（等离子体物理专业论文）非平衡等离子体碰撞项和输运系数的理论研究.pdf

中困科学技术大学博l ：学位论文 摘要 在以前对于库仑碰撞的研究中，通常是将场粒子的状念设定为热 平衡状态从而用麦克斯韦速度分布函数来描述，而真实的等离子体状 念往往是偏离平衡的，需要用非麦克斯韦速度分布函数 ( n o n m a x w e l l i a n ) 来描述。为了简化计算，麦氏分布被应用在各种 状况下，并且用热平衡速度取代了场粒子的真实速度。在本文中，我 们设计了一种易于控制的非麦氏分布函数束描述等离子体，并且用它 取代了原来f o k k e 卜p l a n c k 系数计算中所用的错误的场粒子速度分布， 使用了以前论文中 1 ，2 】介绍的更加符合原始定义的避免了积分发散 的三阶积分和新的德拜截断参数，从而用一种新的方法得出了更加符 合物理真相的转移概率函数以及f o k k e r - p 1 a n c k 系数，进而用它来研究 了弱耦合以及中度耦合等离子体中的弛豫过程和输运过程，得出了全 新的各项系数。 a l 中罔科学技术人学博i 。学位论空 a b s t r a c t u s u a h yt h es t a t e so ft h ef i e l dp a r t i c l e sw e r ea s s u m e di nt h em o t i o n e q u i l i b r i u m a n dt h em a x w e l l i a i l a p p r o x i m a t i o n s u b s t i t u t e df o rt h e n o n m a x w e l l i a nv e l o c i 秒d i s t r i b u t i o nf h n c t i o ni nd e s p i t eo ft h es t a t e sw e r e m o s t l yi nm en o n e q u i l i b r i u m t h e nt h em a ) 【w e l l i a nv e l o c i t yd i s t 曲u t i o nw a s 印p l i e di na n yc o n d i t i o na i l dt h et h e 咖a lv e l o c i 哆r e p l a c e dt h er e a lv e l o c i t yo f t h ef i e l dp a r t i c l e s i nt h i sp a p e r t h en e wm e t h o di si n t r o d u c e dt od e r i v et h e f o k k e 卜p l a n c kc o e 伍c i e n t sw i t han o n m a x w e l l i a i l v e l o c i t yd i s t r i b u t i o n 如n c t i o nf o rt h e 矗e l dp a r t i c l e s t h et h r e e f o l di n t e g r “a n dt h en e wd e b y ec u t o f f p a r a m e t e r w h i c hw e r ei n t r o d u c e di np r e v i o u sp a p e r s 【1 ，2 ，h a v eb e e n 印p l i 酣 s ot h a tt h ed i v e 唱e n c ed i m c u l t i e sc a i lb ea v o i d e d t h ep r o b a b i l i t yf u n c t i o n p ( v ，a v ) f o rn o n m a ) ( w e l l i a ns c a t t e r s i sd e r i v e dw h i c hh e l p st oc a l c u l a t et h e f o k k e r - p i a n c kc o e 衔c i e n t s t h e掰c t i o na n dd i 疏s i o nc o e f f i c i e n t so f f o k k e r p l a n c k e q u a t i o na r em o d i f i e da n da r ee x e n e dt oi n v e s t i g a t e t h e r e l a x a t i o na n d 衄n s p o np r o c e s s e sf o r 、阮a k l ya n d m o d e r a t e l yc o u p l e dp l a s m a 中罔科学技术人学博i 学位论文 致谢 在本科的高年缴阶段以及硕士、博士阶段，一直是在李定教授的 悉心指导下度过的。李老师的严谨缜密、认真负责的治学态度和工作 作风，深深地影响着我，体现在我工作中的各个阶段。论文中的创新 的学术思想以及繁复的理论分析，都是在和李老师无数次的论证及推 导中得到改进和确定的。李老师渊博的学识及其力求完美的态度，对 本论文的完善及成型起了无比重要的作用。在这里，我怀着崇敬的心 情对李定老师表示最城挚的谢意。 感谢工作组罩的张文禄、吴征威、吕雪、蔡辉山、曹会涛、仇志 勇等同学，同他们进行的无私热忱的讨论对本课题的顺利丌展有很大 的帮助，在此向他们致以深深的谢意。同时还要感谢刘万东老师、陈 银华老师、杨维统老师等多位老师多年来的关心与爱护。 最后要感谢的是我的父母，多年的养育之恩和谆谆教诲是我今r l 成绩的基础和来源。感谢我的女友姜莹莹对我的关心和照顾，以及她 的支持和鼓励，使我能够全身心地进行学习和工作。 1 中罔科学技术人学博i j 学位论文 1 - 1 概述 第一章绪论一一粒子碰撞的描述 大家知道，等离子体是物质的第四念，是物质达到气态以后再继 续从外界获得能量从雨进一步分裂为带负电的电子和带正电的离予以 及一定数量的中性粒子组成的。对等离子体的通常定义是：等离子体 是电离气体或是其带电粒子的相互作用是受集体效应支配的一种媒 质。 在寻常气体中粒子是电中性的，它们之自的相互作用在互相碰撞 时以外一般都非常微弱，是短程相互作用，有效相互作用半径远小于 粒子平均自由程。在远远大干粒子平均自由程的空侧尺度上，气体粒 子好像是局域的、彼此关联着的，这时粒子的微观运动已经不重要了， 气体作为整体可以看成是连续介质，这种情况下宏观流体模型是适用 的。 在弱电离( l ) 等离子体的情况下，其中带电粒子为数仍然不 多，这里主要是电子与中性粒子发生短程相互作用，所以运动仍与中 性粒子基本相似，但是由于它们自身产生的电磁场以及对于外磁场的 反应，使得弱电离等离子体还是有一些与寻常气体很不相同的性质。 至于强电离或完全电离的等离子体，带电粒子之问的相互作用就 成为主要的了。在这里，由于库仑力的长程性，多个带电粒子的集体 相互作用，将压倒两个孤立粒子之问的碰撞。这时，带电粒子的大角 度偏转主要是由多重的小角度偏转累积而成的，这罩带电粒子的轨道 不是简单的折线，而是不断发生小波纹并逐渐形成大拐弯的曲线，这 给等离子体带来了新的特点。 从物理学角度来研究等离子体时，所用的方法有近似处理和统计 处理两种。在近似处理中又分为单粒子处理和流体处理两种。单粗_ r 】 中同科学技术人学博l 学位论殳 处理方法就是把等离子体当作独立粒子系统，然后根据牛顿运动与程 柬确定单个带电粒子在电磁场中的运动轨道，这晕是完全忽略粒子之 间的相互作用的，所以它最适合于描述稀薄的等离子体。这种模型给 我们提供了关于粒子运动的直观图像，有助于了解等离子体在总体上 的某些性质。等离子体的另一个最简单的模型是导电流体模型，在这 种模型里不讨论单个粒子的运动，而是把等离子体当作连续介质来处 理，这就是流体处理方法，显然它最适合于稠密等离子体。我们用磁 流体力学来解决这种模型中各种磁场位形下等离子体的平衡和稳定问 题，以及振荡和波的问题。它是一种宏观理论。由于等离子体是一个 多粒子系统，最基本的描述当然是使用统计方法，确定出系统中各种 粒子的分布函数束，这种研究叫做等离子体的微观理论。从微观理论 不仅可以导出宏观运动方程，而且可以把流体处理中遗漏了的性质揭 示出来，如最著名的朗道阻尼。 通过求解动力论方程，这个非线性的积分微分方程，可以求得分 布函数的近似解。它不是一个可测的量，但是在速度空间中它的矩却 是可以测量的，这些矩联系到了等离子体的质量密度、粒子平均速度、 压强、能流密度等等。还可以从动力论方程出发来研究等离子体非平 衡过程，其中一类过程是等离子体从非平衡态向平衡态过渡，叫做弛 豫过程：另外类是当等离子体处于稳恒非平衡状念时发生的，像热 传导、电导、粒子扩散等等，统称为输运过程。由于等离子体常常处 于非平衡分布的状态，无论是受控热核聚变还是空间物理、天体物理， 均要涉及到弛豫过程和输运过程。用动理学方法对它们进行研究已有 多年历史，所计算出的参数和系数被用于等离子体中各个方面的计算 中。 出于等离子体的行为最终取决于构成它的微观粒子的运动，以及 这些粒子之间发生的相互作用，因此关于等离子体中带电粒子碰撞的 集体效应的研究，就显得非常重要。我们就是从微观理论出发，用动 理学方法来研究等离子体中最基本的过程一一碰撞，从而深入到普遍 出现的弛豫过程和输运过程。 一2 一 卜冈科掌技术人学哺l 学位论立 1 2 碰撞模型的介绍 为了简化问题，在后面的讨论中所涉及的等离子体部是完全电离等离 子体，它是无界、均匀、非磁化的。这样在谈论碰撞的时候，就只是带电 粒子之间的库仑碰撞，丽不再涉及与中性粒子的碰撞。由于等离子体中带 电粒子之间的库仑作用是长程作用，那么等离子体的集体效应将占主导地 位。历史上对于等离子体中粒子碰撞的研究一直是用试探粒子法，试探粒 子法认为等离子体中除认定的一个试探粒子外所有粒子都已形成麦克斯韦 速度分布( m a x w e l l i a nv e l o c i t y d i s t r i b u t i o n ) ，然后来研究这个试探粒予与 处于热力学平衡的场粒子的相互作用。其中又分为流体描述和动理学描述， 下面我们来一一晚明。 1 2 1 洛伦兹碰撞模型( l o r 吼t zc o is i o nm o d e l ) 如果是考虑一个试探电子通过固定的具有电荷互的背景离子，这 种等离子体碰撞过程中最简单最基本的模型就叫做洛伦兹碰撞模型 ( l or e n t zc o l l is i o nm o d e l ) ( 图1 ) 。 这种模型将离子视为固定不动的，也就是将离子质量看成无穷大， 入射电子以速度v 经过离子，只受到电场力的作用。由于场粒子( 离 子) 是固定不动的，也就是没有速度分布函数，所以只需用经典力学 来处理就行了。这种模型属于流体描述，不涉及统计物理学的方面。 在这晕我们试用等离子体磁流体运动方程加上一些简单的动力论考虑 来推导一下输运系数中的电导系数。 入射的电子在库仑电场的作用下得到加速，受力方程为 槐立：口e 西 1 在经过一定的碰撞时间f ( = 1 v ) 后，电子从电场e 的方向散射丌。于是 一3 中周科学挫术人学博i ：学位论义 叩仄、一? | | 。 图l洛伦兹碰撞模型 我们可以估计电子受到电场作用以及库仑碰撞的时间f 内所形成的平 均速度 优生历旦口e 讲r 可以得到平均速度 堑e = 一三e ，门州v 这个平均速度所引出的电流为 j = 堋v ：竺e 删 在与电导方程j = 盯e 比较后，得到电导系数为 肥 盯= 一 埘v 4 中困科学技术人学磷i 学位论文 这是从经典力学出发进行的简单分析，更精确的分析还可以从单 入射粒子的受力分析入手，对于整个受力过程进行积分，那样还可以 得出上面出现的碰撞频率v 的表达式 ( 1 2 1 6 ) 这个碰撞频率在以后还会多次用到，并被定义为基本碰撞频率( b a s i c c o l l is i o nf r e q u e n c y ) 。经过前面( 1 2 1 - 2 ) 式那样的受力平衡分析后， 同样求出平均速度然后得到电导系数，这时的电导系数为 这时的 匕= 砉如沪高糍 这是在计算电子受力的平均值时对电子的麦克斯韦速度分布函数进行 平移偏离再取一级近似所带柬的平均电子动量弛豫率。 1 2 2 更为复杂的碰撞模型( m o v i n gb a c k g r o u n dc o i i i s j o nm o d e l ) 同样用试探粒子方法，但是设定场粒予不是固定的，而是具有一- 定速度分布函数的( 这里取为处于热平衡的麦克斯韦分布) ，那么这样 的模型将是更加复杂，但是也更加接近物理真像。 对于这种碰撞模型，由于场粒子具有一定的速度分布函数，所以 在研究其库仑碰撞效应时就要考虑到分布函数的平均效应，也就是会 出现罗生句鲁斯势函数( r o s e n b l u t hp o t e n t i a ls ) 13 或者其类似势函 5 字堕甜 型p 竺生 垫污型闻锚 生峨 = 盯 中】司刊萱拙术人学博1 1 学f 一沦爻 图2 背景粒子为移动时的碰撞模型 数。这是对分l j 函数取平均所带来的结果。在后面用动理学方法进行 研究时，可以看到场粒子的分向函数对动力论方程中的碰撞项所带来 的影响，以及出现的势函数使得方程变成了非线性方程，从而在解方 程的过程中出现了许多的麻烦和不得不作的一些简化。 1 3 f o k k e r p l a n c k 方程 这旱我们将介绍怎样用动理学方法柬研究等离子体中的碰撞，并 着重介绍f o k k er - p l a n c k 方程。 1 3 1动理学方法的引入 对等离子体中碰撞的研究还有一种方法就是动理学的方法。我们 把等离子体看成由大量带电粒子组成的一个集团，在分析单个粒f 返 动的基础上，应用统计物理学方法来研究这团粒子的集体行为，得到 6 中困科学技术大学博l 。学位论文 分布函数随时问演化的方程一动力论方程： 堑! ! 丛二盟：尘；笪+ 、，望+ 里望 d t 0 t栅m 瓠 方程右边的项代表碰撞引起的速度分伟函数的变化率，通常称为碰撞 积分或碰撞( 积分或微分) 算子。碰撞项可以通过多种途径导出，例 如可以从各种碰撞模型( k r o o k ，b 0 1 t z m a n n ，f o k k e 卜p l a n c k ) 得出， 也可以从刘维方程经b b g k y 途径或克旱芒多维奇途径导出。这罩指 的碰撞模型是碰撞项的推导模型，与前面的物理模型不同。正是通过 对碰撞项的研究，结合动理学方程，从而从统计物理学的角度来研究 等离子体中的粒子碰撞。 1 3 2 几种碰撞项的比较 现在常用的碰撞项有k r o o k 碰撞项、b 0 1 t z m a n n 碰撞项、 f o k k e r - p l a n c k 碰撞项和l a n d a u 碰撞项。k r o o k 碰撞项又称为b g k 碰 撞项，它是根据量纲分析直截了当地把碰撞项简写为 f 笪1 ：一上 8 t ) ：t c 其中0 是一个有时间量纲的特征常数，通常取为平均碰撞时间。t 具有弛 豫时间的物理意义，一般不仅是速度的函数，而且是五的函数。这罩将f c 取 为常数明显是一种近似，所以k r o o k 碰撞项一般也只是在近似算法中使用。 b o l t z m a n n 碰撞积分是历史最久、最负盛名的一个动理学碰撞模型，其 形式为 ( 警 。= f 阢( v ：) ( v ；) 一五( v 。) 厶( v ，) d n 哪 - 7 - 中困科学拙术人学博l 。学位论业 在导出b 0 1 t z m a n n 方程时作了三个基本假定：1 所有的碰撞都是两体 碰撞；2 相撞粒子在碰撞前后均作自由运动；3 分子混沌假说：两类 粒子问的碰撞次数只和两粒子分布函数= ，+ 名中的，有关，而和 两粒子关联函数只无关。 由于b o l t z m a n n 碰撞项是根据中性气体二体短程相互作用的假设 推导出来的，对于等离子体来说二体碰撞假设和分子混沌假设几乎都 是不成立的。它不能反映等离子体中库仑碰撞主要是远碰撞这一特点， 所以在1 9 3 6 年l a n d a u 从b o l t z m a n n 方程出发，再加上了进一步的假 定( 两粒子问的相互作用是库仑相互作用) 和一个近似( 小角散射近 似) ，导出了可应用于等离子体的l a n d a u 碰撞项，即 ( 警 。= ；焉n a 去岳p ，裳等 去考一去寺卜厶 ( 1 3 2 3 ) 在l a n d a u 导出他的碰撞项时，首先依靠了b 0 1 t z m a n n 碰撞项，而 b o l t z m a n n 碰撞项是根据二体短程相互作用的假设推导出来的，因此 l a n d a u 方程在基本出发点上仍然存在着疑问。事实上，等离子体中的 带电粒子，经常处于与德拜球内其他所有粒子同时相互作用之中，这 会形成多重的小角度碰撞，使得带电粒子像布朗粒子那样运动。布朗 粒子的运动特点是粒子速度不断出现微小的随机性改变，描述这种粒 子系统的动力论方程就是f o k k e 卜p l a n c k 方程。它对粒子碰撞所作的假 设是：1 碰撞是弹性的；2 碰撞是马尔柯夫过程的( 就是蜕，通过碰 撞，粒子从一个状念变成另一个状态的概率，仅取决于这两个状态本 身而与过去的“历史”无关。在概率论中，这样的一系列状态u q 做形 成一个马尔科夫链) ；3 多重远碰撞效应相当于一系列二体远碰撞效应 的线性叠加。f o k k e 卜p l a n c k 碰撞项的形式如下： 妻镨等( ( 五) 铝! 加：r “7 8 中圈 ： 学技术人学博l ：学位论史 其中( v ：) 是f o k k e r p i a n c k 系数，它是通过转移概率函数p ( v 。，v 。) 定义 的： ( v ：) = p ( v 。，v 。) v ：d v 。 这罩的转移概率函数尸( v 。，v 。) 表示的是速度为v 。的口类粒子在时间出 内积累出个小的速度增量v 。的概率：v 。和v 。都是独立变量。尸不 显含时间，就意味着过程与“历史”无关，因为我们已假设它是马尔 科夫过程。应用f o k k e 卜p l a n c k 方程进行计算时，首先要求出 f o k k e 卜p l a n c k 系数。通常我们只取它的前两项，当n = 1 时的( v 。) 。 表示的是一个速度为v 。的口类试探粒子，出于与其他粒子相碰撞而产 生的速度的平均变化率，描述了粒子代表点在速度空问受到的“阻曳”， 它叫做动力摩擦系数；当n = 2 时的( v 。v 。) ，则表示的是速度为v 。的口 类试探粒子，由于与其他粒子相碰撞而在单位时间内引起的v 。v 。的 平均值，描述了粒子代表点在速度空间的“散丌”，它叫做动力扩散系 数。为了对此有一直观认识，我们用下图来描述一束速度为v 。的口类 试探粒子注入到所研究的系统中后在速度空担i 的演化情形。 图3 一束试探粒子在不同时刻处在速度空阳j 中的位置 一9 一 中田科学技术人学博卜学位论文 在t = o 时，所有试探粒子都未遭受碰撞，因此它们的代表点集中在速 度空间中的一点。随着时问的推移，碰撞使这些代表点逐渐向图的左 下方运动( 动力摩擦) ，同时还逐渐散丌( 动力弥散) ；最后当整个系 统达到热力学平衡状态时，这两种效应互相抵消( 它们是符号相反的 两项) ，碰撞即不再引起分布函数随时间改变。图4 表示平衡状态下的 麦克斯韦分布函数，这时动力扩散使粒子代表点向平均速度两侧“散 丌”，而动力摩擦又把它们“拉回来”，结果分布函数保持原来形状不 变。 图4 平衡态时的动力摩擦与动力扩散 f o k k e r - p l a n c k 方程的适用范围很广泛，带电粒子系统仅是其中之 一。在用r o s e n b l u t h 势函数来表示库仑远碰撞的时候，两阶的 f o k k e 卜p 1 a n c k 碰撞项与l a n d a u 碰撞项是完全相同的。但是 f o k k e 卜p l a n c k 碰撞项不再是从b o l t z m a n n 碰撞项出发，而是建立在系 统中的粒子不断进行多重小角度碰撞的基础之上，因此更加符合于等 离子体中带电粒子运动的真实情况。 1 3 3 场粒子速度分布为麦克斯韦分布时的计算 一1 0 中周科学挫术人学陴i + 学位论文 虽然r o s e n b l u t h 及其合作者【l3 对具有任意分布函数的带电粒子 系统求出了酶两个f o k k e r p l a n e k 系数的般公式，但由于计算的复杂 性，对于场粒子的速度分柿函数还都是取的麦克斯韦分布： 删刮= ( 未) 驰e x p 卜筹 不同的粒子系统，转移概率函数p ( v 。，v 。) 具有不同的形式，对于服从 平方反比率的带电粒子系统，先前是通过较为复杂的微分碰撞截面表 示如下【1 3 】 ( v ：) = v ：p ( v 。，v ，口，妒) d 目w 口，咖， = v ：，o ( v ，) 锄盯。s i n 口d 6 l c 劬幽口 这种以场粒子速度v 。和散射角口，p 作为独立变量的转移概率函数 ， p ( v 。，v p ，侈，p ) 较原始形式的p ( v 。，v 。) 复杂，在计算中对相对速度还有一 些不当的简化。后来，以速度改变量v 。为独立变量的f o k k e r _ p l a n c k 系数 和转移概率函数被发展出来 1 ，2 】，为 沁拉m 酬飘s i n 叫磊晶p 加。 尸(v。，v。)=竺!等薹!；i：；害i!(：luu。|)卜u。 中周科学技术人学博l j 学位论义 1 4传统理论中存在的问题 流体力学方法和动理学方法都是研究多粒予体系物理性质的理论 工具，但动理学方法和流体力学的三维坐标空问描述不同，它通常是 在六维的坐标一速度空间来描述等离子体，更能表现等离子体中多粒 子体系的行为与它们的速度状态的密切关系。而且其中的 f o k k e 卜p 1 a n c k 方程，更是适合描述等离子体中带电粒子所受到的长时 间、远距离的库仑相互作用，在研究等离子体中的碰撞及其引起的输 运方面扮演着重要的角色。这在我们前面对各种模型的介绍和比较中 也得到了证实。 在前面介绍f o k k e r p l a n c k 碰撞项的时候，对于场粒子速度分布函 数选择的是麦克斯韦分布，物理图像上是把场粒子当作是处于热力学 平衡的。但是，事实上绝大多数等离子体在大部分时问罩是处r 非平 衡状态的，这才有了弛豫过程和输运过程。在非平衡等离子体中，弛 豫过程是非平衡态向平衡念的过渡，而输运过程是稳定非平衡状态时 发生的过程。非麦克斯韦分布( n o n m a x w e l l i a n ) 是描述非平衡状态 的最好的方法，对于这种分布的研究从理论和实验上都有一些先例 【3 8 ，但是由于计算的复杂性都还是处于初级阶段，而且对于非麦克 斯韦分布函数的选取都还存在局限之处。特别是在碰撞方面的研究， 还是屈指可数的。 1 5本文的研究内容 本文是从微观角度运用动理学的方法柬研究等离子体中的碰撞图像。 为了更为真实地反映等离子体，构造了一个可调参数的非麦克斯韦分稚函 数来描述场粒子对热力学平衡的偏离，其偏离强度是可调节的。这与以往 的研究相比是更为先进的，也是可以回归到原来的麦氏结果的。在 f o k k e r - p l a n c k 方程中，运用了刚发展出来的以速度改变量v 。为独立变量 一1 2 中目科学技术人学博1 学位论殳 的计算方法，得到了非麦氏分仃的转移概率函数尸( v 。，v 。) 的显式j 1 1 ；式，并 进一步地严格求出了一阶和二阶f o k k e 卜p l a n c k 系数，即我们通常所说的动 力摩擦系数和动力扩散系数。 接下来在所求得的f o k k e 卜p l a n c k 系数的基础上，求出了弛豫过程 中的几个重要参数以及输运过程中的系数，发展出了一套并行于 r os e n b l u t h 势的方法。在把它们与以往所计算的经典系数进行比较之 后，进一步地把它们运用到了现在处于热门研究中的惯性约束聚变中 s t o p p i n g - p o w e r 的研究。 1 3 中困科学技术人学博i 学位论殳 第二章改进的f o k k e r p i a n c k 碰撞项 2 1 非麦克斯韦分布函数( n o n - m a x w e i l i a nv e l o c i t y d i s t r i b u t i o n ) 我们知道，由于温度、磁场等控制条件的稳定问题以及扰动的影 响，绝大多数等离子体在大部分时自j 旱都是偏离热力学平衡状态的， 所以刊会有从非平衡念向平衡念过渡的弛豫过程和稳定非平衡态的输 运过程。无论是受控热核聚变还是空间物理、天体物理，均要涉及到 弛豫过程和输运过程。用动理学方法对它们进行研究已有多年历史， 所计算出的参数和系数被用于等离子体中各个方面的计算中。但是存 这些基本参数和系数的计算中，对于碰撞模型中场粒子的速度分布函 数，都是取为麦克斯韦分布。 州刮= ( 翥卜( _ 簪 ( 2 1 1 ) 这样的做法其实是假设场粒子是处于热力学平衡状念的，当然这是背 离了真实的物理图像的。有人以局域中的等离子体可以认为是热平衡 的作为在这里使用麦氏分布的依据，迫于这样做的原因，一是没有一 个统一的合理的描述非麦克斯韦分布的分伟函数，更重要的原因还是 计算中可以得到很大的简化。 对于任意分布函数理论上是可以用麦氏分布的无穷级数求和来表 示的，但是存在着哪一种分布函数才能更好地描述等离子体的非平衡 状态的问题。在这晕，我们在麦氏分布的基础上，构造了一个可调参 数的非麦氏分布函数来描述等离子体的真实状态，那就是 1 4 中【玉! | 科学技术人学博i 学位硷殳 舢卜和 ( 2 1 2 ) 在后面的文章里将一直用下标f 来表示场粒子口，而对于入射粒子的 下标口将略去。这罩的= 2 蝎，z ，就是场粒予的热速度，用它来对场粒 子速度进行无量纲化；4 就是可调节的参数，用它来对麦氏分柿的 偏离量进行调节；d = 2 ( 2 + 3 4 ) 是引入偏离后所带来的归一化系数。偏 离部分类似于对e x p ( 一瞎壤) 进行了展丌，但是又不同于峰值平移的麦 克斯韦分靠。通过调节参数a ，我们可以看到分布函数的图线发生了 变化，高能部分增加了，低能部分降低了，甚至会出现平台区( 见图 5 ) 。 u ，u 图5 t h ev d o c i t yd i s t m u t i o nf h n c t i o n 在早期的s p i z e r 的工作中对电导系数进行数值计算时【1 2 ，2 l ，2 5 】，也 取过一个分布函数，形式如下 - 1 5 一 中冈科学技术人学博i 。学位论义 卟紫。( 筹) k 它是对试探粒子的分布函数进行了偏离，d ( m ) 2 2 i ) 是有表可查的函数。 可以看到，这两种分布函数具有相似的地方，但是我们现在取的具有 更好的调节性和适应性，并且是专门针对场粒子进行改变的。 2 2 改进的转移概率函数尸( v ，v ) 现在有了场粒子的非麦氏分布函数，就可以根据定义来一步步研 究等离子体中的粒子碰撞了。我们要想得到非麦氏分布下的 f o k k e 卜p l a n c k 碰撞项，就先要求出转移概率函数，( v ，v ) 。这里转移概 率函数表示速度为v 的试探粒子单位时问内积累出一个小的速度增最 v 的概率。本文中采用了近来发展起来的更加符合原始定义的计算方 法，就是以v 作为独立变量来描述服从平方反比率的带电粒子系统。 这时的j p f v ，v 1 为 p ( v ，v ) 相_ ) 刚n 懈端阿 ( 2 2 一i ) 这罩的= ( z 乙? e 2 4 刀) 2 ( 4 9 4s i n 4 纠2 ) 是卢瑟福散射截面， = ，7 ( 所+ 埘，) 是简化质量，曰是质心系的散射角，伊是围绕着相对速 度g = i v v ，1 的方位角，z 和乙是试探粒子和场粒子电荷数。还有转换关系 如下，可参阅 1 ，2 】及其附录。 g = ( u 口) c s c ( 纠2 ) 1 6 。 ( 2 2 2 ) 中国科学技术人学博i + 学位论文 u ；甜+ 扣a v ) + ( 等) 2 c s c 2 翔v 测c o t 争 泣2 圳 这罩口= 2 芦m 是质量比率常数。将( 2 2 3 ) 进行无量纲化，有 等“+ 2 ( 川c s c 2 扣小。t 争 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 这旱u = v u f ，u d = v 口，分别是v 和v 的无量纲变量。将( 2 1 - 2 ) 和 ( 2 2 2 ) 一( 2 2 5 ) 代入( 2 2 - 1 ) ，有 脚心) = 等掣胁刮协心埘洲撕巩i 历) 毗 一4 j e x 。( 一“训2 b 一万) ( 2 bu 一万) 毗 ( 2 2 6 ) 这里国= 件碥可看作试探粒子的平均近碰撞频率，b 是场粒子的密度， 6 0 = ( m ，? 2 卢) z z ，? e 2 4 确正是l a n d a u 长度或经典接近距离 15 1a ( 2 2 _ 6 ) 式 是已经对方位角p 进行积分的结果，其中厶和，1 分别是零阶和一阶第 类虚宗量贝塞尔函数，其积分过程可参见附录a ，也可用m a t h e m a t i c a 计算软件得到。z = c s c 2 ( 纠2 ) 是散射角口的转换式。可以看到，( 2 2 _ 6 ) 式中带有调节参数爿的项都是由于耿了非麦氏场粒子速度分稚所带来 的改变。 接下来对z 进行积分，有 1 7 掣 = ( a ) ”( u ；) = ( a ) ”尸( u ，u ，) u 多“；s i n z d d z a h 。 ( 2 3 3 ) t + 一( “2 + z m “z ) i ；1 5 ：兰嘉熟( ：s ；n z ) ( “z s i n z y + 爿薹! ： ：篆；娄盐以( ：“s i n z ) ( “s i n z ) “ f = 之魏挚一地酬觋叫1 + 凄甏鼽酬岫 将( 2 3 2 ) 和( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 代入( 2 3 3 ) 式，令- i 就可以得到动 力摩擦系数了。计算可得 ( t 1 ) = ( 吼2 ) = 0 这是由于积分限为o 寸2 万，对积分造成的。在平行方向有 1 9 型 孥 竺 、，j z ) 2 ，j、 ( f 七 4 中闻科学技术人学博l 学位论立 ( 1 1 ) = 竺垫善竺蝴胁套焉掣( ) “眵唧( 之o o s 力引弛血力酬“z o o s z + 兰竺竺等挫胁芋毫掣( 厂1 眵唧( 之o o s 彬，( 弛咖力甜1 z 耐z + 三竺竺墨拶胁芋譬掣( 划2 唧( 一z c o s z 川弛蚍) 洲z c o s z j 施喜三篆笋( ) ”1 眵唧( - z o o s 力，( z 血神s i n ”2 z o o s z + f 咖，薹罢基掣蚶“卜p ( 2 “jc o sz v 肘l ( 2 “ds i nz ) s i n 肘2z c o sz 这时要用到【l 】附录中的积分公式( a 2 ) ，即 f a e x p ( _ nc 。s z n 。g s i n z ) s i n ”1z c o s ”z 0 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 其中m = 【2 l 工= 【( 一1 ) 2 】。经过用m a t h e m a t i c 计算软件数值检验后，得出 上式在取l 和2 时等式左右也成立，所以直接运用上式 当= 1 时，朋r _ o ，工= o ， 觑e x p ( - 口c o s z v 。0 s i n z ) s i n ”1z c 。s z o 口、6 1 1 ( 3 2 x 叫2 ) ” 2 j r ( 3 ，2 ) r ( 5 2 + ”) 一2 0 兰棚辫 堡归禁亟脚m豹 弋 ，。 = 中圆科学技术人学博l 学位论文 = 谢“高 当= 2 时，埘r _ 1 ，= 0 f 日_ e x p ( _ 口c o s z k o s i n z ) s i n ”“z c o s 2z 苦 一_ c ? r ( 3 2 m 2 ) j 1 _ c r ( 3 2 m 2 ) j f “ f ( 3 2 1 + o ) r ( 5 2 + n + o ) f ( 3 2 一l + 1 ) r ( 5 2 + 以+ 1 ) 一_ r ( 3 2 m 2 ) ”再( 口2 ) ”2 r 2 ) ( 5 2 + ) r ( 7 2 + n ) 一居0 2 ) ”i 2 ) ”2 2 r 吲2 + n ) r ( 7 2 + n ) 将( 2 3 8 ) 式代入( 2 3 6 ) 式，可得 4 删鳓x p ( 一豁2 ) + 上一石 2 脚e x p ( 一“2 ) 一了? 广 高泓”r ( 5 ，2 + 盯) r 副 志+ 糕 斋2 ”“r ( 5 2 + 月) 。” 2 l 一 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) q 叫一 些 卟 。 胁 哟一 卜一冲一 ，= + 一一 矿一- 一 ，型 一 圹 掣 。忑cl 肛 哟 堡矿 _ r 荟 r 一 。 肛 广_ 叫i l秽小 硪 2 中罔科学技术人学博l ? 学位论殳 这时可以用 1 6 的( 6 5 3 7 ) 式，即 p ( 叫) 广1 出= 1 1 ( s + ，) 少 ( 2 3 1 1 ) 这时存在s = o 的情况，关于“；的积分是发散的。当把德拜屏蔽效应考虑到 后，这种发散在物理上是不存在的【2 1 。我们在这罩采用德拜截断，关于 的截断值m m ，选取通常散射角截断所对应的值，因此有 “j 。= q 。饿= l a 其中a 是库仑常数 13 】，定义为 八= a d 溉 ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) 这旱厶= 岛七丁珂9 2 是德拜长度 1 3 ，厅是电子密度，z 咿是有效电荷数。 通过用德拜截断，( 2 3 1 1 ) 式可合并为 r ( 珂+ 1 ，材；幽；= ( ”+ 办f 这罩的 ! ：i1 幻 细j o 7 1 2 l n a扣，j = o 将( 2 3 1 4 ) 代入( 2 3 1 0 ) 就可以完成积分了，得到 ( “d l i ) 卅肋( + ，) 唧( 彳) n a 薹高 一2 2 ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) 中圜科学投术凡学博l 学位论义 + z 蚴e 小2 ) 矿 可暴b + 眚端 ：o1 卜v ，1 ，i z 删唧( 彳) n a 薹辚 之蚴唧( 卅薹掣群 n = 0 1 二t ， ( 2 3 1 6 ) 这时可以引入解析不完全伽玛函数，+ ( 口，x ) ，由 1 6 的6 5 2 9 定义为 ，训一如痉看与 那么就可以将( 2 3 1 6 ) 式中关于h 的求和进行化简为 ( 2 3 1 7 ) 沪毗p 刊咖咖恤m 胁卜竺 ( 2 3 一1 8 ) 其化简过程可参考附录b 。其中g ( “) 是c h a l l d r a s e k h a r 函数【1 7 】，它的定义为 g = 一吉未降 而中( “) 是误差函数，定义为 m = 去一“ ( 2 _ 3 1 9 ) ( 2 3 2 0 ) 在化简过程中还用到了c h a n d r a s e k h a r 函数与不完全伽玛函数问的关系 式 2 3 中围科学技术人学博i 。学位论文 g = 引引 ( 2 3 2 1 ) 考察结果( 2 3 一l8 ) 式，可以看到当调节参数4 = o 时，这个动力摩擦 系数与前人的结果是相同的，而带有一的项就是场粒子分布函数偏离麦氏 分布所带来的改变。当我们取定调节参数4 = l 3 时，两种分布函数所分别对 应的动力摩擦系数曲线如图6 所示。 图6 动力摩擦系数曲线( 爿= 1 3 ) ( 虚线为非麦氏分布的曲线) 可以看到，场粒子的非麦氏速度分布使得速度空间的摩擦系数明显变小， 也就是说这样的碰撞使入射粒子系平均速度与前相比减慢的速率得到了弱 化，运动时间得到延长。详细讨论见第五章。 2 4 动力扩散系数( v 。v 。) 的计算 上一节我们求出的( v ) 是速度空间的摩擦系数，表示的是碰撞使入射 粒子系的平均速度减慢。现在我们将要求的是场粒子分布函数为非麦氏分 布时的二阶f o k k e 卜p l a n c k 系数( v v ) ，也就是速度空问的扩散系数，表示 。2 4 中罔科学技术人学博i 学位论文 速度分布函数因碰撞而在速度空问弥散。仍然通过转移概率函数( 2 2 7 ) 式，和定义( 1 3 2 5 ) 式来计算。 利用上一节所建立的坐标系( 2 3 1 ) 式，那么二阶系数的积分对象就 为张量形式，如下 ( u ，u 。) = p ( u ，k u 。“；s i n z d 彬z 幽。 其中 u d u 5 = “；( s i n 2 z c o s 2 e 上1 e l l + s i n 2 z s i n 矽c o s 加上l e i 2 + s i n z c o s z c o s 庐e l e + s i n 2 zs i n 2 庐e 2 e i 2 + s i n 2 z s i n 庐c o s 庐e i 2 e 上l + s i n z c o s z s i n e 上2 q l + c o s 2j ，e l l e “+ s i n z c 。s z c o s e 1 1 e 1 + s i n z c o s z s m e e i 2 ) 将( 2 4 2 ) 和( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 代入( 2 4 1 ) 式，计算可得 ( 由于庐积分限为o 斗2 万，所以交叉项积分为零，即) ( “s l i h 5 i 2 ) = ( “j 1 2 d i l ) = ( “d n “d 1 1 ) = ( “5 1 l “5 1 1 ) = ( “j i 2 “5 ) = ( “圳“d i 2 ) = o 而其它项为 = j p ( u ，u 。) 瑶，嵋s i n z d d z 毗 = p ( u ，u ；) z 0 s i n 3z c 。s 2 妒d 妒d z c m d ( 2 4 一1 ) ( 2 4 2 ) = 业生字蝴觑喜马拶( 蚓”肌唧( 娜啷帅咐i n 加“m z 2 5 中固科学技术人学博i j 学位论史 + 三呈! 三；掣型肌言! 笔等掣( r 于z 唧( c o s 力以( z s i n 加i “z c o s z + 等望皿薹马兰笋( 训”弘删锄蚓凇蜩s i n ”3 z 一竺掣卜喜拶c 蚶1 卜舯洲z 岫加科 小。姜萼拶埘“唧喇m s i n 拈“却 这罩涉及到积分 a e x p ( _ 口c 。s z p ，0s m z ) s m ”z o j d z e x p ( 一口c o s z ) 正。( 口s i n z ) s i n ”4z o 嘶e x p ( - 4 c 。s z k g s i n z ) s i n 3z c 。s z 0 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 - 5 ) 式可以转化为( 2 4 4 ) 式，它们与我们前面所用到的积分公式 ( 2 3 7 ) 式 f 勘e x p ( 一口c o s z p 。gs i n z ) s 证”1z c o s ”z 0 删。”篓希鬻嚣篙 ( 2 3 7 ) 有相似之处，但是不能直接应用( 2 3 7 ) 式进行积分，需要转化。转化后 2 6 中田科学技术人学博i ：学位论义 与( 2 - 3 7 ) 式积分相结合，可以得到积分结果为 f 觑e x p ( - n c 。s z p 。g s i n z ) s i n ”3z 0 埘憾万高一揣 f c 现e x p ( 一d c o s z p ，0 s i n z ) s i n ”z c o s z o = 创“石 高一高一 2 ) 2 嗣j ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 它们的积分过程可以参见附录c 。将( 2 4 7 ) 和( 2 4 8 ) 式代入( 2 4 3 ) 式，就得到 ：堕掣如宝 石v 2j 5 台 r ( 盯+ l ，嵋) ，z ! 叫南一南一揣 一掣风薹掣沪“石一高一揣 + 掣胁薹掣“螺丽一南一揣 一学 h 妻石v 2 lj “台 r ( n + 1 ，)矿“q 南一南一揣 巾蔫掣“2 _ 南一高一揣 2 7 中围科学技术人学博1 学位论文 此时再用德拜截断( 2 3 1 2 ) 式和积分( 2 3 。1 4 ) 式，来完成积分 = 坐半蚪引揣一高一端 2 怠r ( 3 2 + n ) 2 r ( 5 2 + 月) r ( 7 2 +