（概率论与数理统计专业论文）古典风险模型在多发点过程上的推广.pdf

a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , an e w r i s km o d e lc o m p o s e do fm u l t i p l eo c c u r r e n c e sp o i n t p r o c e s s e si sd e v e l o p e d ，a c c o r d i n gt o t h ef a c tt h a ts e v e r a lc l a i m so f t e n t a k ed l a c ei no n em o m e m i no u rl i f e a f t e rd i s c u s s i n gh o w t ot r a n s f o r mi t ， t h en e wr i s km o d e li sc o m p a r e dw i t ht h ec l a s s i c a lr i s km o d e lo nt h e i r a d j u s t m e mc o e f f i c i e n t s ，r u i np r o b a b i l i t i e sa n dt h e d i s t r i b u t i o n so ft h e i r t o t a ld u r a t i o nt i m e so f n e g a t i v es u r p l u s e s 古典风险模型在多发点过程上的推广 吴学渊 摘要 本文针对日常生活中经常出现的同一时刻有多次索赔发生的情况，提出了 由多发点过程构造的风险模型，并在给出了此模型的转化方法的基础上将其与 古典风险模型进行了调节系数、破产概率、负盈余持续时间等多方面的比较。 l 新模型的提出 首先，我们给出古典风险模型如下： u j ( r ) = “+ c l - - 乙，f 0 n “) 其中，u ( f ) 表示保险公司在时刻f 的资产盈余；u ( 0 ) = “0 为公司的初始资 产；c 0 为单位时间内的保费收入； ( ，) ) 为一个强度为兄 0 的齐次p o i s s o n 点过程，表示到时刻f 为止公司收到的索赔次数，且有( 0 ) = o ； 互 。m 为 列独立同分布的取正值的随机变量，代表第七次索赔值的大小，且与j v ( t ) 是 独立的，p = 学 0 。 我们知道，p o i s s o n 过程具有“普通性”，即在充分小的时间段内的跳至多 为l 。换种说法就是p o i s s o n 过程的一个点只对应一次跳，在这里也就是对应着 一次索赔。古典风险模型的一类很重要的推广是对点过程n ( t ) 的推广，将其定 义为比p o i s s o n 过程更普通的更新过程、c o x 过程等，但是这些点过程仍然受 到“普通性”的限制。然而在实际生活中有许多情况并不受此约束，在同一时 刻有多次索赔的情况经常会发生( 常见于汽车保险、火灾保险等) 。这就要求我 们在推广点过程n ( t ) 的时候，也要考虑到对“普通性”条件的推广，这就是本 文的出发点。 将一般点过程的“普通性”约束去掉后，我们得到了一类点过程，叫做“多 发点过程( m u l t i p l eo c c u r r e n c e s p r o c e s s e s ) ， 1 中给出了多发点过程的定义。 定义1 ：如果一个点过程在某一时刻的一点对应着一次或多次跳的发生，则定 义这样的点过程为多发点过程，记为 r ( f ) ) 。，此时刻跳发生的次数定义为对 应这一时刻的点的重数。 由上面的定义可以看出一个多发点过程r ( t ) 对应着一个一般的点过程，它 们的差别仅在于相应点的重数不同。于是我们可以用一个一般的点过程n 。( f ) 来表示一个多发n 过n g ( t ) 的点的发生。下面我们考虑一类特殊的多发点过程 即不同点的重数是独立同分布的取正整数值的随机变t m ， j | i 如，且与表示过 程的点的n 。0 ) 是独立的。此时月( f ) 可以表示为下面的形式： h ( f ) 月( f ) = m l + m 2 + + 肘州，) = m ，f 0 ( 1 2 ) 用一个多发点过程r o ) 表示到时刻f 为止保险公司收到的索赔次数，我们就 得到了模型( 1 1 ) 的一类推广： u 2 ( f ) = “+ c t - 2 z ，f 0 月“、 将( 1 2 ) 代入，则有 心( m u 2 ( f ) = “州一艺乙，f o ( 1 3 ) 观察模型( 1 3 ) ，我们很自然地会想到是否可以通过某种变形将其转化为 与模型( 1 1 ) 类似的形式? 【2 】中考虑了n 。( f ) 为齐次p o i s s o n 过程时模型的转 化问题，类似的，下面我们考虑虬( ，) 为一个一般点过程时的情况。 2 新模型的转化 首先我们给出几个已知条件： 乙 。：服从分布芝( z ) ，且有b ( 0 ) = 0 乩：，枞分靴f f = 1 ，2 ， ；且设卜掣e z 。e m l 0 。 引入随机变量列 j 。) 。：，其中彳。定义为 肘 弘善z 孰 于是模型( 1 3 ) 化为 u 3 ( r ) = “+ c t - 艺五，f 0 。 ( i ) ( 2 1 ) 模型( 2 1 ) 与( 1 1 ) 在形式上已经完全一样，关键还要看 以) 。“是否 具有独立同分布的性质。任取正整数m ，n ，满足l 埘 一，令f ( t 。) ，f ( t 。) 分别表示。，z 。的特征函数，f ( t 。，t 。) 表示( x 。，z 。) 的特征函数。由 肘f ) f 吐： 和 乙j 如的独立同分布住，我们有 f ( g ，) = g e x p i t 。x 。+ i t 。x 。 】 = 研啪。警z 鼽旧 以誊z 孰) 】 “阿e 螂m 蕃z 窆 + e x p f r 。薯m z 羔以+ 。+ 篁机+ ，) 磨肘，m 。三n - it z l ，z 量帆】 部 e x p 眠蒿z 篁 伽e x p 以釜= lz 乳 磨m - 1 9 ，一。掣n - i 而，z 扒 = e e x p i t 甜e e x p i t 。纠霎m 。鼽e gz 一z ，】 = ，工。) r 。圳肘，。11 。，z l i 一，矗】 ：e e x p 伽。x 球x p ( f 羔z f ) 】 m = e e x p i t x ) 】e e x p i t 。z ) 】 ，= 1 = f ( t 。) e e e x p i t z 川m ，】 ，= i j j = i m i n l = ，) e 【目e x p “。善z n 胪- i ，+ ，i 蔷吖，】 = f ( t 。) e e x p i t 。x 。 】 = f ( t 。) f ( t 。) ( 2 2 ) 由( 2 2 ) 知x ，和x 。具有独立同分布性，由数学归纳法知随机变量列 x 。) 。如也具有独立同分布性，且具有共同的分布函数 m e x ( x ) = p 互 x ) - l = e p z z t z f m ) 】 。l = 眈”( x ) = p k - b “( x ) t - l 其中艺”( x ) 为分布函数最( x ) 的七重卷积，下同。 ( 2 3 ) 这样我们就通过上述方法将模型( 1 3 ) 转化成了模型( 2 1 ) 。于是求模型 ( 1 3 ) 的破产概率问题就可以相应地转化为求模型( 2 1 ) 的破产概率。但是我 们应该注意，模型( 1 3 ) 的提出有它的实际意义，即在应当用多发点过程r ( t ) 表 示保险公司收到的索赔次数的情况下，如果仍然用一般的点过程( r ) 来建立模 型，就会低估破产概率的上界，从而使破产概率比实际预算来得大了。下面我们 将分情况具体讨论这一问题。 3 对新旧模型的比较 由于模型( 2 1 ) 是模型( 1 3 ) 的变形，下面我们将用模型( 2 1 ) 代替( 1 3 ) 与( 1 1 ) 进行比较。首先定义几个符号 互= i n f t o ，u l ( f ) 0 ) ，疋= i n f t o ，u 3 ( f ) 0 ) 分别表示模型( 1 1 ) 和( 2 1 ) 的破产时间 ( “) = j d 暇 l ，否则两模型就相 同了。 1 ( r ) 和n r ( ，) 为齐次p o i s s o n 过程 令( ，) 和。( f ) 分别为具有参数a 和厶的齐次p o i s s o n 过程，由上述前提 知丑和厶满足 a = 砧e m l 。 当z 服从指数分布，m ，服从两点分布时 2 中进行了初步讨论，下面我们 对具有任意分布的z j 和 f 证明下面的结论 结论1 ：r l r 2 。 证明：因为r 。和r ：分别满足下面的基本方程 旯+ r c = a ( h l ( ，) + 1 ) 五月+ r e = 兄r ( h 2 ( r ) + 1 ) 将旯= 厶e m l 和| i l ：( r ) 的定义分别代入( 3 1 ) 、( 3 - 2 ) 得 r l _ 三一= h i ( 置) 。厶e m l 一 r ：= 以【( 啊( r ：) + 1 ) “一1 】 a , r n = l 两式相除得 e m 一= 塾半骅 ：篙桨妻p。n-l(憾)+1)hr r ( ，) 智智一 由h ( r ) 的定义知 ( 尺2 ) 0 ，故 ( 魄( r ：) + 1 ) n i = 0 而e m = 印。，因而要使得( 3 3 ) 中的等式成立，必须有 h i ( r 2 ) 。堕鲤 r 2r l 又由于当r 0 时，有 ( 半) _ 专胁叫n - 蚓z ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 及函数( r g - l 沁一+ l 于区间【o ，+ ) 上单调递增，于是有函数堕嫂在区 r 间( o ，+ o o ) 上严格单调递增。 于是由( 3 4 ) 知结论成立。l 6 结论2 ：i ( “) 政( 甜) ， 0 。 锕= 壶卜眦眦，g 2 。壶f ( 1 _ 驰眦 则有 g 1 ( 0 ) = g 2 ( o ) = 0 。 由于p z ( 0 ) = 0 ，于是对充分小的z 有兄( z ) 0 ，x 0 。 同理可证g 2 ) 0 ，z 0 。 下面先证明一个引理： 引理1 ：设f ( x ) ，g ( x ) 均为【0 ，+ o 。) 上的分布函数，若g ( x ) y ( x ) ， z 0 ，+ o o ) ，则对任意正整数n 有g ”( z ) f ”( x ) 。 证明：当h = 2 时，有 g 2 + ( x ) = r g ( x y ) d g ( y ) r f ( 石一y ) d g ( y ) = r g ( x y ) d f ( y ) r f ( x y ) d f ( y ) = f 2 ( 功。 利用数学归纳法易证对任意正整数玎有g ”( x ) f ”( x ) 。- 由b e e k m a n 公式得 尔加半薹( 等p 缸， s ， 妒：( “) = = 学。( 、2 r e 。x 1 “g ：“+ ( “) ( ，6 ) 由a = “e m ，e x 。= e z l e m l 和引理1 知要证氟( “) 屯( “) ，只需证明至少 存在一个k 0 ，使得 g i k ( “) g 2 “( ”) ，“ 0 。 ( 3 7 ) 第一步：先证g l ( u ) g 2 ) ，“ 0 。 为此我们引入函数的完全单调性的概念及几个引理。 定义2 ：称函数，( j ) ，j 0 完全单调，如果它的各阶导数f ”均存在，并且有 ( 一1 ) ”f ( ”( s ) 0 ，s 0 ，其中n 为正整数。 引理2 ：函数f ( s ) 完全单调的充分必要条件为存在 o ，+ 。o ) 上的分布函数g ( x ) 使得 f ( j ) = f e - “d g ( x ) 。 引理3 ：若函数f ( s ) 完全单调，c 为正数，则f ( s ) + c ，c f ( s ) 也完全单调。 引理4 ：若函数e ( j ) ，e ( s ) 完全单调，则( e + f o ( s ) ，( e e ) ( j ) 也完全单调。 引理5 ：若 e ( s ) 如是完全单调序列，而芝e ( s ) 可逐项求导，则妻e o ) t g 完全单调。 引理2 的证明可参看 3 ，引理3 、4 、5 的证明比较简单，这里就都省略掉了。 由引理2 可知，只需证明f e - i x ( g ，( x ) 一g ：( x ) ) 出完全单调，即可推出 g l ( x ) g 2 ( z ) 。而 f p 一“( g i ( x ) 一g ：( x ) ) 出 = r e “ 壶f ( 1 一芝( 砌出一壶f ( 1 一目( 砌出】出 = 击( 1 一息( 呦一赤( 1 一只( 呦 2 面旨【善印门一息( 呦一善以( 1 - 息) ) 】 = 丽1 酗, o ( 1 一瓤百n - l ( 1 一粕) ) = 面旨喜见( ，一息2 善n - i 杀l - i 艺7 = 壶静( 上掣) 2 ( ( 川) + ( 盹) 息m 叫息2 息”】( 3 8 ) 由引理2 知房( s ) ，戌( j ) 均完全单调，从而由引理3 、引理4 知 ( 一1 ) + ( n 一2 ) p z ( j ) + ( n 一3 ) 62 ( j ) + 芝”2 ( s ) 也完全单调。 而! 二譬盟经计算可知是r ( 1 一尸z ( z ) ) 出的l 印1 a c e s t i e l d j e s 变换，从而也是 完全单调的，故( l ? 2 ) 2 ( ”一1 ) + 一2 ) 息( s ) + 一3 ) 6 2 ( s ) + + 息“2 ( 叫完 全单调。 因为对v 女 0 ，有 扣卜一c 半r 1 妻印。( 眨女( s ) h 或( s ) 1 ) = e m ，( 缈训+ l 乓( s ) | ) 0 得证。 第二步：已知g l ( ) g 2 ( ”) ，” 0 ，证明结论2 成立。 若g ， ) g 。( “) ，“ 0 ，由( 3 5 ) 、( 3 6 ) 式及引理1 即可推出办( “) 欢( “) 。 若存在“ 0 ，使得g 1 似) = g 2 ( “) ，则令“= i n f u ；“ 0 ，g l ) = g 2 ( “) ) 。 易知“i 0 ，因为当正数“充分小时，1 - z ( u ) ；于是对某一正整数o 1 ， p n 0 ，有 n o ( i p a u ) ) p 川， p “( 1 - p z “ ) ) p 虬， 于是 g 小) - g 2 ( “) 2 面1j l 喜陋( 1 一只( x ) 一( 1 一b ”( 咖。出 。， 即“ 0 9 由尸z ( o ) = 0 和g l ( “) 的定义知一定。 以找到一个正数“2 ，满足l 一艺( “) 仕 0 ，“：】上大于0 ，即g i ( “) 在【0 ，“：】上严格单增。 令“。= m i n u ，“：) ，下面分两种情况证明结论。 ( 1 ) 当0 ：( “) 。 ( 2 ) 当“时，令”= m ，其中k 坍k + 1 ，k 为正整数，则 g + 1 ( ”) g ：+ g 。( “) = ：l 。【g ，( u - x ) - g z ( u - x ) l d g - + ( x ) k e a - ( m - 枷k ) u 矗o + l ( k + 。l - m h ) u o 雕k 州) 一g ：( ”一曲】崛( 曲 = 撼- _ 3m _ k ) 秘+ j _ l u o g - ( ) _ g 2 ( ) 】d g l b ( 曲 ( 3 9 ) 因为( 3 9 ) 的积分中 。 【丢( 埘一七) + i 1 】”。【丢( 州一七) + i 3 】“。 g 2 ( “) ，可知存在正数艿，使得上面积分中 g ，( “一x ) 一g 2 ( “一x ) 占 再令 匕 。m 是独立且具有共同分布g l ( x ) 的随机变量列则有 g l + ( “) 一g 2 g i “( “) 驴扣_ 罢咖一t ) + i l ks 荟kk 朝- 【丢( m 一女) + i 3 k ) 酽( 壶【 ( 州三( 肌叫+ 扣) e i 1 ( 州；( 埘叫+ i 3 ) 】) = 铲 丢( 州三( m 棚+ 扣) s k i i ( 州吉( m + i 3 ) ) = 占 g ，( ( ”一( 詈( 肌一) + i 1 ) “。) ) 一g 。( 去( “一( 言( 棚一七) + i 3 ) “。) ) r ( 3 1 。) 因为 。 丢 “一( 詈( ，”一七) 十i 1 ) “。 o 得 g l 。+ 1 卜( “) g 2 g 1 。+ ( “) g 2 十g 2 k * ( “) = g 2 “1 卜( “) 所以由( 3 5 ) 、( 3 6 ) 式即可推出氟( “) ：( “) 的结论成立。 结论2 证毕。- 2 n ( t ) 和n 月( f ) 为c o x 过程 令( f ) 和。( r ) 分别为具有底测度a ( ，) 和 。( f ) 的c o x 过程，则( ，) 和 n 。( f ) 可以表示为霄( a ( f ) ) 和。( a 。( r ) ) ，其中费( f ) 、r ( r ) 都是标准p o i s s o n 过 程，人( r ) 和a r ( f ) 为定义在概率空间( q ，3 ，p ) 上的扩散随机测度，人( f ) 与费( f ) 和a r ( f ) 与费r ( f ) 都是相互独立的，且假设人( r ) = a r ( r ) e m l 这种情况下我们考虑模型 u ：( f ) = “+ ( 1 + p ) e z l a ( t ) - z z i ，0 n 、 和利用多发点过程r ( t ) 构造的模型的变型 嵋( f ) = “+ ( 1 + p ) e x l a r ( f ) 一以，r 0 。 ( 2 1 ) 挫( f ) 其中p 为一正数。 令 矿- ( “) = p 【1 鹰c ，i ( f ) 置成立。i 结论2 ：荔( ”) 荔( ”) ，” 0 。 证明：分布函数g ，( x ) 、g ：( 功的定义与1 中相同。 由于模型( 1 1 ) 与c = ( 1 + p ) e z ，a = 1 时的模型( 1 1 ) 具有相同的破 2 产概率，故由b e e k m a n 公式有 m ，= g 揣壶等薹h + 堕p ) e z 地1 ) 1 “， = 南薹者1 “， 同理可得 珈，= 等芦薹( 而e x 面ip c 功 = 南薹者：1 ”， 将( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 与( 3 5 ) 、( 3 6 ) 式比较后我们不难看出1 中结论2 的证明方法这里仍然适用，由于篇幅的关系这里就不再详细证明。 结论2 证毕。i 经过上面两种情况的讨论我们可以看出：当( ，) 和n r ( f ) 同为齐次p o i s s o n 点过程时，用r ( ，) 表示保险公司到时刻f 为止收到的索赔次数而建立的风险模型 ( 2 1 ) 与古典模型( 1 1 ) 有着明显的差异，即其调节系数尼要比相应的古典 模型的调节系数r 小。换句话说也就是模型( 2 1 ) 的最终破产概率的上界要比 模型( 1 1 ) 的大。此外我们还进一步得出了模型( 2 1 ) 的最终破产概率大于模 型( 1 1 ) 的结论。当n ( t ) 和r ( r ) 同为c o x 点过程时，我们对模型( 1 1 ) 和 ( 2 1 ) 进行了比较，结果得出了与前面相同的结论，即在单位时间内索赔次 数相同和单个索赔分布相同的前提下，模型( 1 1 ) 无论是破产概率的上界还是 破产概率本身都要比模型( 2 1 ) 的大。因此我们在建立模型时，如果忽略了 区分是否用多发点过程的问题，就会最终影晌到我们对保殓公司破产概率的估 计。 4 计算新模型的负盈余持续时间分布 为了进一步验证模型( 1 3 ) 与模型( 1 1 ) 的差别，我们将计算n 。( r ) 为具 有参数九的齐次p o i s s o n 过程时模型( 2 1 ) 的负盈余持续时间分布，并与模型 ( 1 1 ) 的相应结果进行比较。在进行具体计算之前，我们先来看一下有关古典 风险模型的负盈余持续时间分布的一些已知结论( 见 5 】) 。 令( “) = p 阢 。 u ，( o ) = u 1 为模型( 1 1 ) 的初值为“的最终破产概率。五 为破产时间，则氟( “) = 1 一 ) 为生存概率；令 g ，( “，y ) = p i t , 一y l u 。( o ) = “】表示公司从初始资产”破产且破产时公 司的亏空一小于y 的概率；记q ( 力= 毛宇，表示在破产条件下z 的分布函 数；盂，i = 1 , 2 ，n ，为公司第i 次达到负盈余的持续时间，其中n 。为公司发生 负盈余的总次数，由不破产原则知1 0 的指数分布，即p z ( z ) = 辟一；n 一( f ) 是 具有参数丑。的齐次p o i s s o n 过程；r ( ，) 的点的重数m ，服从两点分布f 1 2 1 ， l p 引 舢乩r 设p = c 蔫辫地 对模型( 2 1 ) 我们定义相应的符号如下： 妒 ) = p t m 乩( o ) = “】为初值为甜的最终破产概率，其中t 为破产时间； ( “) = 1 一y ( “) 为生存概率； o ( u ，y ) = p t 一y t u ，( o ) = 】； 日( “，y ) ：鱼哮粤，表示在破产条件下破产时公司的亏空y 的分布函数； 妒j f ，f = 1 , 2 ，n 为公司第i 次达到负盈余的持续时间， 为公司发生负盈余的总次数，则由不破产原则知 知 0 0 ，k = 1 ，2 。 c 3 = i * c 一+ c ：= 一而1 。 将( “) = c l e ”+ c 2 e 。+ 1 和妒( “) = c l ，l e ”+ c 2 ，2 p 掣代入( 4 1 ) 式，得 ( 4 6 ) c l ( 一詈) + c ：( r 2 一昙) e 掣= 詈一詈f ( c l p 。q ) + c 2 e r a ( u - t ) + 1 ) ( p + 拍r ) 居母出 展开并化简后得 c 1 ( ，l 一争e rikc2(，2上矽”=长2万1cc 一学e 巾) ccnd 一枷群一蛐铲e 呐， 一却臀一蛐铲e 1 ， 比较等式( 4 7 ) 两边d e 一加的系数后有 1 + 盟+ 也：o r l + pr 2 + p 再比较等式( 4 7 ) 两边e 一肛的系数后有 ( 4 8 ) 臀托背一o 由( 4 8 ) 和( 4 9 ) 解得 铲而r 2 ( r i + f 1 ) ：2 r 2 c 2 = 嬲 。 ( 一) 2 ( 屯一_ ) 2 经检验知这里的c ，c ：也满足( 4 6 ) ，于是我们得到了破产概率妒( “) 的具体表达 式 矿 ) = r 2 ( r l + ，1 ) f l ) ：2p ”+ 5 ( _ ( r 一2 ，2 + ) f l ) 2 ( r 2 ：e ” 一，lj 。l _ 一，2j 批；筚小。 即 下面我们计算g ( “，y ) ，令g ( “) 圭g ( u ，y ) 。由于g ) 满足 g 铷) = 詈g ( 小詈f g ( “叫以z ) 加2 - 。f + y p x ( 撒 ( 4 1 0 ) g b ) = 鲁g ( 矿詈f g ( 项p + 妒( ) ) 矿”力如 + 兰【( 1 + q f l ( “+ y ) ) e 一，( ” 一( 1 + 目伊h ) 口一库】 ( 4 1 1 ) c 将( 4 1 1 ) 式两边对“求导，得 g 一 ) ：( 生一) g ( “) + 3 , q p g ( “) 一生f g ( z ) 妒2 e - ，( 叫出 cc cw 一- - a q f l e 一加( 1 一p 一彦) c 将( 4 1 2 ) 式两边再对“求导，得 ( 4 1 2 ) g 一( “) ：( 兰一2 f 1 ) g 一( ”) + ( 1 + q a f l 一：) g ，( “) ( 4 1 3 ) cc 将( 4 1 3 ) 与( 4 4 ) 比较后知方程( 4 1 3 ) 的解为 g ( u ) = c j 口”+ c 2 e 1 ”+ c 3 ( 4 1 4 ) 其中“，女：1 ，2 即为前面的“；c ，c ：，c 3 为任意常数。由于( 4 1 3 ) 具有 边界条件g ( + 。) = 0 ，故有c ，= 0 ，所以 g ( u ) = c l g ”+ c 2 e “ 将( 4 1 5 ) 和g ( “) = c l p ”+ c 2 r 2 e ”代入( 4 1 0 ) 后有 c l ，l g + c 2 r 2 e 吩h 一生( c i p + c 2 e 吩“) c = 一考r ( 砷+ c 2 ) ) ( p 舻) 居币如 + 墨【( 1 + g ( “+ y ) ) e p ( “+ 力一( 1 + q _ 伽) p 一肛】 c 展开并化简后得 c t ( ，l 一昙) p + c 2 ( r 2 一詈) e ”cc = 知咄铲e 啦一背， + 生。c 2 f l 蛐铲e 一一背】 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) + 生 ( 1 + q 卢( “+ y ) 弘一，( ”+ ”一( 1 + q 肛) p 一卢】 ( 4 1 7 ) c 分别比较( 4 1 7 ) 中e 。a 和l d e 。辟的系数后有 c t 器+ c 2 器- 1 - ( 1 坳矿彦 卫c + l ，：彦i cl - e - r t 七_ br 2 七9 解方程组( 4 1 8 ) 和( 4 1 9 ) 得 c ：。i ( r , + f 1 ) 2 r 2 - ( r 2 ( 1 + f l y ) + f 1 2 y ) e - 跏 ( ，2 一，1 ) 卢2 ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ，一( r 2 + f 1 ) 2 r i _ ( r , ( 1 + f l y ) + f l2y)eml - 2 一 ( 一r 2 ) g 2 g ( u ，y ) 的具体表达式也已求出。 下面令p 。g 2 o - 5 ，_ 1 ， 2 ；，p 。o 1 ，则c = 1 1 ，a2 1 _ 5 ，p 2 2 4 p ，= 1 5 。由前面的结果可得 = - 0 0 6 8 5 9 2 7 ，r 2 = 一1 3 2 5 3 5 即 于是有 c ，= - 0 9 1 4 8 6 8 ，c 2 = o 0 0 5 7 7 7 2 4 c ，= o 9 1 4 8 6 9 一( 0 9 1 4 8 6 9 + o 2 2 4 5 8 2 y ) e c 2 = - 0 0 0 5 7 7 7 2 4 + ( 0 0 0 5 7 7 7 2 4 一o 0 7 8 4 4 8 1 y ) e y ( “) = 0 9 1 4 8 6 8 e - o 8 5 9 2 h 一0 0 0 5 7 7 7 2 4 e 一1 3 2 5 3 “ g ( u ，y ) = c l e 。0 “。5 9 2 7 。+ c 2 e 一1 3 2 5 ”。 e t r l “】= 而1 ( 1 1 3 9 4 5 e - 0 。6 s s 9 2 7 + 0 0 7 2 6 7 0 9 e - 1 3 2 m ) e 酬“ = 而1 ( 2 7 2 8 0 7 e - o _ 。6 8 5 9 2 7 u t 0 3 0 2 2 3 8 e - l s 2 m u ) 吲“】= 而1 ( 1 1 3 9 4 5 p _ 0 删。+ 。例蚴轴) e 吼卜而1 ( 3 3 1 1 撕+ 2 4 4 舰1 3 2 5 m ) e 洲“】- 1 0 0 6 3 6 e m 0 6 8 5 9 2 知一0 0 6 3 5 5 0 6 e _ 1 3 2 5 3 铀 v n l u = 1 2 1 妒( u ) ( 1 9 0 9 0 9 缈 ) ) e r r u = 1 3 3 3 7 7 e _ o6 8 5 ”“一0 0 4 3 5 8 7 7 e 一3 2 5 3 “ e 玎2 曲= 7 4 4 5 6 7 e 加6 盱9 2 h 一1 2 2 7 6 9 e _ 3 2 5 3 h 下表给出了当u 取不同值时的具体结果，其中分别考虑了j 口取0 1 和0 2 两 9 01 00 0 01 1 0 0 0 01 3 3 3 3 35 6 6 6 66 05 0 0 0 03 0 0 0 03 3 3 3 33 7 5 0 ，0 i93 8 71 0 8 9 4 41 2 45 2 35 4 0 1l4 i4 4 4 62 9 1 3 82 9 3 7 93 4 2 12 28 7 7 11 0 72 5 41 1 6 2 7 65 1 3 9 】0 239 2 82 7 7 7 92 5 9 1 33 1 0 55 38 _ 1 9 11 0 4 9 1 71 0 85 7 04 8 8 2 l133 4 6 42 61 0 62 28 3 72 8 0 69 476 4 91 0 21 1 91 0 1 3 7 34 6 3 1 43430 5 32 42 6 52 0 1 2 52 5 2 8 1 571 4 29 89 7 l9 4 6 5 34 3 8 8 01526 9 l2 2 3 6 01 7 7 3 42 2 7 0 2 666 6 89 55 6 88 8 3 7 84 1 5 2 5762 3 7 12 0 4 6 21 56 2 82 0 3 34 762 2 69 l9 8 58 25 1 93 9 2 5 6 3 72 0 9 01 8 6 2 01 37 7 11 8 1 75 85 8 1 48 8 2 8 67 7 0 4 93 7 0 7 548l l1 6 8 6 51 2 1 3 51 6 2 i4 95 4 2 88 45 2 67 l9 4 l3 4 9 8 509i 6 2 31 5 2 1 71 0 6 9 41 4 4 4 2 1 050 6 88 0 7 4 66 7 1 7 23 2 9 8 611 0 l4 3 01 3 6 8 59 4 2 41 2 8 4 6 1 53 5 9 76 2 5 9 54 7 6 6 92 4 3 3 871 507 6 07 7 8 15 0 0 77 0 47 2 025 5 24 7 0 8 73 3 8 2 91 7 7 4 05 2 00 4 0 44 2 7 82 6 6 i3 8 0 7 2 5 l8 1 l3 4 7 5 82 4 0 0 71 2 8 2 562 502 1 52 3 1 41 4 1 42 0 4 1 3 0 l2 8 62 5 3 4 31 7 0 3 79 2 2 063 00 1 1 4i 2 4 10 7 5 11 0 & 9 4 00 6 4 71 31 7 68 5 8 0 4 7 1 634 00 0 3 20 3 5 30 2 1 23 0 9 5 00 3 2 66 7 4 143 2 12 3 9 3 65 00 0 0 90 1 0 00 0 6 08 7 与 5 】中的表1 ( 见附表) 相比较，我们可以看出模型( 1 3 ) ( 即( 2 1 ) ) 与 模型( 1 1 ) 在单位时间内索赔次数相同的条件下相比较，研| ”】、唰川、 固口相和嗍四个指标的值都明显地增大了( 除了酬0 1 和矿【州0 1 ) ，也就是说 用多发点过程构造的风险模型无论是从平均总破产次数，还是平均总破产时间 的角度来看，都要比相应的古典风险模型的大，且总破产次数和总破产时间的 波动也变大了。这就从另一个角度说明了本文第三部分中对两模型相比较而得 出的结论。 附表 为了便于将4 中的表1 与已知结果进行比较，特附上 5 】中的表1 如下 t a b l e l e x p o n e n t i a l c a s e ：m o m e n t so fna n dt t p = 0 “ 研州“】v n m a r t l 1y 【玎忉 p = 0 2 “日枷1y 【l i 1 衄y r i u l v t r r k l o1 0 0 0 01 1 00 0 01 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0050 0 03 0 0 0 02 5 0 0 02 1 2 5 0 0 191 3 11 0 8 3 7 69 1 3 1 03 0 0 1 314 2 3 22 8 6 4 32 1 1 6 21 8 7 9 0 0 283 3 71 0 55 7 48 3 3 7 52 8 0 6 6 23 5 8 32 6 5 7 41 79 1 31 6 4 9 5 8 376 1 31 0 19 1 57 61 3 0 2 6 1 7 833 0 3 32 4 1 6 21 51 6 31 4 3 8 0 3 469 5 19 7 6 5 86 95 1 42 4 3 6 4 42 5 6 72 1 6 4 81 2 8 3 51 2 4 71 5 563 4 79 30 0 66 3 4 7 4 2 2 6 3 0521 7 31 9 1 8 1l o 8 6 5