（计算数学专业论文）完美匹配层方法的稳定性分析.pdf

摘要 摘要 完美匹配层方法是当代计算电磁学最流行最有效的计算方法之一本文主要研 究完美匹配层方法的稳定性 具体地，对微分系统，利用能量方法，我们总结整理了b 6 r e n g e r 完美匹配层稳 定性的结果；对时域差分系统，利用傅里叶方法，我们分析了b 6 r e n g e r 完美匹配层 c a u c h y 问题的y e e 差分格式，并证明了在阻尼常数盯 0 的情况下，该系统在一定 的网格条件下是谱稳定的，谱稳定性只是一种弱稳定性，但结论不能加强为稳定理 论分析还发现：单轴完美匹配层c a u c h y 问题的y e e 差分格式谱稳定性的网格条件 和b 6 r e n g e r 完美匹配层的一样，并且对两个方向同阻尼的情形还证明了格式是稳定 的为了建立完美匹配层的稳定性的数值理论，我们考虑了麦克斯韦方程用方形单 轴完美匹配层截断后的初边值问题，并利用能量方法证明了该微分系统以及时域有 限差分系统的稳定性相应地，极坐标下的圆形单轴完美匹配层截断初边值问题也 得到了类似的稳定性结果本文还给出了相关的数值算例，它们很好地验证了完美 匹配层方法的稳定性结果 本文的创新点在于：1 通过定义一种谱稳定性的概念，利用m i l l e r - s c h u r 判别 法则检验增长矩阵，借助符号软件m a t h e m a t i c a ，得出了完美匹配层c a u c h y 问题的 时域差分格式的谱稳定的网格条件；2 发现b 6 r e n g e r 完美匹配层的y e e 差分格式 的谱稳定性条件和单轴完美匹配层的谱稳定性条件是一样的，并且b 6 r e n g e r 完美匹 配层的谱稳定性结论不能加强，而两个方向同阻尼的u p m l 差分系统是稳定的；3 在证明单轴完美匹配层截断系统的初边值时域有限差分格式的稳定性时，借用了一 系列的等价系统，并利用t a y l o r 公式适当定义分离参数，运用g r o n w a l l 不等式，最 终证明了离散能量估计的阶相对连续情形是最优的 本文的意义在于从数学上总结证明了完美匹配层系统的稳定性，建立了麦克斯 韦方程的完美匹配层时域有限差分系统稳定性的数值理论，修正和加深了前人对完 美匹配层方程稳定性的认识，为完美匹配层方法的数值计算提供理论依据 关键词：计算电磁学；完美匹配层；稳定性 1 a b s t r a c t a b s t r a c t p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) m e t h o di so n e o ft h em o s tp r e v a l e n ta n de f f e c t i v em e t h o di nc o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c sn o w a d a y s ，a n dt h et h e s i si st os t u d y t h es t a b i l i t i e so fp m lm e t h o d s p a r t i c u l a r l y ，f o rt h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ，w ec o l l e c tt h es t a b i l i t yr e s u l t sp r o v e db y e n e r g ym e t h o d s ；f o rt h ed i f f e r e n c es y s t e m ，w eu t i l i z ef o u r i e rm e t h o d st oa n a l y s i st h e y e es c h e m eo fc a u c h yp r o b l e mo fb r e n g e rp m l a n dp r o v et h a tt h es y s t e mi so n l y s p e c t r u ms t a b l eu n d e rc e r t a i nm e s hs i z ec o n d i t i o n s a l s o ，t h ey e es c h e m eo fu p m l s y s t e ms a t i s f i e st h es p e c t r u ms t a b i l i t yw i t ht h es a m em e s hs i z ec o n d i t i o n sa st h o s e o fb 6 r e n g e rp m l ，m o r e o v e r ，t h es c h e m eo fu p m ls y s t e mw i t hs a m ed a m p i n gb o t h s i d e si ss t a b l e s p e c t r u ms t a b i l i t yi sak i n do fw e a ks t a b i l i t y i no r d e rt oe s t a b l i s h t h ef o u n d a t i o n so ft h es t a b i l i t yo fp m l w eu s ee n e r g ym e t h o d st os t u d yt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fm a x w e l le q u a t i o n st r u n c a t e db ys q u a r eu p m l a n d p r o v et h a tt h ef d t ds y s t e mi nt h et r u n c a t e dd o m a i ni ss t a b l e s i m i l a rr e s u l t sa r e o b t a i n e df o rc i r c u l a ru p m la n dp o l a rc o o r d i n a t ec a s e s n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r e c a r r i e do u tt ov e r i f yt h es t a b i l i t yr e s u l t s t h ei n n o v a t i o n so ft h et h e s i sa r e ：1 b yd e f i n i n ga c o n c e p to fs p e c t r a ls t a b i l i t y ， a n du s i n gm i l l e r s c h u rc r i t e r i o nt oa n a l y z et h ea m p l i f i c a t i o nm a t r i c e sw i t hs o f t w a r e m a t h e m a t i c a ，w eg e tt h em e s hs i z ec o n d i t i o n so ft h ey e es c h e m e so ft h ec a u c h y p r o b l e mo ft h ep m l s ；2 i th a p p e n st of i n dt h a tt h es p e c t r a ls t a b i l i t ym e s hs i z e c o n d i t i o n so fp m la n dt h o s eo fu p m la r et h es a m e ，a n dt h es p e c t r a ls t a b i l i t y o ft h ep m lc a nn o tb ei m p r o v e d h o w e v e rt h eu p m ls c h e m ew i t hs a m ed a m p i n g b o t hs i z e si ss t a b l e ；3 i no r d e rt op r o v et h es t a b i l i t yo ft h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u e s y s t e mo ft h eu p m li nt h et r u n c a t e dd o m a i n s ，w ed e d u c es o m ee q u i v a l e n ts y s t e m s b yi n t r o d u c i n gp r o p e rv a r i a b l e sc h a n g e sa n dd e f i n es o m et a y l o rp a r a m e t e r s b y v i r t u eo ft h ee q u i v a l e n ts y s t e m sa n dg r o n w a l li n e q u a l i t y , w em a n a g et of i n i s ht h e p r o o f t h es i g n i f i c a n c eo ft h et h e s i si st oc o l l e c ta n dp r o v et h es t a b i l i t i e so ft h ep m l s a n dt oc o n s t r u c tt h en u m e r i c a lt h e o r yf o u n d a t i o no ft h ep m l st om a x w e he q u a t i o n s t h e s er e s u l t se n h a n c et h ec o g n i t i o n st ot h es t a b i l i t i e so fp m l sa n dc a nb er e l i e do n i nc o m p u t a t i o n s k e yw o r d s ：c o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ；p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ；s t a b i l i t y 2 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦f - j ；k 学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 第一章绪论 1 1 科学计算 传统的科学研究手段一直是科学理论和科学实验平分秋色，但是现代的科学研 究手段早已是科学理论、科学实验和科学计算三足鼎立伴随着电子计算机的出现 和迅猛发展，科学计算从二战后的初显端倪到今天的方兴未艾，无论是军工方面还 是民用方面，都获得了极强的生命力科学计算，尤其是高性能科学计算已成为体现 一个国家经济、科技和国防等综合实力的重要标志美国早在1 9 9 1 年就由国会通过 了高性能计算和通信( h p c c ) 计划而后，美国国家科学基金会、能源部、国防部、 教育部、卫生部、航空航天管理局、国家安全局、环境保护局、海洋大气管理局陆续 参加了这一计划我国在1 9 9 7 年3 月的“国家重点基础研究发展规划项目( 9 7 3 ) ” 也开始了“大规模科学计算研究”高性能科学计算技术使得我国在世界科技领域 占有一席之地，像在核武器研究、火箭卫星发射、石油勘探、大地测量、水坝建筑、 气象预报、生态环境监测等领域，我国都取得了举世瞩目的成就 科学计算之所以变得如此重要，主要是因为绝大多数的重大科技问题基本上是 无法在理论上求得解析解的，而太多的客观因素往往也限制了应用实验的手段，但 这些都不妨碍利用科学计算去模拟解决问题科学计算因此大大增强了人们从事科 学研究的能力，加速了把科技转化为生产力的进程，深刻地改变着人类认识世界和 改造世界的方法和途径，可以说真正“代表了先进生产力的发展方向”正因为科学 计算经济、安全、高效、环保、便捷等诸多优点，它早已成为众多学科与之攀亲的宠 儿由此形成了像计算流体力学、计算材料科学、计算生物学、计算金融学、计算地 质学、计算气象学和计算电磁学等一系列新兴的交叉学科，使得计算数学这个古老 的数学科目成为现代数学中一个生机盎然的分支 1 2 计算电磁学 伴随高性能科学计算技术发展的同时，计算电磁学也得到了长足的发展早期， 电磁场理论主要应用在军事领域，同无线电通信、雷达的发展紧密联系在一起现 在，电磁场理论早已是遍地开花，涵盖了地学、生命医学、材料科学和信息科学等几 乎所有的科学领域 计算电磁学( c o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ) 是以麦克斯韦方程( m a x w e l l 3 完美匹配层方法的稳定性分析 e q u a t i o n s ) 为基础，通过运用计算数学提供的各种方法，解决复杂电磁场理论和工程 问题的一门边缘交叉应用科学 计算电磁学与电磁工程和电磁场理论相互联系、相互依赖、和谐共处、携手并 进对电磁工程而言，计算电磁学主要是解决实际电磁场工程中越来越复杂的电磁 场问题的建模、仿真、设计和优化等问题；而电磁工程也为之提供实验数据结果，以 验证其计算结果的合理性和正确性对电磁场理论而言，计算电磁学的研究可以为 其研究提供复杂的数值及解析运算的方法、手段和计算结果；而电磁场理论的研究 也为计算电磁学的研究提供了电磁规律、数学方程，进而验证其计算结果计算电磁 学对电磁场理论发展的影响决不仅仅是提供一个计算工具，而是使整个电磁场理论 的发展发生了革命性的变化毫不夸张地说，近二三十年来，电磁场理论的发展，无 一不是与计算电磁学的发展紧密联系在一起的 电磁场计算方法的分类五花八门按数学模型可分为微分方程法，积分方程法 和变分方程法等；按解域可分为频域( 空间一频率) 法和时域( 空间一时间) 法；按近 似性可分为解析法、半解析法、渐近法和数值法等这些方法落实到最终的数值计 算主要有：有限差分法( f d m ) ，矩量法( m o m ) 、有限元法( f e m ) 、时域有限差分 法( f d t d ) 、多极子法( m m p ) 、几何光学绕射法( g t d ) 、物理光学绕射法( p t d ) 和传输线法( t l m ) 这些方法各有千秋，文献 1 从求解问题的适应性、建模特点、 计算区域、存在的问题和计算能力等方面进行了简明的比较 纵观各类计算电磁学的文献资料，采用较多且行之有效的数值方法，大致还是 矩量法、有限元法和时域有限差分法这三种简而言之，离散积分方程形式的为矩量 法，离散泛函变分形式的为有限元法，直接离散时域麦克斯韦方程的为时域有限差 分法 矩量法【1 ，2 ，3 ，4 】是内域积分形式的加权余量法的总称根据加权方法的不同， 又可分为配点法、最小二乘法和伽辽金( g a l e r k i n ) 法等矩量法的基本原理是：先选 定基函数，对未知函数进行近似展开，代入算子方程，再选取适当的权函数使得在加 权平均的意义下方程的余量等于零，由此将联系的算子方程转换为代数方程原则 上，矩量法可用于求解微分方程和积分方程，但用于微分方程时所得到的代数方程 组的系数矩阵往往是病态的，故在电磁学中主要是用于求解积分方程 有限元法【5 ，6 ，7 】最初是2 0 世纪4 0 年代由c o u r a n t 提出，用于求解简单的结 构问题有限元法作为一种系统的数值方法，则始于2 0 世纪6 0 年代，以冯康为代表 的中国学者和西方学者各自独立地建立了其数学基础有限元法是以变分原理和剖 分插值为基础的一种数值计算方法其最大的特点是：先将解域通过各种适当的形 式剖分成有限个单元，再在每个单元上构造分片基函数，然后利用里兹( r i t z ) 法或 4 第一章绪论 者伽辽金( g a j e r k i n ) 法构造代数形式的有限元方程有限元法可以精确地模拟各种 复杂的几何结构，而且形成的有限元方程组的系数矩阵是稀疏的、对称的，非常利于 代数方程组的求解大快人心的是，在2 0 世纪8 0 年代末发展了一种几乎是为电磁 场量身定做的矢量有限元，也称棱边有限元或n e d e l e c 有限元【8 】顾名思义，它是 用设置在单元棱边上的矢量基函数表示电磁场棱边有限元已经成为电磁场计算中 最有力的有限元形式 时域有限差分法 1 ，2 ，3 ，4 】是以差分原理为基础，直接从概括电磁场普遍理论 的麦克斯韦旋度方程出发，将其离散为差分方程组可以说，它是对电磁场问题最原 始、最本质、最完善的数值模拟，具有最广泛的适应性虽然早在1 9 6 6 年，k s y e e 就提出了赫赫有名的后来冠名为y e e 氏网格的算法，其实这已是时域有限差分法的 雏形【9 】，但是随后的二十年，时域有限差分法一直碌碌无为，对其的研究进展相当缓 慢直到2 0 世纪8 0 年代后期，时域有限差分法才重现勃勃生机，备受专家学者们青 睐，这主要是由于吸收边界条件的不断改善，尤其是完美匹配层【1 0 ，1l ，1 2 ，1 3 的提 出和应用，以及对各种非标准网格划分技术、计算压缩技术、抗误差积累技术、高速 大容量计算技术和并行计算技术的深入研究，时域有限差分法才真正大显身手 1 3 完美匹配层 时域有限差分法需要利用计算机对连续传播的实际电磁波过程进行数字模拟 而在电磁场的辐射、散射等问题中，边界总是开放的，电磁场占据无限大的空间计 算机由于内存总是有限的，总只能模拟有限的空间这就要求将时域有限差分网格 在某处截断如何处理截断边界，使之与需要考虑的无限空间有尽量小的差异，这是 时域有限差分法研究中必须要解决好的一个难题实际上，这就要求在网格截断处 不引起波的明显反射，因而对外传播的波而言就像是在无限大的空间传播一样一 种行之有效的方法就是在截断处设置吸收边界条件，使得传到截断处的波被边界吸 收而不产生反射 归纳一下，在2 0 世纪7 0 至8 0 年代，共提出了四大类吸收边界条件【2 ，1 4 ，1 6 ： 基于s o m m e r f i e l d 辐射条件的b a y l i s s t u r k e l 吸收边界条件；基于单向波动方程的 e n g q u i s t m a j d a 吸收边界条件；利用插值技术的廖氏吸收边界条件；以及梅一方超 吸收边界条件很多文献上介绍的其他一些近似吸收边界条件，诸如m u r 差分格式， t r e f e t h e n - h m p e r n 近似展开，h i g d o n 算子，本质上可以看作是对e n g q u i s t m a j d a 拟 微分算子的近似所有这些吸收边界条件通常在仿真区域的外边界具有0 5 到5 的反射系数，这在许多场合已经满足计算需要不过，现代微波暗室的动态范围已能 5 完美匹配层方法的稳定性分析 做到大于7 0 d b ( 1 0 0 ：1 ) 如果数值模拟的动态范围也能做到大于7 0 d b ，则计算理论 预测与实验测试的能力更为匹配，能更好地促进科学研究要实现大于7 0 d b ，则要 求将现有的这些吸收边界条件的有效反射系数再减低4 0 d b 究竟有没有可能做到 呢? 回答是令人振奋的在2 0 世纪9 0 年代，b 6 r e n g e r 提出了完美匹配层( p e r f e c t l y m a t c h e dl a y e r ) 的理论模型及其在时域有限差分法( f d t d ) 中的实现技术【1 0 ，1 1 ， 1 2 ，1 3 1 完美匹配层在f d t d 仿真区域的外边界可以提供比上述各种吸收边界条 件低4 0 d b 的反射系数，它的出现真可谓人心所向、众望所归据b 6 r e n g e r 报道，完 美匹配层总的阿格噪声能量是普通吸收边界条件的1 1 0 7 ，使用完美匹配层，可以使 时域有限差分法模拟的最大动态范围达到8 0 d b ，这使得数值模拟很好地满足了理 论实验的要求正因为如此，完美匹配层一经出现，就“一石激起千层浪”，有关它的 理论、计算和实际应用的研究就接踵而至，层出不穷 然而，b 6 r e n g e r 完美匹配层需要对场进行分裂，其物理意义不明确，而且解是弱 稳定的【1 6 ，17 】有没有不需要分裂磁场的完美匹配层呢? 回答是肯定的g e d n e y 研 究发现，场分量分裂并不是必需的，只要完美匹配层的媒质是各向异性的，就可具有 相同的性质，这就是各向异性完美匹配层，其中传播的电磁波满足非场分量分裂的 麦克斯韦旋度方程 1 8 】特别地，w c h e w 和w w e e d o n “观察”发现，完美匹配层 中的麦克斯韦方程可以通过引进一组复的变量替换来实现，并不需要分裂磁场在 物理学上来讲，这就是单轴各向异性的麦克斯韦方程，对应为单轴各向异性完美匹 配层( u p m l ) ，本文中简称为单轴完美匹配层f 1 9 】 各向异性完美匹配层避免了在吸收媒质中对场的分裂，不仅保留了原有完美匹 配层技术的长处，而且降低了完美匹配层技术对计算机内存的要求，便于计算机编 程实现，其计算稳定性一般也认为更好些，本文对此有详细讨论 1 4 文献调研 外域问题是科学计算中非常重要的一类问题在处理外域问题时，有很多本质 的困难，但是聪明的数学家还是找到了许多行之有效的计算方法，诸如边界元方法， 谱方法，无限元方法 1 5 ，吸收边界条件方法等【1 6 】近年来广泛流行的完美匹配层 方法可以算是一种吸收边界条件方法 完美匹配层方法是b 6 r e n g e r 首先提出来的，用于解决电磁散射问题f 1 0 ，1 1 ，1 2 ， 1 3 】完美匹配层是用一种不必存在于现实中的特殊媒质将外域问题截断的吸收层， 所谓“完美匹配”是指该吸收层具有两个特性：1 连接边界必须是“透明”的，即波 6 可以任意穿过而不引起反射；2 吸收层里的媒质必须有“吸收”行为，即波在其内传 播是衰减的 关于完美匹配层方法的数学理论，许多优秀的数学工作者做了大量的工作 j h b r a m b l e 和j e p a s c i a k 证明了在截断区域充分大的情况下，时间调和麦克斯 韦方程和声波散射问题的完美匹配层的解是适定的 2 0 】他们还证明了当网格参 数充分小时，截断区域上的完美匹配层电磁散射问题的n e d e l e c 棱边有限元逼近 是稳定的、拟最优的 2 1 】g b a o 和h w u 考虑了极坐标下的三维电磁散射问题 解的收敛性，他们建立了关于散射问题和截断完美匹配层问题的一个显式误差估计 f 2 2 z c h e n ，x l i u 和h w u 为求解时间调和散射问题提出了自适应完美匹配层技 巧，数值实验显示了所提出的自适应方法“强有力的行为” 2 3 ，2 4 ，2 5 1 d a p p e l o ， h h a g s t r o m 和g k r e i s s 考虑了双曲系统的完美匹配层的一般公式以及其适定性 【2 6 t l u ，p z h a n g 和w c a i 利用间断g a l e r k i n 方法为线性色散和d e b y e 型耗 损介质中麦克斯韦方程在完美匹配层区域建立了统一公式【27 】在实际问题的计算 中，由于直角坐标下的规则网格在模拟复杂的弯曲几何表面时精度会出现问题，因 此f c o l l i n o 和p b m o n k 考虑了曲线坐标下的完美匹配层2 8 众所周知，对称的双曲型麦克斯韦方程组是稳定的而b r e n g e r 完美匹配层系 统不是对称的双曲型方程组，其稳定性值得研究s a b a r b a n e l 和d g o t t l i e b 首次证 明了b 6 r e n g e r 完美匹配层是弱稳定的【17 】换句话说，他们发现对分裂的b r e n g e r 完美匹配层来说，解的l 2 范数不仅被初值的l 2 范数控制，还被初值的导数的l 2 范 数控制针对t e 模型，当盯= 0 时，他们还构造了一个范数随时间步数n 线性增长 的不稳定的例子类似的弱稳定性利用能量方法对阻尼盯 0 也可以得到 1 6 】为了 克服这种弱稳定性，很多数值专家实施“整容手术”修改完美匹配层，如j l l i o n s 等 人就为麦克斯韦方程和线性e u l e r 方程提出了一种新型的更一般的吸收层，且适用 于其他几类一阶的双曲系统，相应的c a u c h y 问题被证明是适定性的2 9 z h a o 和 c a n g e l l a r i s 在文献【3 0 中也提出了一种修改的完美匹配层，通过引进新的无需分裂 场的未知变量来重新整合通常的算子这种修改的完美匹配层被e b e c a c h e 和p j o l y 证明是等价于b r e n g e r 完美匹配层【3 1 】g e d n e y 提出了各向异性完美匹配层，避 免了场的分裂 1 8 】根据c h e w 和w e e d o n 的。观察”，数学上b r e n g e r 完美匹配层 媒质方程可以通过对麦克斯韦方程组引进一组复的变量伸展变换得到，这就是著名 的单轴完美匹配层 1 9 几乎与此同时，s a c k 等人提供了一个无需分裂场的各向异 性参数的完美匹配媒质的物理模型【3 2 并且，这两者被l z h a o 和a c c a n g e l l a r i s 在文献 3 0 】中证明是数学等价的，只要电场和磁场在c h e w 和w e e d o n 描述的伸展 变换中适当地定义即可 7 完美匹配层方法的稳定性分析 骞从x s 。y e e 9 在1 9 6 6 年提出y e e 氏网格的差分算法后，时域有限差分法已 经发展成计算电磁学中最重要的一种计算方法f l ，2 ，3 ，4 ，1 4 】尽管b 6 r e n g e r 完美医 配层和单轴完美匹配层是数学等价的，但是他们的时域有限差分格式的稳定性却不 尽相同以二维麦克斯韦方程为例，借助于文献【3 1 】中的系统，e b e c a c h e 和p j o l y 利用能量方法证明了b 6 r e n g e r 完美匹配层对一些变量的组合是稳定的【3 王】。然而， 同样的差分系统，利用傅里叶方法对原始变量只能证明到弱稳定的结果对无需分 裂场的单轴完美匹配层来说，利用傅里叶方法也证得了相同的弱稳定性结果【3 3 不同的论文对于完美匹配层的讨论竟然可以产生出稳定，弱稳定，不稳定的结 果，这难免让人们疑虑，甚至觉得矛盾事实上，完美匹配层可以有多种表现形式， 虽然他们在一定的条件下是数学等价的，但是离散后的差分方程的稳定性却不尽相 同，因为稳定性依赖于不同方程的形式以及不同的未知变量举例而言，t e 模型的 b 6 r e n g e r 完美匹配层是一个4 4 的系统，来知变量是e 1 ，岛，h 3 1 和h 3 2 ，丽z h a o 和c a n g e l l a r i s 修改的完美匹配瑟的未知变量是e l ，岛，最和磁。因此，针对后者的 三2 范数的稳定性的讨论并不直接适用于b 6 r e n g e r 完美匹配层特别的，当盯= 0 时，b 6 r e n g e r 完美匹配层的y e e 差分格式是不稳定的，而z h a o 和c a n g e l l a r i s 的整 合的变量却是稳定的+ 但是，阻尼项当拶 0 时对于改善系统韵稳定性焉言是。友 好”项事实上，在拶 0 时，我们利用傅里旰变换，通过分析增长矩阵，发现时域有 限差分格式分裂变量e l ，易，风l 和风2 不再是不稳定，而是一种弱稳定一谱稳定， 数值实验也验证了这个结论l3 3 】- 关于时域有限差分的能量方法，f 。k u n g 和h 。t c h u a n 研究了麦克斯韦方程的 时域有限差分格式的稳定性，并且建立了y e e 格式时域有限差分公式的一个新的稳 定性定理 3 4 实际中的问题并不局限于仅讨论完美匹配层方程，而是需要将完美 匹配层方程和原来的麦克斯韦方程合在一起考虑应隆安首先考虑了带时间的麦克 斯韦方程初边值外域闻题，通过厢单轴完美匮配层将无界区域截断，证明了整个截 断区域上弱解问题解的存在唯一性f 3 5 】接着，应隆安和方能胜又运用熊量方法证 明了单轴完美匹配层方程和原麦克斯韦方程的初边值问题的时域有限差分系统的稳 定性，并用数值实验进行了验证 3 6 。相应地，极坐标下圆形单轴完美匹配层截断系 统的时域有限差分系统也证得了类似的稳定性 3 8 1 本文的工作是从数学上对完美匹配层方法的稳定性做全面深入的总结和研究： 总结证明了多种情形下的完美匹配层微分系统的稳定性【1 6 ，3 1 ，3 5 】； 利用傅里叶方法证暖了b 6 r e n g e r 完美匹配层c a u c h y 闻题的y e e 差分系统在阻 尼拶 0 的情况下是谱稳定的，阻尼盯一0 对应为不稳定情形【3 3 】 利用傅里叶方法证明了单轴完美匹配层c a u c h y 问题的y e e 差分系统在阻尼 8 第一章绪论 盯 0 情况下是谱稳定的【3 3 】，盯l = 0 2 = 0 时退化为原m a x w e l l 方程，对应为 稳定情形； 考虑了直角坐标和极坐标下的麦克斯韦方程组被单轴完美匹配层截断所形成的 联立系统的初边值问题，并利用能量方法证明了该微分系统及其时域有限差分 系统的稳定性【3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8j ； 所有理论的结果都进行了数值算例验证【3 3 ，3 6 ，3 7 ，3 s 本文的意义在于从数学上总结证明了完美匹配层系统的稳定性，建立了麦克斯 韦方程的完美匹配层时域有限差分系统稳定性的数值理论，修正和加深了前人对完 美匹配层方程稳定性的认识，为完美匹配层方法的数值计算提供理论依据 9 第二章预备知识 2 1 麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组 一个多世纪前，麦克斯韦在安培、法拉第等人的基础上，集电磁学研究之大成， 建立了后来以其命名的描述宏观电磁场运动规律的方程组，从而奠定了宏观电磁场 的理论基础一百多年来，无数科学实验和电磁场工程实践没有发现与之相违背的 事例，这使人们坚定地相信，宏观电磁现象的确是由麦克斯韦方程组所描述的麦克 斯韦方程组是人们解决电磁场问题的总的出发点 2 1 1微分形式的麦克斯韦方程组 记q 为单连通区域，则在无阻尼的时空区域q ( o ，t ) ( t 0 ) ，微分形式的麦 克斯韦方程组为： v e = 一卢瓦o h ， ( 法拉第电磁感应定律) v h = 署+ j ，( 麦克斯韦一安培环流定律) v d = p ，( 电位移高斯定律) v b = 0 ，( 磁感应高斯定律) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中e = ( e 1 ，e 2 ，e s ) 为电场强度( 单位：w m ) ，b = ( b 1 ，b 2 ，b 3 ) 为磁感应强度( 单 位：w b m 2 ) ，h = ( h 1 ，凰，i - i s ) 为磁场强度( 单位：a m ) ，d = ( d 1 ，d 2 ，d 3 ) 为电位 移矢量( 单位：c m 2 ) ，e 为介电常量( 单位：f m ) ，p 为磁导率( 单位：h m ) ，且有本构 关系 b = p h ，d = c e ( 2 5 ) 由电荷守恒，电流密度j = ( ，j 2 ，y s ) 与电荷密度p 还应满足连续性方程 瓦a p + v j - - - 0 ( 2 6 ) 对于给定的p 和j ，待定的还有六个未知量，却有八个方程，方程系统看似超定了 其实，若( 2 4 ) 在初始时刻亡= 0 时成立，将方程( 2 1 ) 两边取散度，并注意到( 2 5 ) ， 立即可得( 2 4 ) 对于任意时刻亡都成立；同样，若( 2 3 ) 在初始时刻亡= 0 时成立，则 将方程( 2 2 ) 两边取散度，并结合方程( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，便可得方程( 2 3 ) 对于任意时刻t 都成立因此不难看出上述的五个方程只有三个是独立的 完美匹配层方法的稳定性分析 在电磁领域中，很多问题如腔本征值、金属体的散射等问题的求解区域边界是 金属，具有很高的电导率，可以视之为理想电导体，其所对应的是完全反射边界条件： dxni 鲫= 0 ， 嘉h n i 施= 0 ， n hi 铀= j ， n dj 砚= p ， 其中n 为区域边界a q 的单位外法向量设初始条件为： d ( ，0 ) = d o ， h ( ，0 ) = h o ， 且h o ，d o 满足兼容条件： n h o = j n d o = p ， v h o = 0 d o ni 鼬= 0 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 则在有界区域，麦克斯韦方程组( 2 1 ) 一( 2 1 6 ) 是适定的【3 9 】 若求解的麦克斯韦方程组的区域是开放的，则需要给出电磁场在无穷远处的性 质，或者说需要知道电磁场在无穷远处满足的条件为此，作一个基本的假设：空间 中任何一点的电磁场的能量都是有限的，任何源所产生的电磁场能量也是有限的如 果限定电磁场源和物体处于自由空间，并位于距坐标原点有限的距离内，s o m m e r f e l d 最早给出了电磁场需要满足的条件： 熙巾h + l k rx ( 三户， 仁忉 其中。为虚数单位，r 为矢径，k 为波数 在无穷区域，麦克斯韦方程组( 2 1 ) ( 2 1 6 ) 加上s o m m e r f e l d 条件( 2 1 7 ) 也是适 定的【1 6 】 1 2 第二章预备知识 2 1 2 复数形式的麦克斯韦方程组 时谐电磁场是电磁场随时间变化的最常见的一种形式由傅里叶变换可知，任 意形式的随时间变化的电磁场均可视为各种时谐电磁场的叠加因此，可将对任意 形式的电磁场的求解问题归结为时谐电磁场的求解问题 设r ( x ，t ) 表示一时谐场向量，角频率为u ，则f 可表示为如下的复数形式： r ( x ，t ) = r t e r ( x ) e 】， 其中r ( x ) 为一复向量容易看出 内 云f ( x ，t ) = r e 6 u f ( x ) e w 。 将这些结果运用于方程( 2 1 ) 一( 2 4 ) ，并约去时间因子e 姗，可得 v e ( x ) = 一谢弘1 0 h 厂( x ) ， v h ( x ) = w 1 0 e ( r x ) + j ( x ) ， v d ( x ) = p ， v b ( x ) = 0 ， ( 2 。1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 其中h ( x ) ，e ( x ) ，d ( x ) ，b ( x ) ，j ( x ) 和p ( x ) 均为复变量方程( 2 1 8 ) 一( 2 2 1 ) 称为复 数形式的麦克斯韦方程组由于在以上四式中略去了时间变量，各场量均为某一频 率下的特定表示，故将这种方程组的解称为频域解事实上，方程( 2 1 8 ) 一( 2 2 1 ) 可以 通过傅里叶逆变换 r ( x ，t ) = 熹 r ( x ，u ) e w d u - 7 1 - ，一o o 由方程( 2 1 ) 一( 2 4 ) 得到，其中r ( x ，u ) 为r ( x ，t ) 的傅里叶变换 2 1 3t e 、t m 模型 假设e 和h 与x 3 坐标轴无关，它们关于z 3 方向的偏导数为零，从而真空中的 麦克斯韦方程组将退化成两个独立的方程组：t e 模型和t m 模型 在t e 模型里，e 1 ，易，凰满足下列方程： 塑0 t = 三鬻c o x h ( 2 2 2 ) 2 e 。1 、一7 鲁= 一三尝c o x b ( 2 2 3 ) 一= 一一一，n l 二厶 i 况 e 1。 、 等= 去c 鬻一鬻卜( 2 2 4 ， 况 弘、a z 2a z l 厂 7 1 3 完美匹配层方法的稳定性分析 初边值条件： = ( e , o ，e 2 0 ，h 3 0 ) ， = 以锄一也钆1 在t m 模型里，避，逸，玛满足下列方程 初边值条件： c o i l l b t 0 1 t 2 一a t a 玛 o t 18 e a 弘a z 2 王毋玛 弘8 z t ： (ab。2一鬻)一；10z 以 g 1a 0 2 7 ” ( 日l ，砚，马) i 妊0 = ( t t l o ，h 2 0 ，局o ) ， e 3 | a q = 0 ， t e ，t m 模型分别都是适定的 1 q 单就方程而吉，在无源区域，j = 0 ，t e 、t m 模型只要作如下替换： ( 2 2 5 ) ( 2 ：2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 岛h 岛，娥h 一最，弱一易，g p( 2 。3 2 ) 就可以由一种类型变换到另一种类型的形式，故在本论文以后的数学讨论中，我们 一般只以其中一种模型为例 2 。2 时域有限差分法 为实现麦克斯韦方程组的数值计算，需要将连续变量离散化。通常采用一定形 式的鼹格甜分变量空闻，且取瞬铬点上的未知量作为计算对象这样，岛变量变为离 散的，只需在有限个点上计算未知量在每个网格点上用差商代替微商，则在一定空 间上求解微分方程的问题就化为求解有限个差分方程的代数方程组问题由微分方 程导出的差分方程的一般形式称为原方程的差分格式然而，一个逼近程度高的差 分格式不一定熊给出计算精度高的近似鳃，这是因为合理的差分格式还毖须保持原 问题的基本物理性质所以，在构造差分格式时常常需要从物理定律出发，以便建立 能给出高精度近似解的格式 1 4 卸 鼬 鳓塑鼽 如陋 第二章预备知识 2 2 1y e e 网格 电磁场的基本规律是麦克斯韦方程组，对于时变场而言，最基本的是其中依赖 于时间变量的两个旋度方程1 9 6 6 年，k s y e e 由此出发创立了用于电磁场计算的 y e e 氏差分网格具体来说，在空间中建立长方体差分网格剖分，网格节点与一组相 应的整数标号一一对应： ( i ，j ，七) h ( i a x l ，j a x 2 ，k a x 3 ) ， 设该点的任一函数f ( x l ，x 2 ，x 3 ，t ) 在时刻n a t 的值可以表示为 f ( i a x l ，j a x 2 ，k a x 3 ，n a t ) ：= p ( t ，j ，k ) 或f 艮知，1 其中a x l ，a x 2 ，z 3 分别为长方体网格沿z 1 ，z 2 ，z 3 方向的空间步长，a t 是时间步 长 图2 1 ：y e e 网格示意图 y e e 采用了中心差商来逼近对时间、空间坐标的微商，具有二阶精度 筹( 歹a x 2 , k a x 3 , n a t ) = 盟些监掣+ 。( ( 蚶) ( 2 3 3 ) 等( 池棚锄舭础) ：型盟笺掣+ 。( ( 嘲 ( 2 3 4 ) 1 为方便起见f “( t 歹，) 和f k 这两个记号均表示函数f 在( i a x i ，歹z 2 ，k a x a ，n a t ) 的 取值，在本文不同的章节均有使用 1 5 完美匹配层方法的稳定性分析 为了获得式( 2 3 3 ) 中关于空间的= 阶精度，并满足旋度方程( 2 王) ，( 2 。2 ) ，y e e 将电磁 场e 和b 的六个分量的空间取值点交叉放置，使得在每一坐标平面上，每个电场( 或 磁场) 分量的四周由磁场( 或电场) 分量环绕，如图2 1 所示为了获得式( 2 3 4 ) 中 关予时间的二阶精度，y e e 将e 和b 在时间上相差半个步长交替计算这样的网格 配置