（概率论与数理统计专业论文）两类风险模型的破产问题.pdf

摘要 风险理论是当今精算界和数学界研究的热门课题。经典风险模 型，作为风险理论的基石，是一个时齐的具有平稳独立增量的随机过 程。目前，对经典风险模型的研究已基本完善，各种保险精算量也都 得到了完整精确的分析表达式。然而由于经典风险模型存在局限性， 因此很多学者对其在各方面进行了推广。近年来，很多学者对个体索 赔额分布为重尾分布时的风险模型进行了研究。本文主要讨论了个体 索赔额分布为s ( 7 ) 族情形下两类风险模型的破产问题。 第一章概括性地介绍了风险理论的发展历史、经典风险模型的主 要结果以及推广的方向等。 第二章简单地介绍了本文涉及到的一些基本概念和所用到的基 本数学工具。 第三章在个体索赔额分布为s ( 厂) 族情形下，考虑了带利息力且 保费收入过程为随机的复合泊松风险模型，得到了有限时间破产概率 的渐近界；进而，将一维风险模型推广n - 维情形，当个体索赔额分 布为s 族时，同样得到了有限时间破产概率漂亮的渐近结果。 第四章主要研究了个体索赔额分布为s ( 厂) 族情形下带干扰的风 险模型的破产概率。首先讨论了干扰项为标准b r o w n 运动的风险模 型，得到了有限时间破产概率的渐近界；然后将干扰项推广到一般的 随机过程，在对不带干扰的风险模型做出合理假设的条件下，得到了 带干扰的风险模型有限时间破产概率的若干结果。 关键词风险模型，利息力，有限时间破产概率，布朗运动，s ( y ) 族 a bs t r a c t n o w a d a y s ，r i s kt h e o r yi sah o tt o p i cb o t hi na c t u a r i a ls c i e n c ea n d m a t h e m a t i c sr e s e a r c h t h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，a st h ef o u n d a t i o no fr i s k t h e o r y , i sa ni m p o r t a n ts t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hp r o p e r t i e so ft e m p o r a l h o m o g e n e i t ya n di n d e p e n d e n ti n c r e m e n t t h es t u d yo nt h i sm o d e li s n e a r l yp e r f e c ta n de x a c tc a l c u l a t e dr e s u l t sf o ra l la c t u a r i a ld i a g n o s t i c sa r e d e r i v e di na n a l y t i c a lf o r m h o w e v e r , d u et ol i m i t a t i o n so fc l a s s i c a lr i s k m o d e l ，m a n ys c h o l a r sh a v eb e e ng e n e r a l i z e di tf r o mv a r i o u sa s p e c t s i n r e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dr i s km o d e lw i t hi n d i v i d u a l c l a i m ss i z ei sh e a v y - t a i l e d t 1 1 i st h e s i sm a i n l yd e a l sw i t ht w ot y p e so f r i s km o d e l sw h i c ht h ei n d i v i d u a lc l a i m ss i z ei st h ec l a s s s ( ，) i nc h a p t e r1 , t h ea u t h o rg i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h ed e v e l o p m e n t o ft h er i s kt h e o r y ，t h em a i nr e s u l t si nc l a s s i c a lr i s km o d e la n dt h e g e n e r a l i z e dd i r e c t i o ne t c i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o rg i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o no fb a s i cc o n c e p t s a n ds o m em a t h e m a t i c a lt o o l sa r eu s e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r3 , u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ec l a i ms i z ei st h ec l a s s s ( 厂) , t h ea u t h o re s t a b l i s h e saa s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h ef i n i t e - t i m er u i n p r o b a b i l i t yo ft h ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e lw h o s ep r e m i u mi sas t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e t h e n w eg e n e r a l i z ei tt ob i d i m e n s i o n a lr i s km o d e l ，w ea l s oo b t a i na ne x p l i c i ta s y m p t o t i cf o r m u l af o r t h ef i n i t e - t i m er u i np r o b a b i l i t yf o rt h ec a s eo fs u b e x p o n e n t i a l i t yc l a i m s i nc h a p t e r4 ，u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ec l a i ms i z ei st h ec l a s s s ( 厂) ，t h ea u t h o rd i s c u s s e st h er u i np r o b l e mi nt h er i s km o d e lp e r t u r b e db y d i f f u s i o n f i r s t w eo b t a i naa s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h ef i m t e t i m er u i n p r o b a b i l i t yw h e nt h ep e r t u r b a t i o np r o c e s si sab r o w n i a nm o t i o n t h e n ， w eg e n e r a l i z et h ep e r t u r b a t i o np r o c e s st oa q u i t eg e n e r a l s t o c h a s t i c p r o c e s s u n d e rt h ea s s u m p t i o n sf o rt h eu n p e r t u r b e dr i s km o d e l ，w e o b t a i ns o m eb e a u t i f u lr e s u l t sf o rt h ef i n i t e t i m e p r o b a b i l i t y i nt h e p e r t u r b e dr i s km o d e l k e yw o r d sr i s km o d e l ，i n t e r e s tf o r c e ，f i n i t e - t i m er u i n p r o b a b i l i t y , b r o w n i a nm o t i o n ，t h ec l a s ss ( ，) 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名当垒宙 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 储躲进凰导师躲雠魄翌年卫月日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 风险理论简介 第一章绪论 风险理论是当今精算界和数学界研究的热门课题。作为保险精算的一部分， 其最初主要是借助于随机过程的理论来构造保险经营中的盈余过程，并确定其破 产概率、调节系数等一些精算量方面的问题。现在已经公认，风险理论的研究应 溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b u r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有百余年 的历史。风险理论中破产论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论上的兴 趣。事实上，一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b u r g 首次在这 篇论文中提出的。不过l u n d b u r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格 化是以h a r l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b u r g 的工作奠 定在坚实的数学基础之上。与此同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。 现已公认，l u n d b u r g 与c r a m e r 的工作为经典破产理论奠定了坚实的基础。 近几十年来，随机过程、随机点过程等理论的逐渐系统和成熟，为风险理论 的研究提供了强有力的方法和工具，风险理论的发展十分迅速，其研究范围也不 断扩大。g e r b e r ，g r a n d e l l 以及a s m u s s e m 等人系统的论述了风险理论的思想， 风险理论的研究已进入了相对成熟的阶段。 一般地，我们可以用以下随机过程来描述保险公司在t 时刻的余额： 【，( f ) = ”+ 尺( f ) 一s ( f ) 其中，“表示保险公司的初始资本； r ( f ) 表示( o ，t 】时间段内的保费总收入； s ( f ) 表示( o ，t 】时间段内的总索赔。 这里，我们忽略了利率与其他除保费和索赔之外影响余额的随机因素。随 着时间f 的变化，盈余可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况时，我们说保 险公司发生了破产。当然这里所说的破产并不是指保险公司要面临倒闭，这样做 只是为了数学上的处理方便而已。如果把财务上其他影响盈余的因素都考虑在内 的话，当保险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余u ( f ) 仍有可能为 正或者恢复为正的。 按照总索赔的方式划分，风险理论可以分为个体风险模型、短期聚合风险 模型、长期聚合风险模型三种。个体风险模型总理赔是以每张保单为研究对象， 而聚合风险模型则是以每次理赔为研究对象。理赔发生过程由一个点过程来刻 画，保险公司支付给客户的理赔序列被看作是- - n 随机变量。按照对保费的收取 1 硕士学位论文第一章绪论 方式划分，风险模型可以分为连续模型和离散模型两种。连续模型采取连续收费 的标准，即以时间为连续变化的量收取保费；离散模型采用离散收费的原则，即 以一定时间长度为收费的单位区间，在每一个单位区间只收取一次固定的保费。 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究，破产理论主要应用在经营 稳定分析方面，是研究经营者的经营状况的理论和方法。对于保险公司而言，掌 握破产概率可使保险公司在激烈的市场中处于有利的地位；对于保险监管机构而 言，利用破产理论可以更好地对保险市场进行监督。因此，对正在发展着的中国 保险市场而言，对破产概率的研究有极其重要的意义。 1 2 l u n d b u r g c r a m e r 经典风险模型 设保险公司在时刻f 的盈余由下式给出 ( ，) u ( 0 = u + c t - 五，t o k = l 其中”是初始资本，c 是保险公司单位时间征收的保险费率，五( 七1 ) 表示第k 次 索赔额，( f ) 表示( o ，f 】时间段内发生的索赔次数。 上述模型有三个基本假设： ( 1 ) ( 独立性假设) 设 五：k 1 ) 是非负的独立同分布的随机变量序列， 记 f ( x ) - - - 尸 五x ) ，v x 0 = e ( 五) 2 上 1 - f ( x ) d x ( f ) ：t 0 ) 是以名( 见 0 ) 为参数的p o i s s o n 过程； 五：后1 ) 与 ( ( f ) ：t o ) 相互独立。 ( 2 ) ( 相对安全负荷假定) 设c = ( 1 + p ) 舡，其中p 0 ，称为相对安全负荷。 ( 3 ) ( 调节系数存在唯一性假定) 个体索赔额的矩母函数 ( 厂) = e ( e x ) = f e r x d f ( x ) = 1 + ，j c o e r x 1 - f ( x ) 】出 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求下述方程 峨( ，) = 1 + ；， 具有正解r 。 若上述假定都成立，则有如下结果： 硕士学位论文第一章绪论 ( 1 ) 甲( 。) = 而1 ； ( 2 ) 当个体索赔额分布服从期望值为2 的指数分布时， 噼南p 一焉 ( 3 ) l u n d b u r g 不等式：v ( u ) _ 0 ，扰动项w ( t ) 是一b r o w n 运动。并且假 定 形( f ) ，f 0 ) 和 s ( f ) ，t 0 ) 是相互独立的。此时破产概率、王，( 甜) 可分解为： 甲 ) = 、王，d ) + 、壬， ) 其中甲d ( “) 表示因随机扰动而引起的破产，甲，( 甜) 表示因索赔引起的破产。这 个模型最早是由g e r b e r 于1 9 7 0 年提出的，之后陆续有很多学者在这方面做了很 4 硕士学位论文 第一章绪论 多工作。参见文献 5 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6 等。 ( 4 ) 重尾分布的破产论 经典风险模型研究的是关于“轻尾索赔 的破产论。研究最多的当属索赔额 分布服从轻尾分布中的指数分布。后来，大量的文献又将索赔额序列的分布推广 到轻尾分布中的e r l a n g 分布，咖玛分布，相位分布等。在经典风险模型研究中， 一个很强的约束条件是要求调节系数的存在。如果调节系数不存在，则更新论证 和鞅方法都无法奏效。但在实践中，如火灾险，风暴险与洪水险等灾难性保险都 是“大额索赔的情形。从数学角度来说，对于重尾分布的破产论，如p a r e t o 分布，对数正态分布，对数咖玛分布及次指数分布等，以前的工具和方法不再适 用，我们必须寻找新的数学工具。e m b r e c h t s ，k l u p p e l b e r g ，a s m u s s e n 等在这 方面开展了较系统的研究，详见文献 2 ， 1 3 等。对重尾分布更多的研究可参 阅其他相关文献。 ( 5 ) 多险种风险模型 经典风险模型的其中一个局限性就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只 考虑一种险种的情形。但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新 险种的不断开发，这些单险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无能为 力了。因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及监管 部门的监督更具有实际意义。 另外，对于经营刀险种的保险公司，整个公司的偿付能力与刀个险种都有关 系，这刀个险种在经营过程中是相互“分散风险的，整个公司的安全性自然也 就介于两个边际之间。 通常，保险公司在实际的经营中并不是每个险种都是盈利的。对于亏损或者 利润低的险种，保险公司为了长远的计划或稳住长期的客户，不能立即把它排除 市场，而是靠着其他盈利的险种求得暂时的生存，通过改变策略或险种的更新再 寻找盈利机会。 ( 6 ) 具有复合资产的破产论 在保险公司日常的经营活动中，除了保费收入和索赔支出对经营状况有很大 影响外，另外还有一些不可忽略的因素，如利率。研究带利率的风险模型的破产 概率，使得模型本身更加具有实用价值。很多学者在这方面做了大量的工作，尤 其是在索赔额分布服从重尾分布时对破产概率的研究取得了很多漂亮的渐近结 果。例如，k l u p p e l b e r g ，c 和s t a d t m u l l e r ，u 【2 5 1 在索赔额分布f 足口，口 0 、 的情形下，得到了皿。( t ) 一三- ( t ) ，其中6 为利息力。t a n g ，8 1 将其结果推广到 o t o 更一般的更新模型。对于有限时间破产概率的研究也有所进展，t a n g 3 5 1 讨论了 5 硕士学位论文 第一章绪论 在f s 情形下的有限时间破产概率，得到了皿。( u ，t ) 一害f 挚y ，更多的 研究可参阅相关文献。 1 4 本文主要结构 本文主要讨论了个体索赔额分布为s ( y ) 族情形下两类风险模型的破产问 题。 第一章概括性地介绍了风险理论的发展历史、经典风险模型的主要结果以及 推广的方向等。 第二章简单地介绍了本文涉及到的一些基本概念和所用到的基本数学工具。 第三章在个体索赔额分布为s ( y ) 族情形下，考虑了带利息力且保费收入过 程为随机的风险模型，得到了有限时间破产概率的渐近界；进而，将一维风险模 型推广到二维情形，当个体索赔额分布为s 族时，同样得到了有限时间破产概率 漂亮的渐近结果。 第四章主要研究了个体索赔额分布为s ( 7 ) 族情形下带干扰的风险模型的破 产概率。首先讨论了干扰项为标准b r o w n 运动的风险模型，得到了有限时间破产 概率的渐近界；然后将干扰项推广到一般的随机过程，在对不带干扰的风险模型 做出合理假设的条件下，得到了有限时间破产概率的若干结果。 6 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 在这章中，我们将重点介绍本文中用到的一些基本知识和方法。 2 1 齐次p ois s o n 过程 齐次p o i s s o n 过程是最简单的一类随机过程，它在点过程的理论和应用中都 有非常重要的作用。 定义2 1 1随机过程 ( f ) ：t o ) 称为一个计数过程，若( f ) 表示到时n t 为止已发生的“事件总数。 显然( f ) 满足： ( 1 ) ( f ) 0 ； ( 2 ) ( f ) 取非负整数值； ( 3 ) ( f ) 的样本函数为右连续单调不减的阶梯函数。 定义2 1 2计数过程 ( f ) ：t o ) 称为齐次p o i s s o n 过程，如果它满足以下 几个条件： ( 1 ) 尸( ( o ) = 0 ) = 1 ； ( 2 ) 对于o s 。是常 数，称作过程的强度或事件发生率； ( 3 ) 具有独立增量。 性质2 1 3齐次p o i s s o n 过程 ( f ) ：r o ) 在任意时刻t 不可能有跃度超过1 的跳跃，亦即对应的点过程没有重点，可表达为： p n ( t ) = o 或1 ，对每一个t ( o ，) ) = 1 定理2 1 4若有限计数过程 ( 于) ：t 0 ) 为一齐次p o i s s o n 过程必须且只须 满足以下条件： ( 1 ) p ( ( o ) = o ) = l ； 7 硕士学位论文第二章预备知识 ( 2 ) 对任意的t 0 和h 0 ，当h 专0 时，有 p ( n ( t + h ) - n ( t ) = 1 ) = a h + o ( h ) 及尸( ( f + 办) 一( f ) 2 ) = o ( h ) ； ( 3 ) 具有独立增量。 2 2b r o w n 运动 定义2 2 1 ( b r o w n 运动) 随机过程 b ( f ) ，f o ) 如满足以下条件： ( 1 ) b ( o ) = 0 ； ( 2 ) b ( f ) ，f 0 ) 有独立的平稳增量； ( 3 ) 对于每个f 0 ，b ( f ) 服从正态分布n ( o ，仃z t ) 。 则称 b ( f ) ，t o ) 为b r o w n 运动。 如果仃= 1 ，我们称之为标准的b r o w n 运动。 性质2 2 2b r o w n 运动是具有下面性质的随机过程 b ( f ) ，t o ) ： ( 1 ) ( 正态增量) b ( f ) 一b ( s ) 服从均值为0 ，方差为f s 的正态分布； ( 2 ) ( 独立增量) b ( t ) - b ( s ) 独立于随机过程的过去状态b ( “) ，0 u s ； ( 3 ) ( 路径的连续性) b ( f ) ，t 0 是t 的连续函数。 2 3 条件期望 概率空间记为( q ，f ，尸) ，g 是，的某一子代数，gcf 孝( 彩) 是满足 e 吲 - e ( y i g ) ，口s i e ( x l g ) - 0 丑 o ) ； ( 2 ) e r y - f i s - a _ l i m i n f 错鲫竺p 雨f ( s x ) _ 1 , 3 0 2 ( 躺肝一2 ) ) f 矿( 。) 是f 的n 重卷积 ( 5 ) 扛 f b 帮= 埘髓删喊靳哥1 ) ) ； ( 6 ) 肚叶竺p 帮，对任意o 0 ：( f ) o i ( o ) = u ) ，规定i n f = 0 0 有限时间破产概率：甲占 ，t ) = p ( r ( u ) t ) 终极破产概率： 、王，占( 甜) 兰、王，占( 甜，o o ) = ，l i m 甲万( 列，丁) = 尸( r ( “) 1 0 1 2 硕士学位论文 第三章带利息力的风险模型的破产概率 定理3 1 1在模型( 3 1 ) 中，若f s ( r ) ，则对任意固定的丁 0 ，有 p ( x e 一 钍) 妻佗似殄圹删r n = l 。，( 一) p ( ( t ) = 礼) 鹦( u ，t ) p ( x e 一盯c ， 让) n 【眯c ) x - e r v ) ”1 p ( 口) = n ) n = l 其中，u u ( o ，1 ) ，多= s u p y ：p ( e - 删y ) o 为一泊松过程，到达时刻为吒，k = 1 ，2 ，对任 意固定的r 0 ，给定( 丁) = n ，刀= 1 ，2 ，。则随机向量( q ，吼，吒) 依 分布等于随机向量( 丁l 川，丁q 2 朋，t u ( ) ) ，其中q l 朋，2 朋，以万川表 示随机变量u ，虬的顺序统计量，u ，相互独立且服从( o ，1 ) 上的均匀分布。 引理3 1 3 设j ，】，为两个相互独立的随机变量，x 的分布函数为f ( z ) 。若 f s ( 7 ) ，y 非负且有一末端点( e n d p o i n t ) y ，即y = s u p y ：p ( y y ) 1 ) ， f i0 y 0 ， 有f ( 石) = o ( x 叫) 。因此对所有的y 0 ，可以构造出分布函数f ( x ) 使得 f s ( y ) 。令y = e 7 ，y 的分布函数g ( x ) = p ( y x ) ，f 服从几何分布，即 p ( r = 刀) = ( 1 - p ) p 一，刀= o ，1 ，其中0 0 ， 硕士学位论文第三章带利息力的风险模型的破产概率 万( x ) = p ( 肼 x ) = ( + ) 万( 却( 1 一p ) p 七 七：l 曼p k 工 q ( 手) 吨( 1 - p ) p 七十( 1 - p ) p 七 工 对于满足x 0 1 4 ( x ) 一 c 2 p h l 一 c 2 熄筹= 1 一璺等掣竽 墼等1 一业产 0 ，1 i m 等詈= 0 时，有h s ( o ) 。 x o 。1o 、 ， 下面的引理来自参考文献 3 2 。 引理3 1 4若f s ( r ) ，则对任意固定的刀，有f 矿( x ) 刀蛑卜1 f ( x ) ， 且对任意s o ，存在某一常数e o ，使得等等c , b v ( u ，+ s ) 一】成立。 其中 0 = l ：e r f ( d x ) = e ( p 硝) 定理的证明： 令 显然 为方便记 踯) 一e - 研嘴) = u + f e 砘唧s ) _ 鬈v 机 皿( t ，t ) = p ( s 6 ( t ) u i n ( t ) = 亿) p ( ( t ) = n ) = p ( 鼍e 一盯q 如 u ) p ( ( t ) = n ) n = l k = l = 尸( 五e 一盯仉 钍) p ( ( t ) = n ) 下面来计算p ( x k e 一玎巩 叻 k = l 令 “=supy：p(eys u p t yl - ( e 一删y ) 0 ，使得 莆p(yxw棚ku)erlv ( e ( e c 肛册m ) 一啃薪e uj l坼”) + s ) 一l 且当u 专时，有 p ( “x k p 硼 1 4 ，) - - n e ( e ( r ；y 肛册rp ( x e 捌 甜) k = l 于是，由控制收敛定理有 从而 p ( 五e 一帆 t ) p ( ( t ) = n ) 2 三!主三! p ( x e 川u 让) 。p ( 五e 一矾 牡) ：盟i而丁p(n(t)=竹)p 一鲁( x e 。阿 t i ) 7”7 一羔，z e ( e t 殄屉一删) s - i 尸( ( 丁) = 刀) ( 甜专o 。) p ( 五e 一卯以 t ) p ( ( t ) = n ) 硕士学位论文第三章带利息力的风险模型的破产概率 即 又由于 川屁- x l t j u ) ，争p 殄圹册和( 阳m ) 皿( 让，t ) p ( 一5 r ， 让) 妻佗i f ( j r 胪删4 ”i p ( ( t ) ：n ) 皿( u ，t ) p ( x ( t ) 牡+ 移( t ) ) = p ( 叉( t ) 钍+ 孝( t ) i ( t ) = 佗) p ( ( t ) = 佗) = p ( 五e 一魄 t + 移( r ) ) p ( ( t ) = 竹) = p ( x k e 一卯巩 u + 移( t ) ) p ( ( t ) = n ) 下面来讨论p ( x k e 一时巩 t + 孕( t ) ) 由引理3 1 3 , - 7 知x p 筇彤的分布函数为s ( 名) 族， p ( 五e t u + 移( t ) ) l i r a p ( x e 埘u u ) 碘塑娑；掣 u m p ( x e 叫川 t 1 ：!骢l，。，：写蓍等而p(xe-rvu+y)pc移ct，e d y ) 2 1 骢k ，哼藩丽而面可p ( 移( t ) 由引理3 1 4 有，对任意占 o ，存在某一常数e 2 0 ，使得 ：堡三三竺掣c 。2 ) 【1 v ( e ( e 。，托一删) + e ) 。】p ( x e 一盯u “+ y ) 二。5r 、“r 7 叫1 且当甜专时，有 1 6 ( 木) 硕士学位论文 第三章带利息力的风险模型的破产概率 p t 荟n 以p 一帆 扰+ 一九 “名 _ x c - b 1 1 ) m - | o p ( 娩- 砑v u + y ) 由s ( 7 ) 族的定义可知， l i m p ( = x = e - 6 j r u 而 u _ + y ) = e - 加 t + y ) p ( x e 。t 盯 u + 3 )墅p ( x 三e 掣哟力吲 一盯u t 1 、。、7 。”，7 = 以删岫嬲r e 讥p ( 移( r ) d y ) = 他i g ( e ( ) x + - s r v ) 1 ”1 l e 哳”p ( 期d y ) = n 【f ( c 殄扩删4 ”1 。n ( 一殆 皿( 钍，t ) p ( x e 一砑， t ) 礼1 e ( e ( ，盯仲) 】“1 。”( 一) p ( ( t ) ：n ) 定理证毕。 推论3 1 5 在模型中( 3 1 ) ，若f s ，则有皿( “，t ) 。会，：兰堕。 d ，”冒 特黜吣) 一害r 弛y y 证明：f s ，只须在定理中取y = 0 。 此时 p ( x e 一日， 让) 礼i f ( e ( 殄旷肿) p ( ( t ) ：n ) n = 1 = p ( x e 一删 u ) 死i f ( c ( 殄圹删) 广。”( 一) p ( ( t ) ：n ) n 毫l = p ( x e 一玎口 u ) n p ( n ( t ) = 他) = , k t p ( x e 一盯u 牡) 硕士学位论文 第三章带利息力的风险模型的破产概率 r | j 皿( t ，t ) 一入t p ( x e 一6 r u 牡) = 入t 1 p ( x e 一观 u 矽嘶 = a t l 1 p ( x 让e 矾地 令剪= e 以、，贝l j 邺m t - r 警= 害厂挚 特别地，令t 0 0 ，得 吣) 一害f 弛y 可 证些 3 2s ( 7 ) 族下带利息力的二维风险模型 在实务中，为了研究保险公司各分公司的经营状况，往往需要讨论多维风险 模型。本节中将上节讨论的风险模型推广到二维情形，进一步研究有限时间的破 产概率。为方便讨论，我们仅研究索赔额的分布函数为一种特殊的s ( 7 ) 族情形， 即s 族。 3 2 1 模型的建立及实际背景意义 定义盈余过程 鼢圳嚣：矧一 n ( t ) 五。e 州卜 k = l v ( t ) k e 烈卜叫 k = l ，t 0( 3 2 ) 其中，“l ，u 2 为初始资金，万为单位时间的利息力度。 c f ( f ) ) 脚，f = 1 ，2 均为非 降右连续的随机过程，分别表示到时刻t 的累计保费收入：理赔额 以，k 1 ) ，f = 1 ，2 均为独立同分布的非负随机序列，且具有共同的理赔到达过 程，相应的分布函数曩和e ； 吼，k 1 ) 为索赔到达时刻序列。索赔次数 1 8 硕士学位论文第三章带利息力的风险模型的破产概率 ( f ) = s u p n 1 ：o - 矿) ，t 0 为强度2 ( 2 o ) 的齐次p o i s s o n 过程。 ( f ) ) 棚， c f ( f ) ) ， 0 ， “，k 1 ) ，f = 1 ，2 ，相互独立。 该模型可以用来描述在同一次保险事故中产生不止一种类型的保险理赔的 情形。保险公司的不同分公司对同一次保险事故承担不同的保险责任，由于承担 不同的保险责任，即理赔额 置t ，k 1 ) ，f = 1 ，2 具有不同的分布函数，从而具有 不同的保费收取过程。但都是针对同一次保险事故，因此具有相同的理赔到达过 程。最明显的例子就是，在机动车辆自动险中，一次交通事故不仅仅要进行人身 意外伤害险的赔偿，保险人还要对机动车辆的损坏进行赔偿。 3 2 2 主要结果 在二维风险模型中，可以给出破产时刻三种不同类型的定义，相应地对于破 产概率也有三种定义。 为方便，做如下记号，玩( t ) = ( 阢。( t ) ，；( t ) ) r ，砬= ( ，t 2 ) t ，其他类似。 定义 破产时刻： = i n f t 0 1 m a x v , 。( t ) ，。( t ) ) 0 m i n u x 。( t ) ，。( ) ) o l u , 。( t ) + 巩。( t ) 0 皿血( 矗，t ) = p 疋血t i 万s ( o ) = 五) ，t 0 皿一( 冠，t ) = p 【z 。t i 矿一( o ) = 五，t 0 注意到三种不同的破产时刻，和都有很自然的解释。 o o 表示在将来某个时刻t ，u 。( 亡) 和。( ) 均小于零； 。o ) 表示在将来某个时 刻t ， 巩( t ) ，i = 1 ，2 ) 至少有一个小于零； 0 ，存在某个q 0 ，使得对所有的礼= 1 ，2 ， 和z 0 有p + ( z ) c ( 1 + ) ”_ ( 砷 引理3 2 3 设x ，y 为两个相互独立的非负随机变量，x 的分布函数为f ，若 fcs ，且y 非零有界。则x y 的分布函数h s 。 引理3 乞4 若【( ) 伽为一泊松过程，到达时间间隔为a k ，k = l 2 ，对任意固 定的t 0 ，给定n ( t ) = 佗，佗= 1 ，2 ，则随机向量( q ，0 2 ，盯。) 依分布等于随 机向量( t u ( 1 , n ) t 阪。，。) ，t 玑。，。) ) ，其中职。，。) ，职：，。) ，玑。，。) 表示随机变量 仉，以的顺序统计量，u ，玑相互独立且服从( o ，1 ) 上的均匀分布。 定理的证明： 令 为方便记 ( t ) 五。e 也 k = l ( t ) 五。e 也 k = l 皿( 砬，t ) = p ( 爵( t ) 呜i c t ，= n ， 2“ = p ( ( t ) = 礼) 兀p ( x , e 卅t m u j ) n = l j = 1k = l 2n = p ( ( t ) = 佗) 兀p ( 琢e 。r 吩) n = l j = 1 k = l 最后两个等式用到了引理3 2 4 。 由引理3 2 3 ，有 p ( 五。e 一刀乩 ) 一n p ( 墨。e 。t 砚 t 1 ) k = l 由引理3 2 2 ，对v 0 ，存在某个q 0 ，有 p ( 五。e 一盯巩 t 1 1 ) c ( 1 + s ) “p ( 五。e 一砑仉 嘶) k = l 对于p ( 五。e 一帆 ) 类似讨论。 七= 1 利用控制收敛定理， 24 p ( ( t ) = n ) 兀p ( e 一开以 吩) n = l j = 1 k = l 从而 又 一p ( ( t ) = n 加2 p ( 墨。e 一砑n h ) p ( x 2 ，e 。r t 1 2 ) = 川入t + 1 ) 刍r _ ( q e 如) d 仳亍1 j 。t m 以( e 风) d u ：学r ，孚由r 挚咖 邺鲫删，掣r ，孚d y r 孚咖皿( 砬，r ) ( 1 + 。( 1 ) 1 产j 一1 半d ! ，j 唧2 半咖 皿 ，t ，p 【( 要害 砬+ 【夏暑】，对某个。 呜+ 巧( t ) i ( t ) = n ) n = l i = l k = l 由上面的讨论可知， p ( k e 一机 呜+ 巧( t ) ) = p ( 戤e 川以 呜+ 巧( t ) ) 一礼- p ( 五。e 。r 呜+ 巧( t ) ) 一n p ( x j 。e 一盯巩 呜) 最后一个等价式用到了scl 这一熟知的性质。 从而 皿( 苞，t ) ( 1 + “1 ) ) p ( ( t ) = n h 2 n p ( x j 。e 一盯 吻) n = o i = t 。_ ( 1 + d ( 1 ) ) 掣r 麴咖：矿型咖 = ( 1 + 。( 1 ) 1 一j q l 半咖j 唧2 半咖 证毕。 从该定理可以看出，二维风险模型有限时间破产概率大于相应的一维风险 模型破产概率的乘积，这是二维风险模型中理赔额具有共同的理赔到达过程所 致。 类似地，我们可以将上述模型推广到高维的风险模型，这里不再赘述。 硕士学位论文 第四章带干扰的风险模型的破产概率 第四章带干扰的风险模型的破产概率 经典风险模型自问世以来，已经在许多方面得到了推广。考虑到保险公司管 理的偏差对财务稳定性的影响，往往将经典模型中的总理赔量添加一干扰项。这 样大大加强了原有模型描述现实的能力，近年来逐渐得到了理论界和实务界的重 视。本章先讨论了总理赔量受到w i e n e r 过程的干扰的风险模型，得到了索赔额 分布为s ( y ) 族下的有限时间破产概率的渐近界。然后在索赔额分布为s ( 7 ) 族情 形下对总理赔量的干扰为一般随机过程的风险模型的有限时间破产概率进行了 研究。