同济大学线性代数课件-第二章 矩阵及其验算.ppt

1,第二章矩阵及其运算,2,1矩阵,线性方程组与矩阵的对应关系,3,4,简记为,的(i,j)元素。,5,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。,矩阵相等：,6,一些特殊的矩阵,零矩阵(ZeroMatrix):,注意：,不同阶数的零矩阵是不相等的.,元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.,7,行矩阵(RowMatrix):,列矩阵(ColumnMatrix):,只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量),8,方阵(SquareMatrix):,是3阶方阵.,行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵(或n阶矩阵),记作An,9,对角阵(DiagonalMatrix):,主对角线以外的元素都为零的方阵。,10,数量矩阵(ScalarMatrix):,主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零的方阵。,11,单位矩阵(IdentityMatrix):,主对角元素全为1，其余元素都为零的方阵。,记作:,12,例3：,13,线性变换与矩阵之间的对应关系.,恒等变换,单位阵,14,2矩阵的基本运算,一、矩阵的加法,设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B，规定为,定义2,15,注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,16,负矩阵：,称为矩阵A的负矩阵。,17,矩阵加法满足的运算规律:,18,二、数与矩阵相乘,定义3,19,20,数乘矩阵满足的运算规律：,矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.,设A,B为mn矩阵，l,m为数,21,定义4,并把此乘积记作C=AB,三、矩阵与矩阵相乘,设是一个ms矩阵，是,一个sn矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B,的乘积是一个mn矩阵，其中,s,s,22,23,例：,24,25,26,1.矩阵乘法不满足交换律,注意：,设,A左乘B,B右乘A,27,2.矩阵乘法不满足消去律,设,但,注意：,28,29,矩阵乘法满足的运算规律：,30,若A是n阶方阵，则为A的次幂，即,方阵的幂：,并且,31,方阵的多项式：,32,例.设,求,33,34,四.矩阵的转置,定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作.,例:,35,转置矩阵满足的运算规律：,36,例5：已知,37,解1：,38,解2：,39,对称阵的元素以主对角线为对称轴。,对称阵:,设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称阵.,40,反对称阵:,设A为n阶方阵，若满足，即则称A为反对称阵.,显然,反对称阵的主对角元都是零。,41,例,注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,42,五、方阵的行列式,定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA,43,运算规律：,44,定义：,行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵.,45,46,性质：,47,3逆矩阵,定义：,设A是n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使,AB=BA=E,则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，,48,若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。,记A的逆矩阵为,49,定理1:,证明：,n阶方阵A可逆充要条件是|A|0,且,当A可逆时,A可逆,存在B,使得AB=E,于是|A|B|=|E|=1,即|A|0,50,若|A|0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵),若|A|0,则称A为非奇异矩阵(非退化矩阵),|A|0,2019/12/6,51,推论：,证明：,52,方阵A的逆矩阵的求法:,53,例如,54,例,55,例,56,57,可逆矩阵的运算规律:,58,注：,59,60,例：,61,解,62,63,于是,64,例：解方程,65,解：,方程两端左乘矩阵,66,方程两端右乘矩阵,67,例：设,解方程,解：,68,69,例：,所以A可逆，且,证：,70,所以可逆，,71,例：,设Ax=b,A是n阶可逆阵,72,4矩阵的分块法,矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.,73,例：,74,75,分块矩阵的运算规则,76,77,78,79,80,81,82,(一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质:,83,(三),84