析、凸分析等方面 的应用，这一阶段，k k m 理论方面的研究都是在拓扑线性空间中进行的由于在k k m 定理 的证明中要涉及凸包，因此要求空间具有线性结构似乎是必要的 1 9 8 7 年，h o r v a t h 【3 5 】用可缩这一拓扑性质来描述拓扑向量空问中集合的凸包，提出圩 空闻 或e 空闻) 的概念，它是一类新的不具有任何线性结构的拓扑空间h o r v a t h 将k k m 理论的研究转移到日一空间中来至此，k k m 理论的研究完全脱离了线性结构，但并没有脱 离凸结构在h 空间中有相应的日凸包，它是拓扑向量空间中集合的凸包在日一空间中的推 广 1 9 9 3 年，sp a r k 【5 1 】将日- 空间进一步抽象化。得到了所谓的广义凸空间( 简称口凸空 间) 后来出现的l 一凸空间只是将g 一凸空问中的保序条件去掉，并没有本质的推广在g 一凸 空间中有相应的g 凸包，它是日凸包的推广 g 凸空间仍没有脱离凸结构 2 0 0 3 年，d e n g 和x i af l3 提出了广义r - k k m 映射的概念，由此在不具有任何凸结构的 一般拓扑空间中研究广义r k k m 定理 2 0 0 5 年，d i n g 【2 9 提出f c 空间的概念，这是一个不具有任何线性结构和凸结构的一般 拓扑空间它包含拓扑向量空间中的凸子集、- 空间、g 一凸空间、l 凸空间以及其它的一 些抽象凸空间为特例 本文的目的就是在不具有任何凸结构的一般拓扑空间中研究k k m 理论已经取得了些 结果，但还远远不够目前我f r m 进一步做更深入的研究 2 第二章 拓扑空间中关于容许集值映射的叠合定理及其应用 最近，p a r k 在文f 5 0 ，5 l ，5 2 】中提出容许集值映射类捌：的概念，它是一个相当大的集值 映射类，包含非线性分析和代数拓扑中重要的集值映射的复合p a r k 的容许集值映射类适合 建立叠台定理、不动点定理、变分不等式以及k k m 型定理等，见文| 5 3 ，5 4 ，5 5 1 ，这些结论有 广惩的应用p a r k 在文【5 1 j 中引入广义凸空间( 简称g - 凸空问) 的概念，它是许多具有抽象 凸结构的拓扑空间的推广文【5 1 】在g 凸空间中得到了一个关于容许集值映射的叠合定理， 它包含许多已知的定理为特例，而且在其他方面具有广泛应用在叠舍定理的证明中，凸性假 设起着重要作用换句话说，凸性假设在证明中是必须的但是，我们想去掉凸性假设，即在 不具有任何凸性结构的拓扑空间中讨论关于容许集值映射的叠合定理 文【1 3 j 引入广义r k k m 映射的概念，它统一和推广了许多相关的符号，例如文 7 4 1 的广 义r k k m 映射，文【1 6 ，5 0 ，5 1 ，5 6 】的广义g k k m 映射，文【1 6 ，4 4 】的广义s k k m 映射，文 【1 7 的广义h k k m 映射以及文1 1 8 】的广义l k k m 映射等通过引入广义r k k m 映射，文 f 1 3 j 在不具有任何凸性结构的拓扑空间中讨论了一些新的广义矗k k m 定理 本章利用文 1 3 】的广义r k k m 映射，在不具有任何凸性结构的拓扑空间中得到了一个新 的关于容许集值映射的叠合定理做为应用，得到了一个抽象变分不等式、一个k k m 型定理 和一些不动点定理 2 1 预备知识 设f ：x - - - ) 2 7 是从集合x 到集合y 的幂集2 ”的集值映射任意。x ，f ( z ) ( y 任意掣y ，f - 1 ( 可) = zex ：”f ( 。) ) 若acx ，则f ( a ) = u f ( z ) ：z a ) bcy ，则b 关于f 的下逆和上逆分别定义为： f 一( 口) = f z x ：f ( z ) n b 0 ) 和f + ( b ) = z x ：f ) c b ) 若 给定两个集值映射f ：x + 2 7 和g ：y 2 z ，复合映射gof ：x 2 0 定义为： ( go f ) b ) = g ( f 扛) ) ，v z x 设x 和y 是拓扑空间，集值映射f ：x 2 ”称为是上半连续的，如果对任意闭集 bcy ，f 一( b ) 在x 中是闭的集值映射f ：x 2 7 称为是紧的，如果f ( x ) 被y 的一 个紧子集所包含注意，上半连续集值映射的复合映射是上半连续映射，紧集在具有非空紧值 的上半连续集值映射下的像还是紧的 令v 表示拓扑向量空间e 的原点0 的一个开邻域基，e 中有限子集的凸包称为多胞形 设x 是拓扑空间，如果x 可以表示成x 中可数个紧集的并，则x 称为是口紧集显 然，紧集是一一紧集 3 给定集值映射类吼，令q ( x ，y ) 表示所有属于皿的集值映射f ：y 2 7 构成的集合， 即吼( ，y ) = f ：x 42 7 l f 嘎) 令吼。表示诅中元索的有限复合构成的类 集值映射类g 满足下面三条： ( i ) 吼包含单值连续映射构成的类c ； ( | 1 ) 任意f 2 i 。是上半连续且具有非空紧值的； ( i i i ) 给定多胞形p ，任意f q 。( 只p ) 有不动点 进一步我们有下述符号： f 哪( x ，】7 ) 当且仅当对x 的任意d - 紧子集，存在f g 。( ，y ) 使得f ( x ) cf ( z ) 对任意z k 成立 f q ：( x ，y ) 当且仅当对x 的任意紧子集k ，存在f g 。( ，y ) 使得f ( z ) cf ( x ) 对 任意zek 成立 易证gc 姐。cg ；cg ：蜒中的集值映射称为是容许的 设d 是非空集合，令( d ) 表示d 的所有非空有限子集构成的集族给定集台a ，令j a i 表示a 的基。表示n 一维标准单形，即 nn n = t t r ：u = ，( “) e 。 ，( u ) 20 ， = 1 ) ， i = 0 i = o 其中e 。( i = 0 ，7 i ) 表示r n + 1 中的第( 1 + 1 ) 个单位向量 设x 是非空集合，y 是拓扑空间，w ：x 2 7 称为是广义相对k k m 映射( 简称广义 r 。k k m 映射) ，如果对任意a ( x ) 且i a l = n + 1 ，存在连续映射蛳：。+ y 使得对任 意，( a ) 有 _ p ( j ) w ( j ) ， 其中j 表示与j 相对应的。的面 设a 是拓扑空间x 的子集，a 在x 中称为是紧开的( 或紧闭的) ，如果对x 的任意非 空紧子集，a n 在中是开的( 或闭的) 关于预备知识，具体见文f 1 3 ，5 1 】 2 2关于容许集值映射的叠合定理 定理2 2 1 7 7 】设x 是拓扑空间，d 是x 的非空子集，y 是h a u s d o r f f 空间，s ：1 9 + 2 。，t ：x 2 7 是两个集值映射，f 吼：( x ，y ) 假设下列条件满足 ( 1 ) 任意z d ，s ( x ) 是y 中的紧开集； ( 2 ) 存在y 的非空紧子集耳使得f ( x ) n kcs ( d ) ； ( 3 ) 下面两个条件之一成立： ( i ) 存在广义r k k m 映射w ：d _ 2 。和m ( d ) 使得y k s ( m ) ； 4 ( i i ) 任意n d ) 存在x 的紧子集l 包含使得f ( l ) kcs ( l n d ) ，且存在 广义r - i ( z ) ) ，且存在广义r - k k m 映射w ：d 一2 0 ； ( i i ) 任意n ( d ) ，存在x 的紧子集三 ，包含n 使得f ( l ) 、kcu 。e 。n o y x ： 口( z ，y ) + h ( y ) ( z ) ) ，且存在广义r k k m 映射w ：l nn d 2 “； ( 2 ) 任意( z ，y ) d x x ，q ( z ，y ) 曼p ( 。，) ；任意z x 和f ( z ) p ( z ，y ) + ( 可) ( z ) ； ( 3 ) 任意z d ， ，x ：口( 叠y ) + h ( y ) a ( z ) ) 是紧开的； ( 4 ) 任意f ( x ) ，若m ( ( z x ：p ( z ，y ) + h ( y ) ( z ) ) ) ，则w ( m ) c z x ： p ( o ，y ) + h ( y ) h ( x ) ) 则存在o f ( x ) n k 是变分不等式 q ( z ，y o ) + h ( y o ) ( z ) ，忱d 的解而且解集是丽nk 的一个紧子集 6 证明：定义集值映射s d 2 0 和t ：x 2 0 如下 s ( x ) = f | 、r ：q ( z ，) + ( y ) ( z ) 】v z d t ( x ) = y ：p ( z ，”) + h ( y ) ( z ) ) v z x 由( 2 ) 和( 3 ) 定理2 2l 的条件( 3 ) 和( 】) 分别满足下面证明定理221 的条件( 4 ) 满足， 由( 2 ) 得s _ 1 ( 9 ) ct 。( y ) 对任意9 i y 成立对任意y f ( x ) ，如果m ( s 一1 ( ) ) ，则 m e ( t “( ) ) = ( ( z x ：p ( 。，y ) + h ( u ) 7 i ( z ) ) ) 由( 4 ) 得w ( m ) ct “( y ) 故定理22 1 的 条件( 4 ) 满足假定存在1 1 0 丽n 使得y ogs ( o ) ，则定理结论成立因此我们不妨假设 f ) n c s ( d ) ，则定理22 ，1 的所有条件满足，从而存在z o x 使得f ( x o ) n r ( z o ) 0 设y o f ( x o ) n t ( z o ) ，则y o f ( z o ) 且p ( x o ，y o ) + h ( y o ) ( z o ) ，这与条件( 2 ) 矛盾进一 步，变分不等式的解集是紧集丽nk 的紧闭子集 n ( 可两n ：口( z ，) + ( y ) 兰 ( z ) ) z d 的交证明完毕 注2 3 1 定理2 3 1 将文【5 lj 中定理2 的条件“( x ，d ；f ) 是h a u s d o r f f 6 - 凸空问”削弱为 “x 是一个h a u s d o r f f 空间，且在x 上存在一个广义r k k m 映射”也将文1 5 】1 中定理2 的 条件“是g 凸空间( x ，d ；r ) 的g 凸子集”削弱为“l 是x 的一个子集，且在l n 上 存在一个广义r - k k m 映射”与注2 2 1 类似，定理2 3 1 包含文【5 1 】的定理2 为特例而文 5 1 1 中的定理2 包含许多已知的定理为特例，因此定理2 3 1 也包含许多已知的定理为持例， 具体见文f 5 1 1 由定理22 1 ，可得下述的k k m 型定理： 定理2 3 2 77 设x 是拓扑空间，d 是x 的非空子集，y 是h a u s d o r f f 空间，是y 的非空紧子集，f 吼：( x ，y ) ，g ：d 2 7 是集值映射假设下列条件满足 ( 1 ) 下面两个条件之一成立 ( i ) 存在m ( d ) 使得n g ( z ) ：z m ) ck ，且存在广义r - k k m 映射：d 2 “； ( i i ) 任意n ( d ) ，存在x 的紧子集上包含使得f ( l n ) n ( n g ( x ) ：z l n n d ) c k ， 且存在广义r k k m 映射w ：l nn d 2 l n ； ( 2 ) 任意z d ，g ( z ) 在y 中是紧闭的； ( 3 ) 任意n ( d ) ，f ( n ，( ) ) c c ( n ) 则f ( x ) n k n ( n c ( x ) ：z d ) ) 口 证明：假设结论不成立，则丽n kc s ( n ) ，其中对任意z d 有s ( z ) = y g ( z ) 易 知定理2 2 1 的条件( 2 ) 满足由( i ) 得定理22 1 的条件( 3 ) 满足由( 2 ) 得定理2 2 1 的条件 ( 1 ) 满足下面证明定理2 2 1 的条件( 4 ) 也满足定义集值映射h ：y 2 。和t ：x 2 7 7 分别为： ( 翦) = u ( i ? ( ) ：m ( s _ 1 ( 孽) ) ，v yer 和 t ( z = h 一1 ( z ) ，v z x 我们有t _ 1 ( ) = 。x ：”丁( z ) ) = f z y ：y h 一1 ( z ) ) = ( z y ：z ( 弘) ) = h ( 掣) 任意f ( x ) ，如果m ( s “( 9 ) ) 则w ( m ) ch ( ) = t 一1 ( )因此定理2 21 的条件( 4 ) 满足定理2 21 的所有条件满足由定理2 2l ，存在z o x 使得f ( z o ) n 丁( z o ) 0 设 f ( x o ) n t ( z o ) ，则z o t _ 1 ( ”) = h ( v ) = u w ( m ) ：m ( s 一1 ( y ) ) ) ，故存在m ( s 一1 ( ) ) 使得z o w ( m ) 由3 4 ( s _ 1 ( y ) ) ，可得对任意z m 有s ( z ) 因此y f ( z o ) n ( n ( s ( z ) ： z m ) cf ( w ( m 】) n ( n s ( z ) z ) ) ，即f ( w ( ) ) n ( n s ( z ) ：z m ) ) 0 从而 f ( w ( m ) ) 茌c ( m ) ，这与( 3 ) 矛盾证明完毕 注2 3 2 与前面类似，定理232 包含文【5 1 l 中的定理3 为特倒而文【5 l 】的定理3 包含 许多已知定理为特例，所以定理2 32 也包含许多已知的定理为持例，具体见文 5 1 】 由定理221 可得下面的不动点定理： 定理2 3 31 7 7 设是拓扑空间，d 是x 的非空子集，e 是t t a u s d o r f f 拓扑向量空间， x c e ，f 磷( x ，e ) ，1 ，是e 中原点的一个开邻域任意| ，、，( d ) ，存在x 的紧子集二 和一个广义r k k m 映射w ：l n n d _ 2 。”使得下列条件满足： ( 1 ) 任意y f ( x ) ，若m ( y v ) n d ) ，则w ( m ) c ( y v ) n x ； ( 2 ) 在e 的非空紧子集k 使得可丽n kc d + v ； ( 3 ) ncl 且f ( l n ) k c ( l n d ) + v 则f 有一个v 一不动点z v x ；即f ( z v ) n 扛v + v ) d 证明：定义集值映射s ：d 2 8 和t ：x 2 8 分别为 s ( z 1 = z + k v x d 和 t ( z ) = z + n v x x 注意到，任意z d ，s ( z ) 在e 中是开的，因此s ( z ) 在e 中是紧开的任意f ( x ) ， s - l ( ) = ( 一v ) n d ，t 一1 ( ) = ( p v ) n x ，m ( s 一1 ( ) ) 意味着w ( m ) ct 一1 ( ) 存在 非空紧子集kce 使得丽n kcs ( d ) ncl _ 且f ( ) kcs ( _ n d ) 定理2 2 1 的所有条件满足，因此存在x v x 使得f ( z y ) n t ( = v ) 口，即f ( z v ) n ( t v + v ) 0 证明 完毕 注2 3 3 凸空间必定是g 凸空间，而g 凸空间必定满足在其上存在广义r k k m 映 射，因此定理2 3 3 包含文【5 1 】的定理4 为特例 8 推论2 3 11 77 设e 是h a u s d o r f f 拓扑向量空问，xce f q ：( x ，e ) 如果对每一 n x ) ，存在x 的紧子集l n 和一个广义r k k m 映射w ：l n 2 “使得： ( 1 ) 任意y f ( x ) 和v v ，若m ( 一v ) n x ) ，则w ( m ) c ( y v ) n x ； ( 2 ) 存在e 的非空紧子集使得f ( x ) n kc x j ( 3 ) ncl n 且f ( l n ) kcl n 则对任意v v ，f 有一个v 不动点 证明：在定理2 33 中令x = d 即可，证明完毕 推论2 3 2 ( 7 7 】设e 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，x 是e 的子空间对每一n ( x ) ， 存在的紧子集l r 包含假定下列两个条件之一成立： ( i ) f q 。( x ，x ) ，且存在广义r - k k m 映射w ：l l v 2 w 使得对任意y f ( x ) 和 v v ，若me ( ( v v ) n x ) ，则w ( m ) c ( y v ) n x ； ( i i ) f r a g ( x ，x ) ，且存在广义r - k k m 映射w ：l n 丽2 一“7 ( x 使得对任意 y f ( x ) 和v v ，若m ( ( g v ) o f ( x ) ) ，贝0w ( m ) c ( y v ) n f ( x ) 如果f 是紧的，则f 有一个不动点o o x ，即3 7 0 f ( x o ) 证明：( i ) 对任意v v ，在推论2 3 1 中令p ( x ) = k ，则存在i g v ，9 v x 使得9 v f ( x v ) 且y v 一乱，v 因为y ( x ) 被紧集包含，所以我们不妨假设y 收敛到某x o k ，则。y 也收敛到z o 因为f 的图象在xxk 中是闭的所以2 0 f ( x o ) ( i i ) 注意到l n 丽是紧的令b = 丽，由丽cx 得bc 爿从而b 是口一紧 的因为f a g ( x ，b ) ，故存在f 钆( b ，b ) 使得对任意z b 有f ( z ) cf ( 。) 因为f 是 紧的，所咀f 是紧的由( i ) ，f 有不动点z 。b ，即z o f ( z o ) cf ( x o ) 证明完毕 9 第三章拓扑空间中壬一映射的连续选择定理及其应用 在文【8 ，9 】中，b r o w d e r 证明了任何一个从h a u s d o r f f 紧空间到凸空间且具有凸值和开纤 维的集值映射都有连续选择，应用这一事实证明了著名的f a n - b r o w d e r 不动点定理以后，连 续选择定理在文【4 ，5 ，2 0 ，2 1 ，3 5 ，3 7 ：6 3 6 4 ，7 6 ，8 0 】中相继被阐述，并被许多作者所应用 h o r v a t h 在文【3 6 ，3 7 1 中把连续选择定理推广到c 一空间( 或日一空间) ；p a r k 和k i m 在文 5 1 ，5 6 】中将h - 空间的概念推广到g 一凸空间；l i n 和p a r k 在文 4 5 】以及p a r k 在文 6 3 ，64 】 中都将连续选择定理从c 一空间推广到g 凸空间；，和l i n 在文 8 1 】中将连续选择定理推广 到定义域非紧且值域包含在g 凸空问或与g 凸空间相关的空间；d i n g 在文 2 2 】中将连续选 择定理推广到定义域是正规空间且值域包含在g 凸空间不难发现上述研究中所涉及的空间 都具有某种凸性结构最近，d e n g 和x i a 在文f 1 3 1 中引进广义r - k k m 映射的概念，并在不 具有任何凸性结构的拓扑空间中研究了广义r k k m 定理 受上述研究的启发，我们试图研究关于壬映射的连续选择定理，其中定义域是非紧的， 值域包含在不具有任何凸性结构的拓扑空间中 圣一映射的概念起源于h o r v a t h 的文【3 6 】，以后被p a r k 在文【6 3 ，6 5 】中推广d i n g 在文 【2 3 】中也推广了壬映射的概念，并且是p a r k 在文【6 3 ，6 5 】中引进的西- 映射的真推广注意到 他们所引进的壬映射的值域都包含在g 一凸空间或与g 。凸空间相关的空间在本章中，我们 首先利用文1 3 1 中引进的广义r k k m 映射，将圣一映射的概念从g 一凸空间推广到不具有任何 凸性结构的拓扑空间这个定义包含p a r k 在文【6 3 ，6 5 】以及d i n g 在文【2 3 】中所引入的圣一映 射为特例然后在不具有任何凸性结构的拓扑空问给出了一些连续选择定理作为应用，给出 了一些不动点定理，叠合定理和一个非空交定理 3 1 预备知识 设x 和】，是两个非空集合，分别用2 7 和) 表示y 的所有子集构成的集族和x 的所 有非空有限子集构成的集族对任意的a ( x ) ，i a i 表示且的基数 。表示n 维标准单 形，即 nn a 。= “嚏州：“= 。( u ) 。( u ) o ，k ( ) = 1 ) ， i = 0i = 0 其中e i ( i = 0 ，n ) 是r ”1 中第i + 1 个单位向量 设t ：x _ 2 7 是一个集值映射，对任意b c y ，b 关于t 的下逆定义为 t 一( b ) = ( z x ：r ( z ) n 日0 ) t ：x _ 2 7 的逆是集值映射t 一1 ：y _ + 2 x ，其中x t 一1 ( ) 当且仅当y t ( z ) 设x 是一个非空集合，y 是一个拓扑空间，w ：x _ + 2 7 称为广义相对k k m 映射( 简 1 0 称广义r - k k m 映射) ，如果对任意的a ( x ) 并且i a l = ，z + 1 ，存在连续映射妒 ：a 。+ y 使得对任意的，e ( a ) 都有 妒( j ) ch 7 ( ，) ， 其中j 表示与j 相对应的。的标准子单形关于这定义可参考d e n g 和x i a 文【1 3 j 如果连续映射，：x - + y 满足对所有的z x 都有，( z ) r ( z ) 成立，则它称为集值映射 r ：_ 2 7 的一个连续选择 引理3 1 1 【2 4 】设x 和y 均为拓扑空间g ：x _ 2 。是一个具有非空值的集值映射， 则下述五个条件等价： ( i ) g 具有局部交性质； ( i j ) 对任意9 y ，存在x 的开子集o v ( 可能是空的) 满足0 。c g 1 ( ”) 和x = u 。y o v ； ( i i i ) 存在集值映射f ：x _ 2 7 满足对任意z x 有f ( 。) cg ( z ) ，对任意y 有 f - 1 ( f ) 是x 中开子集，并且x = u ”r f 一1 ( f ) ； ( i v ) x = u ”e yi n t g 一1 ( ) ； ( v ) g “：y - 2 。在x 上是转移开值的 现在，我们给出不具有任何凸性结构的拓扑空问中壬一映射的定义，如下： 定义3 1 1 【7 8 l 设x 和y 是两个拓扑空间，d 是l ，的一个非空子集，集值映射t ：x - 2 r 称为西一映射，如果存在一个广义r k k m 映射w ：d - 2 和一个集值映射s ：x - 2 。满足 ( a ) 对任意z x ，若m ( s ( z ) ) ，则w ( m ) ct ( x ) ； ( b ) s 满足引理3 1 1 中条件( i ) 一( v ) 中的一个 我们分别称s ：x _ 2 。和w ：d _ + 2 7 为在壬- 映射t - x - 2 ”的定义中出现的伴随映射和 广义r - k k m 映射 注意到对任何一个g - 凸空间( f d ；r ) 而言，r ：( d ) _ 2 7 就是一个广义r k k m 映射 因此，我们的壬- 映射包含p a r k 在文( 6 3 ，6 5 j 以及d i n g 在文 23 】中引进的西映射为特例 引理3 1 2 【7 8 1 设x 和y 是两个拓扑空间，d 是l ，的非空子集如果丁：x _ 2 7 是 西一映射，并且w ：d - - + 2 ”和s ：x 2 。分别是在圣映射t ：x - + 2 7 的定义中出现的广 义r k k m 映射和伴随映射若l m 是x 的一个开子集，则t i l 。：l m _ 2 7 是圣，映射，并 且：d _ 2 y 和s l l m ：l 村2 d 分别是在垂映射t i l m ：l - + 2 y 的定义中出现的广义 r - k k m 映射和伴随映射 证明：由定义3 1 1 的( a ) 可知对任意z l ，若m ( s l l 。( z ) ) = ( s ( z ) ) ，则 w ( m ) ct ( z ) = ：r l l 。( z ) 由定义31 1 的( b ) 和引理31 1 可知x = u i n t s 。( ) ：d ) ， 因此l f = u ( i n t s _ 1 ( ) ) n l f ：d ) 而l m 是开的，故l 盯= u ( i n t s 一1 ( 掣) ) n ( i n t l m ) ： f d ) = u i n t ( s - 1 ( ) n l m ) ：f d ) = u f i n 岱l 己( ) ：d